CAMENA Early Modern Latin Texts

image: as003
P. GASPARIS SCHOTTI REGIS-CURIANI, E SOCIETATE IESU. Olim in Panormitano Siciliae, nunc in Herbipolitano Franconiae eiusdem SOCIETATIS IESU Gymnasio Matheseos Professoris CURSUS MATHEMATICUS, Sive ABSOLUTA OMNIUM MATHEMATICARUM DISCIPLINARUM. ENCYCLOPAEDIA, In LIBROS XXVIII. digesta, Eoque Ordine disposita, ut quivis, vel mediocri praeditus ingenio, totam Mathesin a primis fundamentis proprio Marte addiscere possit. Opus desideratum diu, promissum a multis, a non paucis tentatum, a nullo numeris omnibus absolutum. Accesserunt in fine THEORESES MECHANICAE NOVAE Additis INDICIBUS locupletissimis [gap: illustration] Cum Privilegio Sacrae Caesareae Maiestatis. BAMBERGAE, Sumpt. IOH. MARTINI SCHÖNWETTERI, Bibliopolae Francofurtensis. M. DC. LXXVII.

LEOPOLDO I. ROMANORUM IMPERATORI SEMPER AUGUSTO, PIO, SAPIENTI; GERMANIAE, UNGARIAE, BOHEMIAE, DALMATIAE, CROATIAE, SCLAVONIAE, REGI, Encyclopaediam Mathematicam O. D. C. CASPARUS SCHOTTUS S. I.

INgenti fiducia [orig: fiduciâ], nec minori timore, Mathesis mea Tuo se sistit conspectui, Imperator Augustissime, ac Sapientissime. Fiduciam parit incredibilis illa humanitas, qua [orig: quâ], cum a felicissima, bonisque omnibus optatissima in Romani Imperii Monarcham inauguratione Francofurto redux, Herbipolim nostram beare Tua praesentia fuisti dignatus, me meaque donaria

chartacea excepisti; affectus, quo Opus praesens animo tunc conceptum, ac Maiestati Tuae submisissime oblatum acceptasti; desiderium quod, idem ut quam maturrime conscriptum videret lucem, et tunc, et deinceps non semel ostendisti. Quae me omnia, tametsi sponte currentem, adeo excitarunt, atque animarunt, ut sepositis confestim aliis studiis, spatio non plus quam annuo immensum Mathematicarum Disciplinarum pelagus legendo ac pensitando percurrerem, ac intra praesentis Voluminis angustias scribendo coarctarem. Adeo ex voto provehitur, quem aura propellit Caesarea. Ingenti igitur (iterum dico) fiducia [orig: fiduciâ] Mathesis mea Maiestatis Tuae pedibus advolvitur. Nec minori tamen timore perculsa trepidat. Scit enim vero, Te, Imperator Sapientissime, quanto ceteris antestas dignitate, tanto praestare ingenio, iudicio, doctrina [orig: doctrinâ], et Mathematicarum Disciplinarum peritia [orig: peritiâ], adeo ut vel primo oculorum coniectu intelligas, sitne in Opere, quod offert, aliquid perfectum ingenio, elaboratum industria [orig: industriâ], dignum Litteraria Republica, dignum Caesare, ac tanto Caesare. Non ex eorum es numero, qui arma solum, non libros; paludamentum, non togam; hastam, non calamum decereautumant Imperatores. Noveras iam antea, quam Imperii habenas susciperes

moderandas, unam et eandem esse armorum ac litterarum praesidem Minervam; Musagetae, hoc est, Musarum Ducis ac Moderatoris cognomenti gloriari Herculem; eiusdem clavam, fortitudinis symbolum, et rerum praeclare gestarum instrumentum, non e quercu et robore, sed ex olea, quae sapientiae est arbor, excisam. Sciebas, neminem plura et meliora scire debere, quam Principem; populi stabilimentum esse Regem sapientem; tum demum beatam fore Rem publicam, cum Principes philosophantur. Sciebas, Mathematicas scientias cum Philosophiae peritia coniunctas, in plebeis quidem argentum, in Nobilibus aurum, at in Principibus, Regibus, Imperatoribus, esse gemmas. Sciebas denique earundem Scientiarum studium omni aevo cordi fuisse Regibus, ac Mundi Monarchis: Mauritaniae Regem Atlantem, Aegypti Ptolemaeum, Castellae Alphonsum, Romanae Monarchiae fundatorem Caesarem, Occidentis Imperatorem Carolum Magnum, et (ut alios innumeros omittam) gloriosissimae memoriae Parentem Ferdinandum III. eiusdem studii cultores fuisse eximios, et munificentissimos fautores. Horum vestigiis, Caesar ter Auguste, ut insisteres, et gradum ad summum Imperii Romani vestigium, quo Te caelum vocabat, parares; post emensum amoeniorum Litterarum curriculum,

Philosophiae ac Matheseos cursum adeo ardenter es aggressus, adeo fortiter, feliciter, constanter emensus, ut inter excellentissima ingenia tantum excelleres, quantum inter myricas humiles Cypressus. Haec cum Orbi nota sint, merito timet Mathesis mea Tuo se sistere conspectui, TUAMque experiri censuram. Sed qualis eam cumque maneat, gaudetinterim, sibique gratulatur non modice, primam se esse, quae omnium Mathematicarum Disciplinarum stipata Choro, summo Romani Imperii Monarchae LEOPOLDO, ab Auctore suo sistatur. Inscripsere [orig: Inscripsêre] plurimi ac praestantissimi Mathematici, nullo non tempore, Opera sua Serenissimis Principibus ac Ducibus, Potentissimis Regibus, Augustissimis Imperatoribus, Sanctissimis Ecclesiae Romanae Pontificibus. Ex innumeris paucos recenseo. Ioannes Keplerus, trium Austriacorum Imperatorum (RUDOLPHI, MATTHIAE, ac FERDINANDI) Mathematicus doctissimus dedicavit Harmonicen Mundi Iacobo magnae Britanniae Regi; Astronomiam novam de Martis stella, et Astronomiam Opticam, Rudolpho II. Caesari; Tabulas Rudolphinas Ferdinando II. itidem Caesari: Christophorus Clavius, sui aevi Euclides, Calendarium Gregorianum Clementi VIII. Pontifici Maximo; Gnomonicen Stephano Poloniae Regi; Opera Mathematica

omnia, quinque Tomis comprehensa, Godefrido Bambergensi Episcopo, et Caesareo apud Summum Pontificem Legato: Athanasius Kircherus, Scriptor huius saeculi celeberrimus, Magnetem primo editum [correction of the transcriber; in the print editun], et Oedipum Aegyptiacum (Opus incomparabile) Ferdinando III. MAIESTATIS Tuae Parenti Augustissimo; Artem Magnam Lucis et Umbrae, et Magnetem iterum editum, Ferdinando IV. eiusdem Maiestatis Tuae Fratri Augusto; Musurgiam seu Artem magnam Consoni ac Dissoni Leopoldo Vilhelmo, Patruo Tuo Serenissimo; Obeliscum Pamphilium Innocentio X. Pontifici Summo; ac recentissime Iter Exstaticum caeleste Christinae Gothorum ac Wandalorum Reginae; Iter vero Exstaticum Terrestre Maiestati Tuae, tunc Ungariae ac Bohemiae Regi: Gregorius a S. Vincentio Opus Geometricum de Quadratura circuli toti Augustissimae Domui Austriacae. Omitto innumeros alios, tum veteres, tum neotericos, qui eundem tenuere [orig: tenuêre] morem. At qui integram Mathematicarum Disciplinarum Encyclopaediam vel Regi, vel Imperatori, vel quantovis alteri Monarchae obtulerit umquam, eamque glorioso cuiusquam nomine exornaverit, repertus est hactenus nemo. Prima Mathesis mea est, quae hoc se honore dignatam gloriari audet. Age ergo,

Imperator Augustissime, pedibus Tuis advolutam benigno respice obtutu, porrige dexteram, erige, et favore Caesareo tuere. Hoc si feceris, laeta ac secura in omnium conspectum se dabit, nec verebitur vel hoc solo triumphare nomine, quod tanti Caesaris nutu concepta, auctoritate parta, favore nutrita, gratia [orig: gratiâ] ornata, prodeat in lucem. Vale, Sapientissime Imperator, et innumeris tropaeis bello ac pace clarus, diutissime vive Deo, Ecclesiae, Imperio. Dabam Herbipoli ex Collegio nostro, Die Sexto Anni M DC LXI.

FACULTAS R. P. Provincialis Societatis Iesu per Rheni superioris Provinciam, Auctori facta. RICQUINUS GÖLTGENS Provincialis Societatis Iesu Rheni superioris.

CUm Cursum Mathematicum, compositum a P. Casparo Schott nostrae Societatis Sacerdote, tres eiusdem Societatis Sacerdotes, quibus id commissum fuit, recognoverint, et in lucem edi posse probaverint; facultate nobis ab Admodum Reverendo P. N. Gosvvino Nickel Praeposito Generali communicata [orig: communicatâ] concedimus, ut idem typis mandetur. In cuius rei fidem has litteras manu nostra [orig: nostrâ] subscriptas, et sigillo nostro munitas dedimus: Herbipoli 27. Iunii, 1660.

FACULTAS R. P. Provincialis Societatis Iesu per Rheni Superioris Provinciam, Bibliopolae facta. RICQUINUS GÖLTGENS. Provincialis Societatis Iesu Rheni Superioris.

EGo Ricquinus Goltgens, Societatis Iesu per Rheni Superioris Provinciam Praepositus Provincialis, potestate mihi ab Admodum Reverendo P. N. Gosvvino Nickel Praeposito Generali concessa, facultatem do Heredibus Iohannis Godefridi Schonvvetteri, suis sumptibus excudendi P. Caspari Schott e Societate Nostra Cursum Mathematicum. In Cuius rei fidem hoc ei testimonium, manu nostra subscriptum, et sigillo nostro munitum dedimus. Herbipoli 27. Iunii, 1660.

LIBER I. ISAGOGE MATHEMATICA, Sive Brevis Introductio in omnes Mathematicas Disciplinas. PROOEMIUM.

[note: Alae Mathematicae sunt Arithmetica et Geometria. ] DVo sunt, quae ad Mathematicae adyta penetranda tam sunt necessaria Tyroni, quam avi ad volandum alae, magno etiam Platone adstipulante; Arithmetica scililet, et Geometria, ijs maxime libris, quae Elementa Euclidis appellantur, contenta. Quae duo qui ignoraverit penitus, non solum ad Mathematicae sublimia non pertinget unquam, sed nec passum ullum in ea cum fructu provehetur. Haec igitur ante omnia et mihi pertractanda diligenter, et Tyroni non segniter sunt addiscenda. Sed utrique praemittere [note: Isagoge mathematica. ] placuit sequentem Isagogen, omnibus Mathematicae speciebus, quae plurimae sunt, aeque communem. Quod eo facio libentius, quoniam experientiâ edoctus scio, illam non Tyronibus modo et Mathematicae Candidatis, sed alijs etiam in ea scientia non mediocriter provectis, accidere gratissimam. Adde quod qui non posset, aut non vellet Euclidis Elementa, de qubus lib 3. agetur, addiscere, et tamen aliqualem saltem progressum in reliquis subsequentibus facere; necessario scire debet quae hujus Isogoges continentur cap. 3 et 4. Accedit et hoc commodi, quod in Euclidis Elementis tradendis non erit necessarium, terminorum et praxium explicationes interserere, et Auctoris textum interrumpere. Quatuor autem capita continebit Isagoge: in primo disseretur brevissme de Mathematicae natura et objecto: in secundo variae Mathematicarum disciplinarum divisiones adsignabuntur: in tertio explicabuntur Termini seu vocabula in Mathematicis scientiis usitatiora et frequentius occurrentia: in quarto Praxes nonnullae Mathematicae magis necessariae, et saepius obviae (sine tamen demonstrationibus, quas tertio libro, in quo de Euclidis Elementis, reservo) tradentur. Addi deberent Effata seu Axiomata, apud Mathematicos recepta; sed ea dabimus initio Elementorum Euclidis in Libro 3. sequente. Poterit Tyro prima duo capita omittere; imo et sine reliquis duobus poterit ad Arithmeticam practicam pergere, et posteam ad hanc Isagogen redire.

CAPUT I. De Etymo, Obiecto, et Natura Mathematicae.

[note: Mathematicae etymon [correction of the transcriber; in the print tymon]. ] MErito mirantur nonnulli, cur inter omnes humanas divinasque scientias, sola illa, quae circa quantitatem terminatam, tanquam circa proprium, ac sibi peculiare objectum versatur, communiterque a primis jam saeculis Mathematica appellatur, hoc sibi nomen; quod aliis commune esse debebat, tanquam proprium usurpet, non vulgi errore, sed sapientum omnium decreto. Est enim Mathematica, si nominis etymon spectes, idem ac disciplinaris scientia, a Graeco vocabulo [gap: Greek word(s)] (mathesis) vel [gap: Greek word(s)] (mathema) quorum utrumque disciplinam, et doctrinam sonatiis, qui Graecae linguae notitiam habent; quae quidem nomenclationes omnibus scientiis merito conveniunt, cum et doceantur a magistris, et a discipulis discantur. Duas potissimum hujus usurpationes causas apud probatos Auctores reperio; alteram Pythagoreorum atque Platonicorum, sed impiam ac falsam, utpote in falso et impio de metempsychosi dogmate fundatam; alteram veram, et doctis probatam, putantium ideo scientiam illam prae caeteris nomen doctrinae ac disciplinae sibi vendicare, quod sola modum rationemque scientiae, si more Philosophis usitato loquendum sit, retineat. Procedit enim semper ex praecognitis principiis vel per se notis, vel evidenter probatis ad conclusiones demonstrandas (quod proprium est munus atque officium scientiae) neque unquam aliquid non evidenter demonstratum assumit, ut suis locis apparebit. Quod quidem alias scientias non semper observare videmus, cum plerumque in confirmationem eorum, quae ostendere volunt, non nisi probabiliter stabilita adducant. Nec tamen displicet Alstedij etymologia, dictam videlicet Mathemsin seu Mathematicam, [gap: Greek word(s)] , sive quod omnium fuerit olim discenda in scholis Graecorum; sive quod non omnibus sit obvia, sed iis tantum, qui diligenter discunt; sive quod nos reddat aptos ad discendum; sive denique quod diligenter sit discenda.

Objectum Mathematicae quod attinet, in confesso apud omnes est, quantitatem terminatam id esse, (ut jam insinuavi) tam continuam, quam discretam. Versatur enim circa numeros numerabiles; varieque inter se, et cum aliis numeris comparabiles, et circa lineas, superficies, et corpora, prout varie terminantur, et varias figuras induunt, angulos inquam, triangulos, circulos, prismata et similia, de quibus in sequentibus. At non omnes Mathematicae partes, seu species eodem modo circa quantitatem hanc versantur, sed quaedam contemplantur illam ab omni materia sensibili, non tamen intelligibili abstractam: neque enim considerant numerum prout in hac vel illa re, v. g. in pecunia, in plantis, in hominibus, in Angelis reperitur, nec triangulum, circulum, et similia, quatenus in auro sunt, aut in ligno, in lapide, in ferro. Aliae vero eandem quantitatem considerant materiae immersam, ut quae versantur circa motum coelestium corporum, circa visuales radios, aliaque multa, ut mox patebit. Hinc variae oriuntur Mathematicarum Disciplinarum divisiones, de quib. sequenti capite.

[note: Eiusdem definitio. ] Ex dictis colligitur, quae sit Mathematicae essentia seu natura; est quippe scientia tractans de quantitate terminata, eaque vel a sensibili materia abstractâ, vel eidem immersâ.

CAPUT II. De variis Mathematicarum Disciplinarum divisionibus.

[note: Mathematica divisiones variae. ] VArij varias afferunt. Nonnullas breviter recitabo, deinde meam insinuabo; diutius enim huic rei in ipso li mine inhaerere, est Tyronibus tenebras affundere. Anti quissimi Philosophi ac Mathematici Pythagorei, Proclo teste l. 1. Commentar in Euclid. c. 12. quos deinde secuti sunt reliqui propemodum omnes, distribuerunt Mathematicas disciplinas universas in quatuor partes, Arithmeticam, Musicam, Geometriam, et Astronomiam. Nec sine fundamento. Cum enim quantitas, circa quam versantur, duplex sit, discreta nimirum et continua, seu multitudo et magnitudo; et utraque considerari possit dupliciter, secundum se scilicet, et comparatione ad aliud: visum illis fuit consentaneum, juxta quadruplicem illam quantitatis considerationem, quadruplicem constituere Mathematicae speciem. Illam igitur speciem, quae quantitatem discretam, seu numerum, considerat secundum se, inquirendo et explicando numerorum proprietates et passiones; appellarunt Arithmeticam, hoc est, scientiam de numeris. Quae eandem quantitatem discretam seu numerum in comparatione ad aliud considerat, nimirum ad sonum, contemplando numerum sonorum, seu sonum numerosum atque harmonicum; appellarunt Musicam. Quae quantitatem continuam secundum se considerat. Geometriam: quae andem comparatam ad aliud, nempe ad motum, seu ut mobilis est, contemplatur, Astronomiam appellarunt.

Alij cum Gemino antiquissimo Geometra, eodem Proclo teste loc. cit. c. 13. dividunt omnes Mathematicas Disciplinas in duas classes, quarum altera continet puras, altera non puras, seu mixtas. Puras appellant, quae versantur circa quantitatem terminatam ab omini materia sensibili abstractam: non puras vero, quae circa quantitatem terminatam materiae sensibili concretam versantur. Prioris generis statuunt duas tantum, Arithmeticam et Geometriam, quarum prior discretam, posterior continuam quantitatem considerat: posterioris vero generis constituunt sex, Mechanicam, Astrologiam, Perspectivam, Geo daesiam, Canonicam, et Supputatricem. Singularum explicationes, subditiones, et officia, lege apud Proclum, et apud Christoph. Clavium in Prolegom. Comment. ad Elem. Euclid. Easdem nos in sequentibus explicab. suis locis.

Adrianus Romanus in Mathesi Polemica dividi[?] Mathesin in principem, et mechanicam. Principem in puram, et mixtam. Puram in universalem, et specialem. Universalem in logisticam, et primam mathesin. Specialem in Arithmeticam, et Geometriam. Mixtam in Cosmographiam, Ouranographiam, Geographiam, Astronomiam, Chronologiam, Geodaesiam, Opticam, Euthymetriam, Musicam, Mechanicam in Sphaeropaejam, Manganariam, Mechanopoeticam, Organopoeticam Automatopoeticam. Singula membra varie ac fuse subdividit, et explicat. Legat ipsum qui volet.

P. Paulus Guldinus in principio lib. 1. de Centro gravitatis, dividit omnes Mathematicas scientias, in puras, et mixtas puris subalternatas; et utrasque in speculativas et practicas. Puras dividit in Arithmeticam, Geometriam, et Algebram ex Arithmetica et Geometria compositam. Harum singulas varie iterum subdividit. Mixtas partitur in quatuor velut praecipuas, Opticam nimirum, Staticam, Musicam et Astronomiam. Harum quoque singulas

varie iterum ac prolixissime subdividit, et valde exoticis nominibus afficit, quae nimis longum esset recitare. Ipsum adeat qui volet.

P. Honoratus Fabry tom. 1. Phylosophiae lib. 1. c. 1. art. 4. dividit easdem cum antiquis in puras. et non puras. Purarum statuit duas species, Geometriam, et Arithmeticam. Geometriam subdividit in tres partes, Elementarem considerantem praecipue Elementa Euclidis, Trigonom etriam versantem circa plana, et Stereometriam versantem circa solida. Arithmeticam partitur in quinque partes: Elementarem, explicantem praxes et demonstrationes operationum cardinalium Arithmeticae practicae, tum in numeris integris, tum in fractis: Analogicam, explicantem ac demonstrantem regulas proportionum, societatum, alligationis, positionum, progressionum: Logisticam, tractantem de sinubus, tangentibus, secantibus, logarithmis: Figuratam, tractantem de analysi et genesi polygonorum, et potestatum: Analyticam, divisam in zeteticem, poristicem, et exegeticem. Non puras dividit in Geometriam practicam, Arithmeticam supputatricem, Astronomiam. Opticam, Staticam, et Musicam. Harum singulas iterum varie subdividit.

Omitto divisiones Alstedii, Heinlini, Abdiae Trevv, Metii, Herigonii, Rami, Stevini, Merseni, et aliorum passim.

[note: Nostra divisio. ] Ego totam Mathesin, quae infinita paene est, ita breviter ac ruditer distribuo in membra. Mathesis omnis versatur circa quantitatem terminatam, vel discretam, vel continuam: item vel abstractam a materia sensibili, vel ipsi concretam, id est, materiis physicis accommodatam: item vel speculative, vel practice. Quae circa discretam et a materia abstractam versatur, id est, circa numerum secundum se consideratum, dicitur Arithmetica: speculativa quidem, si speculative tantum considerat numeros, eorumque proprietates: practica vero, si practice eosdem considerat. Utraque Arithmetica habet varias alias subdivisiones, ut videbimns in libro secundo. Quae circa eandem discretam materiae immersam, scilicet circa numerum sonorum seu harmonicum versatur, dicitur Musica, seu speculativa, seu practica, prout speculative aut practice circa eum versatur. Quae circa continuam quantitatem occupatur, sed a materia sensibili abstractam, sive speculative, sive practice: Geometria ex Mathematicorum usu nuncupatur, aut speculativa, aut practica. Quae circa eandem continuam, sed corpori aut qualitati alicui concretam versatur, dividitur in plurimas species, quarum universaliores, ac velut summa capita sunt Astronomia, Mechanica, Optica, et Musica. Harum quaelibet in alias paene in numeras subdividitur, ut suis locis videbimus.

CAPUT III. De Terminis seu Vocab. Mathematicis

[note: Termini seu vocabula mathematica. ] Ermini Mathematici, qui hoc capite explicantur, spectant fere ad solas illas species, quae circa cotinuam quantitatem versantur. Alii qui ad species circa discretam versantes pertinent, suis locis explicabuntur, non enim nisi ad illas solas necessarii sunt.

Articulus I. De puncto, linea, superficie, et corpore; eorumque varia divisione.

[note: Punctum. ] PUnctum Mathematicum est, quod nullas habet partes quanticatis, nempe neque longitudinem, neque latitudinem, neque profunditatem. Euclides ita definit: Punctum est, cujus pars nulla est.

[note: Linea. ] 1. Linea est quantitas continua, habens longitudinem, sine latitudine, et profunditate. Concipitur creari ex fluxu puncti, vestigium post se relinquentis. Talem repraesentant figurae prima,

secunda et tertia. Dico; repraesentant, quia revera lineae non sunt, cum latitudinem habeant.

3. Dividitur linea in terminatam, et interminatam. Illa hal et terminos seu extrema, haec minime. Termini lineae sunt puncta. Linea terminata dividitur inrectam, curvam, et mixtam.

[note: Linea recta, curva et mixta. ] 4. Linea recta est, quae ex aequo sua interjacet extrema puncta; id est, quae ita aequaliter extenditur inter extrema sua puncta; ut nihil sit in ea flexuosum. Talem repraesentat pilus aut filum tenue summa vi extensum; talemque crearet punctum fluens recta per brevissimam inter duo puncta viam, ita ut in nullam partem deflecteret, prout apparet in 1. figura. Recta linea dicitur ope Regulae seu Amussis exacte fabricatae, de qua infra cap. 4.

5. Linea curva est, quae non ex aequo jacet seu extenditur inter sua extrema puncta. Talem repraesentat 2. figura,

6. Linea mixta est, quae componitur ex recta et curva. Talem repraesentat 3. figura.

7. Curvarum linearum sunt quam plurimae species, nempe Circularis, Elliptica, Helica seu Spiralis plana, Spiralis cylindrica, Spiralis conica, Spiralis sphaerica, Parabolica, Hyperbolica, et aliae multae, quas suis locis explicabimus.

[note: Superficies. ] 8. Superficies est quantitas continua, habens longitudinem et latitudinensine profunditate. Talem repraesentat figura 4. Dividitur in terminatam,

et interminatam. Illa habet terminos, haec minime. Superficiei terminatae extrema seu termini sunt lineae, vel linea. Terminata superficies subdividitur in planam, curvam, et mixtam ex utraque.

[note: Superficies plana, et curva. ] 9. Superficies plana est (intellige, terminata) quae ex aequo suas in terjacet extremas lineas; ita nimirum, ut mediae partes ab extremis sursum deorsumve subsultando non recedant. Talem repraesentat folium chartae delicatissimae summâ vi extensum; talemque crearet linea recta, fluens in transverum per brevissimam inter duas lineas viam, ita ut nihil haberet eminens, nihil lacunosum, nihil inaequale. Solent Mathematici superficiem planam appellare absolute planum; unde quando loquuntur de plano sine addito, intelligendum id est de superficie plana.

10. Superficies curva est, quae non ex aequo jacet inter suas extremas lineas. Hujus multae sunt species, nempe spherica, conica, cylindrica, etc. Omnes dividuntur in convexas, et concavas. Convexa est exterior alicujus sphaerae, cylindri, coni, etc. superficies. Concava est interior eorundem corporum, si intus cava sunt. Quid sit sphaera, cylindrus, conus, etc. dicetur infra, Artic. V.

[note: Corpus. ] 11. Corpus, sive solidum, est quantitas continua, habens trinam dimensionem, nempe longitudinem, latitudinem, et profunditatem. Termini sive extrema corporis (intellige, finiti ac terminati) sunt superficies, vel vna, vel multiplex. Varias corporis divisiones afferemus infra, Art. V.

Articulus II. De linearum inclinationibus, sive de angulis planis.

[note: Angulus planus. ] ANgulus planus est duarum linearum in plano se mutuo tang entium, et non in directum jacentium alterius ad alteram inclinatio. Tales sunt omnes figurae a 5 usque ad 12 inclusive. Haec definitio

non est formalis, sed causalis, quia inclinatio linearum in plano non est angulus planus, sed efficit angulum planum. Sensus definitionis est hic. Quando

duae line ae, sive rectae, sive non rectae, in plana aliqua superficie invicem concurrunt ita, ut non in directum jaceant, sed una ad alteram inclinetur; efficitur angulus planus, id est, in plana superficie constitutus. Tunc autem dicuntur duae lineae non in directum jacere, sed una ad alteram inclinari, quando alterutra earum post concursum ulterius in directum protensa non concidit cum altera ita, ut unam cum ipsa efficiat lineam (prout facit linea AB, concurrens cum linea CB, in prima et secunda figura supra positis) sed vel eam secat, ut fit in lineis DE, FE; vel certe statim post punctum concursus ab ea recedit, ut fit in lineis PQ. RQ; et quotiescunque duo circuli se contingunt, vel etiam quando linea recta tangit circulum, ut apparet in circulis IL tangentibus sese in puncto L; et in linea GH, tangente dictos in punctis I. Lineae porro angulum constituentes, vocantur crura seu latera anguli.

2. Anguli hactenus explicati appellantur plani seu superficiales, ad differentiam angulorum sphaericorum in superficiebus sphaericis descriptorum; et angulorum solidorum constitutorum in corpore seu solido. De utrisque suo loco. Formalis definitio anguli plani sic formari posset: Angulus planus est super ficies in uno puncto collecta, et duabus lineis ad se invicem inclinatis utrimque terminata.

[note: Angulus inciden tiae et contactus. ] 3. Quando duae lineae ita concurrunt in plana superficie, ut vel de facto se mutuo intersecent, vel si post concursum protenderentur, se mutuo intersecarent; constituunt angulum incid entiae: quando vero tantum se mutuo tangunt, constituunt angulum contactus. Primi generis sunt anguli DEF, secundi generis anguli PQR, et GI, HI, LL, in figuris positis.

[note: Angulus rectilineus curvilineus et mixtus. ] 4. Omnis angulus planus constituitur aut ex duab lineis rectis, aut ex duab. curvis, aut ex recta et curva. Quando fit ex duab. rectis, vocatur angulus rectilineus; quando ex duabus curvis, curvilineus; quando ex recta et curva, mixtus seu mixcilineus vocatur, Rectilineum exhibent figurae 6, et 7, curvilineum 8, 9, et 10, mixtilineum 5. 11, et 12.

[note: Angulorum quantitas unde sumatur. ] 5. Anguli cujusvis mensura seu quantitas consistit in sola inclinatione unius linear supra aliam, non vero in longitudine linearum: nam lineae longius excurrentes ab inclinatione sicut non augent suam inclinationem, ita neque anguli magnitudinem. Penes quid autem sumatur angulorum quantitas, postea dicemus Artic. sequente nu. 17. ubi etiam definiemus, quinam anguli censeantur aequales, qui inaequales.

[note: Angulus per litteras quomodo exprimatur. ] 6. Quando Mathematici volunt denotare seu verbis exprimere angulum alicubi constitutum, utuntur plerumque trib. litteris Alphabeti, quarum illa quae enuntiatur secundo loco, denotat angulum de quo loquuntut. Sic in praecedentibus figuris angulum constitutum ad punctum E, appellantangulum DEF, aut FED; et angulum costitutum ad punctum Q. appellant angulum PQR, vel RQP. Faciunt hoc, quia saepe ad idem punctum sunt constituti plures anguli, unde si unica uterentur littera, nesciretur de quo angulo sermo esset, ut patet ex sequentibus figuris 14, et 15, ubi littera A potest signisicare angulum B

AC, et angulum DAC. Quando tamen ad unum punctum concursus linearum est constitutus unus tantum angulus, ut in seqq. figuris 16, 17 et 18, in punctis B, C, et D; possunt et solent uti unicâ litterâ.

[note: Linea perpendicularis ] 7. Quando una linea recta ita insistit alteri lineae rectae, ut non magis inclinet in unam partem, quam in alteram; dicitur ipsi insistere perpendiculariter, vocaturque linea perpendicularis. respectu alterius lineae cui insistit, et anguli quos hinc et inde constituit, talis, linea alteri insistens, appellantur anguli recti. Quando vero linea recta insistens alteri lineae rectae inclinat magis in unam partem quam in alteram, nullum constituit angulum rectum, sed unum majorem recto, et alterum minorem recto. Et major quidem recto vocatur angulus obtusus, minor vero recto acutus.

[note: Angulus rectus, acutus et obtusus. ] 8. Itaque angulus rectilineus triplex est, rectus obtusus, et acutus. Rectus est, quem efficiunt duae lineae rectae perpendiculariter sibi mutuo insistentes. Tales sunt anguli ad punctum A in figura 14. sive anguli BAC, DAC, facta a lineis BD, CA, Obtusus est, qui est major recto. Acutus est, qui est minor recto. Hos duos angulos efficiunt, vel potius continent lineae non perpendiculariter sibi mutuo insistentes, ut sunt in figura 15 lineae EG, FA, efficientes angulos EAF, FAG, quorum prior est obtusus, posterior acutus.

9. Non tantum efficitur angulus rectus, aut obtusus, aut acutus, quando una linea ita cadit supra aliam, ut fit in fig. 14, et 15. sed etiam quando se mutuo tangunt in extremitatib. ut fit in figuris 16,

17, et 18. Hinc fit, ut recta AB in fig. 16 dicatur etiam perpendicularis rectae BC, et vicissim recta BC in eadem figura dicitur perpendicularis rectae AB. Et ratio est, quia se alterutra, aut utraque protenderetur ultra punctum B, altera non inclinaret

magis in unam alterius partem quam in alteram. Ob contrariam rationem reliquae in figuris 17, et 18, non dicuntur perpendiculares.

[note: Anguli deinceps. ] 10. Quando una linea ita cadit supra aliam lineam, ut efficiat duos angulos, unum ex una parte, et alterum ex altera, ut fit in figuris 14, et 15, tunc anguli qui fiunt hinc et inde ad punctum incidentiae, dicuntur esse deinceps, eo quod unus sit post alium. Et quidem si anguli deinceps sunt inter se aequales (quod tunc contingit, quando una linea cadit supra alteram perpendiculariter) quales sunt anguli ad Ain figura 14; tunc uterque vocatur et est angulus rectus. Unde e contrario quando duo anguli deinceps sunt recti, necessario sunt inter se aequales, et linea illos efficiens dicitur perpendicularis. Quando vero anguli deinceps non sunt inter se aequales, ut in figur. 15 tunc neuter illorum est rectus, et lineae illos constituentes non dicuntur perpendiculares invicem.

Articulus III. De figuris planis Curvilineis, et praecipue de Circulo.

[note: Terminus apud mathematicos quid sit. ] TErminus est, quod alicujus extremum est. Tale est punctum respectu lineae, linea respectu superficiei, superficies respectu corporis, ut ex supra dictis patet.

[note: Figura mathematica. ] 2. Figura est, quae sub aliquo, vel aliquibus terminis comprehenditur. Itaque licet linea finita habeat terminos; nempe extrema puncta, tamen non est figura Mathematica, prout hic sumitur nomen figurae, quia non comprehenditur, id est, non clauditur aut circumdatur a suis terminis.

[note: Figura plana. ] 3. Figura dividitur in planam, et solidam. Planae figurae sunt superficies terminatae, id est, lineis aut lineâ comprehensae. Solidae vero figurae sunt corpora terminata, superficie aut superficiebus comprehensa.

4. Planae figurae aut sunt curvilineae, aut rectilineae. Curvilineae figurae sunt Circulus, Ellipsis, Cyssoides sive hederae folio similis, Myrthoides sive Myrthi folio similis, Hyppopeda sive equinae pedicae similis, et aliae id genus. Nos omissis omnibus aliis de solo circulo, ejusque partibus hîc agimus.

[note: Circulus. ] 5. Circulus est figura plana, sub unâ lineâ comprehensa, quae peripheria ac perimeter, hoc est, circumferentia appellatur; ad quam ab uno puncto eorum, quae intra figuram sunt posita, cadentes omnes rectae lineae, inter se sunt aequales. Itaque circulus non est linea illa circularis ambiens superficiem circularem, sed est ipsamet superficies conclusa tali linea circulari. Talis est figura 19. Aliquando tamen praedicta circularis linea vocatur circulus.

[note: Diameter ] 6. Centrum circuli est punctum illud intra circulum, a quo omnes lineae rectae ad circumferentiam ductae, sunt aequales. Tale est punctum A in eadefigur. 19.

7. Diameter seu Dimetiens circuli est recta quaecunque linea per centrum duccta, et ex utraque parte in circuli circumferentiam terminata; quae circulum bifariam secat. Tales sunt in figura 19 recta BC, DE, et aliae infinitae assignabiles.

[note: Semidiameter. ] 8. Semidiameter circuli est recta quaeceunque a centro ad circumferentiam ducta. Appellatur etiam radius circuli, ob similitudinem cum radio rotae.

[note: Semicirculus. ] 9. semicirculus est figura, quae continetur sub diametro et sub ea linea, quae de circuli circumferentia aufertur a diametro. Talis est in superiori circulo figura BDC, et DCE, et CEB, et EBD. Centrum autem semicirculi idem est cum centro circuli; eademque est utriusque dimetiens.

[note: Circuli sementum. ] 10. Sirecta linea secans circulum in duas portiones, non transit per centrum circuli, secabitur ab ea circulus non bifariam, sed in duas partes inaequales; quarum utraque dicitur segmentum circuli. Et illa quidem pars, in qua existit centrum circuli, dicitur segmentum majus; altera vero pars segmentum minus. Dicitur tamen ettiam semicirculus segmentum circuli.

[note: Circuli arcus. ] 11. Arcus cir culi est quaecunquae circumferentiae portio, praesertim si sit major aut minor quam semicircumferentia. In apposita figura 20 arcus ADC est minor qua semicircu~ferentia, arcus vero ABC major, quia linea AC non transit per centrum O circuli.

[note: Circuli chorda. ] 12. Chorda est quaecunquae recta linea quae arcum aliquem in circulo subtendit. Talis est recta AC in praedicta figura 20. Appellatur etiam subtensa.

[note: Circuli sector. ] 13. Sector circuli est, cum a circumferentia circuli ad centrum ipsius ducuntur duae semidiametri constituentes angulum in ipso centro. Talis est in praecedenti circulari figura FOE.

[note: Circuli divisio. ] 14. Omnis circulus, sive magnus, sive parvus, dividitur a Mathematicis in partes 360. quas ipsi gradus appellant; quilibet vero gradus subdividiturin alias 60 partes, quas appellant minura sive scrupula prima; et quodlibet minutum primum subdividitur in 60 minuta secunda; et quodlibet secundum in 60 tertia; et sic ulterius, quousque libuerit, aut opus fuerit. Ita semicirculus continet gradus 180; quarta vero pars seu Quadrans circuli continet gradus 90; et quilibet arcus circuli continet aliquot gradus, aut graduum partes, plures aut pauciores, prout fuerit magnus aut parvus iste arcus.

[note: Circuli quadrans ] 15. Si in circulo quocunque ducantur duae diametri secantes se ad angulos rectos, hoc est, insistentes sibi mutuo perpendiculariter; dividitur circulus in quatuor aequales partes, quae propterea appellantur quadrantes, sive quartae circuli; quas diximus continere 90 gradus.

[note: Anguli ad centrum circuli. ] 16. Quotiescunque a circumferentia circuli ad centrum ducuntur duae semidiametri constituentes augulum in centro, arcus circumferentiae, totumque spatiuminter duas semidiametros contentum, complectitur aut gradus, aut graduum partes. Et quidem si continet gradus 90 praecise, angulus ille ad centrum constitutus, est rectus: si contineat plures quam 90, angulus est obtusus: [note: Anguli recti omnes sunt inter se aequales. Angulus quilibet quantus esse dicatur. ] si pauciores quam 90, angulus est acutus Omnes itaque anguli recti sunt inter se aequales, quia omnes continent gradus 90 praecise.

17. Quotiescunque duae lineae rectae constituunt angulum, potest ex puncto concursus describi inter duas illas rectas lineas angulum constituentes arcus; qui arcus necessario continet gradus, aut minuta graduum ex illis 360, in quos divisibilis est circulus, si ex arcu illo circulus compleretur. Tantus autem dicitur a Mathematicis esse

angulus ille, quantus est arcus inter duas lineas, anguli constituentes comprehensus, hoc est, tot graduum aut minutorum est ille angulus, quot graduum aut minutorum est arcus inter lineas angulum constituentes contentus. Quare si arcus praedictus continebit grad. 90, angulus erit graduum 90, hoc est, rectus: si arcus continebit plus quam 90. gradus, angulus erit major recto, ac proinde obrusus: si arcus continebit minus quam 90 gradus, angulus erit minor recto, ac proinde acutus. Verbo, tantus erit angulus, quantus arcus, hoc est, tot graduum erit angulus, quot graduum erit arcus.

[note: Anguli mensura quaenam sit. ] 18. Quantitasigitur seu mensura anguli cujuscunque desumitur a quantitate arcus comprehensi inter duas lineas angulum constituentes, si ex puncto concursus tanquam ex centro describatur circulus (sive parvus, sive magnus) cujus circumferentiae pars aliqua comprehendatur a duabus illis lineis; quot enim gradus aut minuta continet praedictus arcus, tot graduum aut minutorum dicetur esse ille angulus. Hinc patet, illos angulos dici inter se aequales, qui aequales numero gradus aut minuta continent; illos vero majores, aut minores, qui plures aut pauciores gradus et minuta comprehendunt. Quomodo autem cognoscatur, quinam anguli sint inter se aequales, qui inaequales, dicetur cap. sequenti.

Articulus IV. De figuris planis rectilineis.

[note: Figurae planae rectilineae. ] Rectilineae figurae sunt, quae sub rectis lineis continentur. Trilaterae quidem, quae sub tribus lineis rectis; Quadrilaterae vero, quae sub quatuor; Multilaterae autem, quae sub pluribus quam quatuor rectis lineis comprehenduntur.

[note: Earum species. ] 2. Tres igitur sunt species figurarum planarum rectilinearum. Prima continet figuras quae clauduntur tribus lineis velut lateribus; et sub hac [note: Triangulum rectilineum. ] continentur omnia triangula; nam figura habens tria latera, necessario habet tres angulos. Triangulum ergo rectilineum nihil aliud est, quam figura plana rectilinea, tribus rectis lineis seu lateribus comprehensa. Secunda continet figuras quae clauduntur quatuor lineis velut lateribus, et sub hac continentur omnia quadrangula; nam figura habens quatuor latera, habet etiam quatuor angulos. Tertia continet figuras quae clauduntur pluribus lineis quam quatuor; et sub hac continentur omnia Quinquangula, Sexangula Heptangula, Octangula, et infinitae; aliae figurae plurium laterum, quae omnes uno generali vocabulo appellantur Multilaterae, et Multangulae, graece Polygonae universaliter, et in particulari Pentagonae, Hexagonae, Heptagonae, Octogenae, etc.

[note: Trianguli rectilinei species tres aequilaterum, isosceles, Scalenum. ] 3. Trilaterae sive Triangulae figurae possunt considerari et ratione laterum, et ratione angulorum, Ratione laterum dividuntur in tres species, eo quod tria latera tribus modis sese possint habere. Aut enim omnia aequalia sunt; aut duo tantum, tertio existence vel majore, vel minore; aut omnia inaequalia. Si omnia tria latera sunt aequalia, constituitur triangulum aequilaterum, seu Isopleurum, ut Graeci appellant: Si duo tantum sunt aequalia, triangulum Isosceles: Si omnia inaequalia, triangulum Scalenum. Itaque AEquilaterum triangulum est, quod tria latera habet aequalia; quale est figura 21. Isosceles triangulum est, quod duo tantum aequalia habet latera; quale est figura 22. et 23. Scalenum triangulum est, quod tria inae qualia habet latera; quale est fig. 24

4. Omne triangulum habens tria latera aequalia, habet etiam tres angulos aequales: et omne triangulum habens duo latera aequalia, habet etiam duos angulos aequales: et omne triangulum habens tria latera inaequalia, habet etiam tres angulos inaequales. Potuisset itaque dividi triangulum ratione angulorum in tres species ita, ut prima contineret triangula aequiangula, sive trium, angulorum aequalium, secunda, duorum aequalium angulorum; tertia omnium angulorum inaequalium.

5. Ratione angulorum eaedem trilaterae figurae dividuntur in tres alias species. Nam aut unus angulus trianguli est rectus, ac proinde reliqui acuti, ut ex lib. 3. Elementor. Propos. 17. patebit; aut [note: Triangulum rectangulum, ob tusangulum, acutangulum. ] unus est obtusus, ac proinde reliqui similiter acuti; aut nullus rectus, nullusque obtusus, sed omnes acuti. Quando triangulum aliquod habet unum angulum rectum, vocatur Rectangulum; quando habet unum angulum obtusum, vocatur Obtusangulum; quando denique habet omnes tres acutos, vocatur Acutangulum. Primum vocatur graece Orthogonium, secundum Amblygonium, tertium Oxigonium. Itaque Rectangulum triangulum est, quod rectum angulum habet; Obtusangulum, quod obtusum habet angulum; Acutangulum quod tres habet acutos angulos. Figura 24 exhibet Rectangulum, reliquae Acutangulum.

6. Nullum triangulum, ut jam insinuavi, potest habere plures angulos rectos, aut obtusos, quam unum: nec unm rectum, et alterum obrusum. Itaque in aliquo triangulo unus angulus est rectus, aut obtusus, reliqui duo sunt necessario acuti.

[note: Trianguli basis. ] 7. Quotiescunque in aliquo triangulo expresse nominantur aut designantur duo quaecunque latera, solet reliquum tertium latus appellari a Mathematicis basis, sive illud in situ inferiorem occupet locum, sive superiorem, sive dextrum, sive sinistrum. Ordinarie tamen in triangulis latus illud, quod est horizonti parallelum, vocatur [note: Trianguli rectanguli hypothenusa. ] basis; et latus quod perpendiculariter insistit huic basi, appellatur Cathetus; latus denique quod subtendit angulum rectum, appellatur hypothenusa graece, latine subtensa.

[note: Quadratum. ] 8. Quadrilaterarum figurarum quinque sunt species, Quadratum, Oblongum, Rhombus, Rhomboides et Trapezium. Quadratum est, quod et aequilaterum, et rectangulum est, hoc est, quod habet omnia latera aequalia, et omnes angulos [note: Oblongam. ] rectos. Tale est figura 26. Oblongum est, quod

rectangulum quidem est, at aequilaterum non est; habet tamen duo quaelibet opposita latera aequalia.

Appellatur etiam Figura altera parte longior. [note: Rhombus. ] Talis est figur. 27. Rhombus est, qui habet omnia latera aequalia, sed angulos non rectos, habet tamen duos quoslibet oppositos angulos aequales. [note: Rhomboides. ] Talis est figura 28. Rhomboides est, qui neque

aequalia habet omnia latera, neque angulos rectos; habet tamen adversa et latera, et angulos [note: Trapezium ] aequales. Talis est figura 29. Trapezium est quaecunque figura quadrilatera a praedictis distincta. Tales sunt figura 30, 31, 32. Trapeziorum tres

sunt species, isosceles, scalenum, et irregulare. Trapezium isosceles est, cujus duo latera opposita sunt parallela, reliqua duo non quidem parallela, sed inter se aequalia. Scalenum, quod duo latera parallela habet, reliqua inaequalia. Irregulare, cujus nulla latera sunt parallela.

[note: Parallelogrammum. ] 9. Parallelogrammum est figura quadrilatera, cujus bina opposita latera sunt parallela, hoc est, cujus extremae lineae rectae figuram in oppositis lateribus terminantes, sunt parallelae. Tales sunt figurae 26, 27, 28, et 29.

[note: Parallelae lineae. ] 10. Parallelae autem rectae lineae sunt, quae cum in eodem sint plano, et ex utraque parte in infinitum producantur, nunquam concurrunt ita ut faciant angulum. Tales sunt quaelibet duae oppositae lineae in praedictis quatuor parallelogrammis.

11. Quatuor solum sunt parallelogramma, Quadratum, Oblongum, Rhombus, et Rhomboides. Priora duo vocantur rectangula, eo quod omnes angulos habeant rectos; posteriora vero duo non rectangula vocantur, eo quod nullus in iis angulus sit rectus.

[note: Figurae rectilineae regulares et irregulares. ] 12. Figurae planae rectilineae sunt vel ordinatae seu regulares, vel inordinatae seu irregulares. Primi generis sunt illae, quarum omnia latera, et omnes anguli sunt ae quales inter se. Hujusmodi in singulis speciebus non sunt plures unâ; nempe in triangulis triangulum ae quilaterum, in quadrangulis quadratum, in multangulis Pentagonum, hexagonum, etc. aequalium laterum. Secundi generis sunt reliquae omnes figurae.

[note: Triangulum est prima et simplicissima figurarum planarum. ] 13. Omnium figurarum planarum prima ac simplicissima est triangulum, quia non est composita ex aliis prioribus et simplicioribus, nec in alias priores et simpliciores resolvi potest; reliquae vero omnes et ex ipso oriuntur, et in ipsum resolvuntur, ut consideranti patet.

[note: Figura isoperimetra ] 14. Isoperimetrae planae figurae sunt, quae aequalis sunt ambitus, sive homogeneae aedem fuerint, hoc est, ejusdem rationis ac nominis, ut triangula, ut quadrangula etc. sive heterogeneae. Sic triangulum, quadrangulum, multangulum, circulus, etc. Quorum cujuslibet ambitus est v. g. palmorum 12. dicuntur isoperimetrae ad invicem figurae.

[note: Figurae aequialtae. ] 15. Figurae aequialtae sunt, quae in eisdem parallelis consistunt, vel constitui possunt: seu quarum perpendiculares a vertice ad basim demissae, sunt aequales: altitudo enim figurae rectilineae est perpendicularis a vertice ad basin. Tales sunt figurae 26 et 27, 28 et 29, 30 et 31, 32, ex constructione, ut supponitur.

[note: Figurae similes. ] 16. Similes figurae sunt, quae et angulos singulos singulis aequales habent, et latera quae circum aequales angulos sunt, proportionalia. Sic omnia triangula aequilatera, omnia quadrata; et omnes figurae rectilineae ordinatae, sive isoperimetrae sint, sive non, figurae similes sunt. Si vero alterutra conditio de est, dissimiles sunt figurae.

Articulus V. De figuris solidis.

[note: Figurae solidae. ] 1. SOlidaefigurae sunt, quae superficie, aut superficiebus comprehenduntur. Tales sunt omnes figurae quas hoc articulo describemus.

[note: Angulus solidus. ] 2. Angulus solidus est corpus, in uno puncto collectum, quod a superficiebus ad se invicem inclinatis, vel ab una superficie ad se ipsam inclinata (ut patet in cono) continetur. Omnis igitur angulus solidus, cum corpus sit, aut unâ tantum superficie, aut duabus, aut pluribus continetur. Quod si angulus solidus ex planis tantum superficiebus constet, ex tribus ad minus constabit, quia duae tantum superficies planae non possunt constituere angulum solidum.

[note: Sphaerae sive Globus eiusque centrum, diameter etc. ] 3. Sphaera sive globus est figura solida, unica superficie comprehensa, ad quam ab uno puncto eorum quae intra figuram sunt cadentes rectae li neae, inter se sunt aequales. Centrum sphaerae est punctum illud in medio sphaerae, a quo ad superficiem ductae lineae, aequales sunt. Diameter sphaerae, est quaelibet recta linea per centrum ejus ducta, et utrimque a sphaerae superficie terminata. Axis sphaerae est illa diameter, circa quam immotam sphaera resolvitur. Poli sphaerae est superficies circularis secans sphaeram in duas partes ita, ut tota ipsius circumferentia applicetur exacte superficiei ipsius axis. Circulus sphaerae est superficies circularis secans sphaeram in duas partes ita ut tota ipsius circumferentia applicetur exacte superficiei ipsius sphaerae. Maximi sphaerae circuli sunt, qui dividunt sphaeram bifariam, hoc est, in duas portiones aequales, indeoque transeunt per ejus centrum. Non maximi seu minores sphaerae circuli sunt, qui dividunt sphaeram in duas portiones inaequales; ideoque non transeunt per ejus centrum. Hemisphaerium seu dimidia sphaera est figura solida, quae a dimidia sphaerae superficie, et a circulo sphaerae maximo comprehenditur. Portio major sphaerae est figura solida, quae a majori sphaerae circulo, et a parte superficiei sphaerae minori quam dimidia, continetur.

[note: Pyramis, eiusque species varia. ] 4. Pyramis est figura solida, quae planis continetur, quorum uni reliqua insistunt, et in triangula paulatim fastigiantur, donec in unum confluant punctum, uti figur. 34 monstrat. Planum illud, supra quod constituta sunt reliqua pyramidis plana, appellatur basis Pyramidis, ut est in dicta fig.

planum abcd; reliqua vero plana appellantur latera Pyramidis; et punctum in quod confluunt, quale est punctum in posita figura, appellatur vextex. Saepe tamen omnia Pyramidis plana etiam basis, dicuntur latera graece hedrae; unde Pyramis triangula, habens omnia quatuor plana aequalia, vocatur tetraedrum. Omnia igitur plana lateralia Pyramidis sem per sunt triangula, quia omnia ad unum punctum

tendentia paulatim acuminantur: basis vero pyramidis potest esse vel triangulum, vel quadratum, vel pentagonum, etc. a qua quidem tota pyramis denominationem sumit, ut videlicet dicatur pyramis triangula, quadrangula, pentagona, etc. Pyramis tetraedra est omnium solidorum planis contentorum prima et simplicissima, quia omnia corpora resolvuntur in tales pyramides, et ipsa in nullum aliud resolvi potest.

[note: Prisma eiusque species. ] 5. Prisma est figura solida, quae planis continetur, quorum adversa duo, quae bases appellantur, sunt et aequalia, et similia, et parallela; alia vero plana, quae latera appellantur, sunt parallelogramma.

[note: Plana aequalia et plana similia et parallela. ] Talis est figur. 35. et 36. AEqualia porro plana sunt, quorum eadem est capacitas: Similia vero plana sunt, quae angulos singulos singulis aequales habent, atque etiam latera quae circum aequales angulos sunt, proportionalia, juxta dicta Art. 4. num. 16. Parallela plana sunt, quae undequaque in infinitum producta, nullâ in parre conveniunt. Possunt autem bases Prismatis esse vel triangula, vel quadrangula, vel pentagona, vel hexagona, etc. Itaque Prisma nihil aliud est quam columna quaedam laterata aequalis undique crassitudinis, cujus bases oppositae sunt aequales, similes, et parallelae; sive hae sint triangula vel quadrangula, etc. Unde tot latera continebit Prisma quodlibet, quot angulos continet quaelilibet oppositarum basium. Et a basium figura, Prismadicitur vel triangulum, vel quadrangulum, vel Pentagonum, etc. Amultitudine vero omnium planorum prismatum appellatur aliud pentaedrum, aliud hexaedrum, aliud hebdaedrum, etc. pendaedrum quidem, quando basis est triangulum; hexaedrum, quando basis est quadrangulum, etc. Universaliter tamen quando basis plures habet angulos quam quatuor, et Prisma plura latera quam quatuor, appellatur Polyedrum.

[note: Parallelepipedum. ] 6. Parallelepipedum est figura solida ex planis quadrilateris contenta, quorum quaelibet duo opposita sunt parallela, et aequalia. Talis est fig. 36, et aliae similes. Vocantur hujusmodi corpora Parallelepipeda, eo quod parallelis planis contineantur. Opposita igitur parallelepipedi plana sunt semper et aequalia et similia, et parallelogramma, [note: Eius quatuor genera sunt. ] ut ex definitione colligitur. Tot vero sunt parallelepipedorum genera, quot parallelogrammorum; nempe quatuor. Si enim sex parallelogramma fuerint aequilatera, et rectangula, hoc est, quadrata; dicetur parallelepipedum illud cubus. Si autem sex parallelogramma fuerint rectangula quidem, at non omnia aequilatera, sed quatuor fuerint longiora, quam duo reliqua; appellabitur parallelepipedum oblongum, seu alterâ parte longius. Quod si sex parallelogramma extiterint aequilatera quidem, at non omnia rectangula, sed duo tantum; vocabitur parallelepipedum illud Rhombus. Si denique sex parallelogramma neque rectangula fuerint omnia, neque omnia aequilatera, quamvis duo sint rectangula et aequilatera, vel rectangula tantum, vel aequilatera tantum; parallelepipedum tale vocabitur Rhomboides. Atque ex his pater, omne parallelepipedum esse Prisima, non tamen e contra.

[note: Trapezium solidum. ] 7. Trapezium solidum est, cujus opposita plana neque parallela sunt, neque aequalia. Hujusmodi sunt omnia solida quae plana habent latera, nec tamen sunt Prismata, nec parallelepipeda.

[note: Conus, eiusque axis vertex et basis. ] 8. Conus est figura solida, quae fit ex circumvolutione trianguli rectanguli, quando nimirum rectanguli trianguli uno latere eorum: quae circa rectum sunt angulum, quiescente, ipsum triangulum tam diu circum ducitur, donec in eundem rursus locum restituatur, unde moveri coeperat. Ut si triangulum ABC, circa latus AB (quod est circa rectum angulum B)

quiescens circumducatur donec integram revolutionem expleat, describetur solida quaedam figura, quae continetur duab' superficiebus, circulari unâ, ac planâ, quam BC latus alterum circa angulum rectum motu suo describit; et curvâ aliâ, eâque convexâ, quam latus AC recto angulo oppositum delineat. Axis coni est quiescens illa linea, circa quam triangulum vertitur, nempe hîc AB. Basis coni est circulus, qui a circumducta linea describitur. Vertex coni est punctum A. Quando coni apex abscissus est, vocatur figura enascens conus truncatus. [note: Conus truncatus. ] Conus hactenus descriptus appellatur rectus, quia axis est ad basin rectus. Praeter hunc dantur Coni inclinati, seu Scaleni, quia nimirum axis est ad basin inclinatus.

[note: Cylindrus eiusque axis et bases. ] 9. Cylindrus est, quando rectanguli parallelogrammi manente uno latere eorum, quae circa rectum angulum, circumductum parallelogrammum in seipsum rursus revolvitur, unde caeperat moveri, circumassumptâ figurâ. Veluti si rectangulum parallelogrammum ABCD, circa latus AB quiescens

circum ducatur, donec integram expleat revolutionem; appellabitur figura descripta Cylindrus seu Columna rotunda, tribus superficiebus contenta, nempe duabus planis circularibus supra et infra, et unâ curvâ convexâ. Axis Cylindri est quiescens linea AB. Bases cylindri sunt bini circuli. Et hic est Cylindrus rectus, quia axis est ad bases rectus. Inclinatus est, quando axis est inclinatus ad bases.

[note: Corpora regularia et irregularia. ] 10. Corpora solida omnia, vel regularia sunt, vel irregularia. Regularia vocantur, quorum omnia plana, quibus continentur, aequalia sunt, et aequilatera, et aequiangula. Haec sunt solum quinque, Tetraedrum, Hexaedrum seu Cubus, Octaedrum, Dodecaedrum, et Icosaedrum; quae a nonnullis appellantur corpora Platonica, quod Plato [note: Corpora Platonica ] iis comparet quinque simplicia universi corpora, nempe Coelum, et quatuor Elementa.

[note: Tetraedrum Hexaedrii Dodecaedrum. Icosaedrum [correction of the transcriber; in the print Icostedrum]. ] 11. Tetraedrum est figurasolida sub quatuor triangulis aequalibus et aequilateris contenta. Hexaedrum seu cubus est figura solida sub sex quadratis aequalibus contenta. Octaedrum est figura

solida sub octo triangulis aequalibus et aequilateris contenta. Dodecaedrum est figura solida sub duodecim pentagonis aequalibus Et aequilateris et aequiangulis contenta. Icosaedrum est figura solida sub viginti triangulis aequalibus et aequilateris contenta. Figurae passim extant apud scriptores Geometricae practicae. Constructionem earundem breviter indicabimus lib. 5. part. 3. Prop. 5.

CAPUT IV. De praxibus Mathematicis.

[note: Praxes Mathematicae. ] SEquentes Praxes seu Problemata nude et sine ulla demonstratione proponam; plus enim Tyronum captus, et intentus a nobis hic finis non requirit. Subinde tamen loca ex Elementis Euclidis indicabo, ex quibus demonstrationes peti possunt, si quis illas desiderat, antequam eo legendo perveniat. Faciliora tantum, et Mathematicis operationibus, aliisque hoc opere tractandis magis necessaria seligam, ne multitudo confusionem pariat et utiliorum tractationi tempus eripiat. Ordinem servabo quem Articulorum tituli indicant. Instrumenta necessaria pro operationibus sunt, Regula, Circinus, et aliquando Gnomon seu Norma rectangula, de qna postea Praxi quinta.

Articulus I. De Praxibus spectantibus ad lineas.

[note: ] AB his incipimus, utpote simplicioribus, et a quibus caetera dependent Sequentur deinde praxes spectantes ad superficies, et corpora.

Praxis I. Lineam rectam ducere.

[note: Linea rect. quomodo ducenda. ] CUm linea Mathematica sit omnis latitudinis expers, constat talem re ipsa nunquam a nobis assignari posse, sed quascunque in quocunque plano dicimus, Physicas esse, et latitudinem aliquam habere; quibus tamen in operationibus nostris utimur pro Mathematicis. Rectas porro lineas ducere possumus variis modis, pro varia circumstantiarum ratione Hîc tres breviter subjiciam modos; quorum primus est ope Regulae, secundus ope Amussis, tertius ope radii optici seu visualis. Primo modo utimur in planis exiguis, secundo in planis longioribus, tertio in longissimis.

Primus Modus. Ope Regulae rectae

[note: ] SIt ducenda linea recta in charta, aliove plano exiguo, a puncto A ad punctum B. Pone

regulam super planum in quo ducenda est linea, ita ut latus rectum CD Regulae congruat punctis A et B; deinde stylo, cultro, calamo, circini crure, atramento, rubrica, aliove coloris genere, designa lineam juxta latus CD Regulae, et habebis intentum, si quidem dictum latus CD fuerit rectum, quod quâ ratione sciri possit, postea dicemus.

Secundus Modus. Ope Amussis funicularis.

[note: Amussis funicularis. ] AMussim funicularem hic voco funiculum tenuem, atramento aut rubricae intinctum, quo utuntur fabri lignarii in trabibus ac tabulis scindendis secundum rectam lineam. Sit igitur, ut antea (vide figuram praecedentem) designanda recta linea per puncta A et B, in trabis aut tabulae extremitatibus notata. Extende Amussim atramento aut rubricae intinctum, ab A ad B, et apprehensam in medio inter A et B eleva parumper, iterumque remitte, ut planum subjectum fortiter percutiat; et habebis lineam rectam designatam.

Tertius Modus. Ope radii visualis.

[note: Etiam in campis. ] SIt in campo aliquo plano designanda linea recta a signo A ad signum B, (vide eandem figuram praecedentem) pro dividendo aut dimetiendo agro, ducenda fossa, formanda munitione, etc. in termino A consistens cura erigi perpendiculariter ope perpendiculi baculum inter A et B, eo loco et situ, v, g. in E, ut baculus E et signum B, tibi ad A in B prospectanti, in eadem recta linea occurrant, hoc est, ut radius opticus seu visualis ab oculo ex A in B directus transeat per baculum E. Quod fiet, si socius cum baculo E inter A et B consistens tam diu ad nutum tuum accedat nunc ad dexteram, nunc ad sinistram, donec eodem radio visuali videas et baculum E et signum B. Tunc enim si ab A ad E, et ab E ad B funem extendas, et juxta funem lineam designes; habebis intentum. Possunt autem hac eâdem ratione inter A et B erigi plures baculi, si opus fuerit. Poterit praeterea adhiberi Instrumentum aliquod Dioptricum eo modo, quo dicemus in sequenti lib. 5. ubi de Geometria practica.

Praxis II Regulam examinare, num recta sit, pro ducendis lineis rectis.

[note: Regulam examinare an recta sit. ] SIt regula FG (fig. 39. cujus latus CD. examinandum, num rectum sit, nec ne; et an linea secundum illud latus ducta, sit recta, an non. Colloca Regulam supra planum aliquod ut vides, et tenuissimo stylo duc lineam secundum latus CD, a C versus D. Deinde inverte Regulam ita, ut G sit ubi F, et F ubi G, et applica idem latus CD lineae jam ductae, eodemque stylo secundum praedictum latus duc aliam lineam. Si haec posterior priori omni ex parte congruit, rectum est latus CD; sin minus, minime ac proinde corrigendum, donec fiat id quod diximus.

Praxis III. Per datum punctum, datae rectae lineae, parallelam rectam lineam ducere.

Primus Modus.

[note: Parallelam lineam ducere data linea per datum punctum ] SIt ducenda parallela ipsi BC, per punctum A. Ducatur recta AD utcunque ad BC, et ex D

duo arcus ad diversas partes, unus EF ad partes B, alcer GK ad partes DC. Deinde beneficio circini abscindatur ex arcu GK arcus GH, aequalis arcui EF. Si igitur ex A, per H, recta ducatur; erit haec parallela ipsi EC, per 27. Proposit. lib. 1. Element. Euclidis.

Secundus Modus.

[note: ] EXcentro A, ad quodvis intervallum, describatur arcus secans rectam BC. in puncto D.

Deinde eodem intervallo ex D sumatur punctum E, in eadem recta BC. Postremo eodem intervallo ex A, et E, describantur duo arcus, secantes sese in F. Nam ducta recta AF, erit parallela rectae BC, quoniam propter idem intervallum assumptum recta AF est aequalis rectae DE, et recta AD rectae EF (si ducerentur hae lineae) ac proinde AF oppositae DE parallela, per Scholium 34. Proposit. lib. 1. Elem. Euclidis.

Annotatio.

[note: ] SI punctum A sit nimis vicinum rectae BC, sic procedi potest. Ex Asumatur punctum D, in recta

BC, ad quodvis intervallum; et ex quovis puncto ejusdem rectae BC, nempe ex E, quod aliquantulum distet a puncto D (quo vero magis distat, eo melius erit) eodem intervallo describatur arcus ad partes A. Deinde ex A, intervallo DE, alter arcus descriptus secet priorem arcum in F. Recta namque, ducta AF, erit parallela rectae BC, propter eandem rationem ut prius.

Tertius Modus.

[note: ] EX A ducatur arcus, tangens rectam BC in D. Deinde eodem intervallo circini, ex quovis

puncto E rectae BC, formetur alius arcus F. Nam recta AF, ducta per A, et tangens arcum F, erit parallela rectae BC,

Si ducatur adhuc alius arcus ex D. per A transiens, accuratius ducetur parallela, si transeat per A, et tangat utrumque arcum A et F.

Corollarium. Datae rectae lineae parallelam rectam lineam ducere, ad datum vel assumptum intervallum.

[note: Parallelam ducere alteri lineae ad datum intervallum. ] EX dictis patet, quomodo datae rectae lineae parallelam rectam lineam ducere oporteat ad datum vel assumptum intervallum. Sit enim recta BC praecedentis figurae, (fig. 43.) cui ad intervallum G datum, aut assumptum ducenda sit parellela. Sumantur in BC duo puncta D et E, ex quibus ad intervallum rectae G describantur duo arcus, A et F, et ad contactum arcum ducta linea AF erit parallela desiderata. Simili ratione operandum est per alios modos Praxis praecedentis.

Quartus Modus.

[note: ] A Liter et facilime duci potest parallela alteri rectae datae, ope Gnomonis seu Normae, sive per punctum datum, sive ad libitum assumptum. Sit enim data recta BC, et

punctum A vel datum, vel assumptum. Applica Gnomonem lineae BC ita, ut unum latus congruat lineae, alterum transeat per punctum A, ut in figura apparet: et juxta punctum A nota in latere Gnomonis punctum. Deinde applica iterum Gnomonem lineae BC in loco f aliquantulum a priori loco distante, ita ut unum latus congruat lineae; et juxta punctum alteri lateri antea impressum nota in plano punctum v. g. D. Recta enim per A et D ducta, erit parallela rectae BC. Quoniam enim A e, D f, aequales sunt, et parallelae: erunt etiam BC et AD parallelae, per 31. primi.

Praxis IV. Data recta [orig: rectâ] linea, et puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare.

Primus Modus.

[note: Perpendicularem ducere a puncto dato in linea. ] SIt data recta AB, datumque in ea punctum C. Ex C, abscindantur utrinque partes aequales

CD, CE: et ex D et E describantur duo arcussupra vel infra lineam datam, secantes sese in F, ducaturque recta FC, et erit FC perpendicularis ad AB. Demonstrationem vide apud Euclidem lib. 1. Proposit. II.

Si punctum datum in linea recta fuerit extremum, aut fere extremum, producenda erit linea in directum et continuum ad partes puncti dati, si fieri potest, ut ex illo erigipossit secundum Praxin praedictam linea perpendicularis. Vt si linea data fuerit AC, in figura praecedente, et punctum datum C, protrahenda erit AC versus B, et sumendae aequales CD, CE, et operandum ut dictum.

Secundus Modus.

[note: ] SI data recta AB, punctumque in ea datum B, sive in extremo, sive non. Posito circini pede uno

v. g. usque ad C, et supra vel infra lineam AB, describe arcum Quadrante circuli majorem. Deinde eâdem circini aperturâ retentâ, pone circini pedem in C, et seca arcum in D eumque divide bifariam in G, et spatium CG, vel GD, transfer ex D in H, et duc rectam HB; quae erit perpendicularis, quia simul cum BC intercipit Quadrantem circuli.

Tertius Modus.

[note: ] Sit data linea AB, punctumque in ea A, sive in extremitate, sive non. Ex centro C extra lineam

assumpto ubi libuerit, (dummodo recta AB producta cum ipso non concurrat) intervallo vero usque ad A, describatur arcus circuli secans AB in D; et ex D, per C recta ducatur secans arcum in E. Recta enim EA ducta, erit perpendicularis ad AB, quoniam angulus A rectus est, cum sit in semicirculo, per 32. Tertij.

Non est tamen necessarium perficere totum arcum, totamque rectam DE, sed sufficit notare arculum apud D et E, et intersecare illos, positâ regulâ in C et D.

Quartus Modus. Unica [orig: Unicâ] circini apertura [orig: aperturâ] erigere perpendicularem ad datum punctum in data recta.

[note: Perpendicularem ducere unica circini apertura. ] Sit data linea AB, datumque in ea punctum B, sive in extremo lineae, sive non (dummodo

post extremum lineae supersit adhuc spatium in plano dato.) Ex B, ad libitum intervallum, fac semicirculum CDE, et circino invariato abscinde primo arcum CD, deinde arcum DE. Postea in variato adhuc circino, ex D et E fac duos arcus intersecantes se in F, eritque ducta FB perpendicularis ad AB.

Quod si magis exquisite velis ducere perpendicularem pertria puncta, aperi magis cruracircini, et ex D et E describe alios duos arcus intersecantes se supra F in G, et per GFB duc perpendicularem.

Quintus Modus.

[note: ] Sit data recta AB, datumque in ea punctum B ubicunque Ex linea recta quacunque EF, abscinde

quinque aequales partes, et primo intercipe circino tres partes, easque ex B transfer in C: deinde intercipe circino quatuor partes, easque ex B transfer in D, facto arcu: tertio intercipe quinque partes, easque ex C transfer in D, facto alio arcu intersecante priorem. Ex D puncto intersectionis, ad B duc rectam, eritque haec perpendicularis. Ratio pendet ex 47. Primi Euclid.

Idempotest fieri cum duplo, triplo, quadruplo, decuplo, etc. praedictorum numerorum, ut cum 6, 8, 10, cum 9, 12, 15; cum 12, 16, 20, cum 30, 40, 50, etc.

Corollarium. Ad datam rectam ducere perpendicularem ad punctum quodcumque assumptum.

[note: Perpendicularem ducere ad punctum quodcumque assumptum in linea. ] Si ducenda est perpen dicularis ad aliquam lineam, non quidem in puncto assignato, sed utcunque; assigna in ipsa linea punctum, et operare aliquo ex praedictis modis, aut modo sequenti.

Sextus Modus.

[note: Norma seu Gnomon rectangulus ] Modi praedicti sunt Geometrici, seu Mathematici. Potest etiam angulus rectus constitui, seu linea perpendicularis ad datam lineam erigi, et erecta examinari, mechanice ope Normae seu Gnomonis, quod est Instrumentum BAC, constans ex duabus regulis ABE, et ACF, ad

angulum rectum in A conjunctis. Applicatur enim unum latus lineae datae, ita ut punctum A respondeat puncto in linea dato, aut assignato ad libitum; et deinde juxta alterum latus ducitur recta. Vide dicta Praxi 3. praecedente in Quarto modo,

Annotatio I.

[note: ] UTporro haec recta ducta, sit vere perpendicularis, necesse est normam esse exacte constructam. Docendum ergo est, quomodo examinanda sit norma, ad explorandum num accurate sit constructa; quod fiet Praxi sequenti.

Annotatio II. Qua ratione in agris et campis designanda sit linea perpendicularis, seu angulus rectus faciendus.

[note: Perpendicularem in campis excitare. ] MOdi hactenus dicti utiles sunt ad perpendicularem lineam ducendam in chartis, alijsque planis exiguis. In agris vero et campis id fieri debet ope Instrumenti alicujus dioptrici, quale potest esse Pantometrum Kircherianum, aut Mensula Geometrica, (de quibus in Geometria Practica) si per ejus medium ducantur duae lineae rectae intersecantes sese ad angulos rectos. Si enim radius visualis dirigatur primo juxta unam, et deinde juxta aliam lineam, et in campo rectae designentur baculis fixis, modo dicto Praxi I. Modo 3. haebebitur intentum.

Praxis V. Examinare Normam, num accurate sit fabricata.

[note: Normam examinare an recta sit. ] SIt examinanda Norma Fig. praeced. BAC. Ex centro G describatur in aliquo plano arcus semicirculo major, cujusvis magnitudinis; ductâque diametro BC, ponatur Normae angulus A in aliquo puncto circum ferentiae, ut in A; latusque unum ejusdem Normae, ut AB, transeat per B punctum extremum diametri. Si tunc alterum latus Normae tranfeat per alterum punctum extremum C ejusdem diametri, rite fabricata est Norma proposita quoad latera externa, eo quod tunc angulus A in semicirculo rectus sit per 31. Tertii. Eâdem ratione interiorem partem Normae examinabis, si angulum D applices circum ferentiae, et latera DE, DF, punctis extremis B et C diametri.

Praxis VI. Super datam rectam lineam, a dato puncto quod in ea non est perpendicularem erigere.

Primus Modus.

[note: Perpendicularem excitare a puncto extra lineam dato. ] SIt data recta FG, et punctum extra ipsam datum C. Facto centro in C, intervallo quovis eodem,

describantur duo arcus secantes rectam datam in A et B. Deinde ex A et ex B, eodem intervallo ut prius, vel alio quolibet, describantur alij duo arcus secantes se in D. Nam ducta recta CD, secans AB in E, erit perpendicularis ad AB, per 12. Primi.

Annotationes. I.

[note: ] SI punctum C fuerit nimis vicinum rectae FG, ita agendum erit. Centro C, ad intervallum quodvis secetur recta FG in duobus punctis A et B, ut antea; ex quibus ad majus intervallum quodcunque quam AC, vel BC, bini arcus tam supra, quam infra describantur, se intersecantes in D et E. Non ductarecta DCE, quae producta necessario per punctum

II. Sipunctum C sit juxta extremum plani in quo estlinea data, ita ut linea data non possit produci ulterius, ad praxim praedictam adhibendam; ita agemus. Ex puncto quovis B lineae datae, quod sit versus extremum

lineae, describantur duo arcus supra et infra lineam AB, ad intervallum BC. Deinde ex alio puncto A aliquantum remoto a puncto B, alii duo arcus ad intervallum AC describantur, secantes priores arcus in C et D. Nam recta CD perpendicularis erit ad rectam dictam in puncto E.

III. Silinea data sit in extremo plani, ita ut non possint formari duo arcus infra et supra, sed solum supra, aut solum infra, possit tamen continuari ulterius linea; procedemus modo sequenti.

Secundus Modus.

[note: ] SIt ad rectam AB, (Fig. 47.) ex puncto E, ducenda perpendicularis. Ductâ utcunque rectâ ED, secetur ea bifariam in C; et centro C, per E describatur arcus circuli secans rectam datam in A. Quod si non secet, producenda erit, donec ab arcu secetur. Recta enim EA erit ad AB perpendicularis, per 31 Tertij.

Tertius Modus.

[note: ] IN omnibus praedictis casibus potest etiam duci perpendicularis ope Normae, si unum ejus latus applicetur lineae datae, et alterum transeat per punctum datum, et juxta hoc ducatur recta.

Annotatio. Qua ratione in agris et campis ducenda sit perpendicularis ad datam rectum a puncto extra dato.

[note: Perpendicularem in campis ducere a puncto extra lineam. ] UTere instrumento dioptrico habente in medio duas rectas ad angulos rectos se intersecanter, et posito illo supra rectam in Campo datam, ita ut una Instrumenti linea congruat datae rectae in Campo; move Instrumentum ad dextram, et ad sinistram in eadem recta, donec radio visuali directo juxta altera lustrumenti lineam occurrat punctum seu signum datum. Si enim a puncto ad rectam datam ducatur alia recta, erit ea perpendicularis quaesita.

Praxis VII. Dividere lineam rectam finitam bifariam.

[note: Lineam rectam bifariam dividere. ] SIt linea data AB. Centro A, intervallo majori quam est medietas lineae AB, describatur arcus

CD. Deinde centro B, intervallo eodem, describatur alius arcus, secans priorem in C et D. Per puncta C et D ducatur recta: eritque AB, divisa bifariam in E.

Annotationes. I.

[note: ] SVfficit tamen, delineare tantum arcus parvos infra et supra, ubi C et D, intersecantes sese.

II. Si linea data est in extremo plani, ita ut infra aut supra ipsam non sit locus in quo describi possint

arcus sese intersecantes tunc descriptis supra aut infra ipsam duobus arcubus intersecantibus sese in C, describantur alii duo in tersecantes se in D, sive hoc fiat infra C, sive supra.

non possunt formari infra et supra arcus ad intervallum majus medietate ipsius lineae datae; abscinde utrimque aequales portiones AD, BC, et ex D et C centris operare ut dictum.

Corollarium.

[note: ] PAtet hinc, quomodo proposita linea sit dividenda in quatuor, in octo, et quotcunque aequales partes numero pares, si nimirum quaelibet medietas subdividatur.

Praxis VIII. Datam lineam rectam finitam in quotlibet partes aequales secare.

Primus Modus. Per Parallelogrammum.

[note: Lineam rectam in quotlibet partes secare. ] IN assere aliquo polito, aut in lamina metallica, chartave crassa, duc duas lineas parallelas FG, CD, ad aliquod intervallum inter se distantes Quo autem longiores fuerint parallelae praedictae et quo magis invicem distabunt, eo commodius erit instrumentum. In utraque quotcunque partes inter se omnino aequales assume, ab F et C versus G et D, v. g. 10, 20, aut 30, prout lineatum longitudo permittet. et pucta respondentia lineis rectis

junge ut figura ostendit; paratumque erit Instrumentum, quod Parallelogrammum appellare placet.

Usus instrumenti hic est. Sit linea AB dividenda in 7 aequales partes. Accipe circino longitudinem oblatae lineae AB, et posito uno circini pede in puncto C, vel in quovis alio, linea FC, alterum pedem extende (immota circini apertura) usque ad octavam lineam (haec enim cum prima FC includit septem aequalia spatia) notando in ea punctum H, et duc lineam sive manifestam, sive occultam CH, Eritque linea CH aequalis lineae AB, divisa in 7. aequales partes: quae diviso si transferatur circino in AB, habebis intentum.

Secundus Modus. Per Instrumentum partium.

[note: Instrumentum partium. ] PRaepara ex orichalco, vel alia quavis materia solida, duas Regulas aequales, et oblongas, ABD, ACE, quae; in A ita conjungantur clavo aliquo tereti, ut circa ipsum clavum tanquam circa

axem uniformiter possint moveri, et prout opus fuerit, dilatari atque constringi. Deinde ex puncto A tanquam ex centro ducantur super planis dictarum Regularum duae lineae rectae aequales, AF et AG, eaeque dividantur primo in duas, deinde in tres, in quatuor, in quinque, in sex, etc. partes aequales, et numeri adscribantur ut vides: eritque Instrumentum praeparatum, quod instrumentum partium appellare lubet.

Usus instrumenti hic est. Sit linea IK dividenda in tres aequales partes. Accipe circino longitudinem totius lineae IK, et posito uno circini

Pede in puncto F instrumenti, alterum extende (immota permanente circini apertura) usque ad punctum G dilatando vel constringendo Instrumentum, donec punctum G congruat alteri circini pedi. Hoc facto, relinque instrumentum immotum, et accipe cir cino distantiam inter puncta 3 et 3, notata in lineis Instrumenti, illamque distantiam transfer ex I in L, et ex L in M, eritque linea IK divisa in tres aequales partes.

Annotationes. I.

[note: ] EOdem modo procedendum est in divisione linearum in quotcunque aequales partes. Si linea dividenda est nimis longa, ita ut tota non possit inttercipi inter duo puncta F et G Instrumenti, quantumcunque dilatetur, prout est linea NO; intercipiatur primo pars ipsius quae poterit, v. g. NQ, et hujus tertia pars NP notetur: deinde intercipiatur reliqua pars QO, et hujus etiam tertia pars QR notetur: tandem haec pars QR transferatur a P in X, eritque NX tertia pars totius lineae NO. Si linea dividenda est nimis parva, ita ut non possit intercipi inter duo puncta F et G Instrumenti, quantumcunque constringatur; intercipiatur ipsius duplum, et hujus dupli accipiatur pars tertia, tandemque hujus partis tertiae accipiatur pars dimidia, quae facilius haberi potest quam tertia totius lineae.

II. Si data linea dividenda esset in partes quae in Instrumento non sunt notatae, v. g. in 40, 30, 36, etc. dividatur in illarum submultiplices quae sunt in Instrumento, v. g. in 20, 15, 18, etc. et deinde harum quaelibet dividantur in duas partes aequales.

Tertius Modus. Per quadrantem Proportionum.

[note: Quadrans proportionum. ] LOco praedicti Instrumenti construi potest in lamina aliqua, vel in plano quolibet. Quadrans ABC sic. Rectae AB, AC, conjungantur in A ad angulum rectum, et earum una, ut AB,

dividatur primo in duas partes, deinde tota in tres, et tota in quatuor, etc. Deinde in centro A, per singula divisionis puncta ducantur arcus ut vides; eritque paratum Instrumentum, quod Quadrantem proportionum appellare placet.

Usus est hic. Oblata quacunque linea, v g. MN, quae sit dividenda in tres v. g. partes aequales, intercipe circino totam lineam MN, et in infimo arcu BC sume intervallum BD, aequale lineae MN datae, et duc rectam occultam AD: deinde in tertio arcu accipe circino intervallum EF, et transfer ex M in O; eritque MO tertia pars totius lineae MN.

Si linea data est aut nimis longa, aut nimis brevis, observa ea quae in praecedente Annotatione I. diximus.

Praxis IX. Ex data recta quamvis partem centesimam aut millesimam abscindere.

Primus Modus. Per instrumentum partium.

[note: Linea vecta quamvis partem centesimam abscindere. ] IN altera patte Instrumenti partium duc ex centro A alias duas rectas, AF, AG, easque in 100, aut 1000 aequales particulas divide. Quibus peractis; sic ex quavis recta proposita abscindes quotcunque centesimas, aut millesimas partes, prour lineae Instrumenti divisae fuerint in 100, [note: vide fig. 59. ] aut 1000. particulas. Dilata vel constringe Instrumentum, donec inter vallum inter F et G sit aequale lineae datae. Deinde extende circinum inter partes desideratas, in lineis AF, AG notatas, v. g. inter 50 et 50. inter 35 et 35, etc. et intervallum in lineam datam translatum abscindet partes quaesitas.

Annotationes.

[note: Item quam libet partem desideratam. ] SI linea data est nimis longa, aut nimis brevis, operare ut dictum in Annotationibus praecedentis Praxis.

II. Ejusdem instrumenti auxilio ex quavis li nea data quamvis partem desideratam, v. g. septimam, undecimam, decimam tertiam, etc. auferes, hoc est, quamlibet lineam datam in quotlibet partes aequales divides sic: Sit dividenda linea in 7. partes, seu auferenda sit pars septima ex aliqua linea. Multiplica 7 per 10 fiunt 70; aperi ergo Instrumentum donec longitudo lineae datae circino accepta statuatur inter 70 et 70: tunc enim intervallum quod est inter 10 et 10. manente eadem Instrumenti apertura, dabit desideratam partem septimam. Licebit etiam partem auferendam multiplicare per alium quemvis numerum. Sic si undecima pars sit auferenda, multiplicari possunt 11 per 5, ut fiant 55 et 55 Instrumenti, intercapedo inter 5 et 5 dabit partem undecimam desideratam.

Secundus Modus. Per Quadrantem proportionum.

[note: vide fig. 60. ] IN altera parte Quadrantis proportionum duc ex centro A alias duas rectas, AB, AC, facientes angulum rectum, easque divide in 100 aut 1000 partes aequales. Deinde in ultimo arcu BC accipe intervallum BD aequale lineae datae, et duc rectam AD. Demum quaere numerum partium desideratatum in linea AB, v. g. 50, 30, etc. et per numerum inventum ex centro A duc arcum intersecantem rectam AD: intervallum enim hujus arcus a numero dato usque ad punctum intersectionis dabit partes desideratas in linea proposita.

Quid faciendum sit, quando linea data est aut nimis longa, aut nimis brevis, patet ex dictis Praxi 8. praecedente.

Praxis X. Datam rectam in duas aut plures secare, quae habeant proportionem quamcumque datam.

[note: Rectam secare in habentes proportionem. ] SIt data recta AB, quae secanda sit in duas partes, habentes eandem proportionem inter se,

quam habet D ad G, aut quam habet 30. ad 50. Ex A lineae termino ducatur recta AE, faciens

cum AB quemcunque angulum acutum. Deinde in AE abscindatur AF aequalis ipsi G. Demum ducatur recta EB, et ipsi parallela FH, eritque AB secta in H secundum proportionem datam D ad G.

Annotationes. I.

[note: ] SI AB secanda esset in plures partes habentes proportionem similem pluribus rectis datis, aut pluribus numeris, abscindendae essent ex AE plures partes datis rectis aequales, et operandum ut dictum.

II. Idem fieri potest per Instrumentum partium, et Quadrantem proportionum, si lineae proportionem habentes sumantur in linea Instrumenti, aut Quadrantis, et inter extrema majoris extendatur linea data; tunc enim intercapedo inter extrema minoris, aut minorum habebit ad datam lineam proportionem quaesitam.

Corollaria.

[note: ] COlligitur hinc 1. quomodo ex data linea recta auferenda sit pars, quae vel ad totam, vel ad residuam, habeat proportionem datam.

Colligitur 11. quomodo datam rectam terminatam secare oporteat ut secta est alia data.

Praxis XI. Datam rectam lineam secare proportionaliter extrema et media ratione.

[note: Rectam secare proportionaliter extrema et media ratione. ] SIt data linea AB, dividenda proportionaliter extrema et media ratione seu proportione, ita videlicet, ut tota linea AB se habeat ad segmentum majus, ut idem segmentum majus ad residuum minus. Ex puncto A eri gatur perpendicularis AC, aequalis dimidiae lineae datae,

et ducatur recta CB, a qua secetur CD, aequalis ipsi CA, reliqua vero DB, transferatur in rectam AB, ex A in E, eritque AB secta proportionaliter in E, ita ut AE majus segmentum ad EB minus se habeat, sicut tota AB, ad AE.

raxis XII. Datis duabus rectis tertiam proportionalem invenire.

[note: Tertiam proportionalem duabus datis invenire. ] SInt duae rectae AB, BC, datae, quibus tertia continue proportionalis sit invenienda. Constituantur

ad angulum rectum ABC, et conjungantur recta AC, Producta autem AB, quam volumus esse antecedentem: ducatur ex C ad AC, perpendicularis CD, occurrens ipsi AB productae in D, eritque BD tertia proportionalis, per Corollariumo octavae l. 6. Eucl. etc. Si duae datae sint notae in numeris, v. g. prima 4. pedum, et secunda 6. reperitur tertia per Regulam Auream, (de qua libro seq. in Arithm.) sic disponendo numeros: ut 4 ad 6, ita 6, ad 9.

Praxis XIII. Datis tribus rectis, quartam proportionalem invenire.

[note: Quartam proportionalem tribus datis invenire. ] HAbitis tribus lineis continue proportionalibus, si omissa prima, aliis duabus tertiam in veneris proportionalem modo dicto in antecedenti praxi, habebis quartam proportionalem. Eâdem arte reperies quintam, sextam, et quotquot volueris proportionales. Si in numeris notae fuerint tres, invenitur quarta per Regulam Auream, modo paulo ante insinuato.

Corollarium.

[note: ] HInc colligitur, quo pacto datis duabus lineis certam proportionem inter se habentibus, duae aliae in eadem cum illis proportione reperiri possint, praesertim si in numeris notae sint.

Praxis XIV. Inter duas rectas lineas datas, mediam proportionalem invenire.

[note: Mediam proportionalem inter duas datas invenire. ] SInt duae rectae AB, BC, inter quas media proportionalis sit inquirenda. Disponantur in lineam rectam AC, et ex puncto medio E tanquam

centro, describatur semicirculus intervallo EA, vel EC, et ex puncto B erigatur perpendicularis BD, eritque haec media proportionalis quaesita, per 13. lib. 6. Euclid. Si datae duae rectae sint notae in numeris, multiplica illos inter se, et ex producto extrahe radicem quadratam: erit haec media quaesita in numeris.

Praxis XV. Inter duas rectas invenire duas medias proportionales.

[note: Medias duas proportionales inter duas datas invenire. ] SInt datae duae rectae, A et B, interque eas inveniendae aliae duae continue proportionales. Ducantur duae rectae, CD, et FG, secantes se orthogonaliter seu ad angulos rectros in puncto E, per praxin 4. et ex Eversus D abscindatur EH aequalis ipsi B, versus G vero abscindatur EI aequalis ipsi A. Accipiantur deinde duae normae exactissimae, ex orichalco, ligno, charta

crassiore fabricatae, et una applicetur angulo suo interno L lineae E Fita, ut interna brachii linea LH transeat per punctum H, noteturque K, per quod transit

alterum internum latus LK: in quo puncto K applicetur altera norma angulo suo externo K ita, ut latus ejus externum unum contingat latus internum prioris normae. His factis, si alterum latus externum transierit per punctum I, erunt EK, et EL duae mediae quaesitae, eritque, IE ad EK, ut KE ad EL, per 13. lib. 6. Euclid. et EK ad EL, ut EL, ad EH, per candem 13. Si autem externum latus secundae normae non transierit per punctum I, tam diu norma prima moveri debet sursum ac deorsum, angulo suo interno L semper in linea EL manente, et latere interno in puncto H, donec alterius normae lalus transeat per I, et punctum intersectionis K.

Articulus II. De Praxibus spectantibus ad Superficies

[note: Praxes spectantes ad superficies. ] INnumera hic dici possent; nos magis necessaria et utiliora Tyronibus seligemus.

Praxis I. Circulum in 360. partes aequales dividere.

[note: Circulum dividere in 360. gradus. ] SIt dividendus circulus ABCD. Ductis duabus diametris, AB, CD, intersecantibus

se se perpendiculariter in centro E, retentaque eadem circini aperturâ quâ descriptus est circulus: ponatur unus pes in punctis A, C, B, D, et alter extendatur utrimque in circumferentiam circuli, et notentur puncta ut vides factum in figura: eritque totus circulus divisus in partes 12. Quaelibet harum partium dividatur primum in tres partes: deinde quaelibet harum trium in quinque tandem, quaelibet harum quinque in duas: eritque totus circulus divisus in partes 360, si e centro ad puncta divisionis ducantur rectae lineae. Ne tamen in centro confundantur lineae, praestat relinquere circellum circa centrum vacuum.

Praxis II. Quadrantem mirificum fabricare, eumque in 90. gradus dividere.

[note: Quadratum mirificum facere, ac dividere. ] IN tabula aenea, vel lignea, alteriusve materiae durabilis ac bene politae, duc duas rectas, AB, AC, facientes angulum rectum in A. Ex

puncto A velut centro describe quadrantem circuli BC, eumque divide in 90. partes aequales, initio facto a B, sic. Ea aperturâ circini, quâ descripsisti Quadrantem BC, retentâ, pone unum pedem in B, et alterum extende in D, et fac punctum: iterum posito uno pede in C, extende alterum in E, et fac aliud punctum: eritque Quadrans divisus in tres aequales partes: quarum quam libet si dividas primo in tres, et quamlibet quinque in duas: erit totus Quadrans divisus in 90. partes, qui ob insignem usum vocari potest Mirificus.

Annotatio.

SI ex centro A ad singulos gradus seu puncta [note: Angulum rectilineum alteri aequalem constituere. ] divisionis in arcu BC ducantur rectae, et ex eodem centro describantur quotvis alii quadrantes minores: habebis Instrumentum infinitis usibus in Mathematica aptum.

Praxis III. Angulum rectilineum alteri dato aequalem constituere.

[note: ] SIt datus angulus rectilineus BAC, eique constituendus aequalis alius. Centro A, intervallo quolibet AB, fiat arcus BC. Deinde ducta

DE, ex D puncto velut centro, intervallo eodem AB, siat alius arcus EG. Demum intercapedo BC circino accepta transferatur in arcum EG, ex E in F, et ducatur recta DF, erit angulus EDF aequalis angulo BAC.

Praxis IV. Quot gradus contineat quilibet angulus aut arcus datus, cognoscere.

[note: Angulus quot gradus contineat, agnoscere. ] FIt hoc ope Quadrantis mirifici. Sit enim inquirendum, quot graduum sit angulus BAC, aut arcus BC praecedentis figurae. Centro A in Quadrante, intervallo AF, aequali intervallo AB, describatur arcus FG, in eumque transferatur ab F in H, v. g. intercapedo BC, et per H ducatur ex centro A recta: ostendet ea in extremo Quadrante BC graduum numerum quem quaeris.

Annotationes.

[note: ] SIangulus datus sit major recto, accipe primo ex Quadrante rectum angulum modo dicto, et de inde residuum; hoc enim additum recto dabit totum angulum. Si arcus BC datus esset descriptus ex majori semidiametro quam Quadrans circuli, describe intra anguli crura minorem arcum, et operare ut dictum.

Corollarium. Ex arcu dato quotlibet gradus accipere.

[note: Arcum in gradus dividere [orig: divídere]. ] COlligitur hinc, quomodo ope Quadrantis sumi debeant gradus quotlibet ex quovis arcu aut circulo dato, si nimirum in Quadrante describatur arcus ad idem intervallum semidiametri, ad quod descriptus est arcus datus, et operatio instituatur modo dicto.

Praxis V. Dato arcu alicuius circuli, circulum perficere, invento eius centro.

[note: Arcu dato, circulum perficere. ] SIt datus circuli arcus ABC, qui sit in circulum integrum efformandus, invento centro

ex quo descriprus est arcus. Notentur in dicto arcu tria quaelibet puncta, A, B, C, ductisque rectis AB, BC, dividantur eae bifariam in punctis D et E, et excitentur perpendiculares DF, EF, intersecantes se in F. Erit F centrum quaesitum, per 25. lib 3. Euclid.

Corollarium. Per tria quaelibet puncta non in unam rectam lineam cadentia circuli peripheriam ducere.

[note: Circulum describere per tria puncta data. ] COlligitur hinc, quomodo per tria quaelibet puncta in eodem plano, et non in eadem recta linea jacentia, duci debeat peripheria circuli, si nimirum duo quaelibet connectantur rectâ lineâ, et ea bifariam divisâ ducantur perpendiculares, etc.

Praxis VI. Super data, aut assumpta recta linea constituere triangulum aequilaterum, isosceles, scalenum.

[note: Triangulum aquilaterum, isosceles, scalenum constituere superdata recta linea. ] SIt data aut assumpta AB. Expunctis A et B tanquam centris, intervallo totis lineae datae,

describantur duo arcus inter recants se in C, et ducantur rectae CA, CB; et habebis triangulum aequilaterum. Si ex iisdem punctis A et B, intervallo majore vel minore totius lineae, fiant duo arcus, et ducantur rectae CA, CB, habebis triangulum isosceles. Si ex iisdem punctis describantur duo arcus, intervallis inaequalibus; habebis Scalenum triangulum.

Praxis VII. Examinare angulum propositum, an sit rectus, obtusus, acutus.

[note: Angulum examinare an sit rectus obtusus, acutus. ] PRimus modus est ope Quadrantis mirifici supra Praxi 2. hujus Artic. descripti. Nam si angulus est graduum 90, est rectus; si major, est obtusul; si minor est acutus.

Secundus modus est ope Normae rectangulae. Nam si unum latus applices uni cruri anguli

dati, ita ut angulus Normae congruat puncto C, et latus externum lineae CA, si tunc alterum latus Normae congruat lateri CB, angulus est rectus, si cadit intralatus CB, angulus est acutus: si extra, obrusus.

Tertius modus est, si subtendas angulo dato rectam AB utcunque in eadem figura, eâquedivisâ bifariam in D, describas semicirculum intervallo DA. Si enim semicirculus transit per punctum C, angulus est rectus: si transit infra, est acutus, si supra, est obtusus.

Praxis VIII. Datis tribus lineis rectis, construere triangulum, dummodo duae quaelibet sint maiores reliqua.

[note: Triangulum construere ex tribus lineis datis. ] SIntdatae rectae AD, BE, CF. Constituatur earum quaelibet pro basi, v. g. CF. et centro C,

intervallo AD fiat arcus: item centro F, intervallo BE fiat alius arcus, intersecans priorem in G, et duc rectas GC, GF, habebisque intentum.

Corollarium. Triangulo dato construere aliud simile et aequale.

[note: Triangulo dato aliud simile et aequale construere. ] EOdem prorsus modo cuilibet triangulo dato construes aliud simile et aequale, si tria trianguli dati latera sumas tanquam tres rectas, et opereris ut dictum.

Praxis IX. Figuram ovalem seu ellipticam describere. Primus Modus.

[note: Ellipticam seu ovalem figuram facere. ] DUcatur recta AB, et ad rectos angulos eam secans CD in E. Tum centro E, secentur

utrimque aequales ad lubitum intervallum, EA, EB, item aequales inter se ad lubitum etiam intervallum, EF, EG, et pro libito etiam aequales EI, EH. Deinde ex H, et ex I, per F et per G, educantur, et producantur ut lubet HK, HL, IM, IN. Tandem centris F et G, intervallis FA, GB. ducantur arcus MAL, KBN: centro praeterea H, intervallo HL, ducatur arcus LK, et centro I, intervallo IM, ducatur arcus MN, et prodibit figura quaesita.

Notandum tamen, futuram figurae varietatem pro libito, prout puncta F et G accipientur magis vel minus distantia tum ab A et B, tum ab H et I.

Secundus Modus.

[note: ] ASsumptis in linea recta quacunque duobus punctis, A et B, describe ex ipsis, eadem circini

apertura, duos circulos, intersecantes se in C et D. Deinde duc rectas BAG, CBH, DAE, DBF. Tandem ex D, intervallo DE, duc arcum EF, et ex C, intervallo CH, arcum GH, eritque figura ovalis descripta.

Notandum, neque primum, neque secundum modum producere figuram vere ellipticam, sicut eam producit sequens modus.

Tertius Modus.

[note: ] SIt futurae ellipseos maxima diameter AB, minima CD, quae secent se mutuo bifariam et orthogonaliter in E. Eligantur in AB duo puncta, F et G, aequaliter distantia ab E, ad libitum intervallum; et in iis infigantur claviculi, et circa illos ducatur filum quod duplicatum pertingat ab F usque ad B, ubi nodo facto colligetur. His factis, accipe graphium H, aut aliud quippiam,

et extende filum ita ut formet triangulum FGH, et servata semper aequali extensione circumduc graphium H, ut radat filum, et in plano subjecto signum imprimat; prodibitque ellipsis perfectissima.

Si plano in quo describenda est ellipsis, non possunt infigi claviculi FG, accipe bacillum aequalis longitudinis cum maxima diametro AB futurae ellipsis, et infige ipsi claviculo FG, ac circumducto, ligatoque filo, applica bacillum diametro futurae ellipseos, et operare ut dictum.

Praxis X. Super data recta linea Quadratum describere.

[note: Quadratum describere. ] SUper data AB sit describendum Quadratum. Ex puncto A erigantur AC, aequalis et perpendicularis

ipsi AB, et centris C et B, intervallo AB, fiant duo arcus secantes sese in D, ducanturque rectae CD, BD, eritque Quadratum perfectum.

Praxis XI. Datis duabus rectis inaequalibus, describere parallelogrammum rectangulum ab iis comprehensum.

[note: Parallelogrammum. describere ] SInt datae rectae AG, AB. Conjungantur in A ad angulum rectum, et centro D, intervallo

[note: Rhombum facere. ] AC fiat arcus versus E, item centro C, intervallo AB, fiat alius arcus intersecans priorem in E, et ducantur rectae ED, EC, habebisque intentum.

Praxis XII. Super data recta Rhombum constituere.

[note: ] SIt super data AB constituendus Rhombus. Ducatur AC, aequalis ipsi AB, et faciens cum

ipsa angulum acutum quemcunque, vel etiam angulum datum. Deinde centris C et B fac duos arcus secantes se in D, et necte rectas CD, BD.

Praxis XIII. Rhomboidem describere

[note: Rhomboidem facere. ] REctae inaequales duae, GH, GI, constituant angulum acutum quemcunque, aut angulum datum: et centro I, intervallo GH, item

centro H, intervallo GI, fiant arcus secantes se in K, et habebis quod quaeritur.

Praxis XIV Figuras planas regulares. circulo inscribere.

[note: Figuras planas regulares circulo inscribere. ] FIgurae planae regulares sunt, quae habent et latera omnia, et omnes angulos aequales, ut diximus cap. praeced. Art. 4. n. 12. Docebimus hic, quâ ratione sint circulis inscribendae.

Pro Hexagono, et Dodecagono.

[note: ] SEmidiameter circuli est latus Hexagoni circulo inscribendi. Itaque si semidiametrum BA sexies in peripheria circumduxeris, a puncto

B in C, E, F, G, H, et puncta notata rectis conjunxeris, habebis hexagonum. Si arcum BC, dividas bifariam in D, erit recta BD latus Dodecagoni.

Pro Trigono, et Nonagono:

[note: ] EAdem apertura, quâ descripsisti circulum, nota in circumferentia sex puncta, hoc est, semidiametrum circumduc sexies, ut antea, et conjunge tria ipsorum, intermedio inter quaelibet duo omisso, et habebis trigonum BEG, et consequenter Nonagonum, si dividas trifariam arcum subtensum.

Pro Quadrato, et Octagono.

[note: ] DUc in circulo duas diametros occultas, et connecte rectis earum extrema: et habebis Quadratum: et consequenter Octogonum, si dividas bifariam unum arcum subtensum.

Pro Pentagono, Decagono, et Icosagono

[note: ] SEmidiametrum CB divide bifariam in D, intervallum DE transfer a D in F, eritque recta EF latus Pentagoni. Si arcum EG subtensum ab uno latere Pentagoni dividas bifariam in K, erit recta EK latus Decagoni. Siaroum EK dividas bifariam in I, erit recta EI latus Icosagoni.

Hac ratione invenies latera omnium figurarum, quarum latera sunt multiplicia laterum Pentagoni.

Pro Heptagono et Quatuordecagono.

[note: ] DUc diametrum BAC, et eadem aperture, quâ circulum descripsisti, servata, pone unum

circini pedem in C, et altero nota puncta D et E, ac duc rectam DE secantem diametrum in F, eritque DF latus Heptagoni, non quidem praecise et geometrice, sed circumcirca. Habito latere Heptagoni, habere potes latus Quatuordecagoni, si arcum a latere heptagoni subtensum dividas bifariam.

Annotatio.

[note: ] EAsdem figuras inscribere poteris circulo ope Quadrantis Mirifici. Nam chorda subtendens gradus 120. est latus Trigoni, et chorda subtendens gradus 90. 72, 60. 51 3/7 45. etc. est latus Tetragoni, Pentagoni, Hexagoni, Heptagoni, Octagoni, etc. Porro quot gradus subtendat latus cujuscunque figurae, invenies, si circulum integrum, id est, 360, dividas per numerum laterum figurae propositae, quotus enim dat numerum graduum.

Praxis XV. Supra datam rectam, quamlibet figuram regularem describere.

[note: Figuras planas regulares super data recta scribere. ] QVomodo supra datam rectam sit describendum triangulum aequilaterum, et Quadratum, constat ex Praxi 4. et 10. hujus Articuli. Reliquas hoc modo construemus.

Sit supra rectam AB describendum Pentagonum. Centro B, intervallo BA, describatur circulus, aut circuli arcus semicirculo major, et continuetur AB usque ad C, ut AC sit diameter. Divide deinde circulum integrum, hoc est, 360. gradus, per numerum laterum aut angulorum Polygoni describendi, ut hic per 72, et arcum graduum productorum

in Quotiente numera a Cusque ad BD et ducatur recta BD, quae cum AB constituet angulum internum Polygoni describendi: Demum per tria puncta A, B, D, describe circuli peripheriam, per Praxin 5. hujus Artic. et in ea accommodentur rectae DE, EF, aequales ipsis AB, vel BD: eritque descriptum Pentagonum supra AB datam.

Articulus III. De Praxibus spectantibus ad Corpora.

[note: Praxes spectantes ad corpora. ] COrpora seu solida figurari solent et e solida materia rite configurata, et e planis conglutinatis. Nos hic de secundo modo agemus.

Praxis I. Quinque corpora regularia fabricare.

[note: Corpora regularia fabricari. ] EX materia solida, ut ex aere plano, papyro crassiore, aut simili, fac quatuor triangula aequilatera, eaque rite inter se compone, et habebis retraedrum. Si simili modo con junges intet se sex quadrata, habebis hexaedrum seu Cubum: Si octo triangula aequilatera, habebis octaedrum: Si duodecim quinquangula ordinata, dodecaêdrum: Si viguni triangula aequilatera, icosaedrum.

Ad corporum e planis constitutorum imitationem fieri solent eadem corpora e materia solida, sed haec melius explicabimus in Geometria practica.

Praxis II. Corpora inordinata fabricare.

[note: Corpora inordinata fabricari. ] SI super singular cuilibet trianguli, quadranguli, vel multanguli latera constituantur triangula aequicrura, et aequialta, habentia bases dictorum triangulorum, quadrangulorum, ac multangulorum lateribus, quibus insistere debent, aequales: habebis pyramides trilateras, quadrilateras, et multilateras.

Si super singula cujusvis trianguli latera exstruas parallelogramma rectangula aequialta, et iis imponas triangulum simile et aequale triangulo basis, habebis prisma pentaedrum. Eademque ratione conficies reliqua prismata, et rhombos, ac rhomboies solidos. Plura dicemus in Geometria Practica.

Multa hic dici possent de Mathematicae dignitate ac praestantia, de utilitate ac necessitate, alusque similibus quae Tyrones ad ejus studium amplectendum alliciant: sed brevitatis causâ omitto. Interim lege quae scribimus in Prooemio Tertiae partis Magiae Universalis.

LIBER II. De ARITHMETICA PRActica Generali, ac Speciali.

PROOEMIUM.

[note: [note: Arithmetica etymon. ] ARithmetica est scientia quae versatur circa numeros; a quibus et nominis sumpsit originem: Graecis enim, qui ante Latinos Arithmeticam excoluerunt, numerus dicitur a)riqmo\s2, a qua voce a)riqmhtikh\, hoc est, numerorum scientia derivatur. Haec toti Mathesi, et omnibus eius partibus inservit, ideoque [note: Eius utilitas et necessitas. ] necessario praemittenda ante omnes est. Nec minus necessaria et utilis est omni hominum statui, adeo ut Plato in Epinom. et lib. 7. Rei publ. dicere audeat, omnem humanitatem e Mundo eos tollere, qui Arithmeticam tollunt, cum sine ea neque publicae, neque privatae res constare queant. Varii varie eam dividunt, et exoticis vocabulis nescio an cohonestent, an deturpent. Ego brevitatis ac simplicitatis amans, eam divido in [note: Eius divisio in speculativam et practicam. ] Speculativam, et Practicam. Speculativa numerorum naturam, passiones, ac proprietates considerat, atque demonstrat: Practica eorundem usum tradit per varios Canones ac Regulas, computum seu supputationem concernentes; unde et Logistica seu Supputatrix appellatur communiter, et barbare Algorithmus, ex algo et a)riqmo\s2 ab Arabibus doctis concinnato vocabulo. Olim etiam calculatoria dicebatur, quoniam calculis utebantur antiqui in supputationibus, uti nunc nummis orichalcinis mercatores nostrates, et globulis ferreo filo innexis, ac in cistulam compactis, Chinenses, teste P. Martino Martini, a quo ex China reduce id oretenus accepi. Practicam solum hic tradam, idque breviter et quasi compendio, omissis [note: Practica generalis, ac specialis. ] demonstrationibus: quas qui volet, legat accuratissimam Arithmeticae Theoriam et Praxin P. Andreae Tacquet insignis Mathematici. Hanc duplicem facio, Generalem, ac Specialem Generalem voco, quae Canones tradit de usu numerorum ab omnibus rebus seperatorum; Specialem vero quae tradit Canones de eorundem numerorum usu certis rebus applicato, aut quae generales Canones specialibus modis ac praxibus numerandi seu supputandi applicat. Priorem parte prima, posteriorem parte secunda huius libri explicabo. ]

PARS I. De Arithmetica Practica Generali.

[note: Arithmetica practica generalis. ] IN tria capita dividam hanc primam Partem: in primo tradam Elementa Arithmeticae Practicae Generalis in numeris integris; in secundo, eadem Elementa in numeris fractis: in tertio, Regulas quasdam practicas.

CAPUT I. De Elementis numerorum integrorum.

[note: Elementa Arithmeticae practica in numeris integris. ] INtegros numeros appello, quinec fracti sunt, nec fractos habent adjunctos. Quid autem sint numerifracti, dicetur capite sequenti. Elementia numerorum integrorum sunt, Numeratio, Additio, Subtractio, Multiplicatio, ac Divisio. Has alii appellant quinque species Arithmeticae Practicae; quamvis nonnulli Numerationem inter species non numerent.

Articulus I. De Numeratione, simulque de Notatione numerorum integrorum.

[note: Arithmetica notatio seu scriptio et numeratio seu lectio. ] UT Grammatica, ita et Arithmetica suam habet scriptionem, et lectionem. Illam Notationis, hanc Numerationis vocabulo exprimo. Notatio igitur sive Scriptio Arithmetica, est cujusvis numeri per proprios characteres seu figuras descriptio. Numeratio vero sive lectio Arithmetica, est valoris numeri cujuscunque per proprios characteres seu figuras descripti expressio. Ad scribendum porro numerum quemcunque, eumque legendum, seu valorem ejus exprimendum, haec Nota.

[note: Arithmeticae figurae decem. ] Primo. Arithmetici ad scribendum quem cunque numetum, quantum vis magnum, utuntur tantum his decem characteribus seu figuris: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. Harum primae novem tantum sunt significativae, et quaelibet significat tot unitates, quotum ipsa locum in proposita serie occupar; ut prima significat unam unitatem, secunda duas, tertia tres, etc. Decima vero, quae cifra, vel zerus, aut nulla ab Arithmeticis appellatur, nihil per se et solitarie posita significat; adjuncta tamen aliis figuris ad dexteram, auget ipsarum valorem, ut mox dicetur.

[note: Arithmetici ad valorem numeri cognoscendum incipiunt a dextera versia sinistram. ] Secundo. In quolibet numero pluribus figuris scripto, prima figura est illa, quae extrema est versus dexteram legentis, aut scribentis; secunda, quae proxime sequitur versus sinistram; dein sequitur tertia, quarta, quinta, etc Sic in hoc numero, 1659. prima figura est 9, secunda 5. tertia 6, quarta 1 Cur autem ordo figurarum in numeris progrediatur a dextera versus sinistram, causa fortassis est, quod Arithmetica primum inventa fuit ab Hebraeis, aliisque populis Orientalibus, qui a dextera versus sinistram scribunt, et legunt. Nos tamen Latini ad cognoscendum quide propositi numeri pluribus figuris expressi valorem, incipimus a dextera versus sinistram, ut mox patebit, ad scribendum tamen, et legendum seu valorem ejus exprimendum, inchoamus a sinistra versus dextram. Sic ad cognoscendum valorem hujus numeri, 29345, incipimus a 5, ad eundem vero scribendum, et legendum, incipimus a 2.

Tertio. Quaelibet figura primo loco posita, hoc est ad dextram, significat seipsam semel, secundo loco seipsam decies, tertio loco centies, quarto millies, quinto decies millies, sexto centies millies, septimo millies millies, octavo decies [note: Arithmeticarum figurarum valor. ] millies millies, nono centies millies millies, decimo millies millies millies, et sic deinceps semper decuplum incrementum progrediendo ad finem usque propositi numeri, quantuscunque sit. In idem recidit, si dicas, primam figuram ad dexteram significare monades seu unitates, secundam decades seu denitates, (id est, tot denitates, quot ipsa unicates continet) tertiam centenarios, quartam millenarios, quintam denitates millenariorum, sextam centenarios millenariorum, septimam millenarios millenariorum, seu milliones (nam millena millia, seu millies mille efficiunt unum millionem) octavam denitates millionum, nonam centenarios millionum, decimam millenarios millionum, undecimam denos millenarios millionum, duodecimam centenos millenarios millionum, decimam tertiam millenos millenarios millionum, seu milliones millionum, et sic ulterius progrediendo, semper per decuplum incrementum; nam sequens ad sinistram figura semper valet decies plus quam immediate praecedens ad dexteram, ut dicebam. En tabellam valoris sigurarum.

His notatis facillime cognosces cujuscumque propositi numeri valorem, eumque leges seu enuntiabis, ut exempli gratia hunc sequenrem 9125342, sic: Novem milliones, centum et viginti quinque millia, trecenta, quadraginta duo. Vel sic: Novies millena millia, centum et viginti quinque millia, trecenta, et quadraginta duo. Hunc vero alium, 19870360. sic pronuntiabis: Decem milliones, octingenta et septuaginta millia, trecenta, et sexaginta. Vel sic: Decies millena millia, octingenta, et septuaginta millia, trecenta sexaginta.

Observanda ad numeros facilius exprimendos.

[note: Arithmeticarum figurarum valor ut facile cognoscatur et exprimatur. ] UT porro facile cognoscas valorem numerorum majorum, eum; expedite et sine haesitatione enuiuies, haec observa. Primo, divide propositum numetum in minora membra, incipiendo a dextera versus sinistram, et ponendo

sub quarta figura punctum, et duabus praetermissis sub septima, iterumque duabus praetermissis sub decima, deinde sub decima tertia, et sic deinceps, semper duas post ultimum punctum figuras omittendo. Secundo, supra figuram secundi puncti pone unam virgulam, supra quarti puncti figuram duas virgulas, supra sexti puncti figuram tres virgulas, et sic ulterius progrediendo a dextera versus sinistram: et Nota, primam et unicam virgulam significare milliones, duas virgulas milliones millionum, tres virgulas milliones millionum millionum, quatuor virgulas milliones millionum millionum millionum, et sic ulterius, etc. Sequentem ergo numerum sic distingues in membra.

[note: Numerandi modus duplex. ] Sic autem leges seu enuntiabis hunc eundem numerum: Septem milliones millionum millionum; sexcenta, nonaginta septem millia millionum millionum quadringenti et triginta duo milliones millionum: trecenta, viginti novem millia millionum, octoginta novem milliones: quingenta, sexaginta duo millia, quadringenta, triginta sex.

Quidam recentiores, netories reiterare cogantur vocem millionum, vocant milliones millionum Bimilliones, et milliones millionum millionum vocant Trimilliones, etc. ac proinde ubi est una virgula superscripta, enunciant milliones: ubi duae, bimilliones: ubi tres, trimilliones: ubi quatuor, quadrimilliones: ubi quinque, quinimilliones, deinde seximilliones, septimilliones, octimilliones, et sic ulterius. Itaque propositum paulo ante numerum sic enuntiant: Septem trimilliones: sexcenta: nonaginta septem millia bimillionum: quadringenta, triginta duo bimilliones: trecenta, viginti novem millia millionum, octoginta novem milliones, etc. ut supra. Optima numerandi ratio.

Annotationes. I.

[note: Numerandi modus alius. ] ALii aliter legunt seu pronuntiant numeros dicta ratione punctis notatos: incipiendo enim a sinistra versus dextram, toties dicunt millies, quot sunt puncta, sed sub penultimo puncto dicunt millena, et sub ultimo millia. Sic ergo praedictum numerum enuntiarent: Septies millies, millies, millies, millies millena millia: sexcenties, et nonagies septies millies, millies milles, millena millia; quadringenties, et trigesies bis millies, millies millena millia: trecenties, vigesies novies millies millena millia: octogesies, et novies millena millia: quingenta, sexaginta duo millia: quadringenta, trigintasex. Sed prior modus, quo Italipraesertim utuntur, facilior et brevior est.

II. Alii quoque aliter distinguunt in membra majores numeros: ponunt enim post tertiam quamque figuram, incipiendo a dextera, comma seu virgulam. In lectione vero seu enuntiatione post primam a dextera virgulam numerant millia: post secundam millena millia, seu mill ones: post tertiam millies milena millia, seu mille milliones, et sic ulterius toties repetunt millies, quot virgulae supersunt. Sic ergo sequentem numerum distinguunt ac legunt.

quadragies bismillies, millies, millies millena millia: quingenties et sexagies ter millies, millies millena millia: quadringenties et quinquagies millies millena millia: sexcenties et septuagies ter millena millia: centum et octoginta novem millia; ducenta, et quadraginta sex. Noster tamen distinguendi ac pronuntiandi modus facilior mihi videtur.

III. Quando inter singulas siguras ponitur punctum, tum quaelibet per se significat seipsam semel: at quando plures se mutuo sine punctis interpositis consequuntur, omnes simul unum numerum constituunt, qui modis praedictis legi debet. Hae itaque figurae, 2. 4. 9. 3. sic legi debent: duo quatuor, novem, tria.

[note: Numeri digiti, et articuli. ] IV. Novem primae ex decem supra positis figuris arithmetici appellantur digiti. His si apponitur ad dexteram unus aut plures zeri, resultant artticuli. Ex digitis et articulis inter se compositis resultant numeri mixti. Articuli sunt, 20, 400, 90, Mixti sunt, 34, 781.

Artichlus II. De Additione numerorum integrorum.

[note: Arithmetica Additio. ] ADditio, Graece [gap: Greek word(s)] , est duorum, pluriumve numerorum ejusdem denominationis in unansummam collectio. Ejusdem denominationis numeri sunt, qui ejusdem denominationis seu speciei res significant, ut florenos, bacios modios, urnas, etc. Numeri, qui in unam summam colligi debent, vocantur Addendi, et Dati, numerus, qui ex additione resultat, vocatur Summa, Aggregatum, et Quaesitum. Ad rite peragendam Additionem, haec observa.

Primo. Numeros addendos ita sub se invicem colloca, ut prima figura unius seriei sit directe sub prima alterius, et secunda unius sub secunda alterius, etc. a dextris incipiendo, idque ideo, ut unitates sint sub unitatibus, denitates sub denitatibus, etc. Et si quis est excessus in una serie, aut in pluribus, eum a parte sinistra relinque. Utrumque factum vides in sequentibus exemplis.

Secundo. Duc lineam infra numeros dicto modo collocatos, prout in praecedentibus exemplis factum vides; et incipe operationem a dextra procedendo versus sinistram, hoc modo. Collige in unam summam unitates, hoc est, omnes numeros primo loco ad dexteram directe sibi invicem suppositos, et summam resultantem scribe directe infra lineam, cum cautela mox dicenda. Deinde collige similiter in unam summam denitates, seu numeros secundo loco sibi in vicem suppositos, et scribe summam infra cum cautela eadem. Idem fac circa reliquos numeros qui supersunt. Cautela haec est. Sisumma ex figuris sibi directe suppositis resultans scribi potest unica figura, totam subscribae; sin autem duabus figuris

scribenda esset, subscribe tantum primam, hoc est, illam quae ad dexteram scribi deberet, secundam vero mente retine, ut eam deinde ad summam ex additione proxime sequentium figurarum resultantem addas: si denique tribus fixguris scribi deberet, primam scribe directe infia, secundam retine pro proxime sequenti summa, et tertiam pro tertia summa. Sic in exemplo A dic: 2 et 4, faciunt 6, scribe ergo 6 infra lineam: item 5 et 2, faciunt 7. scribe ergo 7 infra: item 3 et 3 faciunt 6, scribe ergo 6 infra: item 4 et 2 faciunt 6; scribe ergo 6 infra. Sic etiam in exemplo B dic: 4 et 2 et 1, faciunt 7, scribe ergo 7 infra: item 3 et o et o faciunt 3, scribe ergo 3 infra: item 7 et 3 et 2 faciunt 12, scribe ergo 2 et retine 1, item o et 5 et 2 et 1 antea retentum, faciunt 8 scribe ergo 8 infra: item 8 et 2 et 1, fac. unt 11, scribe ergo totum infra, ut mox dicetur. Ratio hujus retentionis in mente, et subscribendi modi, est, ut unitates correspondeant unitatibus, denitates denitatibus, centenami centenariis, etc. Considera etiam reliqua exempla, in quibus haec omnia videbis observata.

Tertio. Si ex additione figurarum ultimi loci procreatur numerus quipluribus quam una figuris scribendus est, nil retine memoria, sed omnes illas figuras scribe sub linea, ut vides factum in exemplis B et D, in quorum primo quoniam ex additione 8 et 2 et 1, resultant 11, in secundo vero quoniam ex 9 et 8 resultant 17, subscribitur in uno 11, in altero 17. Ratio est, quia nullus alius tunc sequitur numerus, cui sit facienda additio ejus figurae, quae retineretur.

Quarto. Si in una aut altera serie numerorum qui adduntur, reperitur excessus ad sinistram, ut in exemplo C et E, eum scribe infra lineam ad summam versus sinistram eodem ordine, quo supra lineam scriptus reperitur, nisi ex proxime antecedente summa retinueris aliquid memoria: tunc enim addendum est illud dicto excessui, et totum aggregatum infra lineam scribendum, ut in exemplis C et E factum vides.

Quinto Zerum inter numeros addendos occurrentem nihil cura, sed scribe sub linea solum figuras significativas, vel earum summam modo dicto, ut vides factum in exemplo B. Quo si in tota aliqua serie numerorum sibi in vicem suppositorum reperiuntur meri Zeri sine figura significativa, ut in exemplo D, pone infra lineam unum Zerum tantum: nisi forte ex praecedenti operatione habeas aliquam figuram mente retentam, tunc enim loco Zeri ponere debes illam figuram, ut factum est in exemplo E.

Examen sive Proba Additionis.

[note: Additionis arithmeticae examen. ] EXamen sive probationem Additionis, ad probandum videlicet an recte peracta sit, nec ne, sic institues. Primo rejice ex omnibus numeris supra lineam positis 9, quoties potes, nulla habita ordinis aut loci ratione, et reputando singulas figuras pro monadicis, hoc est, ac si singulae significarent unitates, residuum vero infra 9, quodcunque illud sit, pone ante crucem, ut factum vides in omnibus exemplis supra positis. Secundo, rejice ex tota summa infra lineam posita similiter 9, quoties potes, eadem servata cautela, et residuum pone post crucem. Si ambo residua fuerint aequalia, probabile est, fuisse rite peractam additionem: sin minus, erratum est, ac proinde reiteranda operatio. Ratio hujus rei est, quia novenarius numerus habet hanc proprietatem, ut si ex quocunque numero rejiciantur 9 dicto modo, quoties fieri potest, perinde sitac si ex eodem numero extrahantur tot novenarii, quot in illo continentur: sic si ex hoc numero, 38, rejiciantur 8, et 1 ex 3, remanent 2, et si ex eodem numero extrahantur 9, quoties id fieri potest, nempe quater, remanent similiter 2. Quoniam igitur totum est aequale omnibus suis partibus simul sumptis, summa autem infra lineam est totum, et numeri supra lineam sunt ejus partes; item quoniam si ab aequalibus auferantur aequalia, remanent aqualia; si tam ex tota summa infra, quam ex omnibus numeris supra lineam scriptis abjiciantur omnes novenarii, et residua sint aequalia, signum est summam esse aequalem partibus, ac proinde operationem fuisse rite peractram. Alii loco Examinis repetunt additionem.

Potest etiam additio examinari per Subtractionem, de qua sequenti Articulo. Nam si duo tantum numeri sunt additi, et unus subtrahatur ab altero; debet remanere residuum aequale alteri. Si vero plures sunt additi, et unus subtrahatur ex eorum summa, reliqui vero colligantur in unam summam, debet haec esse aequalis residuo ex subtractione, alioquin certissimo erratum est.

Annotationes.

[note: ] SI valde multae sunt numerorum addendorum series sibi invicem suppositae, dividi possunt in plures classes lineis interpositis, et singularum classium summae fieri separatim ac demum omnes hae Summae in unam colligi.

II. Alii alios praescribunt additionis modos. Sed noster est communiter usitatus, aliisolum ad ingenium ostentandum inventi.

Articulus III. De Subtractione numerorum integrorum.

[note: Arithmaetica subtractio. ] SUbtractio, sive subductio, Graece [gap: Greek word(s)] , est minoris numeri ex majori, vel aequalis ex aequali ablatio, ad explorandum quid remaneat, aut quae sit inter utrumque differentia. In Subtractione igitur tantum duo interveniunt numeri; altrea quo fit Subtractio, et appellatur superior, quia superiori scribitur loco; et alter qui subtrahitur, et appellatur inferior, quia scribitur in loco inferiori: et subtrahendus, quia debet subtrahi ab altero. Numerus qui post Subtractionem remanet (si quis remanet) vocatur Residuum, et Differentia Dixi, minoris numeri ex majori, vel aequalis ex aequali, quia major a minori non potest subtrahi, nisi augeatur minor. Porro inter duas numerorum series ille est major qui plures habet figuras, aut si aequales sunt quoad figurarum multitudinem, cujus ultima ad sinistram figura major est, aut si et hae aequales, cujus penultima est major, aut si et hae etiam aequales, cujus antepenultima: verbo, in quo primo major figura occurrit, ille major est numerus.

Subtractionem porro sic institues. Primo Colloca numerum minotem sub majori ita, ut unitates respondeant unitatibus, denitates denitatibus, etc. et si quis fuerit in superiori excessus, relinquatur is a parte sinistra, ut apparet in sequentibus exemplis.

Secund. Duc subnumeris ita collocatis lineam, et incipe sub tractionem a dextera versus sinistram, tali pacto. Si inferior figura est minor quam superior cui directe est supposita, subtrahe eam ex superiori, et residuum scribe directe infra lineam, ut vides factum in exemplis A, et B, et D. Si aequalis est inferior superiori, pone pro residuo zerum infra lineam ut factum vides in exemplo C. Si inferior aliqua figura major est quam superior sibi correspondens, assume decem ad superiorem figuram, et ex toto aggregato subtrahe inferiorem, ut factum vides in exemplis B, et D, ubi quia 5 non possunt subtrahia 4, assumpta sunt 10 ad 4, et facta subtractione a 14, remaserunt 9. Quotiescunque vero superior aliqua figura augetur denario numero, debet sequens superior figura minui una unitate, et ex residuo debet subtrahi sequens figura inferior, ut factum vides in exemplo D: vel si nulla superest inferior figura subtrahenda, debet ipsum residuum poni infra lineam, ut factum vides in Exemplo B, in quo quia ad 4 assumpta sunt decem, sequens figura 2, minuta est unitate, et residua unitas posita est intra lineam.

Sed rem melius, in gratiam Tyronum, declaremus practice in exemplo D. Dic ergo, incipiendo a dextera, 4 a 6, remanent 2: scribe ergo 2 infra: Diciterum 3 a 5, manent 2: quae scribe similiter infra. Dic tertio, 5 a 4 non possunt subtrahi: assume ergo decem ad 4, ut fiant 14, et dic: 5 a 14 imanent 9, quae scribe infra. Dic quarto, 6 a 7 (non ab 8, nam haec figura minuta fuit unâ unitate) manet 1: quod scribe infra. Demum quia nulla figura interior superest, scribe superiorem residuam, 2, infra lineam. Eodem modo proceditut in Exemplo B: nam subtrahe 2 a 3, et manet 1. iterum subtrahe 5 a 14 (assumptis decem ad 4) et manent 9, tandem residuum est, 1, non 2, quia figura, 2, minuta est unitate, scribitur ergo 1. infra lineam.

Tertio. Si inferior figuraest zerus, superiorem ipsi correspondentem scribe integre sub linea tanquam residuum, ut factum vides in exemplo C, nisi diminuta fuerit superior figura unitate: tunc enim scribendum est infra solum residuum ex diminutione, ut in exemplo E: ubi quia 9 non possunt

subtrahi ab 8, sed ab 18, sequens figura superior, 3, minuta est unitate, ideoque subtracto zero, debent poni infra lineam, 2. Si superior figura est zerus; et inferior correspondens est figura significativa, assume decem ad zerum, et subtrahe inferiorem a 10, ut factum vides in exemplo F, in quo

quia 7 non possunt subtrahi a o, subtrahuntur a 10, et deinde 1 sub trahitur a 2. Si denique tam superior, quam inferior figura est zerus, pone infra lineam zerum, ut factum vides in proxime praecedente exemplo F.

Quarto. Si finita subtractione omnium inferiorum figurarum a superioribus remanet adhuc aliquis excessus in superiori numero; pone illum integre, quantuscunque sit, infra lineam ad residuum versus sinistram, ut factum est in exemplo D.

Examen Subtractionis.

[note: ] EXamen subtractionis fit Primo per additionem. Si enim residuum ex subtractione addas numero illi qui subtractrus fuit, et resultet numerus ille a quo fuit facta subtracttio: certum est, operationem fuisse bonam, eo quod tunc partes simul sumptae sint aequales suo toti.

Secundo per abjectionem noveuarii. Si enim abjicias 9, quoties potes, primo ex solo numero superiore a quo facta est subtractio, deinde ex duobus reliquis simul: et invenias residua aequalia: probabile est operationem fuisse bonam.

Tertio, per aliam Subtractionem. Si enim Residuum subtrahas a numero superiore, a quo fuit facta subtractio, et remaneat numerus aequalis subtractio: rite peracta fuit Subtractio.

Annotationes. I.

[note: ] ALii, quando inferior figura major est superiore sibi correspondente, assumunt decem ad superiorem, ut nos, et ex toto aggregato subtrahunt inferiorem: at superiorem sequentem non minuunt unitate, sed inferiori sequenti addunt unitatem, et aggregatum subtrahunt a superiori sequenti integra: aut si nulla supersit figura inferior, ponunt loco illius 1. et a superiore subtrahunt. Sed hic modus in substantia non est diversus a nostris, eadem enim semper inter superiorem et inferiorem figuram differentia est, sive a superiore unitatem auferas, sive inferiori unitatem addas.

II. Si plures figurae significativae subtrahendae sint a pluribus cifris; ut si a 50008 subtrahenda sint 15432

eadem servanda sunt quae diximus supra. Vnde sic procedes in dicto exemplo. Subtrahe 2 ab 8, remanent 6: 3 a 10, remanent 7: 4 a 9. remanent 5: 5 a 9, remanent 4: 1 a 4. remanent 3. Si a 2116, subtrahenda sint 2049, sic procede. 9 a 16, remanent 7, 4 a 10, remanent 6: 0 a 0, remanet 0: 2 a 2, remanet 0.

III. In Subtractione non nisi duae numerorum series interveniunt, ut supra etiam dixi. Itaquesi aliquis numerus subducendus est a pluribus numeris, vel plures numeri ex uno: prius in unam summam colligi debent illi plures, et deinde Subtractio instituenda.

IV. Sunt adhuc alii modi Subtractionis, quos omitto, quoniam plus ingenii habent, quam utilitatis. Noster communis est, et universalis.

Articulus IV. De Multiplicatione numerorum integrorum.

[note: ] MUltiplicatio, Graece [gap: Greek word(s)] , est ductus duorum numerorum in se invicem ad inveniendum aliquem tertium numerum, in quo alter illorum toties continetur, quoties in altero unitas. Sic si multiplicentur 8 per 4, seu si ducantur 4 in 8, invenitur numerus 32, in quo numero toties continentur 4, quoties in 8 unitas, vel in quo toties continetur 8. quoties in 4 unitas. Inidem recidit, si dicas: Multiplicare unum numerum per alterum, est, toties sumere unum illorum, quoties alter continet unitatem. Sic

mulciplicare 8 per 4, est sumere octo quater, vel quatuor octies, et efficere 32, in quo numero, octo continentur quater, et quatuor continentur octies. In Multiplicatione ergo interveniunt duo numeri, et reperitur terrius. Ille qui multiplicatur, hoc est, aliquoties sumitur, appellatur Multiplicandus, alter per quem multiplicatur, appellatur Multiplicans, seu Multiplicator, terriusqui resultat, vocatur Factus, Quaelirus, Productus, Summa

Aliquando tam Multiplicatus, quam Multiplicans, continer unam figuram, ur si multiplicanda sint 8 per 9: aliquando uterque pluces continet figuras, ut si multiplicanda sint 1959 per 24. aliquando unus continet plures figuras, alter unam, ut si multiplicanda sint 3459 per 4. Pro singulis casibus praecepta trademus.

Primus casus, Quando uterque numerus unica [orig: unicâ] figura [orig: figurâ] constat.

IN hoc casu summa reperitur vel naturali judicio, aut ex frequenti usu: vel ex apposita Tabula, quam ab auctore Pythagoricam appellant: vel per Regulam pigri.

Usus hujus Tabulae hic est. Quaere in sinistro [note: Pythagorica tabula, et usus ipsius. ] latere A B multiplicandum, et in superiori A C multiplicatorem (vel e contrario) et ab illo latere perge dextrorsum, ab hoc vero deo[?] sum, invenies

in communi quadrangulo concursus summam quaesitam. Exempli gratia, sint multiplicanda 8 per 4: quaere 8 in latere A B, et 4 in latere A C; ac deinde ab 8 progredere dextrorsum, a 4 vero deorsum, et in quadratulo concursus invenies 32. Eandem summam invenies, si ab 8. versus dexteram numeres quatuor quadratula, vel a 4 deorsum numeres octo quadratula.

[note: Regula pigri. ] Regula pigri ita se habet. Primo scribe multiplicatorem sub multiplicando, et ad latus pone utriusque differentiam a 10, ut in sequentibus exemplis factum vides. Secundo. Multiplica unum residuum per alterum, et summam totam, si unica figura scribi potest, subscribe: si autem duabus figuris scribi deber, subscribe dextimam, et mente retine sinistimam. Tertio. Adde inter se multiplicandum et multiplicatorem, et summam totam subscribe. addito illo quod mente antea retinuisti. Quarto. Abjice ex tota summa infra scripta figuram ultimam ad sinistram, et residuum erit summa quaesita. Exempli gratiâ sint multiplicanda 8 per 7, aut 7 per 7 aut 9 per 5, aut 8 per 6. aut 8 per 4. Colloca numeros ut vides. et in primo exemplo multiplica 3 per 2, et summam 6 infra scribe: deinde adde inter se 8 et 7, et summam 15 scribe infra: demum abiice 1, et remanebunt 56 pro summa quaesica. Eodem modo procede in reliquis exemplis.

Aliter.

[note: ] COllocatis numeris, et facta multiplicatione residuorum, subtrahe alterutrum residuum a numero sibi per crucem opposito, et residuum scribe totum infra, et habebis summam quaesitam. Sic si in primo exemplo subtrahas 2 a 7, vel 3 ab 8, remanent 5: In secundo exemplo si subtrahas 3 a 7, remanent 4: in tertio si subtrahas 1 a 5, vel 5 a 9, remanent 4. etc.

Secundus casus, Quando unus numerus unam, alter plures figuras continet.

[note: ] SI Multiplicandus plures figuras continet, et Multiplicator unam: haec observa. Primo, Colloca duos numerosita sub se invicem, ut vides in exemplis infra positis. Secundo. Duc lincam infra numeros, et incipe operationem a dextera versus sinistram, sic. Duc inferiorem numerum in primam fuguram superioris ad dexteram, et summam scribe infra lineam directe sub inferiore numero. Deinde duc eundem inferiorem numerum in secundam figuram superioris, et summam scribe directe infra lineam post summam priorem versus sinistram, ut in exemplis factum vides. Eodem modo procede nique ad finem. Et quidem si summa ex multiplicatione unius figurae per aliam resultans est u[?]ca figura, scribenda est integre sub linea modo dicto, ut in exemplo A. Si autem sunt duae figurae, scribatur solum prima, et secunda retineatur mente, summaeque ex sequenti multiplicatione productae addatur, ut in exemplo B. Si nulla supersit figura superior, summae ex ultima multiplicatione resultans scribatur integre infra lineam, ut in eodem exemplo B factum est.

Sint igitur multiplicanda 4232 per 2. Colloca numeros ut in exemplo A apparet, et dic: bis 2, faciunt 4, scribe ergo 4 infra lineam. Iterum. bis 3, faciunt 6, scribe ergo 6 infra. Iterum bis 2, faciunt 4, scribe 4 infra. Tandem, bis 4 faciunt 8, et scribe 8 infra lineam. Sint iterum multiplicanda 3724 per 3. Colloca numeros ut in exemplo B, et dic: ter 4 faciunt 12. scribe ergo infra lineam 2, et retine 1. Iterum dic: ter 2 faciunt 6 et unum antea retentum, faciunt 7, scrib ergo 7 infra. Iterum, ter 7, faciunt 21, scribe infra 1, et retine 2. Tandem dic, ter 3, faciunt 9, et 2 antea retenta, faciunt 11, scribe ergo 11 infra lineam. Simili modo procedes in omnibus aliis exemplis, quando multiplicator est solum una figura.

Tertius Casus, Quando uterque numerus continet plures figuras.

[note: ] PRimo. Colloca numeros modo dicto, et prout apparet in sequentibus exemplis. Secundo. Ducta infra eos linea, duc primam figuram inferioris in singulas figuras superioris, et summas scribe infra ut antea in secundo casu. Tertio. Duc similiter secundam figuram inferioris numeri in singulas superioris, et scribe summas infra, incipiendo directe sub secunda figura inferioris et

superioris, prout in exemplis factum vides. Simili modo procede cum aliis figuris inferioris numeri, si quae supersunt, ducendo illas in singulas superioris, et summasscribendo infra, ut in exemplo B. Quarto. Omnes summas infra lineam scriptas collige in unam summam, utfactum vides in utroque exemplo.

Sint igitur multiplicanda 4256, per 24. Colloca numeros, ut in exeroplo A apparet, et ducta infra eos linea, primo multiplica omnes superiores figuras per 4, ac dic: quater 6, faciunt 24, scribe ergo 4 infra, et retine 2. Iterum dic, quater 5 faciunt 20, et 2 antea retenta, 22, scribe ergo 2 infra, et retine 2. Interum dic, quater 2 faciunt 8, et 2 antea retenra 10, scribe ergo infra et retine 1. Iterum dic, quater 4 faciunt 16, et 1 antea retentum 17, scribe ergo 17 infra. His factis, procede ad secundam figuram multiplicatoris, eamque duc in omnes superioris numeri figuras, dicendo: bis 6 faciunt 12, scribe ergo 2 infrâ lineam directe sub 2, et sub 5, et retine 1. Iterum, bis 5, faciunt 10, et 1 antea retentum, 11, scribe ergo 1 infra, et retine 1. Iterum bis 2, faciunt 4, et 1 antea retentum, 5, quae scribe infra. Tandem, bis 4, faciunt 8, quae etiam scribe infra. His etiam factis, duc lineam infra duas summas in ventas, easque collige per Additioneni, de qua Artic. 2. in unam summam, incipiendo a dextera versus sinistram. Simili prorsus modo procede in exemplo B, in quo quia multiplicator continet tres figuras, habebis tres summas partiales.

Examen Multiplicationis.

[note: Multiplicationis Arithmeticae examen. ] PRimo Rejice ex Multiplicando, 9, quoties potes, et residuum pone supra crucem. Secundo. Rejice ex Multiplicatione similiter, 9, quoties potes, et residuum pone infra crucem. Tertio. Duc in se invicem haec duo residua, et ex summa resultante rejice, 9, et residuum pone ante crucem. Quarto Rejice ex Facto seu Summa partiali infra primam lineam scripta, 9, quoties potes, et reliduum pone post crucem. Si duo residua ante et post crucem posita, fuerint aequalia, probabile est, multiplicationem fuisse rite peractam. Quinto. Si multiplicatio fuit facta per plures figuras, rejice etiam 9. quoties potes, ex summa, rotali per Additionem collecta, et infra secundum lineam scripta, et residuum pone post crucem. Si hoc residuum fuerit aequale residuo ante vel post crucem posito, prohabile est, etiam Additionem fuisse bonam.

Fit etiam Examen per Divisionem, de qua articulo sequenti. Si enim totalis summa producta dividatur per Multiplicandum, et redeat in Quotiente Multiplicator, aut si eadem summa dividatur per multiplicatorem, et in Quotiente redeat Multiplicandus, certum est fuisse rite peractam multiplicationem.

Annotationes. I.

[note: ] SI in Multiplicando occurrant cifrae, ducatur Multiplicator in illas, sed loco producti scribatur cifra infra lineam, nisi ex praecedenti producto aliquid mente retentum fuerit; tunc enim loco cifrae ponendum est, id quod fuerat retentum. Vtrumque servatum vides in exemplo A, in quo sic fuit instituta

operatio. Bis 2, faciunt 4; bis 0, faciunt 0, bis 2, faciunt 4, bis 8 faciunt 16; scriptum ergo est 6, et retentum 1, bis 0, facit 0, et 1 antea retentum, facit 1, bis 3, faciunt 6.

II. Si in Multiplicatore occurrat cifra una, aut plures; cum inter operandum ad eas deventum fuerit, pone loco producti infra lineam, unam cifram, et

operationem prosequere cum reliquis figuris significativis, ut vides factum in exemplo B, ubi secundo loco in multiplicatore est 0, et loco ipsius infra lineam posita est cifra, et continuata operatio per tertiam figuram Multiplicatoris.

III. Si in Multiplicatore, aut in utroque, fuerint aliquot zeri in principto, hoc est, ad dexteram; tunc abjectis zeris multiplicentur reliquae figurae inter se, et summae productae apponantur ad dexteram omnes zeriabjecti. Vt si multiplicandus sit numerus 3462, per 2000; rejectis tribus zeris ex Multiplicatore, multiplicetur datus numerus per 2, et summae productae 6924, apponantur ad dexteram iidem zeri hoc modo, 6924000. Sic etiam si multiplicanda sint 42000. per 32; rejectis quatuor zeris, multiplicentur 42, per 32, et producto numero 1344, apponantur quatuor zeri hoc modo, 13440000. Eodem modo si multiplicanda sint 420000, per 32000, rejectis septem zeris, multiplicentur reliqui numeri inter se, et Producto addantur totidem zeri sic 1344000000.

IV. Si numerus aliquis multiplicandus est per 10, vel 100, vel 1000. etc. Sufficit Multiplicando addere ad dextram tot zifras, quot continentur in multiplicatore, sine ulla alta operatione, quia unitas non multiplicat, sed ducta in aliquem numerum, producit enndem

Articulus V. De Divisione numerorum integrorum.

[note: Arithmetica Divisio. ] DIvisio (Graece [gap: Greek word(s)] ) unius numeri per alium, scilicet majoris per minorem, est inquisitio et inventio alicujus tertii numeri, qui unitatibus suis exprimit, quoties minor in majori contineatur. Ut gratia exempli, divisio numeri 20 per 4, est inquisitio et inventio numeri 5, qui quinque suis unitatibus quibus constar, exprimit quod 4 in 20 contineatar quinquies. Numerus qui dividitur, appellatur Dividendus: numerus per quem dividitur, Divisor: numerus qui per divisionem inquiritur acreperitur, Quotus seu Quotiens. Ex quibus patet, Divisionem nihil aliud esse, quam distributionem numeri Dividendi in partes, a Divisore denominatas.

Divisor aliquando est unica figura, aliquando plures. De utroque casu regulas trademus, ac primum de primo.

Casus primus, Quando Divisor est unica figura.

[note: ] PRoponam prius omnes regulasservandas in hoc casu; deinde unum aut alterum exemplum subjiciam.

Primo. Pone Divisorem sub Dividendo ad sinistram, ita tamen, ut si est minor quam ultima figura Dividendi, aut ipsi aequalis, sub illa directe collocetur, ut vides factum in exemplis A et E: si vero est major, collocetur sub penultima, ut vides factum in exemplis B, C, D.

Secundo. Forma dimidiam lunulam ad dexteram Dividendi, ut in iisdem exemplis factum vides: et inquire, quoties Divisor contineatur in numeroillo, sub quo est positus, sive hic sit unica figura, ut in exemplis A et E, sive duae, ut in exemplis: et Quotum seu quotientem inventum (hoc est numerum qui indicat quoties Divisor contineatur in numero sibi supposito) scribe post lunulam, ut in omnibus exemplis factum est.

Tertio; Duc Quotum in Divisorem, et Productum subtrahe ab illa, aut illis figuris Dividendi, sub qua vel quibus positus est Divisor: et liquid remanet post subtractionem, scribe id supra illas figuras a quibus facta est subtractio: si autem nihil remaner, scribe zerum supra. Deinde dele Dirisorem, et illam partein Dividendi, a qua facta est subtractio, relicto eo quod positum fuit supra post subtractionem, ut vides in dictis exemplis.

Quarto. Promove Divisorem, et colloca eum sub proxime sequenti figura Dividendi non deleta, et operare ut antea, si post priorem operationem nihil remansit suprascriptum, ut vides in exemplis A et B esse factum. Si autem aliquid remansit, vide quoties Divisor contineatur in toto illo numero sub quo est positus, nempe in aggregato ex figura Dividendi sub qua positus est Divisor, et ex figura ante relicta, ut vides in exemplo D.

Quinto. Si Divisore promoto nihil accipi possit, quod ponatur post lunulam pro Quoto, eo quod major sit Divisor quam figura Dividendi cui suppositus est; pone cifram post lunulam, et et relicto Dividendo immoto promove Divisorem, et colloca eum sub proxime sequenti figura Dividendi, et vide quoties contineatur in Dividendo duabus jam figuris constante, acoperare ut supra, ut factum vides in exemplis, D et E

Sexto. Si peracta tota divisione remansit aliquid supra Di videndum post subtractionem relictum, poneillud post Quotum supra lineolam transversam, et infra eandem lineolam pone Divisorem, et vides factum in exemplo B, C, et D. Significat, quod in exemplo B pars tertia totius numeri divisi sint 811 1/3, et in exemplo C pars quarta sit 60 8 2/4, seu 1/2: et in exemplo D, pars quarta sit 858 2/4, seu 1/2. Vel significat, quod facta divisione totius Summae dividendae in tot partes, quot unitates continet Divisor, remanent aliquae partes quae dividi debeant in alias minores partes, et iterum dividi per eundem Divisorem, eo modo, quo dicemus cap. sequenti de numeris fractis agentes. Sic si in exemplo B divisi essent floreni 2434. inter tres, facta divisione remaneret unus florenus dividendus iterum inter tres; qui proinde ad minores partes, v. g. ad bacios esset redigendus.

Explicemus nunc unum, aut alterum ex positis exemplis. Sint dividenda 468, per 2. Colloca numeros

ut hic vides in F. Deinde dic: 2 in 4 continentur bis; scribe ergo duo post lunulam pro Quoto, et multiplica hunc Quotum per Divisorem, nempe 2 per 2, fiunt 4, quae scribe infra 2, ut vides in G, aut mente retine: subtrahe jam haec 4 a figura Dividendi cui subscriptus

est Divisor, nempe a 4, et I. a Operatio. nihil remanet; scribe ergo zerum seu cifram super 4, et dele Dividendum 4, Divisorem 2, et Productum multiplicationis, 4, ut factum vides in G, et peracta erit prima operatio. His factis promove Divisorem

infra 6, stabitque exemplum ut in H. Dic iterium: 2 in 6, continentur ter; scribe ergo 3 postlunulam, utin I apparet: et multiplica 2 per 3, fient 6, quae scribe infra 2 et 6, ut ibidem apparet: subtrahe jam

6 a 6 suprapositis, et nihil remanet; scribe ergo zerum supra 6, et dele 6, et 2, et 6, ut factum vides; eritque peracta 2. Operatio. Tandem promove Divisorem 2 infra 8, et operare ut antea, stabitque exemplum ut in A, et erit peracta tertia et ultima operatio.

In exemplo C, pone Divisorem 4 non sub 2, sed sub 4, ut stet infra 24. Vide ergo quoties contineatur 24 in 4, et operare ut in praecedenti exemplo. Promove deinde 4 infra 3, et quia 4 in 3 non continetur, cum 4 major sit numerus quam 3, ideo relinque 3, et promove 4 infra 34, et operare ut antea.

In exemplo D, pone divisorem 4 infra 4, ut stet infra 34, et facta operatione, remanebunt 2

supra 4 Promove Divisorem infra 3, stabitque infra 23. Operare ergo ut antea, et remanebunt 3, promotusque Divisor stabit infra 34.

Casus secundus, Quando Divisor continet plures figuras.

[note: ] Primo. Colloca Divisorem infra Dividendum ita ut ultima illius sigura correspondeat ultimae Dividendi, et penultima penultimae, etc. ut apparet in exemplo A. Quod si totus Divisor major est quam illa pars Dividendi, cuiresponderet, si dicto modo collocaretur; debet uno loco magis versus dexteram collocari, ut apparet in exemplo B.

Secundo. Vide, vel quoties totus Divisor contineatur in parte illa Dividendi, cui est suppositus, vel certe quoties ultima ad sinistram figura Divisoris contineatur in illa figura aut figuris Dividendi, quibus supposita est; et Quorum pone post lunulam. Sicin exemplo A videndum, vel quoties 24 contineantur in 48, vel quoties 2 in 4: et in exemplo B videndum, vel quoties 43 contineantur in 328, vel quoties 4 in 32, et post lunulam scribendum est in primo exemplo 2. in secundo exemplo, 7. et non amplius, propter causam postea dicendam.

Tertio, Multiplica Quorum inventum in omnes sigutas Divisoris more consueto in Multiplicatione ordinaria: et Productum vel scribe infra, ut apparet in exemplis C et D: vel mente retine. Deinde subtrahe Productum ab illa parte Dividendi, cui suppositus est Divisor, more etiam ordinario in Subtractione, et residuum scribe infra, deleque et partem Dividendi a qua facta est subtractio, et Divisorem, et productum infra Divisorem, ac solum relinque residuum infra scriptum, ut apparet in iisdem exemplis C et D.

Quarto. Residuo post subtractionem infra lineam scripto appone addexteram, proximam Dividendi figuram post figuras deletas, ut vides factum in exemplis E et F. Efficietitaque residuum illud cum proxime dicta Dividendi figura, novum Dividendi membrum cui supponi debet Divisor. Deinde novo huic Dividendi membro subscribe totum Divisorem antiquum, ita ut prima seu dextera figura hujus stet sub prima seu dextera illius, et secunda sub secunda, etc. ut vides in iisdem exemplis B et F factum. Demum vide iterum, ut antea, quoties vel totus Divisor sub toto membro Dividendi sibi correspondente, vel ultima ad sinistram figura Divisoris contineatur in illa figura aut figuris Dividendi, quibus supposita est; et Quotum scribe post lunulam: ut vides factum in exemplo F, eumque duc in oranes Divisoris figuras, et productum infra scribe, ac subtrahe a Dividendi membro sibi correspundente, residuumque scribe infra ut antea, prout factum vides in exemplo H. Quod si Divisor major est quam Dividendi membrum cui subscriptus est, scribe post lunulam zerum, ut vides factum in exemplo E; et omissa omni alia operatione scribe adhuc aliam proxime sequentem Dividendi figuram ad residuum antea infra lineam scriptum, et promove Divisorem ut dictum, et operare ut antea, ut vides factum in exemplo G.

Sed resumamus, ingratiam Tyronum, exemplum A, et particulatius explicemus. Sint igitur dividenda 4830 per 24. Colloca numeros, ut vides in A, et dic: 24, in 48, vel 2 in 4, continentur bis, scribe ergo 2 post lunulam. Multiplica jam 24 perz, producentur 48, quae. scribes infra, ut vides, in C. Subtrahe haec 48 a 48 supra scripris, et nihil remanebit: scribe ergo infra 00, ut in eodem C, et dele figuras quas ibi deletas vides. Duobus 00 adde ad dexteram 3, nempe proximum numerum Dividendi non deletum, et subscribe Divisorem ut vides in E, et dic: 24 in 3, non continetur; scribe ergo post lunulam zerum, ut ibidem vides, et praedictae figurae 3, adde ad dexteram 0, nempe ultimam dividendi figuram, ac promove divisorem ut in G vides, et dic: 24 in 30, continetur semel: scribe ergo 1 post lunulam: et quoniam 1. non multiplicat, subtrahe 24 a 30, remanent 6, quae scribe post Quotum supra virgulam transversam, et subscribe Divisorem, ut in G vides factum. Simili modo procedein exemplo B, et in omnibus aliis similibus exemplis.

Examen Divisionis.

[note: Arithmeticae divisionis examen. ] DUc divisorem in Quotum inventum, et numero ex multiplicatione resultanti adde residuum ex divisione, si quid remansit, si tota summa fuerit aequalis Dividendo, certum est fuisse bonam operationem. Sic si in exemplo proxime proposito ducas 24 in 201, producentur 4824: quibus si addas 6 quae remansenunt, pro dibunt 4830, nempe Dividendus.

Annotationes. I.

[note: ] Pro Quoto nunquam in particularibus operationibus poni debet post lunulam plus quam una figura,

atque adeo Quotus particularis nunquam erit major quam 9. tametsi Divisor aliquando videatur contineri sapius in numero Dividendi sibi directe supraposito.

II. Id quod remanet tam post singulas operationes, quam post totam divisionem peractam, debet esse minus quam totus Divisor, alioquin erratum fuit, et signum est Quccum in operatione aliqua particulari acceptum fuisse nimis parvum, ac proinde major accipi debet, reiterando operationem.

III. Quando aliquo Quoto particulari accepto, et facta multiplicatione illius in Divisorem, summa resusltans est ma or quam pars illa Dividendi a qua debet fieri subtractio; signum est, Quotum acceptum esse nimis magnum, ac proind minor accipi debet.

IV. Quotus totalis peracta tota divisione, debet habere tot figuras. quoties Divisor sub Dividendo fuit positus, sive Divisio fiat per unicam figuram, sive per plures. Vnde statim a principio sciri potest, quot figuras debeat habere Quotus qui quaeritur.

V. Quando minor numerus per majorem proponitur dividendus, ut 48 per 60, non potest fieri divisio, sed ponendus est Dividendus supra Divisorem, interjecta lineola sic, 48/60 Significat, Divisorem non continerim Dividendo, ne semel quidem, debereque dividi Dividendum in alias partes minores ac plures, ut fieri possit div sio.

VI. Cum magnus numerus dividendus est per magnum nume um, expedit ut facta una aut altera operatione particulari examinetur divisio sacta, antequam ulterius procedatur, ne si er[?]atum fuit, error ulterius propagetur. Examinatur autem pars divisionis non aliter, quam tota div sio.

VII. Si Divisor habet unam aut plures cifras ad dexteram, possunt anferri, et a Dividendo possunt abscindi totidem figurae ad dexteram, et cum reliquis figuris instuni potest operatio. Sed tunc peracta tota divisione debent figurae ex Dividendo abscissae poni supra lineolam transversam pro residuo, illissque praeponi ad sinistram si quid remansit post divisionem, et infra lineolam poni Divisor. Vt si dividenda sint 359. per 20. fiat divisio per 2, et seponatur dextima Dividendi figura 9, et quia facta divisione remanet 1, erit totum residuum 19/20.

VIII. Si ultima Divisoris nota ad sinistram fuerit 1, et reliquae, zeri, peracta est divisio, si a dextra Dividendi renciantur tot figurae quot zeros habet Divisor, et ex siguris rejectis ac integro sore fiat fractio. Vt si dividenda sint 4983 per 10, proventet pro Quoto 498 3/10: siper 100, erit Quotus 49 33/100.

IX. Quando Divisor continet plures siguras, alii sic procedunt. Quotum particularem quemlibet ducunt in singulas figuras Divisoris incip eado a sinistra versus dexteram, et residuum scribunt supra Dividendum. Sed tunc oritur maxima confusio, propter tot supra scriptiones; et si erratur semel, difficulter error corrigi potest, nisi incipiatur de novo.

X. Quando inquiritur, quoties figura sinistra Divisoris contineatur in illa aut illis figuris Dividendi, sub quibus est posita, debet haberi respectus ad sequentem figuram Divisoris, et videndum num et ipsatoties contineatur in illa parte Dividendi quae ipsi correspondet. Sic in exemplo B supra posito, 4 continentur quidem octies in 32, at quia 3 quae sequuntur post 4, non continentur oct es in sequenti figura Dividendi, nempe in 8, ideo non possunt poni 8 pro Quoto, sed tantum 7, quia in 8. una cum residuo ex 32, continetur jepties. Quod sine septies quidem contineretur, ponenda essent pro Quoto tantum 6.

XI. Quotus particularis in singulis operationibus, in quo inveniendo consistit tota difficultas divisionis, facile nvenitur, I. Si incipias multiplicare Divisorem totum per 2, per 3, per 4 etc. donec invenias in producto vel praecise Dividendum epsi directe suprascriptum, vel proxime minorem numerum: tunc enim quotus est ille numerus, per quem ultimo multiplicasti Divisorem. II. Ex tabula Pythagorica extensa, aut ex tabulis Neperianis, de quibus infra. III. Si Quotus verisimiliter acceptus ducatur mentaliter in primam et secundam figuram Divisoris a sinistris, ut videatur num summa resultans subduci possit a superscripto numero: IV. Per subtractionem, si Divisor a Dividendo subducatur quoties potest: tot enim unitates continere debet Quotus, quoties Divisor fuit subductus a Dividendo Ex quo patet, divisionem esse compendiosam subtractio. nem.

CAPUT II. De Elementis numerorum fractorum.

[note: Elementa Arithmetica practicae in numeris fractis. ] NVmerus fractus (qui et fractio, et minutia dicitur) est pars, aut partes alicujus integri in plures partes aequales divsi, cujusmodi sunt hinumeri: 1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/5, etc.

Articulus I. De Scriptione et Numeratione fractorum numerorum.

[note: Numeratio fracterum numerorum. ] AD scribendum quem cunque numerum fractum, duo requiruntur numeri: quorum unus scribitur supra lineam, et dicitur Numerator: alter infra lineam, et dicitur Denominator. Ta les sunt numeri paulo ante positi, et ita pronuntiantur seu leguntur: Una secunda, una tertia, una quarta, duae quartae, tres quartae, quatuor quintae. Eodem modo leguntur ac enuntiantur omnes aliae fractiones. Inferior numerus in fractionibus vocatur Denominator, ut diximus, qui nominat in quot partes aequales divisum sit integrum: superior vero appellatur Numerator quia numerat partes acceptas ex partibus, in quas totum divisum est.

Articulus II. De Aestimatione, seu Valore numerorum fractorum.

[note: Valer fractorum numerorum. ] QVando Numerator alicujus minutiae seu fractionis est aequalis Denominatori, minutia aequivalet uni integro. Sic 3/3, aequivalent uni integro diviso in tres partes aequales.

Quando Numerator est minor Denominatore, tunc minutia est minor uno integro. Sic 2/3 minus est quam integrum divisum in tres aequales partes.

Quando Numerator est major Denominatore, tunc minutia est major quam unum integrum. Sic 4/3 plus sunt quam unum integrum divisum in tres partes.

Augetur Minutiarum valor, quando Numeratore manente eodem minuitur Denominator; item quando Denominatore manente eodem augetur Numerator. Sic in his fractionibus, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, item in his 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 quaelibet posterior est majore priore.

Minuitur Min utiarum valor, quando numeratore manente eodem Denominator augetur; item quando Denominatore manente eodem Numerator minuitur. Sic in his fractionibus. 1/2, 1/3, 1/4, etc et in his 7/8, 6/8, 5/8, etc. quaelibet posterior priore minor est.

Minutae quaecunque, quarum unius Numerator ad fuum Denominatorem habet eandem proportionem, quam reliquarum Numeratores ad suos Denominatores inter se aequales sunt. Sic hae minutiae, 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 8/16, 50/100, 100/200, etc. omnes sunt inter se aequales.

Si tam Numerator quam Denominator alicujus Minutiae multiplicetur, aut dividatur per eundem numerum procreatur alia minutia ejusdem valoris cum priori. Sic si hujus minutiae 6/9, tam Numerator quam Denominator multiplicetur per 3, producetur minutia 18/27, Si dividatur per 3, producetur haec, 2/3, quarum utraque est ejusdem valoris cum priori. Sed de hoc iterum Articulo 4.

Utra duarum minutiarum major sit, sic cognoscces. Positis minutiis ordine, multiplica earum numeros in crucem, id est, Numeratorem prioris in Denominatorem posterioris, et posterioris Numeratorem in prioris Denominatorem, ponendo summam productam supra, aut infra minutias datas. Nam cujus Numerator majorem summam produxerit, ea minutia major erit. Si summae productae sunt aequales, etiam minutiae aequales erunt. Inspice sequentia exempla.

Articulus III. Qua ratione valor minutiarum maioris monetae, ponderis, mensurae, etc. explorandus in minori moneta, pondere, mensura.

[note: Valor minutiarum quomodo explorandus ] HAbes 2/3 unius floreni, vis scire quot bacios faciant: item habes 3/4 unius bacii, vis scire quot cruciferos faciant. Eadem est ratio de ponderibus, et mensuris. Multiplica Numeratorem per numerum illum, qui indicat quoites minor moneta, etc. ad quam revocanda est fractio data, continetur in majori, et productum divide per Denominatorem, et Quotus indicabit valorem datae minutiae in minore moneta, Sic, quia unus florenus facit 15 bacios, si 15 multiplices per 2, et productum 30 dividas per 3. Quotus 10 indicabit, 2/3, unius floreni esse 10 bacios.

Aliter. Dvide numerum illum, qui indicat quoties minor moneta continetur in majori, per Denominatorem, et Quotum productum multiplica per Numeratorem, et productum indicabit valorem datae minutiae in minori moneta. Sic si 15 bacios dividas per 3, et productum 5 multiplices per 2, productum 10 indicabit idem quod antea.

Articulus IV. De Fractionum ad minores, et minimos terminos reductione.

[note: Fractiones ad minores terminos quomodo reducendae. ] SAEpe minutia aliqua scribitur valde magnis numeris, ut difficulter intelligatur ejus valor; qui tamen facile intelligitur, si minoribus terminis scribatur, quando id fieri potest. Sic dificulter intelligitur quid sint 30/60 unius floreni, facile tamen scitur quid sit 1/2 unius floreni, et tamen utraque minutia idem valet, ut patet ex dictis Artic. 2.

Adminores terminos redigitur minutia, si tam Numerator, quam Denominator, dividatur per eundem numerum ita, ut nihil remaneat: tunc enim quoti producti constituunt minutiam minorum terminorum, ejusdem tamen valoris. Sic si hujus minutiae 30/60. utrumque numerum dividas per 3, habebis 10/20: si per 2 habebis 15/30; si per 5 habebis 6/52: quae omnes sunt ejusdem valoris.

Ad minimos terminos reducitur minutia sic. Subtrahe tamdiu minorem numerum ex majori, v. g. Numeratorem ex Denominatore, donec Subtrahendus et Residuum fiant aequalia: Vel, divide tam diu majorem per minorem, donec nihil remaneat. Hoc facto, si tam Numerator quam Denominator minnutiae majoris datae dividatur per ultimu~illud Residuum, aut per ultimum Divisorem, constituent duo Quoti novam fractionem in minimis terminis, ejusdem tamen valoris cum priore. Sic si in hac minutia 30/60, subtrahas 30 a 60, remanent 30, quod est aequale priori subtrahendo. Divide ergo utrumque numerum minutiae datae per 30. et habebis 1/2. Idem fiet, si subtractione modo dicto utaris. Quod si in, hac mutua subtractione residuum nunquam aequale sit subtrahendo, aut in divisione semper aliquid remaneat donec ad unitatem pervenitur; signum est fractionem non posse reduci ad minores terminos. Numerus per quem uterque fractionis numerus dividitur, vocatur communis mensura: et ille qui invenitur dicta subtractione ac divisione mutua, appellatur maxima utriusque mensura.

Articulus V. De Fractionum ad eandem denominationem reductione.

[note: Fractiones ad eandem denominationem reducere. ] FRactiones ad eandem denominationem reducere, est efficere ut fractiones diversorum Denominatorum acquirant eundem Denominatorem, diversos autem Numeratores, idem tamen quod antea valeant. Fractiones reducendae aut sunt duae tantum, aut plures.

Si duae fractiones sint reducendae, duc Denominatores in se invicem, et habebis communem Denominatorem Pro novis Numeratoribus, duc per crucem fractionum Numeratores in earum Denomintores.

Vis reducere ad eandem denominationem has duas fractiones, 2/3 x 4/5, colloca illas ut vides, et duc inferiores numeros in se, et habebis 15 pro communi Denominatore: deinde pro primae fractionis Numeratore duc 2 in 5, pro secundae vero duc 3 in 4, et habebis 10 et 12 hoc modo: 10/15, 12/15, quae idem valent quod 2/3, et 4/5. Vide etiam quae dicimus in Amussi Ferdinandea, Decade 1. Proposit. 9.

Si plures fractiones sint reducendae, duc primae Denominatorem in denominatorem secundae, productum in denominatorem tertiae, et hoc productum in Denominatorem quattae, etc. Et erit postremum productum Denominator communis. Pro novis Numeratoribus, duc Numeratorem primae fractionis in Denomitatorem communem jam inventum, et productum divide per ejusdem Denominatorem, et Quotus erit novus Numerator pro prima fractione reducta. Deinde duc Numeratorem secundae fractionis in eundem communem Denominatorem jam inventum, et productum divide per ejus Denominatorem, eritque Quotus novus Numerator. Eodem modo procedes in aliis. Sint reducendae ad eandem denominationem hae fractiones, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5. Duc Denominatores in se, hoc est, duc 2 in 3, fient 6, hoc productum in 4, fient 24, hoc in 5, fient 120 pro communi Denominatore. Pro primo novo Numeratore duc 1 in 120, productum divide per 2, et provenient 60 pro primo Numeratore, Pro secundo duc 2 in 120. productum 240. divide de per 3, et invenies 80 pro secun: Numeratore. Pro 3. duc 3 in 120, productum 360 divide per 4, et prodibunt 90 pro tertio Numeratore. Pro quarto duc 4 in 120, et productum 480 divide per 5, et reperies 96. Sic ergo stabit exemplum 60/120, 80/120, 90/120, 96/120 quae reduci possunt ad minores terminos.

Articulus VI. De fractionum reductione ad integra, et e converso.

[note: Fractiones reducere ad integre ] DIvide Numeratorem per Denominatorem, et Quotiens dabit numerum integrorum quibus aequivalet minutia, et si quid post divisionem remanet, suppone ipsi eundem Denominatorem. Sit v. g. haec minutia, 60/12, reducenda ad integra. Divide 60 per 12, et provenient 5 integra.

Multiplica integra per Denominatorem minutiae, ad quam integra sunt reducenda, et productum erit Numerator, cui subscribendus est Denominator datae minutiae. Sic reduces 7 integra ad quintas, si multiplices 7 per 5, et producto 35 supponas 5, ut fiat haec fractio, 3/5.

Si integris adhaeret minutia, addendus est Numerator ad numerum productum. Ut si reducenda sint 8 2/5 ad quintas, multiplicatis 8 per 5, et productis 40, addenda sunt 2. ut fiant 42/5.

Articulus VII. De Additione numerorum fractorum.

[note: Fractionum additio. ] SIfractiones addendae habent eundem Denominatorem, adde invicem Numeratores, et suppone illis communem Denominatorem, v. g. sint addendae hae minutiae: 1/7, 3/7, 5/7, 6/7: adde Numeratores inter se et habebis 14, quibus si supponas 7, habebis 14/7, quae reducta ad integra, faciunt 2.

Si fractiones habent divisos Denominatores, reduc ipsos ad eundem, juxta Artic. 5, et operare modo dicto.

Si integris adhaerent minutiae, addenda sunt seorsim integra, et seorsim minutiae. Sic ex 4 1/5 et 5 2/3, fiunt 9 3/5.

Examen Additionis

[note: ] EXamen additionis fit per subtractionem: subtracta enim altera minutiarum ex summa collecta, remanere debet altera, si duae tantum fuerunt additae: Si plules sunt additae, subtracta una earum ex summa, relinqui debet minutia aliis simul sumptis aequalis.

Articulus VIII. De Subtractione numerorum fractorum.

[note: Fractionum subtractio. ] SI duae minutiae habent eundem Denominatorem, subtrahe minorem Numeratorem a majori, et residuo suppone communem Denominatorem. Sit haec fractio, 3/7, subtrahenda ex hac, 5/7, subtrahe 3 ex 5, et remanent 2, quibus suppone 7 sic, 2/7.

Si non habeant eundem Denominatorem, reduc eas prius ad eundem, juxta dicta Artic. 5. et deinde age ut dictum.

Si ab integris subtrahenda est aliqua fractio, reduc unam unitatem integrorum ad fractionem ejusdem Denominatoris, ita ut fiat minutia cujus Numerator aequalis sit Denominatori, et deinde ab hac minutia subtrahe minutiam propositam. Sint ex 10 auferendae 6/11, accipe unitam ex 10, et fac hanc fractionem, 11/11, auferque ex ipsis 6/11, et remanebunt 9 5/11.

Si ab integris detrahenda sint integra, et praeterea fractio aliqua, reduc unam unitatem illorum integrorum, quibus nulla adjuncta est fractio, ad minutiam ejusdem Denominationis: deinde detrahe integra a reliquis integris, et fractionem a fractione. Sic si a 10 subtrahas 4 3/5, remanent 5 2/3.

Si ab integris una cum fractis detrahenda sint integra una cum fractis, vel fractiones solae, tunc si fractio detrahenda est minor, quam illa a qua fieri debet subtractio, vel illi aequalis, detrahe fractionem a fractione, et integra ab integris; si vero fractio subtrahenda est major, quam illa a qua fieri debet subtractio, reduc unam unitatem integrorum, a quibus subtractio fieri debet ad fractionem quae illis adhaeret, et operare ut dictum.

Si una minutia a pluribus est subtrahenda, vel plures a pluribus, reduc prius plures illas minutias in unam summam.

Examen subtractionis.

[note: ] EXamen subtractionis fit per additionem: si enim minutia relicta ad subtractam minutiam adjiciatur, et resulter iterum minutia illa a qua fuit facta subtractio, bona fuit operacio.

Articulus IX. De Multiplicatione numerorum fractorum.

[note: Fractionum Multiplicatio. ] QVando multiplicanda est fractio per fractionem, duc tam Numeratores quam Denominatores in se, et erit multiplicatio peracta. Vis multiplicare 4/5 per 2/3, duc tam 4 in 1, quam 5 in 3, et produces 8/15.

Quando integer per fractum est multiplicandus, aut fractus per integrum: suppone integro unitatem: ut fiat quasi fractio quaedam denominata ab unitate: deinde age ut dictum. Sint multiplicanda 8 per 4/5: pone 1. sub 8 sic, 8/1, et multiplica intei se tam Numeratores, quam Denominatores, et producentur 32/5, quae aequivalent huic numero, 6 2/5.

Quando numero integro adhaeret minutia, reduc totum numerum integrum ad illam minutiam, ut fiat una fractio ex integro et minutia adjuncta. Sint multiplicanda 8 per 3 5/6: fac ex 3 5/6 hanc minutiam 23/6, et numero 8 suppone I, et operare ut dictum.

Examen Multiplicationis.

[note: ] EXamen fit per divisionem. Si enim minuita producta dividatur per alteram minutiarum multiplicantium, prodibit in Quotiente altera minutia multiplicans.

Articulus X. De Divisione numerorum fractorum.

[note: Fractionum divisio. ] QVando dividenda est minutia per minutiam, inverte Divisorem, hoc est, ex Numeratore fac Denominatorem, et contra: deinde operare ut in praecedenti Artic. Sint dividenda 6/7 per 1/3: inverte Divisorem hoc modo, 3/1: deinde duc tam superiores, quam inferiores numeros in se, et produces 18/7: et factâ reductione fractionum ad integra, habebis 2 4/7 pro Quoto.

Quando numerus integer dividendus est per minutiam, vel per numetum integrum cum minutia, vel minutia per numerum integrum, vel per numerum integrum cum minutia, vel denique numerus integer cum fractione per minutiam, aut per numerum integrum cum fractione; suppone integro unitatem, si ei non adhaer et minutia; si vero adhaeret minutia, reduc numerum integrum ad minutiam adjunctam, ut fiat una minutia. His factis, operare modo dicto.

Examen Divisionis.

[note: ] EXamen fit per multiplicationem. Nam si minutia Quotiens multiplicetur per minutiam dividentem, producetur minutia divisa. Sic quia ex divisione 4/5 per 1/2 producitur haec minutia, 8/5, sive 1 3/5: fit ut ex multiplicatione 1 2/5 per 1/2 producatur minutia divisa, nerape 8/10, id est, 4/5.

CAPUT III. De Regulis nonnullis Arithmeticae Practicae.

[note: Regulae Arithmeticae practicae. ] UTusum multiplicem eorum quae hactenus diximus, ostendamus, Regulas nonnullas practicas a dictis dependentes trademus, ex multis paucas.

Articulus I. De Regula proportionum.

[note: Regula proportionum. ] REgula proportionum, quae et Regula Trium appellatur, est modus seu praxis inveniendi e tribus numeris cognitis quartum ignocum, qui eandem habeat proportionem ad tertium ex tribus datis, quam habet secundus ad primum. Cum igitur in quatuor numeris proportionalibus, quorum priores tres noti sunt, quartus autem qui quaeritur ignotus, versetur haec praxis: ideo Regula proportionum appellatur. Et quia tres numeros notos ponit, et ex iis quartum ignotum elicit; ideo Regula Trium vulgo appellatur. Vocatur etiam Regula aurea ob immensam utilitatem non solum in Mathematicis, sed in omni humano commercio. Exemplum quaestionis hac Regula solvendae esto hoc. Emit quis 4. florenis, 12 libra certarum mercium, et cupit scire quot libras possit emere 20. florenis. Habes hic tres numeros notos, et ex iis inquintur quartus ignotus, qui cum tertio habeat eandem proportionem, quam secundus cum primo. Et quidom horum trium unus in hoc, et in omnibus aliis exemplis, habet annexam quaestionem, et idem significat in specie, quod unus ex reliquis duobus, ut consideranti paret; quartus vero qui quaeritur, significat similiter eandem rem in specie, quam alter ex reliquis duobus. Duo numeri ex his quatuor qui idem significant, possunt vocari homogenei, brevitatis gratia.

Porro Regula haec, facilitatis et claritatis gratia ob diversitatem exemplorum, fieri potest quadrimembris, nempe Simplex Directa, Simplex Inversa, Composita Directa, Composita Inversa. Singulas ordine explicabo.

Regula Proportionum Simplex Directa.

[note: Simplex directa. ] PRaxis hujus Regulae haec est. Colloca ordine tres numeros notos ita, ut is, qui quaestionem habet annexam, statuatur tertio locos: reliquorum autem ille qui idem significat quod hic tertius, hoc est, eandem rem in specie, statuatur primo loco: alter demum locorum, cui quartus, qui quaeritur, homogeneus est, occupet medium lo. cum. His factis, multiplicetur tertius per secundum et summa producta dividatur per primum: et quartus erit Quotus qui quaeritur.

Dispositis hoc modo tribus numeris, duc secundum num erum in tertium, aut tertium in secundum, et productum 240 divide per primum: et Quotus resultans ex divisione, scilicet 60, erit quartus qui quaeritur, habebitque eandem proportionem ad tertium numerum ex tribus daris, quam habet secundus ad primum, ut consideranti paret.

Examen.

[note: ] EXamen hujus Regulae fit ut in divisione, mul tiplicando nimirum Quotum, seu quartum numerum inventum, per Divisorem, id est, per primum numerum notum: nam si provenit iterum numerus Divisus, id est, procreatus ante ex ductu numeri secundi in tertium: bona fuit operatio.

Annotationes. I.

[note: ] DIcitur haec Regula simplex, quiae constat tribus numeris simpilcibus, et non compositis ex pluribus. Dicitur Directa, quia numeri disponuntur eo ordine, quo proponuntur, et quem rectus ordo quatuor proportionalium numerorum requirit.

II. Ad faciliorem operationem potest aliquando primus et secundus numerus, aut primus et tertius, reduci ad minores terminos, per communem aliquam mensuram, sive maximam, sive non maximam, eos dividendo, et loco illorum statuendo Quotos. Sic quia in exemplo supra posito numerus 4. metitur primum et secundum si diviso utroque per 4, Quotientes 1. et 3 pro illis accipiantur, sic stabit idem Exemplum: 1. 3. 20? Item, quia in eodem exemplo idem numerus 4 metitur primum et tertium, si diviso utroque per 4, accipiantur pro illis Quoti et 52 sic stabit idem exemplum: 1. 12. 5? Vtrobique enim provenient 60. Ratio est, quia eadem proportio est inter Quotientes duorum numerorum per eundem numerum divisorum, quae inter ipsos numeros.

III. Quando in al quo exemplo proponuntur pro uno termino monetae, aut alia similia, diversae speciei, debent reduci ad unam speciem, V. G. expendit quis 1. septimana pro victu 1. flor. et 12 crucigeros, quantum expend tintegro anno? In hoc ac similibus exemplis debent reduci termini ad homogeneitatem, ac proinde annus debet resolvi in 52 septimanas, et florenus in 60. crucigeros, illisque addi 12 crucigeri. Sic ergo stabit exemplum: 1. sept. 72. cruc. quid 52. septim?

Regula Proportionum Composita Directa.

ALiquando tres termini principales habent [note: Composita directa. ] adjunctos alios minus principales, cujusmodi sunt qui tempus, lucrum, damuum, vel aliquid simile significant. In quibus casibus oporter terminos seu numeros minus principales componere cum principalibus, ut fiant tres solum termini: quod fit multiplicando quemlibet principalem, per suum adjunctum minus principalem et totum productum, quod terminum compositum vocamus, debet collocari ut in praecedenti Regula, et in sequenti exemplo apparebit. Hac igitur de causa hanc Regulam vocamus Compositam.

Composita igitur Regula in eo differt a priori, quod ad tresterminos principales reducat minus principales, et numeros compositos disponat ut simplices.

Exemplum Convictores 4, diebus 15, solvunt florenos 20; quaeritur, quot florenos solvere debeant 12 convicttores, diebus 36? Tres termini principales noti sunt, 4 convictores, 20 floreni, 12 convictores. Minus principales seu adjuncti termini sunt, 15 dies, et 36. dies. Ad 4 convictores spectant dies 15, et ad 12 convictores dies 36. Multiplica ergo 4 per 15, fient 60 pro termino composito. Multiplica item 12 per 36, fiunt 432 pro altero termino composito. His factis, dispone ita tres numeros: Si 60, dant 20, quid dabunt 432? Duc secundum in tertium, et productum 8640 divide per primum, et dabit Quotus florenos 144.

Annotatio.

[note: ] HOc, et similia exempla possunt etiam solvi per duplicem operationem in Regula simplici factam, si dicatur primo: 4 dant 20, quid dant 12? proveniunt 60. Deinde, 15. dant 60, quid dant 36? proveniunt ut prius 144. Hic quoniam quinque interveniunt numeri, ideo aliqui vocant hunc modum operandi Regulam Quinque.

Regula propertionum Simplex Inversa.

[note: Simplex inversa. ] IN quatuor numeris Regulae proportionum hactenus explicatae ea est proportio primi numeri ad secundum, quae est tertii ad quartum, ut vidimus: ac proinde (ut ex Proposit. 14. lib. 5. Element. Euclidis colligitur) si primus major est vel minor tertio, etiam secundus major est vel minor quarto, uti consideranti patet. Solet autem nonnunquam accidere, ut ex tribus numeris notis quaeratur quartus, ad quem secundus ita se habeat, ut quo major est primus tertio, eo minor esse debeat secundus quarto: et quo minor est primus tertio, eo major esse debeat secundus quarto: ut si 30. operarii absolvunt opus aliquod 4 diebus, 50 operarii absolvere debent idem opus paucioribus diebus, nempe 2 diebus, 8 horis, minutis 48. ut mox videbimus.

In hoc igitur, et similibus casibus, vel invertendus est ordo trium numerorum propositorum, faciendo ex primo tertium, et ex tertio primum; vel servato ordine uti in prioribus, variandus est modus operandi, nempe primum numerum per secundum (vel, quod idem est, secundum per primum) multiplicando, et productum dividendo per tertium: tunc enim Quotus erit quartus numerus quaesitus.

Exemplum I. 20. muratores conficiunt murum 4, diebus, 30. muratores quot diebus conficerent eundem? Multiplica 20. per 4. et productum 80. divide per 30, provenient 2 20/30, seu 2 2/3, hoc est, dies 2, horae 16.

Eexemplum II. 30 operarii absolvunt opus aliquod 4, diebus, 50. operarii quot diebus absolverent? Multiplica 30 per 4, et productum 120 divide per 50, et invenies 2 20/50, seu 2/5 unius diei, quae 2/5 faciunt horas 8 4/5 unius horae, haec autem 4/5 unius horase faciunt minuta 48.

Exemplum III. Milites 850. obsessi in munitione aliqua habent victum pro diebus 11, sed nulla est spes futuri auxilii, nisi post dies 25, quaeritur, quot milites dimittendi, ut pro reliquis sufficiat victus ad dies 25. Dic, 11 dies requirunt 850. milites, 25 dies quot milites requirunt? Duc 11 in 850, et productum 9350 divide per, provenient 374.

Regula proportionum Composita Inversa.

[note: Composita inversa. ] SIcut Regula proportionum Directa Simplex differat a directa composita, quod haec praeter terminos tres principales adjunctos habet alios minus principales, ita et Inversa Simplex ab Inversa Composita in hoc differt, quod haec etiam praeter tres principales terminos habet adjunctosalios minus principales, qui ad illos reduci debent, et institui operatio ut paulo ante diximus.

Facilius tamen est, in hujusmodi exemplis duas instituere operationes, eo modo quo in exemplis sequitur.

Modii 100. farinae sufficiuntpro 4 Legionibus militum per dies 24, 150 modii pro 12 legionibus per quot dies sufficiunt? Dic primo: 4 legiones

requirunt dies 24, 12 legiones quot dies requitunt? Operare per regulam Inversam simplicem, et invenies 8. Dic iterum: 100 modii sufficiunt pro 8 diebus, 150 modii pro quot diebus sufficient? Operate per Regulam Directam Simplicem, et invenies 12.

Messores 10, intra dies 12, demetunt jugera 30. messores 20 intra quot dies demetent jugera 40? Dic per Regulam inversam Simplicem: 10 messores requirunt 12 dies, 20 messores quot dies requirunt? invenies 6. Diciterum: 30 jugera requirunt 6. dies, 40 jugera quot dies requirunt? Invenies 8.

Articulus II. De Regula Consortii seu Societatis.

[note: Regula Consortii. ] PLures ineunt consortium seu sociecatem, et singuli in sortem conferunt certam summam pecuniae, aut lucrantur, autperdunt certam item summam; Vis scire, quantum quilibet accipere debeat, aut perdere ex summa acquisita, aut perdita, ut lucrum aut damnum integrum dividatur in singulos juxta illam proportionem, quam inter se habent summae singulorum in sortem collatae.

Ad solvendam quaestionem adhibetur Regula Trium toties, quot sunt socii consortii, tali pacto. Pecuniae omnium in sortem collatae in unam summam colliguntur, et numerus collectus primo loco in Regula Trium staruitur: secundo vero loco ponitur lucrum, vel damnum, quod ex omnium pecuniis provenit: tertio denique loco ponuntur pecuniae singulorum singulatim, et ut dicebam, toties fiet operatio per Regulam Trium, quoc sunt perticulares summae. Atque haec vocatur Regula Consortii seu Societatis, quia usum praecipue habet apud mercatores societatem mercaturae ineuntes. Exemplo rem melius declarabimus.

Tres mercatores societate inita lucrati sunt 800. florenos: primus in sortem contulit florenos 2400. secundus 3000, tertius 3600: quaeritur, quantum quilibet ex lucro florenorum 800 accipere debeat? Adde in unam summam pecunias singulorum in sortem collatas, et habebis florenos 9000. Deinde colloca numeros ut sequitur.

Dic jam primo: 9000 dant 800, quid dant 2400? et invenies pro primo florenos 213 3000/9000, sive 3/9, vel 1/3. Dic secundo: 9000 dant 800, quid dant 3000? et invenies pro secundo florenos 266 2/3. Dic tertio: 9000 dant 800, quid dant 3600? invenies pro tertio florenos 320.

Examen.

[note: ] EXamen sit, colligendo lucra omnium in unam summam: si enim resultar iterum prior summa totius lucri, v. g. in praecedenti exemplo, 800, bona fuit operatio.

Admonitio.

[note: ] QVando intervenit temporum diversitas, quod unius pecunia diutius in negotiatione fuit quam alterius, tunc vel adhibenda est Regula Trium composita Directa, vel multiplicanda est uniuscujusque pecunia per suum tempus, antequam omnium pecuniae in unam summam colligantur. Deinde hi numeri producti ex multiplicatione colligendi sunt in unam summam, ut habeatur primus numerus in Regula Trium: tertium autem locum occupabunt singuli numeri producti ex multiplicatione pecuniae cujusque in suum tempus, collocato rursus lucro vel damno communi in medio seu secundo loco.

Tres luorati sunt 7000 aureos: primus posuit 6000 aureos per annos 6, secundos 4000 aureos per annos 4; tertius 2000 aureos per annos 2; quantum ergo quilibet ex communi lucro accipiet? Multiplica primo pecuniam primi per suum tempus, nempe 6000 per 6, habebis 36000: multiplica secundo pecuniam secundi per suum tempus, nempe 4000 per 4, habebis 16000: multiplica tertio pecuniam tertu per suum tempus, nempe 2000 per 2, habebis 4000. Collige jam in unam summam 36000, 16000, 4000, et habebis 56000; et dic: si 56000 dant 7000, quid dant 36000? quid 16000? quid 4000? et invenies lucrum primi 4500, secundi 2000, tertii 500.

Articulus III. De Regula Positionis, seu Falsi.

REgula positionis est, quando proposita aliqua [note: Regula positionis. ] quaetione per numerum solvenda, ponimus quemcunque numerum qui propositae quaestioni putatur satisfacturus, licet reipsa non satisfaciat, et cum ipso procedimus prout quaestio vult, tandemque qua stionem solvimus, verum ac desideratum numcrum inveniendo. Vocatur passim Regula Falsi; non quod falsum doceat, sed quod ex numero plerum que falso verum invenire doceat. Duplex est Regula Positionis, una vocatur Simplicis positionis, in qua ponitur unus numerus falsus, aut verisimilis, et cum eo proceditur; altera vocatur Duplicis Positionis, in qua ponitur duplex numerus falsus, aut verisimilis. Inter eas haec est differentia, quod quaecunque solvi possunt per primam, polssunt etiam solvi per secundam, at non e contra. Utramque breviter tra demus.

Regula Simplicis Positionis.

[note: Regula simplicis positionis. ] PRoposito quocun que numero abscondito per hanc Regulam inveniendo, pone pro numero abscondito numerum quemcunque, et cum illo procede ut quaestio vult. Si omnia consonant quaestioni propositae, numerus a to positus erit is qui quaetitur: sin minus, falsa fuit positio numeri assumpti; et ex tali falso numero posito eliciendus est verus per Regulam Trium tali pacto. Pone primo loco id quod per numerum falsum fuit inventum: secundo vero loco pone ipsum numerum falsum: in tertio denique loco id quod jam antea ex quaestione proposira est notum. His positis, operare modo consueto per Regulam Trium, et invenies numerum absconditum qui quaeritur.

Exemplum. Tres volunt emere domum constantem aureos 2700, et secundus vult solvere duplum primi, tertius vero triplum secundi: quaeritur, quantum singuli debeant solvere. Pone primum date 2, dabit ergo secundus 4, et tertius 12, ac proinde omnes simul 18, cum tamen singulorum pecuniae simul collectae deberent efficere 2700. Dic ergo: si 18. proveniunt ex falsa positione

2, ex qua vera positione provenient 2700? et facta operatione per Regulam Trium, invenies primumdebere dare 300, secundum 600, tertium 1800. In idem recidit, si per 18. dividas 2700, et Quoti duplum accipias por illo qui solvit 2, etc.

Regula Duplicis Positionis.

[note: Regula duplicis positionis. ] PRoposito quesito, ponitur quivis numerus qui putatur quaestioni satis facturus, et juxta tenorem quaestionis examinatur, ut factum est in praecedenti Regula. Si quaestio respondet, sola est quaestio, et numerus positus est is qui quaerebatur. Sin minus, notatur excessus, vel defectus, quo a veritate aberratum est, ante crucem, una cum littera P, vel M (quarum illa significat Plus, sive excessum, haec Minus, sive defectum) prout videlicet error veritatem excesserit, aut ab ea defecerit. Deinde ponitur rursus aliquis alius numerus qui quaesito satisfacturus puratur, sive major priore jam antea posito, sive minor: et eodem modo examinatur. Si quaesito respondet, est soluta quaestio: sin minus, notatur excessus vel defectus post crucem, una cum littera P, vel M, et cum numero secundo posito.

His factis, si in utraque positione a veritate aberratum est per excessum, vel per defectum, et consequenter uter que error tam ante quam post crucem positus, habet easdem litteras: subtrahe minorem errorem ex majore, et residuum numerum serva pro Divisore, scribendo eum infra crucem. Deinde multiplica numerum primo positum per secundum etrorem, et numerum secundo positum per primum etrorem (sive duc per crucem primam positionem insecundum errorem et secundam positionem in primum errorem,) et productum minus detrahe a producto majore. Tandem residuum divide per Diviso rem jam antea inventum, nempe per Differentiam duorum errorum, et quotiens inventus erit numerus quae situs,

Si vero in una positione aberratum est a veritate per excessum, et in altera per defectum: collige duos errores in unam summam, et productum serva pro Divisore. Deinde duos illos numeros, qui ex multiplicatione numerorum positorum per errores producuntur, collige etiam in unam summam, et productum serva pro dividendo. Tandem divide hoc productum per Divisorem prius serva tum; et erit Quotiens numerus quaesitus.

Exemplum Quidam habet pecuniam, a cujus dimidio si auferatur 1/3 et 1/4, remanent 30; quaeritur, quantum habeat. Pone primo eum habere 24, a cujus dimidio, nempe a 12, si auferas 1/3, nempe 4, et 1/4, nempe 3, remanent 5, cum tamen deberent remanere 30: aberratum ergo fuit a veritate per defectum 25. unitatum. Scribe igitur numerum positum 24, cum errore 25, et cum littera M, ante crucem, ut vides in exemplo. Pone secundo eum habere 48, a cujus dimidio,

nempe a 24, si auferas 1/3, nempe 8 et unam 1/4, nempe 6, remanent 10, cum tamen deberent remanere 30: aberratum ergo iterum fuit a veritate per defectum 20 unitatum. Scribeigitur numerum positum 48, cum errore 20, et littera M, post crucem, ut vides. Subtrahe nunc minorem errorem a majore, nempe 20, a 25, et residuum, nempe 5, scribe infra crucem pro Divisore. Deinde multiplica 24 per 20, et habes 480: iterum multiplica 48 per 25, et habes 1200. Praeterca subtrahe 480 ex 1200. remanent 720. Tandem divide 720 per 5, et habebis 144 pro numero quaesito: nam ab hujus dimidio, quod est 72, si auferas 1/3, nempe 24, et 1/4, nempe 18: remanent 30.

Eadem quaestio potest etiam sciri per alios duos numeros aberrantes a veritate per excessum, item per alios duos, quorum unus excedat veritatem, alter ab ipsa deficiat.

Annotatio.

[note: ] PRaecedens quaestio solvi etiam potest per simplicem Positionem. Pone enim ipsum habere 24, a cujus dimidio si auferas 1/3, et 1/4. remanent 5. Dic ergo: 5 remanent ex falsa positione 24: ex qua positione vera remanent 30? invenies 144.

Articulus IV. De Regula Alligationis seu Mixtionis [orig: Mistionis].

[note: Regula alligationis. ] REgulam Alligationis seu Mistionis vocant Arithmetici illam, qua alligant sive miscent varias merces, aliasve res, variorum pretiorum, mensurarum, ponderum, ut sciant quantum ex quolibet genere debeat accipi, si quis veli illas emere pretio quodam arbitrario, medio inter pretia statuta. Sed res melius patebit exemplo.

Sunt duo genera vini: mensura una primi generis valet 20 crucigeros, et mensura una secundi generis 12 crucigeros; habes crucigeros 15, et vis emere unam mensuram ex utroque genere mixtam; quaeritur, quantum exutroque genere sit sum endum.

Regula ad id inveniendum haec est. Ponitur unum pretium starutum sub altero, ut in sequenti exemplo apparet; et ad sinistram illorum ponitur pretium arbitrarium medium inter pretia statuta: ad dexteram vero ponuntur differentiae inter hoc et illa alternatim, ita ut differentia majoris pretii ponatur juxta minus pretium, et differentia minoris juxta majus. Hae

differentiae colliguntur in unam summam, et instituitur Regula Trium toties, quot sunt differentiae, nempe in apposito exemplo bis, ita ut summa differentiarum occupet primum locum, mensura vero una secundum locum, et differentia una tertium locum, dicendo: Si 8 dant 1, quid dabunt 3? Item si 8 dant 1, quid dabunt 5? In venies enim ex primo vino accipiendas esse 3/8 unius mensurae, ex secundo vero 5/8, quae cum simul faciant 8/8, id est, 1 mensuram, signum est fuisse legitimam operationem.

Articulus V. De Radicis Quadratae e dato numero extractione.

[note: Radicis quadratae extractio. Numerus quadratus quid sit. ] RAdix quadrata est numerus qui in se ductus producit numerum quadratum. Numerus vero quadratus est, qui resultat ex numero aliquo in seipsum ducto. In adjecta tabella numeri secundae colu~nae sunt quadrari, numeri vero primae columnae sunt radices eorum. Ideo autem numeri praedicti omnesque alii qui in seipsos multiplicati producunt numeros quadratos, appellantur Radices

quadratae, seu radices numeri quadrati, quia exipsis ceu radicibus oriuntur quadrati numeri. Appellantur etiam lateta quadrata, seu quadratorum numerorum, quia si quadrati numeri dispoantur

in figuram quadratam, hoc est, ut tot sint unitates in qualibet serie secundum latitudinem, quot

sunt secundum longitudinem, ut in figura apparet; numerus ille, ex cujus multiplicatione in se resultavit ille numerus quadratus, est unum latus talis quadrati.

Extrahere igitur, seu invenire Radicem quadratam, aut latus quadratum alicujus numeri, est numerum invenire, qui in se ductus efficiat propositum numerum, si quadratus est; vel si non est quadratus, maximum numerum quadratum in ipso contentum.

Regula igitur ad extrahehdam radicem quadratam haec est. Si numerus propositus non excedit 100, et quadratus est; radix ejus invenitur in columna prima supra dictae tabelae. Si non invenitur in dicta tabella, signum est non esse quadratum, atque adeo non haberet radicem quadratam.

Si autem numerus propositus major est centenario, sic operare. Primo. Colloca numerum ut in Divisione fit, eumque divide in certa membra, ponendo lineolam seu punctum infra primam figuram, incipiendo a dextera, et aliud infra terriam, aliudque infra quintam, et sic deinceps semper post binam quamque, ut factum vides in exemplo A. Et scias, radicem inveniendam debere habere tot figuras, quot membra notasti. Quodlibet autem membrum continet duas figuras, excepto ultimo versus sinistram, quod aliquando habet unicam.

Secundo. Incipe operationem ab ultimo ad sinistram membro, et vide (ex tabella supra posita) an sit numerus quadratus; ejusque radicem pone post lunulam pro Quoto, ut in Divisione. Si vero non est quadratus, quaere in tabula quadratum proxime illo minorem, ejusque radicem pone post lunulam pro Quoto, seu pro prima figura radicis inveniendae. Eandem radicem pone etiam infra ultimum praedictum membrum, tanquam Divisorem, (immediate ante secundum membrum, ut vides in eodem exemplo A) et operare ut fit in Divisione; nempe multiplica Quorum in Divisorem, et productum subtrahe ab ultimo praedicto membro, residuum quescribe supra aut infra, ut vides factum in A.

Tertio. Pro novo Divisore duplica Quotum jam ante inventum; productum enim erit novus Divisor. Hunc pone sub Dividendo, modo dicto in Divisione, nempe sub illa figura Dividendi, quae sequitur proxime illam sub qua positus erat primus Divisor, ut vides factum in B. Et haec duo servanda sunt pro omni novo Divisore inquirendo, et infra Dividendum collocando; semper enim duplicandus est Quotus qui reperitur post lunulam, quotcunque figurarum is sit: semper item dicto modo est collocandus. Invento et collocato novo Divisore, vide quoties is contineatur in Dividendo supra se scripto; et novum Quotum (qui non potest esse major quam 9) pone post lunulam, et similiter post novum Divisorem versus dexteram ut in eodem exemplo B factum est; et operare ut in Divisione, multiplicando nimirum Quotum ultimum in Divisorem novum, et Quotum ipsi adscriptum; productumque subtrahendo, et residuum supra aut infra cribendo, ut factum est in C.

Quarto. Idem modus quem proxime exposui, servandus est usque ad finem, et toties repetendus, quot membra adhuc supersunt.

Videndum autem post quamvis operationem, ne residuum sit majus radice inventâ duplicatâ. Procurandum praeterea, ut totus Divisor praedictus multiplicatus per Quotum, non sit major quam Dividendus, supra se scriptus, alioquin ultimus Quotus, post lunulam et ante novum Divisorem positus, minuendus est.

Exemplum. Sit extrahenda radix quadrata ex hoc numero: 119025. Colloca, et in membra divide

ipsum ut vides in A. Et quoniam numerus primi membri a sinistra, nempe 11, non est quadratus et numerus quadratus proxime minor est 9; pone hujus radicem, 3, post lunulam, et sub

11, immediate ante secundum membrum, et factâ multiplication subtrahe 9 ab 11, remanent 2. quae scribe supra, ut vides ibidem. Duplica deinde radicem, 3, inventam, et pone 6 infra 9, ut vides in B esse factum, et quoniam 6 in 29 continetur quater, pone 4 post

lunulam, et post 6, ut totus Divisor sit 64, ut ibi dem factum est. Multiplica igitur 4 in 64, et factâ subtractione scribe residuum 34 supra ut vides factrum in exemplo C. Duplica iterum totam radicem inventam, nempe 34, et productum 68 scribe

infra 342, ut vides factum in D. Vide jam, quoties 68 contineatur in 342; et quoniam continetur quinquies, scribe 5 post lunulam, et post 68, ut totus Divisor novus sit 685; factaque multiplicatione hujus per 5 subtrahe productum. Et quoniam nihil remanet, signum est propositum numerum esse quadratum, ejusque radicem esse 345.

Examen.

[note: ] MUltiplica radicem inventam per se ipsam, et producto adde residuum, si quod remansit post ultimam operationem; si prodit numerus primo positus, bona fuit operatio; sin minus, erratum est.

Annotationes.

NOtandum est I. Si numerus qui ex radice post primam, aut secudam, aut quamvis aliam operationem inventa duplicata resultavit, non continetur in numero illo sub quo collocatur velut Divisor novus; ponendus est zerus post lunulam pro radice, et deleto novo illo Divisore, omnibusque alijs relictis, procedendum est ut antea ad inveniendas reliquorum numerorum radices, duplicando scilicet totam radicem post lunulam contentam, et duplum scribendo infra, sed unâ figurâ magis versus dexteram quam scriptum erat praecedens duplum.

[note: Radicem quadratae propinquam inveniri. ] Notandum II. Si peractâ extractione radicis manet aliquod residuum, signum est numerum propositum non esse quadratum, sed surdum, ac proinde non habere radicem rationalem, ut vocant, et quae numero possit exprimi; adeoque radicem inventam non esse radicem numeri propositi, sed maximi numeri quadrati in proposito numero contenti, quem videlicet producit radix inventa in se multiplicata. Si quis autem invenire velit radicem numeri propositi non quadrati propinquam (vera enim invenire non potest, ut dixi) cujus nimirum numerus quadratus a proposito numero non quadrato distet in sensibili fere differentiâ; id duplici viâ assequetur. Priori reperitur radix propinquior minor quam vera, adeo ut ejus numerus a numero proposito superetur: Posteriori invenitur radix propinquior quae veram excedat, ita ut ejus numerus quadratus major sit numero proposito. Prior via haec est. Inventâ radice maximiquadrati in proposito numero comprehensi, adijciatur ad eam fractio, cujus Numerator est residuum extractionis, Denominator vero duplum radicis inventae, et praeterea unitas. Posterior haec est. Inventâ radice maximi quadrati in proposito numero comprehensi, adijciatur ad eam fractio. cujus Numerator est residuum extractionis, Denominator vero duplum radicis inventa.

Extracto radicis quadratae in fractionibus eodem modo perficitur, ita nimirum, ut radix seorsim extrahatur ex Numeratore, et seorsimex Denominatore. Vt radix quadrata fractionis 4/9, est 2/3.

Articulus VI. De Radicis cubicae e dato numero extractione.

[note: Radicis cubica extractio. Numerus cubicus quid sit. ] NUmerus cubicus dicitur ille, qui fit ex ductu numeri alicujus primo in se ipsum, et deinde in productum: Ut si 10. ducantur in se, hoc est, in 10. fiunt 100; quae iterum multiplicata per 10, producunt 1000. Hic igitur numerus 1000, dicitur cubicus, seu cubus; 10. vero, ejus radix cubica, seu latus cubicum.

Hisce praecognitis, Radicem cubicam ex quolibet numero oblaco facile erues, si sequentia observaveris praecepta.

Primo. Habenda est prae manibus Tabella decem primorum cuborum, eorum demque Radicum. Haec autem fit ex multiplicatione cubica primorum simplicium numerorum ab unitate us. Que ad numerum denarium continuatorum, ut sequitur.

Exemplum.

[note: ] Secundo. Numerus datus distinguatur, antequam operatio incipiatur, in aliquot membra punctis, a dextra sinistram versus, ita ut sub prima dextima figura ponatur primum punctum, secundum sud quarta laevam versus, tertium sub septima, quartum sub decima versus eandem sinistram, ac ita deinceps, quod numeri suffecerint, notentur puncta, duabus figuris semper intermissis, ut hîc apparet.

Tertto. Ex Tabella praedicta cape Radicem numeri a primo puncto ad sinistram intercepti, sive is unâ figurâ constet, sive duabus, sive tribus: hoc est, quaere numerum hunc in tabella sub titulo, Cubi, hoc est, in tertia columna (quod si non reperiatur, sume proxime minorem cubum (ejusque radicem cubicam colloca extra lunulam. Ut in superiori exemplo paulo ante posito, quaere radicem numeri 34; qui cum in tabula cuborum exacte non reperiatur, accipe proxime minorem, nempe 27, ejusque radicem cubicam, 3, annota post lunulam hoc modo:

Quarto. Radicis hujus cubum, 27, subtrahe ex numero sub dicto primo puncto intercepto, nempe ex 34; residuumque 7 supra scribe, eo plane modo, ut in vulgari divisione fieri solet, et apparet in sequenti exemplo.

Quinto. Tripla radicem modo inventam, et triplum hoc subjice figurae proxime antecedenti figuram sequenti puncto notatam: si autem plures fuerint figurae hujus tripli, collocentur ex ordine laevam versus, eo modo quo infra apparet in exemplo.

Sexto. Para Divisorem hoc modo. Duc Quotientem (hoc est, Radicem positam post lunulam) in triplum jam inventum: productum scribe uno loco deinceps remotius, laevam versus, quam triplum in coeperis, et loco inferiori, ut sint jam duo numeri distincti, quorum unus Triplum, alter Divisor a nobis posthac appellabitur. Per hunc Divisorem si numerum ipsi suprascriptum dividas, habebis secundam figuram Radicis in Quotiente post lunulam collocandam. Exemplum habes infra,

Septimo. Totum id quod jam in Quotiente est, duc inTriplum; productum iterum duc in figuram Quotientis per divisionem modo inventam; huic producto adde Cubum ejusdem numeri, eo tamen ordine, ut ultima ipsius cubi figura dextram versus non subjiciatur immediate loco inferiori figurae ultimae superioris producti, sed ad intervallum unius figurae dextram versus rejiciatur.

Octavo. Numerorum eorum hoc ordine descriptorum aggregatum subduc ex numeris superioribus, si id fieri poterit, et residuum (si quod fuerit) supra scribe; si autem subduci non poterit; minuendus erit Quotiens eo usque, quoad aggregatum dicto modo inventum subduci possit a superiore, manente semper eodem Divisore et Triplo.

Exemplum.

[note: ] UT in superiori exemplo, tripla radicem, 3, fiunt 9; quae scribe sub 5. Duc deinde 3 in 9, provenient 27; quae colloca inferius quam Triplum, ac unâ deinceps figurâ versus laevam, nempesub 72. Divide jam 72 per 27, habebis Quotientem. 2, priori Quotienti, 3, adjungendum, ut fiat totus Qnotiens 32. Hunc duc in iplum 9, fit productum 288. Hoc rursus multiplica per numerum modo inventum, nempe per 2, et habebis productum secundum 576. Huic denique adde cubum numeri, 2, modo inventi, nempe 8, fiet aggregatum ex numeris eo ordine dispositis, ut in paradigmate sequenti apparet, 5768; quod ex superiori numero, 7258, subductum relinquit pro residuo 1490.

Haec igitur est Summa totius operationis. Si tamena adhuc numerorum figurae supersunt (ut in exemplo supra posito) ex quibus Radix cubica extrahi debeat; operatio ulterior instituenda est eodem prorsus modo: quo instituta fuit proxime praecedens: nempe triplatur Quotiens totus, Triplum ducitur in Radicem immediate inventam, Producto additur cubus modo in venrae Radicis, Aggregatum denique subducitur a numero superiori, Residuumque (si quod fuerit) annotatur superius. Ut in nostro exemplo, quia plures restant figurae numerorum, ex quibus Radix cubica extrahenda est; ideo institurâ ulteriori operatione juxta regulas traditas, habebis Radicem cubicam tocam numeri supetioris hanc, 3247, manente residuo 25480698.

Examen

[note: ] TOta Radix inventa cubicetur, cubo deinde adjiciatur numerus ex operatione ultima residuus: hoc aggregatum si respondeat numero, ex quo Radix extracta est, nullus error in operatione admissus est; Sin minus, iteranda operatio, ut error emendetur. Sic si in exemplo posito ducantur 3247 in se, producetur Quadratum 10543009; quod si multiplicetur per 3247, producetur Cubus 3433150223; cui si addantur 25480698, producetur numerus e principio propositus, nempe 34258630921.

Articulus VII. De inventione numerorum proportionalium.

[note: ] SUpra art. 1. tradidimus inodum inveniendi quartum numerum proportionalem ex tribus datis. Nunc tradendi sunt alii modi alios proportionales eruendi, quoniam in sequentibus, maxime in Geometria practica, frequens eorum occurrit usus.

§. I. Inter duos numeros datos, medium proportionalem invenire.

[note: Numnum proportionalem inter duos medios invenire. ] MEdius proportionalis inter duos datos numeros est is, qui minorem tantum superat, quantum superatur a majori; seu qui ad minorem datorum talem proportionem habet, qualem major ad ipsum. Res melius in exemplis patebit. Ita autem reperitur. Duos numeros datos multiplice inter se et exproducto erue radicem quadratam; haec erti medius proportionalis. EXEMPLUM. Sit inter 4. et 16 inveniendus medius proportionalis. Multiplica 16. per 4, fiunt 64; cujus radix quadrata est 8, estque medio loco proportionalis inter 4. et 16; quia ut est 4 ad 8, ita 8 ad 16.

§. II. Inter duos numeros datos, invenire duos medios proportionales.

[note: Numeros duos proportionales inter duos datos invenire. ] PRima praxis. Multiplica quadratum primi numeri dati in secundum numerum datum, et ex productione radicem cubicam; et habebis primum medium proportionalem post primum datorum collocandum. Iterum multiplica quadratum secundi numeri dati in primum numerum datum, et ex producto erue radicem cubicam, et habebis secundum numerum proportionalem ante ultimum datorum collocandum EXEMPLUM. Sint inter 8. et 27, inveniendi duo medti proportionales in proportione continua. Duc 8 in se, et productum 64, nempe quadratum numeri 8, duc in 27, et producentur 1728, quorum radix cubica est 12, scilicet primus medius proportionalis collocandus post 8. Iterum duc 27 in se, et quadratum productum, quod est 729, duc in 8, et producentur 5832, quorum radix cubica est 8, scilicet secundus medius proportionalis collocandus ante 27. Sicergo stabunt numeri: 8, 12, 18, 27. in quibus se habet 8 ad 12, ut 12 ad 18, et 12 ad 18, ut 18 ad 27.

Aliud exemplum. Sint inter 32 et 4, inveniendi duo medij proportionales. Duc quadratum prioris, quod est 1024, in posteriorem, nempe in 7, et fiunt 4090 quorum radix cubica 16, est primus proportionalis secundo loco collocandus. Rursus quadratum postenoris 4, nempe 16, multiplica in priorem 32, fiunt 512; quorum radix cubicus, nempe 8, est secundus proportionalis terrio loco collocandus. Sic ergo stabunt numeri: 32, 16, 8, 4, quorum anterior semper duplus posterioris.

Secunda praxis. Quaere primum proportionalem modo praedicto, et inventum multiplica per extremum remotiorem duorum datorum; producti radix quadrata erit alter medius proportionalis. Sic in primo exemplo, si invento primo 12, is multiplicetur per 27, et ex producto extrahatur radix quadrata, quae est 18: erit is secundus proportionalis. Sic etjam in secundo exemplo si inventus primus 16 ducatur in 4, erit producti 64 radix quadrata 8. alter medius.

Tertia praxis. Quaetur primus medius modo dicto, et ducatur in se, productumque dividatur per primum datorum: quotus erit alter proportionalis. Sic si inter 4. et 32 inveniendi sint duo medii proportionales, duc 4 in se, fiunt 16: haec duc in 32, fiunt 512: hujus radix cubica, 9, est primus medius proportionalis. Deinde duc 8 in se, fiunt 64, haec divide per 4, fiunt 16, qui est secundus medius proportionalis. Sic ergo stabunt numeri: 4, 8, 16, 32.

§. III. Datis duobus numeris, tertium continue proportionalem invenire.

[note: Numeram tertium duobus datis proportionalem invenire. ] DVc secundum in seipsum, et productum divide per primum: quotus erit tertius proportionalis. EXEMPLUM. Sint dati numeri 2 et 4: multiplica 4 in se, fiunt 16. haec divide per 2, fiunt 8, scilicet tertius proportionalis quaesitus. Ex his patet, hanc praxin nihil aliud esse quam regulam Trium, secundo termino bis repetito.

§. IV. Datis tribus numeris, quartum proportionalem invenire.

[note: ] UTere Regulâ Trium, disponendo numeros datos ut ibidem docetur, et invenies quod quaeris.

PARS II. De Arithmetica Practica Speciali.

[note: Arithmetica practica specialis. ] ARithmeticam Practicam Specialem supra nominavi illam, quae tradit Canones de numerorum usu certis rebus applicato, aut quae generales Canones specialibus modis applicat. Hinc multae ortae sunt Arithmeticae Practicae species, nempe Geometrica, Astronomica, Politica seu Civilis, Militaris, Divinatoria, Ecclesiastica, Calcularis, Neperiana seu Rabdologica, et aliae plures. De nonnullus breviter agemus.

CAPUT I. De Arithmetica Geometrica.

[note: Arithmetica geometrica. ] IN ea Geometriae Practicae parte, quae superficierum dimensionem ac divisionem docet, et Embadometria ac Geodaesia, vel potius Agrimensoria et Agri divisoria appellatur, necessariae plerumque, saltem utilissimae sunt quatuor e vulgatis Arithmeticae Practlicae Generalis speciebus nempe Additio, Subtractio, Multiplicatio, ac Divisio, tam in numeris integris, quam in fractis. Quoniam vero si per usitatam viam incidatur, solent plurimum negotij facessere numeri fracti; excogitarunt Recentiores Mathematici numeros, quos vocant Geometricos; quorum ope facillime, et sine ulla fractionis molestia, praedictae operationes absolvuntur. Operationes vero Arithmeticas hujusmodi Numerorum subsidio peractas, alij appellant Calculum Geometricum, alij Arithmeticam decimatem: nobis Arithmeticam Geometricam appellare placuit; quam hîc breviter trademus. Poterit tamen Tyro omittere lectionem et studium hujus Arithmeticae, donec ad Geometriam practicam pervenerit in libro 6. sequenti.

Articulus I. De numero, et Calculo Geometrico in genere.

[note: Geometricus calculus, seu numerus. ] UT sciat Tyro Arithmeticus ac Geometricus, quid Numerorum Geometricorum, et quid Calculi Geometrici nomine Mathematici intelligant, sciendum est, Geometras Recentiores dividere virgam (quotcunque sit pedum in longitudine) quâ in agris metiendis utuntur, in decem aequales partes, easque appellare Prima; deinde singula hujusimodi Prima subdividere in decem alias aequales partes, easque Secunda appellare; rursus singula Secunda distribuere iterum in decem aequales partes, easque appellare Terria. Potest ulterius, si lubet, aut expedit, quodlibet Tertium dividi in decem Quarta, quodlibet Quartum in decem Quinta, et sic deinceps. Virgam ita divisam, appellant Decempedam.

[note: Decempeda eiusque divisio. ] Ex his constat primo, Decempedas esse Inte gra, Prima esse Pedes, Secunda esse Uncias (si pes unus intelligatur divisus in decem Uncias.) Ter tia esse Minuta respectu unciarum. Constat ulrerius, Prima seu Pedes esse partes decimas Decempedarum, Secunda centesimas, Tertia millesimas. Et tamet si in agrorum dimensionibus raro ultra Prima seu Pedes procedatur; tamen in aliis dimensionibus, praesertim Stereometricis, saepe accidit ut ultra Prima et Secunda progredi sit necesse.

[note: Geometricorum numerorum signatio. ] Compendii porro causâ Geometrae, exemplo Astronomorum, de quibus capite sequenti, hos suos Geometricos numeros peculiari ratione signare solent. Nam supta numerum integrarum Decempedarum notare solent cifram, supra Prima unam virgulam, supra Secunda duas, supra Tertia tres, supra Quarta quatuor virgulas, et ita deinceps. Exempli gratiâ, numerum significantem 10. Decempedas, 8 Prima, 6 Secunda, 4 Tertia, ita scribere et signare solent: 100, 8 I, 6 II, 4 III. Item hunc alium numerum: 200, 3 I, 0 II, 7 III, 5 IIII, sic signant et enuntiant: viginti Decempedae, tria Prima, nulla Secunda, septem Tertia, quinque Quarta.

Numeri hi Geometrici significant mensuras geometricas non solum simplices, sed etiam quadratas, et cubicas Hae quid sint, docetur in Geometria Practica. Itaque sunt Decempedae, Prima seu pedes, Secunda seu unciae, Tertia seu minuta, etc. simplicia, quadrata, et cubica.

Articulus II. De Additione Numerorum Geometricorum.

[note: Geometricorum [correction of the transcriber; in the print Geomemetricorum] numerorum additio. ] IN superficierum dimensionibus addi solent, seu in unam colligi summam, Decempedae, Prima, Secunda, etc. simplicia, et quadrata. Recolendum igitur est, decem Prima simplicia efficere unam Decempedam simplicem; et decem Secunda simplicia unum Primum simplex; et decem Tertia simplicia unum secundum simplex. At vero centum Prima quadrata efficiunt unam Decempedam quadratam; et centum secunda quadrata unum Primum quadratum; et centum Tertia quadrata unum Secundum quadratum. Quod bene notandum est, alioquin enormes committi possunt errores in Additione, et in aliis sequentibus Operationibus.

In Additione igitur simplicium Numerorum scribantur Integra sub Integris, Prima sub Primis, Secunda sub Secundis, Tertia sub Tertiis, etc. Deinde instituatur operatio ut in vulgari modo, nempe incipiendo a dextra versus sinistram, et colligendo numeros in dextima columna repertos in unam summam, et deinde numeros reliquarum columnarum. Quoties vero reperies 10. in summa aliqua alicujus columnae collecta, toties pone 1. ad proxime sequentem columnam, et residuum, siquod est, pone infra numeros additos. Sed in exemplis res melius patebit.

Sint igitur addendi hi tres numeri: 240, 6 I, 3 II; et 200, 2 I, 4 II; et 80, 4 I. Scribe illos ut in A. vides. Deinde incipiendo a dextra collige in unam summam

3 et 4 Secunda; quae quoniam efficiunt solum 7, scribe 7 infra lineam. Collige deinde 4, et 2, et 6 Prima, quae quoniam efficiunt 12 Prima, et decem eorum faciunt Decempedam;

scribe infra lineam solum 2, et pro reliquis 10. adde 1. numetis sequentis columnae. Collige tandem 8 et 4 Integra, quae faciunt 12, et addito 1 prius retento, faciunt 13; scribe ergo 3 infra lineam, et 1 adde numero sequenti, qui est 2 et 2, quae addito 1 faciunt 5, infra scribenda. Erit igitur totalis summa, 530, 2I, 7II, id est, quinquaginta tria Integra, duo Prima, et septem Secunda, quae efficiunt 53 Decempedas, 2 pedes, et 7 Scrupula seu minuta.

In additione quadratorum numerorum scribe numeros ut ante, et incipe a sinistra, et quoties summa collecta unius seriei excedit 100, appone 1 sequentis seriei numeris, et residuum scribe infra lineam. Exempli gratiâ, sint ad dendi numeri in B. positi. Prima addita efficiunt 132; scribe ergo infra 32, et adde 1 Integris; quae simul cum hoc 1, efficiunt 98.

Articulus. III. De Subtractione Numerorum Geometricorum.

[note: Geometricorum numerorum subtractio ] POssunt ac solent subtrahi numeri simplices a simplicibus, et quadrati a quadratis; non vero simplices a quadratis, et e contra. Utrobique numeri eodem signo notati, seu ejusdem speciei, sibi invicem supponuntur, nempe Integra sub Integris, Prima sub Primis, Secunda sub Secundis, etc. Incipitur a dextra versus sinistram; operatio fit ut in vulgata subtractione; residuum quod scribitur infra lineam, eandem denominationem ascipit, quam habent numeri supra lineam scripti.

Exempla.

Quando subtrahendae sunt partes, scilicet Prima, Secunda, Tertia, etc. ab Integris, et numeri sunt simplices, tunc numero Integrorum addi debent tot cifrae, quot virgulas habet supra se numerus partium, qui primus est a dextra in serie partium. Exempli gratiâ, si ab 8 Integris subtrahenda sunt 2I Prima; addi debet ad 8 una cifra; si 2I Brima, et 3II Secunda; addi debent duae cifrae: si 2I Prima, 3II Secunda, 4II Tertia; addi debent ad 8 tres cifrae. Sic ergo stabunt sequentia exempla.

Ratio hujus rei est, quia ut Prima subtrahantur ab Integris, item Secunda et Tertia ab Integris; debent integra converti in Prima, Secunda, Tertia, etc. quod fit per additionem cifrarum modo praedicto: et hoc ideo, quia multiplicatio fit per 10.

Eodem modo si a Primis subtrahenda sunt Secunda, aut Tertia; addi debent Primis una, aut duae cifrae, et operatio instituenda ut dictum.

Quando vero subtrahendi sunt numeri quadrati a numeris quatratis, scilicet Partes ab Integris, aut partes plutium virgularum' a partibus pauciorum virgularum; tunc loco unius cifrae addi debent duae, et loco duarum quatuor, et loco trium sex, etc. Verbi gratiâ, subtrahenda sint 2 Prima quadrata ab 8 Integris quadratis; aut 2 Prima, et 3. Secunda quadrata ab 8 Integris, etc. debent stare exempla ut sequitur.

Ratio vero hujus rei est, quia unum Integrum quadratum aequivalet 100 Primis quadratis, et 10000. Secundis quadratis, et 1000000 Tertiis quadratis; quae quidem aequivalentia seu conversio ac multiplicatio habetur per additionem cifrarum modo dicto.

Eodem modo si a Primis quadratis subtrahi debent Secunda quadrata, Tertia, etc. addi debent ad Prima duae, aut quatuor, aut sex cifrae, idque ob eandem rationem jam dictam.

Articulus IV. De Multiplicatione Numerorum Geometricorum.

[note: Geometricorum numerorum multiplicatio ] MUltiplicatio in illa Geometriae practicae specie, quae de super ficierum dimensionibus agit, maxime est necessaria, et in omnibus operationibus adhibenda; ideoque valde familiarem sibi reddat ipsam Geometra neceesse est.

Sciendum autem, ac bene notandum, quando multiplicantur inter se numeri simplices, seu significantes mensuras simplices, produci numeros quadratos, seu significantes mensuras quadratas; ut si 4 Decempedae simplices multiplicentur per 3. Decempedas simplices, producuntur 12. Decempedae quadratae.

Quid porro producatur, dum multiplicantur perticae per pedes, et pedes per uncias, aut perticae et pedes per pedes, etc. alii multis docent Regulis; nos qui divisione denariâ Integrorum, Primorum, Secundorum, etc. utimur, nullâ peculiari Regulâ indigemus, nisi sequente unicâ, quae universalis est, pro omnibus mensurarum speciebus, suppositâ praedictâ denariâ divisione.

Primo. scribe Multiplicatorem sub Multiplicando, prout fieri solet in vulgata multiplicatione; deinde operationem institue eo penitus modo, quo fieri solet in eadem multiplicatione vulgari, nullâ adhuc habitâ ratione Primorum, Secundorum, etc. ac si omnes numeri essent Integri, aut omnes unius cujuscunque speciei, v. g. Prima, Seda, etc.

Secundo, peractâ operatione, ac descripto infra lineam totali producto, vide quot virgulis signata sit dextra figura tam multiplicandi, quam Multiplicatoris; et totidem virgulis, quot in utraque reperies, signabis dextimam figuram totalis producti, reliquas vero ejusdem producti figuras versus sinistram nota unâ semper virgulâ minus. Sed in exemplis res clarius apparebit.

Sint igitur multiplicandae 3 Decempedae, et 2 Prima, per 2 Decempedas, et 4 Prima. Scribe numeros sub se invicem, ut vides in primo Exemplo,

et duc vulgari modo 24 in 32: producentur 768. Quia igitur duae dextimae figurae, nempe 2 et 4 (quae sunt dextimae figurae Multiplicandi et Multiplicatoris) habent singulae unam virgulam: notabis supra 8, quae est dextima figura producti, duas virgulas, hoc est, denominationem Secundorum (sed quadratorum) at supra proxime sequentem figuram, 6, notabis unam virgulam, seu signum Primorum: et supra 7, notabis cifram, seu signum Integrorum (sed quadratorum.) Si igitur detur superficies quadrilatera rectangula, cujus unum lacus sit longum 3 decempedas, et 2 Prima, hoc est, 32 pedes simplices: alterum vero latus sit latum 2 decempedas, et 4 Prima, id est, 24 pedes simplices: continebit tota area seu capacitas ipsius 7 decempedas quadratas, 6 Prima, et 8 Secunda quadrata.

Sint iterum multiplicanda 6°, 3I 4II per 4°, 2I hoc est, sex Decempedae, tria Prima, quatuor Secunda, per quatuor Decempedas, et duo Prima. Scribe numeros ut vides in secundo Exemplo, et operate ut in praecedenti Exemplo, producenturque 26°, 6I, 2II, 8III. Ubi vides, dextimam figuram producti, nempe 8, esse signatam signo Tertiorum, quia duae dextimae figurae supra lineam habent simultres virgulas.

Sint denique multiplicandae 3 decempedae et 4 Prima, per 2 Prima. Stabit Exemplum, ut vides, dabitque productum 6I, 8II. In hoc Exemplo videtur productum esse minus quam multiplicandus numerus, non tamen ita res se habet, quia in Producto sunt Prima et Secunda quadrata, at in triplicando sunt Integra et Prima simplicia.

Ratio vero praedicti modi operandi est, quod propter denariam decempedae divisionem, ac subdivisionem hac ratione idem praestatur, ac si Integra Multiplicandi ac Multiplicatoris resolverentur in partes, et partes majores in partes minores, ac deinde productum divideretur, ut fieri solet per aliorum Regulam multiplicandi, prout consideranti patet.

Articulus V. De Divisioni Numerorum Geometricorum.

[note: Geometria Numerorum divisio. ] IN Divisione Numerorum Geometricorum, Dividendus numerus significar superficies, seu numeros signinficantes mensuras quadratas; Divisor significat unum latus superficei illius, quam exprimit numerus dividendus; Quorus denique proveniens sig nificat alterum latus ejusdem superficiei. Verbi gratiâ, sint propositae 24 decempedae dividendae per 3 decempedas; sensus est, quod sit superficies ali qua continens 24 decempedas quadratas in sua area, et habens in latitudine 3 decempedas simplices; quaeritur igitur alterum latus quot decempedarum simplicium fit in longitudine?

[note: Quid in ea observandum. ] Possunt dividi numeri ejusdem speciei, id est, significantes vel sola Integra, vel sola Prima, vel sola Secunda etc. Possunt etiam dividi numeri diversarum specierum, ut Integra, Prima, et Secunda, etc. Divisor praeterea potest significare res ejusdem speciei, et res diversarum specierum.

[note: Quid in ea observandum. ] In omni porro divisione proceditur ut in divisione vulgari, observando solum duo.

Primum est, ut quando praevidetur fore, ut peractâ divisione remaneat aliquod residuum, adeoque occurrat aliqua fractio; adjungantur Dividendo numero duae, aut tres cifrae cum notis partium convenientium; ut si dividenda sint 25 Integra, proxime sequens cifra significet Prima, altera vero cifra significet Secunda. Hoc autem ideo fit, ut numerus Dividendus reducatur ad numerum significantem minores partes, saltem Secunda: si enim habentur secunda, satis praecisa et exacta erit divisio, etiamsi remaneant Tertia et Quarta; quia haec ordinarie sunt tam exigua, ut sine errore possint negligi.

Secundum est, ut peractâ divisione modo communi, videatur quot virgulis signata sit dextima figura tam Divisoris, quam Dividendi; ac deinde minor numerus virgularum subtrahatur a majori; et denique tot virgulis signetur dextima figura Quotientis, quot post factain subtractionem remanserunt, sequentes vero figurae post dextimam signentur semper unâ virgulâ minus.

Sint dividenda 1I. 8II. 4II. per 8I. Collocentur numeri ut vides in primo Exemplo factum, et fiat divisio more ordinario; dabitque Quotiens 2I. 3II. Nam cum Divisor, 8, signetur tantum unâ virgulâ, dextima autem figura Dividendi tribus; si unam subtrahas a tribus, remanebunt duae, quae poni debent supra, 3, dextimam Quoti, et supra sequentem numerum, 2, debet poni una.

Quod si eundem numerum, 1I, 8II, 4IV. dividas per 8II; provenient in Quotiente 2°. 3I, ut in secundo Exemplo apparet.

Si vero hunc numerum, 1°. 8I, 4II, dividas per 8II, provenient in Quotiente 23 Integra, ut in tertio Exemplo patet.

Si denique dividas 1°. 8I. 4II, per 8°; provenient in Quotiente 2I, 3II. ut in quarto Exemplo apparet.

Sint iterum dividenda 8°. 4I. per 9I. Quoniam sactâ divisione numeri 84 per 9, remanent 3I; addatur ad 84 una cifra, et remanebunt, factâ primâ divisione, 3°: quoniam vero factâ secundâ divisione remanentiterum 3I, addatur altera cifra, et remanebunt 3II; quae fere negligi possunt, si tamen vis exactiorem divisionem, addere poteris plures cifras.

Ex his patet, tum potissimum adjungendas esse cifras ad Dividendum, quando Divisor continet plures virgulas, aut quo modo cunque major est, quam Dividendus; quod contingere potest, si Dividendus significat integra, Divisor partes.

Annotatio.

[note: Arithmeticae decimalis utilitas. ] USus decimalium numerorum non solum locum habere potest in calculo geometrico, sed etiam in astronomico, et quarumvis aliarum mensurarum ac ponderum. Si enim mensura et pondera integra, v. g. librae, dividantur non in 12, aut 16, ut fieri alias assolet, sed in 10. partes aequales, et singulae decimae in alias rursus 10. aequales, id est, in centesimas totius; atque harum singula rursus in 10, quae proinde jam erunt millesimae totius; et sic ulterius, quo usque licet, aut necessarium fuerit, ponderibusque (aut mensuris) hunc in modum divisis utamur in calculo ponderum, etc. nusquam fractiones sese ingerent, et molestiam creabunt, sed earum loco integris numeris abhaerebunt particulae decimales, quas licebit in additione, subiractione, multiplicatione, ac divisione, adhibere ut inte gros numeros, modo hactenus dicto. Idem fieri poterit in calculo Astronomico (de quo mox,) si circum ferentia circuli dividatur quidem in 360 gradus, at gradus singuli non in 60, sedin 10. aequales partes secentur, et harum singulae in alias 10, et hae in alias, etc. quo usque placuerit, aut necessitas exegerit. Qui quidem modus plancet nunc aliquibus Astronomis, atque utinam placuisset et antiquis, non esset tam intricatus Astronomicus calculus, prout esse mox patebit.

CAPUT II. De Arithmetica Astronomica.

[note: Arithmetica astronomica. ] ARithmeticam Astronomicam, seu, ut alii loquuntur, Astronomicam, calculum hic appello illam numerandi praxin, quaecirca numeros Astronomicos versatur. Numers Astronomici sunt, quibus Astronomi utuntur in astrorum motibus, et temporum periodis [note: Astronomici numeri. ] calculandis, dum quaerunt, ac decent, aut quanto tempore datus iliquis motus coelestis absolvatur, aut quantus motus in dato aliquo tempore peragatur. Est haec calculandi ratio summe necessaria in calculandis eclipsibus in coelesti themate erigendo, in ephemeridib. condendis, et in omni Astronomia usu; ideoque non minus diligenter, quam vulgaris arithmetica, addisci debet. Potest tamen Tyro eam differre usque ad Astronomiam ipsam, de qua infra suo loco.

Articulus I. De numeris Astronomicis.

[note: Circuli divisio in gradus et minuta. ] AStrorum motus cum circulares sint, numerantur in circulis, et circuli partibus. Circulus, ut l. 1. c. 3. art. 3. num. 14. diximus, divitiur in gradus 360, gradus quilibet subdividitur in minuta seu scrupula prima 60, quodlibet minutum primun in secunda 60, quodlibet secundum in tertia 60, et sic ulterius procedendo usque ad decima minuta, vel etiam ulterius, si necessarium fuerit. [note: Zodiaci divisio in signa. ] Dividitur praeterea Zodiacus (cujus praecipua ratio habetur in calculo astronomico) vel in 12 signa communia, vel in 6 signa physica, ut appellant. Iraque signum unum commune continet gradus 30, physicum vero unum gradus 60. Ex his constat, divisionem motus astronomici fieri in circulos, [note: Gradus et minuta quomodo notentur. ] signa, gradus, minuta, secunda, terria, etc. tanquam in integra et partes. Graduum nota est cifra supra numeros posita, minutorum primorum una virgula, secundorum duae virgulae, tertiorum tres etc. sic, 3°. 7I. 12II. 30III. 52IIII. Ad collectionem eorundem motuum quod attinet, colliguntur, minuta in gradus, et hi in signa (physica scilicet, aut communia) et circulos; vel in sexagenas primas, secundas, tertias, etc. Una sexagena prima continet gradus 60, una vero sexagena secunda comprehendit [note: Sexagena quid sint. ] 60 primas, sive gradus 3600, una Sexagena tertia, 60 secundas, sive gradus 216000, et sic semper ascendendo per sexagecuplam proportionem, donec usus postulaverit. In divisione itaque motus astronomici descendimus, in collectione vero ascendimus, utrobique per dictam sexagecuplam rationem. En tabulam, quam si a sinistra ingrederis, invenies quot minuta prima, secunda, etc. continet unus gradus circuli; si vero a dextera, scies quot gradus comprehendat una sexagena prima, secunda, etc.

[note: Temporis divisio. ] Tempus, hoc est, motus duratio, numeratur in annis, mensibus, diebus, horis, minutis primis, secundis, tertiis, etc. usque ad decima, aut quousque necessarium est, et etiam in Sexagenis. Annus vel [note: Annus astronomicus, et vulgaris. ] est astronomicus, vel vulgaris. Vulgaris vel Julianus, est vel AEgyptiacus. Julianus habet menses 12. Mensis habet dies vel 28, vel 29, vel 30, vel 31. Dies habethoras 24. Hora habet minuta prima 60, minutum primum 60 secunda, secundum 60, tertia, sicque ulterius. AEgyptiacus annus habet menses 12, Mensis vero habet dies aequabiliter 30, qui distinguuntur in horas et minuta, ur Juliani. Astronomicus aunus est secundum Alphonsinos dierum 365, horarum 5. minutorum primorum 49. secundorum 16; secundum alios alius, ut infra suo loco videbimus. Astronomi descendendo dividunt dum velut [note: Diei divisio secundum astronomos. ] integrum in minuta seu scrupula 60 prima, primum in totidem secunda, secundum in totidem tertia, et sic porro. Sic uni horae vulgari competunt scrupula horaria astronomica, 2 prima, et 30 secunda. Ascendendo vero colligunt dies in Sexagenas, ita ut dies 60 faciant unam Sexagenam primam, sexaginta Sexagenae primae unam Sexagenam secundam, seu dies 3600, et sic porro, ut supra degradibus diximus.

Dies et scrupula dierum sic notantur: 12°, 14I 7II, 16III, 20IV, 23V, etc. significat, dies 12, scrupula prima 14, secunda 7, tertia 16, quarta 20, quinta 23, etc. Dies et Sexagenae dierum notantur sic: 5ae 4ae 3ae 2ae 1ae significat, sexagenas prima 15, 32, 29, 18, 37, 15, secundas 37, tertias 18, quartas 29, quintas 32, etc.

Articulus II. De Notatione, et Numeratione astronomica.

[note: Astronomica notatio, et numeratio. ] IN notatione numerorum astronomicorum tria sunt observanda, primo recta collocatio, secundo

genuina designatio, tertio legitima enuntiatio seu numecatio. Haec tria cujusmodi esse debeant, tametsi ex dictis intelligi queat, exponemus taimen exemplis nonnullis.

Exemplum I. in motibus.

Exemplum II. in tempore.

Articulus III. De Additione astronomica.

[note: Astronomica Additio ] PRimo. Similium specierum numeros colloca sub similibus, ut Sexagenas primas sub sexagenis primis, secundas sub secundis, gradus sub gradibus, annos sub annis, scrupula prima sub primis, etc. interpositâ lineâ, vel justo intervallo inter singulas species, ut sine errore a se in vicem discerni possint, prout in sequentibus exemplis vides factum. Secundo. Si quis locus alicujus seriei caret numero, pone ejus loco cifram, ut vides in primo exemplo in serie scrupulorum secundorum. Tertio. Ductâ infra omnes numerosaddendos lineâ, incipe a dextera Additionem, ut in ordinaria fieri solet; et summâ unius seriei collectâ, quoties illa summa continet speciem anteriorem, tot unitates illi anteriori adjice, et residuum pone infra lineam, ut in omnibus exemplis vides esse factum.

Exemplum I. Sint addenda in motibus.

In hoc exemplo scrupula 60 posteriora faciunt 1 anterius; et 60 prima, 1 gradum et 30 gradus, 1 signum, Incipiendo itaquea scrupulis quartis, summa eorum est 74; a qua si rejiciantur 60, et pro iis addatur unitas priori speciei; remanent 14. Deinde summa scrupulorum secundorum, una cum unitate addita, est 86; a quibus si reijciantur 60, et pro iis addatur unitas antecedenti speciei, remanent 26. Summa scrupulorum secundorum cum unitate addita, est 14. Summa scrupulorum primorum est 100, a quibus si 60 abjiciantur, et pro iis addatur unitas gradibus qui praecedunt; remanent 40. Summa graduum cum unitate addita, est 48, a quibus si 30 abjiciantur, et unitas addatur signis antecedentibus, remanent 18. Summa denique Signorum, cum unitate antea addita, est 20 quidem, at quia 12. Signa efficiunt circulum, etc irculi integri fere abjiciuntur in calculo astronomico, et retinetur id tantum, quod infra 12, etc irculo minus est (in motibus enim coelestibus raro quaeritur, quoties sidus aliquod suum circulum fuerit emensum, sed in qua circuli parte quolibet tempore versetur) ideo residuum Signorum est tantum 8.

Exemplum II. Sint iterum addenda in motibus.

In hoc exemplo gradus 60 aequivalent uni Sexagenae primae, et 60 Sexagenae tertiae uni quartae, ideo licetc olligantur gradus 99, infra tamen scribuntur tanrum 39, et licetc olligantur sexagenae tertiae 67, infra tamen scribuntur tantum 7, et pro 60 abjectis ponitur unitas infra sexagenas quartas.

Exemplum III. Sint addenda in tempore.

In hoc exemplo horae 24 efficiunt unum diem. Licet igitur summa horarum sit 42, infra tamen scribuntur tautum 18, et pro reliquis 24 abjectis additur unitas ad dies.

Examen Additionis fit per Subtractionem, fubtrahendo unum additorum numerorum a summa inventa, etc. prout dictum suit in Additionis vulgatae Examine.

Articulus IV. De Subtractione Astronomica.

[note: Astronomica Subtractio ] PRimo. Scribe species similes sub similib. hac conditione, ut major numerus scribatur supra, minor vero infra, ut in exemplis apparet. Secundo. Operationem institue ut in Subtractione ordinaria. Si in aliqua specie numerus superior est minor quam inferior, ut propterea subtractio fieri nequeat; sume unitatem ex numero superiore speciei antecedentis, eamque resolve in speciem consequentem, et adjice numero ipsius superiori, ut in iisdem exemplis factum vides. In hoc autem casu speciei antecedentis numerum superiorem diminutum esse unitate memineris. Tertio. Si primae ad sinistram

speciei numerus superior etiam minor est inferiore, assume ad eum unum integrum, v. g. integrum cir culum ad signa, unum annum ad dies, unum diem ad horas, etc. Exemplum ponam tantum in motibus. Idem aurem operandi modus est in temporum subtractione.

Exemplum.

In hoc exemplo suppono unum signum valere 30 gradus. Itaque incipiendo a scrupulis tertiis, subtrahantur 8 a 16, et 5 non a 4, sed a 10, quia unum minutum secundum mutuo acceptum valet 60 secunda, seu 6 denitates tertiorum, quib. si addantur 40III, seu 4, denitates tertiorum, fiunt 10 denitates tertiorum; a quibus si 5 subtrahantur, remanent 5, ideoque 58 tertia. Deinde pergendo ad secunda scrupula, 3 subtrahantur a 12, et 5 a 9, remanent 4, ideoque 49 sceunda Postea ad prima pergendo, subtrahuntur 8 a 9, remanet 1, et 1 a 5. remanent 4, atque adeo 41. Iterum petgendo ad gradus subtrahuntur 8 a 9, remanet 1, et 2 a 4 (assumendo scilicet unum signum, quod valet 30 gradus) remanent 2. Tandem pergendo ad signa, subtrahuntur 3 a 7, remanent 4. Quod si signum valeret gradus 60, deberent subtrahi gradus 28 a 70, et remanerent 51 gradus, et signa 4 ut antea. Si subtrahenda essent signa 10 ab 8. assumi deberetc irculus ad 8, etc onstitui signa. 20, et ab illis detrahi 10.

Examen. Subtractionis sit per Additionem, addendo residuum ad numerum subtractum etc. pro ut dictum fuit in Examine Subtractionis vulgaris.

Articulus V. De Multiplicatione Astronomica.

[note: Astronomica multiplicatio. ] INtricatissima est praxis multiplicandi numeros astronomicos sexagenariam proportionem servantes, praesertim quando diversae species per diversas species multiplicandae sunt, nempe gradus per minura, secunda. etc: aut sexagenae primae per secunda, tertia, etc. Conabor tamen quam ordinatissime procedete. Igitur.

Primo. Commodioris operationis gratiâ scribe majorem numerum (qui nimirum explurib. specieb. compositus est) supra pro Multiplicando. minorem vero, seu pauciorum specierum, infra pro Multiplicante, ita tamen ut ultima ad dexteram multiplicantis species subjiciatur ultimae Multiplicandi, sive ambae ultimae sint ejusdem speciei, sive diversae, ut in exemplis infra apparet. Quod si uterque numerus aeque multas species continet. Perinde est qui superne, et qui inferne ponatur.

Secundo. Ducta lincâ infra numeros collocatos, a dextera incipe, et duc singulas Multiplicantis species, insingulas Multiplicandi. more consuero in multiplicatione ordinaria, productum, si sexagenarium numerum excedit, divide per 60, residuum colloca sub Multiplicante, Quotum vero productum ex divisione adjice speciei antecedenti, uti in iisdem exemplis factum vides.

Tertio. Peractâ totâ multiplicatione, nota ac distingue rite in species numeros ex multiplicatione emergentes, tali pacto: si notae utriusque numeri, multiplicandi videlicet et multiplicantis, sunt ejusde speciei, hoc est, si uterque habeat notas rantum tales, 0, I, II, III, etc. eas adde inter se, et producto supracribe: si diverfas, ut 0 et I, 0 et II, etc. item minuta et sexagenas; subtrahe minorem ex majore et residuum scribe pro nora supra productum.

Exemplum. Sint multiplicanda 4°. 13I. 42II 50III Per 38II. Colloca numeros ut vides, et duc 38 in 50, [gap: illustration] producentur 1960, haec divide per 60, producentur 31, et remanebunt 40, scribe ergo 40 infra multiplicantem, et 31 pone infra antece dentem speciem, adjicienda summae ex multiplicatione sequenti producendae, ut vides factum in exemplo. It erum duc 38 in 42, producentur 1596, haec divisa per 10, dant 26, et remanent 36, scribe 36 infra 42, et infra 31, sed 26 pone infra 13 Iterum duc 28 in 13, productumque 494 divide per 60; habebis 8, et remanebunt 14, haec scribe infra 13, illa infra 4. Tandem duc 38 in 4, producentur 152, quae divisa per 60, dant 2, et 32: scribe 32 infra 4, et 2 scribe in loco anteriori. His peractis, collige summas infra primam lineam positas in summam totalem, modo dicto Artic. 3. et habebis summam infra secundam lineam, notatam ut vides juxta tertium praecedens praeceprum, quoniam secunda ducta in tertia, dant quinta: in secunda, quarta: in prima. tertia, in integra, secunda, et haec divisa per 60, dant prima.

Simili prorsus modo procedendum est in omnibus aliis exemplis, sive motus per motum multiplicentur, sive tempora per tempora: et etiamsi Multiplicans contineat plures species. Exempla tuipse tibi statue.

Annotatio. De Tabula Sexagenaria, pro multiplicatione, divisione, in numeris astronomicis.

[note: Tabula Sexagenaria pro multiplicatione astronomica. ] QVoniam res laboris ac taedis plena est productum ex multiplicatione, quoties sexagenarium numerum superat, dividere per 60, et quotum inventum ad anteriorem speciem rejicere, retento solum residuo; ordinarunt Artifices, magno ingenio, Tabulam quam Canonem Sexagenarium appellant, seu sexagesimerum scrupulorum, ex qua statim et uno quasi intuitu colligitur [note: vide Tab. Sexagen. ] quid ex qualibet multiplicatione producatur ad diver sas species spectans; quam propterea huic loco inserere volui. Constat ea trianguli A B C, et trapezij D E F G formâ.

Vsus Tabulae hic est. Si tam multiplicandus, quam multiplicator, tricenario major sit, quaratur major in trianguli latere dextro BC, minor vero in superiori transversali AB: Si vero alteruter tricenario minor sit, quaratur major in trapezii latere sinistro DE, minor in transversali abliquo DF. Cum his duobus numeris in utrolibetc asu, perge ad areolam eorum communem, et inveniesin ea productum sub duabus speciebus, antecedente, etc onsequente: et sini stimus quidem numerus dictae a colae significat quotum ad speciem antecedentem reijciendam, dextimus vero residnum ex.

multiplicatione. Quam porro notam hoc residuum haebere debeat disces ex tertio praecepto paulo ante posito.

Exemplum. Sint ut antea, multiplicanda 50III per 38II: quaere 50 in trianguli latere dexiro BC. et 38 in latere superiore AB; invenies in areola seu quadratulo communis, 31, 40; quae significant in casu posito 31IIII, et 40V. Item sint multiplicanda 1 1/3 per 38II: quaere I38 in trapezit latere sinistro DE, 13 vero in diagonali DF; invenies in areola seu quadrangulo concursus 8, 14; quae significant in posito casu 8II, et 1 4IIII.

Haec autem Tabula servit etiam pro divisione, ut ex dicendis Articulo sequenti patebit. Examen multiplicationis fit per divisionem, de qua nunc agemus.

Articulus VI. De Divisione Astronomica.

[note: Astronomica divisio. ] DIvisio numerorum astronomicorum per astronormicos, rarum habet usum, et per Tabulam Sexagenariam difficulter peragitur, sine Tabula difficillime. Qui ea destituitur, resolvat tam Dividendum, quam Divisorem, per continuam multiplicationem Sexagenariam, in ultimas species quas continent, et tum divisionem more vulgato instituat, quotumque inventum rursus per continuam divisionem sexagenariam more vulgato in suas species colligat.

Exemplum. Sint dividenda Sexagesimae secundae 15, Sexagesimae 5, primae 5, gradus 9, Minuta 12, Secunda 17, Tertia 16. per Sexagesimas primas 42.

Gradus 23, Minuta 35, Secunda 46. Reduc totum dividendum ad Tertia, per continua~multiplicationem per 60, et habebis Tertia 12508388236. Similiter reduc Prima. totum Divisorem ad Se-Gradus 22. Minuta 46, cunda, per eandem continuam multiplicationem per 60, et habebis Secunda 9156946. Divide jam Tertia per Secunda, divisione vulgari, et habebis pro Quoto Prima 1366, uti patebit ex Regulis paulo post adsignandis. Haec rursus divide divisione vulgari per 60, et produces Gradus 22, Minuta 46, uti ex iisdem Regulis patebit.

Per Tabulam Sexagenariam sic institues divisionem. Primo. Totum Dividendum cum suis specieb scribe loco superiori, eique subjice, incipiendo a sinistra, totum Divisorem cum suis etiam specieb. ita ut vel sinistima figura divisoris subjiciatur sinistimae Dividendi, si minor sit Divisor quam membrum Dividendi cui respondere debet; vel proxime sequenti, si sit major. Deinde post utrumque numerum ad dexteram forma semilunulam, cui Quotus inscribatur, prout in Divisione ordinaria fit, et prout in exemplo factum vides in A et B.

Secundo Si utraque prima species, tam Divisoris, quam Dividendi, excedat triginta, adi tabulam triangularem, et quaere Divilorem in latere supremo transversali AB, Dividendum vero in subjecta columna perpendiculari; vel si Dividendus in dicta columna praecise non reperitur, quaere numerum proxime minorem; et ab hoc numero perge ad latus dextrum BG trianguli, in veniesque Quotum post lunulam scribendum. Si vero alterutra, sive Dividendi, sive Divisoris, prima species minor est tricenario, adi tabulam quadrangularem, et quaere Divisorem in latere sinistro DE dictae tabulae, Divisorem vero in columna transversali, vel ipso proxime minorem numerum, a quo numero si ascendas recta ad caput tabulae, invenies in ejus latere obliquo DF Quotum post semilunulam scribendum, ut vides in L factum.

Tertio. Quotum inventum multiplica in totum Divisorem, modo dicto in Articulo V. de Multiplicatione astronomica, ut vides factum in C.

Quarto. Productum ex multiplicatione collige in unam summam, distinctam rite in suas species, ut vides in D: eamque summam subtrahe a Dividendo,

Exemplum.

cui subscriptus est divisor, et residuum scribe infra, ut in sequenti exemplo vides in E.

Quinto. Residuo infra notato adjunge aliam speciem Dividendi, ut factum vides in F. Divisoreque promoto, ut fieri solet in divisione ordinaria, et ut vides factum in G, repete operationes omnes ut ante, et ut factum vides in H, in I, in K, et in M.

Sexto. Si plures supersunt species Dividendi, repete eundem operandi modum, donec omnes absumpseris. Si promoco Divisore, is major est quam Dividendus cui subscriptus est, pone cifram post lunulam, et iterum promove Divisorem, operareque ut antea. Si quid ex divisione residuum sit, placeatque ulterius per cundem Divisorem dividere; tunc residuo a dextris loco ulterioris speciei adjunge cifram semel, aut iterum, prout libuerit, numerumque istum ulterius pattire modo antea dicto. Sic ad minima pervenire poteris.

Sit dividendus et divisor ut supra. Colloca illos ut vides in A et B. Et quoniam prima dividendi species, 16, minor est tricenario, quaere divisorem, 42, in latere DE trapezij, et perge dexttorsum in eadem columna; in qua quia non occurrunt 16, 5; accipe proxime minorem numerum 15, 24, et ascendendo invenies 22. Scribe ergo 22 pro Quoto, ut vides in L. eumque multiplica in divisorem B; invenies numeros C; quos collige in summam D, et subtrahe ab A, eritque residuus numerus E. Hinc adde ultimam dividendi speciem, nimirum 1 6III, et habebis novum dividendum F, cui subscribes divisorem, ut vides factum in G. Et quia prima species tam dividendi, quam divisoris major est tricenario, quaere primam divisoris speciem, 42. in fronte AB trianguli, et descendendo invenies 32, 12, a quo numero perge detrorsum, et in latere BC trianguli invenies 46. Scribe haec post lunulam pro Quoto, ut vides in M: eundem multiplica in G, numeros H productos collige in summam I, eamque subtrahe abF, et nihil remanebit. Erititaque Quotus, 22, 46.

Septimo. Peractâ divisione totâ, signa notis convenientibus species Quoti ex divisione emergentis, observando sequentes Regulas.

Regulae ad signandas species Quoti.

[note: Regulae ad signandas species quoti in divisione astronomica. ] PRimo. Cum divisor et dividendus habent notas ejusdem speciei, et quantitatis, proveniunt integra. Sic si dividas et gradus per gradus, Sexagenas primas per primas, Secundas per secundas, etc. Scrupula prima per prima, secunda per secunda, etc. emergunt gradus, qui integrum constituunt.

Secunda. Cum divisor et dividendus habent notas ejusdem speciei, sed nota dividendi superar notam divisoris: subtrahe minorem notam ex majori, eritque residuum nota Quoti ejusdem speciei ut antea. Sic si dividas scrupula 36IIII per 6II, fiet Quotus 6I: Si sexagenas 12 3as pers 5 2as, fiet Quotus 2 1ae.

Tertia. Cum divisor et dividendus habent notas ejusdem speciei, sed nota divisoris superat notam dividendi; subtrahe similiter minorem ex majore, eritque residuum nota Quoti diversae speciei quam antea: nam ex scrupulis fiunt Sexagenae, et ex Sexagenis scrupula. Sic si dividas scrupula 1 2II per 6III fiunt 2 1ae Sexagenae: si vero sexagenas 16 2as per sexagenas 4 3as, fiunt scrupula 4I.

Quarta. Cum divisor et dividendus habent notas diversae speciei, adde notas divisoris notis dividendi, et summa erit nota Quoti sub ea specie, sub qua dividendus erat Sic si dividas 20 2as sexagenas 4III scupula, emergunt 5 sexagenae quintae: et si dividas scrupula 16II per 4 Sexagenas tertias, emergunt 4 scrupula quinta

Quinta. Cum gradus dividuntur per scrupula, proveniunt Sexagenae ejusdem speciei, cujus sunt crupula divisoris. Sic si dividas 16° per 4I scrupula, habebis in Quoto 4 1as sexagenas.

Sexta Cum scrupula per gradus dividuntur, proveniunt scrupula ejus speciei, cujus est dividendus. Sic si dividas 16II scupula per 4°, habebis in Quoto 4II scrupula.

Septima. Cum gradus sexagenas dividuntur, proveniunt in Quoto scrupula ejus speciei, quam habet divisor. Sic divisis 16° per 4 2as sexagenas, erit Quotus 4II scrupula.

Octava. Cum Sexagenae per gradus dividuntur, proveniunt sexagenae ejus speciei, cujus est dividendus. Sic divisis 16 2is sexagenis per 4°, erit Quotus 4 2ae sexagenar.

Annotatio.

[note: ] HAE regulae valent, cum dividendus primus est major divisore: si enim minor est, producitur species in Quoto uno loco inserior illa, quam Regulae docent; scilicet non gradus, sed scrupula; non scrupula, sed secunda. Si tamen minorem dividendum reducas ad sequentem speciem minorem, v. g. gradus ad scrupala, scrupula ad secunda, etc. valent Regulae.

CAPUT III. De Arithmetica Politica seu Civili.

[note: Arithmetica Civilis. ] POliticam seu Civilem Arithmeticam voco, quae vulgaris Arithmeticae operationes ac regulas applicat monetis, ponderibus, mensuris aridorum, liquidorum, intervallorum, in politica seu civili vita usitatis. Monetae, pondera ac mensurae, ut semper apud varias gentes ac nationes varia fuere, ita nunc quoque tanta ubisvis locorum, in Germania praesertim, diversitas eorundem est, ut in iis non solum regna a regnis, provinciae a provinciis, sed saepe etiam ejusdem regni ac provinciae urbes ab urbibus discrepent. Modus tamen calculandi idem cum proportione est, ita ut qui unius loci monetas, pondera, ac mensuras inter se addere, subtrahere, multiplicare, dividere (in his enim quatuor praecipue consistit omnis Arithmeticae Civilis praxis) novit, possit eundem operandi modum aliorum quoque locorum monetis, ponderibus, ac mensuris applicare, dummodo ingenio mediocri polleat, et varias dictarum rerum divisiones in partes minores ac minores sciat, uti ex dicendis patebit. Regulae ergo quas trademus, omnibus applicari poterunt, ut varia exempla, quae adducemus, declarabunt.

Articulus I. De monetarum, ponderum, ac mensurarum diversis denominationibus seu speciebus.

[note: Deminationes seu species varia monetarum, ponderum, et mensurarum. ] VAriae nationes variis monetis varie divisis utuntur. Romani hodie utuntur scutis, Juliis, bajocis, granis. Scutum habet 10 Julios, Julius 5 bajocos, bajocus 5 grana. Siculi utuntur unciis, tarenis, granis. Uncia valet 30 tarenos, tarenus 20 grana. Germani aliqui utuntur florenis, baciis, crucigeris, nummis. Florenus valet 15 bacios, bacius 4 crucigeros, cruciger (alicubi saltem) 4 nummos. Monetas hisce ac similibus modis divisas appello hic monetas diversae denominationis seu speciei.

Idem intelligi debet de ponderibus, et mensuris aridorum, liquidorum, intervallorum. Pondera sunt plerisque in locis, centenatius, libra, uncia, semiuncia seu loto, drachma, etc. Centenarius continet 100 libras, libra 16 uncias, uncia 2 lotones, loto 4 drachmas. Mensurae liquidorum et aridorum majorem diversitatem habent apud plerosque populos. Intervallorum mensurae sunt milliaria, passus, pedes, cubiti, palmi, digiti, grana hordei, etc.

Ex his patet, in monetis, ponderibus, et mensuris quib. libet reperiri integra, et partes in quas integra dividuntur. Haec integra et partes appello hîc diversas species seu denominationes.

Articulus II. De Additione monetarum, ponderum, mensurarum diversae speciei.

[note: Additio politicae arithmetica. ] PRimo. Colloca species similes sub similibus, ac primo quidem loco, seu ad dexteram, minimas, tum ordine majores usque ad maximas, et si species aliqua intermedia desit in aliqua serie, ejus locum transili, aut cifrâ reple. Secundo, Vide quoties species antecedens consequentem versus dexteram contineat in se, seu quoties dextera contineatur in sinistra subsequente. Tertio. Ductâ lineâ infra omnes numeros, incipe a minima specie ad dextram, et collige omnes numeros in unam summam; et quoties in ea continetur ancedens species, tot unitates adjice numero antecedenti: residuum vero pone infra lineam sub specie illa, in cujus numeris occuparis.

Exemplum I. in monetis. Sint addendi floreni, bacii, cru cigeri, et nummi A. Colloca numero ut vides, et incipe a nummis, dicendo: 3 et 2 faciunt 5, et quoniam quatuor nummi facinnt crucigerum, retine unam unitatem pro sequenti specie, et 1 residuum scribe infra lineam. Perge deinde ad crucigeros, et dic: 3 et 1 antea retentum, faciunt 4, et quoniam qua tuor crucigeri efficiunt unum bacium, scribe cifram infra lineam, et retine unam unitatem pro sequenti specie. Mox perge ad bacios, quorum summa, una cum unitate antea retenta, est 23; a quibus si auferas 15. qui florenum efficiunt, remanent 8, pone ergo 8 infra lineam, et adde florenis sequentibus unitatem, quorum summa cum hac unitate facit 33. Omnium ergo specierum summam exhibet numerus B.

Exemplum II. in ponderibus. Sint addendi centenarii, librae, et unciae C. Unciarum fumma est 30, a quib. si auferas uncias 16, quae unam libram efficiunt, remanent unciae 14. Librarum summa, una cum unitate addita, est 113, a qua si auferas 100, quae centenarium efficiunt, remanent 13. Centenariorum summa, una cum unitate addita, est 111. Summam omnium exhibet numerus D.

Simili prorsus modo procedendum est in mensuris, et in omni aliarum monetarum, ponderum; et mensurarum genere, tametsi in aliis facilior sit operatio, in aliis difficilior, propter diversitatem partium in quas integra dividuntur.

Ex his patet, additionem hanc esse similem additioni astronomicae supra explicatae, et unam alteri lucem afferre.

Articulus III. De Subtractione monetarum, ponderum, mensurarum diversae speciei.

[note: Subtractio arithmetica politicae. ] PRimo. Colloca ut antea species similes subsimilib ita tamen, ut numerus minor seu subtrahendus, sit infra majorem ejusdem speciei, ut in exemplis apparet. Secundo. Si alicujus speciei inferior numerus non potest subtrahi a superiori, eo quod major est, accipiatur mutuo unitas a numero superiori speciei proxime antecedentis, et resolvatur in speciem illam de qua tractas, et tunc a toto aggregato subtrahe inferiorem, ut in iisdem exemplis patet.

Exemplum I. Sit subtrahendus numerus E, a numero F. Incipe a granis; et quia 4 a 2 subtrahi non possunt, mutuum accipe unum bajocum, et resolve in grana 5, quae addita ad 2, faciunt grana 7, a quibus si subtrahas 4, remanent 3. Perge jam ab bajocos, et quoniam 4 a tribus (unum enim sustulisti, et resolvisti in grana) non possunt subtrahi, resolve unum Julium in quinque bajocos (tot enimvalet) quibus additis ad 3, subtrahe 4 ab 8, remanent 4. Ulterius subtrahe 3 Julios non ab 8, sed a 7, renmanent 4. Tandem subtrahe 19 scuta a 23, remanent 4.

Exemplum II. Sint iterum subtrahendi numeri H a numeris I. Dic. 3 a 4, remanet 1. 14 ab 8 non possunt subtrahi, resolve ergo unum florenum in bacios, et habebis 23 bacios, a quib. si subtrahas 14, remanent 9. Tandem florenis 9 a 17 subtractis, remanent 8, et duobus subtractis ab undecim, remanent 9. Simili modo proceditur in ponderibus et mensuris.

Articulus IV. De multiplicatione monetarum, ponderum, et mensurarum diversae speciei.

[note: Multiplicatio Arithmeticae politica ] MUltiplicatio rerum diversae speciei per res diversae speciei maxime, et fere unice locum habet in mensuris geometricis. Si tamen in aliis quandoque rebus occurrat, ut si multiplicandi sint floreni 30, bacii 12, crucigeri 3. per florenos 10, bacios 8, crucigeros 2; sic procedi potest. Omnes monetae multiplicandi reducantur per multiplicationem ordinariam ad minimam speciem, nempe in casu posito ad crucigeros, multiplicando videlicet 30 per 15, et summae productae addendo 12; totumque aggregatum iterum multiplicando per 4. et summae productae addendo 3. Simili modo monetae Multiplicatoris reducantur ad crucigeros. His factis, multiplicentur modo ordinario crucigeri per crucigeros, et summa producta divisione etiam ordinaria reducatur ad bacios, et bacii ad florenos; eritque multiplicatio peracta, in exemplo posito crucigeri multiplicandi sunt 1851, multiplicantis vero sunt 634: summa producta sunt 1333534; crucigeri; quae divisa per 60, (tot enim crucigeri faciunt unum florenum) dant florenos 22225, bacios 8 1/2. Simili ratione in aliis procedi potest.

In mensuris Geometricis pro operationibus geometriae practicae, adhibentur perticae, pedes, digiti, et grana, et scrupula, ut ex dictis supra in Arithmetica geometrica cap. 1. constat. Si igitur pertica dividatur in decem pedes et pes in decem digitos, et digitus in decem grana; facillima est multiplicatio ut ex ibidem dictis patet. Hoc autem fieri potest etiam in illis locis, in quibus decempeda non est in usu, sed vel duodecempeda, vel sexdecempeda. Si quis tamen uti malit sexdecempeda v. g. perticâ nimirum divisâ in pedes 16, et pede diviso indigitos 16, et digito diviso in 16 grana, et granis in 16 scrupula divisis; ita procedere potest.

Primo. Numerus qui plures species continet, aut saltem major est altero, commoditatis gratiâ fiat multiplicandus, et scribatur superiori loco; alter vero fiat multiplicator, et inferiori loco scribatur ut in exemplo sequenti apparet. Segundo. Similes species sub similibus collocentur, et in absencium locum substituatur in medio ac sine cifra. Tertio. Singuli numeri inferiores multiplicentur more ordinario in singulos superiores, et productum cujuslibet speciei separatim et integre scribatur infra, sive unâ, sive pluribus constet notis seu figuris. Quarto. Singulorum numeri in unam summam colligantur, ac deinde singulae species posteriores reducantur ad antecedentes, et quoties continent antecedentes, tot unitates iis addantur, sumendo pro singulis 16 unitatibus posterioris unam unitatem anterioris. Quinto. Totum numerum productum divide ac distingue rite in suas species, per Regulas postea tradendas.

Exemplum.

[note: ] In hoc Exemplo digiti multiplicatoris ducti in multiplicandum, produxerunt numerum A, pedes numerum B, perticae numerum C. Horum trium numerorum summa est E; quae reducta, dividendo singulos numeros separatim positos per 16, dat summam F. Quam in species divides per sequentes Regulas.

Regulae ad cognoscendam speciem emergentem ex multiplicatione praedicta.

[note: Regulae ad cognoscendam speciem emergentem ex multiplicatione politicae Arithmeticae. ] PRima. Digiti ducti in digitos, pedes in pedes, perticae in perticas, producunt quadratos digitos, pedes, perticas. Secunda. Digiti ducti in pedes, producunt pedes latos uno digito; quos Agrimensores appellant pedes contractos, krumme Schue. Horum sexdecim juxta se positi secundum latitudinem, efficiunt pedem quadratum, ein Creutz-Schuhe. Tertia. Digiti ducti in perticas, producunt perticas unum digitum latas quas Agrimensores Germani vocant Creutz-Vierte. Harum sexdecim juxta se secundum longitudinem positi efficiunt pedem quadratum.

Quarta. Pedes ducti in perticas efficiunt perticas unum pedem latas; quarum sexdecim aequivalent uni perticae quadratae, quam Germani Creutz-Ruthen vocant. Igitur 16. digiti quadrati efficiunt unum antecedentis speciei, nimirum unum pedem latum uno digito: et 16. pedes lati uno digito, efficiunt unum pedem quadratum: et 16. pedes quadrati unam perticam quadratam. Item 16. perticae latae unum pedem, faciunt unam perticam quadratam. Descendendo itaque, post perticas quadratas sunt perticae latae unum pedem, seu pedes quadrati; post hos sunt pedes lati unum digitum, seu digiti quadrati post hos grana; post haec tandem scrupula quadrata.

In superiori ergo exemplo summa producta est, 7. perticae quadratae; 3. perticae latae unum pedem, seu 3. pedes quadrati; 9. pedes longi unum digitum, seu 9. digiti quadrati; 7. digiti lati uno grano, seu 7. grana quadrata; 14. grana lata uno scrupulo, seu 14 scrupula quadrata. Ratio est, quia cum perticae multiplicatae in perticas, producant perticas quadratas, necessario sinistima figura significat perticas quadratas, et reliquae singulae sequentes significant speciem quadratam proxime minorem.

Articulus V. De Divisione monetarum, ponderum, ac mensurarum diversae speciei.

[note: Divisio arithmetica politica ] QVomodo instituenda sit divisio, si decimali perticae divifione utamur, patet ex dictis in Arithmetica Geometrica. Qui uti volet sex decimali divisione, sic procedat, omissis aliis

modis difficilioribus. Primo. Propositi numeri, tam Dividendi, quam Divisoris, reducantur separatim ad minimam speciem continuâ per 16 multiplicatione. Secundo. Reducti numeri divisio instituatur modo vulgari, et quotus dabit speciem maximam Dividendi. Tertio. Residuum iterum multiplica per 16, et per priorem divisorem divide, et habebis aliam speciem proxime minorem priori. Hoc idem tam diu facies, quam diu residuum aliquod fuerit, aut quousque placuerit. Exemplum tu ipse forma.

CAPUT IV. De Arithmetica Rabdologica Neperi.

[note: Arithmetica Rabdologica] RAbdologicam Arithmeticam appello modum artificiosum numerandi per virgulas, incerta quadratula ac triangula distinctas, et certis numeris insignitas, excogitatas felicissime ante non adeo multos annos a Joanne Nepero Scoto, Merchistonij Barone, auctore Logarithmorum, de quibus alio in loco. Ego non virgulis seu bacillis sed laminis utor, quoniam parabiliores ac magis tractabiles sunt. Et quoniam nihil alind sunt quam columnae mobiles tabulae Pythagoricae, de qua supra Par. 1. cap. 1. Artc. 4. ideo hoc nomine eas imposterum appellabo. Hanc igitur columnarum fabricam, et usum, quoniam praeclarus is est, breviter hîc, et quam potero clarissime tradam, licet utrumque praestet auctor ipse, sed valde obscure et fuse, non quidem in laminis, sed in virgulis seu prismatibus quadrangulis.

Articulus I. De fabrica columnarum mobilium tabulae Pythagoricae.

[note: Columnae mobiles tabulae Pythagoricae ] EX aere, charta solida, aliave quacunque materia idonea, praeparetur lamina tenuis, sed rigida ABCD, eaque dividatur in decem (aut plures

etiam, ob causam postea dicendam) columnas aequalis longitudinis et latitudinis inter se. Singulas columnas divide in novem aequalia inter se quadratula, et quaelibet quadratula partire in duo triangula, ductâ diagonali ab angulo inferiori sinistro ad angulum superiorem dextetum, uti figura monstrat. Novem prioribus columnis, et singulis earum quadratulis, inscribe eosdem numeros quos supra loco citato inscripsimus tabulae Pythagoricae, hoc pacto, ut qui unicâ figurâ constat, scribantur in triangulo inferiore seu dexteco; qui vero duabus figuris constant, dividantur, et una scribatur in superiore, altera in inferiore triangulo, prout eadem figura monstrat. Decimae columnae triangulis inferi oribus inscribatur una cifra. Hoc facto, ex opposita laminae parte, si placer, fiant similes columnae, quadratula, et triangula, omnia ejusdem omnino cum prioribus magnitudinis, atque ita, ut divisionum linae unius faciei exactissime correspondeant divisionum lineis alterius faciei. Non tamen iidem numeri utrique faciei unius ejusdem columnae inscribantur, sed si una facies columnae continet uinitatem cum suis multiplis, altera facies contineat binarium, aut ternarium, etc. cum suis multiplis. His etiam factis, singulae columnae exscindantur, ut a se invicem separari, et pro libitu aliis modis inter se conjungi iterum queant, ut apparet in figura EFGHI.

Quo autem plures fuerint hujusmodi columnae, eo magis patentem usum in numeris quantumvis magnis multiplicandis ac dividendis habebunt, ut ex dicendis patebit. Abunde tamen satis erit habere sex uniuscujusque formae bifrontes columnas.

Haec fabrica est mobilium columnarum. Neperus jubet adhiberi prilmata juadrangularia, hoc est, columnulas quadrilateras aequalium inter se laterum quoad longitudinem ac latitudinem, easque dividi in quadratula et triangula modo dicto, ita ut quodlibet prisma contineat duas nostrarum columnarum. Quod perinde quidem est; at ut dixi, laminae nostrae parabiliore, et magis tractabiles sunt.

Potest formari cistula, in decem loculamenta divisa et decem characteribus arithmeticis insignita, ut singulis loculamentis convenientes columnae induantur hoc pacto, ut capita earum e cistula emineant, quibus facile apprehendi, atque eximi; prout necessarium fuerit, queant. Habeat etiam cistula operculum suum. Plura usus suggeret.

Articulus. II. De Multiplicatione per columnas mobiles tabulae Pythagoricae.

[note: Multiplicatio Rabdologica. ] USus praedictarum virgularum et columnarum mobilium praecipue excogitatus fuit

ad facilitandam multiplicationem, ac divisionem quae difficiliores sunt quam additio et subtractio.

Notandum autem ante omnia, quotiescunque duae quaelibet columnae conjunguntur inter se, triangulum superius uniuscujusque quadratuli columnae dexterae, cum triangulo inferiore alterius quadratuli columnae sinistrae, constituere rhombum, uti in superiobus duabus figuris patet. Hoc praemisso, explicabo nunc multiplicandi praxin duobus exemplis.

Sit multiplicandus numerus A per numerum 9. Scribe unum sub altero, ut in ordinaria multiplicatione, et prout in exemplis vides. Quaere deinde multiplicandum A in capitibus columnarum, id est, selige columnas quae in vertice habent 2. et 4, et 6, et 9. et 0, et colloca unam post alteram, ut factum vides in figura 87. His factis, quoniam multiplicator est 9, numera descendendo novem quadratula, usque ad KL, et numerum in quadratulis KL repertum exscribe, et colloca infra multiplicatorem, hoc pacto, ut numeri qui in rhombis in vemuntur, addantur simul in unam summam; quae si unicâ figurâ scribi potest, scribatur infra integre; si vero duabus scribi debet, scribatur infra dextima, et mente retineatur sinistima, apponenda sequenti summae, prout in ordinaria multiplicatione fit; eritque multiplicatio peracta. Summa ergoproducta ex ductu numeri 9 in numerum A, erit numerus C. Nam primo exscribituro trianguli KL deinde 1 rhombi N; tum quia 4 et 8 rhombi O faciunt 12, scribuntur 2, et retinetur unitas; iterum quia 6 et 5 rhombi P, cum unitate retenta, faciunt 12, scribuntur iterum 2, et retinetur unitas; ulterius quoniam 8 et 3 rhombi Q, cum unitate retenta faciunt rursus 12, scribuntur 2, et retinetur unitas: tandem quia 1 trianguli K, et unitas retenta, faciunt 2, scribuntur 2, et facta est multiplicatio.

Sit iterum multiplicandus numerus A per 4. Scribe numeros ut vides, et quaere multiplicandum in columnarum capitibus ut antea, et descendendo usque ad quartam seriem quadratulorum exscribe numeros illius seriei modo dicto. Nempe primo scribeo, deinde 6, deinde quia 4 et 3 faciunt 7, scribe 7 infra: et quia 6 et 2 faciunt 8, scribe 8 infra: tandem quia 8 et 1 faciunt 9, scribe 9 infra. Productum igitur ex multiplicatione erit numerus D.

Sit iterum multiplicandus numerus A per 28. Collocatis numeris ut vides, et invento multiplicando in columnarum vertice, institue primo multiplicationem per 8, exscribendo numeros ex serie octava quadratulorum, et habebis numerum B. Deinde institue multiplicationem per 2, exscribendo numeros ex serie secunda quadratulorum; et habebis numerum E, qui scribi debet infra B ut vides, et ut fieri solet in multiplicatione ordinaria. Has duas summas partiales B et E, collige in unam summam totalem F; eritque haec, producta summa ex multiplicatione numeri 28 in numerum A.

Simili prorsus modo procedendum est, quotcunque figuris constet multiplicandus, et multiplicator.

Articulus III. De Divisione per easdem Columnas mobiles.

[note: Divisio Rabdologica. ] SIt dividendus numerus M, per Divisorem N. Primo. Colloca numeros ut vides in 1. Operatione, ut fieri solet in divisione vulgari. Secundo.

Quaere divisorem N, 24, in capite columnarum, nempe incolum is EQ FP, figu rae 87, easque juxta se colloca ut vides. Tertio. Descendendo in dictis columnis, quaere membrum dividen di cui suppositus est divisor N; quod membrum est hîc 98: et quoniam id praecise non invenis, quaere numerum proxime minorem, et invenies in quarto ordine quadratulorum, 96. Scribe ergo 4 post lunulam pro Quoto, et subtrahe 96 a 98, remanebuntque 2, quaes cribe supra 8, et deletis 98, et 24, promove divisorem N, stabitque exemplum ut in 2. Operatione. Quarto. Descendendo iterum in dictis columnis, quaere 20, membrum videlicet dividendi cui suppositus est divisor N; quod membrum cum non inveniatur in columnis, nec numerus proxime minor; signum est, divisorem in eo non contineri, ne semel quidem. Scribe ergo cifram post lunulam pro quoto, et deleto divisore, relictoque dividendo, promove divisorem; stabitque exemplum ut in 3. O. peratione. Quinto. Descendendo iterum, quaere

in columnis membrum dividendi cui suppositus nunc est divisor N, nimirum 207; quae cum non inveniantur in columnis, quaere numerum proxime minorem, et invenies in 8 ordine quadratulorum 192. Scribe ergo 8 post lunulam pro quoto, et subtrahe 192 a 207, et remanebunt 15; quae scribes supra, et deletis 207 cum divisore 24, promove eum; stabitque exemplum ut in 4. Operatione. Sexto Quaere in iisdem columnis membrum dividendi cui nunc suppositus est divisor, nempe 153, aut proxime minorem numerum; et invenies in sexto ordine quadratulorum 144; quae subtrahe a 153. et remanebunt 9, eritque peracta tota divisio. Erit itaque quotus inventus 4086 9/24, ut in 4. Operatione apparet. Examen sit sicut in divisione ordinaria.

Simili prorsus modo procedendum est in omnibus aliis exemplis, sive per unam, sive per plures figuras fiat divisio: semper enim quaerendus est divisor in capite columnarum, et sub eo quaerendum membrum cui divisor suppositus est, aut numerus proxime minor (si illud praecise non inveniatur) et pro quoto ponendus ille numerus, quem indicat ordo quadratulorum in quo repertum est dictum membrum dividendi; repertusque numerus subtrahendus est ab hoc membro, et divisor promovendus;

Annotatio.

[note: ] NEperus in sua Rabdologia lib. 1. cap. 6. praescribit modum extrahendi radicem quadratam, e numero dato, ope virgularum aut columnarum praedictarum; idem facit P. Andreas Tacquet lib 3. Arithmet. pract. cap. 9. Qui tamen modus non est legitimus; nam qui juxta illum operatur, invenit radicem longe diversam a radice inventa per modum ordinarium supra Parte 1. cap. 3. art. 5. traditum.

CAPUT V. De Arithmetica Calculari seu Lineari.

[note: Arithmetica Calcularis seu Lunaris] CAlcularis seu linearis Arithmetica, est ars numerandi per calculos et lineas, modo mox explicando. Ex quo patebit etiam etymi seu nominis ratio. Loco calculorum Europaei nostri utuntur nummis ex orichalco, aliave quavis materia. Chinenses, ut in hujus Libri Prooemio dixi, nec calculis aut nummis, nec lineis utuntur, sed globulis filo ferreo insertis, et sursum atque deorsum in cistula ad id disposita atque divisa mobilibus. Modum explicat quem citato loco laudavit P. Martinus Martinius lib. 1. Decad. 1. Histor. Sinens. Habet Calcularis seu Linearis Arithmetica maximum et facillimum usum in rationibus datiatque accepticomputandis, sive addendae sint inter se partes variis temporibus acceptae aut expensae, sive aliae ab alijs subducendae, sive invicem multiplicandae aut dividendae: ideo familiarissima est nostratibus mercatoribus, ut merito etiam Mercatoria appellari possit. Potest ac solet adhiberi tam in supputatione rerum unius, quam plurium specierum: volo dicere, tam in supputatione florenorum, v. g. aut baziorum, aut nummorum, etc. tantum; quam florenorum et baziorum, et nummorum, et c. simul. Utrumque modum explicabo.

Articulus I. De praeparatione Abaci Linearis, eiusque usu in Numeratione.

[note: Abacus Linearis. ] CRetâ, aut rubricâ duc in mensa, aut tabula quacunque, vel atramento in charta, septem

lineas (pluresve aut pauciores, prout res exiget pro majori aut minori calculo instituendo) ac primae seu infimae lineae adscribe 1, secundae 10, tertiae 100, quartae 1000, quintae 10000, sextae 100000, septimae 1000000, prout in apposito Abaco factum vides. Deinde ad faciliorem usum, et ad confusionem vitandam, primo spatio inter primam et secundam lineam adscribe 5, secundo spatio 50, tertio 500, quarto 5000, quinto 50000, sexto 500000.

[note: Numeratio Calcularis. ] Valor calculorum in hisce lineis ac spatiis collocatorum hic est. Calculi positi in prima linea, valent seipsos, seu unitates; in secunda linea decies seipsos, seu denitates; in tertia centies seipsos, seu centenarios; in quarta millies seipsos, seu millenarios, in quinta decies millies seu denitates millenariorum; in sexta centies millies seipsos, seu centenarios millenariorum; in septima denique millies millies seipsos, seu milliones. Calculi vero positi in primo spatio inter primam et secundam lineam, valent quinque unitates; in secundo quinque denitates, seu quinquaginta; in tertio quinque centenarios, seu quingenta; in quarto quinque millenarios, seu quinque millia; in quinto quinquaginta millenarios; in sexto denique quingentos millenarios.

Ex his patet I. valorem calculorum cujuscunque lineae, esse decies majorem valore calculorum lineae proxime antecedentis: item valorem calculorum cujuscunque spatii, esse quinquies majorem valore lineae quae immediate praecedit. Valor itaque calculorum in praecedenti abaco dispositorum est hic: 1629638. Nam tres calculi in prima linea, et unus in primo spatio, qui aequivalet quinque calculis, efficiunt octo: item tres calculi in secunda linea, efficiunt triginta: item unus in tertia linea, valens centum, et unus in tertio spatio, valens quingenta, efficiunt sexcenta: item quatuor calculi in quarta linea, qui valent quatuor millia, et unus in quarto spatio, qui valet quinque millia, efficiunt novem millia: item duo in quinta linea, efficiunt viginti millia. item unus in sexta linea, qui valet centum millia, et unus in sexto spatio, qui valet quingenta millia, efficiunt sexcenta millia: tandem unus calculus in septima linea efficit unum millionem. Alia exempla quaecunque (quae ad libitum gratiâ exercitii formare sibi potuerit Tyro) simili prorsus modo calculantur, ac pronunciantur; cujusmodi sunt sequentia.

Patet II. in nulla linea poni posse plures calculos quam quatuor; nec in ullo spatio plures quam unum: quare si linea aliqua reperiuntur quinque calculi, auferendi sunt, et unus in proximo subsequenti spatio collocandus; et si in aliquo spatio reperiuntur duo, removendi limiliter sunt, et collocandus unus in proxime sequenti linea. Ratio ex dictis patet. Si in linea reperiuntur sex, septem, octo, aut novem calculi; ablatis quinque, relinquendi sunt reliqui, et unus collocandus in proximo sequenti spatio. Verbo, tot calculi in spatio collocari debent, quot quinarii a proxime antecedenti linea tolluntur; et tot in linea, quot binarii a spatio proxime antecedenti auferuntur: qui tamen si superant in lineis quatuor, in spatiis unum, removeri debent, ut dixi.

Exempla.

Articulus II. De Additione rerum eiusdem speciei.

[note: Additio calcularis simplex. ] ADditio rerum ejusdem speciei est, quando duae, tresve aut quotcunque summae particulares florenorum tantum, aut aureorum tantum, aut librarum tantum, aut quarumcunque demum rerum ejusdem denominationis seu speciei, colliguntur in unam summam. Hanc qui scit, ignorare non poterit additionem rerum diversae speciei. Ab illa ergo inchoandum, quae hoc modo perficitur.

1. Summae invicem addendae collocentur in diversis columnis Abaci calcularis antea praepatati (ut apparet in apposito Abaco) hoc est, loco rerum addendatum ponantur calculi, servatâ Praxi praecedentis articuli. 2. Summae seu calculi singularum linearum et spatiorum correspondentium colligantur in unam summam, servatâ eâdem praecedentis Articuli Praxi; et summa ex illis proveniens ponatur in lineis aut spatiis columnae sequentis, juxta exigentiam valoris.

EXEMPLUM. Sint hae duae summae addendae: 788. et 383. Primo, adde tres calculos infimae lineae primae columnae ad tres calculos infimae lineae secundae columnae, et proveniunt 6; ex quibus aufer quinque, et unum colloca in prima linea tertiae columnae, iterumque unum loco quiuque ablatorum colloca in primo spatio ejusdem columnae tertiae. Hunc adde ad unum positum in primo spatio primae columnae, ut fiant duo, qui duo cum faciant 10, colloca 1 in secunda linca tertiae columnae; et adde inter se tres et tres secundae lineae columnae primae ac secundae, ut fiant sex: ex quibus rursus aufer quinque, et relinque unum in secunda linea tertiae columnae, unum vero pro quinque ablatis pone in secundo spatio ejusdem tertiae columnae. Iterum collige duos calculos in secundo spatio columnae primae et secundae, et habebis decem; quibus ablatis, pone unum in tertia linea columnae tertiae. Ulterius collige duos et tres tertiae lineae columnae primae ac secundae, ut sint quinque, quibus ablatis, colloca unum in tertio spatio tertiae columnae: quod una cum alio in eodem spatio primae columnae posito facit decem; pro quibus colloca unum in quarta linea columnae tertiae, eritque additio peracta: et summa resultans erit 1171. Simili modo procede in omnibus aliis exemplis, quotcunque fuerint columnae seu summae inter se addendae

EXAMEN operationis fit per subtractionem: si in additione duarum summarum subtrahatur una a summa totali inventâ, et remaneat altera; vel si in additione plurium summarum subtrahantur singula praeter unam a summa totali inventa, et remaneat ea quae subtracta non fuit; evidens est operationem fuisse bonam.

Articulus III. De Additione rerum multiplicis speciei.

[note: Additio calcularis composita ] ADditio rerum multiplicis speciei est, quando plures summae, quarum una significat v. g. florenos, altera bazios aut albos, tertia nummos, etc. colliguntur in unam summam.

EXEMPLUM. Praxin monstro in exemplo Nummorum, Alborum, et Florenorum pecuniae Moguntinae, in qua 8 nummi faciunt album, et 27 albi florenum. Sint igitur colligendi in unam summam sequentes numeri floren. alb. et num. Divide Abacum linearum in tres columnas, et in una dispone nummos, in altera albos, et in tertia florenos. Collige deinde primo in unam summam nummos, et summam reduc ad albos.

Tum collige albos, et summam reduc ad florenos. Demum collige florenos in unam summam. Sic ergo stabit exemplumin Abaco.

Eodem modo operandum est in aliis exemplis ejusdem monetae; simili vero modo in omnibus exemplis quarumcunque monetarum, ponderum: aut mensurarum: Dummodo minores monetae, mensurae, etc. rite reducantur ad majores, juxta dicta supra cap. 3. in Arithmetica Politica.

Articulus IV. De Subtractione rerum unius speciei.

[note: Subtractio calcularis simplex. ] PRo hujus Subtractionis praxi explicanda, numerum a quo fit Subtractio, vocabo Integrum; numerum qui subtrahitur, Subtrahendum; numerum relictum factâ subtractione, Residuum. Abacus ergo linearis dividendus est in tres columnas, in quarum prima collocari debet Integrum, in secunda Subtrahendum, in tertia Residuum.

Praxis itaque hujus Subtractionis haec est, Primo, Diviso Abaco in tres columnas, collocentur in prima calculi aequivalentes Integro, in secunda vero calculi aequivalentes. Subtrahendo. Secundo, calculi columnae secundae subtrahantur a calculis columnae primae, accipiendo tot calculos ex corespondente linea aut spatio majoris numeri primae columnae, quot sunt calculi in linea aut spatio numeri minoris secundae columnae, residuum vero in prima columna colloca in tertiae columnae lineis aut spatiis competentibus. Quod si in linea aut spatio columnae primae non sunt rot calculi, ut possint subduci calculi secundae columnae; resolvatur unus calculus superioris lineae aut spatii in plures calculos, ponanturque in dicta linea aut spatio; ut fiat subtractio modo dicto. Res in exemplo melius patebit.

EXEMPLUM. Sint subducenda 682, a 1375. Quoniam duos calculos in linea infima columnae secundae non potes subducere ab uno calculo posito in primo spatio columnae primae; resolve unum illum, collocando in linea inferiore quinque calculos; et subtractis duobus, colloca tres residuos in prima linea tertiae columnae. Iterum

cum tres calculi in secunda linea columnae secundae non possint subtrahi a duobus in secunda linea primae columnae positis, resolve proxime sequentem in spatio, et loco ejus pone quinque calculos in dictalinea, ut fiant 7; a quibus 3 subtracti, relinquunt 4, collocandos in secunda linea tertiae columnae. Rursus quoniam unus calculus positus in secundo spatio secundae columnae, non habet calculum respondentem in eodem spatio primae columnae (jam enim resolutus fuit in quinque) resolve unum ex linea tertia primae columnae, et loco ejus colloca 2 in spatio inferiore; a quibus subtrahe 1, et 1 residuum colloca in spatio secundo tertiae columnae. Ulterius, 1 in tertia. linea secundae columnae positum, subtrahe a 2 positis in eadem linea primae columnae (jam enim unus fuit ablatus, ac resolutus) et residuum 1 colloca in tertia linea tertiae columnae. Tandem unum positum in quarta linea primae columnae, resolve in 2, et colloca in spatio immediate inferiori, ab iisque subduc unum positum in spatio tertio secundae columnae, ac residuum colloca in eodem spatio tertiae columnae; eritque operatio absoluta.

EXAMEN operationis fit per Additionem. Si enim residuum collocatum in tertia columna, addas ad subtrahendum positum in secunda columna, resultetque integer positus in prima columna; certum est, operationem fuisse rite peractam

Annotatio.

[note: ] IN subtractione non est necessarium praeparare Abacum aut columnam in Abaco, pro numero Subtrahendo, sed potest hic scribi vel ad latus, vel infra numerum integrum, ut apparet in sequenti Exemplo. Non est etiam necessarium ut formetur Abacus modis hactenus exhibitis, sed sufficit si fiat ut sequitur.

Articulus V. De Subtractione rerum diversarum spicierum.

[note: Subtractio calcularis composita ] PRaxis consistit in hoc, ut pro singulis specieb. praeparentur singulae columnae in Abaco, una nimirumpro florenis, alia pro albis, tertia pro nummis, etc. Deinde, ut incipiatur a minima specie, et nummi, v. g. subtrahantut a nummis, albi ab albis, floreni a florenis. Quod si in Integro nulli sint nummi a quibus fiat subtractio, aut sint pauciores quam ut fieri possit, resolvendus est unus albus ex praecedentibus in nummos. Idem servandum est, quando albi non possunt subtrahi ab albis: tunc enim resolvendus est florenus in albos. Sed rem exemplo declaremus.

Exemplum.

[note: ] QVidam debebat mihi flo. 7384. alb. 26, num. 7. Solvit flo. 2568, alb 20, num. 4: volo scire, quantum adhuc debeat. Subtraho fl. 2568, alb. 20, num. 4, a flo. 7384, alb. 26, num. 7. (qui numerus est in primo Abaco per calculos expressus) et residuum calculorum pono in secundo Abaco. Dico itaque, inchoando a numeris, 4 a 7, remanent 3, et ablatis 7 calculis ex columna Nummorum primi Abaci, pono tres in columna Nummorum secundi Abaci. Deinde progrediendo ad albos, subtraho 20 a 26, dicendo, 20 a 26 remanent 6, aufero igitur 26 calculos ex columna Alborum primi Abaci, et colloco 6 intra columnam Alborum secundi Abaci. Demum progrediendo ad florenos, subtraho 2568 a 7384, dicendo, 8 a 4, non possum auferre, accipio ergo unum calculum ex linea denitatum, ut habeam 14, et dico, 8 a 14, remanent 6, aufero igitur 14 calculos exprimo Abaco (quatuor nimirum ex prima linea, et unum ex secunda) et pono 6 in secundo. Iterum dico, 6 a 7 (non ab 8, quia jam ablatus fuit unus calculus) remanet 1, aufero ergo 7 ex primo Abaco, et colloco unum in secundo. Rursus dieo. 5 a 3, nonpossum auferre, accipio igitur unum ex linea millenariorum, ut habeam 13, et dico, 5 a 13, remanent 8, aufero igitur 13 calculos ex primo Abaco, et pono 8 in secundo. Tandem dico, 2 a 9, remanent 4, et ablatis 6 exprimo Abaco, relinquo 4 in secundo.

Simili prorsus modo in omnib. aliis exemplis, tam monetarum, quam ponderum, et mensurarum proceditur, nisi quod ut antea dixi, subinde resolvendus est alb. in nummos, aut florenus in albos, item libra in uncias, aut centenarius in libras etc.

Articulus VI. De Multiplicatione

[note: Multiplicatio calcularis. ] MUltiplicatio aut nullum, aut rarum habet usum in rebus diversarum specierum, ideo tantum in rebus unius speciei ejus praxin ostendemus, quae in hoc consistit.

§. I. Quando Multiplicator est unica figura.

[note: ] PRimo. Disponatur unus Abacus pro Multiplicando, alius pro Multiplicatore, tertius pro Producto. Secundo. Omnes figurae Multiplicandi multiplicentur per figuram Multiplicatoris (hoc est, calculi istius per calculos hujus) et Productum ponatur in suo Abaco.

EXEMPLUM. Sint multiplicanda 1282, per 3. Disponantur calculi in primo et secundo Abaco, ut vides, et dic, ter duo, faciunt 6, colloca ergo 6 calculos in prima linea et primo primo spatio tertii

Abaci. Dic iterum: ter octo, faciunt 24, pone ergo quatuor calculos in secunda linea tertii Abaci, et mente retine duo. Dic tertio: ter duo, faciunt 6, et additis 2 antea retentis, fiunt 8, pone ergo octo calculos in tertia linea et tertio spatio tertii Abaci. Dic tandem, ter unum, faciunt 3, pone ergo tres calculos in quarta linea tertii Abaci. Absolutâ operatione, productum est 3846. Eodem modo procedendum est in omnibus aliis exemplis, in quibus Multiplicans est unica figura.

Annotatio.

[note: ] NOn est necessarium, Multiplicatorem disponere intra Abacum, sed potest ad latus aut infra Multiplicandum scribi, aut mexte retineri, quod et in sequenti exemplo observabimus.

§. II. Quando Multiplicator constat pluribus figuris.

[note: ] PRimo. Praeter Abacum pro Multiplicando praeparatum, fac tot alios pro Productis, quot figuris constat Multiplicator: tot n. Producti particulates provenient. Secundo, Multiplica Multiplicandum singulatim per singulas figuras Multiplicatoris, et in notatione Productorum singulis figuris respondentium hoc observa, ut quemamodum in multiplicatione ordinaria quae numeris scriptis perficitur, prima seu dextima figura producti primi ponitur immediate sub Multiplicantis prima seu dextima figura, secundi vero producti figura prima sub secunda figura Multiplicantis, etc. i ta etiam in hac Multiplicatione Calculari ponas primi producti priores calculos in ea linea Abaci, in qua numeri Multiplicantis aut Multiplicandi primi calculi ponuntur; secundi vero producti primos calculos in eadem linea, in qua ponuntur secundi calculi Multiplicatoris aut Multiplicandi; et sic consequenter ascendendo. Tertio. Peracta tota multiplicatione, collige in unam summam Productos particulares, juxta praxin Articuli 2.

Exemplum.

[note: ] Sint multiplicanda 2457, per 43. Dispone Abacos ut vides factum in exemplo, et per praxin paulo ante hoc eodem Articulo dictam multiplica primo dextimam Multiplicatoris figuram (quae est 3) in omnes figuras seu calculos Multiplicandi, et Productum 7371, dispone in Abaco. Iterum multiplica secundam Multiplicatoris figuram in omnes calculos ejusdem Multiplicandi, et Productum 9828, dispone etiam in Abaco. Tandem haec duo Producta collige in unam summam, et habebis 105651.

Annotatio.

[note: ] IN hac, et in praecedenti multiplicatione quotiescunque Multiplicandorum Abaco notatus est calculus in spatio supra lineam, Multiplicator fuit multiplicatus in numerum calculorum compositum ex calculis in linea et in spatio callocatis. Et hoc semper in omnibus aliis exemplis observandum est.

EXAMEN multiplicationis fit per divisionem: si enim summa dividatur per multiplicantem. et prodeat multiplicandus; certum est operationem fuisse bonam.

Articulus VII. De Divisione.

[note: Divisio calcularis. ] DIvisio linearis seu calcularis longe difficilior videtur esse, quam ordinaria per numeros scriptos, ideoque omitti poterat: ne tamen manca sit haec tractatio, paucis eam explico.

Primo itaque dispone Dividendum ac Divisorem prout in sequenti exemplo apparet; et nota, divisorem hîc non promoveri ex linea in lineam, sed tantum digito manus sinistrae designari ejus promotionem. Secundo, incipe operationen a parte superiore; in cujus supremae lineae calculo, si Divisorem ne semel habere possis, compone calculos supremae lineae cum calculis lineae sequentis. Tertio, ut Quotus rit e collocetur in Abaco suo, ante omnia considera, quot operationes institui possint, seu quoties Divisor promoveri possit, ut tot lineis ab infima primos calculos Quoti colloces.

Exemplum.

[note: ] Sint dividenda 12832, per 608. Primo, cum 6 ne semel quidem in 1 reperiantur, pone digitum manus sinistrae in quarta linea, etc dic, 6 in 12, reperitur bis: pone ergo 2 in secunda linea, quia tantum duas operationes in hoc exemplo instituere potes. Deinde multiplica 6 per 2, nempe 6 calculos Divisoris, per 2 calculos Quoti, et habebis 12, ablatisque 12 ex 12 calculis Dividendi, nihil remanet in quarta et quinta linea. Ulterius, quia in Divisore sequens linea calculo caret, eandem omitte, et multiplica 8 per 2, fiunt 16, quae subtrahe a calculis superioribus Dividendi, incipiendo a secunda linea, in qua cum tantum tres calculi inveniantur, resolve unum ex tertia linea sumptum (qui aequivalet decem praecedentium) ut fiant 13, a quibus abstracta 6, relinquunt 7, et iterum 1 a 7, (quae sunt in tertia linea et terrio spatio) relinquit 6. Totus itaque numerus Dividendi residuus pro secunda operatione est 672.

Promove jam Divisorem, promovendo videlicet digicum manus sinistrae ad tertiam lineam, in qua, et simul in spatio supra se, sunt aequivalenter 6 calculi; et dic, 6 in 6. habetur semel: pone ergo 1 calculum in infima linea, et omissâ multiplicatione Divisoris per Quotum (quoniam 1 non multiplicat) subtrahe primo 6 a 6 nihil remanet in tertia linea: deinde 8 a 12 (resolvendo unum calculum assumptum ex secunda linca) remanent 4, atque adeo totum residuum erit 64, ut in exemplo patet.

EXAMEN fit per multiplicationem: si enim Divisor multiplicatus per Quotum, restituat Dividendum, (prius residuo ad productum addito) certum est, divisionem fuisse bene institutam.

Atque haec sufficiant pro Arithmetica Calculari, quae procul dubio est ingeniosa, et fortassis apud antiquos usitata, qui propterea Arithmeticam Practicam vocarunt. Artem calculatoriam: quamvis nunc fere apud solos idiotas in usu est. Ordinaria autem operatio per numeros scriptos est procul dubio facilior, et compendiosior.

CAPUT VI. De Arithmetica Divinatoria.

[note: Arithmetica divinatoria ] ITa voco Praxes quasdam solvendi Arithmeticarum operationum ope nonnullas quaestiones adeo occulte, ut id divinationis speciem prae seferat. Intersero illas hoc loco, velut rosas inter Arithmeticae praecedentis et Geometriae subsequentis spinas. Duces sequor Bedam, Gemmam Frisium, Cardanum, Budeonem, Clavium, aliosque plerosque Arithmeticae Practicae Scriptores, ne quis exorbitare me putet.

Articulus I. Divinare quot quis nummos in crumena habeat.

[note: Divinare quot quis nummos in crumena habeat. ] ALii docent divinare, quem quis numerum mente conceperit, ut universalior et abstractior sit praxis. Suppono, eum cujus nummos in crumena divinare volo, scire quot habeat nummos. Itaque

Jube primo numerum nummorum mente triplicari: secundo, triplicatum, si par sit, dimidiari, si impar, addi unitatem, et postea dimidiari: tertio, dimidiatum jube rursus triplicari, et abijci usquoties fieri potest. His factis, pro singulis novenariis abjectis sepone tibi 2, et pro unitate addita sepone 1, et habebis numerum nummorum, aut numerum mente ab alio conceptum.

EXEMPLUM I. Habeat quis 4 nummos: triplicati faciunt 12, dimidiati faciunt 6; haec triplicata faciunt 18. Abijci possunt 9 bis. Unde colligo, eum habere quatuor nummos, quia singuli novenarii dant mihi duos.

EXEMPLUM II. Conceperit aliquis mente quinarium, seu 5. unitates. Hae triplicatae faciunt 15, et quia hic numerus est impar, ut possit dimidiari, addatur 1, ut fiant 16, cujus dimidium sunt 8. Hoc iterum triplicetur, fiunt 24, et possunt abijci 9 bis. Pro duobus ergo novenariis sepono mihi 4, et pro unitate addita 1, et dico eum concepisse 5.

EXEMPLUM III. Habet quispiam 3, si triplicet, habet 9, si addat 1, et dimidiet, habet 5. si hos triplicet, habet 15, Abijci potest novenarius semel, pro quo ego computo 2, et 1 pro unitate addita, et dico, eum habere 3.

EXEMPLUM IV. Habet 2, triplicatum sunt 6, dimidiatum sunt 3, triplicatum sunt 9. Ergo habet 2.

EXEMPLUM V. Habet 1, triplicatum sunt 3, addat 1 et dimidiet, fiunt 2, hoc triplicet, fiunt 6. Non possunt bijci 9, et primo triplicato fuit addita unitas; habet ergo 1.

Annotatio.

[note: ] HAEc est omnium aliarum praxium, quae circum ferunt, simplicissima, et facillima. Quod ut pateat, indico unam, aut alteram adhuc in sequenti Articulo. Potest quis hac ratione divinare, qua quis hora illo die surrexit, quot commisit peccata, etc. Praestat ut non jubeatur alter abijcere novenarios, sed indicare ultimum numerum productum, ex quo tu clanculum abijcies novenarios.

Articulus II. Aliter divinare, quem quis animo conceperit numerum.

JUbe 1 ut antea, conceptum numerum triplicari [note: Divinare quem quis numerum conceperit. ] triplicatum, si par sit, dimidiari; si impar, addi unitatem, et postea dimidiari. 2. Dimidiatum jube rursus triplicari, triplicatum, si par sit, dimidiari, si impar, addi unitatem, et postea dimidiari. 3 Postremum dimidiatum jube dividi per 9, et quotum tibi dici (hoc est, jube abijci novem quoties potest fieri) quem quotum duc tu in 4 (hoc est, pro singulis novenariis sepone tibi 4) et producto adde 1, si primo triplicato fuit addita unitas; 2 vero, si secundo, proditque numerus quem alter animo concepit.

EXEMPLUM I. Conceperit quis 20, triplum est 60, dimidium 30, triplum hujus 90, dimidium hujus 45, quod divisum per 9, reddit pro Quoto 5 (hoc est, continet quinquies 9, quae abijci possunt) quae ducta in 4, producunt 20, qui fuitnumerus conceptus.

EXEMPLUM II. Concepit quis 10, triplum est 30, dimidium 15, triplum hujus 45, qui numerus quia impar est, dimidiari non potest, nisi

addatur unitas. Addatur ergo 1, fiunt 46, cujus dimidium 23, divisum per 9, reddit 2, quae ducta in 4 faciunt 8, quib. quia secundo triplicato addita fuit unitas, junge 2, et fient 10, numerus nimirum mente conceptus.

EXEMPLUM III. Concepit quis 1, triplum sunt 3, dimidium, addito prius 1, sunt 4, dimidium 2, triplum hujus 6. Hoc triplum quia dividi non potest per 9, et tamen primo triplicato fuit addita unitas; collige eum concepisse animo 1. tantum.

EXEMPLUM IV. Concepit quis 11, triplum sunt 33, qui numerus quia impar est; addatur ei unitas, ut fiant 34. Dimidium hujus sunt 17, quod triplicatum, facit 51, sed quia impar est hic numerus, addatur unitas, ut fiant 52. Dimidium 26, divisum per 9, reddit 2 quae in 4 ducta faciunt 8, quibus, quod utrique triplicationi addita fuerit unitas, junge 3, et conficies 11, qui fuit numerus mente ab altero conceptus.

Articulus III. Adhuc aliter divinare, quem quis numerum conceperit.

[note: Divinare aliter, quemquis munerum cogitaverit. ] PRimo, jube numerum triplicari, et ex producto abijci novenarium quoties licet, et tu interim pro quoliber novenario sepone tibi 3. Secundo interroga num quid residui sit post abjectionem novenariorum, et si quid est, num sit numerus par, aut impar. Pro impari sepone tibi 1, pro pari. 2. Junctis ergo ternariis cum 1, vel 2, ex residuo, habebis numerum ab alio conceptum. Si nihil adsit post abjectionem novenarii, soli ternarii dabunt summam. Tertio, si ex numero triplicato non possunt fieri 9, quaere, an triplicatum illud sit par, aut impar; si par, dic eum concepisse 2, si impar, dic concepisse 1.

EXEMPLUM I. Habeat quis 8. triplicati faciunt 24, novenarius potest abijci bis, ergo bis sepono mihi ternarium, id est, 6, juxta primum praeceptum. Abjectis novenariis ex 24, supersunt 6, qui numerus cum sit par, dat 2, juxta secundum praeceptum, quae 2 addita praecedentibus 6, faciunt 8, quae est summa quaesita.

EXEMPLUM II. Habes 9: triplumsunt 27, novenarius abijci potest ter, et nihil superest. Habuisti ergo ter tria, id est, 9.

EXEMPLUM III. Habes 2: triplum sunt 6, non possunt abijci novem, et tamen productum est par. Habuisti ergo 2.

EXEMPLUM IV. Habes 1: triplum sunt 3, non possunt abijci 9, et tamen productum est impar. Habuisti ergo 1.

Articulus IV. Divinare numeros quos plures conceperunt mente, aut nummos quos habent.

[note: Divinare numeros quos plures conceperunt. ] SUnt quatuor qui diversos numeros mente conceperunt, aut diversum numerum nummorum habent, sed secundus habet duplo plus quam primus, tertius triplo plus quam primus, et quartus eodem quadruplo plus, omnes tamen simul habent 160. Vis scire[?]ot quilibet habeat. Utere Regulâ Falsi simplicis positionis, de qua supra Par. 1. cap. 3. art. 3.

Articulus V. Trium rerum quam quilibet ex tribus hominibus tetigerit, aut acceperit, divinare.

[note: Divinare quam trium rerum quilibet ex tribus tetigerit. ] SInt tres quaecunque res, v. g. liber, chirotheca, pileus, sint item tres homines; Petrus, Andreas, Joannes. Constitue tam inter tres personas, quam

inter tres res abscondendas ordinem, ut scias quae sit persona prima; quae secunda, quae tertia, item quae res sit prima, quae secunda, quae tertia. Sit explicationis gratiâ, res prima A, secunda E, tertia I. Sit item persona prima 1, secunda 2 tertia 3. Expone coram tribus personis 24. calculos, aut nummos, aut quascunque alias res; et exillis da primae personae unum calculum, secundae duos, tertiae tres calculos. Deinde recede paulisper, aut averte te, et jube unumquemque ex tribus accipere clam, et te non vidente, rem unam quam placuerit, sic tamen, ut qui primam rem A accepit, sumat tot calculos ex residuis, quot ei dedisti antea, qui vero secundam rem E accepit, sumat duplum eorum quos dedisti; qui denique tertiam rem I accepit, sumat quadruplum eorum quos antea dedisti. His factis, accede, et vide quot calculi residui sint. Qui quidem non possunt esse plures quam aut 1, 2, aut 3, aut 5, aut 6, aut 7. Si igitur remansit unus, accepit primus rem A, secundus E, tertius rem I. Si duo supersunt; accepit primus E, secundus A, tertius I. Si tres supersunt, accepit primus A, secundus I, tertius E. Si quinque residui sunt, accepit primus E, secundus I, tertius A. Si sex sunt residui, accepit primus I, secundus A, tertius E. Si denique septem remanent calculi, accepit primus I, secundus A, tertius E. Si denique septem remanent calculi, accepit primus I, secundus E, tertius A. Inspice praecedentem tabellam, in qua quae diximus, exprimuntur.

Sed ut memoriter et sine tabulae inspectionescire queas promptissime, quam quilibet rem acceperit, considera sequentium versuum alterutrum.

Horum versuum primum vocabulum servit pro uno calculo remanente, secundum pro duobus, tertium pro tribus, etc. ut numeri appositi indicant. Cujulibes vocabuli syllaba prima accommodetur personae primae, secunda secundae, tertia (sive adsit, sive non) tertiae. Vocalis A significat primam rem. E secundam, I tertiam. Itaque si remansit unus calculus, primum vocabulum, Salve, aut Pallentis, indicat, primam personam accepisse rem A, id est, primam, secundam personam rem E, id est, secundam, et consequenter tertiam personam accepisse rem I, id est, tertiam. Iterum, si residui sunt quinque calculi, quantum vocabulum Semita, vel Feritas, indicat primum hominem accepisse rem secundam E, secundum rem tertiam I, tertium rem primam A.

Articulus VI. Quae plurium personarum, quoto in digito, et quoto in articulo digiti, annulum gestet, divinare.

[note: Divinare quae persona, quoto in digito, et articulo gestet annulum. ] SInt quotcunque personae. Constitue inter illas ordinem, ut sciatur quae sit prima, quae secunda, quae tertia, etc. Constitue item ordinem inter digitos, et articulos, sitque v. g. pollex sinistrae manus digitus primus, et pollex dextrae manus sit ultimus: item articulus proximus ungui sit primus, proximus volae manûs sit tertius. His constitutis, porrige personis annulum, et jube unam ex illis eum clam inserere cui placet digito, et cui lubet articulo (quod tamen sciat unus ex omnibus) et paulisper recede. Tum reversus, jube conscium, in secreto, te non audiente, a prima persona versus ultimam numerare usque ad illam, quae annulum habet; numerum inventum jube duplicari; duplicato addi 5; summam totam multiplicari per 5; producto addi numerum digitorum; conflatum multiplicari per 10; multiplicato addi numerum articuli in quo annulus est; tandemque totam summam tibi indicari. Ex qua summa si abijcias 250, residui primus a dextris numerus indicabit articulum digiti, secundus digitum, tertius (quicunque sit, sive articulus seu simplex, sive digitus seu compositus) personam quae annulum habet.

EXEMPLUM. Sine trigintapersonae, occultetque vigesima in ordine annulum, in digito quarto (hoc est, in annulari sinistrae manus) in articulo secundo. 20. duplicata sunt 40, et addita 5, dant 45 haec multiplicata per 5, faciunt 225, quib. additus numerus digitorum, nempe 4, facit 229. haec rursus multiplicata per 10, producunt 2290, quibus additus numerus articulorum, nempe 2, dat 2292. Ab hac summa si abstrahas 250, remanent 2042, cujus primus numerus, 2, significat articulum secundum, secundus, 4, digitum, tertius, 20, personam quae annulum habet.

Monitio.

[note: ] QVando producti ultimi figura secunda est cyphra, signum est annulum esse in decimo digito. Et tunc ex antecedenti numero auferri debet unitas, et cyphrae addi, residuum vero fignificat personam. Sed rem exemplo declaremus.

EXEMPLUM. Habeat annullum persona 23, in digito decimo, in articulo primo. Numerus 23 duplicatus dat 46, et 5 addita, faciunt 51, haec multiplicata per 5, producunt 255, additis 10, qui est numerus digitorum, fiunt 265, haec summa multiplicata per 10, dat 2650, quibus addita unitas, quae est nota primi articuli, facit 2651. Ab his ablata 250, relinquunt 2401, cujus summae prima figura significat primum articulum, secunda cum unitate mutuata a 24, significat digitum, residuum 23 significat personam.

Annotatio.

[note: ] UT indagatio varietur, potest ad duplicatum numerum personae habentis annulum addi 1, vel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, et. Sed tunc si addatur 1, ex ultimo producto auferantur 50, si addantur 2, auferantur 100, si 3, auferantur 150, si 4, auferantur 200, si 5, auferantur 250, ut in exemplis fecimus; si 6, auferantur 300, et sic consequenter, semper toties 50, amplius auferantur, quot amplius unitates fuerint additae.

Et hoc constat, numerum qui subducitur ex ultimo numero producto continere toties 50, quoties unitas continetur in numero addito ad numerum duplicatum personae habentis annulum.

Articulus VII. Quos numeros infra decem conceperint plures divinare.

[note: Divinare quos numeros conceperint plures. ] HAEc praxis non differt a praecedenti; variari tamen quoad aliqua potest, sic. Primo. Numerum a primo conceptum jube duplicari, duplicatum augeri per 5. auctum multiplicari per 5. Deinde toti producto jube addi numerum a secundo cogitatum, productum augeri per 10, actum per 10 multiplicari. Tandem jube addi numerum a tertio cogitatum. Quod si plures numeri quam tres fuissent concepti, ultima summa rursus per 10 multiplicanda foret, et producto quartus numerus addendus; sicque ulterius progrediendum usque ad decimum. His factis, pete tibi exhiberi ultimam summam procreatam, ab eaque sic duo tantum fuerunt cogitati, subtrahe 35, si tres fuerunt cogitati, subtrahe 350, si quatuor, 3500, et sic consequenter: residuum indicabit quod quaeris, ut antea.

EXEMPLUM. Cogitaverit primus 2, secundus 3, tertius 4, quartus 5, Duplicentur 2, fiunt 4; addantur 5, fiunt 9, multiplicetur hoc per 5, fiunt 45. Addatur numerus secundi, nempe 3. fiunt 48, addantur his 10, fiunt 58, multiplicentur haec per 10, fiunt 580. Addatur numerus tertii, nempe 4, fiunt 584, multiplicentur haec per 10, fiunt 5840. Addatur numerus quarti, nempe 5, fiunt 5845. Ab hoc numero auferantur 3500 remanen 2345. Cogitavit ergo primus 2, secundus 3, tertius 4, quartus 5.

Annotatio.

[note: ] DIffert hic modus a priori, quod summa post additionem numeri a secundo cogitati augetur prius per 10, et deinde multiplicatur per 10. Deinde quod hîc auferuntur ab ultima summa 350, aut 3500, in priori vero modo 250, 2500, etc. Potest et hic modusvariari ut pracedens, si ad duplicatum numeri primi addantur nunc 1, nunc 2, nunc 3, nunc 4, nunc 5, etc. ut diximus articulo praecedenti.

Articulus. VIII. E numero plurium quis rem aliquam surripuerit, divinare.

[note: Divinare quis e pluribus rem acceperit. ] AFfinitatem aliquam cum praecedenti habet haec praxis, imo eadem est cum pauciorib. ambagibus: et in hoc consistit. Primo, statuatur ordo inter personas praesentes, ut sciatur quaenam sit prima, quae secunda, etc. et qui scit furem, notet tacitus numerum loci in quo est. Secundo, duplicet animo eum numerum, duplicato addat 5, summam ex additione conflatam multiplicet per 5, deinde abjectâ primâ figurâ producti, subtrahat 2 ex reliquis producti figuris: reliquus enim numerus erit index furis.

EXEMPLUM. Adsint personae 9 et qui nono est loco, surripuerit rem. Jube hujus rei conscium duplicare secreto numerum loci furis, nempe 9, et fiunt 18, et addi 5, fiunt 23, et hanc summam multiplicari per 5, fiunt 115. Jube tibi indicari hanc ultimam summam; ex qua tu abijce figuram 5, relinquuntur 11, ex his subtrahe 2, remanent 9.

Innumerae aliae divinandi praxes per Arithmeticam, ingeniosa ae jucunda, extant apud P. Leurechon in Recreationibus Mathematicis Gallico idiomate editis, et apud alios qui eundem Latine ac Germanice ediderunt, uti et passim apud alios Auctores. Nobis has paucas attulisse sufficiat.

MONITIO AD LECTOREM.

[note: ] MVltae aliae Speciales Arithmetica hic tradi possent, nempe Primo Militaris, ad distribuendos milites ac manipulos in formanda acie quadrata, oblonga, alteriusve cujuscunque figurae. Secundo Ecclesiastica, ad invenienda novilunia, plenilunia, cyclum Solarem ac lunarem, Indictionem, Annum Bissextilem aliaque similia ad Kalendarium Ecclesiasticum pertinentia. Tertio, Memorialis, substituendo vocabula pro numeris, quos quis mente retinere cupit. Quarto, Proportionalis, qua numerorum proportionalium Algorithmus sive Logistica traditur, praesertim in ordine ad Musicae theoriam. Quinto, Harmonica, qua harmonicorum numerorum doctrina comprehenditur. Sed de prima et secunda agemus infra suis locis in Chronologia, et Tactica. Tertia ingeniosa quidem est, sed nec necessaria est, nec utilis, nec jucunda, ideoque libenter eam omittimus. Qui volet, legat Herigonium in Cursu Mathem. to. 2. tract. de Arithmet. Pract. cap. 17. Quarta et quinta difficiliores sunt quam ut hoc loco Tyronibus proponantur. De divina Algebra agemus vel in fine hujus Operis, vel alio peculiari Opere; ubi et de numeris figuratis, ac de progressionibus, aliisque ad Arithmeticae scientiam spectantibus.

LIBER III. De GEOMETRIA ELEMENTARI, Sive Elementorum Geometricorum Euclidis sex libri Primi.

PROOEMIUM.

[note: [note: Geometria quid. ] GEometria, si nominis significatum spectes, est terrae dimensio; si usum multis iam saeculis apud antiquissimos Graecorum ac Latinorum receptum, est scientia quae circa continuam quantitatem, a materia sensibili abstractam, versatur (ut supra etiam ib. c. 2. asserui) lineam dico, superficiem [correction of the transcriber; in the print superfiicem] et corpus; idque vel speculative, considerando eius varias affectiones ac proprietates, cuiusmodi sunt genesis, analysis, transformatio, proportio, et his similia; vel practice, eam dividendo, addendo, mensurando, construendo, [note: Geometria Elementaris. ] etc. Unde duplex est Geometria, speculativa alia, alia practica. Hanc infra lib. 6. trademus, illam hoc libro, non tamen universam, sed eam solummodo partem, quam Elementarem vocant, ac praecipue Elementa Geometrica Euclidis complectitur; neque hanc etiam integre, sed solum libros priores sex. [note: Geometrica Elementa. ] Elementorum porro geometricorum nomine hoc loco intelligo Propositiones quasdam universae Mathesi non solum utiles, sed apprime necessarias, adeo ut qui sine illis Mathematicas aggreditur Disciplinas, non maiori fructu laboret, quam qui sine litterarum elementis Grammaticam, sine hac Philosophiam, aliamve quamcumque aggreditur scientiam. [note: Euclidis Elementa geometrica. ] In colligendis hisce geometricis Elementis ante bis mille et amplius annos utilem navarunt [orig: navârunt] operam non pauci, Proclo test. lib. 1. in Euclidis Elementa; sed omnes longo post se intervallo reliquit Euclides, qui annis ante Christi nativitatem trecentis, quindecim eorum (velut alii volunt, tredecim, nam quartum et quintum decimum Hypsicli Alexandrino adscribunt) conscripsit libros, tanto ordine, brevitate, perspicuitate, demonstrandum evidentissimarum firmitate, ut nihil in iis omissum, nihil superfluum, nihil non suo loco positum, nihil non clarissime ac solidissime demonstratum, a quoquam hactenus, qui sine livore ea lectitavit, fuerit deprehensum. Merito ergo Mathematicarum rerum Scriptores antiquissimi, Archimedes, Apollonius, Theodosius, Ptoiomaeus, et alii innumeri, cum recentioribus

PROLEGOMENA in Euclidis Elementa Geometrica. I.

[note: Prolegomena in Euclidis Elementa ] QVindecim Euclideorum Elementorum libri in quatuor commode partes dividi possunt. Prima, sex prioribus contenta libris, agit de planis seu superficiebus: Secunda, [note: Euclideorum Elementorum divisio. ] tres sequentes libros complectens, passiones numerorum perscrutatur: Tertia, solo decimo constans libro, disserit de lineis commensuralibus et incommensuralibus: Quarta denique, reliquis quinque libris absoluta, contemplationem solidorum seu corporum complectitur. Pars prima rursus triplex est. Nam inprioribus quatuor libris agitur de planis absolute investigaturque eorum aequalitas et inaequalitas: in quinto vero, de proportionibus magnitudinum in genere; in sexto denique, de solarum figurarum planarum proportionibus. Singulorum porro librorum argumentum in cujusque principio exponemus. Ratio ordinis ac divisionis praedictae videtur esse, quod Geometria praecipue planorum ac solidorum contemplationem suscipit; solida autem sine linearum commensurabilium et incommensurabilium scientia perfecte tractari non possunt; nec lineae illae sine numerorum cognitione: de iis ergo omnibus agendum fuit.

[note: Eorundem Commentatores. ] II. Horum quindecim librorum Propositiones quae circumferuntur Graeco et Latino sermone, sine controversia Euclidis sunt. Demostrationes earundem, quas Theon Graecus edidit olim, a Proclo et aliis eidem Euclidi adscribuntur. Has varij in latinum transtulêre sermonem, alij illustribus et copiosis commentariis exornarunt, multi etiam novam ac breviorem demonstrandi formam excuderunt, sed priorum fere solummodo sex librorum. Ego nec omnes quinecim dare volo, nelongior sim; nec omnes omittere, ne Tyronibus aliorum laboribus destitutis desim. Sex ergo priores dabo, quoniam fere sufficiunt Tyronibus. Ordinem eundem Propositionum, quem Clavius, Illustrissimus Euclidis Paraphrastes et Commentator, tenuit, retinebo, quoniam is procul dubio Euclideus est; tametsi illum subinde pervertant Arabes, et cum illis Campanus. Nec novam cudo editionem: nec in verba ullius juro: Clavij tamen vestigiis ubique, et saepe etiam stylo ac verbis insistam, quoniam nemo melius, ordinatius, universalius, clarius, integriusque, ac magis geometrice illo processit, meâ quidem sententiâ: et qui Clavio deserto aliam ac breviorem demon strandi formam excogitarunt, aut subinde paralogizant, aut non universaliter procedunt, si Grienbergerum excipias, qui Clavium compendiavit felicissime et integerrime, cujus proinde demonstrationibus saepe utemur, iisdem etiam verbis retenris.

III. Quaecunque Euclides in Elementis traditus aut Principia sunt Mathematica, aut Propositiones ex principiis, aliisque propositionibus evidenter demonstratis deductae. Principiorum tria apud Machematicos reperiuntur genera. In primo [note: Principia Mathematica. ] genere sunt omnes Definitriones, quibus artis vocabula explicantur, ne in tracratione ipsa, nominum ambiguitate aut obscuritate in paralogismos incidamus. Has aliqui cum Aristotele, ut vult Proclus, appellant Hypotheses seu Suppositiones: Alii tamen, et melius, distinguunt Suppositiones a Definitionibus. In secundo genere sunt Petitiones quaedam, seu Postulara; quae quidem adeo clara sunt, ut tametsi demonstrari possint, uullâ tamen indigeant confirmatione, sed auditoris tantum assensum deposcant, ne ulla sit in demonstrando haesitatio, aut difficultas. In tertio denique genere sunt Axiomata, seu communes animi notiones (Effata, seu Pronuntiata alij appellant) quae non solum in Mathematica scientia, sed etiam in omnibus alijs adeo manifesta sunt, ut ab illis dissentire nequeat qui vocabulorum significata percipit. Haec tria principiorum genera ita tradit in Elementis suis Euclides, ut in ipso quidem introitu proponat illa quae sunt toti Geometriae, imo et Mathesi universae communia; in aliorum vero liborum principiis, ubi res postulat, ea exponit, quae proprie ad rem illis tractatam spectant. Nec tamen omnia exposuit principia Euclides, sed multa reliquit lectori disquirenda; unde a variis Auctoribus varia alia adduntur, et a nobis quoque nonnulla ex Clavio et aliis apponentur. Ipse quoque Euclides, ejusque Interpretes nonnullis Pronuntiatis a se antea non expositis utuntur, quae nisi ut talia admitterentur, nihil illorum demonstrationes probarent.

[note: Problema et Theorema quid. ] IV. Demonstrationes omnes in Euclidis Elementis (imo et in aliis Mathematicorum libtis) aut Problemata sunt, aut Theoremata. Problema vocant Propositionem, quae docet aliquid constituere, v. g. trianguluma aequilaterum super data linea recta, perpendicularem super datam lineam ad datum punctum, et similia, ut ex sequentibus patebit. Theorema autem appellant eam propositionem, quae solum passionem aliquam unius, vel plurium quantitatum simul perscrutatur, ut quod omne triangulum habet tres angulos aequales duobus rectis, etc. Itaque Theoremata versantur circa quantitatem abstractam speculative tantum, quia habent pro fine scientiam; Problemata vero practice, quia pro sine habent aliquod opus intellectuale circa eandem quantitatem abstractam. Ad Theoremata revocari porssunt. Axiomata seu Pronuntiata; ad Problemata vero, Postulata, [note: Lemma quid. ] de quibus mox agemus. Tam Theoremata, quam Problemata, aliquando proponuntur nomine Lemmatum, quando nimirum praemittuntur vel subjiciuntur Propositionibus principalibus, quae sine his non possunt demonstrari. Ex quibus patet, Euclidis demonstrationes respectu demonstrationum aliorum Mathematicorum, Lemmata esse, quoniam sine ijs demonstrari non possunt. Imo eaedem Euclidis demonstrationes sunt sibi mutuo Lemmata, quoniam ita concatenatae sunt, ut subsequens sine antecedente demonstrari nulla ratione quear, uti ex dicendis constabit.

[note: Demonstratio fusior quot rebus constet. ] V. Theoremata et Problemata interdum breviter, interdum fuse demonstrantur. Fasior demonstratio ordinarie quinque interdum quatuor, saepe etiantribus tantum partibus constat. Quinque partium prima est Propositio, qua Theorema aut Problema proponitur. Secunda est Explicatio, qua propositio exponitur. Tertia est Constructio, seu delineatio, quae demonstrationi praemittitur. Quarta est Demonstrario propositionis ex principiis, aur aliis propositionibus evidenter antea demonstratis. Quinta denique est Conclusio, quae in theoremate fit his aut similibui verbis, quod erat demonstrandum; in problemate vero, quod erat faciendum. Interdum tamen omittitur constructio, quia nulla requiritur; interdum et explicatio, propter eandem causam; saepe etiam conclusio, quae tamen semper subintelligi debet.

VI. Inter demonstrandum citabimus semper principia et propositiones nostras (id est, Euclidis) sed diverso charactere, et initialibus tantum vocabulis, ac numeris, in hunc modum. Defi. 1. 2. etc. Pet. 1. 2 etc. Axi. 1. 2. 1. Primi, 3. secundi, 20. undec. 7. sex etc. Significat, Definitio 1. 2. etc. Petitio 1. 2. etc. Axiom. 1. 2. Prima primi, Tertia secundi, vigesima undecimi, Septima sexti, id est, Prima proposit. lib. 1. Elementorum Euclidis, etc. Citando propositionem aut definitionem, etc. praemissam in eodem libro, in quo versor, dicam, Defi. 1. hujus, 1. hujus, etc. Hactenus Prolegomena, nunc ad Elementa ipsa; quae pro viribus clare et breviter, ut decet, tractare conabor.

Monitio ad Tirones.

[note: Euclidis Elementa quomodo legenda a tironibus. ] TYrones relegant prius Isagogen Mathematicam; tum aggrediantur Elementa Euclidis et lectae conferant cum locis dictae Isagoges ad quae remitentur, nec ad ali a pergant, antequam quae legerunt, intelligant. Si primâ vice lecta non percipiunt, repetant secundâ et tertiâ, ac etiam quartâ; intelligent enim certissime, ni stupidi prorsus sint. Si nostra non capiunt, alium adeant Auctorem, si copia datur. Si nec hunc intelligant, ammum tamen non deijciant, sed ad alios libros pergant, et subinde, sed serio, ad hunc revertantur. Novi ego adclescentes, et adultos, qui propriâ industriâ, nullo consulto magistro, totum Euclidem ex Clavij Commentarijs perfecte perceperunt; alios qui magistro solum intentante digitum idem fecerunt: alios, qui cum primam, ac secundam, aut etjam tertiam explanatione plane stupidi andivissent; ad quartam tandem oculos aperuêre. Conentur omni studio quartam saltem ac quintam Propositionem intelligere: ijs enim intellectis, non solum nullâ difficulsate sed magna etiam voluptate reliquas intelligent.

EUCLIDIS ELEMENTUM PRIMUM

TRactat in eo Euclides praecipue de triangulis [note: Euclidis Elementum primum quid contineat. ] planis rectilineis, et de parallelogrammis, explicans eorum ortus, et affectiones varias, contemplansque illa inter dum per se, interdum vero inter se comparata. Horum oscasione docet etiam divisionem anguli rectilinei, et lineae, in partes aequales, constitutionem lineae perpendicularis, proprietates parallelolarum, et alia. Ante omnia tamen praemitit Definitiones, Petitiones, et Axiomata, ob causas in Prolegomeno III. explicatas. Definitiones explicatae sunt lib. 1. cap. 2. ubi etiam necessartas figuras apposuimus. In Petitionibus verba diverso charactere subjuncta, sunt nostra, et praecedentium explicatio. In Axtomatibus simili charactere addita verba, sunt Clavij, et aliorum.

DEFINITIONES.

[note: Definitiones libri primi Elementorum Enclidis. ] 2. Linea vero longirudo, latitudinis expers.

7. Plana superficies est, quae ex aequo suas interjacet lineas. Vel secundum Heronem, cui ex omni parte congruit linea recta.

8. Planus vero angulus, est duarum linearum in plano se mutuo tangentium, et non in directum jacentium, alterius ad alteram inclinatio.

9. Cum autem, quae angulum continet, lineae rectae fuerint, rectilineus ille angulus appellatur.

10. Cum vero recta linea super rectam consistens lineam eos, qui deinceps sunt, angulos aequales inter se fecerit, rectus est uterque aequalium angulorum: Et quae insistit recta linea, perpendicularis vocatur ejus, cui insistit.

15. Circulus est figura plana, subuna linea comprehensa, quae peripheria appellatur; ad quam ab uno puncto eorum, quae intra figuram sunt posita,

17. Diameter autem circuli est recta quaedam linea per centrum ducta, et ex utraque parte in circuli peripheriam terminata, quae circulum bifariam secat.

18. Semicirculus vero est figura, quae continetur sub diametro, et, sub ealinea, quae de circuli peripheria aufertur.

22. Multilaterae autem, quae sub pluribus, quam quatuor, rectis lineis comprehenduntur.

23. Trilatetarum autem figurarum AEquilaterum est triangulum, quod tria latera habet aequalia.

26. Adhaec etiam, trilaterarum figurarum Rectangulum quidem triangulum est, quod rectum angulum habet.

29. Quadrilaterarum autem figurarum, Quadratum quidem est, quod et aequilaterum, et rectangulum est.

30. Alterâ vero parte longior figura est, quae rectangula quidem, at aequilatera non est.

32. Rhomboides vero, quae adversa et latera et angulos habens inter se aequales, neque aequilatera est, neque rectangula.

34. Parallelae rectae lineae sunt, quae cum in eodem sint plano, et ex utraque parte in infinitum producantur, in neutram sibi mutuo incidunt.

35. Parallelogrammum est figura quadrilatera, cujus bina opposita latera sunt parallela, seu aequidistantia.

36. Cum vero in parallelogrammo diamer ducta fuerit, duaeque lineae lateribus parallelae, secantes diametrum in uno eodemque puncto, ita ut parallelogrammum ab hisce parallelis in quatuor distribuatur parallelogramma; appellantur duo illa, per quae diameter non transit, complementa; duo vero reliqua, per quae diameter incidit, circa diametrum consistere dicuntur. Parallelogrammum sit ABCD, diameter AC, duae lineae lateribus parallelae, EF, HI, secantes diameterum in G. Duo parallelogramma AEGH, et GIFC, dicuntur consistere circa diametrum; reliqua duo appellantur complementa.

PETITIONES sive POSTULATA.

[note: Postulata libri primi Elementorum Euclidis. ] I. POstulatur, ut a quovispuncto in quodvis punctum rectam lineam ducere concedatur, mente videlicet; quod fit per conceptionem brevissimae extensionis a puncto ad punctum.

3. Item quovis centro, et intervallo, circulum describere, circumductu videlicet mentali lineae quantaeunque circum unum extremum immotum.

4. Item quacunque magnitudine datâ, sumi posse aliam magnitudinem vel majorem, vel minorem, vel aequalem.

AXIOMATA seu PRONUNTIATA.

[note: Axiomata libri primi Elementorum Euclidis. ] I. QVae eidem aequalia et inter se sunt aequalia. Et quod uno aequalium majus est, aut minus; majus quoque est, aut minus altero aequalium. Etsi unum aequalium majus est, aut minus magnitudine quâpiam, alterum quoque aequalium eadem magnitudine majus est, aut minus. Et quae aequalibus sunt aequalia, etiam inter se sunt aequalia. Et quod est majus majore, est etiam majus minore: et quod est minus minore, est etiam minus majore.

3. Et si ab aequalibus aequalia ablata sunt, quae relinquuntur, sunt aequalia. Et si a toto auferatur dimidium, remanet dimidium: si auferatur majus aut minus dimidio, remanet minus aut plus dimidio: si auferatur pars tertia, remanent duae tertia, etc.

4. Et si inaequalibus aequalia adjecta sunt, tota sunt inaequalia. Et si inaequalibus inaequalia adjecta sint, majori majus, et minoriminus, tota sunt inaequalia; illud nimirum maius, hoc minus.

5. Et si ab aequalibus aequalia ablata sunt, reliqua sunt inaequalia. Et si ab inaequalibus inaequalia ablata sint, a majori minus, et aminori majus; reliqua sunt inaequalia, illud nimirum majus, et hoc minus. Et si ab aequalibus inaequalia ablata sint, reliqua sunt inaequalia.

Porro in his omnibus Pronuntiatis, primo excepto, nomine aequalium quantitatum intelligenda est etiam una et eadem multis communis.

6. Et quae ejusdem; vel aequalium, duplicia sunt, inter se sunt aequalia. Et quod unius aequalium duplum est, duplum est et alterius aequalium. Et duplum majoris majus est duplo minoris. Et si unum aequalium duplum est cujuspiam magnitudinis, alterum quoque aequalium duplum est ejusdem magnitudinis.

7. Et quae ejusdem, vel aequalium, sum dimidia, inter se sunt aequalia. Et si unum aequalium dimidium est cujuspiam magnitudinis, alterum quoque aequalium dimidium est ejusdem magnitudinis. Et quod unius aequalium dimidium, alterius quoque aequalium est dimidium. Et dimidium majoris majus est dimidio minoris.

Quae in sexto et septimo axiomate dicta sunt de duplo et dimidio, possunt etiam sumi de triplo quadruplo, etc. et de partibus tertijs, quartis, etc.

8. Et quae sibi mutuo congruunt, ita ut si sibi mutuo superponantur, neutrum excedat alterum; ea inter se sunt aequalia, Et quae sunt aequalia, sibi mutuo congruunt, si alterum alteri supponatur; intellige, si quantitates sunt similes, nam in dissmilibus falsum est.

10. Item, omnes anguli resti sunt inter se aequales. Patet ex definitione 10. ubi augulus rectus constitui dicitur a linea alteri lineae perpendiculari, quae in neutram partem magis inclinetur; haec autem linearum duarum mutua inc linatio immutabilis est, alioquin non constitueret angulumrectum. AEquales ergo sunt inter se omnes anguli recti, quia omnes aequali constant linearum inclinatione.

11. Et si in duas rectas lineas altera recta incidens, internos, ad easdemque partes angulos duobus rectis minores faciat; duae illae rectae lineae in infinitum productae sibi mutuo incident ad eas partes, ubi sun tanguli duobus rectis minores. Explicabitur ad proposit. 28. sine qua non potest sufficienter intelligi.

12. Duae rectae lineae spatium non comprehendunt. Quocunque enim modo sibi occurrant ex una parte, sejunctae manent ex altera; unde ut spasium comprehendant, adjungenda necessario est ad minimum tertia quaedam linea

Hîc finit Euclides Axiomata sua. Quae sequuntur, adjecit Clavius, et alij, idque bene, quoniam in sequentibus subinde ut axiomala supponuntur, alioquin demon strationes claudicarent.

13. Duae lineae rectae: non habent unum et idem segmentum conimune. Sic si ABC, et D B, rectae sunt lineae, segmentum BC non potest esse commune utrique, quiasi DB producatur in directum a puncto B, non pergit ad C, sed ad E, alioquin linearecta non esset.

14. Duae rectae in uno puncto concurrentes, si producantur ambae, necessario se mutuo in eo puncto intersecabunt. Sequitur ex jam dictis.

15. Si punctum sit in duabus rectis, erit aut in earum intersectione, aut in contactu. Sequitur ex natura lineae rectae, et ex dictis.

16. Si duo puncta sunt in eodem plano, etiam recta ipsa connectens est in eodem plano. Sequitur ex natura lineae rectae, quae est via brevissima a puncto ad punctum.

17. Si aequalibus inaequalia adjiciantur, erit totorum excessus, adjunctorum excessui aequalis.

18. Si inaequalibus aequalia adjungantur, erit totorum excessus, excessui eorum quae a principio erant, aequalis.

19. Si ab aequalibus inaequalia demantur, erit residuorum excessus, excessui ablatorum aequalis.

20. Si ab inaequalibus aequalia demantur, erit residuorum excessus excessui totorum aequalis.

22. Si totum totius est duplum, et ablatum ablati; erit et reliquum reliqui duplum.

23. Si singulae partes alicujus magnitudinis sint duplae totidem singularum partium alterius magnitudinis; prima magnitudo erit dupla secundae.

24. Magnitudo quae alterâ magnitudine nec major est, nec minor, est ipsi aequalis.

26. Circuli ex diversis ejusdem intervalli extremis tanquam centris descripti, intersecant se mutuo. Vnius enim peripheria transit necessario per centrum alterius.

17. Quod est majus majori, est etiam minori quantitate, si hae inter se comparentur.

PROPOSITIONES.

[note: Propositiones libri primi Elementorum Euclidis. ] LEgatur Prolegomenum 4. 5. et 6. Priores aliquot propositiones paulo fusius ac distinctius proponam ac demonstrabo, ingratiam Tyronum, in reliquis brevior ero.

Propositio I. Problema. Super data recta linea terminata triangulum aequilaterum construere.

[note: Triangulum aequilaterum construere super data recta. ] SIt data recta linea terminata AB, super qua oporteat constituere triangulum aequilaterum, cujus unum latus sit linea data. Centro A, intervallo AB, describatur circulus CBD, per 3. Pet.

Rursus centro B. intervallo eodem BA, describatur circulus CAD, secans priorem in punctis C et D, per 26. Ax. ex quorum utrovis puncto, nempe ex C, ducantur rectae CA, CB, ad puncta A et B per 1. Pet. Dico, triangulum ABC, constitutum super rectae AB, esse aequilaterum. Quoniam enim rectae AB, AC, sunt duct ductae ex centro A ad circumferentiam circuli CBD; eritrecta AC aequalis rectae; AB; per 15. Des. Rursus quoniam recta BA, BC, sunt ductae ex centro B ad circumferentiam circuli CAD; erit recta BC aequalis rectae BA. Cum igitur tam recta AC, quam recta BC, aequalis sit uni et eidem rectae AB; erunt et inter se aequales, per 1. Ax. ac proinde omnia tria latera erunt interse aequalia. Ergo triangulum ACB et aequilaterum est, per 23. Defi. et super data recta AB constitutum, quod erat faciendum.

Posset haec demonstratio, et quaevis alia, proponi in forma syllogistica, quam tamen Mathematici, brevitatis causa, negligunt. In praxi sufficit describere supra AB, ex centris A et B, intervallo ejusdem AC, duos arcus intersecantes se in C, et ex puncto intersectionis C ducere rectas CA, CB, modo dicto lib. 1. cap. 4. art. 2. praxi 6. ubi etiam docuimus, quomodo super datarecta sit constituendum triangulum isosceles, et scalenum.

Propositio II. Problema. Ad datum punctum, datae rectae lineae aequalem rectam lineam ponere.

SIt datum punctum A, et data recta linea BC, [note: Lineam alteri aqualem ponere ad punctum datum. ] cui aliam rectam lineam aequalem ponere oporteat ad punctum A. Facto alterutro extremo

lineae BC, nempe C, centro, describatur inter vallo CB circulus BE, per 3. Pet. et ex A, ad centrum C, ducatur recta AC, per 1. Pet. et super AC construatur triangulum aequilaterum ACD, per 1. hujus, sive sursum sive deorsum. Deinde duo latera modo constituta DA; DC, versus rectam AC extendantur in directum, per 2. Pet. DC quidem usque ad circum ferentiam in E, DA vero quantum libet in F. Demum centro D intervallo DE, describatur alter circulus EG, per 3.

Pet. secans rectam DF productam in G. Dico, rectam AG, quae posita est ad punctum A datum, aequalem esse datae rectae BC. Quoniam enim DE, DG, ductae sunt ex centro D ad circum ferentiam LG; erunt inter se aequales, per 15. Def. ab latis igitur DA, DC, aequalibus lateribus trianguli aequilateri CDA, remanebit recta AG aequalis rectae CE, per 2. Axi. sed eidem CE aequalis est recta BC, per 15. Def igitur rectae AG, BC, aequales sunt inter se, per 1. Axi. Ad datum igitur punctum, datae rectae lineae aequalem rectam lineam posuimus; quod erat faciendum.

Si punctum datum fuerit in uno extremo lineae datae, ut in C figura 92, describatur entro C, intervallo CB, circulus, et ad ejus circumser entiam ducatur recta

CE versu quam volueris partem, et arit factum quod petitur. Si vero punctum datum est in ipsa linea BC data; utin eadem figura punctum A; constituatur triangulum aequilaterum super segmento AC, et caetera fiant ut antea. In praxisufficit accipere circino intervalum rectae, datae et ex dato tanquam centro describere circulum aut arcum, atque ex eodem ad circumserentiam ducere rectam quamlibet.

Propositio III. Problema. Datis duabus rectis lineis inaequalibus, de maiore aequalem minori abscindere.

[note: Lineam aequalem minori abscindere ex maiori. ] SInt duae rectae inaequales, A minor, et BC major, oporteatque ex majore BC detrahere lineam aequalem minori A. Ad alterutrum extremum

punctum lineae majoris BC, nempe ad B, ponatur linea BD, aequalis lineae minori A, per 2. hujus. Deinde centro B, intervallo BD, fiat circulus, per 3. Pet. secans BC in E. Dico, BE abscissam, esse aequalem ipsi A. Quoniam enim BE aequalis est rectae BD, per 15. Def. et eidem rectae BD aequalis est recta A, per constructionem; erunt A et BE inter se aequales, per 1. Ax. Datis igitur duabus inaequalibus, de majore aequalem minori abscidimus; quod erat faciendum.

Quod si duae rectae datae conjungantur in uno extremo, quales sunt BD, BC, conjunctae in puncto B; describatur circulus ex B ad intervallum minoris BD: hic enim auferet BE, aequalem ipsi BD, per 15. Def.

In praxi sufficit accipere circino intervallum minoris lineae, et posito uno circini pede in uno extremo majoris, altero abscindere portionem; haec enim aequalis erit minori datae.

Propositio IV. Theorema. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, utrumque utrique, habeant vero et angulum angulo aequalem sub dictis aequalibus lateribus contentum; tunc et basin basi aequalem habebunt; eritque triangulum triangulo aequale; ac reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt, uterque utrique, quibus aequalia latera subtenduntur.

[note: Duo triangula, quae habent duo latera aqualia utrumque utrique et angulos bis lateribus contentos aequales, habent et bases aequales, et ipsa sunt inter se aequalia. ] SInt duo triangula, ABC, DEF, et unius duo latera AB, AC, aequalia sint alterius duobus lateribus DE, DF, utrumque utrique, hoc est, AB ipsi DE, et AC ipsi DF; angulusque A contentus lateribus AB, AC, aequalis sit angulo D, contento lateribus DE, DF. Dico, etiam basin BC aequalem esse basi EF; et totum triangulum ABC, toti triangulo DEF; et reliquos angulos B et C, reliquis angulis E et F, utrumque utrique, esse aequa les, nempe angulos B et E, quibus subtenduntur aequalia latera AC, DF, inter se; et angulos C et F,

quibus subtenduntur seu opponuntur aequalia latera AB, DE, inter se quoque esse aequales. Quoniam enim recta AB aequalis ponitur rectae DE, fit ut si altera alteri supponi intelligatur, collocato puncto A in puncto D; ipsae sibi mutuo congruant, per 8. Ax. punctumque B; in punctum E cadat; ac pro inde tota AB cadat in totam DE. Quoniam praeterea angulus A angulo D ponitur aequalis, latusque AC lateri DF; fit ut si angulus angulo superponi intelligatur, congruant sibi mutuo, per idem 8. Ax. ideoque latus AC cadat supra latus DF, alioquin angulinon essent aequales; et consequenter fit ut punctum C cadat supra punctum F, propter eandem causam. Basis igitur BC basi EF congruet quoque, ideoque aequales erunt, per dictum 8. Ax. alioquin si supra caderet, ut infra, efficeretur recta EGF, vel EHF, clauderent duae rectae EF, EGF, vel EF, EHF, spatium seu superficiem; quod est impossibile, per 12. Ax. Cum ergo singula latera trianguli ABC, congruant singulis lateribus trianguli DEF; necesse est, totum illud esse aequale toti huic, et angulum B angulo E; angulumque C angulo F; quod erat demonstrandum.

Duas conditiones involvit antecedens Propositionis quarum alterâ deficiente, reliqua quae in consequente ponuntur, non recte inferuntur; quare diligenter notanda sunt. Sequens Propositio pons est asinorum, quem quitransierit, securus in reliquis perget.

Propositio V. Theorema. Isoscelium triangulorum anguli ad basin sunt inter se aequales; et si producantur latera infra basin, etiam anguli infra basin sunt inter se aequales.

[note: Isoscelium triangulorum anguli ad basin aequales sunt. ] SIt triangulum Isosceles ABC, in quo duo latera, AB, AC, sintinter se, aequalia. Dico, angulos ABC, ACB supra basin BC, esse aequales inter se: et si latera AB, AC, producantur infra basin quantum libuerit versus G et E; angulos quoque GBC, ECB, infra basin eandem BC, esse aequales. Sumatur enim ad libitum recta AD, et ipsi aequalis

AF abscindatur ex AE, per 3. hujus, ducanturque rectae BF, C D, per 1. Pet. Considerentur deinde duo triangula ABF, ACD. Quia ergo duo latera AB, AF, trianguli ABF, aequalia sunt duobus lateribus, AC, AD, trianguli ACD, utrumque utrique nempe AB, ipsi AC, ex hypothesi, et AF ipsi AD, ex constructione; angulusque A contentus lateribus AB, AF, non solum aequalis est angulo A contento lateribus AC, AD, sed etiam est idem

cum ipso; erit, per 4. hujus, basis BF aequalis basi CD; et angulus F angulo D, angulusque DBF angulo ACD, cum et priores duo et duo posteriores opponantur aequalibus lateribus in dictis triangulis, ut patet. Rursus considerentur duo triangula, BDC, CFB. Quoniam igitur duo latera BD, DC, trianguli BDC, aequalia sunt duobus lateribus CF, FB, trianguli CFB, utrumque; utrique videlicet DC ipsi FB, ut probatum fuit, et BD ipsi CF, per 3. Ax. (quoniam enim rectae AD, AF, aequales sunt ex constructione, et AB, AC, etiam aequales sunt ex suppositione; ideo si hae auferantur exillis, remanent BD, CF, aequales, per dictum 3. Axio. ) sunt autem et anguli D et F contenti dictis lateribus aequalibus aequales, ut ostensum etiam fuit; erit quoque, per 4. hujus, angulus DBC aequalis angulo FCB; et angulus BCD angulo CBF: tam enim priores duo, quam posteriores, aequalibus opponuntur lateribus. Jam sic. Anguli ABF, ACD, sunt aequales, ut probatum fuit; item anguli FBC, DCB sunt aequales, ut etiam probatum fuit; si ergo hi auferantur abillis, remanebunt anguli ABC, ACB supra basin CB aequales, per 3. Ax. Iterum anguli DBC, FCB, qui suntinfra basin BC, sunr aequales, ut etiam probatum fuit. Isoscelium ergo triangulorum, etc. quod erat demonstrandum.

Potest haec Propositio demonstrari etiam (et fortassis magis ad captum Tyronum) per superpositionem, si intelligatur triangulum ABC bis positum, sed situ converso a c b. Quoniam enim in duobus triangulis,

ABC, a c b, ex hypothesi latus AB aequale est lateri a c, et latus AC lateri a b, et angulus A angulo a; si in disto situ intelligantur sibi mutuo superponi, congruent singula latera singulis lateribus, et singuli anguli singulis angulis, per 8. Axio. ac proinde angulus ABC aequalis erit angulo a c b, hoc est, angulo ACB; qui sunt anguli supra basin. Et si in utroque triangulo producantur aequaliter latera usque ad EF, et f d; etiam haec sibi mutuo congruent, ac proinde et anguli infra basin, nempe angulus DBC, angulo f c b, hoc est, angulo FCB.

Corollaria.

[note: Aequilaterum triangulum est aequi angulum] COlligitur I. etiam in triangulo aequilatero angulos supra et infra basin, si latera producantur, esse aequales. II. Omne triangulum aequilaterum esse etiam aequiangulum, hoc est, habere omnes angulos inter se aequales, quoniam sumptis quibuscunque duabus lineis pro lateribus, et reliquâ pro basi, semper anguli supra basin aequales inter se erunt.

Propositio VI. Theorema. Si trianguli duo anguli aequales inter se fuerint, etiam latera aequalibus illis angulis subtensa, erunt aequalia.

[note: Triangulum habens duos angulos aequales. habet etiam duo latera ipsis opposita aequalia. ] IN triangulo ABC, sint duo anguli, ABC, ACB, aequales. Dico, duo latera illis opposita, AB. A C esse quoque aequalia. Si enim non sunt aequalia, erit unum altero majus. Sit igitur AB majus, quam AC, si fieri potest; et ex AB majori abscindatur recta DB, aequalis minori rectae AC, per 3. hujus; ducaturque recta CD, et constituatur triangulum DBC,

intra triangulum ABC. Quoniam igitur duo latera AC, CB trianguli ACB, aequalia sunt duobus teribus DB, BC, trianguli DBC, utrumque utrique, nempe AC ipsi DB, ex adversarii concessione et constructione: et CB ipsi BC, cum sint unum et idem: quoniam praeterea anguli ACB, DBC contenti dictis aequalibus lateribus, aequales sunt, ex hypothesi: Erunt, per 4. hujus, triangula ACB, DBC, aequalia inter se, totum et pars: quod est impossibile, et contra 9. Ax. Non igitur inaequalia erunt latera AB, AC, si anguli B et ACB, super latus BC, aequales sunt, sed aequalia existent. Quare si trianguli duo anguli, etc. quod erat demonstrandum.

Corollarium.

[note: Aequiangulum triangulum est etiam aequilaterum. ] OMne ergo triangulum aequiangulum, est etiam aequilaterum, ut consideranti patet.

Haec propositio convertit primam partem Propositionis quintae praecedentis; et hoc Corollarium est conversum Corollarii ejusdem quintae Propositionis.

Propositio VII. Theorema. Super eadem recta, duabus eisdem rectis lineis aliae duae rectae lineae aequales, utraque utrique non possunt constitui ad aliud atque aliud punctum, ad easdem partes, eosdemque terminos cum duabus initio constitutis rectis lineis habentes.

[note: Propositio. 7. l. 1. Euclidis nullum habet usum in Geometria nisi in ordine ad octavam. ] DEmonstratio hujus Propositionis, prout a Theone et aliis ex Euclide proponitur, difficilis est Tyronibus, propter multos casus quos admittit, et multiplices linearum ductus; nullumque, habet in his Elementis, imo in tota Geometria usum, nisi ad demonstrandam octavam sequentem Propositionem: quae tamen cum aliter, et facilius demonstrari possit independenter a dicta septima, solius quintae antecedentis ope; merito omitti potest.

Propositio VIII. Theorema. Si duo triangula duo latera habuerint duobus lateribus, utrumque utrique, aequalia, habuerint vero et basin basi aequalem; angulum quoque sub aequalibus rectis lineis contentum angulo aequalem habebunt.

[note: Duo triangula, quae duo latera aqualia habent utrumque utrique et bases aequales; habent etiam angulos basibus oppositos aequales. ] SInt duo triangula, ABC, DBG, (ut in 1. et 11. figur.) sint que trianguli ABC duo latera AB,

AC, aequalia duobus trianguli DBC lateribus DB, DC utrumque utrique, nempe AB ipsi DB, et AC ipsi DC, sit autem et basis BC unius, basi BC alterius aequalis. Dico, angulum A aequalem esse angulo D. Intelligantur enim dicta

duo triangula conjuncta ad communem basin BC, ita ut cadant in diversas partes (ut patet in 3. 4. et 5. fig.) et latera aequalia sint etiam contermina, nempe latus AB conterminum lateri DB, et latus AC lateri DC; ducaturque recta ad AD a punctis A et D. Vel haec linea AD coincidit cum lateribus AC, CD, ut in 3. fig. vel cadit intrailla latera, ut in 4. fig vel extra, ut in 5. fig. Si primum; ergo anguli A et D super basin AD sunt aequales, per 5. hujus, quandoquidem latera AB, DB, sunt aequalia ex suppositione. Si secundum; ergo propter aequalitatem laterum AB, DB, anguli BAD, BDA, sunt aequales, per eande 5. hujus; et propter aequalitatem laterum AC, DC, anguli quoque CAD, CDA, sunt aequales, etiam per 5. hujus; ac proinde per 2. Ax totus BAC, est aequalis toti angulo BDC. Si terrium: ergo ut antea propter aequalitatem laterum BA, BD, totus angulus BAD est aequalis toti angulo BDA; et propter aequalitatem laterum AC, DC, partialis angulus CAD est aequalis partiali angulo CDA: si ergo hi duo partiales auferantur ab illis totalibus, temanebit angulus BA C aequalis angulo BDC, per 3. Ax. Si ergo duo triangula, etc. quod demonstrare oportuit.

Corollarium.

[note: ] COlligitur hinc, etiâreliquos angulos esse aequales reliquis angulis, utrumque utrique, qui videlicet aequalibus lateribus opponuntur, atque adeo totum triangulum toti triangulo, per 4. primi hujus.

Propositio IX. Problema. Datum angulum rectilineum bifariam secare.

[note: Angulum rectilineum bifariam secare. ] SIt dividendus angulus rectilineus BAC bifariam, hoc est, in duos angulos aequales. Ex rectis AB, AC, abscindantur aequales AD, AE, per 3. hujus;

ducaturque recta DE, per 1. Pet. Deinde super DE constituatur, per 1. huius, triangulum aequilaterum DFE, et ducatur recta AF, dividens angulum BAC in duos angulos, BAF, CAF. Dico, hos angulos esse inter se aequales. Nam latera DA, AF, trianguli DAF, aequalia sunt lateribus EA, AF, trianguli EAF, utrumque utrique, quod DA ipsi EA per constructionem, sit aequale, et AF commune utrique triangulo; est autem et basis DF basi EF aequalis, utpote latera trianguli aequilateri; Ergo, per 8. hujus, angulus DAF aequalis est angulo EAF, ideoque angulus BAC divisus est bifariam; quod erat faciendum.

Potest super DE construi triangulum isosceles, loco aequilateri. In praxi sufficit notare circino ex A velut centro duo puncta D et E, et ex his duos arcus versus Fintersecantes sese, et ex A ad F ducere rectam. Quod si arcus non possint fieri infra DE, ob defectum spatij; fiant supra. Hinc autem constat, quomodo angulus rectitineus quilibet dividi possit in partes 4, 8, 16, 32, et alias deinceps, per continuam bisecationem praecedentium angulorum. At in quolibet partes aequales dividi debet tentando per circinum.

Propositio X. Problema. Datam rectam lineam finitam bifariam secare.

[note: Lineam rectam secare bifariam. ] SIt recta linea finita DE, dividenda bifariam. Describatur super DE, per. hujus, triangulum laterum DAE, cujus angulus DAE, per 9. hujus dividatur bifariam per rectam AF, quae rectam

DE secet in I. Dico rectam DE bifariam esse diversam in I. Nam duo latera DA, AI, trianguli DAI; aequalia sunt duobus lateribus EA, AI, trianguli EAI; utrumque utrique (quia DA, EA, sunt latera trianguli aequilateri, et AI est commune;) est autem et angulus DAI, angulus DAI aequalis, per constructionem; Ergo et basis DI basi EI aequalis est, per 4. primi. Datam ergo rectam finitam secuimus bifariam; quod facere oportebat.

Quomodo in praxi procedendum sit, docuimus in lib. 1. cap. 4. art. 1. praxi 7. et in Annot ationibus.

Propositio XI. Problema. Data [orig: Datâ] linea recta, a puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare.

[note: Lineam perpendicularum excitare alteri ad punctum datum. ] REcta linea data sit AB, et in ea punctum C, a quo sit erigenda super AB linea ad angulos, rectos, seuperpedicularis. A puncto C sumantur

[note: NB. Desunt rectae DF, EF. ] hinc et inde aequales CD, CE, per 3. hujus; super DE constituatur triangulum aequilaterum DFE, per 1. hujus; atque ex F ad C ducatur linea recta FC. Dico, hanc esse ad AB perpendicularem. Nam latera DC, CF, trianguli DCF, aequalia sunt lateribus EC, CF, trianguli ECF, utrumque utrique, ex constructione facta; et basis DF est aequalis basi EF, quia sunt latera trianguli aequilateri: ergo anguli deinceps ad C, contenti dictis lateribus, sunt aequales, per 8 hujus: Ergo uterque est rectus, per 10 Defi. atque adeo recta FC ad rectam AB perpendicularis est, excitata a puncto dato; quod faciendum erat.

Plurespraxes idem faciendi tradidimus in lib. 1. cap. 4. art. 1. praxi 4. et in Annotationibus et Corollaris.

Propositio XII. Problema Super datam rectam lineam infinitam, a dato puncto quod in ea non est, perpendicularem rectam ducere.

[note: Lineam perpendicularem excitare alteri a puncto extra date. ] SIt recta AB, interminatae quantitatis vel quae saltem prolongari in infinitum uttimque possit; extra ipsam sit punctum C, a quo oporteat ducere lineam perpendicularem ad rectam AB Centro C, intervallo competente, describatur circulus secans AB, in D et E, (ideo enim requiritur

requiritur intetervallum competens, ut secetur recta AB) divisâ que rectâ DE bifariam in F, per 10. primi,

ducatur recta CF. Erit ea perpendicularis. Nam si ducantur CD, CE, erunt duo latera DF, FC, aequalia duobus lateribus EF, FC, utrumque utrique, per constructionem basisque CD aequalis basi CE, per 15. Def. Ergo per 8. pri. angulus DFC, aequalis erit angulo EFC, ideoque uterque per 10. Def.

Quomodo in praxi procedendum sit, docuimus lib. 1. cap. 4. art. 1 praxi 6. et in Annotationibus.

Propositio XIII. Theorema. Cum recta linea super rectam consistens lineam angulos facit, aut duos rectos, aut duos rectis aequales efficit.

[note: Linea recta insistens alteri, facit hinc inde duos angulos aequales duobus rectis. ] NAm si AB consistens sper CD, insistatipsi perpendiculariter, facit angulos ABC, ABD, utrimque aequales, et consequenter rectos, per 10. Def. Si veco EB, consistens super CD, insistat ipsi oblique, et neutrum angulum faciat rectum, sed EBC obtusum, EBD acutum; excitetur perpendicularis BA, per 11. pri. et fiant duo recti, ABC, ABD. Quoniam igitur

tam duo recti jam dicti, quam duo non recti antea dicti, aequales sunt tribus angulis CBA, ABE, EBD; sequitur duos non rectos EBC, EBD, esse aequales duobus rectis ABC, ABD, per 1. Ax.

Propositio XIV. Theorema. Si ad aliquam rectam lineam, atque ad eius punctum, duae rectae lineae non ad easdem partes ductae eos, qui sunt deinceps, angulos duobus rectis aequales fecerint; in directum erunt inter se ipsae rectae lineae.

[note: Linea duae rectae ad aliam ac diversas partes ductae si faciant duas angulos e quales duobus rectis, in directum sunt posita. ] AD punctum C, lineae rectae AB, indiversas partes eductae sint duae rectae CD, CE, facientes cum AB, duos angulos ACD, ACE, vel rectos vel duobus rectis aequales. Dico, ipsas CD, CE, esse inter se constitutas in directum, ita ut constituant unam lineam rectam DCE. Si enim

DCE non est recta, seu si DC, EC, non sunt in directum constitutae; ergo recta DC producta ultta C in directum et continuum, cadet ut supra CE, ut sit recta DCF; aut infra CE, ut sit recta DCG. Si cadit supra, et DCF constituit unam rectam lineam; cum AC consistat super rectam DCF, fient duo anguli ACD, ACF, duobus rectis aequales, per 3. pri. sunt autem ex hypothesi etiam duo anguli ACD, ACE, aequales duobus rectis; Erunt ergo priores duo ACD, ACF, posterioribus duobus ACD, ACE, aequales, pars toti; quod est impossibile, et contra 9. Ax. Non igitur recta DC producta cadit supra CE. Neque etiam infra cadit, propter similem rationem, quia sequeretur angulos ACD, ACE, esse aequales angulis ACD, ACG.

Haec est conversa pracedentis, ut consideranti patet. Quid sit, jacere in directum, et qui dicantur anguli deinceps, explicavimus lib. 1. c. 3 art. 2. n. 1. et. 10.

Propositio XV. Theorema. Si duae rectae lineae se mutuo secuerint, angulos ad verticem oppositos efficient inter se aequales.

[note: Anguli oppositi ad verticem, sunt aequales inter se. ] SEcent se duae rectae BA, CD, in puncto E utcunque. Dico, angulos ad verticem E oppositos, esse inter se aequales, nimirum angulum AED angulo CEB, et angulum ADC angulo DEB. Nam duo anguli, AED, DEB, sunt aequales

duobus rectis, per 13. pr. item duo anguli, DEB, BEC, sunt duobus rectis aequales, per eandem 13. pri. Cum ergo omnes recti sunt inter se aequales, per 10. Ax. erunt duo anguli AED; DEB, duobus angulis DEB, BEC, aequales; ac proinde dempto communi angulo DEB, remanebit angulus AED aequalis angulo BEC, per 3. Ax. Eâdem ratione probatur, angulum AEC aequalem esse angulo DEB.

Corollaria.

[note: ] COlligitur hinc I. duas lineas rectas se mutuo secantes efficere ad punctum sectionis quatuor angulos aequales quatuor rectis. II. Omnes angulos circa idem punctum constitutos, quotcunque fuerint, simul sumptos, tantum quatuor rectis aequales esse.

Propositio XVI. Theorema. Cuiuscumque trianguli uno latere producto, externus angulus utrolibet interno et opposito, maior est.

[note: Angulus externus maior est utrolibet interno et opposite trianguli. ] TRianguli ABC latus BA producatur ad D, ut fiat angulus externus DAC. Dico, hunc esse majorem tam interno opposito ACB, quam interno et opposito ABC. Dividatur enim latus

AC bifariam in E, per 10. pr et ex B per E extendatur recta BEF, donec EF sit aequalis rectae EB; ducaturque recta FA. Quoniam igitur duo latera CE, EB, trianguli CEB, aequalia sunt duobus lateribus AE, EF, trianguli AEF, utrumque utrique per constructionem; et anguli AEF, BEC, comprehensi dictis lateribus sunt aequales, per 15. pri. Erit, per 4. pri. basis CB aequalis basi AF; et angulus ECB aequalis angulo EAF. Cum igitur externus angulus DAC, major sit quam angulus EAF, per 9. Ax. erit etiam major quam angulus internus et oppositus ACB. Quod autem sit etiam major angulo ABC, sic demonstro. Producatur latus CA ad G, et dividatur latus BA bifariam

in H, extendaturque linea CHI, ita ut HI sit aequalis ipsi HC, et ducatur recta IA. Quoniam igitur, ut antea, duo latera CH, HB, aequalia sunt duobus lateribus HI, HA, utrumque utrique; et anguli ad H dictis lateribus contenti aequales; erit et angulus CBH aequalis angulo IAH. Cum igitur externus angulus GAB major sit quam HAI; angulus autem DAC aequalis sit angulo GAB, per 15. pri. erit idem angulus DAC major quam internus et oppositus ABC, per 1. Axiomat. membrum tertium.

Propositio XVII. Theorema. Cuiuscumque trianguli duo anguli duobus rectis sunt minores, omnifariam sumpti.

[note: Trianguli duo anguli minores sunt duobus rectis. ] SIt triangulum ABC. Dico, duos angulos ABC, et ACB, minores esse duobus rectis. Si enim producatur latus CB in D, erit angulus

externus DBA major interno et opposito BCA, per 16. pri. ac proinde si addatur communis ABC, erunt, per 4. Axi. duo anguli ABC, ACB, minores duobus angulis ABD, ABC: Sed hi duo sunt aequales duobus rectis, per 13. pri. ergo illi sunt minores duobus rectis. Eâdem ratione probabitur, angulus CBA, CAB, minores esse duobus rectis: nam externus angulus DBA major est interno et opposito BAC, per 16. pri. addito ergo communi angulo CBA, eiunt duo DBA, CBA majores quam duo CBA, CAB, per idem 4. Axiom. Sed hi duo, DBA, CBA, sunt minores duobus rectis, per 13. pri. ergo reliqui duo, CBA, CAB, sunt minores duobus rectis. Nonsecus probabitur, duos CAB, BCA, esse minores duobus rectis.

Corollaria.

[note: ] COlligitur hinc I. Si in quocunque triangulo unus angulus est rectus, aut obtusus, reliquos esse acutos, ut monuimus lib. 1. cap. 3. art. 4. n. 5. II. ab eodem puncto ad eandem rectam lineam non posse deduciduas aut plures lineas perpendiculares, alioquin duo anguli interni constituti a duabus perpendicularibus, essent aequales duobus rectis. III. Si linearecta cum alia recta angulos inaequales faciat, unum acutum, alterum obtusum; lineamper pendicularem a quovis ejus puncto demissam ad aliam illam rectam, cadere ad partes anguli acuti. IV. Omnes angulos trianguli aequilateri, et duos angulos supra basin trianguli isoscelis, esse acutos.

Propositio XVIII. Theorema. Omnis trianguli maius latus maiorem angulum subtendit.

[note: Latus maius maiori angulo opponitur, in eodem triangulo. ] IN triangulo ABC, sit latus AC majus latere AB. Dico, angulum ABC, subtensum a majore latere AC, majorem esse angulo C, qui a minore latere A B subtenditur. Auferatur enim, per 3 pri. ex AC, recta A D, aequalis insi AB, et ducatur recta B D; Etunt duo anguli, ABD, ADB, aequales, per 5. pri Sed ADB major est quam C, per 6. pri., ergo et ABD major est quam C, per 1. Axiomatis membrum tertium:

cum autem totum sit majus suâ parte, per 9. Axiom. multo magis angulus ABC major erit quam angulus C. Eâdem ratione probabis, angulum ACB majorem esse ngulo A, si latus AB majus est quam latus BC.

Corollarium.

[note: ] OMnes ergo tres anguli trianguli scaleni, sunt inter se inaequales, quia omnia tria laterainaequalia sunt.

Propositio XIX. Theorema. Omnis trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur.

[note: Angulus maior opponitur maiori lateri in eodem triangulo. ] INtriangulo praecedente, sit angulus ABC major angulo C. Dico, latus AC, subtendens majorem illum angulum, majus esse latere AB quod angulum C minorem subtendit. Si enim latus A C non est majus latere AB, erit vel aequale illi, vel minus. Si aequale, ergo angulus ABC erit aequalis angulo C, per 5. pri. cum tamen major esse supponatur: Si minus, ergo angulus ABC subtensus a minori latere AC, minor erit angulo C subtenso a majore latere AB, per 8. hujus, cum tamen supponatur esse major. Cum ergo latus A C, ne eaquale sit lareri AB, nec minus eo, erit majus.

Corollarium.

[note: ] HInc sequitur, si ab uno puncto ad eandem rectam lineam ducantur plures rectae, eam quae perpendicularis est, esse omnium minimam quia facit majorem angulum internum quam aliae.

Propositio XX. Theorema. Omnis trianguli duo latera reliquo sunt maiora, quomodocumque assumpta.

[note: Duo latera trianguli simul sunt maiora reliquo tertia ] SIt triangulum ABC. Dico, quaeliber ejus duo latera, nempe AB, AC simul majora esse reliquo latere B C. Producatur enim latus CA usque

ad D, et fiat AD aequalis lateri AB, et ducatur BD, erunt duo anguli, ABD, et ADB, aequales inter se, per 5. pri. Est autem angulus CBD major, quam angulus ABD, per 9. Axiom, ergo idem angulus CBD major est quam angulus ADB, per 1. Axiomatis membrum secundum, ac proinde latus C D majus est quam latus CB, per 9. hujus, sed duo latera, CA, AB, aequalia sunt lateri CD, per 2 Axiom, ergo eadem duo latera CA, AB, majora sunt quam latus CB, per 1. Axiomatis membrum tertium. Eodem modo demonstratur, alia quaelibet duo latera esse majora tertio.

Propositio XXI. Theorema. Si super trianguli uno latere ab extremitatibus duae rectae lineae interius constitutae fuerint, hae constitutae reliquis trianguli duobus lateribus minores quidem erunt, maiorem vero angulum continebunt.

[note: Latera intra triangulam super eadem basi, minora sunt quam latera trianguli exterioris, etc ] IN triangulo ABC, super extremitates B et C, lateris BC, intra triangulum constituantur duae rectae lineae BD, CD, in puncto D concurrentes. Dico, has duas BD, CD, simul minores esse duobus lateribus BA, CA simul; at vero angulum BDC majorem esse angulo BAC. Producatur enim BD ad punctum E lateris CA. Quoniam igitur in triangulo BAE, duo latera BA; AE, majora sunt latere BE, per 20. hujus; si addatur commune

BC, erunt BA, AC, majora, quam BE, EC, per 4. Axio. Rursus quia in triangulo CED, duo latera, CE, ED, majora sunt latere CD, per 20. hujus; si addatur commune DB, erunt CE, EB majora, quam CD, DB, per 4. Axio. Jam sic, BA, AC, majora sunt, quam BE, EC, ut probatum fuit; ergo multo magis BA, AC, majora sunt, quam BD, CD; quod primo demonstrandum fuit. Praeterea, quoniam angulus BDC major est angulo DEC, per 16. pri. et angulus DEC major est angulo A, per eandem 16. pri. erit multo magis angulus BDC major angulo A, per 27. Axiom. quod secundo demonstrandum fuit.

Propositio XXII. Problema. Ex tribus rectis lineis, quae sint tribus datis aequales, quarumque duae quaelibet reliqua [orig: reliquâ] sint maiores, triangulum constituere.

[note: Triangulum constituere ex tribus rectis lineis datis. ] TRes lineae rectae datae sint, A, B, C, quarum quaelibet duae sint reliquâ majores (alioquin ex ipsis nonposset constitui triangulum, ut constat ex Proposit. 20.) oporteatque construere triangulum habens tria latera tribus datis lineis aequali. Ex assumpta recta quavis DE, sufficientis magnitudinis, abscindatur primo recta DF, aequalis rectae A; secundo recta FG, aequalis rectae B; tertio recta GH,

aequalis rectae C. Deinde centro F, intervallo FD, describatur circulus DIK: item centro G, intervallo GH, alius circulus describatur HIK (qui priorem necessario secabit in K et I, quoniam FD, GH, majores sunt quam FG) Ex K ducantur rectae KF, KG, factumque erit quod petebatur. Nam KF est, per 15. Def. aequalis ipsi FD, hoc est, ipsi A; et FG est, per constructionem aequalis ipsi B; et KG aequalis ipsi GH, per 15. Def. hoc est, ipsi C.

Propositio XXIII. Problema. Ad datam rectam lineam, datumque in ea punctum, dato angulo rectilineo aequalem angulum rectilineum constituere.

[note: Angulum rectilineum aequalem alteri facere. ] DAta recta sit AB, darumque in ea punctum C, et datus angulus DEF; oporteatque in eo puncto constituere angulum aequalem angulo E. Sumantur in rectis ED, EF, duo puncta G et H utcunque, et connectantur rectâ lineâ GH. Deinde, per 22. pri. constituatur ad punctum C datae rectae AB. triangulum

CIK, habens tria latera aequalia tribus rectis EG, GH, HE, ita ut latus CI aequale sit ipsi EG; et CK ipsi EH; et IK ipsi GH, sumendo videlicet ex recta data, CI aequalem ipsi EG, et CL ipsi EH, et IM ipsi GH; ac deinde centris C et I, intervallis vero CL, et IM describendo circulos intersecantes sese in K, efformandoque triangulum ICK. His enim factis, erit angulus ad C constitutus, aequalis angulo E. Nam quia in triangulo ICK, duo latera CI, CK, aequalia sunt duobus lateribus EG, EH, utrumque utrique, et basis IK basi GH, per constructionem; ideo, per 8. pri. angulus C aequalis est angulo E.

In praxi procedendum est eodem modo, quo in praecedenti praxi, ut loco cit. in Corollario etiam notavimus.

Propositio XXIV. Theorema. Si duo triangula, duo latera duobus lateribus aequalia habuerint, utrumque utrique, angulum vero angulo maiorem sub aequalibus rectis lineis contentum; et basin basi maiorem habebunt.

[note: Triangulorum duorum habenrium duo latera aqualia illud basin maiorem habet quod maiorem angulum sub dictis late ribus contentum. ] TRianguli ABC duo latera, AB, AC, aequalia sunt duo bus trianguli DEF lateribus, DE, DF, utrumque utrique, hoc est, AB sit aequale ipsi DE, et AC ipsi DF; angulus vero A major sit angulo EDF. Dico, basin BC majorem esse base EF, Ad lineam

enim DE, ad ejusque punctum D, constituatur, per 23. hujus, angulus EDG, aequalis angulo A, ponaturque DG aequalis ipsi DF, hoc est, ipsi AC, et ducatur recta EG. Cadet ea aut supra rectam EF, ut in primo triangulo DEF; aut in ipsam, ut in secundo; aut infra ipsam, ut in tertio Cadat primo supra EF, et ducatur recta FG. Quia ergo latera AB, AC, aequalia sunt lateribus DE, DG, utrumque utrique, et angulus A aequalis est angulo DG, per constructionem; ideo basis BC, aequalis erit basi EG, per 4. pri. Sed basis EG major est, quam basis EF; ergo et basis BC major est, quam basis EF. Esse autem basin EG majorem EF, sic demonstro. Duo latera DF, DG, inter se sunt aequalia; ex constructione; ergo

per 5. pri. anguli DFG, DGF. aequales sunt: et quoniam angulus DFG major est, quam EFG, per 9. Axio. ideo etiam angulus DFG major est, quam angulus EGF, per 1. Axiomatis membrum tertium; et multo magis totus angulus EFG, major est eodem angulo EGF, per 9 Axio. Si ergo angulus EFG major est, quam angulus EGF; erit per 19. pri. in triangulo EFG latus EG majus, quam latus EF: sed latus EG est aequale lateri BC; ergo et BC majus est quam EF; quod erat demonstrandum.

Cadat secundo EG in ipsam EF. Quoniam igitur, per 4. pri. basis EG aequalis est basi BC, et EG major est quam EF, per 9. Axi. ideo et BC major est quam EF.

Cadat tertio EG infra EF, et producantur tectae DF, DG, usque ad H et I, et ducatur recta FG: erit rursus, per 4. pri. basis EG aequalis basi BC, major autem quim EF. Nam quia duo latera DF, DG, aequalia sunt, per constructionem; erunt, per 5. pri. anguli FGI, GFH, infra basin FG, aequales: est autem angulus FGI major angulo FGE, per 9. Axio. ergo et angulus GFH eodem angulo FGE major est, per 1. Axiomatis membrum tertium; multoque magis illo major est totus augulus EFG, ideoque, ut antea, per 19. pri. latus EG, et consequenter ipsi aepuale BC, majus est latere EF; quod demonstrandum erat.

Propositio XXV. Theorema. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habuerint, utrumque utrique, basin vero basi maiorem; etiam angulum sub aequalibus lateribus contentum angulo maiorem habebunt.

[note: Et vicissim. ] LAtus AB sit aequale lateri DE, et latus AC lateri DF, sed basis BC sit major base EF. Dico, angulum A esse majorem angulo D. Non enim

est aequalis, alioquin et basis basi aequalis erit, per 4. pri. quod est contra hypothesin. Nec etiam est minor, alioquin basis EF major erit basi BC, per 24. pri. quod iterum est contra hypothesin.

Propositio XXVI. Theorema. Si duo triangula duos angulos duobus angulis aequales habuerint, utrumque utrique, unumque latus uni lateri aequale, sive quod aequalibus adiacet angulis, sive quod uni aequalium angulorum subtenditur; et reliqua latera reliquis lateribus aequalia, utrumque utrique, et reliquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt.

[note: ] SInt primo duo anguli, B et C, aequales duobus angulis E et EFD, uterque utrique nempe B ipsi E et C ipsi EFD; sitque latus BC, quod angulis B et C adjacet, aequale lateri EF, quod adjacet angulis E et EFD. Dico, reliqua quoque latera, AB, AC, reliquis lateribus DE, DF, aequalia esse, utrumque utrique; et reliquum angulum A reliquo angulo D. Si enim AB

non est aequale lateri DE, sed DE majus; abscindatur, per 3. pri. recta linea EG, aequalis ipsi AB, ducaturque recta GF. Tum sic. Latera AB, BC, aequalia sunt lateribus GE, EF, utrumque utrique, ex constructione et suppositione; et anguli B et E aequales sunt, ut supponitur; ergo, per 4. pri. angulus C est aequalis angulo EFG parti, et tamen supponebatur aequalis angulo EFD toti; quod est impossibile.

Sint secundo latera AB, DE, subrendentia aequales angulos C et EFD, inter se aequalia. Dico iterum, reliqua latera BC, CA, reliquis lateribus EF, FD, esse aequalia, utrumque utrique, et relquum angulum A reliquo angulo D aequalem. Si enim BC non est aequale lateri EF, sit EF majus, et abscindatur, per 3 pri. E G aequale ipsi BC, ducaturque recta DG. Tum sic. Latera AB, BC, aequalia sunt lateribus DE, EG, utrumque utrique, et anguli contenti B, et E aequales, per hypothesin; ergo, per 4. pri. angulus C aequalis est angule EGD: ponitur autem angulus C aequalis angulo F; igitur et angulus EGD aequalis est angulo F, externus interno et opposito; quod est impossibile, et contra demonstrata Proposit. 16. hujus.

Corollarium.

[note: ] COlligitur hinc, etiam tota triangula quoad areas esse inter se aequalia, per 4. primi.

Propositio XXVII. Theorema. Si duas rectas lineas recta incidens linea, alternatim angulos aequales inter se fecerit; parallelae erunt inter se illae duae rectae lineae.

[note: ] IN duas rectas AB, CD, incidens linea EF, faciat angulos alternatim AGH, DHG, inter se aequales. Dico; lineas AB, CD, esse parallelas. Si enim non sunt parallelae, concurrent tandem, si producantur in infinitum. Si

enim non concurrent unquam, parallelae erunt, per 34. Def. Conveniant ergo ad partes B et D, in puncto I, et constituant cum linea incidente triangulum GIH; in quo externus angulus AGH major est interno et opposito DHG, per 16. pri. et tamen supponitur esse eidem aequalis. Quod si concurrant ad partes A et C, in puncto K, et constituant triangulum GHK, erit iterum externus angulus DHG major interno et opposito AGH, cui tamen aequalis ponebatur. Eadem est ratio ac demonstratio, si ponantur anguli alterni BGH, CHG, aequales.

Propositio XXVIII. Theorema. Si in duas rectas lineas recta incidens linea, externum angulum interno, et opposito, et ad easdem partes, aequalem fecerit, aut internos, et ad easdem partes, duobus rectis aequales: parallelae erunt inter se ipsae rectae lineae.

IN duas rectas AB, CD, praesentis figurae, recta incidens EF, faciat primo externum angulum EGA, aequalem interno, et opposito ad eas dem partes GHC. Dico rectas AB, CD, esse parallelas, Quoniam enim

angulo EGH: aequalis ponnitur angulus GHC, et eidem angulo EGA aequalis est. per 15. pri. angulus HGB, erunt anguli alterni GHC, HGB, aequales, per 1. Ax. ideoque per 27. hujus, lineae AB, CD, parallelae sunt; quod erat primo demonstrandum. Idem ostendetur, si angulus externus EGB, aequalis ponatur interno GHD.

Faciat secundo recta EF, angulos internos ex eadem parte, nempe AGH, CHG, duobus rectis aequales: Dico rursus rectas AB, CD, parallelas esse. Quoniam enim anguli AGH, CHG, duobus rectis aequales ponuntur: sunt autem et anguli AGE, AGH, per 13. pri. duobus rectis aequales: erunt duo anguli AGH, CHG, duobus angulis AGE, AGH, aequales: per 1. Axio. ablato ergo communi angulo AGH remanebit angulus AGE externus, angulo CHG interno, et opposito ad easdem partes, aequalis, per 3. Ax. ac proinde, ut jam ostensum est, erunt rectae AB, CD, parallelae. Idem ostendetur, si duo anguli BGH, DHG, duobus rectis ponantur aequales.

[note: Axioma 13. Eucl. explicatur. ] Ex posteriore parte hujus Propositionis constat sufficienter veritas Axiomatis 13. Euclidis, si nimirum in duas rectas AB, CD, incidens recta EF, faciat internos et ad easdem partes angulos G, et H, duobus rectis minores, duas illas rectas non esse paerallelas, sed si producantur, concurrere ad partes GH, ubi sunt anguli duobus rectis minores. Licet enim Proclus et alii merito e numero Axiomatum id rejiciant, quoniam revera non est ex ipsis terminis

notum: potest tamen admitti ut evidenter deductum ex praedictae secndae partis demonstratione: si enim duae rectae, AB, CD, tunc sunt parallelae, quando recta linea EF incidens facit angulos internos duobus rectis aequales, eo quod tunc a se invicem ita sunt divaricatae, ut concurrere non possint versus illas partes, ad quassunt recti anguli: ergo si facit eosdem duobus rectis minores, necessario concurrere debent ad partes, ubi minores sunt anguli, eo quod tunc minus a se invicem divaricentur quam antea: alioquin si aeque divaricarentur ut antea, recta linea EF incidens faceret duos angulos internos duobus rectis aequales ut antea. Adhiberi ergoinposterum potest Axioma illud 13. Euclidis, si non ut Axioma, saltem ut Theorema evidenter deductum ex demonstratione: tametsi id aliter et multis demonstrare conetur Proclus, Clavius, Tacquet. et alii.

Propositio XXIX. Theorema. In parallelas rectas lineas recta incidens linea, et alternos angulos inter se aequales efficit: et externum interno, et opposito, et ad easdem partes aequalem: et internos, ac ad easdempartes, duobus rectis aequales.

[note: ] REctae AB, CD, praecedentis figurae 115. sint parallelae, in easque incidat recta EF. Dico primo, angulos alternos AGH, DHG, inter se esse aequales. Si enim non sunt aequales, sed alteruter v. g. AGH, major est altero DHG: ergo si ad datur communis angulus BGH, erunt, per 4. Ax duo anguli AGH, BGH, majores quam duo DHG, BGH: at duo AGH, BGH, sunt aequales duobus rectis, per 13. pri. ergo duo DHG. BGH, minores sunt duobus rectis, ideoque, per 13. Axio. lineae AB, CD, ad partes B et D concurrent; quod est absurdum, cum ponantur esse parallelae.

Dico sicundo angulum externum AGE aequalem esse externo, et ad easdem partes opposito CHG. Quoniam enim angulo BGH, aequalis est alternus CHG, ut ostensum est, et eidem BGH aequalis est angulus AGE, per 15. pri. erunt et anguli AGE, CHG, inter se aequales, per 1. Axio.

Dico tertio, angulos internos ad casdem partes, AGH, CHG, aequales esse duobus rectis. Quoniam enim ostensum fuit angulum externum AGE, aequalem esse angulo interno CHE: si addatur communis AGH, erunt, per 2. Ax. duo anguli AGE, AGH, aequales duobus rectis, per 13. pri. ergo et hi.

Propositio XXX. Theorema. Quae eidem rectae lineae sunt parallelae, et inter se parallelae sunt.

[note: ] SInt AB, CD, eidem rectae EF, parallelae. Dico, easdem AB, CD, esse etiam inter se parallelas.

Nam ducta recta GH, quia AB ponitur parallela ipsi EF, erit, per 29. pri. angulus AIL, alterno FLI, aequalis. Rursus quia CD ponitur eidem EF parallela, erit, per eandem 29. pri. DKL, eidem angulo FLI aequalis, ac proinde per 1. Axi erunt et anguli AIL, DKL, aequales inter se; ideoque et rectae AB, CD per 29. pri. inter se parallelae.

Propositio XXXI. Problema. A dato puncto, datae rectae lineae parallelam rectam lineam ducere.

[note: Parallelam ducere alteri a dato puncto. ] EX puncto A, ducenda sit linea FE, parallela lineae BC. Ducatur ex A, ad BC, linea AD faciens angulum quemcunque ADB, constituaturque

curque ei, per 23. pri. ad A aequalis angulus EAD, eritque per 27. pri. recta FE parallela recte BC.

Propositio XXXII. Theorema. Cuiuscumque trianguli uno latere producto, externus angulus duobus internis et oppositis est aequalis: Et trianguli duobus rectis sunt aequales.

[note: Angulus externus aqualis est duobus internis oppositis. ] IN triangulo ABC, producatur latus BC, ad D. Dico primo, angulum externum ACD, aequalem esse duobus internis et oppositis simul, nimirum angulis A, et B. Ducatur enim CE, parallela lateri AB, per 31. pri.

eritque per 29. pri. ECA aequalis alterno A, et per eandem 29. pri. externus ECD. aequalis erit interno B, adeoque totus externus trianguli angulus ACD, aequalis erit duobus internis et oppositis A, et B.

[note: Triangulum habet tres angulos aequales duobus rectis. ] Dico secundo, tres angulos internos trianguli, A et B, et ACB, esse aequales seu aequivalere duobus rectis. Nam cum externus ACD, ut ostensum fuit, aequalis sit duobus internis A et B, si addatur communis ACB, erunt, per 2. Axi. duo anguli ACD, ACB, aequales tribus A, B, et ACB: sed duo ACD, ACB, aequales sunt duobus rectis, per 13. pri, ergo et tres A, B, ACB, duobus aequales sunt.

Corollaria.

[note: ] COlligitur I. Tres angulos cujuslibet trianguli simul sumptos, aequa es esse tribus angulis cujuscunque alterius trianguli simul sumptis. Vnde, quando duo anguliunius trianguli, sunt aequales duobus alterius, erit et reliquus illius reliquo hujus aequalis.

Colligitur II. In omn triangulo isosceli, cujus angulus later bus aequalibus comprehensus, est rectus, quemlibet reliquorum ad basin esse semirectum. At si angulus aequalibus lateribus comprehensus, obtusus est, reliqui sunt semirecto minores; si acutus fuerio ille hisemirecto majores erunt.

Colligitur III. Quemlibet angulum trianguli aequilateri esse unam tertiam duorum rectorum, vel duas tertias unius recti. IV. Angulos internos quadrilateri esse aequales quatuor rectis, quia resolvi potest in duo triangula, etc.

Propositio XXXIII. Theorema. Rectae lineae, quae parallelas et aequales lineas ad partes easdem coniungunt, sunt parallelae, et aequales.

[note: ] PArallelas et aequales AB, CD, conjungant ad easdem partes rectae AC, BD. Dico, AC, et BD, esse aequales, et perallelas. Ducatur enim BC; erunt, per 29. pri. alterni ABC, DCB, aequales, et

duo latera AB, BC, duobus BC, CD, aequalia, utrumque utique, idedoque et bases AC, BD, per 4. pri. aequales erunt, et angulus ACB aequalis alterno CBD, ideoque per 27. pri. recta BD parallela erit rectae AC.

Propositio XXXIV. Theorema. Parallelogrammorum et latera opposita, et anguli oppositi, sunt aequales; et diameter secat illa bifariam.

[note: Parallelogrammorum posita latera, et anguli, simul aequales. ] SIt parallelogrammum ABCD praecedentis figurae, quod dividat diameter CB. Dico, tam opposita latera AB, CD, quam AC, BD, aequalia esse inter se; itemque tam angulos oppositos A et D, quam ABD, DCA, aequales inter se: ac praeterea diametrum BC dividere illud bifariam. Cum enim latera AB, CD, nec non AC, BD, parallela sint, per 25. Def. erit, per 29. pri. angulus ABC, aequalis angulo DCB, itemque angulus ACB, angulo DBC. Itaque cum trianguli [note: Vide fig. 120. ] ABC, anguli ACB, ABC, aequales sint trianguli DCB angulis DBC, DCB, uterque utrique, et latus BC, dictis angulis adjacens, sit commune utrique triangulo: erit per 26. pri. recta AB aequalis oppositae CD: et recta AC aequalis oppositae BD, ac praeterea aequalis erit angulus A angulo D, per eandem 26. pri. et denique reliqui duo anguli oppositi ACD, ABD aequales inter se erunt: quia constant ex aequalibus, ut ostensum fuit. Et quia triangulum ABC, aequale est triangulo DCB, per 4. pri. sequitur quod diameter CB dividat parallelogrammum bifariam,

Propositio XXXV. Theorema. Parallelogramma super eadem basi, et in eisdem parallelis constituta, inter se sunt aequalia.

[note: Parallelogramma super eadem basi, et in eisdem parallelis, aequalia sunt. ] INter duas parallelas AB, CD, super basi CD existant duo parallelogramma, CDEA, CDBF. Dico, ipsa inter se aequalia, non quod angulos et latera, sed quoad aream seu capacitatem. Coincidat

enim primo punctum F cum puncto E, ut in prima figura ex tribus hic positis. Erit igitur tam recta AE, quam recte FB, aequalis rectae CD, per 34. hujus: ideoque et rectae AE, FB, erunt inter se aequales, per 1 Axi. Sunt autem et recte AC, ED, aequales inter se, per 34. pri. et angulus BFD aequalis est angulo EAC, externis interno, per 29. pri. Ergo triangulum EAC, aequale est triangulo BFD, per 4. pri. et addito communi triangulo CDE, parallelogrammum CDEA, aequale est parallelogrammo CDBF, per 2. Axi.

Cadat secundo punctum F inter A et E, ut in secunda figura ex tribus. Erunt ut antea, recte AE, FB, aequales inter se, quia utraque

aequalis est rectae CD, et dempta communi FE, remanebit per 3. Axi. AF ipsi EB aequalis: Est autem et AC aequalis ipsi ED: et angulus E angulo A: triangulumque FAC, triangulo BED, Ergo addito communi trapezio CDEF, erit parallelogrammum CDEA, aequale parallelogrammo CDBF, per 2. Axiom.

Cadat tertio punctum F ultra punctum E, ut in tertia figura ex tribus. Erunt rursus, ut antea, rectae AF, EB, aequales inter se, quia aequales sunt eidem CD. Addita ergo communi EF, erit per 2. Axi. AF aequalisipsi EB: est autem et AC ipsi ED aequalis per 34. pri. et angulus E angulo A per 29. pri. triangulumque FAC triangulo BED, per 4. pri. Ablato ergo communi triangulo FEG, remanebit trapezium EACG, trapezio BFGD aequale, per 3. Axi. et addito communi triangulo CGD, fiat per 2. Axi totum parallelogrammum CDEA, toti parallelogrammo CDBF aequale.

Dicuntur parallelogramma esse in eisdem parallelis constituta, quando duo latera opposita sunt partes parallelarum, ut in exemplis propositis cernitur.

Propositio XXXVI. Theorema. Parallelogramma super aequalibus basibus, et in eisdem parallelis constituta, inter se aequalia sunt.

[note: Parallelogramma super aequalibus basibus, et in eisdem parallelis, aequalia sunt. ] SIn duo parallelogramma, ACEF, GHDB, super ae quales bases CE, HD, et inter easdem parallelas AB, CD, constituta.

Dico, illa esse aequalia inter se quoad aream seu capacitatem Nam si connectatur CE, GB, lineis rectis, fiatque parallelogrammum CEGB: erit huic aequale, per 35. hujus, tam ACEF, quam GHDB, ideoque, per 1. Axi. haec duo erunt inter se aequalia.

Propositio XXXVII. Theorema. Triangula super eadem basi constituta, et in eisdem parallelis, inter se sunt aequalia.

[note: Triangula super eadem basi, et in eisdem parallelis, aequalia sunt. ] INter parallela AB, CD, et super basin CD, sint constiruta duo triangula, ACD, BCD.

Dico, ea triangula esse aequalia. Ducatur enim per D, per 31. pri. recta DE parallela rectae AC, et alia DF parallela rectae CB, erunt, per 35. pri. parallelogramma ACDE, BCDF, aequalia: sed horum dimidia sunt triangula ACD, BCD, per 34. pri. Ergo et haec sunt inter se aequalia, per 7. Axiom.

Propositio XXXVIII. Theorema. Triangula super aequalibus basibus constituta, et in eisdem parallelis, inter se sunt aequalia.

[note: Triangula super aequalibus basibus, et in eisdem parallelis, aequalia sunt. ] INter parallelas AB, CD, et super aequales bases CE, FD, sint constituta triangula ACE, BFD.

Dico, ea esse aequalia, Ducatur enim. per 31. pri. EG parallela ipsi AC, et alia DH parallela ipsi GB: erunt parallelogramma ACEG, BFDH, aequalia, per 36. pri. Cum igitur horum dimidia sunt dicta duo triangula, per 34. pri. erunt et haec inter se aequalia, per 7. Axiom.

Propositio XXXIX. Theorema. Triangula aequalia super eadem basi, et ad easdam partes constituta, sunt in eisdem parallelis.

[note: ] SInt duo triangula aequalia, ABC, DBC, super eandem basin BC, et ad easdem partes. Dico, ipsa esse inter easdem parallelas constiruta, hoc est, si ducatur recta AD,

ipsam esse parallelam rectae BC. Si enim non est, ducatur, per 31. pri. ex A parallela ipsi BC: quae: cadet vel supra AD vel infra. Si cadat supra AD, qualis est AE, ducaturque recta EC: Erit triangulum EBC aequale triangulo ABC, per 37. pri. est autem per hypothesin eidem triangulo ABC aequale triangulum DBC: ergo, per 1. pri. Axi. duo triangula EBC, DBC, aequalia erunt, totum parti. Si cadat infra AD, qualis est AF, ducaturque recta FC: erit, eandem ob causam, triangulum FBC aequale triangulo ABC, pars toti.

Propositio XL. Theorema. Triangula aequalia super aequalibus basibus, et ad partes easdem constituta, sunt in eisdem parallelis.

[note: ] SInt duo triangula ABC, DEF, super bases aequales BC, BF, et ad easdem partes constituta.

Dico ea esse in eisdem parallelis, hoc est, rectam ex A in D ductam, esse parallelam rectae BF. Si enim non est, ducatur parallela: quae erit vel AG, vel AH: et in utrolibet casu erit vel triangulum GEF, vel triangulum HEF, aequale triangulo ABC, per 38. pri. ac proinde et triangulo DEF: quorum utrumque est impossibile, et contra 9. Axioma.

Propositio XLI. Theorema. Si parallelogrammum cum triangulo eandem basin habuerit, in eisdemque fuerit parallelis; erit parallelogrammum duplum trianguli.

[note: Parallelogrammum est duplum trianguli ] INter parallelas AB, CD, et super basin CD constituantur parallelogrammum AECD, et triangulum CBD. Dico illud esse hujus duplum.

[note: habentis eandem basin, et exsistentis in eisdem parallelis. ] Nam ducta diametro AD, erunt triangula ACD, BCD, super eadem basi

CD, aequalia inter se, per 37 pri. At parallelogrammum AECD est duplum trianguli ACD, per 34. pri. Ergo et trianguli BCD duplum est per 6. Axiom.

Propositio XLII. Problema. Dato triangulo aequale parallelogrammum constituere in dato angulo rectilineo.

[note: Triangulo aequale parallelogrammum constituere. ] DAtum triangulum sit ABC, et datus angulus rectilineus D, oporteatque constituere parallelogrammum aequale dicto triangulo, habens angulum aequalem angulo D. Basis BC trianguli secetur bifariam in E per 10. pri. et ducatur AE. Fiat deinde angulus CEF aequalis angulo D, per 23. pri. ducaturque

AF parallela basi BC, per 31. pri. Quae secet EF in F: et alia CG parallela ipsi BF, et occurrens rectae AF in G. Dico, parallelogrammum CEFG, habens angulum CEF aequalem angulo D, esse aequale triangulo ABC, quia tam ipsum parallelgrammum, quam triangulum ABC sunt duplum trianguli AEC, per 41. pri. et per 38. pri. quae autem ejusdem dupla sunt, intet se aequalia sunt, per Axi.

Propositio XLIII. Theorema. In omni parallelogrammo complementa eorum parallelogrammorum, quae circa diametrum sunt, inter se aequalia sunt.

[note: ] IN parallelogrammo ABCD, sunt circa diametrum AC, parallelogramma AEGH, CFGI: complementa vero eorum sint DFGH, et EBIG, juxta 36. Def. Dico, complementa haec esse inter se aequalia. Nam

triangula ABC, CDA, item triangula AEG, GHA: item triangula CFG; GIC, inter se aequalia sunt, per 34. pri. ablatis autem AGH, et CFG, ex CDA, remanet complementum GD: et ablatis AEG, et GIC, ex ABC, remanet complementum GB: quorum unum est aequale alteri, per 3. Axio.

Propositio XLIV. Problema. Ad datam rectam lineam, dato triangulo aequale parallelogrammum applicare, in dato angulo rectilineo.

[note: Triangulo aequale parallelogrammum applicare ad datam rectam lineam. ] DAta recta linea sit A, datum triangulum B, datus angulus rectilineus C, oporteatque constituere parallelogrammum aequale triangulo B, habens angulum aequalem angulo C, et unum latus aequale rectae A. Fiat, per 42. pri. parallelogrammum DEFG, aequale triangulo B, cum angulo

F aequali angulo C, et ex DB protracta sumatur EI, aequalis rectae A, et ducta IF secet DG protractam in K, perficianturque reliqua perallelogramma. Quibus factis, est complementum FHLM per. 43 pri. eaquale complemento DEFG, hoc est, triangulo B, et habet latus FH aequale ipsi EI, hoc est ipsi A, et angulum MFH aequalem angulo F, per 15 pri. hoc est, angulo C.

Propositio XLV. Problema. Dato rectilineo aequale parallelogrammum constituere, in dato angulo rectilineo.

[note: Rectilineo daro aequale parallelogrammum facere. ] DAtum rectilineum sit ABC, et datus angulus D, oporteatque constituere parallelogrammum aequale rectilineo dato, quod habeat angulum aequalem angulo D. Distribuatur rectilineum in triangula

A, B, C: ipsique A, fiat, per 42. pri. aequale parallelogrammum EFGH, habens angulum F angulo D aequalem: item super rectam GH fiat parallelogrammum GHIK, aequale triangulo B, habens angulum G aequalem angulo D: Denique super rectam IK fiat parallelogrammum IKLM, aequale triangulo C, habens angulum K aequalem angulo D. eritque factum quod jubetur. Nam tria parallelogramma simul aequalia sunt rectilineo dato, et constituunt unum parallelogrammum; quod sic probo. Duo anguli, F et HGK sunt inter se aequales, per 1. Ax. quia uterque aequalis est angulo D: addito ergo communi HGF, erunt duo anguli EFG HGF, aequales duobus HGF, HGK, per 2. Ax. Sed illi sunt aequales duobus rectis, per 29. pri. ergo et hi duo sunt aequales duobus rectis; ergo FG, GK, efficiunt unam rectam lineam, per 14. pri. Eadem ratione ostenditur, rectas EH, HI, constituere unam rectam lineam; nam duo anguli EHG, HIK, sunt aequales duobus oppositis F, et HGK, per 34. pri. et consequenter aequales inter se, sicuti hi, cum igitur duo GHI, KIH, aequales sint duobus rectis, per 29. pri. erunt et duo EHG, IHG, aequales duobus rectis, et per 14. pri. duae rectae EH, HI, constituent unam rectam lineam. Simili modo demonstratur, duas rectas GK, KL, et alias duas HI, IM, constituere unam rectam. Cum igitur GH, sit aequalis et parallela ipsi EF, et KI aequalis et parallela ipsi GH, et LM aequalis et parallela ipsi KI; erunt etiam EF, LM, aequales et parallelae, per 30. pri. et similiter FL, EM, aequales et parallelae erunt, per 33 pri. Parallogrammum ergo est EMLF, et dato rectilineo ABC aequale, angulum habens aequalem dato angulo D.

Propositio XLVI. Problema. Super datam rectam lineam quadratum describere.

[note: Quadratum describere super datam rectam. ] SIt describendum quadratum super datam AB. Erigantur, per 11. pri. duae perpendiculares AD, BC, aequales ipsi AB, connectatur recta DC, quae et ipsa, per 33. pri. aequalis et parallela erit ipsi AB, et angulis rectis A et B, erunt per 34. pri. aequales oppositi C et D,

et consequenter figura ABCD erit aequilatera et rectangula, id est, quadratum, per 29. Defin.

Propositio XLVII. Theorema. In rectangulis triangulis, quadratum quod a latere rectum angulum subtendente describitur, aequale est eis, quae a lateribus rectum angulum continentibus describuntur.

[note: ] IN triangulo ABC, angulus BAC sit rectus, describanturque, per 46, pri. super AB, AC, BC, quadrata ABFG, ACHI, BCDE. Dico, quadratum BCDE, descriptum super latus BC,

quod angulo recto opponitur, aequale esse duobus quadratis ABFG, ACHI, quae super alia duo latera sunt descripta, sive haec duo latera aequalia sint, sive inaequalia. Ducatur enim per 31 pri. recta AK, parallela ipsi BE, vel ipsi CD, secans BC in L, et jungantur rectae AD, AE, CF, BH. Et quia duo anguli BAC, et BAG, sunt recti: erunt rectea GA, AC, una linea recta, per 14. pri. Eodemque modo IA, AB, una recta linea erunt, Rursus, quia anguli ABF, CBE, sunt aequales, cum sint recti: si addatur communis angulus ABC, fiet per 2. Axiom. totus angulus CBF, toti angulo ABE aequalis. Similiterque totus angulus BCH, toti angulo ACD. Quoniam igitur latera AB, BE, trianguli ABE, aequalia sunt lateribus FB, BC, trianguli FBC, utrumque utrique, ut constat ex definitione quadrati: sunt autem et anguli ABE, FBC, contenti hisce lateribus aequales, ut ostendimus; Erunt triangular ABE, FBC, aequalia, per 4. pri. Est autem quadratum seu parallelogrammum ABFG, duplum trianguli FBC. per 41. pri. cum sint inter parallelas BF, CG, et super eandem basin BF: Et parallelogrammum BEKL, duplum trianguli ABE, quod sint inter parallelas BE, AK, et super eandem basin BE. Quare aequalia erunt, per 6. Axi. quadratum ABFG, et parallelogrammum BEKL. Eadem ratione ostendetur, aequalia esse quadratum ACHI, et parallelogrammum CDKL: erunt enim rursus triangula ACD, HCB, aequalia, ideoque et eorum dupla, parallelogrammum videlicet CDKL, et quadratum ACHI. Quamobrem totum quadratum CBDE, quod componitur ex duobus parallelogrammis BEKL, CDKL aequale est duobus quadratis ABFG, ACHI. In rectangulis ergo triangulis, quadratum, etc, quod demonstrandum erat.

Summi momenti et frequentissimi usus est in tota Mathesi haec propositio; ideo bene intelligenda. Et quoniam nemo ordinatius eam demonstrat quam Clavius, ideo ejus fere verba adnumeravi.

Propositio XLVIII. Theorema. Si quadratum quod ab uno laterum trianguli describitur, aequale est eis quae a reliquis trianguli lateribus describuntur; angulus comprehensus sub reliquis duobus lateribus, rectus est.

[note: Pythagorica propositio. ] IN triangulo ABC, quadratum lateris AC sit aequale quadratis reliquorum laterum BA, BC. Dico, angulum ABC esse rectum. Erigatur

enim ex puncto B, super BA, perpendicularis BD, et aequalis rectae BC, conuectaturque recta DA: erit, per 47. pri. quadratum AD aequale quadratis AB, BD, hoc est, quadratis AB, BC: atque adeo quadrato AC: et ideo AD erit aequalis ipsi AC: et quia duo latera, AB, BD, sunt aequalia duobus lateribus AB, BC: erit, per 8, pri. angulus ABD, aequalis angulo ABC, ac proinde ut ille, ita hic rectus.

EUCLIDIS ELEMENTUM SECUNDUM.

[note: ] IN hoc agit Euclides de potentiis linearum rectarum, inquirendo quanta sint quadrata partium cujusvis lineae recta divisae, et parallelogramma rectangula sub partibus ejusdem lineae divisae comprehensa. Brevis quidem, sed utilissimus est liber. Praemittuntur duae.

DEFINITIONES. I

[note: ] OMne parallelogrammum rectangulum contineri dicitur sub rectis duabus lineis, quae rectum comprehendunt angulum. Duo tantum sunt parallelogramma rectangula, quadratum, et altera parte longius. Vtrumque definivimus lib. 1. cap. 3. a. 4. nu. 8. Vtrumque contineri dicitur sub duabus lineis angulum rectum efficientibus, v. g.

sub lineis AB, et AD, constituentibus angulum rectum DAB, quia illis lineis et angulo recto adsignatis, sufficienter adsignatur tota longitudo parallelogrammi: unde et oriri dicitur ex ductu unius hujusmodi linearum in aliam.

In omni parallelogrammo spatio, unumquodlibet eorum, quae circa diamerrum illius sunt parallelogrammorum, cum duobus complementis, Gnomon vocetur, Sic in parallelogrammo ABCD, diviso in alia quatuor, modo explicato libro praecedente Proposit.

43. duo complemenia DHGF, EBIG, una cum GICF, constimunt gnomonem; sic dictum, ob similitudinem quam habet cum Norma rectangular, de qua lib. 1. cap. 4. a. 1. praxi 4. in Sexto Modo.

Annotatio.

[note: Rectangulum quid sit apud Mathematicos. ] MAthematici cum Euclide in hoc libro, et aliis sequentibus, appellant parallelogrammum rectangulum simpliciter et sine addilo rectangulum. Et ne toties eaedem litterae repeti debeant, solent omne parallelogrammum, etiam non rectangulum, exprimere duabus duntaxat litteris, quae per diametrum in eo opponuntur. Sic praecedens parallelogrammum integrum appellant AC, vel BD: quatuor vero partialia illa appellant AG, EI, IF, ID, sive HE, GB, GC, HF.

PROPOSITIONES. Propositio I. Theorema. Si fuerint duae rectaelineae, seceturque ipsarum altera in quotcumque segmenta; rectangulum comprehensum sub illis duabus rectis lineis, aequale est in eis, quae sub insecta et quolibet segmentorum comprehenduntur, rectangulis,

[note: ] SInt duae rectae GB, et BC, quarum BC secetur quomodocunque in quotlibet segmenta BD, DE, EC; at GB maneat insecta. Dico, rectangulum sub GB, et BC comprehensum, aequale esse omnibus rectangulis simul

sumptis, quae sub linea GB indivisa, et quolibet segmento comprehenduntur, nempe rectangulo sub GB et BD, item sub GB et DE, item sub GB et EC comprehensis. Si enim fiat ex GB insecta et BD secta in punctis D et, E rectangulum BF, et ex punctis D et E erigantur DH, EI, parallelae lateri GB; distribuitur rectangulum BF in rectangula BH, DI, EF, quorum primum continetur sub GB et BD, secundum sub HD, id est, GB (nam HD est aequalis ipsi GB) et DE, tertium sub IE, id est, GB, et EC. His autem tribus simul sumptis aequale est rectangulum BF. quia per 19. Ax. totum est aequale suis partibus.

Pleraeque Propositiones hujus libri possunt applicari numeris. Sit itaque in hac Propositione GB 6 partium, et BC 10. Si

6 ducantur in 10, fiunt 60. Secetur BC in BD 5, DE 4, EC 1: si 6 ducantur in 5, in 4, in 1, fiunt 30, 24, 6, quae simul faciunt 60 ut antea.

Propositio II. Theorema. Si recta linea secta sit utcumque rectangula quae sub tota et quolibet segmentorum comprehenduntur, aequalia sunt ei, quod a tota sit, quadrato.

[note: ] REcta linea AB dividatur utcunque duas in partes AC, CB. Dico, duo rectangula comprehensa sub tota AB, et segmentis AC, CB, simul sumpta, aequalia esse quadrato totius lineae: AB. Fiat enim, per 46. pri. super AB quadratum AD, et ex C ducatur CF parallela rectae AE, vel BD: dividetur quadratum AD in rectangulum AF contentum sub EA, AC, hoc est, sub AB, AC: et in rectangulum CD contentum sub FC, CB, hoc est,

sub AB, CB, ideoque quia, per 19. Ax. totum est aequale suis partibus, erit quadratum AD aequale dictis duobus rectangulis.

Si numerus 10 dividatur in 7 et 3, numerus quadratus 100, erit aequalis numeris 70 et 30.

Propositio III. Theorema. Si recta linea secta sit utcumque; rectangulum sub tota et uno segmentorum comprehensum, aequale est illi rectangulo quod sub segmentis comprehenditur, et illi quadrato quod a praedicto segmento describitur.

[note: ] LInea recta AB divisa sit utcunqun in C. Dico, rectangulum comprehensum sub tota AB, et utrovis segmento, ut AC (sive hoc segmentum majus sit, sive minus) aequale esse rectangulo sub segmentis AC, CB comprehenso,

et quadrato prioris segmenti assumpti AC. Fiat enim rectangulum AF, cujus latus EA aequale sit segmento AC, erit hoc rectangulum comprehensum sub tota AB, et uno segmentorum. Ducatur deinde ex C, recta CD parallela rectae AE, vel BF: dividetur prae dictum rectangulum AF, in quadratulum AD, descriptum super segmento AC: et in rectangulum CF comprehensum sub DC, CB, hoc est, sub AC, CB: est autem rectangulum AF aequale quadrato AD, et rectangulo CF, per 19. Ax. ergo, etc.

Numerus 10. dividatur in 7 et 3, productum ex 10, in 7, nempe 70. est aequale producto ex 7 in 3, id est 21, et ex 7 in 7, id est, 49.

Propositio IV. Theorema. Si recta linea secta sit utcumque; quadratum quod a tota describitur, aequale est et illis, quae a segmentis describuntur, quadratis, et ei, quod bis sub segmentis comprehenditur rectangulo.

[note: ] REcta AB divisa sit utcunque in C. Dico quadratum tocius AB, aequale esse quadratis

segmentorum AC, CB, et rectangulo comprehenso bis sub segmentis aC, CB. describatur enim super AB, quadratum AD, ducaturque diameter BE. Deinde ex C exigatur CF, parallela rectae BD, secans diametrum in G

puncto, per quod rursus ducatur HI, parallela rectae AB. Erit quadratum AD divisum in quatuor parallelogramma, ut patet; quibus omnibus simul aequale est quadratum AD, per 19 Axi. Dico nunc primo, HF, CI, esse quadrata segmentorum AC, CB. Nam trianguli ABE, latera AB, AE aequalia sunt, quoniam sunt latera quadrati: ergo, per 2. Coroll. 32. pri. anguli AEB, ABE, sunt semirecti: sed istis sunt aequales anguli CGB, HGE, per. 29. pri. ergo omnes quatuor sunt aequales, per 12. Axi. ergo per 6. pri. latera HG, HE, et CG, CB, aequalia sunt inter se, atque adeo, HF est quadratum rectae HG quae per 34. pri. est segmento AC aequalis: et CI est quadratum segmenti CB. Dico secundo, duo rectangula AG, GD, contineri sub iisdem segmentis AC, CB. Nam AG continetur sub AG, et CG, quia CG aequalis est ipsi CB: et GD continetur sub CF, et GI, quarum CF est aequalis GH, hoc est, segmento AC: et GI est aequalis segmento CB, ut manifestum est ex 34. pri.

Corollarium.

[note: Parallelogramma circa diametrum quadrati sunt quadrata. ] HInc manifestum est, parallelogramma circa diametrum quadrati esse quadrata, ut patet in HF, et CI.

Sinumerus 10. dividatur in 7 et 3, quadratum totius, quod est 100, aequale est duobus quadratis segmentorum, quae sunt, 49, et numero 21 bis sumpto, qui ex multiplicatione 7 in 3 procreatur.

Propositio V. Theorema. Si recta linea secetur in aequalia, et non aequalia; rectangulum sub in aequalibus segmentis totius comprehensum, una cum quadrato quod ab intermedia sectionum fit, aequale est ei quadrato, quod a dimidia describitur.

[note: ] REcta AB dividatur bifariam in C, et non bifafariam in D, ut sectionum intermedia sit CD. Dico, rectangulum sub segmentis in aequalibus AD, DB comprehensum, una cum quadrato intermediae sectionis CD, aequale

esse quadrato dimidiae CB. Describatur enim quadratum CF super dimidia CB, et ducta diametro BE, erigatur DG parallelaipsi CE vel BF, secans diametrum in H, et per H ducatur IL parallela et aequalis rectae BA, connectaturque AL. Erit, per Coroll. praecedentis, KG quadratum sectionis intermediae CD, quoniam in constitutione KH est aequalis CD: et DI, erit quadratum segmenti DB; et rectangulum AH erit comprehensum sub inaequalibus segmentis AD, DB, eo quod DH sit aequalis DB. Probo nunc, hoc rectangulum AH, una cum quadrato KG, aequale esse quadrato CF. Nam complementum HC, est per 43. pri. aequale complemento HF, ergo adjecto communi DI, rectangulum GB est aequale rectangulo BK, per 2. Axi. Sed BK est aequale ipsi KA, per 35 pri. ergo KA, GB, sunt aequalia, per 1. Axi. ergo adjecto communi CH, erit AH aequale gnomoni GBK, per 2. Axi. et rursus addito communi quadrato KG, erit AH una cum quadrato GK, aequale toti quadrato CF, quod componitur ex gnomone GBK, et quadrato KG,

Numerus 10. dividatur aequaliter in 5, et 5, inaequaliter in 7 et 3, ita ut medius numerus intersectionis sit 2. Numerus 21 ex 7 in 3 productus, una cum 4, quod est quadratum intermedii numeri 2, est aequalis numero 25, quod est quadratum dimidii numeri 5.

Propositio VI. Theorema. Si recta linea bifariam secetur, et illi recta quaedam linea in directam adiciatur, rectangulum comprehensum sub tota cum adiecta, una cum quadrato a dimidia, aequale est quadrato a linea, quae tum ex dimidia, tum ex adiecta componitur tamquam ab una, descripto.

[note: ] REcta AB secetur bifariam in C, et ei in rectum adjiciatur BD. Dico, rectangulum

comprehensum sub tota composita AD, et adjecta BD, una cum quadrato dimidiae CB, aequalae esse quadrato lineae CD, quae ex dimidia CB, et ad jecta BD, componitur. Fiat construction similis praecedenti, et ut figura monstrat: erunt, per Coroll. 4. hujus BI, KG, quadrata: ideoque recta DI rectae BD aequalis: itemque recta KH rectae CB aequalis: quare rectangulum AI comprehendetur sub rectis AD, DB: et KG erit quadratum rectae CB. Ostendo nunc, rectangulum AI; una cum quadrato KG, aequale esse quadrato CE. Nam rectangular CL, CH, aequalia sunt, per 35. pri. et CH, HE aequalia, per 34. pri. ergo CL aequale est HE, per 1. Axi. adjectoque communi CH, totum AI aequale est gnomoni GIBK: Sed hic una cum quadrato KG, aequivalet quadrato CE per 19 Axi. ergo et AI una cum eodem quadrato KG, aequivalet eidem CE.

Secetur numerus 10. bifariam in 5 et 5, addaturque ei numerus 2, ut fiat totus numerus 12. Numerus 24, qui producitur ex toto numero composito 12, ducto in adjectum 2, una cum 25, quadrato dimidii numeri, est aequalis numero 49, qui est quadratum numeri 7, composite ex dimidio 5. et adjecto 2.

Propositio VII. Theorema. Si recta linea secetur utcumque; quod a tota, quodcumque ab uno segmentorum, utraque simul quadrata, aequalia sunt et illi rectangulo, quod bis sub tota et dicto segmento comprehenditur, et illi quadrato quod a reliquo segmento fit.

[note: ] REcta AB secetur utcunque in C. Dico, quadratum totius AB. nimirum AD una cum quadrato segmenti v. g. AC, hoc est, una

cum quadrato HF, aequale esse rectangulo comprehenso sub AB, AC, bis sumpto (hoc est, duobus rectangulis AF, HD) una cum quadrato CI reliqui segmenti

CB. Nam duo rectangular AF, HD, sunt aequalia gnomoni CHEFI, et quadrato HF, ut patet, ergo addito quadrato CI erunt duo rectangula AF, HD et quadratum CI, aequalia gnomoni praedicto, et duobus quadratis HF, CI. Sed gnomon et quadratum CI, faciunt quadratum AD, ergo quadrata AD, HF, sunt aequalia duobus rectangulis AF, HD, et quadrato CI.

Dividatur numerus 10, in 6 et 4. Erit 100. quadratus numerus totius, et 36, quadratus numerus partis 6, aequalis numero 60 bis sumpto, quifit ex toto 10. in partem 6, una cum 16 quadrato numero alterius partis 4.

Propositio VIII. Theorema. Si recta linea secetur utcumque; rectangulum quater comprehensum sub tota, et uno segmentorum, cum quadrato quod a reliquo segmento fit, aequale est quadrato quod ex tota, et dicto segmento, tamquam ab una linea describitur.

[note: ] SIt recta AB divisa in C utcunque, eique adjiciatur BD aequalis ipsi CB v. g. (potest eidem adjici aequalis ipsi AC,) et supra totam AD

fiat quadratum AE, quod dividatur in minora rectangula modo simili praercedentibus, prout figura monstrat. Dico, quadratum totius AD, aequale esse quatuor rectangulis comprehensis sub AB, et BC, seu BD, et quadrato reliqui segmenti AC. Nam AE est quadratum totius AD: OI, NQ, BM sunt quadrata, per coroll. 4. hujus, et OI quidem est quadratum segmenti AC, quoniam OK aequalis est AC reliqua duo sunt quadrata segmenti CB, aut BD, qualia etiam sunt quadrata CH, et HP. Unde constat, AH esse rectangulum comprehensum sub AB, BC, quia BH est aequalis BC. Alterum rectangulum huic aequale, est LQ, quia continetur sub LH, HQ, quae sunt aequales ipsis AB, BC, ut patet. Tertium redtangulum his eaquale, est HE, contentum sub HG, HM, quae etiam sunt aequales eisdem AB, BC, quoniam HQ est aequalis BC, et QG est aequalis CA, et tota HG toti AB, et HM aequalis est ipsi BD, hoc est BC. Quartum denique rectangulum prioribus aequale, constituunt KG, BM, simul quia KG est aequale QE, per 36. pri. et quadratum BM est aequale quadrato HP. Cum igitur haec quatuor rectangula constituant gnomonem IEDAO, qui cum quadrato OI facit totum quadratum AE, manifestum est, totum quadratum AE, aequale esse quatuor rectangulis AB, BC, et quadrato segmenti AC.

Secetur numerus 10 in 6 et 4. Numerus 240, qui fit ex toto 10 in partem 6 quater dicto, una cum 16 quadrato numero alterius partis 4, hoc est, numerus 256, aequalis est numero quadrato numeri 16, qui componitur ex dato numero 10, et dicta parte 6.

Propositio IX. Theorema. Si recta linea secetur in aequalia, et non aequalia, quadrata quae ab inaequalibus totius segmenti fiunt, duplicia sunt et eius quod a dimidia [correction of the transcriber; in the print damidia], et eius quod ab intermedia sectionum fit, quadrati.

[note: ] REcta AB secetur bifariam in C, et non bifariam in D. Dico, quadrata segmentorum inaequalium AD, DB, dupla esse quadratorum quae fiunt ex dimidia AC, et ex intermedia sectionum CD. Fiat enim CE perpendicularis ad AB, et aequalis CA, vel CB, ducanturque rectae: AE, EB, Deinde ex D ducatur quoque ad AB

perpendiculatis DF, secans EB in F, et ab F ducatur FG parallela ipsi AB, fiatque recta FA. Erunt itaque triangula ACE, ECB, isoscelia rectangula, quoniam CA, CE, ut et CB, CE, aequales sunt ex constructione. et anguli ad C, recti: ergo per 2. Coroll. 32. pri. quatuor anguli ad bases AE, BE, semirecti sunt, et consequenter totus angulus AEB rectus. Rursus triangular FDB, FGE; rectangular sunt, quoniam FD est perpendicularis ad AB, et FG perpendicularis ad EC: et quia anguli DBF, GEF sunt semirecti, ut ostensum fuit: erunt, per. 32. pri. et reliqui DFB, GFE, semirecti, et per 6 pri. DF erit aequalis DB. et EG aequalis GF, vel CD, quoniam CF est parallelogrammum ex constructione facta. Ostendo nunc, quadrata AD, et DB, seu DF, esse duplicia quadratorum AC, et CD. Nam, per 47. pri. quadratum rectae AE, est aequale quadratis CA, CE, et consequenter duplum quadrati AC, et quadratum EF, est aequale quadratis FG, GE, et consequenter duplum quadrati GF, seu CD, ergo duo quadrata AE, EF, dupla sunt duorum quadratorum AC, CD: et quia quadratum AF aequale est quadratis AE, EF, ideo et quadratum AF duplum est quadratorum AC, CD: sed quadrato AF aequalia sunt quadrata AD, DF, seu DB: ergo et quadrata AD, DB sunt dupla quadratorum AC, CD, quod demonstrandum erat.

Dividatur numerus 10. aequaliter in 5 et 5, et inaequaliter in 7 et 3, ut intermedia sectio sit 2. Quadrati numeri 49 et 9, partium inaequalium 7 et 3, dupli sunt quadratorum 25 et 4, seu dimidii numeri 5, et intermedii 2.

Propositio X. Theorema. Si linea recta secetur bifariam, adiciaturque ei in rectum quaepiam recta linea; quadrata quae fiunt a tota cum adiuncta, et ab adiuncta tantum, duplicia sunt quadrati quod a dimidia, et quadrati quod a composita ex dimidia et adiuncta fit.

[note: ] SEcetur recta AB bifariam in C, et ei in rectum addatur BD. Dico, duo quadrata rectarum AD, et BD, dupla esse quadt

atorum ex AC, CD descriptorum. Erigatur enim ex C recta CE, perpendicularis ad AD, et aequalis ipsi AC, vel CB: et jungantur rectae AE EB. Deinde per D educatur

DE, ipsi CE parallela, occurrens rectae EB protractae in G, et per E ducatur rectae CD parallela EF, secans DF in F: jungaturque tandem recta AG. Erit Angulus AEG rectus, ut in praecedente ostensum fuit, et CEB semirectus, ideoque et ejus alternus EGF semirectus, per 29. pri. Et quia angulus F rectusest ex constructione; erit et angulus GEF semirectus, per 32. pri. ac propterea, per 6. pri. recte EF, FG aequales Eadem ratione ostenditur, rectas DB, DG, esse aequales, quoniam angulus D rectus est, et angulus DGE semirectus, ut ostensum fuit, ideoque et DBG semirectus est, ac propterea, per 6. pri. latera DB, DG aequalia. Jam sic; Quadratum AE, per 47. pri est duplum quadrati AC, et quadratum EG duplum quadrati EF, hoc est, quadrati CD (est enim CF parallelogrammum ex constructione facta) Ergo duo quadrata AE, EG, dupla sunt quadratorum AC, CD. Sed duobus quadratis AE, EG, aequale est quadratum AG; et huic aequalia sunt quadrata AD, DG, hoc est, AD, DB: ergo et haec duo quadrata AD, DB, dupla sunt duorum quadratorura AC, CD; quod ostendendum erat.

Numerus 10. bifariam secetur in 5 et 5. eique adjiciatur numerus, v g. 3. ut totus compositus sit 13, compositus vero ex dimidio et adjuncto sit 8. Quadrati numeri, 169, et 9, horum numerorum 13 et 3, dupli sunt numerorum quadratorum 25, et 64, qui ex his numeris, 5, et 8. gignuntur.

Propositio XI. Problema. Datam rectam lineam ita secare, ut rectangulum sub tota et altero segmentorum comprehensum, aequale sit quadrato quod a reliquo segmento fit.

Data sit recta AB, quam oporteat dicta ratione [note: Lineam rectam media et extrema ratione secare. ] secare. Super AB fiat quadrarum AC et diviso latere AD bifariam in E, ducatur recta EB: cui ex EA protracta sumatur aequalis EF, et ipsi AF fiat aequalis AG. Dico

rectam AB sectam esse in G ita, ut rectangulum comprehensum sub AG, et BG, aequale sit quadrato rectae AG. Ducatur enim per G, recta HI parallela rectae DF: et per F ducatur FH parallela ipsi AG. Erit rectangulum AH quadratum, cum omnia ejus latera sint, per 34. pri. Aequalia: rectangulum CG erit comprehensum sub AB, et segmento BG, quia AB est aequalis ipsi CB. Probo nunc, rectangulum CG, et quadratum AH, esse aequalia. Recta DA divisa est bifariam in E, et ei addita in rectum AF: ergo per 6. hujus, rectangulum sub DF, FA, hoc est, rectangulum DH, una cum quadrato dimidiae AE, aequale est quadrato rectae EF, hoc est, quadrato rectae EB, quae rectae EF aequalis est: Sed quadratum rectae EB, est aequale, per 47. pri. quadratis rectarum AE, AB: ergo dempto communi quadrato rectae AE, remanet rectangulum DH aequale quadrato rectae AB, hoc est, quadrato AC; ergo ablato rursus communi rectangulo AI, remanet rectangulum GC aequale quadrato AH.

Hoc theorema non potest applicari numeris, quia dividi nullus numerus potest in duos, ut numerus productus ex toto in alteram partem, aequalis sit quadrato alterius partis, ut demonstrat Clavius ad Propsit. 14. libri 9. Euclidis, et ad propofit. 27. ejusdem libri.

Propositio XII. Theorema. In amblygoniis triangulis, quadratum quod fit a latere angulum obtusum subtendente, maius est quadratis quae fiunt a lateribus obtusum angulum comprehendentibus, rectangulo bis comprehenso, et ab uno laterum quae sunt circa obtusum angulum, in quod cum protractum fuerit, cadit perpendicularis, et ab assumpta exterius linea sub perpendiculari prope angulum obtusum.

[note: ] IN triangulo ABC, sit angulus B obtusus, ita ut perpendicularis AD, per 2. Coroll. 17. pri. cadat extra triangulum in latus CB protractum. Dico, quadratum lateris AC, excedere quadrata laterum AB, BC, gemino rectangulo

sub CB, BD comprehenso; hoc est, quadratum lateris AC aequale esse duobus quadratis laterum AB, BC, una cum rectangulo sub CB, BD, bis comprehenso. Cum enim CD divisa sit in B utcunque erit; per 4. hujus, quadratum rectae CD aequale quadratis rectarum CB, BD, et gemino rectangulo sub CB, BD comprehenso: addito igitur communi quadrato rectae AD, erunt duo quadrata CD, DA, aequalia tribus quadratis CB, BD, DA, et rectaugulo comprehenso bis sub CB, BD: et consequenter quadratum AC, quod per 47. pri. aequale est duobus quadratis CD, DA, erit aequale iisdem tribus quadratis CB, BD, DA, et gemino rectangulo CB, BD: cum tamen quadrata rectarum CB, BA, sunt solum aequalia tribus quadratis CB, BD, DA, (quoniam quadratum BA aequale est duobus BD, DA, per 47. pri )

Propositio XIII. Theorema. In oxygoniis triangulis, quadratum a latere angulum acutum subtendente minus est quadratis quae fiunt a lateribus acutum angulum comprebendentibus, rectangulo bis comprehenso et ab uno laterum quae sunt circa acutum angulum, in quod perpendicularis cadit, et ab assumpta interius linea sub perpendiculari prope acutum angulum.

[note: ] In triangulo ABC sint omnes anguli acuti, et ex Ademissa perpendicularis AD cadat in latus BC, per 2. Coroll. 17. pri. Dico, quadratum lateris AB, quod acuto angulo C opponitur,

minus esse quadratis laterum AC, CB, circa dictum angulum acutum C, rectangulo bis comprehenso sub BC, CD, hoc est quadratum lateris AB, una cum rectangulo bis comprehenso sub BC, CD, aequale esse duobus quadratis laterum AC, CB, Nani quia recta BC divisa est in D

utcunque erunt per 7. Jec. quadrata rectarum BC, CD, aequalia rectangulo comprehenso bis sub BC, CD, et quadrato rectae BD: Ergo addito quadrato DA, erunt tria quadraca, BC, CD, DA, vel duo BC, CA (nam quadratum CA aequivaler quadratis CD, DA, per 47. pri ) aequalia rectangulo geminato rectarum BC, CD, et duobus quadratis BD, DA: Sed his duobus BD, DA aequale est quadracum AB: Ergo solum quadratum AB minus est duobus quadratis BC, CA, praedicto gemino rectangulo BC, CD

Quod Euclides demonstrat in oxygoniis triangutis, verum etiam est in rectantgulis, et ambygoniis, in quibus necessario duo reliqui sunt acuti, per 17. vel 32. pri. In his tamen demitti debet perpendicularis ab angulo recto, vel obtuso, ut cadat intratriangulum.

Propositio XIV. Problema. Dato rectilineo aequale quadratum constituere.

[note: ] Sit darum rectilineum A, cui quadracum aequale constituendum est. Constituatur, per 42. vel 45. pri. dicto rectilineo aequale parallelogrammum rectangulum BCDE, cujus unum latus, ut CD, producatur ad F, sitque CF aequalis rectae CB, et tota DF dividatur bifariam in G,

ex quo velut centro describatur circa totam DF semicirculus, eumque secet BC protracta in H, et ducatur GH. Dico, quadratum CH aequale esse rectangulo DB, et consequenter rectilineo A. Nam quia recta DF dividitur bifariam in G, et non bifariam in C; erit per 5 sec. rectangulum comprehensum sub DC, CF, hoc est, rectangulum DB, una cum quadrato GC, aequale drato GF, hoc est, quadrato GH. Sed huic, per 47. pri. aequalia sunt quadrata GC, CH, Ergo haec duo quadrata sunt aequalia dicto rectangulo DB. et quadrato GC; Ergo dempto communi quadrato GC, remanet quadratum CH aequale rectangulo DB, hoc est, rectilineo A.

EUCLIDIS ELEMENTUM TERTIUM.

[note: ] In eo tractat Euclides de proprietatibus fundamentalibus circuli. Vtilis est ad chordarum et arcuum praecisionem in circulis, et ad totam Astronomiam. Ero in demonstrationibus sequentibus brevior, quam in praeteritis; et saepe brevitatis causa omittam citationes Axiomatum et Definitionum ex Primo lib. Elem.

DEFINITIONES.

[note: Circuli aequales quorum diametri aequales. ] AE Quales circuli sunt, quorum diametri sunt aequales; vel quorum, quae ex centris, rectae lineae sunt aequales. Inaequales ergo circuli sunt, quorum diametri vel semidiametri inaeqnales; majorque aut minor ille, cujus diameter vel semidiameter major aut minor est.

II.

dicitur, quae cum circulum tangat, si producatur, circulum non secat. In apposita figura, recta AB tangit circulum in C, at recta EG secat eundem in F.

III.

dic untur, qui se se mutuo tangentes, se se mutuo non secant. In appositis figuris, circuli A et B tangunt se mutuo in C: at circuli D et E, secant se mutuo in F et G.

IV.

[note: Lineae aequaliter distantes a centro circuli quaenam. ] In circulo aequaliter distare a centro rectae lineae dicuntur, cum perpendiculares, quae a centro in ipsas ducuntur, sunt aequales. Longius autem abesse illa dicitur, in quam major perpendicularis cadit. In praesenti figura recte BC, DE, distant aqualiter a centro A, si perpendiculares AH, AI, sunt aequales: at FG distatmagis, si AK major est qnam AH, aut AI.

[note: Circuli segmentum ] Segmentum circuli est figura, quae sub recta linea, et circuli peripheria comprehenditur. In figura apposita, tam ADC, quam ABC, est segmentum circuli, quorum hoc majus, aliud minus dicidur. Vide quae diximus lib. 1. cap. 3. a. 3. num. 10.

VI.

[note: Angulus segmenti circuli. ] Segmenti autem angulus est, qui sub recta linea et circuli peripheria comprehenditur. Tales sunt in praecedenti figura anguli mixtilinei DAC, DCA; item BAC, BCA; quorum hi dicuntur anguli [note: Angulus semicirculi. ] segmenti majoris, illi vero anguli segmenti minoris. Quod si segmentum fuerit semicirculus, dicetur angulus semicirculi.

VII.

[note: Angulus in segmento. ] In segmento autem angulus est, cum in segmenti peripheria sumptum fuerit quodpiam punctum, et ab illo in terminos rectae ejus linea quae segmenti basis est, adjunctae fuerint rectae lineae; is inquam angulus ab adjunctis illis lineis comprehensus. In apposita figura

tam angulus rectilineus ACB, [note: Angulus in semicirculo. ] quam ADB, est angulus in segmento; et prior dicitur existere in segmento ACB, posterior in segmento ADB. Quod si basis hujusmodi angulorum est diameter circuli, dicuntur anguls in semicirculo.

VIII.

[note: Angulus peripheriae insistens. ] Cum vero comprehendentes angulum rectae lineae aliquam assumunt peripheriam; illi angulus insistere dicitur. In apposita figura, tam angulus rectilineus ACB

ad peripheriam, quam ADB ad centrum, dicitur insistere peripheriae AB, quam intercipiunt lineae rectae continentes angulos C et D.

IX.

[note: Circuli sector. ] Sector autem circuli est, cum ad ipsius circuli centrum constitutus fuit angulus, comprehensa nimirum figura et a rectis lineis angulum continentibus, et a peripheria ab illis assumpta. Talis est in praecedenti figura circuli pars ADB, contenta rectis AD, BD, et circumferentia AB.

sunt, quae angulos capiunt aequales, aut in quibus anguli inter se sunt aequales. Sic duo segmenta ABC, DEF, inaequalium circulorum, dicuntur similia, si anguli ad B et E aequales sunt. Eodem modo si anguli AGC, DEF, aequales sunt, segmenta eadem in quibus dicti Anguli existunt, dicuntur similiae.

[note: Angulus contingentiae. ] Angulus contingentiae est, qui continetur linea recta conting ente circulum, et circum ferentia circuli; vel certe duabus circum ferentiis se mutuo tangentibus sive exterius, sive interius.

PROPOSITIONES.

Propositio I. Problema. Dati circuli centrum reperire.

[note: Centrum circuli reperire. ] Ducatur in eo utcunque linea AC, quae bifariam secetur in E, et per E ad AC agatur perpendicularis BD, et dividatur bifariam in F.

Dico, esse centrum. Si enim non est, sit aliud G extra ipsam BD, et ducantur GA, GC, GE: erunt duo latera GE, EA, aequalia duobus lateribus GE, EC: et basis AG basi CG per 15. Defi. pri ergo. per 8. pri. Anguli AEG, CEG, aequales sunt, ac proinde erecti, per 10. Defin. pri. Est autem et angulus AEF, rectus, ex constructione: ergo cum, per 10. Axi. pri. omnes anguli recti inter se aequales sint, erunt AEF, AEG, aequales, pars et torum: quod est absurdum, et contra 9. Axi. pri.

Corollarium.

[note: ] Hinc colligitur, si in circulo recta aliqua linea aliquam rectam lineam bifariam et ad augulos rectos secat, in secante esse centrum circuli. Et quidem si utraque bifariam secatur, centrum est in communi earum concursu.

Propositio II. Theorema. Si in circuli peripheria duo quaelibet puncta accepta fuerint; recta linea, quae ad ipsa puncta adiungitur, intra circulum cadit.

[note: ] Recta AB nectat duo puncta peripheriae A et B, Dico, illam cader e intra circulum, ita ut omnia ejus puncta intermedia existant intra circulum. Invento enim centro C per 1. hujus, ducantur semidiametri CA, CB (quieruntinter se aequales. per 15. Def. pri. ) et ad quodvis aliud punctum D rectae AB, ducatur recta CD. Erunt igitur, per 5. pri. anguli CAB,

CBA aequales: est autem, per 16. pri. CDA major quam CBA; ergo etiam major est quam CAD, ideoque, per 19. pri. CD minor est semidiametro CA, ac proinde CD intra circulum cadit.

Corollarium.

COlligitur hinc, lineam rectam quae circulum [note: Linea recta tangens circulum tangit eum in puncto. ] tangit, in uno tantum puncto ipsum tangere, alioquin si in duobus punctis eum tangeret, pars ejus caderet intra circulum, ideoque circulum secaret.

Propositio III. Theorema. Si in circulo recta quaedam linea per centrum extensa, quandam non per centrum extensam bifariam secet; etiam ad angulos rectos eam secat, et si ad angulos rectos eam secat, bifariam quoque secat.

[note: ] DIameter CAE, secet aliam BD non per centrum ductam, bifariam. Dico, secare eam ad angulos rectos: et vice versa, secet eam ad angulos rectos, dico, secare eam bifariam Ductis enim rectis AB, AD, erunt in prima hypothesi duo latera, AB, FB, aequalia duobus lateribus AF, FD: et basis AB basi AD aequalis ergo, per 8. pri.

angulus AFB aequalis est angulo AFD, ac proinde uterque rectus, per. 10. Defi. pri. in secunda vero hypothesi, praeter angulos rectos ad F, erunt per 5. pri, anguli ABD, ADB aequales, et latus AF ipsis oppositum commune: ergo per 26. pri. latus FB erit Aequale lateri FD.

Corollarium.

[note: ] COlligitur hinc, in omni triangulo isosceli ABD, et consequenter in omni triangulo aequilatero, rectam AF secantem bifariam basim BD, secare ipsam ad angulos rectos, secantem ipsam ad angulos rectos, secare bifariam.

Propositio VI. Theorema. Si in circulo duae rectae lineae sese mutuo secent non per centrum extensae; sese mutuo bifariam non secabunt.

[note: ] Duae rectae AB, CD, secent se mutuo in E extra centrum F. Dico, eas non secare se mutuo bifariam. Si enim AB, CD, sectae essent bifariam in E; recta

FE, ducta ex centro F, esset per 3. hujus, perpendicularis ad utramque, et anguli FEA, FEC, essent aequales, pars et totum: quod est absurdum, et contra 9. Axi pri.

Propositio V. Theorema. Si duo circuli sese mutuo secent; non erit illorum idem centrum.

eorum idem centrum, si fieri potest, C. Ergo recta CB erit semidiameter communis, eique erunt aequales aliae CA, CE, ideoque aequales inter se, per 1. Axi. pri. quod est absurdum, et contra 9. Axi. pri.

Propositio VI. Theorema. Si duo circuli se se mutuo tangunt interius: earum non erit idem centrum.

[note: ] TAngant se duo circuli interius in B, et sit eorum centrum commune D, si

potest fieri. Erit DB communis semidiameter, et DC, DA aequales erunt eidem DB, et aequales intet se, per. 1. Axi. pri. et contra 9. Axi. ejusdem.

Propositio VII. Theorema. Si in diametro circuli quodpiam sumatur punctum, quod circuli centrum non sit, ab eoque puncto in circulum quaedam rectae lineae cadant, maxima quid emerit ea, in qua centrum, minima vero reliqua; aliarum vero propinquior illi quae per centrum ducitur, remotiore semper maior erit: duae autem solum rectae lineae aequales ab eodem puncto in circulum cadunt, ad utrasque partes minimae.

[note: ] IN diametro praesentis circuli, cujus centrum F assumatur quodcunque punctum excentricum I, et ex eodem educantur IC, ID, IE, utcunque. Erit IFA omnium maxima, IB minima, IC major quam ID, et ID major quam IE: et eidem

IE v. g. una tantum IG v. g. poterit esse aequalis ex altera parte minimae. Nam Primo per 20. pri. FI, FC simul, majores sunt quam IC: sed FI, FA sunt aequales ipsis FI, FC: ergo IA major est quam IC, etc. Secundo, IF, FC, sunt aequales IF, FD, et angulus IFC major est angulo IFD, ergo, per 24. pri. IC major est quam ID, etc. Tertio, IF, IE, sunt majores, quam FE, hoc est, quam FD, dempta ergo communi IF, remanet IE major quam IB, etc. Quarto, si angulo BFE fiat aequalis angulus BFG, erunt circa ipsos lavera IF, FE, aequalia lateribus IF, FG, ergo per 4. pri. et basis IE, basi IG aequalis erit, et nulla alia, quia reliquae omnes sunt majores vel minores ex praemissis.

Propositio VIII. Theorema. Si extra circulum sumatur punctum quodpiam, ab eoque puncto ad circulum deducantur rectae quaedam lineae, quarum una quidem per centrum protendatur, reliquae vero ut libet; in cavam peripheriam cadentium rectarum linearum maxima quidem est illa, quae per centrum ducitur: aliarum autem propinquior ei quae per centrum transit, remotiore semper maior est: in convexam ver operipheriam cadentium rectarum linearum minima quidem est illa, quae inter punctum et diametrum interponitur; aliarum autem eaquae propinquior est minimae, remotiore semper minor est. Duae autem tantum rectae lineae aequales ab eo puncto in ipsum circulum cadunt ad utrasque partes minimae.

[note: ] EX puncto A extra circulum posito, ducantur quotcunque rectae, quarum AB FE per centrum transeat, ADI, AGH cadant utcunque tam ad convexam, quam ad concavam peripheriam. Dico, AE esse maximam eductarum ad concavam: AB minimam eductarum ad convexam; AI majorem esse AH, et AG majorem AD:

ipsique AD v. g. unam tantum aliam posse esse aequalem. Ducantur enim FI, FH, FG, FD. FC. primo, AF, FI, sunt per 20. pri. majores AI: ergo et AFE, quae est aequalis ipsis AF, FI, etc. Secundo, AD, DF, sunt, per candem 20. pri. majores AF, ergo demptis aequalibus FD, FB, remanebit AD major quam AB, etc. Tertio, AF, FI, sunt aequales AF, FH, angulusautem AFI major angulo AFH: ergo per 24. pri. AI major est quam AH, etc. Quarto, Duae AB, DF, sunt per 21 pri. minores duabus AG, GF, et GF, DF sunt aequales: ergo AD minor quam AG etc. Quinto, Angulus AFC sit aequalis angulo AFD, ergo per 4. pri. AD erit aequalis AC, quia circa aequales angulos latera AF, FD, sunt aequalia lateribus AF, FC.

Propositio IX. Theorema. Si in circulo aecceptum fuerit punctum aliquod, et ab eo ad circulum cadunt plures quam duae rectae lineae aequales; acceptum punctum est circuli centrum.

[note: ] Tres rectae, BA, AC, AD, sint aequales: Dico, A esse centrum. Ducantur enim BC, CD, et secentur bifariam in E et F, et ejiciantur AE, AF. Erunt duo litera AE, EB,

aequalia duobus lateribus AE, EC, et basis AB aequalis basi AC: ergo, per 8. pri. anguli AEB, AEC, sunt aequales, et consequenter recti: et per Coroll. primae hujus, in EA producta erit centrum circuli: sed propter eandem causam debet esse in FA producta: ergo centrum est A, alioquin non esset in EA, et FA producta.

Propositio X. Theorema. Circulus circulum in pluribus quam duobus punctis non secat.

[note: ] Secent enim, si fieri potest, se mutuo in tribus punctis, A, B, C, et centrum unius sit D. Cum ergo tria puncta, B, A, C, sint communia utrique circulo:

erunt etiam ad alterius circuli peripheriam tres rectae, DB, DA, DC, aequales, ideoque D erit centrum utriusque; quod est contra 5. hujus.

Propositio XI. Theorema. Si duo circuli sese intus contingant, atque accepta fuerint eorum centra; ad eorum centra adiuncta linea, et producta, in contactum circulorum cadet.

[note: ] PUnctum contactus sit A, centrum interioris circuli sit G, exterioris F, et recta FC, si fieri porest, non transeat per A, sed interiorem secet in B, exreriorem in E. Ductis AF, AG, erunt GA, GB aequales, per 15. Defi pri. adjectaque FG, erunt AG, GF aequales FB: sed AG, GF sunt majores AF, per 20. pri. ergo etiam FB major erit quam AF, hoc est, major quam FE: quod est absurdum.

Idem sequeretur ex altera parte, si F poneretur esse centrum interioris, et G exrerioris, etiam si puncta C, D, vel B, E, ponerentur coincidere in unum, quia semper unus circulus est altero major.

Propositio XII. Theorema. Si duo circuli sese exterius contingant, linea recta quae ad centrum eorum coniungitur, per contactum transibit.

per contactum B, sed secet circulos in C et E: erunt duo latera, FB, GB, vel aequalia, vel minora tertio FCDG; quod est contra 20. pri.

Propositio XIII. Theorema. Circulus circulum non tangit in pluribus punctis, quam uno, sive intus, sive extra tangat.

[note: ] SI enim duo circuli se mutuo tangerent interius in A et B; recta CD, conjungens centra C et D.

Per 11. hujus, transiret per utrumque, essetque; ACDB communis diameter, eademque; secta bifariam in duobus punctis C et D: quod est absur dum. Si autem se tangerent exterius in duobus punctis B et F: una eademque DE transiret per utrumque, per 12. hujus: vel certe DB, EB erunt aequales rectis DF, EF, hoc est ipsi DE: cum tamen sint majores, per 20. pri.

Propositio XIV. Theorema. In circulo aequales rectae lineae aequaliter distant a centro: Et quae aequaliter distant a centro, aequales sunt inter se.

[note: ] SInt primo rectae AB, DC, aequales. Dico, ipsas aequaliter a centro E distare. Ducantur enim perpendiculares EF, EG, et conjungantur EA, ED: secabuntillae duas BA, DC bifariam, per 3. hujus, et ideo AF, DG, semisses aequalium,

aequales erunt: et quia per 47. pri. aequalibus quadratis semidiametrorum EA, ED, aequalia sunt qudrata AF, FE, et quadrata DG, GE, necesse est, haec duo illis duobus esse aequalia, et demptis aequalibus AF, DG, remanere aerqualia quadrata EF, EG, et consequenter rectas EF, EG aequales esse. Distantigitur, per 4. Defin. hujus, rectae AB, DC, aequaliter a centro E. Sint secundo AB, DC, aequaliter distantes a centro E. Dico, eas esse inter se aequales: Nam si ex duobus quadratis EF, FA quae sunt aequalia duobus EG, GD, quia sunt aequalia quadratis EA, ED, tollantur aequalia EF, EG: remanent aequalia quadrata EA, GD, ipsaeque AF, DG aequales Est autem. Per 3. hujus. AF medietas totius AB, et DG medietas totius DC: Ergo AB, DC, sunt aequales,

Propositio XV. Theorema. In circulo maxima quidem linea est diameter; aliarum autem propinquior centro, remotiore semper maior.

[note: ] Diameret sit AF, ei propinquior HI: remotior CD. Dico, AF esse maximam, et HI majorem quam CD. Ducantur enim perpendiculares GK, GL, erit illa, per 4. Defin. hujus, minor ista, et ideo ex GL poterit abscindi GM, aequalis ipsi GK; et BE

aequidistans ipsi CD, erit per 14 hujus, aequalis IH, Nectantur jam GB, GC, GD, GE: eruntque per 20. pri. duo latera GB, GE majora reliquo EB: sed GB, GE sunt aequales diametro AF: ergo BE, et corsequenter IH, minor est diametro. Quod autem IH sit major quam CD, patet per 24 pri. quia latera GB, GE sunt aequalia lateribus GC, GD, et angulus BGE major angulo CGD; ergo etc.

Propositio XVI. Theorema. Quae ab extremitate diametri cuiusque circuli ad angulos rectos ducitur, extra ipsum circulum cadit: et in locum inter ipsam rectam lineam, et peripheriam comprehensum, altera recta linea non cadit: et semicirculi quidem angulus quovis angulo acuto rectilineo maior est, reliquus autem minor.

[note: ] Recta FAE, diametro ADC perpendicularis in A, cadit tota extra circulum: et angulus co~

EAB non porest dividi per lineam rectam: Angulus etiam semicirculi CAB major est,

et reliquus contingentiae EAB minor omni angulo rectilineo acuto. Primo, Dico rectam FE totam cadere extra circulum. Ad quodliber enim punctum G rectae EF, ducatur ex centro D recta DG. Quoniam igitur rectus angulus A major est acuto DGA: erit per 19. pri DG major semidiametro DA, et G extra circulum: et idem dicendum est de quovis alio puncto rectae FE, ergo tota est extra circulum. Secundo. Dico rectam AH eductana ex A utcunque infra AE, secare circulum, et non cadere intra rectam EA, et peripheriam AB. Fiat enim angulus ADI aequalis angulo EAH, per 32. pri. concurret DI necessario cum AH, v. g. in I, quia duo IAD, IDA, sunt minores duobus rectis, quia sunt aequales uni recto: nam sunt aequales duobus EAI, DAI, qui sunt aequales recto: et ideo angulus DIA rectus est, per 32. pri. ac proinde latus DA major est quam DI, per 19. pri. ergo DI non perveniet ad circumferentiam, proptereaque punctum I intra circulum existet, atque adeo recta AH circulum secabit. Quod autem DI concurrat cum AH, patet ex 11. Axi. pri. Tertio. Dico, angulum semicirculi GAB majorem esse acuto CAH, quia praeter acutum, continet angulum segmenti quod abscindit eadem AH. Quarto. Dico, angulum contingentiae contentum recta AE, et peripheria AB, minorem esse quolibet acuto EAH. Hic enim continet angulum contingentiae, et simul angulum segmenti abscissi a recta AH.

Corollarium.

[note: ] Colligitur hinc, rectam EF, si cum diametro CA, ad punctum A, constituat rectos CAE, CAF, tangare circulum in puncto A.

Propositio XVII. Problema. A dato puncto rectam lineam ducere, quae datum circulum tangat.

[note: A puncto lineam ducere qua circulum tangat. ] EX puncto A ducenda sit linea quae tangat circulum BC. Ducatur recta AD ad centrum circuli, secans circulum in B.

Deinde centro D, intervallo DA, describatur alius circulus, vel arcus AE, et ex B educatur perpendicularis ad AD, secans arcum in E, et recta DE secans circulum in C, ducaturque recta AC. Dico AC tangere circulum in C. per Coroll. praecedentis. Est enim, per 4. pri. angulus DCA aequalis angulo recto DBE. quia circa angulum D duo latera DC, DA, sunt aequalia duobus DB, DE.

Propositio XVIII. Theorema. Si circulum tangat recta quaepiam linea, a centro autem ad contactum adiungatur recta quaedam linea; quae adiuncta fuerit, ad ipsam contingentem perpendicularis erit.

[note: ] Circulum tangat AB in C. Dico, semidiametrum EC esse perpendicularem ad AB. Nam si alia ED esset perpendicularis,

esset EDC rectus, et ECD acutus, per 17 pri. et per ejusdem, ED minor semidiametro EC, punctumque D intra circulum: quod est contra hypothesin.

Propositio XIX. Theorema. Si circulum tetigerit recta quaepiam linea, a contactu autem recta linea ad angulos rectos ipsi tangenti excitetur; in excitata erit centrum circuli.

tangente AB angulum rectum ACE. Dico, CE transire per centrum E. Sienim E non est centrum: sit F. Ergo, per antecedentem, rectus FCA aequalis erit recto ECA: quod est absurdum, et contra 9. Axi. pri.

Propositio XX. Theorema. In circulo, angulus ad centrum duplex est anguli ad peripheriam, cum fuerit eadem peripheria basis angulorum.

[note: Angulus ad centrum duplex est anguli ad peripheriam. ] Angulus BDC ad centrum D, duplus est anguli BAC ad peripheriam, cum fuerit eadem peripheria BC bansis angulorum. Nam in primocasu, anguli EDC, EDB, sunt dupli angulorum DAC, DAB, quia triangula DAC, DAB, sunt isoscelia, et EDC, EDB,

sunt per 32. pri. aequales duobus internis et oppositis. In secundo casu, propter eandem causam BDC duplusest anguli BAC. In tertio casu, totus EDC duplus est totus EAC: et ablatus ECB duplus ablati EAB: ergo reliquus BDC duplus est reliqui BAC, per 22 Axi. pri

Propositio XXI. Theorema. In circulo, qui in eodem segmento sunt anguli, sunt inter se aequales.

[note: Anguli in eodem segmento aequales sunt. ] IN eodem segmento ADCEB existant anguli ADB, ACB,

AEB, et quotvis alii. Dico, eos esse inter se aequales. Nam quia unus et idem angu lus AFB ad centrum, est, per praecedentem, duplus uniuscujusque illorum: sequitur per 7 Axio. omnes esse inter se aequales.

Propositio XXII. Theorema. Quadrilaterorum in circulis descriptorum anguli, qui ex adverso, duobus rectis sunt aequales.

cujuscunque alterius, inscipti circulo, anguli oppositi sunt aequales duobus rectis. Na~anguli ACB, ADB, sunt aequales per 21. hujus: et similiter ABD, ACD, et idcirco ABD,

ADB simul, sunt aequales toti BCD: adjectoque communi BAD, duo BCD, BAD, sunt aequales tribus angulis triangu'i ABD: sed hi tres sunt aequales duobus rectis per 32 pri. ergo et illi duo. Simili modo ostenditur idem de duobus angulis ABC, ADC.

Propositio XXIII. Theorema. Super eadem recta linea, duo segmenta circulorum similia, et inaequalia, non constituentur ad easdem partes.

[note: ] VEl, segmenta similia, et super eadem basi constituta, sunt aequalia. Nam si unum alteri superponatur, sibi penitus congruunt, alioquin aliqua recta ACD, secabit

unius peripheriam in C, alterius in D, fietque angulus externus ACB major interno CDB, per 16. pri. quod est contra hypothesin: anguli enim similium segmentorum debent esse aequales, per 10. Defin. hujus.

Propositio XXIV Theorema. Super aequalibus rectis lineis, similia circulorum segmenta, sunt inter se aequalia.

[note: ] DEmonstratur eodem modo ut praecedens: sicut enim rectae mutuo superpositae sibi congruunt, ita et peripheriae; alioquin sequitur idem absurdum quodantea.

Propositio XXV. Problema. Circuli segmento dato, describere circulum cuius est segmentum.

[note: Centrum dati segmenti circuli reperire. ] VEl, Datisegmenti centrum reperire. In dato segmento quod perficere oporteat, notentur utcunque tria puncta, A, B, C, quae connectantur rectis AB, BC, et hae secentur bifariam in

D et E, et ducantur perpendiculares DF, EF; quae necessario intersecabunt se ni F. Dico, F esse centrum: nam utraque, per Coroll. 1. huius transit per centrum circuli futuri. Quod autem perpendiculares DF, EF, coeant in puncto aliquo, pater ex 11. Axio. pri. quoniam in eas incidens recta DE, facit angulos FDE, FED, minores duobus rectis, quia dividit utrumque rectorum FDB, FEB.

Corollarium.

[note: Circulum per tria puncta data describere. ] COlligitur hinc, quomodo per quaelibet tria puncta, quae non existunt in una linea recta et etiam circa quemlibet triangulum, describi debeat circulus. Vide quae diximus lib. 1. cap. 4. art. 2. praxi 5.

Propositio XXVI. Theorema. In aequalibus circulis, aequales anguli aequalibus peripheriis insistunt, sive ad centra, sive ad peripherias constituti insistant.

[note: ] SInt Primo aequales anguli ad centra G et H. Cum igitur circa easdem sint quatuor semidiametri aequales, erit, per 4. pri. basis AC aequalis basi DF. Et quia iidem anguli G et H, per 20. hujus, dupli sunt angulorum ABC, DEF, ideoque super aequalibus basibus segmenta ABC, DEF, similia: erunt, per 24. hujus

eadem segmenta aequalia, et peripheriae BAC, EDF, nec non reliquae BC, EF aequales. Secundo, si anguli B et E ponantur aequales, necesse est etiam G et H esse aequales, utpote illorum duplos, ergo etc.

Etiam in eodem circulo, aequales anguli insistunt aequalibus peripheriis, propter eandem causam.

Propositio XXVII. Theorema. In aequalibus circulis, anguli qui in aequalibus peripheriis insistunt, sunt inter se aequales, sive ad centra, sive ad peripherias constituti insistant.

[note: ] SInt arcus AC, DF aequales. Dico tam angulos ad centra G et H, quam angulos B et E ad peripheriam esse aequales. Si enim angulus AGC esset major angulo DHF,

ipsique DHF fieretae qualis AGI: arcus AI esset aequalis arcui DF, per 26. huius hoc est, ipsi AC: quod est absurdum, et contra 9. Axi. pri. Similis est ratio de angulis B et E.

Propositio XXVIII. Theorema In aequalibus circulis, aequales rectae lineae, aequales peripherias auferunt, maiorem quidem maiori, minorem autem minori.

[note: ] Sint rectae AC, DF, aequales. Dico majorem peripheriam ABC, aequalem esse majori DEF, et minorem AG mimori DF. Nam ductis AG: CG, item DH, FH,

erunt, per. 8. pri. anguli G et H aequales: quia circa ipsas sunt quatuor semidiametri aequales, et insuper basis AC ponitur aequalis basi DF: Ergo, per 26. hujus, arcus AC est aequalis arcui DF, et reliquus ABC reliquo DEF.

Propositio XXIX. Theorema. In aequalibus circulis, aequales peripherias, aequales rectae lineae subtendunt.

[note: ] QVia in iisdem circulis, per 27. huius, etiam angulus G erit aequalis angulo H, si peripheria AC sit aequalis peripheriae DF, et per 4, pri. basis AC aequalis basi DF, propter quatuor semidiametros aequales.

Propositio XXX. Problema. Datam peripheriam secare bifariam.

[note: Peripheriam datam secare bifari am. ] PEripheria ABC sit bifariam secunda. Subtendatur AC, eaque secetur bifariam in D, et erigatur perpendicularis DB, Dico, peripheriam esse in B sectam aequaliter.

Nam ductis BA, BC duo latera AD, DB, sunt aequalia duobus CD, DB, et anguli ad D aequales, quia recti: ergo per 4. pri. bases AB, CB, aequales, ergo per 28. hujus, etiam peripheriae AB, CB aequales sunt

Propositio XXXI. Theorema. In circulo angulus qui in semicirculo, rectus est: qui autem in maiore segmento quam semicirculus, minor recto; qui vero in minore segmento, maior recto. Et insuper angulus maioris segmenti recto quidem maior est, minoris autem segmenti angulus minor est recto.

[note: ] CIrculi diameter sit ADC, constituaturque in semicirculo angulus ABC, existetque angulus BAC in majore segmento CAB,

Constituatur quoque in CEB minori segmento angulus BEC. Dico primo, angulum ABC in semicirculo, esse rectum. Nam rectae DA, DB, sunt aequales, per 15. Def. pri. ergo anguli DAB, DBA, aequales sunt, per 5. pri. Item rectae DB, DC, aequales sunt, et anguli DBC, DCB, aequales, propter eandem causam. Jam sic. Angulus ADB, per 20. hujus, duplus est anguli DBC, et angul. CDB, per 32. pri. duplus est anguli DBA, ergo duo anguli ad D, sunt duplum duorum angulorum DBA, CBD, per 23. Axi. pri. Sed duo anguli ad D, aequales sunt duob rectis, per 13. pri. ergo alii duo DBA, DBC aequales sunt uni recto. Dico secundo, in majori segmento CAB, angulum BAC esse acurum. Nantrianguli ABC duo anguli ABC, BAC, sunt duobus rectis minores, per 17. pri. quia ergo prior est rectus, erit alter acutus. Dico tertio, angulum BEC in minori segmento BEC, esse obtusum. Nam in quadrilatero ABEC, oppositi anguli E et A, sunt aequales duob. rectis, per 22. hujus; cum ergo A sit acutus, ut fuit ostensum, erit E obtusus. Dico quarto, angulum mixtum ABC, ex arcu AB et recta BC, qui est angulus majoris segmenti, esse recto majorem, quia major est recto rectilineo ABC, cum praeter hunc includat angulum segmenti quod abscindit. Dico quinto, angulum CBE segmenti minoris, comprehensum recta CB, et arcu CEB, esse minorem recto, quia est major angulo CBF, qui rectus est, per 13. pri.

Vice etiam versa, segmentum circuli, in quo angulus constitutus est rectus, semicirculus est. Et angulus rectus est ad semicirculum, hoc est, si angulus ABC est rectus, et AC secta bifariam in D, de scribatur circa eam semicirculus; ipse transibit per B.

Propositio XXXII. Theorema. Si circulum tetigerit aliqua recta linea, a contactu autem producatur quaedam recta linea circulum secans: anguli quos ad contingentem facit, aequales sunt iis, qui in alternis circuli segmentis consistunt angulis.

[note: ] REcta AB tangar circulum in C, et CD secet eandem in C et D. Dico, angulo ACD aequales esse angulos in alterno segmento DEC, et angulo BCD angulos in alterno segmento CFD: Nam si CD non transit per centrum H, transeat CHE; eruntque per 18. hujus ECA, ECB, recti et ipsius erunt aequales CGE, CDE, in alter

nis segmentis, hoc est, per praecedentem, in semicirculis quos abscindit semidiameter CE. Deinde, quoniam CDE rectus est: erunt DEC, DCE, uni recto, nempe toti EGA aequales, per 32. pri. demptoque communi DCE, reliquus DEC in alterno segmento, aequalis erit reliquo ACD, ad punctum contactus C. Denique in quadrilatero EDFC, anguli oppositi DFC, CED, sunt, per 22. hujus, aequales duobus rectis, hoc est, duobus DCA, DCB: sed DCA aequalis est DEC, ergo reliquus DFC in alterno segmento, est aequalis reliquo DCB, ad contactum C.

Propositio XXXIII. Problema. Super data recta linea describere segmentum circuli, quod capiat angulum aequalem dato angulo rectilineo.

[note: Segmentum circuli describere super datar resta, quod capiat angulum datum. ] REcta data sit AB. Primo, quando angulus datus est rectus, dividatur AB bifariam in I, et

centro I, intervallo IA, vel IB describatur semicirculus, et in eo super AB constituatur angulus: qui per 31. hujus. erit rectus. Secundo, quando angulus datus est acutus, v. g. C, tunc constituatur ipsi ad punctum A aequalis BAD, et ex A super AD erigatur perpendicularis AE, et in puncto B fiat angulus ABF, aequalis angulo BAE: eruntque FA, FB aequales per. 6. pri. et F centrum circuli AGBK, et ang. AGB et in segmento AGB, erit aequalis angulo BAD, ad punctum contactus A, nam propter rectum DAE, recta DA tangit circulum, per 16. huius: Est autem BAD aequalis angulo

C; ergo etiam AGB est aequalis C. Tertio. quando angulus datus est obtusus, v. g. H; accipiatur ejus loco acutus C: descripto enim semento ACB, habebitur reliquum AKB, et angulus K erit aequalis H, quia per 22. hujus, G et K aequivalent duobus rectis, hoc est, duobus C et H; sed C est aequalis G; ergo K est aequalis H.

Propositio XXXIV. Problema. Adato circulo segmentum abscindere capiens angulum aequalem dato angulo rectilineo.

DAtus circulus sit ABC, [note: Segmentum a circulo abscindere, capiens angulum datum. ] et angulus datus D. Ducatur

tangens EAF, et angulus EAC fiat aequalis D, per praecedentem; erit que angulus ABC in alterno segmento CBA, per 32. hujus, aequalis angulo EAC, hoc est, angulo D.

Propositio XXXV. Theorema. Si in circulo duae rectae lineae sese mutuo secuerint; rect angulum comprehensum sub segmentis unius, aequale est ei, quod sub segmentis alterius comprehenditur rectangulo.

[note: ] IN circulo secent se mutuo rectae AB, CD, in E. Dico; rectangulum comprehensum sub segmentis AE, EB, aequale esse rectangulo comprehenso sub segmentis CE, ED. Nam primo, quando intersectio fit in

centro, omnia segmenta sunt semidiametri aequales, et rectangula sub segmentis sunt quadrata aequalia. Secundo, quando CD transit per centrum F, et secat AB bifaria, atque adeo ad angulos rectos in E, per 3. hujus, ut in prima figura ex tribus; tunc recta CD erit secta bifariam in F, et non bifariam in E, et per 5. sec. rectangulum CED (si CE, ED,) una cum quadrato EF, erit aequale quadrato FD, hoc est, quadraro FB, et per Pythagoricam, seu per 47. pri. quadratis BE, EF; ablatoque cominuni EF, remanebit quadratum BE, aecquale rectangulo CED: quadratum autem BE est idem cum rectangulo AEB, quoniam AE, EB, aequales sunt; ergo rectangulum sub segmentis AE, EB, est aequale rectangulo contento sub segmentis CE, ED. Tertio, quando CD transiens per centrum F, non secat bifariam AB in E, ut in secunda figura; secabitur bifariam in alio puncto G, et FG erit ad AB perpendicularis; et per 5. sec. rectangulum AEB, una cum quadrato EG, erit aequale quadrato. GB; adjectoque quadrato GF, erit idem rectangulum AEB, cum quadratis EG, GF, hoc est, cum quadrato EF, aequale quadratis GB, GF, hoc est, quadrato FB: huic autem quadrato FB, seu BD, ostendimus aequale esse rectangulum CED, una cum quadrato EF; ablato igitur quadrato EF, remanebunt rectangula CED, AEB, aequalia. Quarto, quando neutra transit per centrum E, ut in rertia figura; dico, nihilominus rectangula AEB, CED, aequaliaesse, quia utrumque debet esse aequale rectangulo GEH, per casus antecedentes, ducendo GEH per centrum F.

Propositio XXXVI. Theorema. Si extra circulum sumatur punctum aliquod, ab eoque in circulum cadant duae rectae lineae, quarum alterae quidem circulum secet, altera vero tangat; quod sub tota secante, et exterius inter punctum et convexam peripheriam assampta comprehenditur rectangulum, aequale erit ei, quod a tangente describitur, quadrato.

[note: ] EX puncto D, recta DB tangat circulum, et alia DCA eum secet, rectangulum ADC, seu AD, DC, erit aequale quadrato DB. Transeat enim primo recta DCA per centrum F. Quoniam igitur AC secta est bifariam

in F, ipsique addita CD; ideo per 6. sec. rectangulum ADC, cum quadrato FC, erit aequale quadrato FD, hoc est, per 47. pri. quadratis DB, BF: sunt autem FC, FB aequalia; ergo et reliqua, nimirum rectangulum ADC, et quidratum DB, sunt aequalia. Secundo, recta DCA non transeat per centrum F, sed rectra FE sit ad ipsam perpendicularis, atque adeo, per 3. hujus, secet ejus segmentum CA bifariam in E. Quare iterum, per 5. sec. rectangulum ADC, cum quadrato EG, erit aequale quadrato ED; adjactoque quadrato EF, erit idem rectangulum ADC, cum duobus quadratis EC, EF, hoc est, cum quadrato FC, aequale quadratis ED, EF, hoc est, quadrato FD: quadrato autem FD sunt aequalia quadrata DB, BF, et quadratum BF est aequale quadrato FC; ergo etiam reliqua erunt aequalia, nemperectangulum ADC, et quadratum DB.

Corollaria.

[note: ] Hinc colligitur I. si a puncto D ducantur plurimae rectae circulum secantes, rectangula, sub totis et sub segmentis inter punctum et convexam peripheriam interceptis, esse aequalia, quia omnia sunt eidem quadrato tangentis aequalia.

Colligitur II. Duas tangentes ex eodem puncto ductas ad circulum, esse aequales, quia earum quadrata sunt eidem rectangulo, aut aequalibus rectangulis, aqualia.

Colligitur III. Ex eodem puncto duas tantum duci posse rectas quae circulum tangant, quia quaevis alia praeter illas ducta, major est, ut perspicuum est.

Colligitur IV. Si duae rectae aequales circulo incidant ex eodem puncto extra sumpto, et unam tangat, etiam aliam tangere.

Propositio XXXVII. Theorema. Si extra circulum sumatur punctum aliquod, ab eoque in circulum cadant duae rectae lineae, quarum altera circulum secet, altera in eum incidat; sit autem, quod sub tota secante, et exterius inter punctum et convexam peripheriam assumpta, comprehenditur rectangulum, aequale ei quod ab incidente describitur, quadrato; incidens ipsae circulum tangit.

[note: ] REctangulum ADC sit aequale quadraro DB. Dico, DB tangere circulum. Ducatur enim tangens DF, et nectatur EF; quae ad DF erit, per 18. hujus, perpendicularis: et quia eidem rectangulo ADC aequalia sunt quadrata DF, DB, ilud per praecedentem, hoc ex suppositione; erunt etiam ipsa aequalia, et ideo recta; DF, DB aequales: cumque duo latera EF, FD, sint aequalia duobus EB, BD, et ED sit basis communis; erit, per 8. pri. angulus EBD aequalis recto F, et ideo per Coroll. 16 hujus, DB tanget circulum; quod erat demonstrandum.

EUCLIDIS ELEMENTUM QUARTUM

[note: ] AGit in eo Euclides de varijs inscriptionibus figurarum rectiline arum in circulo, et earundem circa circulum descriptionibus; nec non de inscriptionibus circuli in eisdem figuris, et circuli descriptionibus circa easdem,

DEFINITIONES.

[note: Figura figurae inscripta. ] Flguta rectilinea in figura rectilinea inscribi dicitur, cum singuli ejus, figurae, quae inscribitur, anguli singula latera ejus, in qua inscribitur, [note: Vide Fig. 191. Iconis. A. ] tangit. Sic figurae DEF dicitur inscribi figurae ABC, cum anguli D, E, F, attingunt latera figurae ABC.

II.

[note: Figura figurae circumscripta ] Figura circum figuram describi dicitur, cum singula ejus, quae circumscribitur, latera singulos ejus figurae angulos tetigerint, circum quam illa [note: Fig. 191. Iconis. A. ] describitur. Sic figura ABC dicitur circumscribi figurae DEF, cum latera figurae ABC attingunt angulos figurae DEF

III.

[note: Figura circulo inscripta. ] Figura rectilinea in circulo inscribi dicitur, cum singuli ejus figurae, quae; inscribitur, anguli terigerint circuli peripheriam. Sic ut rectilineum [note: Fig. 191. Icon. A. ] DEF dicatur inscriptum circulo GHI, debent anguli D, F, E, esse ad peripheriam dicti circuli.

IV.

[note: Figura circulo circumscripta. ] Figura vero rectilinea circa circulum describi dicitur, cum singula latera ejus, quae circumscribitur, circuli peripheriam tangunt. Sic ut rectilineum [note: Fig. 191. Icon. A. ] ABC dicatur circulo GHI circumscriptum, debent latera rectilinei tangere circulum.

[note: Circulus figurae inscriptus. ] Circulus in figura rectilinea inscribi dicitur, cum circuli peripheria singula latera rangit ejus figurae, cui inscribitur. Sic circulus GHI erit inscriptus [note: Fig. 191. Icon. A. ] dicto rectilineo ABC, cum ejus latera contigerit circulus.

VI.

[note: Circulus figurae circumscriptus. ] Circulus circum figuram describi dicitur, cum circuli peripheria singulos tangit ejus figurae, quam circumscribit, angulos. Sic circulus praedictus [note: Fig 191. Icon. A. ] GHI erit circumscriptus figurae DEF, cum peripheria tetigerit angulos D, E, F.

VII.

[note: Linea circulo coaptata. ] Recta linea in circulo accommodari, seu coaptari dicitur, cum ejus extrema in circuli peripheria suerint. Talis est diameter cujusque circuli, et quaevis linea segmentum circuli abscindens.

PROPOSITIONES.

Propositio I. Problema. In dato circulo rectam lineam accommodare aequalem datae rectae lineae, quae circuli diametro non sit maior.

[note: Lineam circulo accommodare aequalem lineae datae ] INcirculo ABC, accommodanda sit recta aequalis rectae D, quae tamen major non sit diametro circuli dati, alioquin non potest illi aequalis coaptari in circulo, cum diameter sit omnium maxima quae circulo coaptari possunt, per 15. tert. [note: Vide Fig. 192. Icon. A. ] Ex diametro BC abscindatur BE, aequalis D, per 3. pri. et centro B, intervallo BE, descibatur arcus secans datum circulum in A. Recta BA erit aequalis rectae BE, per 15. Defi. pri. et aequalis ipsi D, per 1. Axio. pri.

Propositio II. Problema. In dato circulo triangulum describere dato triangulo aequinagulum.

[note: Circulo inscribere triangulum alteri aequiangulum. ] SIt in daro circulo ABC describendum triangulum aequiangulum triangulo DEF. Ducatur GH tangens circulum in A, fiat que angulus GAB aequalis angulo F, et HAC aequalis angulo E. Dico. triangulum ABC esse aequiangulum triangulo DEF. Nam angulus C est, per 32. ter. aequalis angulo [note: Fig. 193. Icon. A. ] GAB, seu F, et angulus B aequalis angulo HAC, seu E; ergo per 32. pri. etiam reliquus reliquo.

Si hoc modo inscribatur circulo aequilaterum triangulum, dividetur is in tres partes aequales.

Propositio III. Problema. Circa datum circulum describere triangulum dato triangulo aequiangulum.

[note: Circulo circumscribere triangulum alteri dato aequiangulum ] CIrca circulum ABC describendum sit triangulum aequiangulum triangulo DEF. Productis lateribus fiant anguli externi D, G, H, et angulo G fiat ad centrum I aequalis angulus AIB. et angulo H aequalis BIC: eritque reliquus AIC reliquo D aequalis, quia per 2. Coroll. 15. pri. omnes [note: Fig. 194 Icon. A. ] anguli ad I, et per 13. ac 32. ejusdem, omnes externi D, G, H, sunt aequales quatuor rectis. Deinde ex A, B, C, educantur ad IA, IB, IC, tres perpendiculares; quae per Coroll. 16. ter. tangent circulum in punctis A, B, C, et per 13. Axio. pri. concurrent in punctis L, M, N (si enim duceretur recta AC, fierent duo anguli NAC, NCA, minores duobus rectis, etc.) Dico, triangulum LMN esse aequiangulum triangulo DEF. Nam omnes anguli quadrilateri AIBL sunt, per Corollar. 4. Proposit. 32. pri. aequales quatuor rectis, et duo ad A et B sunt recti; ergo reliqui ad I et L erunt aequales duobus rectis, hoc est, duobus G, et DEF; sunt autem AIB, et G, aequales ex constructione; ergo etiam L et DEF. Et eodem modo demonstratur M esse aequalem DFE, et N aequalem EDF.

Propositio IV. Problema. In dato triangulo circulum inscribere.

[note: Circulum in dato triangulo inscribere ] SIt describendus circulus in triangulo ABC. Divisis duobus angulis B et C bifariam. per 9. pri. rectis BD, CD, quae intra triangulum necessario, per 13. Axi. pri. concurrent in puncto v. g. D; ducantur ad tria latera tres perpendiculares [note: Fig. 194. Icon. A. ] DE, DF, DG. Dico, eas esse aequales, et ex D per E, F, G, posse describi circulum intra triangulum, qui tangat ejus latera. Nam anguli DEB, DBE, sunt aequales angulis DFB, DBF, uterque utrique; et latus DB, rectis E et Foppositum, est commune; ergo per 10. pri. perpendicularis DE, est aequalis perpendiculari DF. Et eodem modo probatur, rectam DG esse aequalem rectae DF. Cum igitur tres lineae, DE, DF, DG, aequales sint; circulus per E, F, G, descriptus, tanget latera trianguli, per Coroll. 16. ter.

Propositio V. Problema. Circa datum triangulum describere circulum.

[note: Circulum circa triangulum describere. ] CIrca triangulum ABC sit describendus circulus. Duo quaelibet latera, ut AB, AC, dividantur bifariam in D et E, et ducantur perpendiculares DF, EF, coeuntes in F (ubi necessario coeunt per 13. Axi. pri. ) circulus ex F, intervallo [note: Fig. 196. Icon. A. ] FA descriptus, tanget angulos A, B, C. Nam ductis rectis FA, FB, FC, erunt latera AD, DF aequalia lateribus BD, DF, et anguli ad D aequales, nempe recti; ergo, per 4. pri. bases FA, FB aequales erunt. Eâdem de causâ FA, FC aequales sunt. Cum ergo tres rectae, FA, FB, FC aequales sint, circulus ex Fad intervallum FA descriptus, transibit etiam per puncta B et C, ideoque trianguli angulos tanget.

Hoc problema reipsa non differt a proposit. 25. tertij, ubi docuimus per tria puncta data, et non in directum posita, circulum describere.

Propositio VI. Problema. In dato circulo quadratum describere.

[note: Quadratum in circulo describere ] DUcantur duae diametri AC, BD, secantes se in centro E ad angulos rectos, et jungantur AB, BC, CD, DA. Dico, quadrilaterum ABCD, esse quadratum. Nam latera EA, EB sunt aequalia [note: Fig. 197. Icon. A. ] lateribus EA, ED, per 15. Defi. pri. et anguli ad E recti; ergo, per 4. pr. bases AB, AD aequales sunt. Eâdem ratione aequales sunt CB, CD inter se, et prioribus basibus. Omnia ergo quatuor latera sunt aequalia: sunt autem et anguli A, B, C, D, recti, per 31. ter. quia sunt in semicirculo; ergo, etc.

Propositio VII. Problema. Circa datum circulum describere quadratum.

[note: Quadratum circuli circumscribere. ] DUctis diametris AC, BD, secantibus se orthogonaliter in centro E, per earum extrema ducantur tangentes FG, GI, IH, HF, erit que [note: Fig. 198 Icon. A. ] figura quadrilatera FI quadratum circa datum circulum descriptum. Nam cum anguli AEB, FBE sint recti, ex constructrione; erunt, per 28. pri. FH, AC parallelae: similiterque erunt GI, AC parallelae, ergo et FH, GI, parallelae erunt, per 30. pri. Eodem modo parallelae erunt FG, HI. Quoniam igitur parallelogrammum est ACHF; erunt, per 34. pri. latera opposita AC, FH aequalia, et anguli oppositi ACH, AFH aequales: sed ACH est rectus; ergo et AFH. Eâdem ratione ostenditur, angulos H, I, G, rectos esse, et latera HI, IG, GF aequalia esse diametris BD, AC; ac proinde aequalia inter se. Igitur FI est quadratum, cujus latera circulum tangunt, per Coroll. 16. ter.

Propositio VIII. Problema. In dato quadrato circulum describere.

[note: Quadratum circulum inscribere ] QVadrati praecedentis figurae singula latera dividantur bifariam in A, B, C, D; ductisque diametris AC, BD, secantibus se in E, describatur ex E ad inter vallum EA circulus; eritque factum quod petitur. Nam cum rotae FG, HI, aequales [note: Fig. 198. Icon. A. ] sint, et parallelae, erunt et dimidio FA, HC aequales, et parallelae; et consequenter FH, AC, quae illas conjungunt, aequales erunt, et parallelae, per 33. pri. Eâdem ratione ostendetur, GI, parallelam et aequalem esse eidem AC titemque rectas FG, HI parallelas et aequales ipsi BD. Sunt igitur parallelogramma FE, EH, IE, EG, ideo que rectae EA, EB, EC, ED, aequales sunt rectis FB, HC, DI, AG. sed hae sunt inter se aequales, cum sint dimidiae aequalium FH, HI, etc. Ergo et EA, EB, EC, ED; aequales erunt, ac propterea circulus ex E ad intervallum EA descriptus, transibit quoque per puncta B, C, D; qui cum contingat latera quadrati, per Coroll. 16. pri. descriptus erit in illo.

Propositio IX. Problema. Circa datum quadratum describere circulum.

[note: Fig. 197. Icon. A. ] IN quadrato figurae 197. ducantur diametri AC, BD, secantes se in E. Quoniam igitur latera AB, AD, trianguli ABD, aequalia sunt; erunt anguli ABD, ADB aequales, per 5. pri. est autem angulus BAD rectus; ergo ABD, ADB semirecti, per 32. pri Similiter ostenditur reliquos oinhes angulos ad A, B, C, D, esse semirectos, et ideo inter se aequales, ac proinde per 6. pri. EA, EB, EC, ED aequales inter se. Quare circulus ex E descriptus inter vallo EA, transit per B, C, D, ergo, etc.

Propositio X. Problema. Isosceles triangulum constituere, quod habeat utrumque eorum, qui ad basin sunt, angulorum, duplum reliqui.

[note: Fig. 199. Icon. A. ] QUaevis recta AB secetur, per II. sec. ita in C, ut rectangulum AB, BC aequale sit quadrato AC; et centro A, intervallo AB describatur circulus vel arcus BD, eique applicetur, per I. hujus, recta BD, aequalis rectae AC, jungaturque recta

CD; et per 5. hujus, describatur circulus circa triangulum ADC, quem recta BD tanget in D, per 37. ter. quia rectangulum AB, BC, aequale est quadrato BD, eo quod BD aequalis sit rectae AC. Et per 32. ejustdem, angulo BDC, ad contactum D, aequalis erit in alterno segmento angulus CAD; adjectoque communi CDA, erunt duo CAD, CDA, aequales toti ADB; et quia duobus CAD, CDA, aequalis est, per 32. pri. externus DCB; huic erit aequalis ADB, seu ABD; et in trangulo DCB erunt, per 6. pri. DB, DC aequales; estque DB aequalis CA; ergo CA aequalis CD, et per 5. pri. anguli CAD, CDA, aequales; et DCB, nec non ADB, vel ABD, duplus ipsius BAD; quod faciendum erat.

Propositio XI. Problema. In dato circulo pentagonum aequilaterum, et aequiangulum inscribere.

[note: Pentagogonum regulare circulo inscribere. ] IN scribatur circulo per 2. hujus, triangulum EFG, aequiangulum triangulo ABD propositionis antecedentis; et rectae FI, GH, secent, per 6. pri. bifariam angulos EFG, EGF. Hac ratione erunt quinque anguli, FEG, FGH, HGE, EFI, IFG, [note: Icon. A. Fig. 200. ] aequales; et ideo per 26. ter. quinque arcus GF, FH, HE, EI, IG, sunt aequales; et quinque rectae ipsos subtendentes sunt etiam aequales, per 29. ejusdem; et omnes quinque anguli pentagoni FGIEH, arquales, per 27. ter. quia sicut HEI, insistit tribus arcubus aequalibus HFGI, ita etiam reliqui insistunt totidem aequalibus.

Propositio XII. Problema. Circa datum circulum, pentagonum aequilaterum, et aequiangulum describere.

[note: Pentagonum regulare circulo inscribere. ] CIrculo inscribatur, per praecedentem, pentagonum regulate ABCDE, et ex centro F ducantur rectae FA, FB, FC, FD, FE; ad quas ducantur perpendiculates GH, HI, IK, KL, LG: quae quia coeunt in punctis G, H, I, K, L, per II, Axi. pri. et tangunt circulum, per Coroll. 16. ter. erit [note: Fig. 201. Icon. A. ] descriptum pentagonum GHIKL circa circulum; quod dico esse aequilaterum, et aequiangulum. Ductis enim FG, FH, FI, FK, FL, erunt, per 47. pri. quadrato FH, aequalia tam quadrata FA, AH, quam quadrata FB, BH; ideoque quadrata FA, AH, aequalia erunt quadratis FB, BH; et demptis aequalibus quadratis FA, FB, remanebunt quadrata AH, BH aequalia, ideoque et rectae AH, BH aequales: Quoniam ergo latera AF, FH aequalia sunt lateribus BF, FH, et bases AH, BH aequales; erunt, per 8. pri. anguli AFH, BFH aequales; uti et HAF, BHF: duplus igitur est angulus AFB, anguli BFH, et angulus AHB anguli BHF. Eodem modo ostenditur, angulum BFC duplum esse angulo BFI, et angulum BIC anguli BIF. Cum igitur anguli AFB, BFC sint aequales, quod insistant circumferentiis AB, BC aequalibus, utpote a rectis aequalibus AB, BC subtensis; ideo et dimidii eorum BFH, BFI aequales erunt. Quocirca cum duo anguli BFH, HBF, aequales sint duobus BFI, IBF, et latus BF illis adjacens commune; erunt per 26. pri. et latera BH, BI aequalia, et anguli BHF, BIF aequales. Dupla ergo est recta HI, rectae BI. Eâdem ratione ostenditur, rectam GH duplam esse rectae HA. Sunt autem ostensae aequales HB, HA; igitur et earum duplae HI, HG, aequales erunt. Similiter demonstratur, rectas IK, KL, LG, aequales esse cuilibetrectarum, HI, HG. AEquilaterum ergo est pentagonum GH IKL. Probo nunc aequiangulum esse. Quoniam enim ostensum est, angulos BHF, BIF aequales esse, ac dimidios angulorum BHA, BIC, erunt et eorum dupli BHA, BIC, aequales. Eâdem ratione anguli IKL, KLG, LGH, erunt aequales cuilibet angulorum BHA, BIC. AEquiangulum igitur est pentagonum GHIKL.

Propositio XIII. Problema. In dato pentagono aequilatero et aequiangulo, circulum inscribere.

[note: Circulum pentagono regulari inscribere. ] PEntagoni ABCDE anguli duo proximi BAE, ABC, dividantur bifariam, per. 9. pri. rectis AF, BF; et a puncto F, in quo concurrunt (concurrent autem necessario in aliquo puncto, per. 11. Axio. pri. ) [note: Fig. 202 Icon. A. ] ducantur rectae FC, FD, FE. Quia ergo triangulorum ABF, CBF, duo latera AB, BF, aequalia sunt duobus lateribus CB, BF; et anguli ABF, CBF ipsis contenti aequales; erunt bases AF, CF, et anguli BAF, BCF aequales. Cum igitur anguli BAE, BCD ponantur aequale, et BAF dimidium sit BAE; erit et BCF dimidium BCD. Divisus est ergo angulus BCD bifariam. Simili modo ostenditur, reliquos duos angulos CDE, DEA divisos esse bifariam. Ducantur jam ex F ad singula pentagona latera perpendiculares FG, FH, FI, FK, FL. Quoniam igitur anguli FGA, FA Gaequales sunt angulis FLA, FAL; estque latus AF subtensum uni aequalium angulorum commune; erunt per 26. pri. FG, FL aequales. Similiter ostenditur reliquas FH, FI, FK aequales esse cuilibet istarum. Circulus igitur descriptus ex F, inter vallo FG, transibit per puncta H, I, K, L. Et quoniam latera pentagoni hunc circulum tangunt, per Coroll. 16. ter. erit circulus in pentagono inscriptus.

Propositio XIV. Problema. Circa datum pentagonum aequilaterum et aequiangulum, circulum describere.

[note: Circulum pentagono regulari circumscribere. ] DIvisis duobus angulis BAE, ABC bisariam rectis AF, BF, coeuntibus in F, et ductis FC, FD, FE; ostenditur in praecedenti problemate, reliquos etiam pentagoni angulos esse divisos bifariam. Qui cum omnes sint aequales, etiam dimidii aequales erunt. Quoniam igitur in [note: Fig. 203. Icon. A. ] triangulo AFB duo anguli ad AB aequales sunt; erunt rectae FA, FB aequales, per 6. pri. Eâdem de causâ aequales sunt rectae FC, FD, FE cuilibetistarum. Circulus ergo ex F ad spatium FA descriptus, transit per reliqua puncta, atque adeo circa pentagonum describitur.

Propositio XV. Problema. In dato circulo hexagonum aequilaterum et aequiangulum inscribere.

[note: Hexagonum regulare. DUctâ diametro AGD, describatur ex centro G, intervallo DG, circulus vel arcus CGE,

Corollarium.

[note: Semidiameter est latus hexagoni regularis circulo inscriptibilis. ] COlligitur hinc, latus hexagoni circulo inscripti aequale esse esmidiametro circuli, quoniam latus CD est aequale lateri CG, et eadem est ratio de cateris. Hexagonum ergo circulo inscribitur, si semidiameter sexies in eo accommodetur.

Propositio XVI. Problema. In dato circulo, quintidecagonum regulare describere.

[note: Quintidecagonum regulare circulo inscribere. ] CIrculo inscribatur, per 2. hujus, triangulum aequilaterum ABC, et per 11. hujus, pentagonum regulare ADEFG. Qualium igitur partium 15, est tota circumferentia circuli, talium 5. erit AB, et talium 3 AG, et talium 6 AGF, atque adeo talium una erit BF. Quare si recta BF in circulo accommodetur quindecies, erit [note: Fig. 205. Icon. A. ] in eo descriptum quintidecagonum aequilaterum, et aequiangulum, singula enim latera subtendent aequales arcus et angulos.

EUCLIDIS ELEMENTUM QUINTUM.

[note: ] IN hoc et sequenti libro considerat Euclides quantitatem continuam non absolute, ut in praecedentibus, sed prout una ad aliam refertur et cum illa propertionem aliquam habet. Et hoc quidem libro agit deproportionibus in genere, non descendendo ad lineas, superficies, corpora: in sequenti vero in specie, considerando proportionem linearum, angulorum, circumferentiarum, triangulorum, etc. Sed prius pramittit sequentes.

DEFINITIONES. I.

[note: Pars aliquota quid sit. ] PArs est magnitudo magnitudinis, minor majoris, cum minor metitur majorem. Sensus est. Pars (aliquota scilicet) est, quae metitur suum totum praecise, cujusmodie est 3 respectu 9, 12, 15, etc.

II.

[note: Multiplex, et aeque multiplex quid sit. ] Multiplex autem est magnitudo magnitudinis, major minoris, cum minor metitur majorem. Sensus est: Totum quod pars aliquapracise [note: aque multiplex quid sit. ] metitur, vocatur multiplex respectu partis, cujusmo di sunt 9, 12, 15, etc. respectu 3. Quod si A 12.

respectu B 3, est tam multiplex quam est C 8 respectu D 2, dicuntur A et C aeque multiplices respectu B et D.

III.

[note: Ratio quid sit. ] Ratio est duarum magnitudinum, ejusdem, generis, mutua quaedam secundum quantitatem habitudo. Itaque quando duae quantitates ejusdem generis sunt duo numeri, duaelineae, duae superficies, duo corpora, etc. inter se comparantur secundum quantitatem prout una est altera vel major, vel minor, vel aequalis; appellatur hujusmodi comparatio, seu habitudo mutua, ratio: quando vero comparantur secundum qualitatem v. g. vel cum aliis diversi generis: non vocatur ratio.

IV.

[note: Proportio quid sit. ] Proportio vero est rationum similitudo, quando scilicet unaratio comparatur ad aliam Exempligratia, relatio 2 ad I, vel 4 ad 2, vocatur ratio, et quia eadem est relatio, 2 ad 1, quae 4 ad 2, ideo inter 2 et 1, et inter 4 et 2, dicitur esse proportio Rationem aliqui vocant proportionem, et hanc vocant proportionalitatem. In omni proportione ea quantitas quae refertur ad aliam, dicitur antecedens proportionis; ea vero ad quam alia refertur, dicitur, consequens. Quando [note: Proportio aequalitatis, et inaequalitatis: item rationalis et irrationalis. ] antecedens et consequens sunt aequates, vocatur proportio aequalitatis, quando inaequales, inaequalitatis. quando major comparatur ad minorem, est proportio majoris inaequalitatis, quando minor ad majorem, minoris in aequalitatis. Quando proportio potest numeris exprimi, vocatur rationalis, quando non potest, irrationalis. Rationalem proportionem habent duae quaevis quantitates commensurabiles: irrationalem, incommensurabiles. Commensurabiles quantitates [note: Commensurabiles et incommensurabiles quantitates. ] sunt, quae habent unam mensuram communem, id est, unam communem partem aliquotam quae utramque metitur praecise: incommensurabiles, quae non, habent. Primi generis sunt 8. et 20. nam ea metitur 4, secundi generis sunt latus quadrati et ejus diameter: nulla enim pars aliquota unius metitur praecise aliam quantitatem illarum.

[note: Magnitudines eiusdem. generis. ] Rationes habere inter se magnitudines dicuntur, seu ejusdem generis magnitudines sunt illae, quae possunt multiplicatae sese mutuo superare. Tales non junt linea et superficies, superficies et corpus, angulus rectilineus et contingentiae, finitum et infinitum. Curvum tamen et rectum habent proportionem, quia quadratae sunt lunulae, et parabolae, et quadrari potest circulus.

VI.

[note: Magnitudines habentes eandem rationem. ] In eadem ratione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam, et tertia ad quartam, cum primae et tertiae aeque multiplicia, a secundae et quartae aequemultiplicibus qualiscunque sit haec multiplicatio, utrumque ab utroque vel una deficiunt, vel una aequalia sunt, vel una excedunt, si ea sumantur, quae inter se respondent. Sensus est: tunc 4 magnitudinum, v. g. A, B, C, D, prima A ad secundam B dicitur habere eandem vel similem, vel aequalem rationem, quam habet tertia Cad quartam D, quando aquemultiplices antecedentium

A et C, v g. E et F, quaecunque illae sint, duplae, triplae, quadruplae, etc respectu quaruncunque aeque mulriplicium consequentium B et D, v g G et H, quae etiam possunt esse duplae, triplae, quadruplae, etc. habent hanc conditionem, ut E et F vel una sint aequales ipsis G et H, ut in secunda serie appositi schematis; vel una

excedant, ut in primaserie, veluna deficiant, ut in tertia serie: Hoc est, ut quando E est aequalis ipsi G, etjam F sit aequalis H: et quando E est major quam G, etiam F sit major quam H, et quando E est minor quam G, etiam F fit minor quam H. Et quamvis hoc exemplum sit propositum in numeris, hoc est, in magnitudinibus commensurabilibus, eadem tamen ratio est in incommensurabilibus.

VII.

[note: Magnitudines proportionales discrete et continue. ] Eandem proportionem habentes magnitudines, vocantur proportionales. Et quidem si sunt quatuor magnitudines, et prima ad secundam se habet, ut tertia ad quartam, dicuntur proportionales non continue, sed discrete si vero sunt tres tantum, et prima ad secundam est, ut secunda ad tertiam, dicuntur continue proportionales, quia proportio non interrumpitur. Talis est inter 2, 4, 8. nam sicut si habet 2. ad 4, ita 4 ad 8. In priori exemplo interrumpitur proportio, quia sicut se habet 3 ad 2. ita 6. ad 4. Prier est continua, posterior discreta.

VIII.

[note: ] Cum vero aequemultiplicium multiplex primae magnitudinis excesserit multiplicem secundae, at multiplex tertiae non excesserit multiplicem quartae: tunc prima ad secundam dicitut habere majorem rationem, quam tertia ad quartam. Quod si e contrario multiplex primae deficiat a multiplice secundae non autem multiplex tertiae a multiplice quartae, tunc prima ad secundam dicitur habere minorem proportionem, quam tertia ad quartam. Et satis est ut id contingat in uno tantum exemplo, etiamsi in aliis vel aequaliter sint majores, vel minores, vel aequales. Sic quia in apposito exemplo si sumatur dupta antecedentium A et C, et quia dupla

consequentium G et H, multiplex ipsius Asuperae multiplicem ipsius B, et tamen multiplex C non superat multiplicem D: ideo A ad B majorem rationem habet, quam C ad D.

IX.

[note: Proportio in tribus terminis ad minimum consistit. ] Proportio autem in tribus terminis paucissimis consistit. Hoc est, termini pro, ortionales ut minimum sunt tres, ut in poportione continua, ubi consequens terminus rationis prioris, est antecedens rationis posterioris. At in proportione discreta requiruntur ut minimum quatuor termini.

[note: Propositio duplicata triplicata etc. ] Cum tres magnitudines proportionales fuerint prima ad tertiam dicitur habere duplicatam rationem [note: triplicata etc. ] ejus, quam habet ad secundam: at cum quatuor magnitudines proportioneles fuerint, prima ad quartam dicitur habere triplicatam rationem ejus quam habet ad secundam: et sic deinceps, semper uno amplius, quamdiu proportio extiterit. Sic harum quatuor magnitudinum, 8, 4, 2, I prima ad tertiam habet duplicatam rationem eius quam, habet ad secundam, nempe duplae: et eadem prima ad quartam habet rationem triplicatam eiusdem duplae. Explicabitur melius ad Definit. 5. Libri sequentis.

XI.

[note: Homologa magnitudines. ] Homologa seu similes ratione magnitudines dieuntur antecedentes quidem antecedentibus, consequentes vero consequentibus. Sic in hac proportione discreta quatuor proportionalium, ut 6 ad 3, ita 4 ad 2, prima et tertia sunt homologae quia ambae sunt antecedentes termini; secunda item et quarta, quia ambae sunt consequentes termini dictae proportionis.

Annotatio.

[note: Argumentandi modi sex in proportionibus. ] IN sex proxime sequentibus Definitionibus explicat Euclides quosdam modos argumentandi inpoportionibus, quorum frequentissimus est usus apud Geometras, et inferists juis locis demonstrantur. Hi sunt sex. Primus dicitur ratio seu proportio alterna, sive permutata: seundus, ratio inversa, seu conversa, sive proportio e contrario: tertius, compositio rationis. seu conjuncta proportionalitas: quartus, divisio rationis, vel disjuncta proportionalitas: quintus, conversio rationis, sive eversa proportionalitas: sextus, ratio seu proportio ex aequalitate, seu aequa proportio ex aequalitate, seu aequaproportio.

XII.

[note: Ratio alterna. ] Alterna ratio, est sumptio antecedentis ad an tecedentem, et consequentis ad consequentem.

Vt quando ex eo, quod ut A ad B, ita est C ad D, infertur: ergo permutando ut A ad C, antecedens ad antecedentem: ita est B ad D, consequens ad consequentem.

XIII.

antecedentis, ad antecedentem velut ad consequentem. Vt quando ex eo quod ut A ad B, ita est C ad D, infertur: ergo convertendo, vel invertendo: vel e con trario, ut B ad A, ita est D ad C.

XIV.

[note: Rationis compositio. ] Compositio rationis, est sumptio antecedentis cum consequente ceu unius, ad ipsam consequentem.

Vt quando ex eo quod ut A ad B, ita est C ad D, infertur: ergo componendo, ut AB simul ad eandem B, ita CD simul ad eandem D.

XV.

[note: Rationis divisio. ] Divisio rationis est sumptio excessus, quo consequentem superat antecedens, ad ipsam consequentem. Vt quando ex eo quod ut tota AB ad partem CB, ita est tota DE ad partem FE, infertur: [note: Fig. 11. Icon. A. ] ergo dividendo, ut pars AC ad eandem partem CB ita reliqua pars DF ad eandem FE.

XVI.

[note: Rationis conversio. ] Conversio rationis, est sumptio antecedentis ad excessum quo superat antecedens ipsam consequentem. Vt quando ex eo quod ut tota AB ad C Bi, ta est

[note: Fig. II. Icon. A. ] tota DE ad FE, infertur: ergo ut eadem AB ad AC, ita DE ad DF.

XVII.

[note: Ratio ex aequo. ] Ex aequalitate, seu ex aequo ratio est, si plures duabus sint magnitudines, et his aliae multitudine pares, quae binae sumantur, et in eadem ratione; cum ut in primis magnitudinibus prima ad ultimam, sic et in secundis magnitudinibus prima ad ulti nam sese habuerit. Vel aliter. Ex aequalitate ratio, est sumptio extremorum per subductionem mediorum. Vt quando ex eo quod

ut est A ad B, ita D ad E, et ut est B ad C, ita E ad F, infertur, ergo ut A ad C, ita est D ad F, sumendo extremas, et subducendo seu omittendo medias Haec duplex est, ordinata, et perturbata.

XVIII.

[note: Ratio ex aequo ordinata. ] Ordinata proportio ex aequalitate est, cum fuerit, quemadmodum antecedens ad consequentem, ita antecedens ad consequentem: fuerit etjam, ut consequens ad aliud quidpiam, ita consequens ad aliud quidpiam. Hoc est, quando ordinate preceditur, et in utrisque magnitudinibus idem ordo in proportionbus servatur, ut in praecedenti exemplo, ubi quia ut A ad B, ita D ad E, et ut B ad C, ita E ad F, infertur, ergo ex aequalitate ordinata, ut A ad C, ita D ad F.

XIX.

[note: Ratio ex aequo perturbata. ] Perturbata autem proportio est, cum tribus positis magnitudinibus, et aliis quae sint his multitudine pares, ut inprimis quidem magnitudinibus se habet antecedens ad consequentem, ita in secundis magnitudinibus antecedens ad consequentem. Ut autem in primis magnitudinibus consequens ad aliud quidpiam, sic in secundis magnitudinibus aliud quidpiam ad antecedentem. Vt si quando fuerit ut A ad B, ita E ad F, et ut B ad C, ita D ad E: infertur: ergo ex aequalitate perturbata, ut A ad C, ita D ad F. Differt ergo perturbata ab ordinata, non ratione proportionis extremorum, sed intermediorum.

PROPOSITIONES.

[note: ] PRoxime sequentes 25. propositiones sunt Euclidis, reliquae sunt ab aliis additae; quas quia passim Scriptores antiqui et recentiores in suis demonstrationibus adbibent, adjicere placuit.

Propositio I. Theorema. Si fuerint quotcumque magnitudines quotcumque magnitudinum aequalium numero, singulae singularum aeque multiplices; quam multiplex est unius una magnitudo, tam multiplices erunt et omnes omnium.

[note: Fig. III. Icon. A. ] UT si sint duae magnitudines, A et B, totidem magnitudinum E et F, aeque multiplices v. g. triplae: erunt etiam A et B simul, triplae ipsarum E et F simul. Quoniam enim in A sunt tres magnitudines, C, D, G, aequales ipsi E: et in B sunt etiam tres H, I, K, aequales ipsi F, erunt CH simul ipsis EF simul, aequales semel, per 2. Axi. pri. et DI simul iisdem EF simul, aequales erunt secundo: et GK simuliisdem EF simul, aequales tertio, atque adeo quoties A continet E, vel quoties B continet F, toties AB simul continet EF simul.

Propositio II. Theorema. Si prima secundae aeque fuerit multiplex, atque tertia quartae; fuerit autem et quinta secundae aeque multiplex, atque sexta quartae; erit et composita prima cum quinta, secundae aeque multiplex, atque tertia cum sexta quartae.

[note: Fig. IV. Icon. A. ] UT si fuerit AB prima, dupla ipsius C secundae, et similiter DE tertia fuerit dupla ipsius F quartae: et praeterea BG quinta, fuerit tripla ejusdem C secundae, et similiter EH sexta, fuerit tripla ejusdem F quartae: erit tam tota composita ABG quintupla ipsius C, quam tota composita DEH quintupla ipsius F. Nam si aequalibus numero multitudinibus AB, DE, addantur aequales numero BG, EH, fiunt ABG simul aequales numero ipsis DEH simul, per 2. Axi. pri. ideoque quoties C continetur in AG, toties F continetur in DH, et consequenter quam multiplex est AG respectu C, tam multiplex est DH respectu F.

Propositio III. Theorema. Si sit prima secundae aeque multiplex, atque tertia quartae: sumantur autem aeque multiplices primae, et tertiae: erit et ex aequo, sumptarum utraque utriusque aeque multiplex, altera quidem secundae, altera autem quartae.

[note: Fig. V. Icon. A. ] UT si A prima, sit dupla secundae B, et similiter C tertia, sit dupla quartae D; sumatur vero E tripla primae A, et F tripla tertiae C: erit ex aequalitate tam E tripla secundae B, quam F tripla quartae D. Nam quia E et F sunt aeque multiplices ipsarum A et C, nempe triplex: erunt in E tres magnitudines, G, H, I, aequales ipsi A: et similiter in F erunt tres, K, L, M, aquales ipsi C. Cum igitur C et K sint aequales ipsis A et C: erunt G et K aeque multiplices ipsarum B et D per 6. Axi. pri. sint autem eandem ob causam H et L, item I et M, aeque multiplices earundem B et D, sequitur, per 2. praecedentem Proposit. G, H, I, simul, et K, L, M, simul (hoc est, E et F) esse aequo multiplices earundem B et D.

Propositio IV. Theorema. Si prima ad secundam habuerit eandem rationem, quam tertia ad quartam: etiam aeque multiplices primae et tertiae, ad aeque multiplices secundae et quartae, iuxta quamvis multiplicationem, et eandem habebunt rationem, si prout inter se respondent, ita sumptae fuerint.

[note: ] SIt ut A ad B, ita C ad D; et sint E et F aeque multiplices antecedentium A, C, et G ac H sint utcunque aeque multiplices consequetitium B, D.

Dico, esse ut E ad G, ita F ad H. Sumantur enim rursum ipsarum E, et F, quae cunque aeque

multiplices I, et K, et aliae quae cunque aeque multiplices L, M, ipsarum G, H. Ergo, per praeced. I, K, erunt aeque multiplices ipsarum A, C, et L, M, aeque multiplices ipsarum B, D, atque adeo, per Defin. 6. hujus, I, et K erunt vel una aequalesip sis L et M, vel una excedent, vel una deficient. Sunt autem I et K aeque multiplices ipsarum G et H. Ergo, per eandem Defin. 6. erit quoque ut E ad G, ita F, ad H.

Corollarium. Demonstratur ratio inversa, seu conversa.

[note: ] Colligitur hinc, et simul ex citatae Defin. 6. hujus, si quatuor quantitates fuerint proportionales, easdem et inversa seu conversa ratione esse proportionales, juxta Definitionem 13. hujus. Nam si ut A ad B, ita fuerit B ad D. et ipsarum A, C, sumantur aeque multiplices E, F, et aliae G, H, aeque multiplices quaecunque ipsarum B, D, erunt, per hic demonstrata, juxta Definit. 6 hujus, E, F. vel una aequales ipsis G, H, vel una excedent, vel una

deficient: et consequenter vice versa G et H vel una erunt aequales, vel una excedent, vel una deficient ab E, F: unde sequitur, per eadem demonstrata, et juxta eandem Definit. 6. hujus, ut B ad A, ita esse D ad C.

Propositio V. Theorema. Si magnitudo magnitudinis aeque fuerit multiplex, atque ablatae ablatae, etiam reliqua reliquae ita multiplex erit, ut tota totius.

[note: Fig. VI. Icon, A. ] SIt tota AB, totius CD ita multiplex, ut est multiplex ablata AE, ablatae CF. Dico, etiam reliquam EB, ita esse multiplicem reliquae FD, ut est toca AB totius CD. Sumatur enim GC, cujus EB sit tam multiplex, ut est AE ipsius CF, vel tota AB totius CD. Erit ergo, per 1. hujus, tora AB tam multiplex totius GF, quam est totus CD: ac proinde, per 6. Ax. Pri. GF, et CD, erunt aequales et ablata communi CE, aequales etiam erunt GC, FD, per 2. Axio. pri. ideoque EB tam erit multiplex ipsius FD, quam est multiplex ipsius FC: Sed EB tam est multiplex ipsius GC, quam est AE ipsius CF, vel tota AB totius CD, ex hypothesi: ergo eadem EB tain est multiplex ipsius FD, quam AE ipsius CF, vel tota AB totius CD.

Propositio VI. Theorema. Si duae magnitudines duarum magnitudinum sint aeque multiplices, et detractae quaedam sint earundem aeque multiplices, etiam reliquae eisdem aut aequales erunt, aut aeque ipsarum multiplices.

[note: Fig. VII. Icon. A. ] SInt AB, CD, aeque multiplices ipsarum E, F: et detractae AG, CH, sint earundem E, F aeque multiplices, Dico, reliquas GB, HD, aut esse aequales eisdem E, F, aut certe earundem aeque muliplices. Nam in AB toties est E, quoties F in CD: et similiter in AG toties est E, quoties F in CH: ablato ergo numero partium AG, et CH, remanebit E in G B toties, quoties F in HD.

Propositio VII. Theorema. Aequales magnitudines ad eandem, eandem habent rationem: Et eadem ad aequales.

[note: Fig. VIII. Icon. A. ] A et B sint aequales interse. Dico, eas ad Chabere eandem rationem: et vice versa C eandem ad aequales A et B. Sumantur enim D, E, aeque multiplices ipsarum A, B; eruntque D, E, inter se aequales, per 6. Axi. Pri. Sumatur praeterea F, utcunque multiplex ipsius C. Quoniam igitur D, E, aequales sunt, sit utraque vel minor sit quam F, vel aequalis, vel major, juxta quamcunque multiplicationem id fiat. Ergo, per Defin. 6. hujus, ut A ad C, ita est B ad idem C. Et vice versa multiplex F vel una erit aequalis multiplicibus D, E, veluna major, ideoque, per eandem Definit. 6. erit ut C ad A, ita idem C ad B.

Ex his constat, aequales magnitudines ad alias inter se aequales, eandem haberer tionem, si loco multiplicis F sumantur duae aeque multiplices.

Propositio VIII. Theorema. Inaequalium magnitudinum maior ad eandem, maiorem rationem habet, quam minor: Et eadem ad minorem, maiorem rationem habet, quam ad maiorem

[note: Fig. IX. Icon. A. ] SInt duae magnitudines inaequales AB, major, et C minor, tertia autem quaelibet D. Dico, AB habere majorem proportionem ad D, quam C ad D: Et e converso, D ad C habere majorem proportionem, quam D ad AB. Intelligatur enim in AB, magnitudo AE aequalis minori C, ut sit reliqua E B: Utriusque deinde, EB, AE, sumantur aeque multiplices GF, HG. haclege, ut GF multiplex ipsius E B, major quidem sit quam D, at HG multiplex ipsius A E, non sit minor eadem D, sed vel aequalis, vel major. Quoniam igitur duae FG, GH aeque multiplices sunt duarum BE, EA: erit. per. 1. hujus, tota FH ita multiplex torius AB, ut HG ipsius AE, hoc est, ipsius C. Capiatur quoque ipsius D multiplex IK, quae proxime major sit quam HG, nempe ad minimum dupla. Abscissa igitur LK aequali ipsi D, non erit I L major quam H G, sed vel aequalis, vel minor, alioquin IK non esset multiplex ipsius D proxime major quam HG. Et quia FG major est quam D, LK vero aequalis eidem D: erit quoque EG major quam LK: Est autem HG non minor quam IL, ergo tota FH major est quam IK. Cum itaque FH, HG, sint aeque multiplices primae AB, et tertiae AE, seu C, et IK sit multiplex ipsius D, quae est instar secundae, et quartae, seu duarum consequentium, sit que FH multiplex primae, major quam IK multiplex secundae: at GH multiplex tertiae non sit major, quam I K multiplex quartae imo minor, erit, per 8. Defin.

E contrario vero D ad C majorem rationem habet, quam ad AB, quia IK, multiplex primae D, major est quam HG multiplex secundae C, at IK. multiplex tertiae D, major non est quam FH mulplex quartae AB, sed minor; ac proinde, per eandem Definit. 8. hujus, erit major proportio D ad C, quam ad AB.

Propositio IX. Theorema. Quae ad eandem magnitudinem, habent eandem rationem, aequales sunt inter se: Et ad quas eadem eandem habet rationem, eae quoque sunt inter se aequales

[note: Fig. X. Icon. A. ] HAbeant A et B eandem rationem ad C, dico, eas esse aequales. Si enim alterutra, v. g A major esset quam B, haberet A ad C majorem proportionem, quam B ad C, per praecedentem. Habeat iterum C ad A et B eandem rationem: dico A et B esse aequales. Si enim B minor esset quam A, haberet C ad B majorem rationem quam ad A, per eandem praecedentem.

Propositio X. Theorema. Ad eandem magnitudinem rationem habentium, quae maiorem rationem habet, illa maior est: ad quam autem eadem maiorem rationem habet, illa minor est.

[note: Fig. XI. Icon. A. ] HAbeat A ad C majorem rationem, quam B ad eandem C, erit A major quam B. Habeat deinde C ad B majorem rationem, quam ad A: erit B minor quam A. Si enim in primo casu A esset aequalis B, non haberet proportionem majorem ad C, sed aequalem, per 7. hujus: si autem A in eodem casu esset minor quam B, haberet minorem rationem ad C. per 8. hujus. Insecundo vero casu, si A et B essent aequales, C ad eas haberet eandem rationem, per 9. huius: si vero B esset major quam A, haberet C minorem rationem ad ipsam, quam ad A per 8. huius.

Propositio XI. Theorema. Quae eidem sunt eaedem rationes, etiam inter se sunt eaedem.

[note: ] SIt A ad B, ut E ad F, sit praeterea C ad D, ut eadem E ad F. Dico, A ad B esse, ut C ad D. Sumantur

enim ad omnes antecedetes A, C, E, aeque multiplices quaecunque G, H, I, et ad omnes consequentes B, D, F, aliae quaecunque aeque multiplices K, L, M. Quoniam igitur est A prima ad B secundam, ut E tertia ad F quartam: sit, per Defin. 6. hujus, ut quando G est aequalis, vel major vel minor, quam K, etiam I sit aequalis, vel major, vel minor quam M. Sed si I est aequalis, vel major, vel minor, quam M, etiam C est aequalis, vel major, vel minor, quam L, per eandem Definit. 6. hujus, quia ut E ad F, ita est C ad D; Ergo quando G major est, vel minor vel aequalis ipsi K, etiam H major erit, vel aequalis ipsi L: ideoque, per dictam Defin. 6. erit A prima ad B secundam, ut C tertia ad D quartam.

Propositio XII. Theorema. Si sint magnitudines quotcumque proportionales, quemadmodum se habuerit una antecedentium ad unam consequentium, ita se habebunt omnes antecedentes ad omnes consequentes.

[note: ] SI fuerit ut A ad B, ita D ad C, et ita E ad F, etc. erunt omnes antecedentes A, C, E simul, ad omnes consequentes B, D, F simul, ut una antedens ad unam consequentem, v. g. ut A ad B.

Sumantur enim G, H, I, aeque mutiplices antecedentium, et K, L, M utcunque multiplices consequentium: erunt, per 1. pri hujus, G, H, I simul, ipsarum A, C, E simul, ita multiplices, ut G ipsius A: et praeterea K, L, M erunt ipsarum B, D, F ita multiplices, ut K ipsius B. Deinde quoniam rationes A ad B, C ad D, E ad F, sunt eaedem: ergo, per Defi. 6. hujus quando G est aequalis, vel major, vel minor quam K, eritque etiam H et I aequalis, vel major vel minor quam L et M, atque adeo quando G major est, vel minor, vel aequalis ipsi K, erunt omnes G, H, I majores, vel minores, vel aequales omnibus K, L, M: Sunt autem G, et G, H, I, aeque multiplices ipsarum A, et A, C, E, et K, ac K, L, M, aeque multiplices ipsarum B, et B, D, F, ergo, per dictam Defin. 6. ut A ad B, ita sunt omnes A, C, E, ad omnes B, D, F.

Propositio XIII. Theorema. Si primae ad secundam habuerit eandem rationem, quam tertia ad quartam; tertia vero ad quartam habuerit maiorem rationem, quam quinta ad sextam: prima quoque ad secundam habebit maiorem rationem, quam quinta ad sextam.

[note: ] SI A ad B eandem rationem habuerit, quam C ad D: at C ad D habuerit majorem, quam E ad F. etiam A ad B habebit majorem, quam E ad F. Sumptis enim aeque multiplicibus antecedentium

et consequentium, ut in praecedenti propositione, erit, per Definit. 6. hujus, G semper major quam K quando H major est quam L: at per Defin. 8. hujus, quando H major est quam L, non necessario semper I est major quam M, sed aliquando aequalis, aliquando minor, eo quod major ponatur proportio C ad D, quam E ad F: Ergo etjam I potest esse non major quam M, quando G est major quam K, et ideo, per eandem Definit. 8. major erit ratio A ad B, quam E ad F.

Propositio XIV. Theorema. Si prima ad secundam habuerit eandem rationem, quam tertia ad quartam, prima vero quam tertia maior fuerit; erit et secunda maior quam quarta. Quod si prima fuerit aequalis tertiae, erit et secunda aequalis quartae: si vero minor, et minor erit.

[note: ] SIt ut A ad B; ita C ad D. Dico, A et B vel una esse aequales ipsis C et D, vel una excedere vel una deficere. Sit enim primo A major

quam C. Ratio ergo A ad B major erit, quam C ad eandem B, per huius: Sed ut A ad B, ita est C ad D, exhypothesi: Ergo major est ratio C ad D quam C ad B. ideoque, per 10. hujus major erit B, quam D. Simili modo probantur et reliqua.

Propositio XV. Theorema. Partes cum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, si prout sibi mutuo respondent, ita sumantur.

[note: ] SInt partes A et B, et earum aeque multiplices sint C et D. Dico, A et B esse in eadem ratione cum C et D, hoc est, ita esse C ad D, ut est A ad B.

Sint enim exempli gratia in C tres partes aequales ipsi A, nimirum E, F, G, erunt ergo totidem in D aequales ipsi B, nempe H, I, K: eritque ut A ad B, ita E ad H, et F ad 1. et G ad K per Coroll. 7. hujus, et, per 12. hujus, ut E ad H, hoc est, ut A ad B, ita erunt omnes E, F, G simul, ad omnes H, I, K simul, hoc est, ita erit C ad D.

Propositio XVI. Theorema Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et vicissim proportionales erunt.

[note: ] Demonstratur hic Ratio Alterna. Sit ut A ad B, ita C ad D: Dico, vicissim, seu permutando esse quoque ut A ad C, ita B ad D: et hoc, quando omnes quatuor magnitudines sunt ejusdem generis. Sint enim E F, aeque multiplices

ipsarum A, B, et G, H, utcunque aeque multiplices ipsarum C, D. Ergo ut A ad B, ita erit, per antecedentem, E ad F, cum E et F sint pariter multiplices partium A et B, et ut C ad D, ita erit G ad H, propter eandem causam, et per 11. hujus ut E ad F, ita G ad H: et per 14. hujus, E et F erunt vel una aequales ipsis G, H, vel una excedent, vel una deficient, ideoque per Defin. 6. hujus, ut A ad C, ita erit B ad D, sunt enim E, F, aeque multiplices antecedentium, et G, H, aeque multiplices consequentium.

Propositio XVII. Theorema. Si compositae magnitudines proportionales fuerint, hae quoque divisae proportionales erunt.

[note: Fig. XII. Icon. A. ] Demonstratur hic Divisio Rationis: Sit ut AB tota, ad B partem, ita CD tora, ad partem D, Dico, dividendo esse ut A ad B, ita C ad D. Sumantur enim EF, aeque multiplices ipsarum A, B, et G, H, aeque multipli ces ipsarum, C, D, eritque per 1. huius, aggregatum E, F tam multiplex totius AB, quam est E ipsius A, et aggregatum GH tam multiplex totius CD, quam G ipsius C: Sed E et G, sunt aeque multiplices ipsarum A, C, ergo etiam EF, et GH, sunt aeque multiplices ipsarum A, C, ergo etiam EF, et GH, sunt aeque multiplices ipsarum totarum AB, CD. Sint quoque aliae I, K, earundem BD, aeque multiplices: ergo per 2. huius, etiam FI, et HK, erunt earundem B, D, aeque multiplices. Cum igitur EF, GH, sint aeque multiplices antecedentium AB, CD, et FI, HK, consequentium B, D, ergo, per Definit. 6. hujus EF, et GH, vel una erunt aequales, vel una deficient, vel una excedent multiplices FI, HK. Quando autem EF, et GH, sunt majores quam FI, HK, tunc demptis communibus F, H, remanent E, G, majores quam I et K, et quando sunt minores, vel aequales, remanent majores, vel aequales: suntque E, G, aeque multiplices ipsarum A, C, et I, K, ipsarum B, D: Ergo, per eandem Defin. 6. erit ut A ad B, ita C ad D.

Propositio XVIII. Theorema. Si divisae magnitudines sint proportionales, hae quoque compositae proportionales erunt.

[note: Fig. XIII. Icon. A. ] DEmonstratur hic Compositio Rationis. Ut AB, ad BC, ita sit DE, ad EF. Dico componendo esse quoque ut AC, ad BC, ita DF ad EF. Si enim ita non est, sit ut AC, ad BC, ita DF, ad GF minorem ipsa EF. Ergo dividendo AB ad BC, ita erit DG, ad FG. per praecedentem. Sed ita ponebatur etiam DE, ad EF, ergo ut DE, ad EF, ita erit DG, ad GF, per 11. huius. Sed prima DE, minor est quam DG, ergo tunc per 14. huius, etiam EF minor est, quam GF: quod est absur dum. Quod si ut AC, ad BC, ita esset DF, ad GF majorem ipsa GE, sequeretur EF esse majorem ipsa GF, quae ponebatur major quod aeque absurdum est.

Propositio XIX. Theorema Si quemadmodum totum ad totam, ita ablatum se habuerit ad ablatum: etiam reliquum ad reliquum se habebit, ut totum ad totum.

[note: ] UT tota AB, ad totam CD, ita sit ablata A, ad ablatam C. Dico, ita quoque esse reliquam B,

ad reliquam D, ut est tota AB, ad totam CD. Cum enim sit ut AB, ad CD, ita A ad C, erit, per 16. hujus, permutando etiam ut AB ad A; ita CD ad C, et per 17. huius

dividendo ut A ad B, ita C ad D: et iterum permutando, ut A ad C, (hoc est, AB ad CD, cum posita sit AB ad CD, ut A ad C) ita B ad D.

Corollarium. Demonstratur Conversio rationis.

[note: ] Ex his demonstratur conversio rationis. Sit enim ut AB ad B, ita CD ad D, ergo dividendo, ut A ad B, ita erit C ad D: et convertendo, ut B ad A, ita D ad C: et componendo ut B A ad A, ita D C ad C. Et hoc est argumentari per conversionem rationis.

Propositio XX. Theorema. Si sint tres magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, quae binae et in eadem ratione sumantur, ex aequo autem prima, quam tertia maior fuerit: erit et quarta, quam sexta, maior: Quod si prima tertiae fuerit aequalis, erit et quarta aequalis sextae; sin illa minor, haec quoque minor erit.

[note: ] Ut A ad B, ita sit D ad E: et ut B ad C, ita E ad F. Dico, primas A, D, vel esse una aequales extremis C, F, vel majores, vel minores.

Quando enim A et C sunt aequales, tunc A et C habent eandem proportionem ad B, per 7. huius: Sed ut A ad B, ita est, Dad E: ergo et D ad E erit, ut C ad B: At ut C ad B, ita est F ad E, per conversam rationem: et idcirco, per 9. hujus, D, et F sunt aequales. Similis est ratio in reliquis.

Propositio XXI. Theorema Si sint tres magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, quae binae et in eadem ratione sumantur, fueritque perturbata earum proportio, ex aequo autem prima quam tertia maior fuerit: erit et quarta, quam sexta, maior; Quod si prima tertiae fuerit aequalis, erit et quarta aequalis sextae: sin illa minor, haec quoque minor erit.

[note: ] Ut A ad B, ita sit E ad F: et ut B ad C, ita D ad E. Dico, iterum A et D vel una esse aequales extremis C, F, vel una majores, vel una

minores. Nam quando A major est quam C, tunc A ad B habet majorem proportionem, quam C ad B: Sed ut A ad B, ita est E ad F: et ut C ad B, ita est convertendo E ad D: Ergo E ad F habet majorem rationem, quam E ad D, et ideo, per 10. hujus D major est quam F. Eadem ratio est de reliquis casibus.

Propositio XXII. Theorema. Si sint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, quae binae et in eadem ratione sumantur; etiam ex aequalitate in eadem ratione erunt.

[note: ] DEmonstratur hic aequalitas ordinata. Sit ut A ad B, ita D ad E: et ut B ad C, ita E ad F: ita ut proportio sit ordinata, etiam in pluribus terminis. Dico, ex aequalitate ordinata, ut A ad C, ita esse D ad F. Sumantur enim ipsarum A et D aequae multiplices G et H: et ipsarum B et E aeque multiplices I et K, et ipsarum G et F aeque multiplices L et M. Ergo, per 4. hujus, ut

G ad I, ita est H ad K: et ut I ad L, ita K ad M, et per 20. hujus, primae G et H erunt una aequales, vel majores, vel minores extremis L et M, et ideo, per Defin. 6. hujus, ut A ad C, ita erit D ad F. Quod si praeterea ut C ad N, ita fuerit F ad O, sequetur primo per demonstrationem factam ut A ad C, ita esse D ad F: et quia ut A ad C, ita est C ad F, et ut C ad N, ita F ad O, Ergo, per eandem 20. hujus, erit iterum ut A ad N, ita D ad O, etc.

Propositio XXIII. Theorema. Si sint tres magnitudines, aliaeque ipsis aequales numero, quae binae in eadem ratione suniantur, fuerit autem perturbata earum proportio; etiam ex aequalitate in eadem ratione erunt.

[note: ] DEmonstratur hic AEqualitas perturbata. Ut A ad B, ita sit E ad F: et ut B ad C, ita sit perturbate D ad E. Dico, ex aequitate perturbata, ut A ad C, ita esse D ad F. Sint enim G, H, I, aeque multiplices trium A, B, D, et K, L, M, aeque [?] reliquarum. Ergo, per 15. hujus, ut A ad B, ita est G ad H, et ut E ad F, ita L ad M: Sed ut A ad B, ita est E ad F: Ergo ut G ad H, ita

est L ad M. Item, per 4. hujus, ut H ad K, ita est I ad L. Cum itaque ut G ad H, ita sit L ad M: et ut H ad K, ita I ad L: ergo, per 12. hujus, G et I vel una erunt aequales ipsis K et M, vel majores, vel minores: et, per Defin 6. hujus, ut A ad C, ita erit D ad F. Et sic ut C ad N, ita foret alia O ad D, etc. sequeretur eodem modo, ut A ad N, ita esse O ad F.

Propositio XXIV. Theorema. Si prima ad secundam habuerit eandem rationem, quam tertia ad quartam; habuerit autem et quinta ad secundam eandem rationem, quam sexta ad quartam: etiam composita prima cum quinta eandem rationem habebit ad secundam, quam tertia cum sexta ad quartam.

[note: ] Ut A ad B, ita sit C ad D: et ut E ad B, ita F ad D. Dico, ut AE simul ad B, ita C F simul

ad D. Nam convertendo erit quoque ut B ad E, ita D ad F, et sic A, B, E et totidem C, D, F, erunt ordinate proportionales. Quare ut A ad E,

itaerit, per 22. hujus C ad F; et per 18. hujus, componendo ut AE ad E, ita CF ad F: et sic erunt iterum tres, AE, E, et B, et tres C F, E, et D, ordinate proportionales, iterumque per 22. hujus, ut A E ad B, ita erit CF ad D.

Propositio XXV. Theorema. Si quatuor magnitudines proportionales fuerint; maxima et minima reliquis duabus maiores erunt.

[note: Fig. XIV. Icon. A. ] SIt AB ad CD, ut E ad F, sitque A B maxima, F minima. Dico, A B et F simul, esse majores, quam CD et E simul. Auserantur enim AG, CH, aequales ipsis E, F: erit AG ad CH, ut E ad F, hoc est, ut AB ad CD. Quare cum sit tota AB ad totam CD, ut ablata A G ad ablatam CH: erit quoque per. 19. hujus, reliqua G B ad reliquam HD, ut tota A B ad totam CD: Sed AB ponitur major quam CD: ergo, per 14. hujus, GB erit major quam HD. Jam sic. AG, et E, sunt aequales: ergo si ipsis addantur aequales F et CH, fient AG et F simul aequales ipsis E et CH simul per 2. Axio pri. et additis inaequalibus GB et et HD, fient AB et F simul majores, quam E et CD simul, per 4. Axio. pri.

Sequuntur Propositiones ab aliis additae.

Propositio XXVI. Theorema. Si prima ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam tertia ad quartam, habebit convertendo secunda ad primam minorem proportionem, quam quarta ad tertiam.

[note: ] Ratio A ad B sit major ratione C ad D. Dico, convertendo B ad A minorem habere

proportionem, quam D ad C. Nam ut C ad D, ita sit E ad B: eritque ratio A ad B major ratione E ad B, ideoque, per 10. hujus, A major erit quam E: et per 8 hujus, ratio B ad A minor erit quam B ad E, hoc est, quam C ad D.

Propositio XXVII. Theorema. Si prima ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam tertia ad quartam; habebit quoque vicissim prima ad tertiam maiorem proportionem, quam secunda ad quartam.

[note: ] RAtio A ad B sit, ut antea, major ratione C ad D. Dico, permutando A ad C rationem

majorem habere, quam B ad D. Sit enim iterum ut C ad D, ita E ad B: eritque, ut in praecedente, A major quam E, quare major erit ratio A ad G, quam E ad D: Sed ut F ad C, ita est permutando B ad D (cum posita sic E ad B, ut C ad D;) ergo major est proportio A ad C, quam B ad D.

Propositio XXVIII. Theorema. Si prima ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam tertia ad quartam; habebit quoque composita prima cum secunda, ad secundam maiorem proportionem, quam composita tertia cum quarta, ad quartam.

[note: ] RAtio A ad B major sit, quam C ad D. Dico, componendo A B ad B majorem esse, C D

ad D. Nam ut C ad D, ita sit E ad B; eritque iterum A major quam E, et AB major quam EB; et per 8 hujus, ratio AB ad B, major ratione EB ad B, hoc est ratione C D ad D, quia componendo ut E B ad B, ita est C D ad D.

Propositio XXIX. Theorema. Si composita prima cum secunda ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam composita tertia cum quart, ad quartam; habebit quoque dividendo prima ad secundam maiorem proportionem, quam tertia ad quartam.

[note: ] RAtio AB ad B sit major ratione CD ad D. Dico, dividendo A ad B majorem esse, quam C ad D. Nam ut CD ad D, ita sit E B ad

E: eritque AB major quam E B, et dempta communi B, erit A major quam E, et per 8. hujus, ratio A ad B, major ratione E ad B, hoc est, C ad D, quia dividendo ut C ad D, ita est E ad B.

Propositio XXX. Theorema. Si composita prima cum secunda ad secundam habuerit maiorem proportionem, quam composita tertia cum quarta ad quartam; habebit per conversionem rationis, prima cum secunda ad primam, minorem proportionem, quam tertia cum quarta, ad tertiam.

[note: ] RAtio AB ad B sit major ratione CD ad D. Dico, per conversionem rationis, AB ad A

minorem esse, quam CD ad D. Nam dividendo per 29. hujus, erit quoque A ad B major, quam C ad D: et convertendo per 26. hujus, B ad A minor, quam D ad C: et componendo, per 28. huius; AB ad A minor, quam C D ad C.

Propositio XXXI. Theorema. Si sint tres magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, sitque maior proportio primae priorum ad secundam, quam primae posteriorum ad secundam, item secundae priorum ad tertiam maior, quam secundae posteriorum ad tertiam: Erit quoque ex aequalitate maior proportio primae priorum ad tertiam quam primae posteriorum ad tertiam.

[note: ] RAtio A ad B sit major quam D ad E, et B ad C major quam E ad F. Dico, ex aequalitate ordinata A ad C majorem habere proportionem, quam D ad F. Nam ut E ad F, ita sit G ad C: et ut D ad E, ita H ad C. Quoniam igitur B ad C major est quam E ad F, seu G ad C: erit B major G, et ratio A ad G major ratione A ad B: Est

autem ratio A ad B major ratione D ad E, hoc est, H ad G: ergo A ad G major est ratione H ad G: et A major quam H. Quare ratio A ad C major est ratio ne Had C: ut autem H ad C, ita et ex aequalitate ordinata D ad F: ergo etjam A ad C major est ratione D ad F.

Idem verum est in pluribus terminis: possunt enim reduci ad tres, sicut factum est in Proposit. 22.

Propositio XXXII. Theorema. Si sint tres magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, sitque maior proportio primae priorum ad secundam, quam secundae posteriorum ad tertiam: item secundae priorum ad tertiam maior, quam primae posteriorum ad secundam; erit quoque aequalitate maior proportio primae priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam.

MAjor sit ratio A ad B, quam E ad F: et B ad C major quam D ad E. Dico, ex aequalitate perturbata, rationem A ad C majorem esse ratione D ad F. Nam ut D ad E, ita sit G ad C:

et H ad G, ut E ad F: eritque ratio B ad C major ratione D ad E, hoc est, G ad C; ideo que B major erit quam G: et ratio H ad G major quam A ad B, per 8 hujus: Sed ratio A ad B major ponitur quam E ad F, seu H ad G: ergo A ad G multo est major ratione H ad G, et A major quam H, et ideo ratio B ad C minor ratione H ad C: Sed ut A ad C, ita est ex aequalitate Dad F: ergo A ad C major est ratione D ad F.

Propositio XXXIII. Theorema. Si fuerit maior proportio totius ad totum, quam ablati ad ablatum; erit et reliqui ad reliquam maior proportio, quam totius ad tetum.

RAtio totius AB ad totam CD, major sit ratione ablatâ A, ad ablatum C. Dico, rationem reliquae B, ad reliquam D, majorem esse ratione totius ad totam. Nam quia major est

ratio AB ad CD, quam A ad C: erit permutando, per 27. hujus, major ratio AB ad A, quam CD ad C: et per conversionem rationis, hoc est, per 30. hujus, ratio AB ad B minor erit ratione CD ad D; iterumque permutando, ratio AB ad CD minor ratione B ad D.

Propositio XXXIV. Theorema. Si sint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis aequales numero, sitque maior proportio primae priorum ad primam posteriorum, quam secundae ad secundam: et haec maior, quam tertiae ad tertiam, et sic deinceps: habebunt omnes priores simul ad omnes posteriores simul, maiorem proportionem, quam ultima priorum ad ultimam posteriorum. item maiorem, quam omnes priores, relicta [orig: relictâ] prima [orig: primâ] ad omnes posteriores, relicta quoque prima, minorem autem, quam prima priorum ad primam posteriorum.

SInt quotcunque magnitudines A, B, C, et aliae D, E, F, ipsis aequales, sitque major ratio A ad D, quam B ad E: item B ad E major, quam C ad F. Dico, rationem omnium ABC ad omnes

DEF majorem esse ratione C ad F, et BC ad EF; minorem vero proportione A ad D. Cum enimmajor sit A ad D, quam B ad E, erit, per 27. hujus permutando major A ad B, quam D ad E, et componendo, per 28. hujus, AB ad B major, quam DE ad E, et iterum permutando, major AB ad DE, quam ablatae B ad ablatam E, Quare, per 33. hujus, reliquae ad reliquam D major erit, quam AB ad DE. Eademque ratione erit B ad E major, quam totius BC ad totam EF, multo igitur major erit A ad D, quam BC totius ad totam EF: et permutando A, ad BC major, quam D ad EF et comporrendo ABC, ad BC major, quam DEF: ad EF, et rursus permutando omnium AB, C ad omnes DEF major, quam BC ad EF, quod est primuim.

Cumque ABC ad DEF sit major, quam BC ad EF, erit, per, 33. hujus, reliqua A ad reliquam D major, quam totius ABC ad totam DEF: quod est secundum.

Rursus ex eo quod ratio B ad E major est, quam C ad F, sequitur permutando B ad C esse majorem, quam E ad F: et componendo totius BC ad C majorem, quam totius EF ad F, et rursus permutando BC ad EF majorem, quam C ad F. Est autem ratio ABC ad DEF major, quam BC ad EF, ut ostensum fuit; multo ergo major erit A, B, C, ad D, E, F, quam C ad F, quod est tertium.

EUCLIDIS ELEMENTUM SEXTUM.

[note: ] HActenus egit Euclides de proportionibus in genere, nunc de iisdem in specie agit, comparando quantitates similes cum similibus, ut angulos cum angulis, lineas cum lineis, etc. Liber est utilissimus et summe necessarius protota Mathesi: Praemittit autem more solito

DEFINITIONES.

[note: Similes figurae. ] SImiles figurae rectilinae sunt, quae et angulos singulos singulis aequales habent, atque etiam latera, quae circum angulos aequales, proportionalia. Duae itaque conditiones requiruntur ut duo triangula v. g. dicantur similia, quarum unâ deficiente, jam non sunt similia. Exempla dabuntur insequentibus.

II.

[note: Reciprocae figurae. ] Reciprocae autem figurae sunt, cum in utraque figura antecedentes et consequentes rationum termini fuerint. Vt si in parallelogrammis A et [note: Vide Fig. 20. Icon. B. ] B, ita sit CD ad DE, sicut DF ad DG; ubi antecedentia sunt CD, DF, consequentia DE, DG, scilicet ut iusque proportionis unum antecedens in una figura, a terum in altera; et similite in unum consequens in una, alterum in altera.

III.

[note: Linea extrema et media ratione secta. ] Secundum extremam, et mediam rationem recta linea secta esse dicitur, cum ut tota ad majus segmentum, ita majus ad minus se habuerit. Sic linea AB secta erit mediâ et extremâ ratione,

cum fuerit ut AB ad AC, ita AC ad CB, hoc est, cum tota AB cum partibus AC, CB, fuerint con tinue proportionales. Haec proportio estfrequentissisima, et praestantissima, ideoque divina ab aliquibus dicitur.

IV.

[note: Altitudo figurarum. ] Altitudo cujusque figurae, est linea perpendicularis a vertice ad basin deducta. Exempla dabuntur passim in sequentibus, maxime Propositione I. Tunc autem habent eandem altitudinem, id est, dictas perpendiculares aequales, quando sunt inter easdem parallelas, ut citato loco apparebit.

[note: Ratio ex rationibus composita. ] Ratio ex rationibus componi dicitur, cum rationum quantitates inter se multiplicatae, aliquam effecerint rationem. Hanc Clavius fuse, Grienbergerus breviter ita explicat. Ratio duarum magnitudinum dicitur comp sita ex rot rationibus, quot inter easdem continuantur, hoc est, si inter A, C, intercedat B, proportion A ad C dicitur composita ex ratione A ad B, et B ad C; sive hujusmodi rationes interjectae sint eaedem, seu similes, sive

non. Eodem modo ratio A ad D componi dicitur ex ration bus A ad B, B ad C, C ad D, propterea quod dictae rationes interterminos A, D, continuentur per interjectos terminos B, C.

[note: Ratio duplicata, triplicata etc. ] Quando omnes proportiones interjectae sunt eaedem, seu similes; tunc ratio A ad C dicitur per compendium esse duplicata proportionis A ad B, eo quod eadem ratio sit b scont nuata per communem terminum B, et A ad D dicitur triplicata ejusdem, quia ter continuatur per terminos B, C. Si ulterius procedatur, consurgat ratio quadruplicata, etc.

Duae sequentes Definitiones adduntur ab aliis, quia earum usus frequenter occurrit.

VI.

[note: Parallelogrammum deficiens aut excedens parallelogrammum. ] Parallelogrammum secundum aliquam rectam lineam applicatum, defiecre dicitur parallelogrammo, quando non occupat totam lineam; excedere vero, quando occupant majorem lineam quam sit ea, secundum quam applicatur. Sic parallelogrammum AD, cum non occupet totam lineam AB, sicut occupat parallelog ammum AF, dicitur deficere, vei deficiens [note: Fig. 206. Icon. B. ] parallelogrammo CF, parallelogrammum vero AF, quod occupat AB majorem AC, dicitur excedere, vel excedens parallelogrammo CF.

VII.

[note: Simile, arcus circulorum. ] Similes arcus circulorum dicuntur, qui eandem habent ad totas suas circumferentias rationem. Vt si ambo sint suae circumferentiae pars tertia, quarta, etc. Hinc omnium circulorum quadrantes sunt similes, sed non aquales.

PROPOSITIONES.

SEquentium propositionum demonstrationes brevins, clarius, ac solidius Grienbergerus, quam alii, ideo ejus plerumque methodum retinebimus.

Propositio I. Theorema. Triangula et parallelogramma, quorum eadem fuerit altitudo, ita se habet inter se, ut bases.

TRiangula ABC, DEF, item parallelogramma [note: Fig. 207. Icon. B. ] C G, EH, si sunt ejusdem altitudinis; sunt inter se ut basis BC, ad basin EF. Collocentur enim inter easdem parallelas GH, LN, et sumantur BI, IK, KL aequales basi BC, et FM, MN aequales basi EF (hoc est, BL, FN, sint dictarum basium multiplices) nectanturque AI, AK, AL, item DM, DN. Erunt triangula ABI, AIK, AKL, per 38. pri. aequalia ipsil ABC, et simul tam multiplicia ejusdem, quam est BL multiplex basis BC. Similiter triangular DFM, DMN, tam erunt multiplicia trianguli DEF, quam est basis FN basi EF. Quando autem BL aequalis est FN, semper triangulum ABL est aequale triangulo DFN; et quando BL major est quam FN, etiam triangulum est majus triangulo; et quando minus, minus. Ergo, per 6. Definit. quin. ut BC ad triangulum DEF.

Parallelogramma autem CG, EH, sunt dupla triangulorum ABC, DEF. per 41. pri. Ergo per 15. quin ut triangulum ad triangulum, hoc est, basis BC ad basin EF, ita est parallelogrammum, ad parallelogrammum.

Ab hac propositione dependet totus fere sextus Liber, imo quidquid fere uspiam de figuris, planis ac solidis etiam, per proportiones demonstratur.

Propositio II. Theorema. Si ad unum trianguli latus parallela ducta fuerit recta quaedam linea; haec proportionaliter secabit ipsius trianguli latera. Et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint; quae ad sectiones adiuncta fuerit recta linea, erit ad reliquum ipsius trianguli latus parallela.

[note: Fig. 208. Icon. B. ] IN triangulo ABC, recta DE sit parallela lateri BC Dico, latera AB, AC secta esse propor tionaliter in D et E: Et quando secta sunt proportionaliter in dictis punctis: rectam DE esse parallelam BC. Ductae enim BE, CD, faciunt, per 37. pri. aequalia triangula DEB, EDC; et ideo,

per 7. quin. habent eandem rationem ad triangulum ADE: Sed ratio DEB ad ADE, est ut basis BD ad basin DA, per praecedentem (quia sunt ejusdem altitudinis, ut patet, si per C ducatur parallela lateri BA:) et ratio EDC ad ADE, est ut basis CE ad AE, per eandem praeced. Ergo, per 11. quin. ut DB ad DA, ita est CE ad EA.

Vice versa si ut AD ad DB, ita sit AE ad EC, habebit triangulum ADE ad triangula DEB, EDC, rationem eandem; et idcirco eadem triangula DEB, EDC, erunt aequalia, et, per 39. pri. DE, BC parallelae.

Propositio III. Theorema. Si trianguli angulus bifariam sectus fuerit, secans autem angulum recta linea secuerit et basin, basis segmenta eandem habebunt rationem, quam reliqua ipsius trianguli latera: Et si basis segmenta eandem habeant rationem, quam reliqua ipsius trianguli latera; recta linea quae a vertice ad sectionem producitur, bifariam secat trianguli ipsius angulum.

[note: Fig. 209. Icon. B. ] REcta AD secer angulum BAC bifariam. Dico, ut AB ad AC, ita esse segmentum BD ad DC, Et vice versa, si ut AB ad AC, ita sit BD ad DC: dico, AD secare angulum BAC bifariam, Ducatur enim BE parallela ipsi DA, et CA producta occurrat illi in E. Ergo, per 29. pri. anguli AEB, ABE sunt aequales aequalibus DAC, DAB, et ideo, per 6. pri. AB, AE sunt aequales: Ut autem AE ad AC, ita est, per praecedentem, BD ad DC, quia DA est parallela lateri BE, Ergo etiam ut AB ad AC, ita est BD ad DC, per II. quinti.

Deinde suppositâ eâdem constructione, si sit ut BD ad DC, ita AB ad AC, cum per 2. hujus, etiam AE ad AC sit ut BD ad DC, erit quoque ut AB ad AC, ita AE ad eandem AC, et idcirco AB, AE sunt aequales: et anguli ad basin BE aequales: Est autem propter parallelas AD, EB, angulus DAC aequalis angulo AEB, et angulus DAB ipsi ABE. ergo etiam istisunt aequales, ac proinde angulus BAC divisus est bifariam.

Propositio IV. Theorema. Aequiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera, quae circa aequales angulos; et homologa sunt latera, quae aequalibus angulis subtenduntur.

[note: Fig. 210. Icon. B. ] TRiangula ABC, DCE, sint aequiangula. Dico, circa aequales angulos A, D, latera AB, AC, esse proportionalia lateribus DC, DE: item circa aequales B, C, letera AB, BC, proportionalia lateribus DC, CE etc. et homologa subtendere angulos aequales, id est. antecedentia et consequentia omnia respicere aequales angulos. Constituantur enim latera BC, CE, adjacentia aequalib. angulis, secundum eandem lineam rectam BCE, ita ut angulus ABC sit aequalis angulo DCE, et ACB ipsi DEC, sic enim erunt AB, DC parallelae, uti et AC, DE, per 28 pri. et ED, BA, protractae constituent parallelogrammum CF; eritque AC aequalis FD, et AF aequalis ipsi CD, per 34. pri. et per 2. hujus, erit ut AB ad AF, hoc est, ad CD, ita BC ad CE; et permutando, per 16. quin. ut AB ad BC, ita CD ad CE: item erit ut BC ad CE; ita FD, seu AC ad DE, et iterum permutando ut BC ad CA, ita CE ad ED: denique ex eo quod ut AB ad BC, ita est DC ad CE; et ut BC ad CA, ita CE ad ED: sequitur ex aequalitate ordinata, per 22. qnin. ut BA ad AC, ita esse CD ad DE. Atque ex hac ipsa demonstratione est manifestum, tam antecedentes terminos, quam consequentes, hoc est, homologos, opponi angulis aequalib us.

Corollarium.

Colligitur hinc parallelam uni lateri trianguli ductam, abscindere ex toto triangulo triangulum simile. Sic recta DC parallela lateri FB abscindit triangulum DEC simile triangulo FEB, et recta AC parallela lateri FE, abscindit triangulum ABC simile triangulo FBE, ut consideranti patet.

Propositio V. Theorema. Si duo triangula habeant latera proportionalia, aequiangula erunt, et aequales habebunt eos angulos, sub quibus et homologa latera subtenduntur.

[note: Fig. 211. Icon. B. ] TRiangula ABC, DEF, habeant latera lateribus proportionalia, sitque AB ad BC, ut DE ad EF, etc. Dico, triangula esse aequiangula, et angulum A esse aequalem angulo D, etc. lateraque homologa opponi aequalibus angulis. Fiant enim angulis B, C, aequales anguli GEF, GFE, eritque per 32. pri. reliquus G aequalis reliquo A, et per 4. hujus, erunt circa aequales angulos latera lateribus proportionalia, hoc est, ut AB ad BC, ita erit GE ad EF: Ut autem AB ad BC, ita ponitur esse DE ad EF: Ergo etiam ut GE ad EF, ita erit DE ad eandem EF, per II. quin. et ideo, per 9. quin. GE, DE erunt aequales. Eodem modo demonstratur GF aequalis DF, atque ita erunt duo latera GE, GF, aequalia duobus lateribus DE, DF, estque basis EF communis; Ergo, per 8. pri. non solum angulus D erit aequalis angulo G, sed etiam reliqui reliquis: Et quidem illi erunt aequales, quibus homologa latera opponuntur. Et quia GEF est aequiangulum ABC, erunt etiam ABC, DEF, dicto modo aequiangula, per I. Axio. pri.

Propositio VI. Theorema. Si duo triangula unum angulum uni angulo aequalem, et circum aequales angulos latera proportionalia habuerint: aequiangula erunt triangula, aequalesque habebunt angulos sub quibus homologa latera subtenduntur.

[note: Fig. 211. Icon. B. ] CIrca aequales angulos B, et DEF praecedentis figurae, sint latera proportionalia. Dico, triangula esse aequiangula, et angulis aequalibus subtendi latera homologa. Fiat enim iterum triangulum GEF aequiangulum triangulo ABC:

eritque iterum GE aequalis DE: et quia circa aequales angulos DEF, GEF, latera DE, EF sunt aequalia lateribus, GE, EF, erunt triangula DEF, GEF, penitus aequalia, per 4. pri. Sed GEF est ipsi ABC aequiangulum, ergo et DEF, et ideo, per 4. hujus, habebunt etiam reliqua latera circa reliquos angulos proportionalia, et aequalibus angulis homologa latera erunt subrensa,

Propositio VII. Theorema. Si duo triangula unum angulum uni angulo aequalem, circum autem alios angulos latera proportionalia habeant, reliquorum vero simul utrumque aut minorem, aut non minorem recto: aequiangula erunt triangula, aequales habebunt eos angulos, circa quos proportionalia sunt latera.

[note: Fig. 212. Icon. B. ] IN triangulis ABC, DEF, sint aequales anguli A, D et latera AC, CB proportionalia lateribus DF, FE, et reliqui anguli B, E sint minores, vel non minores recto. Dico, triangula esse aequiangula, etc. Sint enim primo anguli E, B, minores recto, et si fieri potest, angulus ACB, sit major angulo F. Facto igitur angulo ACG aequali ipsi F, erunt duo triangula, ACG, DEF aequiangula, ut pater et per. 4. hujus, erit ut DF ad FE, ita AC ad CG: Sed ut DF ad FE, ita ponitur AC ad CB; Ergo ut AC ad CG, ita est eadem AC ad CB, et propterea CG. CB, erunt per 9. quin. aequales et anguli CBG, CGB aequales per 5. pri. Est autem B acutus, sicut est E, ergo etiam CGB, reliquus vero CGA, quem ostendimus aequalen acuto E, erit obtusus, ut colligitur ex 13. pri quod est absurdum.

Sint secundo anguli E, B, recto non minores: erit ergo ut prius angulus B angulo CGB aequalis, ideoque et CGB recto non minor erit, sicque duo anguli CBG, CGB in triangulo eodem erunt non minores duobus rectis, sed vel majores, vel aequales duobus rectis: quod est absurdum, et contra 17. pri. Quare necesse est angulum ACB aequalem esse angulo F, et per praecedentem, triangula esse aequiangula, et similia.

Propositio VIII. Theorema. Si in triangulo rectangulo, ab angulo recto in basin perpendicularis ducta sit; quae ad perpendicularem triangula, tum toti triangulo, tum ipsa inter se similia sunt.

[note: Fig. 213. Icon. B. ] IN triangulo ABC sit angulus A rectus, et AD ad basin perpendicularis. Dico, triangular ADB, ADC, esse similia toti, et inter se. Est enim rectus ADB, aequalis recto BAC, et B est communis: ergo reliquus reliquo aequalis, per 32. pri. Similiter ADC aequalis est BAC, et C communis: ergo reliqui aequales. Tandem ADB, ADC sunt recti, BAD, ACD eaquales: uti et ABD, CAD, per antea demonstrata: ergo duo triangular sunt inter se similia.

Corollarium.

COlligitur, hinc, perpendicularem AD asse mediam proportionalem inter duo basic segmenta BD, DC, quia ut BD ad DA, ita DA ad DC, item latus utrumlibet angulum rectum ambiens, esse medium proportionale inter totam basin, et illud segmentum basic, quod dicto lateri adjacet: nam ut CB ad B A, ita BA ad BD, item ut BC ad CA, ita CA ad CD.

Propositio IX. Problema. A data recta linea imperatam partem auferre.

[note: Lineam rectam in quotlibet partes dividere. ] AData recta AB, sit auferenda pars tertia. Ex A ducatur recta AC, faciens angulum utcunque CAB, et in illa sumantur tres partes aequales AD, DE, EF. Ductâ igitur FB, et DG [note: Fig. 214. Icon. B. ] ipsi FB parallelâ, erit AG pars tertia, per 2. hujus, quia ut AF ad AD, ita est AB ad AG. Quod si duae tertiae sint detrahendae ex AB; ducatur EH parallela ipsi FB, erunt AH duae tertiae totius AB, propter eandem rationem.

Propositio X. Problema. Datam rectam lineam insectam similiter secare, ut data altera recta secta fuerit.

[note: Lineam rectam secare similiter ut alia secta est. ] REcta AB insecta, sit secanda similiter ut AC in punctis D, et E secta est. Conjungantur AB, AC, ut faciant angulum quemcunque CAB, et connectatur recta C B, eique prallelae [note: Fig. 215. Icon. B. ] ducantur EG, DF, eritque secta AB in punctis F et G, similiter ut AC in punctis D et E. Nam, per 2. hujus, ut AD ad DE, ita AF ad FG: et ducta alia DH, parallela ipsi AB, ut DE ad E C, ita DI ad IH, hoc est, ita FG ad GB, quia FG est aequalis ipsi DI, per 34 pri.

Propositio XI. Problema. Duabus datis rectis lineis, tertiam proportionalem adinvenire.

[note: Lineis duabus datis, tertiam proportionalem invenire. ] DUabus rectis AB, AC, sit tertia proportionalis adjungenda, hoc est, continuanda sit data ratio AB ad AC. Disponantur ita, ut faciant angulum A quemcunque; et producta AB, sumatur ipsi AC aequalis BD: ductaque CB, [note: Fig. 216. Icon. B. ] agatur ipsi parallela DE. Erit CE tertia proportionalis, quia ut AB ad BD, hoc est, ad AC, ita est, per 2. hujus, AC ad CE.

Propositio XII. Theorema. Tribus datis rectis lineis, quartam proportionalem invenire.

[note: Lineis tribus datis quartam proportionalem invenire. ] SInt datae tres AB, BC, AD. Primae duae A B, BC disponantur secundum lineam rectam AC, tertia constituat cum ea angulum A quem cunque [note: Fig. 217. Icon. B. ] et ducta recta BD, productaque AD in F, ducatur

CE parallela ipsi BD. Erit DE quarta proportionalis, quia ut AB ad BC, ita AD ad DE, per 2. huius.

Propositio XIII. Problema. Duabus datis rectis lineis, mediam proportionalem adinvenire.

[note: Lineis duabus datis, mediam proportionalem invenire. ] DAtae rectae AB, BC disponantur secundum lineam rectam AC; quâ divisae bifariam in E describatur ex E semicirculus, et erigatur perpendicularis BD. Haec erit. per Coroll. 8 hujus, [note: Fig. 218. Icon. B. ] media proportionales inter AB, BC.

Propositio XIV. Theorema. Aequalium et unum uni habentium aequalem angulum, parallelogrammorum, reciproca sunt latera quae circum aequales angulos. Et quorum parallelogrammorum unum angulum uni angulo aequalem habentium reciproca sunt latera, quae circum aequales angulos, illa sunt aequalia.

[note: Fig. 219. Icon. B. ] PArallelograrama BD, BF sunt aequalia, et anguli ad B sinc aequales. Dico, latera esse reciproce proportionalia, ut AB ad BG, ita esse BE ad BC: Et si latera circa aequales angulos dicto modo sint proportionalia, parallelogramma aequalia esse. Conjungantur enim parallelogramma ad angulum B, ita ut AB, BG, sint continuae: hac enim ratione erunt etiam BE, BC continuae: per 14. pri. Ex concursu autem DC, FG in H, fit tertium parallelogrammum BH, ejusdem altitudinis cum parallelogrammis BD, BF, juxta Definit. 4. hujus. Et idcirco, per I. hujus ut BD ad BH, ita erit AB ad BG, utque BF ad BH, ita BE ad BC, sed BD, et BF, ad BH, est una eademque proportio, per 7. quin. Ergo etiam ut AB ad BG, ita erit BE ad BC.

Vice versa, si fuerit ut AB ad BG, ita BE ad BC, habebunt BD, BF eandem proportionem ad BH, ideoque BF, BD erunt aequalia, per 9. quin.

Propositio XV. Theorema. Aequalium, et unum uni aequalem habentium angulum, triangulorum, reciproca sunt latera quae circum aequales angulos. Et quotum triangulorum unum angulum uni aequalem habentium reciproca sunt latera quae circum aequales angulos, ita sunt aequalia.

[note: Fig. 220. Icon. B. ] DUo triangula ABC, BGE, sint aequalia, habeantque aequales angulos ad B, habebunt latera circa dictos angulos reciproca; et vice versâ, habeant circa dictos angulos latera reciproca, erunt inter se aequalia. Demonstratur ut antecedens, nam possunt copulari duo triangula ad angulum B, ut parallelogramma, et referri ad tertium triangulum BGC, ut videre est tam in superiori figura, quam in praesenti.

Propositio XVI. Theorema. Si quatuor rectae lineae proportionales fuerint; quod sub extremis comprehenditur rectangulum, aequale est ei, quod sub mediis comprehenditur, rectangulo. Et si sub extremis comprehensum rectangulum aequale fuerit ei, quod sub mediis comprehenditur, rectangulo: illae quatuor rectae lineae proportionales erunt.

[note: Fig. 221 Icon. B. ] QVatuor rectae AB, BG, EB, BC, sint proportionales, nimirum ut AB ad BG, ita sit EB ad BC: sitque rectangulum M comprehensum sub extremis AB, BC: rectangulum vero N sub mediis EB, BG. Dico, dicta rectangula esse aequalia. Conjungantur enim ut in 14. Proposit. ad angulum B. Cum igitur AB, BG; BE, BC, sint proportionales: jam est demonstratum, rectrangulum BD, BF; esse aequalia: Et si BD, BF sint aequalia, quatuor rectas AB, BG, BE, BC, esse portionales. Eadem est ratio, etiamsi parallelogramma nonsint rectangula, sed rhombi et rhomboides.

Propositio XVII. Theorema. Si tres rectae sint proportionales, quod sub extremis comprehenditur rectangulum, aequale est ei, quod a media describitur, quadrato. Et si sub extremis comprehensum rectangulum, aequale sit ei, quod a media describitur, quadrato; illae tres rectae linea proportionales erunt.

[note: Fig. 222. Icon. B. ] TRes rectae AD, BG, AB, sint continue proportionales. Dico, rectangulum sub extremis AD, AB, esse eaquale quadrato sub media BG comprehenso: Et si hoc illi fuerit aequale, tres illa esse proportionales, atque adeo latus quadrati esse medium proportionale inter latera rectanguli. Demonstratur ut praecedens, si media BG intelligatur bis posita, ita ut quatuor proportionales sint, AD, BG, BG, AB.

Propositio XVIII. Problema. Ad data recta linea dato rectilineo simile similiterque positum rectilineum describere.

[note: Simile similiterque positum rectilineum alteri describere. ] SUper datam AB sit describendum rectilineum M, simile similiterque positum rectilineo N. distribuatur rectilineum datum N in sua triangula, et super AB fiat primo triangulum ABI aequiangulum triangulo CDF (faciendo angulum ad A aequalem angulo ad C, et angulum ad B aequelem angulo ad D, per 23. pri. ) Tum super AI, et BI fiant alia triangula AIH, BIK, aequiangula triangulis CFE, DFG, ita ut sicut FCD, FCE, constituunt totum angulum C, ita IAB, IAH constituant totum A, et ita de reliquis. Dico, circa eosdem angulos etiam latera esse proportionalia. Nam, per 4. hujus, ut EC ad CF, ita est HA ad AI: et ut FC ad CD, ita IA ad AB; Ergo, per 22. quin. ex aequalitate ordinata, ut HA ad AB, ita est EC ad CD, etc.

Propositio XIX. Theorema. Similia triangula inter se sunt in duplicata ratione laterum homologorum.

[note: Fig. 224. Icon. B. ] SIt A BC simile triangulo DEF, et latera homologa sint BC, EF sitque tertia proportional BG, ita ut, juxta Defin. 10. quin. proportio BC ad BG sit duplicata proportionis BC ad EF. Dico rationem trianguli ABC ad DEF, esse rectae BD ad BG. Nam quando triangula sunt aequalia, hoc est, quando BC, EF, nec non tertia proportionalis BG, sunt aequales: res est manifesta, quia tunc per I. hujus, triangula se habent ut bases BC, BG: quae cum habeant rationem duplicatam ejus quam habet BC ad EF; ita triangula habebunt proportionem duplicatam. Quando vero latera BC, EF sunt inae qualia: jungatur AG. Quoniam igitur angulus Best aequalis angulo E, et propter similitudinem triangulorum, ut AB ad BC, ita est DE ad EF, et permutando ut AB ad DE, ita BC ad EF, hoc est, EF ad BG (nam ut BC ad EF, ita est EF ad BG, ex constructione:) erunt circa angulos aequales B et E latera reciproce proportionalia; ac proinde, per 15. hujus, triangula ABG, DEF erunt aequalia: et per 7. quin. ut triangulum ABC ad ABG. ita erit idem triangulum ABC ad DEF. Sed ut ABC ad ABG, ita est per I. hujus: BC ad BG: Ergo ABC, ad DEF erit, ut BC ad BG.

Corollarium.

HInc sequitur, sitres lineae, A, B, C, proportionales fuerint, ut est prima A ad tertiam C, ita esse triangulum super primam A descriptum ad triangulum supra secundam B simile similiterque descriptum.

Propositio XX. Theorema. Similia polygona in similia triangula dividentur, et numero aequalia, et homologa totis, Et polygona duplicatam habent eam inter se rationem, quam latus homologum ad homologum latus.

[note: Fig. 225. Icon. B. ] SImilia polygona sint M et N. Dico ea resolvi in similia triangula, etc. Nam primo quia polygona similia sunt, habent angulos aequales, et latera circa aequales angulos proportionalia. Quare ut DE ad EA, sic erit IK ad KF; ideoque per 6. hujus, triangula ADE, FIK similia sunt, et anguli EDA, EAD aequales angulis KIF, KFI: Est autem totus A aequalis toti F, ex hypothesi; ergo et reliquus D AB aequalis reliquo IFG. Jam sic. Ut DA ad AE, ita est IF ad FK, et ut AE ad AB, ita FK ad FG: Ergo ex aequalitate, per 22. quin. erit quoque ut DA ad AB, ita IF ad FG; ideoque rursus, per 6. hujus, triangula DAB, IFG, similia sunt. Atque in hunc modum proceditur ad reliqua. Deinde quoniam omnium istorum triangulorum latera homologa sunt proportionalia, hoc est, ut AE ad FK, ita AB ad FG, et BG ad GH, etc. ipsaque triangula similia habent, per 9. huius, rationem duplicatam laterum homologorum, manifestum est, etiam ipsa triangula esse proportionalia, hoc est, ut ADE, ad FIK, ita A BD ad FGI, etc. Quare, per. 12. quin. ut unum triangulum, v. g. ADE ad FIK, ita erunt omnia simul ad omnia: et ideo triangulum, v. g. ADE erit homologum polygono M, et triangulum FIK homologum polygono N. Demum tertia pars propositionis sequitur ex dictis. Polygonum enim ad polygonum est, ut triangulum A B D ad FGI, ratio autem trianguli ad triangulum est du plicata laterum homologorum AB, FG per 19. hujus; ergo et polygonorum.

Corollarium.

UTergo prima trium proportionalium ad tertiam, ita polygonum supra primam ad polygonum supra secundam.

Propositio XXI. Theorema. Quae eidem rectilineo sunt similia, et inter se sunt similia.

[note: Fig. 226. Icon. B. ] NAm similia eidem, v. g. A et B eidem C, sunt eidem aequiangula, juxta Definit. I. hujus. Ergo A et B, aequiangula ipsi C, sunc aequiangula inter se, ideoque, per 4 huius, similia.

Propositio XXII. Theorema. Si quatuor rectae lineae proportionales fuerint; etiam ab eis recti linea similia similiterque descripta, proportionalia erunt. Et si a rectis lineis similia similiterque descripta rectilinea, proportionalia fuerint, ipsae et iam rectae lineae proportionales erunt.

[note: Fig. 227. Icon. B. ] UT AB ad CD, ita sit EF ad GH: sint que rectilinea I, K, similia, et rectilinea L, M similia, ut libet. Dico, I, K, L, M, esse proportionalia. Et vice versa. Proportio enim I ad K est duplicata proportionis AB ad CD, vel EF ad GH, per 19. et 20. hujus: Est autem et ratio L ad M duplicara ejusdem rationis EF ad GH: Ergo ut I ad K, ita est L ad M Vice versa, si ut I ad K, ita est L ad M, erit quoque ut AB ad CD, ita EF ad GH, quia rationes, I ad K, et L ad M, quae sunt eaedem, sunt duplicatae rationis AB ad DC et EF ad GH, quae proinde debent etiam esse exdem.

Propositio XXIII. Theorema. Aequiangula parallelogramma inter se rationem habent eam, quae ex lateribus componitur.

[note: Fig. 228. Icon. B. ] PArallelogramm aequiangula CA, CF, habent rationem compofitam ex ratione lateris CB ad CG, et ratione lateris CD ad CE. Componantur enim parallelogramma CA, CF ad angulum C, ut in 16. huius; utque BC ad CG, ita sit quaedam I ad K, et ut CD ad CE, ita sit K ad L, hoc est, rationes laterum sint continuatae in tribus terminis I, K, L. Erga, per Defin. 5. huius, ratio composita ex ratione laterum eritratio I ad L. Dico, ut I ad L, ita

esse CA ad CF. Nam ut CB ad CG, hoc est, ut I ad K, ita est, per I. hujus., CA ad CH: et ut CD ad CE, hoc est, ut K ad L, ita CH ad CF: Ergo ex aequalitate, per 22. quin. ut I ad L, ita est CA ad CF.

Propositio XXIV. Theorema. In omni parallelogrammo, quae circa diametrum sunt parallelogramma, et toti, et inter se sunt similia.

[note: Fig. 229. Icon. B. ] PArallelogramma AG, GC, existentia circa diametrum AC, sunt similia toti BC, et similia inter se. Sunt enim aequiangula toti, ut patet ex 29. pri. Deinde per 4. hujus, ut AD ad DC, ita est AH ad HG: item ut AD ad AC, ita AH ad AG: ut autem BC ad AB, ita est AG ad AE: Ergo ex aequo, ut AD ad AB, ita est AH ad AE. Eodem modo demonstrantur reliqua latera circa reliquos angulos esse proportionalia.

Propositio XXV. Problema. Dato rectilineo simile, et alteri dato aequale idem constituere.

[note: Rectilineo dato simile rectilineum constituere. ] DAto rectilineo A, constituendum sit aliud simile, et alteri B aequale. Fiant, per ultimam secun. ipsis A et B aequalia quadrata, quorum latera sint E, F, et ut E ad F, sic fiat CD ad [note: Fig. 230. Icon. B. ] GH, et super GH fiat, per 18. hujus, figura C similis figurae A. Dico ipsam C aequalem esse figurae B. Nim, per 22. hujus, ut quadratum E ad quadratum F, hoc est, ut A ad B, ita est idem A ad simile rectilineum C. Ergo, per 9. quin. C et B sunt aequalia.

Propositio XXVI. Theorema. Si a parallelogrammo parallelogrammorum ablatum sit, et simile toti, et similiter positum, communem cum eo habens angulum; hoc circum eandem cum toto diametrum consistit.

[note: Fig. 231. Icon. B. ] EX parallelogrammo AC, abscissum sit parallelogrammum EG, simile, similiterque positum, habens cum toto angulum communem B. Dico, utrumque consistere circa communem diametrum BID. Si enim diameter secaret latus EI in alio puncto O: esset etiam parallelogrammum EL simile ipsi AC per. 24. hujus, utque BA ad AD, hoc est ut BE ad EI, ita esset BE ad EO, et ideo, per 9. quin. rectae EI, EO essent aequales.

Propositio XXVII. Theorema. Omnium parallelorum secundum eandem rectam lineam applicatorum, deficientium figuris parallelogrammis similibus, similiterque positis ei, quod a dimidia describitur, maximum est, quod ad dimidiam applicatur, parallelogrammum simile exsistens defectui.

[note: Fig. 232. Icon. B. ] SUper AC semissen totius AB, applicatum sit parallelogrammum AD, ita ut a toto AE deficiat parallelogrammo CE: quod semper est aequale et simile ipsi AD, per 36. pri. Deinde ad quodvis aliud segmentum AK sit applicatum aliud parallelogrammum AG, ita deficiens, ut defectus sit parallelogrammum KI, simile ipsi CE hoc est, circa communem diametrum BGD Dico, AD majus esse parallelogrammo AG, et quovis alio dicta ratione applicato. Nam quando punctum K est inter C et B, tunc parallelogrammum LH, quod per 36. pri. est aequale ipsi LE, majus est quam GC, quia LE majus est quam GE, et GE, GC sunt aequalia, per 43. pri. Addito ergo LA, erit AD majus quam AG.

[note: Fig. 232. Icon. B. ] Quando vero punctum K est inter A et C, tunc DF, DI sunt aequalia, quia sunt super aequalibus basibus; et DI, DK sunt etiam aequalia, quia sunt complementa: Ergo et DF, DK sunt qualia, per I. Axio. pri. et GH minus est DK; adeoque communi KH, tocum AG minus toto AD. Hoc ergo omnium maximum, etc.

Propositio XXVIII. Problema. Ad datam lineam rectam, dato rectilineo aequale parallelogrammum applicare, deficiens figura parallelogramma quae similis sit parallelogrammo dato. Debet autem datum rectilineum, cui aequale applicandum est, non maius esse eo quod ad dimidiam applicatur, cum similes fuerint defectus et eius quod ad dimidiam applicatur, et eius cui simile deesse debet.

[note: Fig. 234. Icon. B. ] AD datam AB applicare oporreat parallelogrammum AI, deficiens et aequale rectilineo C, ita ut defectus PN sit similis parallelogramma D. Super AE, medietate recte AB, describatur EG simile ipsi D, similiterque positum, per 18. hujus, et compleatur totum AG. Si igitur AF est arquale ipsi C, factum erit quod jubetur, quia AF est applicatum ad AB, deficiens parallelogrammo EG, simili ipsi D. Si autem AF majus erst quam C, (nam minus non potest esse, per praecedentem ) erit quoque ipsi aequale EG majus quam C. Sit igitur majus rectilineo O, ipsique O sit aequale LK, et simile ipsi D, vel EG: sintque LK, EG, circa communem angulum EFG, ideoque per 26. hujus, circa communem diametrum BIF. Dico, AI, cujus defectus est PN, similis D, esse aequale ipsi C. Quoniam enim C et O, hoc est, C et LK aequantur ipsi EG, necesse est gnomonem KNPL aequari ipsi C: Sed gnomoni aequale est AI, ut patet, si aequalibus AL, EN, addantur aequalia complementa EI, IG. Ergo AI est aequale ipsi C.

Propositio XXIX Problema. Ad datam rectam lineam, dato rectilineo aequale parallelogrammum applicare, excedens figura [orig: figurâ] parallelogramma quae similis sit parallelogrammo alteri dato.

[note: Fig. 235. Icon. B, ] AD datam rectam AB, dato rectilineo C, applicandum sit parallelogrammum aequale,

cum excessu simili ipsi D. Secta AB bifariam in E fiant circa communem angulum F, parallelogramma EG, OH, similia ipsi D, per 18. hujus, et EG sit applicatum ad EB, et OH sit aequale ipsi EG, et C simuli: hac enim ratione gnomon ER QG erit aequalis eidem C: Sed gnomoni aequale set SQ, ut pater si aequalibus AO, OB, seu aequalibus AO, BH, addatur commune OQ: Ergo SQ. excedens parallelogrammo RQ, simili D, est aequale rectilineo C.

Propositio XXX Problema. Propositam rectam lineam terminatam, extrema ac media ratione secare.

[note: Lineam extrema et media ratione secare. ] SEcanda sit AB dicta ratione. Descripto super eam quadrato AC, ad latus AD applicetur, per 29. hujus, eidem quadrato aequale rectangulum DG, ita ut excessus sit quadratum AG. Ablato [note: Fig. 236. Icon. B. ] enim communi AE, remanebit FC, aequale quadrato AG, et per 14. hujus, erit ut BC, seu AB ad AH, ita AH, hoc est, AF ad FB.

Propositio XXXI. Theorema. In rectangulis triangulis, figura quaevis a latere rectum angulum subtendente descripta, aequalis est figuris quae priori illi similes, et similiter positae, a lateribus rectum angulum continentibus describuntur.

[note: Fig. 237. Icon. B. ] IN triangulo ABC sit rectus A, et E, F, G, sint rectilinea similia. Dico, E et F simul aequalia esse ipsi G. Demissa enim perpendiculari AD, fiunt BC, CA, CD, nec non BC, BA, BD, continue proportionales, per Coroll. 8 hujus et per Coroll. 19. et 20. hujus, ut CD ad BC, ita erit F ad G: item ut BD ad eandem BC, ita E ad idem G. Ergo, per 24. quin. ut CD, BD simul ad BC, ita erunt F et E simul ad G: Sed CD, BD, aequantur ipsi BC, ergo etiam F et E ipsi G.

Propositio XXXII. Theorema. Si duo triangula, quae duo latera duobus lateribus proportionalia habent, secundum unum angulum composita fuerint, ita ut homologa eorum latera sint etiam parallela: tum reliqua illorum triangulorum latera in rectam lineam collocata reperientur.

[note: Fig. 238 Icon. B. ] UT AB ad AC, ita sit DC ad DE, et AB, DC, sint prallelae: et similiter AC, DE: et punctum sit commune. Dico BC, CE, esse in directum. Quoniam enim circa angulos A et D, qui sunt aequales alterno eidem ACD, per 29. pri. latera sunt proportionalia, sequitur, per 6. hujus, angulum B aequalem esse DCE. Additis ergo A, et ACD, erit ACE aequalis duobus A et B. Sicut ergo A, et B, cum ACB, sunt aequales duobus rectis, per 32. pri. ita erunt etiam duo ACE, ACB: et ideo AC, CE, erunt una recta linea, per 14. pri.

Propositio XXXIII. Theorema. In aequalibus circulis, anguli eandem habent rationem cum peripheriis, quibus insistunt, sive ad centra, sive ad peripherias constituti insistant: Insuper vero et sectores, quippe qui ad centra consistunt.

IN appositis circulis aequalibus, tam anguli BAC, [note: Fig. 239. Icon. B. ] FEG ad peripherias, quam BDC, FHG ad centra, nec non sectores BDC, FHG eandem habent rationem quam peripheriae BC, FG, Nam arcus BCI sit utcunque multiplex ipsius BC, et FGKL multiplex ipsius FG. Cum igitur anguli insistentes aequalibus peripheriis sint aequales, per 27. ter. tam erunt multiplices anguli BDC, CDI, ipsius BDC, quam est arcus BCI multiplex peripheriae BC: et similieter anguli FHG, GHK, KHL, et arcus FGKL, erunt aeque multiplices anguli FHG, et arcus FG. Et quando arcus BCI est aequalis, major, vel minor arcu FGKL: erunt etiam anguli BDC, CDI aequales majores, vel minores angulis FHG, GHK, KHL, et ideo per. 6. Defin. quin. erit ut arcus BC ad FG, ita angulus BDC ad FHG: imo et angulus BAC ad angulum FEG, eo quod sint semisses angulorum BDC, FHG, per 20. ter.

Pro sectoribus fiant anguli BMC, CNI: qui sunt aequales, quia insistunt aequalibus peripheriis, quas abscindunt aequales arcus BC, CI, unde per 24. ter. segmenta AMC, CNI sunt aequalia: Sunt autem et triangula BDC, CDI aequalia. propter aequalitatem laterum: Ergo et sectores BDCM, CDIN, eruntque praedicti sectores, et arcus BCI, aeque multiplices sectoris BDCM, et arcus BC. Eodem modo erunt sectores FHG, GHK, KHI, et arcus FGKL, aeque multiplices sectoris FHG, et peripheriae FG: et idcirco rursus per 6. Defin. quin. ut BC ad FG. ita erit sector BDC ad sectorem FHG.

Corollaria.

HInc sequitur I. sic esse sectorem ad sectorem ut est Angulus ad angulum. II. Vt est angulus ad centrum circuli ad quatour rectos, ita peripheriam anguli ad totam circumferentiam.

LIBER IV. DE TRIGONOMETRIA ELEMENTARI, Sive De Doctrina Sinuum, Tangentium, et Secantium, una cum Canone triangulorum, eiusque Structura, et usu.

PROOEMIUM.

[note: SEmentem hactenus fecimus, nunc messem colligemus; fundamenta posuimus, nunc superstruemus fabricam; Arithmeticae et Geometriae alus (sic eas appellat magnus [note: Trigonometria Elementaris. ] Plato) Tyroni aptavimus, nunc ad sublimia Mathematicae per gradus deducemus. Initium sumimus a Trigonometria, quoniam ea prae caeteris et antecedentium cognitionem, usumque deposcit, et subsequentibus fere omnibus facem praefert, cum vix quidquam in Geometria practica, in Astronomia, in Gnomonica, in Geographia, in Architectonica militari, aliisque Mathematicis occurrat Disciplinis, cui Trigonometria aut summe necessaria non sit, aut summe utilis. Hanc duplicem facimus, Elementarem, et practicam. Illa tradit Elementa, haec praxin, id est, methodum, qua [orig: quâ], ope certarum tabularum, aureaeque proportionis Regulae beneficio, ex triangulorum angulis latera, vel ex lateribus angulos, vel mixtim hos ex illis dignoscimus, modo infra explicando; idque tam in triangulis planis, quam Sphaericis. Itaque Trigonometria Practica non docet triangulorum aream seu capacitatem invenire; hoc enim ad Geometriam practicam, de qua sequenti libro sexto, spectat. Ad invenienda autem ex angulis latera, et ex lateribus angulos, praestantissimi Mathematici iam [note: Canon triangulorum. ] olim construxerunt Tabulam, quam Sinuum vocarunt: cui alii postea addiderunt alias duas, Tangentium, et Secantium appellatas. Has tabulas appellant alii Canonem Mathematicum, alii Canonem magnum, alii Thesaurum Mathematicum, alii aliter, ob eximam earum praestantiam: nos Canonem triangulorum vocamus, quoniam in horum dimensione praecipuus ac fere unicus illarum est

CAPUT I. De Definitionibus, seu terminis in Trigonometria Elementari usitatis.

REcolenda sunt quae docuimns lib. 1. cap. 3. art. 2. 3. et 4. de angulis, eorumque mensura; de triangulis, cirtulo, diametro, semidiametro, semicirculo, arcu, quadrante, segmento circuli, et similibus: item de divisione circuli in gradus et minuta. Praeter quae explicaudae sunt sequentes Definitiones.

[note: Arcus circuli in Trigonometria quid sit. ] Sed ante omnia Notandum est primo, tametsi arcus circuli vocetur quaelibet pars circuli, sive maior sit, sive minor semicirculo in piaesenti tamen negotio de sinibus, tangentibus, et secantibus, nomine arcus ingelligi solum segmentum peripheriae circuli minus semicirculo, quale [note: Vide Fig. 240. Icon. C. ] est in apposita figura segmentum AD, vel DC, vel BC, qua sunt quadrantes; item segmenta AF, vel BF, quae sunt quadrante minora; item segmenta FBC, BCN, quae sunt quadrante majora.

[note: Conplementum arcus circuli in Trigonometria. ] Notandum est secundo, Differentiam hujusmodi arcuum, qua differunt a quadrante vel per defectum, vel per excessum, vocari Complementum. Sic arcus FB, est complementum arcus AF, quadrante minoris, quia est differentia [note: Fig. 240. Icon. C. ] per defectum inter quadrantem AB, et dictum arcum AF; et vicissim arcus FA, est complementum arcus BF, quia est differentia [note: Complementum commune habent duo arcus semicirculum constituentes. ] per defectum inter quadrantem BA, et dictum arcum BF. Similiter idem arcus FB, est complementum arcus FBC, quadrante majoris, quia est differentia per excessum inter quadrantem BC, et dictum arcum FBC. Eodem modo arcus FA, est complementum arcus FAD, quadrante majoris, quia est differentia, per excessum inter quadrantem AD, et dictum arcum FAD. Vnde patet, duos arcus constituentes semicirculum, quales sunt AF et FBC, habere idem complementum FB, commune. Sic etiam duo arcus BF, et FAD, semicirculum constituentes, habent idem complementum FA, commune.

[note: Angulus et eiut complementum in trigonometria quid sit. ] Notandum est tertio, quod dictum fuit de arcu, et complemento arcus, intelligendum etiam esse de angulo, et complemento anguli; nam arcus sunt angulorum mensurae, ut explicatum fuit lib. 1. cap. 3. art. 3. num. 17. et 18. Cum igitur angulus acutus sit minor recto (qui est 90. graduum) obtusus vero major; complementum [note: Fig. 240. Icon. C. ] anguli acuti est defectus suae mensurae ad rectum, hoc est, ad quadrantem circuli, seu 90. gradus; sive est differentia per defectum inter ipsum angulum acutum, et 90. gradus. Complementum vero obtusi anguli est mensurae suae excessus supra rectum, seu est defectus per excessum inter ipsum angulum obtusum, et 90. gradus. Sic in eodem schemate, anguli acuti AEF, complementum est angulus FEB; et anguli obtusi FEC, complementum est idem angulus FEB. Ex quo etiam patet, duos angulos constituentes semicirculum, seu gradus 180. quales sunt AEF, FEC, habere idem complementum FEB, commune.

Notandum est quarto, quaecunque dicemus in sequentibus de sinibus, tangentibus, et secantibus respectu arcuum, intelligenda etiam este de iisdem respectu angulorum quos arcus subtendunt, ut melius ex dicendis patebit. His notatis, sequuntur.

Definitiones sinuum. I.

[note: Fig. 240. Icon. C. ] SInus generatim est portio chordae alicuius arcus. Explicatio patebit ex dicendis. Est autem [note: Simus quid sit. ] Chorda cujusvis arcus, linea recta ipsum, [note: Chorda arcus quid sit. Sublema quid sit. ] arcum subtendens. Talis est recta MN, et quae cunque alia circulo inscripta ita, et ejus extrema tangant peripheriam circuli. Tales etiam essent FO, FP, si FH et FG essent productae usque ad O et P. Chordam alii vocant Subtensam, quia subtendit arcum circuli, sicuti nervus subtendit arcum sagittarii, Alii etiam Inscriptam appellant, quin circulo inscribitur ita, ut ejus extrema sint in peripheria circuli, tit explicatum fuit. Hinc patet primo, chordam MN esse chordam arcus MCN, quam arcus MBADN. Et eadem est ratio de omnibus aliis chordis; sunt enim chordae utriusque segmenti in quae circulum dividunt. Patet secundo, diametrum circuli cujuscunque, ut hîc diametrum BD, vel AC etc. esse chordam, et quidem omnium maximam earum quae circulo inscribi possunt.

Sinus dividitur in Rectum, et Versum. Rectus in Sinum totum, Sinum arcus, et Sinum omplementi arcus,

[note: Simus totus, seu Radius. ] II. Sinus totus est Semidiameter circuli. Talis est semidiameter EA, EB, EC, ED, EF etc. Hunc alii appellant Radium, et est sinus utriusque quadrantis quem subtendit; v. g. EA est sinus totus tam quadrantis AB, quam quadrantis AD. itaque dici potest sinus quadrantis, seu arcus 90. graduum.

[note: Simus rectus arcus [orig: arcûs]. ] III. Sinus rectus alicujus arcus, (sive majoris, si ve minoris semicirculo) est lin. perperdicularis cadens

dens ab una extremitate arcûs, cujus dicitur sinus rectus, in diametrum circuli ab altera extremitate ejusdem arcus ductam. Ut recta FG est sinus rectus tam arcus AF, quam arcûs FBC: et recta FH, est sinus rectus arcûs FB, et arcûs FAD.

Hinc constat primo, duos arcus complentes semicirculum, quales sunt AF, FBC, habere communem sinum rectum FG. Sic etiam duo arcus BF, FAD, habent communem sinum rectum FH.

Constat secundo, semidiametrum circuli, sive sinum totum, v. g. EB, esse sinum rectum totum tam quadrantis AB, quam quadrantis CB, utin Definit. 2. diximus.

[note: Sinus rectus complementi. ] IV. Sinus rectus complementi alicnjus arcus est sinus rectus illius arcus, qui dicitur complementum. Unde si arcus FB sit complementum arcûs AF; sinus complementi arcûs AF, est recta FH: eademque FH est etiam sinus complementi arcûs FBC, quia idem arcus FB est complementum tam arcûs AF, quam arcûs FBC, ut dixi in Notabili 2. Quadrans autem non habet sinum complementi, quia non habet arcum complementi, nam complementum dicitur respectu quadrantis.

[note: Sinus est dimidium chorda ] Ex dictis constat, omnem sinum rectum, tam totum, quam non totum, esse dimidium alicuius chordae; unde alii definientes sinum rectum, aiunt esse Dimidium chordae dupli arcûs, cujus dicitur sinus, ut dicetur Annotat. 5.

Praeter sinus rectos hactenus explicatos, considerant Mathematici in circulo etiam sinum versum, tam respectu arcuum, quam complementorum: estque triplex, Minor sinu toto, major sinu toto, et aequalis sinui toti. Sic autem definiuntillos.

[note: Fig. 240. Icon. C. ] V. Sinus versus alicujus arcus, est segmentum [note: Sinus versus arcus [orig: arcûs]. ] diametri inter sinum rectum, et alteram extremitatem arcûs interceptum. Sinus ergo versus arcus AF, est recta AG minor sinu toto; et sinus versus arcus FBC, est recta, GC major sinu toto: quia perpendicularis FG est sinus rectus tam arcûs AF, quam arcûs FBC. Semediameter EB est sinus versus tam quadrantis AB, quam CB, si EA et EC sunt eorum sinus recti; estque aequalis sinui toti.

[note: Sinus versuc complementi arcus. ] IV. Sinus versus complementi alicujus arcus, est sinus versus illius arcus, qui dicitur complementum. Sic si arcus FB est complementum arcus FA; recta BH est sinus versus complementi arcus AF, quia est sinus versus arcus FB, qui est complementum arcus AF. Est etiam sinus versus complementi arcus FBC, propter eandem causam.

Hinc patet primo, duos arcus complentes semicirculum, habere eundem sinum versum complementi, quia habent eundem arcum complementi; Ut recta B H est sinus versus complementi tam arcus AF, quam arcus FBC, ut diximus. Et hic est minor sinu toto.

Patet secundo, eosdem duos arcus complentes semicirculum habere sinus versus arcuum diflerentes; et sinum versum arcus minoris quadrante, esse minorem sinu toto, seu semidiametro; sinum autem versum arcus quadrante majoris, esse sinu toto majorem; et sinus versos utriusque arcus simul sumptos aequari toti diametro, ut sunt AG, et GC, respectu arcuum AF, et FBC.

Annotationes.

[note: Sinus omnis est [correction of the transcriber; in the print ect] portio rectae subtendentis arcum. ] EX dictis hactenus constat, id quod diximus Definit. 1, nimirum, omnem sinum esse portionem rectae subtendentis arcum circuli, hoc est, portionem chordae, sive sit sinus rectus, sive versus, sive totus sive non totus. Constat praeterea omnem sinum versum esse portionem diamentri inter arcum et sinum rectum.

[note: Sinus [orig: Sinûs] versi etymon. ] II. Sinus versus ita appellatur, quia verso seu inverso modo disponitur in circulo respectu sinus recti. Appellatur etiam ab aliquibus Sagitta, quia in modum sagittae positus est inter arcum et chordam. Vterquae porro sinus, tam rectus quam versus, appellatur ideo sinus, quia una cum arcu constituit formam sinus seu portus maritimi clausi.

III. Quando Scriptores de sinu aliquo loquuntur, et non appellant expresse sinum totum, aut complementi, aut versum; semper intelliguutur de sinu recto arcû alicujus quadrante minoris aut majoris, qui non sit complementum alterius arcus.

IV. Qui ibet sinus dicitur sinus tot graduum, aut minutorum, quot gradus aut minuta continet arcus ille, cujus est sinus: ut si arcus alicujus sinus continet gradus 30, 40. etc. aut gradus 25, minutae 16. etc. aut minuta 30, 45 etc. etiam sinus talis arcus dicitur sinus graduum 30, 40 etc. aut graduum 25, minutorum [?] etc.

[note: Sinus rectus est dimidium chordae. ] V. Sinus recti a plerisque Scriptoribus appellantur semisses rectarum in circulo subtensarum, seu dimidia chordarum, ut supra notavimus, quia omnis sinus rrctus est dimidium chordae subtendentis duplum ejus arcus, cujus dicitur sinus rectus; ut patet in figura, si sinus rectus FG arcûs AF, producatur usque ad P; et sinus FH complementi [note: Fig 240. Icon. C. ] FB, producatur usque ad O; et sinus rectus AE quaedrantis AB, producatur usque ad C.

[note: Sinus dicitur etiam respectu anguli. ] VI. Quandoquidem si ex centro circuli, ad illam extremitatem arcûs subtensi a sinu recto quocunque, per quam non transit semidiameter ducatur alia semidiameter, constituitur angulus rectilineus in centro (ut patet in sigura si ex centro E; ad extremitatem F arcus BF, aut AF, ducatur semidiameter EF, constituitur enim angulus FEB, et angulus FEA) et praedicti sinûs recti arcus opponitur illi angulo qui in centro fit; ideo talis sinus rectus vocatur etiam sinus anguli illius qui fit in centro. Sic sinus FH, est sinus anguli: FEB; et sinus FG, est sinus anguli FEA. Quidquid ergo diximus de sinibus rectis respectu arcuum intelligi etiam debet (ut supra quoque monui: mus) de sinibus angulorum, quod nimirum aliusit sinus rectus anguli, alius complementi angulis item quod alius sit sinus rectus anguli tot graduum, aut minutorum, alius sinus rectus anguli aliorum graduum aut minutorum. Hinc sinus totus, est sinus anguli 90. graduum, quia est sinus arcus 90. graduum, seu quadrantis. Hinc praeterea duo anguli comprehendentes simul gradus 180, sive semicirculum, quales sunt anguli AEF, et CEF, habent eundem sinum rectum FG; ac proinde sinus

anguli majoris recto, est sinus anguli illius, qui est complementum ad duos rectos, ut in exemplo posito sinus anguli CEF est sinus anguli AEF. Atque hoc bene notandum est, quia in sequentibus saepe occurret.

Definitiones tangentium et secantium.

PRaeter sinus arcuum et angulorum hactenus explicatos, considerant Mathematici alias lineas rectas circulo inscriptas, aut adscriptas, quas vocant tangentes, et secantes arcuum, et angulorum; quarum definitiones sequuntur.

[note: Tangens arcus. ] VII. Tangens alicuius arcus, est portio lineae rectae, quae arcum illum tangit in una extremitate, et intercipitur inter punctum contactus et diametrum [note: Fig. 240. Icon. C. ] productam per alteram eiusdem arcus extremitatem usque ad tangentem. Ita linea AI, est tangens arcus AF, quia A I tangit arcum AF in extremitate A, diameter KEF transit per alterum extremum F, piotractaque occurrit tangenti AI in puncto I. Eadem recta AI est etiam tangens anguli AEF, qui subtenditur ab arcu AF. Eadem praeterea AI est tangens arcus AK, qui cum AF complet semicirculum, quia recta AI tangit etiam arcum AK in termino A, et diameter FEK transit per alterum terminum K, protractaque occurrit ipsi AI.

[note: Tangens complementi arcus [orig: arcûs] [note of the transcriber: in the print: arcús]. ] VIII. Tangens complementi alicuius arcus, est tangens illius arcus, qui dicitur complementum. Ut recta BL est tangens complementi arcûs AF, et arcûs CF, quia est tangens arcus FB, qui est complementum arcus AF, et arcus CF. Eadem recta BL, est etiam tangens anguli FEB. qui est complementum anguli APF.

IX. Secans alicuius arcus est segmentum semidiametri productae per unam extremitatem illius arcus usque ad tangentem, interceptum inter centrum et tangentem. Sic recta EI est secans tam arcus AF, quam arcus AK. Eadem recta EI est secans anguli AEF.

X. Secans complementi alicuius arcus, est secans allius arcus, qui dicitur complementum. Sic recta EL est secans complementi arcus AF, quia est secans arcus FB, qui est complementum arcus AF. Eadem recta EL est secans complementi anguli AEF, quia est secans anguli FEB, qui est complementum prioris.

Annotationes.

[note: ] I. LInea tangens dicitur ab aliquibus Prosinus, et ab aliis Adscripta. Secans vero dicitur Hypothenusa, et Transinuosa. Ratio denommationis colligitur ex positione illarum respectu arcuum, et sinuum, et patet ex Schemate supra posito.

II. Tangens alicuius arcus est semper parallela sinui ejusdem arcus, quia ut sinus, ita et tangens est perpendicularis ad semidiametrum transeuntem per punctum contactus, Ille quidem per definit. 3. hujus capitis, haec vero per 18. terui Euclidis.

CAPUT II. De ordine ac dispositione tabularum Sinuum, Tangentium, et Secantium.

ANtequam structuram, seu modum conficiendi tabulas sinuum, tangentium, et secantium doceam, illas ob oculos legentium ponere placet, illarumque ordinem ac dispositionem explicare. Ut vero melius intelligatur a Tyronibus, unde originem sumpserint tabulae sinuum, et cur aliqui sinus sint majores, alii vero minores;

[note: Sinus recti minores sunt sinu toto. ] Notandum est primo, Omnes sinus rectos, tam arcuum, quam complementorum, intra circuli quadrantem descriptos, esse minores sinu toto, ut ex dictis colligitur, et probari potest ex 34. pri. Euclid. patetque ex apposito schemate, in quo AB est sinus totus, MD sinus raduum v. g. 80: est autem MD aequalis ipsi AY, per dictam 34. pri. et AY minor quam AB, per conversum Axiomatis 9. pri. Euclid; ergo. Et eadem est ratio de omnibus aliis. Hinc fit, ut si sinus totus dividatur in quotlibet partes aequales, et quilibet sinus non totus dividatur eâdem divisione, ita ut particulae sinus totius et sinuum non totorum aequales sint; fit inquam ut sinus quilibet non totus contineat pauciores tales particulas, quam sinus totus; et tanto pauciores, quo magis a sinu toto remotus est, seu quo minoris arcus est sinus. Sic MD pauciores particulas continet quam AB, et NE, adhuc pauciores, et longe pauciores OF, PG etc. Idem dicendum est de sinibus complementorum comparatis cum sinu toto AC.

[note: Tabula sinuum, tangentium, et secantium quomodo constructa fuerint. ] Notandum est Secundo, Recentiores Mathematicos qui sinuum tabulas construxerunt, divisisse sinum totum in aequales particulas 100000, aut 1000000, aut 10000000 (antiqui aliter dividebant) et subtilissimo ratiocinio, summoque labore inquisivisse, quot particulas ex 100000, aut 100000, aut 10000000 competant singulis sinibus singulorum graduum ac minutorum, totius quadrantis. Eâdem ratione inquisiverunt ac repererunt, quot particulae ex dictis competant tangentibus, et secantibus omnium graduum ac minutorum totius quadrantis: nam omnes tangentes ac secantes habent certam ac determinatam proportionem ad sinum totum, ut ex infra dicendis patebit. Numerum particularum fingulis sinibus, tangentibus, et secantibus debitarum, distribuerunt in tres tabulas, easque appellarunt tabulas sinuum tangentium, et secantium. His praemissis, sequitur.

Ordo ac dispositio sequentium tabularum.

[note: Tabularum earundem ordo, ac dispositio. ] SEquentes tabulae sunt compositae juxta radium seu sinum totum divisum in partes 10000000, ut eo sint accuratiores, inserviantque non tantum pro Geometricis (pro quibus sufficiunt tabulae constructae juxta redium 100000, aut etiam pauciorum partium,) sed etiam pro

Astronomicis, in quibus scrupulosius est procedendum. Exhibent sinus, tangentes, et secantes pro omnibus gradibus. et minutis primis totius quadrantis. Ordo ac dispositio est quam vides, et quam mox explicabo: quamvis enim aliis alia placeat, haec tamen omnium optima videtur, et tnunc ommuniter usurpatur, et ita se habet.

I. Singulae paginae continent octo columnas numeris refertas; quarum prima ad sinistram continet in capite numerum graduum quadrantis a graduo usque ad 44; quibus subjiciuntur, descendendo, minuta prima eorundem graduum, a minuto o usque ab 60: octavo vero calumna ad dexteram continet in calce seu parte inferiore, ordine retrogrado, numerum reliquorum graduum quadrantis, a 45 usque ad 89; quibus superpomuntur, ascendendo, minuta prima eorundem graduum a minuto o usque ad 60. Itaque gradus et minura columnae octavae, sunt complementa graduum et minntorum columnae primae.

II. Reliquae sex columnae singularum paginarum continent sinus, tangentes, et secantes, prout tiruli suprascripti indicant. Harum tres sinistimae spectant ad primam columnam, reliquae tres dextimae ad octavam. Omnes ita dispositae sunt, ut e regione omnium graduum et minutorum progrediendo in transversum sub titulis sinuum tangentium, et secantium, notatae sint partes eorundem sinuum, tangentium, et secantium, in partibus sinus totius 10000000. Itaque sinus, tangentes, et secantes trium dextimarum, sunt complementa sinuum, tangentium, et secantium, trium sinistimarum tabularum, et vice versâ.

III. Sicuti simus in quadrante crescunt continuo ab initio primi gradus et minuti usque ad ultimum, uti ex Notabili primo hujus capitis colligitur, ita et numeri in tabula sinuum. Tangentium similiter numeri continuo crescunt ab initio quadrantis usque ad finem; ubi infinita est ea quae respondet gradui nonagesimo. Et citra quidem ipsius quadrantis dimidium sunt minores sinu toto, ultra vero sunt majores. At secantes uniuscujusque gradus excedunt semper integrum sinum, crescuntque semper usque ad finem quadrantis; ubi similiter infinita est ea quae ultimo ultimi gradus minuto respondet.

IV. Non exhibentur seorsim tabulae sinuum versorum, quia parvo labore eruuntur ex tabula sinuum rectorum, ut diectur in capite quarto Proposit. 3, et 4. Nulli etiam sinus semicirculi, et arcuum semicirculo majorum contnientur in his tabulis, quia nulli dantur. Quâ vero ratione sinus, tangentes, et secantes arcuum quadrante majorum ex iisdem tabulis erui queant, dice mus ibidem Proposit. 2.

V. In iisdem tabulis duae ultimae notae ad dexteram omnium sinuum, tangentium, et secantinm discretae sunt ab aliis antecedentibus puncto interposito, quia praecedentes numeri usque ad punctum exhibent sinus, tangentes, et secantes respondentes radio seu sinui toti partium 100000. Quod ideo fecimus, ut si quis talem sinum totum adhibere velit ad faciliorem operationen, id sine difficultate facere queat, omittendo solum ultimas duas notas post punctum, servatâ tamen hac cautelâ, ut si duo numeri abscissi superant 50, augetur praecedens ultima figura proxime post punctum unâ unitate, propter causam sequenti capite 4. explicandam. Nunc.

Sequuntur Tabulae Sinuum, Tangentium, et Secantium, in partibus sinus totius 10000000 partium.

CAPUT III. De structura tabularum sinuum, tangentium, et secantium; seu de modo eos calculandi.

[note: Tabulas sinuum, tangentium, secantium calculandi modus. ] BRevissime pertractabo quae ad structruram praecedentium tabularum, seu ad modum eas calculandi spectant. Qua in re Geometricis Elementis Euclidis, et Arithmeticâ opus habemus. Qui tamen solo usu tabularum contentus esse volet, omittere poterit totum hoc caput, et ad sequens pergere.

Ad constructionem igitur tabularum sinuum, tangentium, et secantium, ante omnia assumendus est radius certarum partium. Nobis est partium 10000000, aliis aliarum. Quarum cunque autem partium assumatur, sinus, tangentes, et secantes fere omnes ad eum sunt irrationales, hoc est, numero partium integrarum, vel etiam fractionum, praecise verarum inxeplicabiles, quoniam plerique sinus reperiuntur per extractionem radicis quadratae ex numero non perfecte quadrato, cui proinde fractiones adhaerent, quae adjunctae radici, reddunt illam justo vel majorem, vel minorem, ut ex Arithmetica nostra patet par. 1. cap. 3. art. 5. Itaque tabulae sinuum, tangentium, et secantium exactae nullo modo dari possunt. Tales tamen esse possunt ac debent, ut in iis nullus numerus absit a vero per unam integram earum partium, quarum radius est assumptus. Nostrarum certe tabularum numerus nullus a best a vero vel unicâ particula 10000000 partium, quoniam in constructione illarum assumptus fuit radius longe major quam 10000000 partium, quod facere necessarium erat, ut ab inventis sinibus numeri illi a dextera, in quibus error esse poterat, abjice rentur.

In inveniendis porro singulorum graduum et minutorum sinibus (ex quibus deinde facile eruuntur tangentes et secantes) varii varie procedunt. Nos inquirimus primo sinus quosdam primarios, et ex his deinde secundarios omnes. Primarios vocamus, ex quibus reliqui deducuntur. Tora praxis continetur in sequentibus Propositionibus.

Propositio I. Problema. Sinus primarios supputare.

[note: Sinus primarii qui, et quomodo supputandi. Fig. 242. Icon. C. ] SInus primarios statuimus quatuor, praeter sinum totum, nimirum sinus graduum 30, 18, 36 et 45.

Primo itaque, latus hexagoni circulo inscripti aequale est semidiametro ejusdem circuli, per 15. quarti Euclid. Cum igitur semidiametrus, sive sinus totus DC, vel DA, aut DB, ponatur a nobis partium 10000000, erit totidem partium chorda AG 60 graduum, quae est latus hexagoni; ac proinde ejus dimidium AL, vel GL, quod est sinus arcus AH graduum 30, per 3. Definit. hujus, erit partium 5000000.

Secundo. Cum recta BIC sit chorda quadrantis BKC, erit ejus dimidium BI, per Coroll. post. IV. Definit. hujus, sinus arcus BK 45 graduum. Facile autem sciri potest per 47. pri. Euclid. quot partium sit linea BIC, cum triangulum BDC sit rectangulum ad D, et latera BD, DC cognita, nimirum singula partium 10000000, erit enim summa quadratorum utriusque partium 200000000000000; cujus numeri radix quadrata 14142136 est linea BIC; dimidium vero ejusdem est linea BI partium 7071068, qui est sinus arcus BK: vel CK graduum 45.

Tertio. Dividatur AD in E bifariam, et ducatur recta CE: cumque CD, DE, trianguli rectanguli CDE notae sint, haec partium 5000000, illa 10000000: erit, per 47. pri. Euclid. recta CE partium fere 11180340. Haec transferatur ex E in F, et auferatur ex illa ED partium 5000000. restabit DF partium 6180340, quae est latus decagoni, hoc est, chorda arcus 36 graudum (per ea quae demonstrat Ptolemaeus lib. 1. Magnae Syntaxeus, patetquetum ex II. Secundi, et 5. Decimi tertii, tum ex 9. Decimiter. Euclidis.) ac proinde ejus dimidium 3090170, est sinus 18. graduum.

Quarto. Cum triangulum CDF sit rectangulum: erit, per 47. pri. Euclid. quadratum ipsius CF aequale quadratis ipsarum CD, DF, ergo ipsa CF erit 11755705, quae est latus pentagoni, seu chorda arcus 72 graduum, per 10. Decimi tertii Euclid. cujus dimidium est sinus 36 graduum nimirum 5877852.

Propositio II. Problema. Sinus secundarios supputare.

[note: Sinus secundarios supputare. ] HAbitis sinibus primariis, facile supputantur secundarii. Ac primo quidem sinus complementorum quatuor primariorum jam inventorum.

[note: Fig. 243. Icon. C. ] Primo. Sit arcus CD 30 graduum, erit ergo ejus sinus rectus ED, vel AF ipsi aequalis, per 34. pri. Euclidis partium 5000000, Complementum arcûs CD est arcus DB, cujus sinus est linea DF, vel EA ipsi aequalis, per 34. pri. Euclid. quam sic inquirimus. In triangulo rectangulo ADF, latera AF, AD, nota sunt, illud 5000000, hoc 10000000. utpote semidiameter, Itaque cum, per 47. pri. quadrato rectae AD aequalia sint quadrata rectarum AF, FD, si quadratum ipsius AF ex quadrato AD tollatur, remanebit quadratum ipsius FD partium 75000000000000, cujus radix quadrata 8660254, est sinus arcus BD graduum 60, complementi nimirum arcus CD 30 graduum.

Eodem modo reperiemus sinus complementorum 36 et 18 graduum, hoc est, sinus graduum 54, et 72. Sinus complementi graduum 45, est aequalis [note: Fig. 244. Icon. C. ] ipsi sinui recto graduum 45.

Secundo. Sinus arcuum dimidiorum sic reperiuntur. Sit BC quadrans, BD arcus 45. graduum, cujus sinus DF antea repertus partium 7071068: cupis habere sinum arcus BE graduum 22. minut. 30. qui est semissis arcus BD graduum 45. Sic procede. Arcus CD est aequalis arcul BD: igitur et sinus HD, hoc est, AF est aequalis sinui DF: subtracto ergo sinu AF 7071068, AB sinu toto, restat BF sinus versus arcus BD, nimirum 2928932. cujus quadratum cum quadrato ipsius DF facit 58478645321248. cujus radix quadrata 7653668, est chorda BGD arcus BD: semissis ejus BG, nimitum 3826834, est sinus arcûs BE graduum 22. 36.

est sequens Lemma ex Elementis Euclidis; necessarium enim nobis erit ad reliquos sinus investigandos.

Propositio III. Lemma. Si in circulo quadrilaterum describatur erit diametrorum rectangulum aequale rectangulis ab oppositis lateribus descriptis.

[note: Fig. 245. Icon. C. ] SIt in circulo ADCB, quadrilaterum ABCD, cum duabus diametris AC, BD descriptum. Dico, rectangulum diametris AC, BD contentum, aequale esse rectangulis duobus, quorum unum lateribus oppositis AB, DC, alterum lateribus oppositis AD, BC continetur. Fiat enim angulus ADE, angulo BDC aequalis, per 23. pri. Euclid. Quo facto, erunt triangula DAB, CDE aequiangula. Nam Anguli ABD, ACD, sunt aequales, per 21. tertii; anguli vero ADB, CDE, aequales sunt, per structuram, et per Axio. pri. (cum enim Angulus ADE angulo BDC aequalis sit factus; si utrique addatur communis BDE, erunt toti ADB, CDE aequales) sunt autem et reliqui duo aequales, per 32. pri. Igitur triangula ADB, CDE aequiangula sunt, ac proinde erit ut AB ad CE, ita BD, ad DC per 4. sexti. Cum autem quatuor rectae lineae proportionales sunt, est rectangulum mediarum aequale rectangulo extremarum, per 16. sexti. Igitur rectangulum ipsarum, DB, CE, aequale est rectangulo AB, CD. Rursus triangula BCD, DEA, sunt aequiangula. Nam anguli BDC, ADE aequales sunt per constructionem: anguli vero CBD, DAE, per 21. tertii: et reliqui per 32. pri. Est igitur ut CB ad AE, ita BD ad AD per 4. sexti. Rectangulum igitur mediarum BD, AE, aequale est rectangulo extremarum BC, AD. Cum itaque rectangulum DB, CE, aequale sit rectangulo AB, DC: et rectangulum BD, EA, aequale rectangulo BC, DA: sintque rectangula ipsarum BD, CE, et ipsarum BD, AE, aequalia rectangulo ipsarum BD, AC, per 1. Secundi: erit et rectangulum ipsarum BD, AC, aequale duobus rectangulis laterum oppositorum, quadrilateri, nimirum rectangulo AB, DC, et rectangulo BC, AD: quod demonstrandum erat.

His demonstratis pergo, et investigo reliquos omnes sinus omnium graduum ac minutorum totius. quadrantis, per sequentia Problemata.

Propositio IV. Problema. Sinum arcus [orig: arcûs] aequalis duobus arcubus quadrante minoribus, quorum sinus noti sunt, invenire.

[note: Fig. 246. Icon. C. ] TOtus circulus ABCD intelligatur divisus tantum in 180. partes aequales, ut omnes subtensae sint instar sinuum: sic enim fiet, ut quod demonstratur de chordis, intelligi possit demonstratum de sinibûs, qui sunt dimidium chordarum. Sit igitur arcus BCD, aequalis duobus arcubus BC, CD, quorum BC sit 30, CD 18 graduum, ut totus arcus BCD sit 48. graduum, cujus sinus BD sit inveniendus. Sic procede. Sinus arcuum BC, CD, qui sunt lineae BC, CD, sunt noti, per 1. hujus capitis: erunt igitur et complementorum sinus BA, DA noti, per 2. hujus cap. ille nimirum 60. grad. hic 72. grad. Sinus BC est partium 5000000, BA 8660254, CD 3090170, DA 9510565, ut ostendimus in praecedentibus. Cum igitur figura ABCD sit quadrilatera circulo inscripta, et diametris divisa: et rectangula contenta sub BC DA: et sub DC, BA, aequentur rectangulo sub diametris CA, BD. contento, per 3. hujus: si ducas CB 5000000 in DA 9510565, et CD 3099170, in BA 8660254: atque producta 47552825000000, et 26761657103180 conjunxeris: prodibit rectangulum diametris AC, BD contentum, scilicet 74314482103180: his autem per CA, hoc est, per 10000000 divisis, provenient 7431448. sinus BD arcus BCD 48 graduum.

Atque hoc modo inveniuntur omnium arcuum duobus arcubus conjunctis quadrante minoribus aequalium, si sinus dictorum duorum arcuum noti fuerint.

Propositio V. Problema. Sinum differentiae duorum arcuum quadrante minorum; quorum sinus noti sunt, invenire.

[note: Fig. 247. Icon. C. ] SIt arcûs majotis BCD. 45 graduum, sinus recta BD: sinus vero arcus minoris BC 18 graduum, sit recta BC: sinus denique differentiae DC 27 graduum, sit recta DC, quem inquirere oporteat. Sic procede. ABCD est quadrilaterum habens proprietates tertiae hujus capitis: et sinus arcûs BCD, nempe recta BD, est per 1. hujus cap. partium 7071068: totidemque etiam est DA priori aequalis, utpote graduum 45: sinus totus AB est 10000000: sinus arcus CB est 3090170: AC 9510565, Sinus CB ductus in DA, facit 21850802201560: sinus vero AC ductus in BD, facit 67249851833420. Subtractis jam 21850802201560, ex 67249851733420: restant 45399049631860: quibus per AB, hoc est, per sinum totum divisis, restat CD partium 4539905, qui est sinus 27 graduum. Eodem modo proceditur in aliis.

Propositio VI. Problema. Omnium graduum et minutorum quadrantis sinus supputare, et tabulam sinuum conficere.

[note: ] EX quatuor praecedentibus Problematibus tota tabula sinuum peromnes gradus et minuta quadrantis supputari facillime potest. Habitis enim sinibus primariis graduum 18, 30, 36, 45, habentur dimidii graduum 9, 15, 18: et horum complementa 81, 75, 72. Differentia inter 15 et 18, sunt 3: ergo et sinus 3 graduum haberi potest. Summa 45 et 3, est 48: semissis 48 est 24, semissis hujus est 12, hujus 6, hujus 3: dimidium hujus est gradus 1. min. 30. dimidium hujus sunt min. 45. Igitur habito sinu minutor. 45, qui est 130896, si dicas: 45 minuta dant 130896, quid dat 1. minutum? reperies sinum hunc 2909. Quo habito alios sinus per minuta facile supputabis per auream Arithmeticae regulam.

Propositio VII. Problema. Tabulas tangentium et secantium supputare.

[note: Tabulas tangentium et secantium supputare. ] TAbulas Tangentium facile supputabis. Sit enim quadrans ABC. arcus datus CD, complementum DB, tangens arcus dati sit CG. Hanc invenies, si dicas: ut sinus complementi FD, hoc est, [note: Fig. 248. Icon. C. ] AE ipsa aequalis, ad sinum arcus dati ED, ita sinus totus AC ad tangentem CG. Nam triangula ADE, AGC, sunt aequiangula, per 2. Sexti, ideoque per 4. Sexti, ut AE ad ED, ita AC ad CG.

Eadem facilitate supputabis Secantes. Sit enim AG secans arcus CD dati. Invenies eam, si dicas: ut AE sinus complementi arcus dati ad AD sinum notum, ita AC sinus totus ad secantem AG. Demonstratio est eadem ut antea.

Aliter invenies eandem secantem, si dicas: ut ED sinus arcus dati, ad DA sinum totum; ita tangens CG ejusdem arcus dati, ad secantem GA. Demonstratio est eadem.

Consectarium.

[note: ] EX dictis hoc capite constat, tabulas sinuum, tangentium, et secantium non esse undequaque accuratas, ut supra insinuavi, tum ob causam ibi dictam, tum quia in calculo arcus adhibentur ut lineae.

CAPUT IV. De usu Canonis triangulorum, seu Tabularum Sinuum, Tangentium, et Secantium.

[note: Tabularum sinuum, tangentium. et secantium usus in quo consistat. ] USus praedictarum tabularum consistit in duobus praecipue. Primo, ut ex ipsis vel cujuslibet arcus aut anguli dati inquiratur sinus, tangens et secans; vel e contrario cujusvis sinus, tangentis, secantis arcus aut angulus. Secundo, ut ope sinuum, tangentium, et secantium tanquam assumptorum laterum triangulorum, ex notis lateribus, aut angulis, dati cujuslibet trianguli investigentur caetera ignota, modo insinuato [note: Usus canonis triangulorum. ] in principio hujus libri, et capitibus sequentibus fuse explicando. Primum voco usum Canonis triangulorum. De primo hoc capite, de altero agemus sequentibus.

Propositio I. Problema. Dato arcu quadrante minore, utrumque eius sinum, tangentem, et secantem reperire.

[note: ] SI datus arcus quadrante minor non excedit dimidium quadrantis, seu 45 gradus, quaere numerum graduum in superiore parte tabularum, nempe in fronte primae columnae: et e regione in tribus proxime sequentibus columnis inventes sub propriis titulis sinum, tangentem, et secantem, in reliquis vero tribus columnis invenies sinum, tangentem: et secantem complementi dati arcus. Quod si datus arcus adjuncta habet minuta, descende a gradu in fronte primae columnae invento per seriem minutorum usque ad minutum datum, et ab invento minuto procede versus dexteram: reperiesque ut antea sub propriis titulis sinum, tangentem, et secantem tam dati arcus, quam complementi ipsius.

Si vero datus arcus quadrante minor excedit dimidium quadrantis, quaere numerum graduum in inferiore parte tabularum, nempe in calce octavae columnae: et si adjuncta habet minuta, in serie minutorum ascende usque ad minutum datum: reperiesque e regione sub proprus titulis in primis tribus columnis sinum, et tangentem, et secantem dati arcus, in reliquis vero tribus habebis sinum, tangentem, et secantem complementi.

EXEMPLA. Sit primo datus arcus Gr. 27. M. 23. Quaere 27 in fronte primae columnae, et descende per seriem minutorum usque ad 23 inclusive: reperiesque e regione sub propriis titulis sinum, tangentem et secantem quaesitum: tam dati arcus, quam complementi ipsius. Sit secundo arcus datus Gr. 56. M. 33. Quaerantur gradus in calce octavae columnae, et ascendatur in serie minutorum usque ad 33 inclusive: occurretque e regione sub proprus titulis sinus, tangens, et secans dati arcus, et ejus complementi.

Propositio II. Problema. Dati arcus quadrante maioris utrumque sinum, tangentem, et secantem invenire.

[note: ] SI datus arcus sit major quadrante, sit minor semicirculo, id est, minor quam 180 graduum, detrahe arcum datum ex semicirculo, et cum residuo arcu operare ut prius: hujus enim arcus sinus tangens, et secans, est etiam sinus, tangens, et secans arcus quadrante majoris, propterea quod duo arcus semicirculum complentes habeant eundem sinum, tangentem, et secantem, ut diximus cap. 1. Definit. 3.

EXEMPLUM. Sit datus arcus G. 123. M 27. Subtrahatur ex semicirculo, hoc est, ex G

179. M. 60: remanetque arcus minor quadrante G. 56. M 33: cujus sinus, tangentes, et secantes, sunt etiam sinus, tangentes, et secantes arcus G. 123. M. 27. Illi autem habentur per Problema praecedens: ergo et isti.

Propositio III. Problema. Dati arcus sinum versum eruere.

[note: ] ARcus datus, cujus sinum versum ex tabulis eruere desideras, vel est minor quadrante, vel major. In utroque casu ita procedatur. Per praecedentia Problemata inveniatur dicti arcus sinus complementi: et in primo casu subtrahatur ex sinu toto, et residuum erit sinus versus arcus dati: in secundo vero casu addatur sinui toti, et summa resultans erit sinus versus arcus dati. Ratio patet ex capite 1. Definit. 5. et 6.

Propositio IV. Problema. Invenire sinum versum complementi dati arcus.

[note: ] LOco arcus dati sumatur arcus complementi, et hujus arcus complementi quaeratur sinus versus per Problema praecedens; hujus enim arcus sinus versus, est sinus versus complementi arcus propositi. EXEMPLUM. Sit datus arcus G. 60. erit arcus complementi G. 30. Hujus quaeratur sinus versus per praecedens Problema, et habebitur sinus versus complementi arcus G. 60.

Propositio V. Problema. Dati arcus chordam invenire.

[note: ] ANtiqui, antequam invenirentur tabulae sinuum, utebantur chordis in trigonometria, quae nihil aliud sunt quam dupli sinus arcuum subduplorum, ut patet ex cap. 1. Definit. 1. Dato ergo arcu, si chorda inquirenda est, ea sic invenitur. Arcus datus dividatur bifariam, et med etatis quaeratur sinus rectus per Problema 1. sinus inventus duplicetur, et numerus productus erit chorda arcus dati. EXEMPLUM. Sit arcus datus G. 60. Dividatur bifariam, et medietatis, nempe 30, quaeratur sinus rectus, qui est 5000000: hic duplicetur et habebitur 10000000 pro chorda arcus G. 60: quae quidem chorda in hoc casu aequalis est semidiametro circuli, seu sinui toti, quia est latus hexagoni circulo inscripti.

Propositio VI. Problema. Sinui, Tangenti, Secanti, datis, debitum arcum invenire.

[note: ] SInus, tangens, secans quaeratur in tabula: vel si non inveniatur, sumatur proxime major, vel proxime minor: et a numero invento procedatur versus sinistram, aut dextram, usque ad primam aut octivam columnam: illic enim occurrent minuta arcus quaesiti, et in capite vel calce ejusdem arcus gradus. Et hoc modo procedendum est, quando constat arcum quaesitum esse quadrante minorem: quando autem est major quadrante, tunc arcus inventus debet subtrahi ex semicirculo seu gradibus 180, et residuum erit arcus quadrante major quaesitus. Pulchre autem operatio in triangulis tam rectilineis, quam sphaericis, docet an accipiendus sit arcus quadrante major proposito sinui, tangenti, secanti respondens, an vero minor, ut suis locis apparebit. EXEMPLUM. Sic dato sinui 45399. 05. invenies respondere G. 27. M. o: Tangenti 120593. 27, G. 50. M. 20. et sic in reliquis. At pro sinu 5348915. quem non reperies in tabula, capies propinquiorem sinum 53484. 40, cui respondent G. 32. M. 20, etc.

Propositio VII. Problema. Eundem arcum invenire, quando numerus datus est sinus, tangens, secans complementi arcus quaesiti.

[note: ] EOdem modo procede, ut in praecedente Problemate, et arcus inventi accipe complementum: hoc enim erit arcus quaesitus, nisi forte constet arcum quaesitum esse majorem quadrante: tunc enim arcus per praecedens Problema inventus, et quadrante auctus, est ille qui quaeritur. EXEMPLUM. Detur sinus complementi alicujus arcus hic numerus, 48455. 52. Hujus tanquam sinus quaere proprium arcum, per praecedens Problema, G. 28, M. 59. cujus complementum G. 61. M. 1. est arcus quaesitus. At si ejusdem sinus 48455. 52, sit capiendus arcus quadrante major: inventus per praecedens Problema proprius arcus G. 28. M. 59. auctus quadrante, nimirum G. 118. M. 59. dat arcum quaesitum.

Propositio VIII. Problema. Idem praestare, quando numerus datus est sinus versus.

[note: ] SI datus sinus versus minor est quam sinus totus, detrahe ipsum ex sinu toto: si vero major quam sinus totus, detrahe hunc ex illo: et residui quaere arcum per praecedens Problema, eumque dome a quadrante in primo casu, adde vero quadranti in secundo casu, et habebis arcum dati sinus versi. EXEMPLUM. Sit datus sinus versus 15369. radio, 10000000 minor: deme illum ex hoc, et relinquetur sinui 99847. 31, G. 86. M. 50: hic arcus demptus ex G. 90. dat G. 3. M. 10. pro sina verso 15369 dato. Sit iterum sinus versus 199847. 13. major radio: deme ex eo radium 10000000, et remanebit sinus 99847. 31, G. 86. M. 50: hunc arcum adde gradibus 90. ut fiat arcus G. 176, M. 50, cujus 199847. 31, est sinus versus.

Propositio IX. Problema. Idem praestare, quando numerus datus est sinus versus complementi.

[note: ] NVmerum datum subtrahe ex sinu toto, vel hunc ex numero dato, et ejus quaere arcum, et habebis intentum, sive numerus datus sit minor sinu toto, sive major.

Propositio X. Problema. Data chorda, eius arcum invenire.

[note: ] CHordam datam seca bifariam, et semissem quaere sub titulo sinuum, et arcum sinui invento respondentem duplica: eritque resultans arcus quaesitus. Ratio patet ex dictis cap. 1. Definit. 1.

Propositio XI. Problema. Partem proportionalem pro minutis secundis reperire.

[note: ] PRoblemata praemissa supponunt arcus datos esse in gradibus et minutis primis tantum: item numeros datos contineri in tabulis. Quia vero saepe gradibus et minutis primis adhaerent secunda, et saepe numeri dati non continentur in tabulis; sequentia docebunt quid in praedictis casibus sit faciendum.

§. I. Quid observandum, quando minuta secunda negliguntur.

MInuta secunda gradibus et minutis primis [note: Minuta secunda quando negliguntur in trigonometria, quid faciendum. ] adjuncta plerumque a Mathematicis negliguntur in calculo triangulorum, praesertim quando problema propositum est solitarium, et unicâ regulâ trium absolvitur, et ex solutione ipsius non pendet solutio ahorum problematum: quod plerumque in Problematibus ad Geometriam practicam spectantibus contingit. In hoc igitur casu observa hanc regulam. Quando minuta secunda sunt pauciora quam 30, accipe in tabula arcum graduum et minutorum datorum: quando vero sunt plura quam 30, accipe arcum sequentem. EXEMPLUM. Si datus arcus est G. 15 M. 7. Sec. 18. accipitur in tab. arcus G. 15. M. 7. neglectis 18

secundis, quia sunt citra semissem unius minuti primi, et neglecta exiguum errorem inducere possunt. Si vero est G. 15. M. 7. Sec. 43: tunc 43 secunda reputantur pro uno primo, et ideo pro arcu dato accipitur in tabula arcus G. 15. M. 8. Et haec praxis communiter observatur, quia communiter non requiritur major scrupulositas.

Similis est ratio de sinibus, tangentibus, et secantibus, quando in tabulis non reperiuntur praecise. Si enim sinus datus esset 4518321. et pro ipso quaereretur arcus: ejus loco acciperetur sinus 45191. 58, quia hic est ipsi vicinior quam sinus 45165. 63, et arcus quaesitus diceretur esse G. 26. M. 52.

§. II. Quid observandum, quando minuta secunda non negliguntur.

[note: Item, quando non negliguntur. ] QVod si minuta secunda non vis penitus negligere, inquire partem proportionalem ipsis respondentem, hoc modo.

Quando pro arcu dato quaeritur sinus, tangens, secans, accipe differentiam inter sinum arcus proxime majoris, et sinum arcus proxime minoris arcus dato (subtrahendo nimirum minorem ex majori: cui quidem differentiae debetur unum minutum primum, sive 60 socunda, quia singuli arcus proximi in tabula differunt inter se uno minuto primo, seu 60. secundis.) Vtere deinde regulâ aureâ Arithmeticae, dicendo: si 60 secunda dant totam eam differentiam, quantam differentiam, dabunt proposita secunda? et quotus resultans, sive differentia inventa in quoto, erit pars proportionalis. Hanc adde sinui arcus proxime minoris, et efficietur sinus rectus arcus propositi. Idem faciendum de tangentibus, et secantibus. EXEMPLUM. Sit arcus propositus G. 64 M. 5. sec. 37. ad quem in tabula quoad minuta proxime accedunt arcus G. 64. M, 6. et arcus G. 64 M. 5. His arcubusin tabula

adscripti sunt hi sinus: 89955. 78. et 89943. 27. Accipeigitur differentiam inter hos duos sinus, subtrahendo minorem a majori et invenies 1251 partes; quae minuto 1, seu 60 secundis respondent: Vide jam per Regulam auream, quot partes respondeant 37 min. secundis; et invenies 771, cum 27 sexagesimis. Adde igitur 771 (nam fractio 27/60 negligitur cum minus valeat quam 1/2) ad sinum 89943. 27; eritque numerus productus, 89950, 98, sinus arcus G. 64. M 5. Sec. 37. Eodem modo procede in tangentibus et secantibus.

Quando pro numero dato quaeritur arcus, accipe differentiam inter sinum proxime minorem, et sinum proxime majorem, item differentiam inter sinum propositum, et illum in tabula repertum a quo minus differt, et dic: si differentia inter duos sinus in tabula repertos dat sec. 60, addenda arcui sinus proxime minoris, vel auferenda ab arcu sinus proxime majoris (prout videlicet sumpta fuerit differentia inter sinum propositum, et sinum proxime minorem, vel proxime majorem) ut habeatur arcus sinus proxime majoris, vel proxime minoris: quot secunda postulat differentia inter sinum propositum et sinum proxime minorem, vel proxime majorem, addenda arcui sinus proxime minoris, vel auferenda ab arcu sinus proxime majoris, ut habeatur arcus propositi sinus? Nam haec secunda per Regulam auream inventa, addita arcui sinus proxime minoris, vel ablata ab arcu sinus proxime majoris, dabunt arcum sinus propositi. EXEMPLUM. Sit propositus sinus 89950. 98, quin in tabula non invenitur praecise, sed proxime major est 89955. 78. et proxime minor 89943. 27. differentes iuter se partibus 1251. et arcus dictis sinibus respondentes differunt sec. 60: differentia vero inter minorem sinum in tabula inventum, et inter sinum datum est 771. Dic ergo: si differentia 1251 minori arcui G. 64. M. 5. addit 60 sec. quot addet eidem differentia 771? Reperies secunda 36 [?]1147/1551, hoc est, secun. 37 fere adjicienda minori arcui G. 64. M. 5. ita ut arcus respondens sinui dato 8995098, sit G. 64. M. 5. sec. 37 fere. Eodem modo procedes in aliis.

Annotatio de Angulis.

[note: ] QVaecunque dicta sunt huc usque de arcubus respectu sinuum, tangentium, et secantium, et de sinibus, tangentibus et secantibus respectu arcuum, referenda sunt etiam ad angulos: nam, per ult. Sexti Euclid, eadem est ratio arcuum et angulorum ab ipsis arcubus subtensorum, et una eademque est utrorumque mensura, quia tam arcus, quam anguli mensurantur gradibus et minutis, ut supra etiam cap. 1 monuimus.

LIBER V. DETRIGONOMETRIA PRACTICA, Sive Canones ad triangulorum dimensionem spectantes.

PROOEMIUM.

[note: PRaemissis principiis ad trigonometriam seu triangulorum dimensionem pertinentibus, pergimus nunc ad ipsam dimensionem eorundem; primo quidem planorum seu rectilineorum, deinde sphaericorum seu curvilineorum. Utraque quia non aliter quam per Regulam proportionum, quam Auream, seu Regulam Trium in Arithmetica par. 1. cap. 3. Artic. 1. appellavimus, absolvitur; ideo primum omnium docendum est, quae proportiones quibus triangulorum partibus insint: sunt enim in omni triangulo sex consideranda, tres nimirsem anguli, et trialatera; et ex tribus horum cognitis cognoscitur quartum ignotum, per dictam proportionum Regulam. Ut vero melius intelligantur a Tironibus quae dicentur: notanda sunt nonnulla ex iis, quae in Elementis Euclidis sunt demonstrata. ]

CAPUT I. Notantur nonnulla ad Trigonometriam Practicam necessaria.

NOtandum igitur est primo. In omni triangulo plano tres angulos simul aequivalere duobus rectis, seu gradibus 180, per 32. pri. Euclid. Unde datis seu cognitis duobus quibuscunque, tertius cognoscitur, si duo simul juncti demantur a semicirculo, seu a gradibus 180.

[note: In triangulo rectangulo, dato uno acutorum datur et alter. ] Notandum est secundo, In rectangulis triangulis praeter rectum, qui 90. gradib. aequivalet, reliquos duos esse necessario acutos, eosdemque, per dictam 32. pri. simul sumptos uni recto seu gradibus 90 aequales. Unde uno acutorum dato, seu cognito, necessario reliquus datur, si datus subtrahatur ex quadrante seu gradibus 90, nam alter est alterius complementum ad quadrantem. Praeterea in aequilatero triangulo omnes anguli sunt inter se aequales per coroll. 5. pri Euclid. ac proinde cum omnes [note: In triangulo aquilatero, dato uno angulo. dantur reliqui. ] simul aequivaleant grad. 180, quilibet continent 60 gradus. Itaque dato uno, dantur reliqui. In Isoscelibus triangulis dato angulo verticali, dantur etiam anguli supra basin, quia ambo simul sunt complementum verticalis ad duos rectos, et complementi medietas una datunum angulum ad basin, altera alterum, per 5. pri Si vero datur unus ad basin, datur etiam alter, utpote ipsi [note: In triangulo isoscelio, date angulo verticali, dantur anguli ad basin, etc. ] dato aequalis: et si ambo simul subducantur a duobus rectis, remanet verticalis. In scalenis si dantur duo, datur et tertius, utpote complementum ad 180.

Notandum est tertio, parallelogram. rectang. gigni ex ductu duarum linearum circa angulum rectum unius in alteram: ut explicavimus Defin. 1. Libri 2. Euclid. Item si quatuor rectae lineae sunt discrete proportionales, rectangulum mediarum aequatur rectangulo extremarum, per 16. Sexti Eucl. Ex quo sequitur, quod datis tribus quibuslibet ex quatuor quantitatibus discrete proportionalibus reliqua quoque detur, per Auream regulam Arithmeticae. Sint enim quatuor A, B, C, D, discrete proportionales, [note: Regula proportionum praxis explicatur. ] qua rum A sit ad B, ut est C ad D, unaque

illarum, v. g. D, sit ignota. Dico, ipsam ex reliquis cognosci. Quoniam enim, per 16. Sexti rectangulum mediarum aequatur rectangulo extremarum, hoc est, productum ex multiplicatione secundae in tertiam aequale est producto ex multiplicatione primae in quartam: ideo si datarum trium secundam ducas in tertiam, et productum dividas per primam, proveniet in Quotiente quartaignota: siquidem cum duo numeri sese multiplicantes fecerint aliquem, genitus ex ipsis per unum ipsorum divisus dat in quotiente alterum, ut consideranti patet, et alibi demonstratur. Atque haec est ratio, cur in Regula aurea duo posteriores termini inter se multiplicentur, et productum dividaturper primum. In dispositione porro quantitatum proportionalium, quantitas ignota semper debet habere quartum locum: ideoque in posito exemplo debet dici, ut A ad B, ita C ad aliud. Si ignoretur C, debet dici, ut B ad A, ita D ad aliud. Si B ignoretur, debet dici, ut C ad D, ita A ad aliud. Si denique A ignoretur, debet dici, ut D ad C, ita B ad aliud.

[note: Ex tribus angulis tantum non potest cognosci proportio laterum- Fig. 208. Icon. B. ] Notandum est quarto, ex tribus angulis tantum cognitis non posse cognosci quantitate laterum trianguli, quia parvum triangulum potest esse aequiangulum magno triangulo, ut apparet in apposita figura, ubi trianguli ADE omnes tres anguli sunt aequales tribus angulis trianguli ABC, singuli singulis, per 2. sex Eucl. et tamen latera sunt inaequalia, in minori minora, in majori majora.

CAPUT II. De Trigonometria rectangulorum triangulorum.

[note: ] PRimo agemus de dimensione seu calculo triangulorum rectangulorum, utpote faciliori: deinde de obliquangulorum. In omni porro triangulo rectangulo latus angulo recto oppositum appellatur vel hypothenusa, vel basis in hoc negotio a Mathematicis. Brevitatis causa adhibebimus sinum totum 100000 partium tantum. Sed ante omnia videndum, quae proportiones triangulorum partibus insint.

Propositio I. Lemma. In rectangulis triangulis unumquodque latus potest sumi pro sinu anguli oppositi, item unumquodque pro radio, et reliqua duo vel prosinibus, vel unum pro tangente, et alterum pro secante.

[note: Fig. 249. Icon. C. Triangulorum rectangulorum latera possunt sumi pro sinibus angulorum oppositorum. ] COnstat hoc ex dictis cap. 1. de Definitionibus sinuum, et tangentium, et secantium, et ex apposito triangulo ABC, rectangulo ad C. Si enim latus AB assumatur pro radio seu sinu toto, hoc est, pro semidiametro circuli ex puncto A, intervallo AB descripti; erit BC sinus arcus BD, et anguli A: AC vero erit sinus complementi ejusdem arcus BD, seu sinus anguli B. Si vero latus AC pro sinu toto assumatur, erit B C tangens arcus CE, et anguli A: AB vero erit secans ejusdem arcus CE, et anguli A. Si denique latus BC assumatur pro sinu toto, erit C A tangens arcus CF, et anguli B: BA vero erit secans ejusdem arcus CF, et anguli B.

Propositio II. Lemma In triangulis rectangulis, duo quaevis latera habent eandem proportionem ad invicem, quam sinus angulorum illis oppositorum; et vicissim.

[note: Triangulorum rectangulorum latera se habent ad in vicem ut sinus angulorum oppositorum. ] SEquitur ex praecedente. Nam singular latera circa rectum sunt sinus angulorum oppositorum, et latus recto oppositum est sinus totus; ergo ut sinus ad sinum, ita latus ad latus: et vicissim, ut latus ad latus, ita sinus ad sinum.

Propositio III. Lemma. In iisdem triangulis rectangulis, quodvis latus circa rectum se habet ad alterum, ut radius ad tangentem anguli oppositi; ad hypothenusam vero, ut ad secantem eiusdem anguli.

[note: ] SEquitur ex primo praecedente. Nam assumpto alterutro pro radio, alterum latus est tangens anguli oppositi, hypothenusa vero est secans ejusdem, ergo, etc.

Propositio IV. Lemma. Datis trianguli rectangili angulis, dantur etiam proportiones laterum.

[note: Trianguli rectanguli angulis datis, dantur proportioanes laterum. ] SEquitur ex praecedentibus. Cum enim duo quaevis latera cujuslibet trianguli rectanguli habeant proportionem eandem, quam habent sinus angulorum ipsius oppositorum, sint autem sinus angulorum notorum cogniti ex tabula sinuum, per 1. et 2. capitis ult. libri praeced. si lateribus trianguli adscribantur sinus angulorum oppositorum, cognoscetur proportio dictorum laterum. Item cum quodlibet latus ejusdem rectanguli possit esse sinus totus, reliqua vero vel sinus, vel tangentes, vel secantes: et haec omnia ex tabulis sint nota: habita illorum proportione habebitur et laterum proportio.

Propositio V. Problema. Data base, et alterutro angulorum acutorum reliqua latera efficere nota.

[note: Latera ex base et angulis acutis nota facere in triungulo rectangulo. ] IN triangulo rectangulo ABC, praeter angulum rectum A, datus sit angulus B, G. 60. M. 20 et consequenter reliquus C. G. 29. M. 40. et basis BC sit 56 pedum. Quaeritur, quot pedum sint latera AB, et AC.

Primus modus per sinus. Tribuatur basi BC sinus totus 100000. partium; eritque per Proposit. 1. hujus cap. AB sinus anguli C, et AC sinus anguli B. Quoniam igitur noti sunt anguli B et C, noti etiam erunt sinus illorum ex tabula sinuum, AB quidem partium 49495, AC vero partium 86891. Cum ergo eadem sit proportio duorum quorum vis laterum inter se, quae est sinuum angulorum illis oppositorum, per 2. hujus: sintque ex his tria in proportione nota, nempe duo sinus ex tabula sinuum, et unum latus datum in certa mensura, videlicet in pedibus: dabitur etiam per Regulam Trium, juxta Notabile 3. cap praeced. in iisdem pedibus latus AB, et latus AC, si instituatur operatio sic. Ut BC sinus totus partium 100000, ad AB sinum anguli C partium

49495, ita latus BC pedum 56, ad latus AB: Vel brevius, ut 100000 ad 49495, ita 56 ad aliud. Invenies enim pedes 27. 71720/100000 pro latere AB. Iterum si dicas: Ut BC sinus totus 100000, ad AC sinum anguli B part. 86891, ita latus BC ped. 56 ad latus AC; invenies enim pedes 48 65922/100000 pro latere AC.

Secundus modus per tangentes, et secantes. Tribuatur lateri BA sinus totus, eritque AC tangens anguli B, et BC secans ejusdem anguli B, per 1. hujus. Vel tribuatur lateri AC sinus totus, eritque AB tangens anguli C, et BC secans ejusdem. Quoniam igitur noti sunt anguli B et C, notae etiam erunt tangentes et secantes ipsorum ex tabulis, ac proinde etiam proportio ipsarum ad sinum totum nota erit. Cum igitur latus BC ad latera AB, et AC, eandem proportionem habeat, quam habet idem BC prout secans angulorum B et C, ad tangentes eorundem angulorum, per 3. hujus, sitque notum latus BC in pedibus: invenies per Regulam Auream ex noto latere BC, latera ignota AB, et AC, si dicas: Ut BC secans anguli B, ad AC tangentem ejusdem anguli B: ita latus BC 56 pedum, ad latus AC. Item ut BC secans anguli C, ad AB tangentem ejusdem anguli C, ita BC latus 56. ped. ad latus BA. Vel sic: ut BC secans anguli B ad AB sinum totum, ita BC latus 56. ped. ad latus AB. Item, ut BC secans anguli C, ad AC sinum totum, ita BC latus 56 ped. ad latus AC.

Melius est utiprimo modo, quam secundo, quia utendo primo liberamur a molestia divisionis: Quotus enim divisionis, hoc est, numerus quartus qui quaeritur, habetur tunc, si a summa multiplicationis secundi numeri per tertium, separentur tot figurae dexterae, quot sunt cifrae in sinu toto, reliquae enim figurae dant numerum pedum lateribus AB, AC debitum, et figurae separatae constituunt Numeratorem, et sinus totus Denominatorem cujusdam fractionis, quae una cum pedibus integris dat totum numerum quartum proportionalem. Vide dicta in Arithmet. par. 1. cap. 1. ar. 5. Annot. 7.

Propositio VI. Problema. Dato uno latere circa angulum rectum, et alterutro angulorum acutorum, invenire reliqua latera.

[note: Latera ex una latere et uno angulo acuto. ] [note: Fig. 250. Icon. C. ] IN praecedenti triangulo rectangulo ABC, sit praeter angulum rectum A, datus angulus B, G. 60, et consequenter reliquus C, G. 30: sitque primo datum latus AB palmorum 28. Reliqua latera ita invenies.

Primus modus per tangentes, et secantes. Fiat latus AB sinus totus, eritque AC tangens anguli B, et BC secans ejusdem, per 1. hujus. Si ergo fiat, ut AB sinus totus part. 100000, ad AC tangentem anguli B part. 173205, ita AB palmorum 28, ad quartum: invenietur AC palmorum 48 49740/100000. Iterum, si fiat ut AB sinus totus, ad BC secantem auguli B part. 200000, ita BA part. 28, ad quartum: invenietur BCpart. 56.

Secundus modus per sinus. Fiat latus AB notum sinus anguli C part. 50000: eritque AC sinus anguli B part 86602, et AC sinus totus, oppositus angulo recto A. Si ergo fiat ut AB sinus 50000, ad AC sinum 86602, ita latus AB part. 28 ad a: iud: invenies AC part. 48 24856/100000. Iterum, si fiat ut AB sinus anguli C 50000, ad BC sinum totum 100000, ita latus AB part. 28, ad aliud invenies BC part. 56.

Si datum esset latus AC, et invenienda essent reliqua latera, posito quod noti sunt anguli: eodem prorsus modo operaberis cum dicto latere AC, quo operatus es cum AB.

Facilior est primus modus per tangentes et secantes, quam secundus per sinus, quia ibi sinus totus obtinet primum locum in regula aurea, ideoque, divisio fit facilior.

Propositio VII. Problema. Data base, et uno latere trianguli rectanguli, duos angulos acutos efficere notos, una cum tertio latere.

[note: Latus et angulos acutos ex base et uno latere. ] [note: Fig. 250. Icon. C. ] IN eodem praecedente triangulo ABC, cujus, angulus A rectus, sit data basis BC palmorum 13, et latus AB pal. 5: oporteatque ex his explorare et angulos B ac C, et latus tertium AC.

Primus modus per sinus. Fiat BC sinus totus eritque AB sinus anguli C, et AC sinus anguli B. Dic jam: Ut latus BC palm. 13, ad latus AB palm. 5; ita BC sinus totus part. 100000, ad aliud: inveniesque AB sinum part. 38461: huic autem sinui, vel potius ejus proxime minori 38456, respondent in tabula G. 22. M 37, ac proinde angulus Cerit G. 22. M. 37. et consequenter angulus B, G. 67. M. 23, et sinus anguli B erit part. 92309. Inventis igitur acutis B et C, eorumque sinibus, dic per 5. Proposit. hujus cap. Si sinus totus partium 100000, dat sinum anguli B part. 92309, quid dat latus BC pal. 13? inveniesque palmos 12 pro latere AC.

Secundus modus per tangentes et secantes. Fiat AB linus totus, eritque BC secans anguli B, et AC tangens ejusdem anguli B. Dic jam: Ut latus AB pal. 5. ad latus BC pal. 13. ita AB sinus totus 100000, ad BC secantem anguli B: inveniesque secantem BC part. 260000: cui, vel potius proxime majori respondent in tabula G. 67. M. 23. ac proinde angulus B est G. 67. M. 23. et consequenter angulus C est G. 22. M. 37, tangentes vero AC anguli B est part. 240038. Dic jam: ut AB sinus totus 10000 partium, ad AC tangentem anguli B part. 240038 ita latus AB pal. 5, ad latus AC, inveniesque pro dicto latere AC palmos 12. Vel dic: ut BC secans partium 260000, ad. AC tangentem part, 240038, ita latus BC palmorum 13, ad latus AC palmorum 12.

Tertius modus per Pythagoricam. Sit ut antea basis BC pal. 13, et latus AB 5. Quoniam igitur triangulum ABC habet rectum A, erit, per Pythagoricam inventionem, sive per 47. pri Euclid. quadratum rectae BC, aequale duobus quadratis laterum AB, AC simul sumptis. Si ergo auferatur quadra um lateris AB, quod est 25, ex quadrato lateris BC, quod est 169: relinquetur quadratum lateris AC, nempe 144: cujus radix quadrata, quae est 12, dat latus AC pal. 12. Ponatur jam BC sinus totus, et AB sinus anguli C, et dicatur: ut latus BC pal. 13, ad sinum totum 100000, ita latus AB pal. 5. ad aliud; inveniesque ut supra in primo modo partes 38461, pro sinu anguli C, etc.

Propositio VIII. Problema. Dato utroque latere, invenire basin, et utrumque angulum acutum.

[note: Basin et utrumque angulum acutum ex utroque latere. ] [note: Fig. 250. Icon. C. ] SIt ut antea triangulum rectangulum ABC, in quo duo latera AB, et AC circa rectum A sint nota, AB palmorum 5, AC pal. 12: oporteatque ex his in venire basim BC in palmis, et angulos acutos B et C in gradibus atque minutis.

Primus modus per tangentes et secantes. Sume latus AB pro sinu toto: eritque AC tangens anguli B, et BC secans ejusdem. Dic jam: si AB palmorum 5, dat AB sinum totum 100000, quam tangentem dabit AC palmorum 12? reperiesque tangentem AC partium 240000, cui in tabula tangentium respondent fere G. 67. M. 23. pro angulo B: ac proinde reliquus angulus C erit G. 22. M. 37. Inventis angulis B et C, sume latus BC pro secante anguli B, et quaere in tabula secantium secantem anguli G. 67. M. 23, et invenies 260035, Die jam: si AB sinus totus 100000, dat AB palmorum 5, quid dabit BC secans 260035? vel dic: si AC tangens 240000, dat AC pal 12, quid dabit BC secans 260035? inveniesque basin BC palmorum 13. fere.

Potest etiam sumi latus AC pro sinu toto, er AB pro tangente anguli C, et BC pro secante ejusdem auguli C, et procedi modo dicto.

Secudus modus per Pythagoricam. Quoniam quadrata laterum AB et AC simul, aequalia sunt quadrato lateris BC, per 47. pri. erit quadratum lateris BC palmorum quadratorum 169, cujus radix quadrata dabit latus BC pal. 13. Invento latere BC, invenientur anguli acuti sic. Fiat BC sinus totus, eritque AB sinus anguli C, et AC sinus anguli B. Dic jam: ut BC pal. 13, adsinum totum 100000, ita AB pal. 5. ad aliud, item, ita AC pal. 12 ad aliud; reperiesque ut antea sinus angulorum C et B, et ex tabula sinuum angulos C et B.

Propositio VII. Problema. Dato uno latere una [orig: unâ] cum proportione duorum angulorum, invenire et angulos acutos, et reliqua latera.

[note: Angulos acutos et ] SIt in praecedente triangulo notum latus AB, et sit proportio anguli Cacuti ad angulum rectum,

[note: latera ex uno latere, et proportione angulorum. ] A, ut 8 ad 18, sive ut 4 ad 9. Quoniam ergo rectus A est G. 90. estque ut 9 ad 4, ita 90 ad aliud, inveniemus extribus quantitatibus proportionalibus notis, nempe ex 9, 4, 90 quartam ignotam, per Notabile 3. hujus cap. si dicamus: Ut 9 ad 4, ita angulus A, G. 90, ad angulum C: [note: Fig. 250. Icon. C. ] inveniemus enim 40 pro angulo C, et consequenter 50 pro angulo B. Ex his autem notis, nota fient reliqua latera, per 6. hujus cap.

Propositio VIII. Problema. Datis tribus lateribus trianguli rectanguli, invenire angulos acutos.

[note: Angulos acutos ex tribus lateribus. ] SIt in praecedenti figura latus AB 3, AB 4, BC 5 pal. Fiat hypothenusa BC 5. sinus totus: eritque AB 3. sinus anguli C, et AC 4 sinus anguli B. Quare si dicas: ut BC 5. ad 100000, ita AB 3 ad aliud, invenies AB sinum anguli C part. [note: Fig. 250. Icon. C. ] 60000, id est, G. 36. M. 52, Sec: 21: et consequenter angulus B erit G. 53. M. 7. Sec. 48.

CAPUT III. De Trigonometria obliquangulorum triangulorum.

[note: ] REcolendum est quod libro praeced, cap. 1. Definit. 3. insinua vimus, nimirum sinum anguli obtusi, seu recto majoris, esse sinum anguli acuti qui est complementum obtusi ad duos rectos. Nam sinus arcus quadrante minoris, est etiam sinus complementi illius arcus ad semicirculum: quid quid autem dicitur de sinu respectu arcuum, intelligi etiam debet de sinu respectu angulorum qui subtenduntur ab arcubus. Invenitur igitur sinus anguli obtusi per Proposit. 2. capitis 4. praecedentis libri.

Propositio IX. Lemma. Si circa triangulum rectilineum quodcumque describatur circulus, per 5. quarti Euclid. erit latus quodlibet chorda arcus quem subtendit.

[note: Fig. 245. Icon. C. ] SIc in triangulo ABD, latus AB est chorda arcus ABCD, et latus AD chorda arcus AD, et latus BD chorda arcus BCD. Patet ex Definit. cap. 1. libri praeced. Et quia est eadem ratio arcuum et angulorum, erunt eadem latera etiam chordae angulotum ipsis oppositorum.

Propositio X. Lemma Dimidium cuiusque chordae est sinus rectus dimidii arcus quem subtendit chorda.

[note: Chordae dimidium est sinus dimidii arcus. ] SIc in praecedenti figura dimidium chordae BD est sinus rectus dimidii arcus BCD. Patet ex dictis lib. 4. cap. 1. post Definit. 4. Ex quo sequitur, omnem chordam esse duplum sinus dimidii arcus cujus est chorda, et consequenter dimidii anguli a dimidio arcus subtensi, ut ibidem diximus.

Propositio XI. Lemma. In omni triangulo obliquangulo, latera habent eandem proportionem ad invicem, quam sinus angulorum ipsis oppositorum, et vicissim.

[note: Latera trianguli habent se ad invicem ut sinus. ] SEquitur ex nona et decima praecedente: nam sinus sunt semisses subtensarum, et vicissim, ut diximus: atqui latera tranguli obliquanguli cujuscunque habent se ad invicem, ut subtensae angulorum ipsis oppositorum; ergo etiam ut semisses subtensarum: nam quae est proportio totius ad tocum, eadem est dimidii ad dimidium.

Propositio XII. Lemma. Datis triangulis obliquanguli angulis, dantur etiam proportiones laterum.

[note: ] SEquitur ex praecedente. Cum enim laterum proportio sit ut sinuum, sinus autem datorum angulorum sint cogniti ex tabula; cognita etiam erit proportio laterum.

Propositio XIII. Lemma. Si ab uno angulo trianguli obliquanguli notorum laterum, adoppositum latus perpendicularis demittatur, quanta sint segmenta lateris aperpendiculari facta, cognoscere.

[note: Segmenta lateris facta a perpendiculari demissa ab angulo opposito cognoscere. ] IN triangulo aequilatero, et isoscelio, perpendicularis demissa ad basin, secat ipsam bifariam per 3. tertii, vel per 26. pri. Euclid. ideo si basis est nota, etiam segmenta erunt nota. In aliis triangulis perpendicularis aliquando cadit intra, aliquando extra triangulum in latus productum. In utroque casu sic reperiuntur segmenta

In apposito utroque triangulo ABC, sit latus AB 13, AC 20 et in priori basis BC sit 21, in posteriori 11. Ex A, ad intervallum minoris lateris AB, [note: Fig. 251. Icon. C. ] describatur circulus secans majus latus AC in F, idemque productum in G, ita ut tota GC, hoc est, aggregatum duorum laterum AB, et AC, sit 33, differentia vero eorundem, hoc est segmentum FC, sit 7. Idem circulus secet quoque reliquum latus BC alicubi in E, sive intra, sive extra triangulum. Secabitur autem semper recta BE a perpendiculari AD, bifariam in D, per 3. tertii: Et per 36. ejusdem, rectangulum sub BC, CE, erit aequale rectangulo suo GC, CF. Est autem rectangulum sub GC, CF notum, quia nota est tota GC hoc est, duo latera AB, AC 33, et nota etiam est recta CF, quae est 7, utpote differentia inter duo latera AB, AC, unde totum rectangulum sub GC, CF, est A 231: notum ergo etiam est rectangulum sub BC, CE. Hujus autem unum latus est notum, nempe BC, in priori quidem triangulo 21, in posteriori vero 11. Diviso ergo rectangulo sub BC, CE, nempe 231, per 21 in prima figura, et per

11. in secunda, Quotiens divisionis erit alterum latus, hoc est, recta EB, in priori quidem divisione 11, in posteriori vero 21. Et quia in priori divisione quotiens 11, hoc est, recta EC, est minor base BC, recte colligitur perpendicularem AD cadere intra triangulum, quia debet dividere bifariam rectam BE, quae est pars reliqua totius basis BC: at vero in posteriori divisione quia quotiens 21, hoc est, recta EC, est major base BC, colligitur perpendicularem AD cadere extra triangulum, quia debet dividere bifariam rectam BE, quae est extra basim BC. Si ergo in priori casu auferatur recta EC ex latere BC, nempe 11 ex 21, remanebit BE 10, cujus semissis, 5, erit segmentum BD, ac proinde alterum CD erit 16. In posteriori vero casu si ex EC inventa partium 21, dematur latus BC partium 11, relinquetur rursus BE 10, cujus dimidium, 5, dabit rectam BD extra triangulum inter perpendicularem et angulum obtusum, ac proinde tota CD, composita ex latere BC, et dicto dimidio AD, erit 16.

Si perpendicularis demittatur in latus maximum trianguli, semper cadit intra ipsum, ut probabitur Proposit. 17. in Annotat.

Propositio XIV. Lemma. Magnitudinem perpendicularis ab angulo ad latus oppositum trianguli demissae invenire.

[note: Perpendicularem ab angulo ad latus demissam invenire. Fig. 251. Icon. C. ] INquire per praecedentem segmenta lateris a perpendiculari facta, v. g. in priori triangulo supra posito segmenta BD, et DC. Quoniam igitur per 47. pri. quadratum rectae AB aequale est quadratis rectarum BD, et AD, si quadratum BD auferatur a quadrato AB, remanet quadratum AD, cujus radix quadrata dabit magnitudinem ipsius AD.

Propositio XV. Problema. Datis tribus, aut etiam duabus tantum angulis trianguli obliquanguli, et uno latere, reliqua duo latera cognoscere.

[note: Latera reliqua ex tertio et angulis. ] DAtis duobus angulis datur etiam tertius, quia hic est complementum ad duos rectos: unde aggregato duorum sublato a G. 180, relinquitur tertium. Datis vero angulis, dantur etiam sinus angulorum, si singulis lateribus adscribantur sinus angulorum oppositorum, per 11. et 12. hujus cap. His notatis, sic procede.

[note: Fig. 252. Icon. C. ] Sit primo triangulum ABC acutangulum, in quo angulus A sit G. 75. M. 45: angulus B, G. 67. M. 23: angulus C, G. 36. M. 52. et latus AB sit 13 palmorum. Quoniam igitur, per 11. hujus cap. est ut sinus anguli C ad sinum anguli A, ita latus AB datum, ad latus BC: si fiat, ut sinus anguli C, nempe 59995, ad sinum anguli A 96923, ita latus AB 13 ad aliud: invenietur latus BC 21 fere. Iterum, si fiat ut sinus anguli 59995 ad sinum anguli B 92309, ita latus AB 13, ad aliud; invenietur latus AC 20 fere palmorum.

[note: Fig. 253. Icon. C. ] Sit secun. Triangulorum ABC obtusus angulum, in quo angulus obtusus B sit G. 112. M. 37: angulus A. G. 30. M. 31, angulus C, G. 36. M. 52. et rursum latus AB 13. Quoniam idem est sinus anguli, qui ejus complementi G. 67. M. 23. invenietur modo jam exposito BC 11, et AC 20 ferme.

In triangulo isoscelio, datis angulis cum uno latere, sufficit invenire adhuc unum tantum, quia duo sunt inter se aequalia. In aequilatero triangulo, si detur unum latus, dantur et reliqua, quia omnia sunt inter se aequalia,

Propositio XVI. Problema. Datis tribus, aut etiam duobus tantum angulis, cum duobus lateribus, reliquum invenire.

[note: Latus reliquum ex lateribus et angulis. ] PRocede cum utrolibet latere dato ut in praecedenti propositione, et habebis quod quaeris.

Propositio XVII. Problema. Datis tribus lateribus, omnes angulos notos facere.

[note: Angulos ex tribus lateribus. ] In triangulo isoscelio v. g. ABC, ducenda est perpendicularis AD ad basin; quae quidem basis semper dividetur bifariam a perpendiculari, per 3. tertii Euclid. Quare si fiat, ut unum aequalium laterum, nempe AB 12. v. g. ad sinum totum ita dimidium basis BD 5. v. g. ad aliud; invenietur [note: Fig. 254. Icon. C. ] sinus cujusdam arcus, cujus complementum ad 90. dabit unum aequalium angulorum supra basim, nempe angulum B, per 8. hujus cap. Ergo et alter aequalium angulorum dabitur, nempe angulus C, et consequenter etiam tertius BAC, utpote reliquus duorum rectorum.

[note: Fig. 255. et Fig. 256. Icon. C. ] In reliquis triangulis laterum inaequalium datorum, v. g. in triangulis appositis ABC, quorum latus AB est 13, AC 20, BC in uno 21, in altero 11, ducatur in latus BC, ex opposito angulo A, perpendicularis AD. Haec si cadat intra triangulum, ut in figura 255, segmenta BD, DC, reperiuntur, per 13. hujus cap. quae sunt 5, et 16. Deinde in triangulo rectangulo ADB, per latera AB, BD inquiratur angulus BAD, ut factum est paulo ante in triangulo isoscelio, et similiter angulus CAD in triangulo rectangulo CDA, ex lateribus AC, CD. Horum enim duorum angulorum BAD, CAD, complementa dant angulos B et C et reliquus angulus BAC componitur ex duobus praedictis, et etiam invenitur per subtractionem duorum B et C ex 180 gradibus.

Quod si perpendicularis AD cadat extra triangulum, ut in figura 256, quaeratur primo segmentum DB, per 13. hujus, et sumpto latere AB pro sinu toto quaeratur arcus anguli DAB, modo paulo ante dicto, cujus complementum dat angulum ABD, et hujus anguli complementum ad duos rectos dat angulum ABC, per 13. pri. Euclid. Deinde sumpto latere AC pro sinu toto, quaeratur arcus anguli DAC, cujus complementum ad quadrantem dat angulum C; hic vero una cum angulo CBA subtractus a 180, relinquit angulum CAB. Eundem angulum CAB dat etiam angulus DAB subtractus ab angulo DAC

Annotatio.

[note: ] QVando perpendicularis demittitur ab angulo qui maximo lateri opponitur, semper cadit intra triangulum: nam angulus maximo lateri oppofitus est omnium trium maximus, per 19. pri. Euclid. ideoque reliqui duo sunt acuti, per 17. pri. quare perpendicularis nec potest congruere uni laterum, alioquin angulus rectus aequaretur acuto: nec potest cadere extra latera, alioquin acutus deberet esse major recto, utpote externus interno et opposito: quod est impossibile, et contra 16. pri. Euclid.

Propositio XVIII. Problema. Datis duobus lateribus trianguli obliquanguli, et angulo uni laterum opposito, inventre reliqua, si constet species anguli.

[note: Latus et angulos reliquos ex duobus lateribus et angulo unilaterum opposito. ] SInt primo in triangulp ABC data latera AB 6, et BC 10, et angulus A, Gr. 15, oppositus lateri BC, constetque de angulo C esse acutum. Ut eum habeas, dic, per 11. hujus cap. Latus BC 10, dat sinum anguli A, qui est 25882, quid dat latus AB 6? Factâ operatione per Regulam auream, reperies sinum hunc, 11529, quem quaere in tabula sinuum, aut si illum non reperis, sume [note: Fig. 257. Icon. C. ] illi proxime aequalem, nimirum hunc, 15528. cui respondent G. 8. M. 56. Est igitur angulus C, G. 8. M. 56. Et quia angulus A ponitur G. 15, si hos duos ex 180 subtrahas, restabit angulus B, G. 156. M. 4. Ut quoque; latus AC habeas, quaere sinum anguli B, per 2. capitis 4. libri praeced qui est 40567, et dic: ut sinus anguli A 25885: ad latus BC 10, ita sius anguli B 40567 ad aliud: et reperies 15 2/5 fere pro latere A C.

Sint secundo nota latera BC 10: AC 15 2/5 cum angulo AG. 15, et sit quaerendus angulus B, de quo constet esse obtusum. Dic: latus BC 10, dat sinum anguli A 25885: quid dat latus AC 15 2/5 Reperies sinum hunc, 40536, cui in tabula respondent G. 23. M. 56. Sed quia angulus B obtusus est, subtrahe G. 23. M. 65 ex duobus. rectis, hoc est, ex gradibus. 180, et restat angulus B 156 graduum et 4 minutorum. Latus AB habebis, si dicas, ut sinus anguli A ad sinum anguli C, ita latus BC 10 ad aliud.

Necessario constare debet de specie anguli qui quaeritur, num acutus sit, an obtusus, alioquin nihil certi colligi potest, quia ex sinu invento non potest sciri qualis sit specie.

Propositio XIX. Problema. Datis duobus lateribus trianguli obliquanguli, cum angulo ab ipsis contento, reliquos angulos, et tertium latus inquirere.

[note: Angulos reliquos et latus tertium ex duobus lateribus et angulo illis contento. ] SInt in triangulo ABC praecaedentis proposit. latera AB 6, BC 10. cum angul. BGr. 156. M. 4. nota. Fiat angul. EDF, angulis A et Caequalis: EDG quidem, angulo A: GDF vero, angulo C. Sit praeterea latus E aequale summae latetum AB, BC: EG quidem, ipsi BC, GF vero, ipsi AB: vel certe quam proportionem habet BC ad AB, eandem habeat EG ad [note: Fig. 258. Icon. C. ] GF, hoc est, EG ad GF sit, ut 10 ad 6. Dividatur tota EF in H bifariam. Cum igitur EG sit partium 10, GF pattium 6: erit tota EF 16 partium: ergo dimidia EH, vel HG erit 8: et differentia ipsarum HF 8, et GF 6; erit GH 2 partium. Si angulus B, quem ponimus G. 156, M. 4, subtrahatur ex 180, restant anguli A, et C, G. 23. M. 56: quantus etiam ponitur angulus EDF: Ergo dimidius HDF, erit G. 11. M. 58. Igitur si dicas: HF 8 dat tangentem anguli HDF, quae est 21195: quid dat HG 2? Reperies tangentem hanc, 5298, quae est tangens anguli HDG, cui in Tabula Tangentium respondent G. 3. M. 2. Haec. si addas ad G. 11. M. 58, prodit angulus major A, G. 15: si subtrahas, restat angulus minor C, G. 8. M. 56. Habiris angulis A, et C, reperitur latus AC per proposit. 15. praecedentem,

[note: Regula per numeros idem praestandi. ] Ex dictis colligis hanc regulam. Quando in triangulo obliquangulo duo latera cum angulo ab illis contenta nota sunt, ut habeantur auguliignoti, fiat (ablato prius angulo dato ex: 80 gradibus, ut summa reliquorum duorum habeatur) ut semissis summae notorum laterum, ad differentiam eorundem, ita tangens semissis summae reliquorum angulorum, ad aliud; reperietur tangens anguli; quem si addas semissi summae angulorum, prodibit angulus ignotus major, qui nimirum major lateri dato opponitur, per 18 pri Euclid. si vero subtrahas a semisse summae angulorum, relinquetur angulus ignotus minor, qui nimirum major lateri dato opponitur. Quod si rursus fiat, ut sinus utriusve angulorum inventorum, ad sinum anguli in principio dati, ita latus invento angulo, qui acceptus fuerit in regula aurea, oppositus, ad aliud; invenietur tertium latus.

CAPUT IV. De dimensione triangulorum Sphaericorum.

[note: ] IN hoc capite brevissime afferam primo pauca quaedam elementa Sphaerica, secundo proprietates nonnullas sphaecorum triangulorum, tertio trigonometriam ipsam tam rectangulorum quam obliquangulorum sphaericorum triangulorum. Elementa et proprietates eo collimant, ut Tyrones aliqualem saltem doctrinae sphaericae cognitionem indipiscantur, praesertim cum infra in Astronomia non exiguo usui sint futura.

DE ELEMENTIS SPHAERICIS.

§. I.

[note: Elementa sphaerica. ] ELementa sphaerica appello, quae necessaria sunt tum ad trigonometriam sphaericam, tum ad universam sphaericam scientiam intelligendam, cujusmodi sunt suppositiones nonnullae, et Definitiones. Melius autem, quae hic breviter insinuo, intelligentur ex dicendis infra lib. 7. de Astronomia Elementari.

Quae sequuntur, voco suppositiones: non quod nulla demonstratione egeant, sed quod demonstrata sumantur a Theodosio, et aliis.

SUPPOSITIONES.

[note: Suppositiones sphaerica. ] SPhaera est figura solida comprehensa unicâ superficie convexa, ad quam ab uno eorum punctorum, quae intra figuram sunt, omnes rectae lineae ductae sunt inter se aequales. Centrum sphaerae est praedictum punctum. Axis sphaerae est recta quaedam [note: Sphaera. ] linea per centrum sphaerae ducta, et utrimque terminata in sphaerae superficie, circa quam quiescentem circum volvitur sphaera. Poli sphaerae sunt extrema puncta ipsis axis. In apposita figura (quam globosam fingere oportet) centrum est E; axis AC, et [note: Fig. 259. Icon. C. ] BD; poli A et C, B et D. Melius intelligentur haec et sequentia, si ante oculos habeatur globus materialis.

II.

[note: Poli circuli in sphaera descripti. ] Polus circuli in sphaera descripti, est punctum in superficie sphaerae, a quo omnes lineae ad circuli circumferentiam tendentes recta, sunt inter se aequales. Circuli AFCG. polus unus est B, alter D: circuli vero BFDG, polus unus est C, alter C

III.

[note: Circuli Sphaera maximi, et non maximi. ] Circuli sphaerae aut sunt maximi, aut non maximi. Maximi sunt, qui dividunt sphaeram in duas aequales partes. Et hi habent idem centrum cum sphaera. Ex quo sequitur, circulos sphaerae habentesidem cum ipsa centrum, esse maximos. Non maximi sunt, qui dividunt sphaeram in duas partes aequales. Et hi non habent idem centrum cum sphaera. Unde circuli non habentes idem cum sphaera centrum, non sunt maximi. In figura circulus AFCG, est maximus, HIKL vero non maximus. Prioris centrum est E, idem quod sphaerae.

IV.

[note: Circuli maximi sphaera secant se mutuo bifariam. ] In sphaera maximi circuli se mutuo secant bifariam: et e contrario, in sphaea circuli qui se mutuo bifariam secant, sunt maximi. Duo circuli, ABCD, et AFCG, secant se bifariam in A et C.

[note: ] Omnes maximi circuli ejusdem sphaerae, sunt inter se aequales, quia eorum diametri sunt aequales, cum omnes per idem centrum transeant, ut patet in diametris AC, BD,

VI.

[note: ] Si in sphaera maximus circulus circulum quempiam ad rectos angulos secet, et bifariam eum secat, et per polos ipsius transit. Ad rectos angulos (scilicet sphaericos) secarese dicuntur, quando unus transit per polos alterius, et consequenter non inclinat magis ad unam ejus partem, quam ad alteram. Sic AFCG secat circulum ABCD ad angulos rectos in punctiis A et C. Sic etiam BFDG secat circulum ABCD ad angulos rectos in B et D. Vtrobique autem bifariam se mutuo secant.

VII.

[note: ] Si in sphaera maximus circulus, eorum qui in sphaera sunt circulorum aliquem per polos secet, bifariam et ad angulos rectos eum secar. Explicatio patet ex proxime dictis.

VIII.

[note: Fig. 259. Icon. C. ] Si in sphaera maximus circulus per polos alterius cujuspiam maximi circuli transeat, transibit vicisiim hic per polos illius. Sic circulus maximus ABCD, transit per polos B et D circuli maximi AFCG, et hic vicissim per polos A et C alterius.

IX.

[note: ] Si in sphaera circulus circulum per polos secet, circulus maximus est, et bifariam eam secat, et ad angulos rectos. Sic quia circulus ABCD, secat tam HIKL, quam AFCD, per polos ipsorum B et D; signum est esse maximum circulum, et utrumque bifariam secat, et adangulos rectos ad H et K, item ad A et C.

[note: ] Si in sphaera circulus circulum bifariam, et ad angulos rectos secet, circulus maximus est, et per poloseum secar. Explicatio patet ex proxime dictis.

XI.

[note: Circulus maximus sphaerae distat a polis suis quadrante. ] Omnis circulus maximus distat undique per quadrantem maximi circuli a suo polo, ideoque omnis quadrans a polo maximi circuli in ipsum ductus est ei ad angulos rectos. Sic AFCG distat a suis polis B et D, per quadrantes AB, CB, A D, CD, etc.

XII.

[note: ] Si duo aut plures maximi circuli maximum circulum ad rectos secent angulos, concursus ipsorum erit ipsiusmet circuli polus Patet ex grobo materiali, si in illo describantur plures circuli maximi secantes alium maximum perpendicu lariter.

DEFINITIONES.

[note: Definitiones sphaerica. Angulus sphaericus. Fig. 260. Icon. C. ] ANgulus sphaericus est, quem in sphaerae superficie duo arcus circulorum maximorum sese muruo secantes continent. Tales sunt anguli AEC, CEB, etc. Dixi, arcus circulorum maximorum, quia anguliab aliis sphaerae circulis effecti in superficie sphaerae a Trigonometris non considerantur. Dixi praeterea, sese mutuo secantes, quia omnes circuli maximi in sphaera se mutuo secant; et nunquam se mutuo secant, et nunquam se mutuo tangunt, per Supposit. 4.

II.

[note: Rectus. ] Angulus sphaericus rectus est, quem in sphaerae superficie duo arcus circulorum maximorum sese ad angulos rectos secantium continent. Tunc autem duo circuli secant se ad angulos rectos, quando unus ad a terum rectus est, hoc est, quando unus secans alterum, non inclinat magis ad unam partem, quam ad alteram, ut supra dicebam Supposit. 6.

III.

[note: Acutus. et obtusus. ] Angulus sphaericus obtusus est, quit recto major est; acutus vero, qui minor est recto, Fxplicatione non eget.

Constituitur angulus sphaericus ad punctum datum, in dato arcu circuli maximi in superficie sphaerae, si per illud punctum, et per polum dati arcus, describatur circulus maximus: hujus enim circuli circum ferentia cum arcu dato angulum rectum constituet, cum circulus hic ad circulum illius arcus sit rectus, per Supposit. 7. et 9. Sic si arcus ADB sit circuli maximi arcus et polus ejus sit E, si ex puncto A per E ducatur circulus maximus AEB, etc. erit angulus A rectus. Si vero per datum punctum describatur arcus circuli maximi non per polos dati arcus; constituet circumferentia hujus circuli cum dato arcu angulos inaequale, obtusum unum, alterum acutum. Sic circuli maximi arcus FHG, cum circuli maximi arcu ADB, ad punctum F constituit angulum AFH obtusum, et HFD acutum.

IV.

[note: Anguli sphaerales aquales. ] AEquales sphaerales anguli sunt, qui sub arcubus circulorum ad aequales angulos inclinatorum continentur.

[note: Triangulum sphaericum aequilaterum isosceles, etc. ] Triangulum sphaericum est, quod tribus arcubus circulorum maximorum in sphaerae superficie continetur. Itaque latera trianguli sphaeriti sunt arcus maximorum circulorum singulatim semicirculo minores. Triangulum sphaericum est vel aequilaterum, si nimirum omnes tres arcus fuerint aequales; vel isosceles, si duo tantum arcus fuerint aequales; vel scalenum, si omnes inaequales inter se fuerint. Item vel rectangulum est, si nimirum aliquem angulum habuerit rectum, vel obtusangulum, si aliquem obtusum habuerit: vel acutangulum, si omnes acuti fuerint. In rectangulo, et obtusangulo triangulo sphaerico, si unus angulus est rectus vel obtusus, possunt alii duo etiam esse recti, vel obtusi, vel alter satem: quod in rectilineis non contingit.

VI.

[note: Arcus anguli sphaerici. ] Arcus anguli sphaerici est arcus circuli maximi, cujus polus est in ipso angulo, inter duos arcus angulum sphaericum comprehendentes interceptus. Sic arcus anguli AEC, est AC, etc. Non omnis ergo arcus angulo sphaerico oppositus, est illius anguli arcus. Quia vero polus circuli maximi abest ab eo quadrante circuli maximi, fit ut uterque arcuum angulum comprehen dentium, inter angulum et arcum anguli positorum, sit quadrans. Quare si angulus fuerit rectus, arcus anguli erit quadrans: si acutus, quadrante minor: si obtusus, major quadrante.

VII.

[note: Complementum arcus anguli sphaerici. ] Complementum arcus est excessus, quo quadrans eum superat, si arcus minor est quadrante: vel ab eo superatur, si est quadrante major.

VIII.

[note: ] Complementum anguli sphaerici est excessus, quo quadrans arcum ipsius anguli superat, vel ab eo superatur.

IX.

[note: Complementum anguli sphaerici. ] Sinus, Tangens, et Secans anguli sphaerici, est sinus tangens, et secans illius arcus, qui arcus anguli dicitur.

§. II. DE PROPRIETATIBUS Angulorum, et triangulorum sphaericorum.

[note: Proprietates angulorum et triangulorum sphaericorum. Fig. 261. Icon. C. ] SI anguli sphaerici crura sive latera continuantur, concurrunt, et semicirculos efficiunt. Sic anguli BAC, crura AB, AC continuata concurrunt in D, et efficiunt semicirculos ABD, ACD. Ratio est, quia per 1. Definit. duo arcus BA, et CA, sunt arcus maximorum circusoum se se mutuo secantes: per 4. voro supposit. in sphaera maximi circuli se mutuo bifariam secant.

II.

[note: ] Si anguli sphaerici crura continuata concurrunt, et semicirculos efficiunt, fiunt duo anguli oppositi inter se aequales. Tales sunt anguli BAC, BDC. Ratio est, quiahabent eandem mensuram, nempe arcum GH, juxta Definit. 6.

III.

[note: ] Cum arcus circuli maximi in sphaera super arcum circuli maximi consistens angulos facit, aut duos rectos, aut duobus rectis aequales efficit. Sic arcus circuli maximi IG, consistens super arcum AGD, facit duos angulos AGI, DGI. Si igitur circulus arcus IG transit per polum circuli arcus AGD, secetur hic ab illo ad angulos rectos, per 11. Suppo fit. si non per polum transit, fit unus angulus obtusus. alter acutus, aequi valentes tamen duobus rectis.

IV.

[note: ] Isoscelium triangulorum sphaericorum duo anguli supra basin sunt aequales; et productis aequalibus arcubus, etiam anguli infra basin fiunt aequales. Hinc sequitur omne triangulum sphaericum aequiangulum, esse etiam aequilaterum.

[note: ] Si trianguli sphaerici duo anguli sunt inter se aequales, etiam latera sub aequalibus angulis subtensa sunt inter se aequalia. Hinc sequitur, omne triangulum sphaericum aequiangulum, esse etiam aequilaterum.

VI.

[note: ] AEquilateri trianguli sphaerici singula latera possunt esse quadrantes maximorum circulorumt et singula quadrantibus vel majora vel minora. Quando singula sunt quadrantes, omnes anguli sunt recti: quando majora quadrantibus, omnes sunt obtusi: quando minora, acuti. E contrario, quando in triangolo sphaerico aequiangulo singuli anguli sunt recti, singula latera sunt quadrantes: quando obtusi, majora sunt quadrante: quando acuti, minora.

VII.

[note: ] Isoscelis trianguli sphaerici aequalia duo latera possunt esse quadrantes, et majora, aut minora quadrantibus. Quando sunt quadrantes, anguli sunt recti: quando majora, obtusi, quando minora, acuti. E contrario, quando duo anguli aequales supra basim sunt recti, latera aequalia sunt quadrantes: quando obtusi, majora sunt quadrante: quando acuti, minora.

VIII.

[note: ] In omni triangulo sphaerico isoscele, cujus duo latera aequalia sunt quadrantes, si angulus subipsis comprehensus est rectus, basis est quadrans: si acutus, quadrante minor: si obtusus, major. Et vicissim, si basis est quadrans, angulus oppositus esi rectus: si major quandrante, obtufus: si minor, acutus. Semper autem polus basis est in angulo sub late tibus comprehenso.

IX.

[note: ] In omni triangulo sphaerico cujus omnes arcus sunt quadrante majores: vel unus quadrans, et reliqui duo quadrante majores: omnes tres anguli sunt obtusi.

[note: ] In omni triangulo sphaerico rectangulo, cujus omnes arcus sunt quadrante minores, reliqui duo anguli sunt acuti. Etsi reliqui duo sunt acuti, erunt singuli arcus quadrante minores.

XI.

[note: ] In omni triangulo sphaerico, cujus omnes anguli sunt acuti, arcus singuli arcus singuli sunt quadrante minores.

XII.

[note: ] In omni triangulo sphaerico, cujus unus quidem arcus quadrante major sit, reliquorum vero uterque quadrante minor, nullus angulorum rectus est.

XIII.

[note: ] Fieri non potest ut in triangulo sphaerico rectangulo unus tantum arcus sit quadrans. Quare qui concedit in triangulo unum quadrantem, concedere debet et alterum, et jaltem duos angulos rectos.

§. III. DE DIMENSIONE TRIANGULORUM SPHAERICOrum rectangulorum, in quibus unus tantum est rectus.

[note: Trigonometria sphaericorum triangulorum in quibus unus tantum est rectus. ] SItriangulum sphaericum habet tres rectos; datis seu cognitis illis, data sunt etiam latera ipsorum utpote quadrantes: et vicissim, per 6. Propriet Si habet duos rectos, datis illis, dantur et latera rectis opposira, nempe duo quadrantes, per 6. Propriet. Si datur etiam latus tertium, datur angulus tertius, et vicissim, quia tunc latus tertium est niensura anguli, per 6. Definit. In his igitur casibus nulla trigonometria estopus, sed solum, quando triangulum habet unicum rectum, et reliquos obliquos, [note: Fig. 262. Icon. C. ] cujusmodi est triangulum appositum rectangulum ad B. Sexdecim variationes in hoc casu occurrere possunt, pro quibus sexdecim regulas praescribimus. In omnibus nomine basis intelligimus arcum recto angulo oppositum, ut hic arcum AC.

Propositio I. Problema. Angulum ex base, et latere, quod angulo quaesito opponitur, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] IN praecedenti triangulo sit data basis AC, G. 60. et latus AB, G. 20. sitque: inveniendus angulus Coppositus lateri dato. Fiat ut sinus totus ad sinum lateris AB dati, ita secans complementi basis AC ad sinum anguli C quaesiti. EXEMPLUM. Sinus totus est 10000000; sinus lateris AB, G, 20, est 34 202. 02: Secans complementi basis AC, G. 60. est 115 47005. Ducta secante praedicta per sinum lateris AB, fit summa 3949308959010: quâ di visâ per radium 10000000 provenit. Quotiens 3949308, [?], pro sinu anguli C: cui respondent Gradus, 23 M. 15, Sec. 42. luxta hanc normam triam reliqua operationes institui debent. Brevitatis causa omitto exempla in. sequentibus.

Propositio II. Problema. Angulum ex base et latere quod angulo quaesito adiacet, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] IN praecedenti triangulo data basis AC sit G. 60, M. 30. latus BC, G. 30: sitque inveniendus angulus C, lateri dato adjacens. Fiat ut radius ad tangentem lateris BC dati, ita tangens complementi basis AC, ad sinum complementi anguli C quaesiti.

Propositio III. Problema. Angulum ex base, et altero angulo non recto invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis AC sit G. 60, M. 30: angulus AC datus sit G. 23. M. 30: et quaeratur angulus C: Fiat ut radius ad sinum complementi basis AC, ita tangens anguli A dati ad tangentem complementi anguli C quaesiti.

Propositio IV. Problema. Angulum ex latere quaesito angulo opposito, et altero angulo non recto, invenire.

[note: Fig 262. Icon C. ] ANgulus investigandus sit C, latus darum AB, et angulus datus A. Fiat ut radius ad sinum anguli A dati, ita sinus complementi lateris AB dati ad sinum complementi anguli C quaesiti.

Propositio V. Problema. Angulum ex latere quaesito angulo adiacente, et altero angulo non recto, invenire.

[note: Icon C. Fig. 262. ] DVmmodo constet, num angulus quaesitus sit major recto, aut minor: vel an basis, aut latus alterum non datum, sit quadrante majus aut minus. Angulus investi gandus sit C, latus datum BC, angulus datus A. Fiat ut radius ad secantem lateris dati, ita sinus complementi anguli dati ad sinum anguli quaesiti.

Propositio VI. Problema. Angulum ex utroque latere circa angulum rectum invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] ANgulus investigandus sit C, latera data AB, et BC circa angulum rectum. Fiat ut sinus totus ad sinum lateris BC, cui angulus quaesitus adjacet, ita tangens complementi alterius lateris AB quaesito angulo oppositi ad tangentem complementi anguli C quaesiti.

Propositio VII. Problema. Latus ex base, et altero latere, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis data sit AC, latus darum BC, latus quod investigatur AB. Fiat ut sinus totus ad secantem dati lateris BC, ita sinus complementi basis AC ad sinum complementi lateris AB quaesiti.

Propositio VIII. Problema. Latus ex base, et angulo qui lateri quaesito opponitur, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis data sit AC, angulus datus C, latus quod quaeritur AB. Fiat ut sinus totus ad sinum basis AC, ita sinus anguli dati C ad sinum lateris AB quaesiti.

Propositio IX. Problema. Latus ex base, et angulo, qui lateri quaesito [correction of the transcriber; in the print quaesisito] adiacet, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis data sit AC, angulus datus A, latus quod quaeritur AB. Fiat ut sinus totus ad sinum complementi anguli A dati, ita tangens basis AC ad tangentem lateris AB quaesiti.

Propositio X. Problema. Latus ex altero latere, et angulo, qui quaesito lateri adiacet, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] DVmmodo constet an quaesitum latus sit quadrante majus aut minus; vel an alter angulus non rectus sit acutus, aut obtusus; vel denique an basi sit quadrante minor, velmajor. Latus quaesitum sit AB, angulus datus A, latus datum BC. Fiat ut radius ad tangentem complementi anguli A dati, ita tangens lateris BC dati ad sinum lateris AB quaesiti.

Propositio XI. Problema. Latus ex altero latere, et angulo, qui lateri quaesito opponitur, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] LAtus quaesitum AB, latus datum BC, angulus datus C. Fiat ut radius ad sinum lateris BC dati, ita tangens anguli C dati ad tangentem lateris AB quaesiti.

Propositio XII. Problema. Latus ex utroque angulo non recto, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] LAtus quaesitum AB, anguli dati A, et C. Fiat ut sinus totus ad secantem complementi anguli A, ita sinus complementi anguli C ad sinum complementi latetis AB quaesiti.

Propositio XIII. Problema. Basin ex latere, et angulo ei adiacente, invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis quaesita AC, angulus datus A, latus datum AB. Fiat ut sinus totus ad sinum complementi anguli A dati, ita tangens complementi lateris AB dati ad tangentem complementi basis AC quaesitae.

Propositio XIV. Problema. Basin ex latere, et angulo ei opposito invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis quaesita AC, angulus datus A, latus datum BC. Fiat ut sinus totus ad secantem complementi anguli A dati, ita sinus lateris BC dati ad sinum basis AC quaesitae.

Propositio XV. Problema. Basin ex utroque latere invenire.

[note: Fig. 262. Icon. C. ] BAsis quaesita AC, latus unum datum AB, alterum BC. Fiat ut sinus totus ad sinum complementi lateris AB, ita sinus complementi alterius lateris BC ad sinum complementi basis AC quaesitae.

Propositio XVI. Problema. Basin ex utroque angulo non recto invenire.

[note: Fig. 262 Icon. C. ] BAsis quaesita AC, anguli dati A et C. Fiat ut sinus totus ad tangentem complementi anguli A, ita tangens complementi alterius anguli C ad sinum complementi basis AC quaesitae.

§. IV. DE DIMENSIONE Triangulorum Sphaericorum obliquangulorum.

[note: ] AD quatuor decim casus reduci possunt cum P. Joanne Baptista Ricciolo omnia ad quae obliquangulorum triangulorum sphaericorum dimensionem pertinent; quae totidem problematibus cum eodem solvo ut sequitur.

Propositio XVII. Problema. Angulum specie praecognitum ex datis duobus lateribus, et angulo uni eorum apposito invenire.

[note: ] ANgulus specie praecognitus dicitur, quando scitur utrum sit acutus, vel obtusus. Fiat ut sinus lateris opposito angulo dato, ad sinum anguli dati, ita latus reliquum datum ad sinum anguli quaesiti, si acutus est. Si obtusus est, subtrahe angulum praedicto modo inventum a gradibus 180, eritque residuum angulus quaesitus.

Propositio XVIII. Problema. Angulum verticalem ex datis duobus lateribus singulatim quadrante minoribus et angulo uni eorum oppsito, et specie anguli oppositi reliquo lateri invenire.

[note: ] ANgulum verticalem appello, qui adatis lateribus comprehenditur. Fiat ut radius ad tangentem anguli dati, ita sinus complementi lateris adjacentis angulo dato ad tangentem complementi anguli primo inventi. Deinde fiat ut tangens lateris adjacentis angulo dato ad tangenti complementi reliqui lateris dati, ita sinus complementi anguli primo inventi ad sinum complementi anguli secundo inventi: Jam si anguli

datis lateribus oppositi sunt ejusdem speciei, summa inventorum angulorum primi et secundi, erit angulus verticalis quaesitus; sin minus, differentia inventorum angulorum erit quaesitus angulus verticalis.

Propositio XIX. Problema. Angulum utrumque ad basin ex datis lateribus simul semicirculo minoribus, et angulo verticali, invenire.

[note: ] FIat ut sinus complementi semisummae laterum ad sinum complementi semidifferentiae eorundem, ita tangens complementi semianguli verticalis ad tangentem semisummae angulorum quaesitorum. Deinde fiat ut sinus semisummae laterum ad sinum semidifferentiae eorundem, ita tangens complementi semianguli verticalis ad tangentem semidifferentiae, addendae ipsi semisummae angulorum, ut fiat angulus major; demendae, ut fiat angulus minor quaesitorum.

Propositio XX. Problema. Angulus quemvis ad basin ex datis lateribus duobus, quorum alterum saltem sit quadrante minus, et angulo verticali acuto, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad secantem anguli verticalis, ita tangens complementi lateris oppositi angulo quaesito ad tangentem complementi primi casus. Deinde fiat ut tangens complementi anguli verticalis, ad secantem complementi anguli primo inventi, ita sinus differentiae inter primum casum ac latus alterum, ad tangentem complementi anguli quaesiti.

Propositio XXI. Problema. Angulum tertium ex datis duobus angulis acutis, et latere opposito uni eorum, ac specie lateris oppositi altero angulo dato, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad sinum complementi lateris dati, ita tangens anguli adjacentis eidem lateri ad tangentem complementi primi anguli. Deinde fiat ut sinus complementi anguli adjacentis dato lateti, ad sinum complementi reliqui dati anguli, ita sinus primi anguli ad sinum secundi anguli, specie conformis, lateri non dato. Jam si latus datum est minus quad rante, summa primi et secundi anguli invenri conflabit angulum tertium quaesitum: si vero est majus quadrante, summa facta ex secundo angulo et primi anguli complemento, subtracta ex gradibus 180, eundem dabit.

Propositio XXII. Problema. Angulum basi oppositum ex datis duobus angulis, quorum unus saltem sit acutus, et ex basi iis adiacente, quae sit minor quadrante, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad sinum anguli datorum minoris, ita sinus reliqui anguli dati ad inventum primum. Deinde fiat ut radius ad inventum primum, ita sinus versus basis ad inventum secundum. Tertio addatur inventus secundus sinui verso differentiae inter utrumvis datorum angulorum, et reliqui supplementum ad gradus 180, et fiet sinus versus anguli verticalis quaesiti.

Propositio XXIII. Problema. Angulum quemlibet tamquam verticalem, ex datis tribus lateribus quaerere.

[note: ] FIat ut radius secantem complementi lateris unius continentis angulum quaesitium, ita secans complementi lateris alterius eundem continentis, ad inventum primum. Deinde fiat ut radius ad inventum primum, ita differentia sinuum versorum anguli quaesiti.

Propositio XXIV. Problema. Basin ex duobus datis lateribus singulatim quadrante minoribus, et angulo uni eorum opposito, ac specie anguli oppositi reliquo dato lateri, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad secantem anguli dati, ita tangens complementi lateris adjacentis angulo dato ad tangentem complementi primi arcûs. Deinde fiat ut sinus complementi lateris adjacentis angulo dato, ad sinum complementi reliqui lateris dati, ita sinus complementi arcûs primi ad arcum secundum, addendum arcui primo, si anguli lateribus datis opposit sunt ejusdem speciei, ut habeatur basis; alioquini differentia inventorum arcuum dabit basin.

Propositio XXV. Problema. Basin ex datis lateribus duobus, quorum saltem unum sit quadrante minus, et ex dato angulo verticali acuto, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad sinum lateris datorum minoris, ita sinus reliqui lateris ad aliud: invenietur arcus, qui vocetur primus. Deinde fiat ut radius ad arcum primum, ita sinus versus anguli verticalis ad arcum secundum; quem adde sinui verso differentiae laterum, et fiet sinus versus basis quaesitae.

Propositio XXVI. Problema. Basin adiacentem duobus angulis datis acutis, ex iis, et ex latere uni eorum opposito, nec non specie lateris oppositi alteri angulo, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad secantem anguli adjacentis lateri dato, ita tangens complementi lateris dati ad tangentem primi arcûs. Deinde fiat ut tangens anguli adjacentis lateri dato ad tangentem complementi reliqui anguli dati, ita sinus

primi arcûs ad sinum secundi arcûs specie conformis lateri non dato. Jam si latus datum est minus quadrante, summa primi et secundi arcus inventi conflabit basim quaesitam. At si majus est quadrante, summa facta ex secundo arcu et ex complemento primi arcus ad semicirculum conflabit illam.

Propositio XXVII. Problema. Latus dato angulo oppositum, specie tamen praecognitum, ex datis duobus angulis, et latere uni eorum opposito, invenire.

[note: ] FIat ut sinus anguli oppositi dato lateri, ad sinum dati lateris, ita sinus reliqui anguli dati ad sinum lateris quaesiti, quadrante minoris. At si debeat esse majus quadrante, subtrahatur latus inventum a gradibus 180, et habebis latus quaesitum.

Propositio XXVIII. Problema. Latus utrumque unico actu, ex datis angulis duobus simulduos rectos non excedentibus, et ex base ipsis adiacente, invenire.

[note: ] FIat ut sinus complementi semisummae angulorum datorum ad sinum complementi semidifferentiae eorundem, ita tangens semibasis ad tangentem semisumma: laterum. Deinde fiat ut sinus semisummae angulorum datorum ad sinum semidifferentiae eorundem, ita tangens semibasis ad tangentem semidifferentiae laterum, addendae ipsi semisummae laterum ut habeatur latus majus; demendae, ut habeatur minus.

Propositio XXIX. Problema. Latus utrumvis ex datis angulis duobus quorum saltem unus sit acutus, et ex basi adiacente, quaesit minor quadrante, invenire.

[note: ] FIat ut radius ad tangentem anguli oppositi lateri quaesito, ita sinus complementi basis ad tangentem complementi primi inventi. Deinde fiat ut tangens complementi basis ad secantem primi inventi, ita sinus complementi differentiae inter primum inventum, et secundum darorum angulorum, si quaeritur latus oppositum angulo acuto; vel sinus complementi summae factae ex invento primo, et altero datorum angulorum, si quaeritur latus oppositum angulo obtuso, ad tangentem complementi lateris quaesiti (si dicta summa, aut differentia non excedat gradus 90.) vel complementi ad gradus 180, si excedat.

Propositio XXX. Problema. Latus quodvis tamquam basin ex datis tribus angulis invenire.

[note: ] FIat ut radius ad secantem complementi alteri utrius angulorum quaesitae basi adjacentium, ita secans complementi reliqui dictorum angulorum ad arcum, qui vocetur inventum. Deinde fiat ut radius ad arcum inventum, ita differentia duorum sinuum versorum (de qua mox) ad sinum versus basis quaesitae. Unus dictorum sinuum versorum sit sinus versus anguli verticalis, alter autem sinus versus differentiae quae est inter quemvis duorum angulorum adjacentium basi, et inter alterins item basi adjacentis supplementum ad gradus 180.

COMPENDIUM BREVISSIMUM Trigonometriae Elementaris, ac Practicae.

PROOEMIUM.

[note: [note: Compendium Trigonometriae. ] ADeo necessaria est Trigenometriae cognitio ad Mathesin prope universam, ut nihil solide intelligi sine ipsa queat; adeo utilis, ut qui non perfunctoriam eius notitiam habuerit, nihil non attentare proprio Marte audeat, ac felicissime perficere. Quae causa est, cur eum, qui progressum facere in inchoato Mathematicae studio cupit, nervum omnem intendere oporteat, ut perfectam ac demonstrativam illius scientiam sibi acquirat. Quoniam vero sine Euclidis Elementis, quae primis sex libris comprehenduntur, nulla Mathematica demonstratio intelligi potest, aut perfici; nec tamen omnibus aut licet, aut libet, illos omnes evolvere integre atque addiscere, conati sunt nonnulli paucas ex omnibus decerpere Propositiones et eo disponere ordine, ac demonstrare, ut ex iis solis possint omnes triangulorum (planorum saltem) resolutiones scientifice ostendi. Hoc idem felicissime praestitit Vir quidam doctissimus, et in Mathematicis scientiis versatissimus (cuius nomen ut prodam, modestia non permittit) qui quidquid ad scientificam planorum triangulorum solutionem necessarium est, ad quindecim sola revocavit theoremata, eaque ita demonstravit, praemissis paucis Definitionibus, Postulatis, Axiomatibus ac Problematibus (stilo Tironibus syllogisticae arguendi methodo adsuetis accommodato) ut nullam aliam supponant demonstratam, vel demonstrandam Propositionem. Haec cum in manus meas venissent non dubitavi Tironibus Mathematicarum scientiarum cupidis communicare, eodem prorsus ordine, quo ab ipso sunt conscripta, una cum praeviis Definitionibus, Postulatis, Axiomatibus, ac Problematibus. ]

CAPUT I. Definitiones ad Trigonometriam necessariae.

[note: Definitiones Mathematicae. Vide Iconismi I. Fig. I. ] LInea recta est, quae ex aequo sua interjacet puncta: hoc est, cujus nullum punctum intermedium existit supra vel infra duo extrema. Vel secundum Archimedem, Linea recta est minima earum quae terminos habent eosdem: hoc est, linea recta est ostensio brevissima inter duo extrema puncta; qualis est Fig. 1

II.

[note: Vide Iconismi I. Fig. II. ] Parallelae seu aequidistantes rectae lineae sunt, quae in eodem plano existentes nunquam possunt concurrere; etsi in infinitum protrahantur, sed semper et ubique aequidistabunt; qualis est Fig. 2.

III.

[note: Vide Iconis. I. Fig. III. et IV. ] Angulus est duarum linearum in eodem plano se mutuo tangentium, et non in directum jacentium, alterius ad alteram inclinatio; ut apparet in Fig. 3 et 4.

IV.

[note: ] Si lineae angulum continentes rectae fuerint, angulus rectilineus dicitur, uti apparet in Fig. 3. si autem lineae curvae fuerint, angulus curvilineus dicitur, uti apparet in Fig. 4.

[note: Vide Iconismi I. Fig. V. ] Si recta linea superrectam consistens, eos, qui deinceps sunt, angulos aequales fecerit, rectus est uterque aequalium angulorum; et linea recta insistens, perpendicularis dicitur. Sic in Fig. 5. anguli BCA, item DCA, recti sunt; linea vero AC in C consistens super BD; est perpendicularis. Ubi obiter adverte, quando angulus aliquis pertres litteras Alphabeti denotatur, semper secundam, seu mediam litteram, quae nominatur, significare concursum duarum linearum, seu angulum qui fit ex duabus lineis.

VI.

[note: Vide Iconismi I. Fig. VI. ] Obtusus angulus est, qui major est angulo recto; uti est in Fig. 6. angulus EDZ. Acutus angulus est, qui major est recto angulo; uti est in eadem Fig. 6. angulus RDZ.

VII.

[note: Vide Iconismi I. Fig. VII. VIII. IX. X. ] Triangulus seu Triangulum est figura habens tria latera, seu constans tribus lineis conjunctis, et non in directum jacentibus, ut apparet in Fig. 7. 8. et 9. Quod si haec tria latera omnia sint aequalia inter se, ut in Fig. 7. vocabitur triangulum aequilaterum: Si autem duo tantum latera sint inter se aequalia, uti in Fig. 8. vocabitur triangulum isosceles: si nulla latera sint aequalia inter se, ut in Fig. 9. et 10. vocabitur triangulum scalenum.

VIII.

[note: ] Triangulum rectangulum dicitur, quod unum habet rectum angulum, ut est Fig. 9. Obtusangulum est, quod unum habet obtusum angulum, ut est Fig. 10. Acutangulum est, quod omnes tres angulos habet acutos, ut est Fig. 7. et 8.

IX.

[note: ] Latus unum quodque trianguli dicitur subtendere angulum sibi oppositum. Sic in Fig. 7. 8. 9. et 10. latus AB subtendit angulum ACB; latus vero BC angulum BAC; et latus AC angulum ABC.

[note: ] Latera duo quae in altum eriguntur in triangulo vocantur crura trianguli, latus vero tertium vocatur basis. Sic in Fig. 7. 8. et 10. latera AB, et CB, vocantur crura illorum triangulorum; AC vero basis. Alias tamen quotiescunque duo quaelibet latera trianguli sunt determinate nominata, tertium, quod superest, dicitur basis.

XI.

[note: ] Hypothenusa est latus trianguli subtendens angulum rectum; ut in Fig. 9. hypothenusa est BC, quia subtendit angulum rectum BAC.

XII.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XI. ] Anguli mensura est circuli ex angulari puncto descripti arcus; ut in Fig. 11. apparet, in qua circuli arcus BC est mensura anguli GAO. Ut intelligas hanc definitionem, adverte, quemvis circulum, sive magnus, sive parvussit, dividi in partes aequales 360, ita ut si circulus sit magnus, partes illae sint magnae; si parvus, parvae. Si igitur dato quocunque angulo ejus mensuram scire cupis, pone unum circini pedem in concursu duarum illarum linearum, v. g. in A Figurae 11. et aperturâ circini quacunque v. g. AC, describe arcum circuli, v. g. arcum BCD. deinde vide quot partes ex 360 contineantur in arcu BC inter utramque lineam inter cepto; tantus enim erat angulus, seu tot erit graduum, quot gradus in illo arcu continebuntur.

XIII.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XII. XIII. XIV] Quadrilaterarum figurarum quadratum est, quod et aequilaterum est, et aequiangulum; uti est Fig. 12.

XIV.

[note: ] Parallelogrammum est figura quadrilatera, habens latera opposita sibi invicem parallela; ut apparet in Fig. 13. et 14.

XV.

[note: ] Ratio est duarum magnitudinum ejusdem generis mutua quaedam secundum quantitatem habitudo.

XVI.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XV. ] Ejusdem autem generis magnitudines dicuntur illae, quae multiplicatae possunt se mutuo superare. Unde liquet, inter lineam finitam et infinitam non esse proportionem, quia quantumcunque linea finita multiplicetur per numeros certos et finitos, nunquam tamen excedet lineam infinitam. Item angulos contingentiae, qui fit dum circulus tangit lineam rectam, uti est angulus ABC in Figura 15. nullam habet proportionem cum rectilineo quocunque; quia ille quantumcunque multiplicatus, nunquam superabit istum, ut demonstrat Clavius lib. 3. Proposit. 16. in Euclidem. Econtra vero, uti in Fig. 12. diameter AB quadrati, cum suo latere quocunque v. g. BC. Habet proportionem, quia omne latus quadrati duplicatum superat diametrum.

XVII.

[note: ] Proportio vel Proportionalitas est duarum rationum similitudo, Exempli gratiâ, 2. ad 1, vel 4. ad 2, vocatur ratio; et quia duorum ad unum, hoc est, dupli ad simplum, ratio eadem est, quae quatuor ad duo, idcirco inter 2 et 1, ac inter 4. et 2, est proportio. Igitur ad proportionem

quatuor termini vel magnitudines requiruntur, quarum prima se habeat ad secundam, sicut tertia ad quartam.

XVIII.

[note: ] Eandem autem vel similem rationem, et consequenter proportionem inter se dicuntur habere magnitudines, prima ad secundam, et tertia ad quartam, quando multiplicatis uno eodemque quocunque tandem numero antecedetibus (hoc est, primâ et tertiâ magnitudine) multiplicatis item uno eodemque quocunque tandem numero consequentibus (hoc est, secundâ et quartâ magnitudine) semper evenit, ut quoties multiplex primae magnitudinis major est, aut aequalis, aut minor, quam sit multiplex secundae, toties etiam multiplex tertiae magnitudinis sit major, aut aequalis, aut minor, quam multiplex quartae, ut patet in apposito exemplo, ubi hi quatuor num eri, 4. 2. 6, 3, in eadem sunt

ratione, et eandem habent proportionem, quia si primum et tertium multiplicaveris per 2. et secundum ac quartum per 3. ut in exemplo A: vel primum ac tertium per 3, et secundum ac quartum per 8, ut in exemplo B: vel primum ac tertium per 10. et secundum ac quartum per 20. ut in exemplo C; semper si multiplex primi est major, vel minor, vel aequalis, quam multiplex secundi, etiam multiplex tertij est major, vel minor, vel aequalis, quam multiplex quarti. Eadem est ratio, si multiplicatio fiat per quoscunque numeros modo dicto.

XIX.

[note: ] Magnitudines quae habent inter se proportionem, proportionales vocantur, uti sunt 4 et 2, cum 6 et 3 in praecedenti exemplo; sicut enim 4 ad 2 habet proportionem dupli ad simplum, ita et 6 ad 3. Et haec ex lib. 5. Euclidis.

XX.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XVI. ] Sinus rectus alicujus arcus, est linea perpendicularis cadens ab uno extremo arcus intra ipsum in semidiametrum circuli. Sic in Fig. 16 AC est semidiameter circuli, seu sinus totus, aut radius; BE est sinus rectus 60 graduum, seu arcûs BGC; GF est sinus arcûs GC 30 graduum; NP est sinus 50 grad. seu arcus NGO.

XXI.

[note: ] Tangens alicujus arcus est in illa linea, quae perpendiculariter insistit extremitati ipsius semidiametri circuli, et abscinditur per lineam ductam ex circuli centro per certum gradum ipsius arcûs. Sic CL est tangens ipsius arcus NGC, hoc est, 50. graduum. Eodem modo CD est tangens arcûs GC, seu 30. grad.

XXII.

[note: ] Secans est linea ducta ex centro arcus per terminum certum ipsius arcus, usque dum concurrat cum tangente. Sic AL est secans ipsius arcus NGC 50 grad. AD vero est secans arcûs GC 30. grad.

CAPUT II. Postulata, et Axiomata ad sequentes demonstrationes necessaria.

[note: ] NOmine Postulatorum seu Petitionum intelliguntur propositiones practicae per se notae, quas fieri et practicari quivis intelligens permittere debet sine demonstratione: momine vero Axiomatum intelliguntur propositiones speculativae adeo certae, et evidenter verae, ut eas nemo intelligens terminos negare possit.

Postulata.

[note: Postulata Mathematica. ] I. Concedatur posse a quovis determinato puncto ad aliud punctum lineam rectam duci.

Axiomata.

[note: Axiomata Mathematica. ] I. Quae sunt aequalia uni tertio, etiam inter se sunt aequalia.

VII. Si ex toto aliquo accipitur plus quam dimidium, residuum minus est dimidio; si accipitur minus quam dimidium, residuum est majus dimidio.

VIII. Si aliqua quantitas non est aequalis alteri, erit eâ vel major, vel minor; et e contrario, si nec sit major, nec minor, erit aequalis illi.

IX. Quo angulus rectilineus est major, eo lineae angulum illum comprehendentes magis divaricantur, seu ab invicem distant; et e contrario, quo erit minor angulus, eo magis lineae coeunt, seu minus distant.

CAPUT III. Problemata ad Trigonometriam necessaria.

[note: Problemata ad Trigonometriam necessaria. ] NOtandum est, Propositiones Mathematicas, quas Euclides demonstrat, esse duplices: quaedam enim sunt practicae, quibus scilicet docemur figuram aliquam recte et geometrice construere; et hae vocantur problemata: quaedam vero sunt tantum speculativae, quibus tamen aliquid evidenter circa quantitatem cognoscimus; et hae vocantur Theoremata. Quo posito, sit

Problema I. Lineam perpendicularem erigere ad extremitatem lineae datae.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XVII] DAta sit linea AB, ad cujus extremitatem A perpendicularis ducenda sit. I. Pone pedem unum circini in A, et altero extento sume versus B extra lineam punctum aliquod C. II. Servatâ eâdem aperturâ circini, ex centro C describe circurum qui transeat per A, et in super secet lineam AB in puncto D. III. Duc lineam per D et C, donec secetur circulus in E. IV. Per E et A duc lineam; quae ipsa erit perpendicularis desiderata. Demonstratur Propos. 31. lib. 3. Euclid.

Problema II. Perpendicularem erigere ex dato puncto extra lineam.

[note: Vide Iconismi I. F. XVIII. ] SIt data linea AB, et extra eam punctum D, ex quo ducenda sit perpendicularis. I. Pone pedem unum circini in D, et alterum extendens seca lineam AB utrinque in E et F. II. Unum circini pedem pone in E, et ex parte opposita puncto D describe arcum GH. III. Eodem modo manente eâdem apertura circini, pone pedem unum in F, et altero describe ex eadem opposita parte arcum IK, donec secet arcum GH. IV. Per hanc sectionem, et per punctum D, duc lineam; et haec erit ipsa perpendicularis desiderata. Demonstratut lib. 1. Proposit. 12. Euclid.

Problema III. Perpendicularem ducere ad punctum datum in ipsa linea.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XIX. ] DAta sit iterum linea AB, et in ea punctum F, ad quod ducenda sit linea perpendicularis. I. Pone pedem circini in F, et utrimque nota in data linea (eâdem circini aperturâ manente) duo puncta, C et D. II. Pone unum pedem circini in C, et ex utraque parte lineae describe arcus EG, et HI. III. Item (manente prioriaperturâ circini) pone unum pedem in D, et eodem modo ex utraque parte lineae describe arcus MN, et KL, qui priores arcus intersecent. IV. Per has intersectiones duc lineam; quae ipsa erit perpendiculatis quaesita. Demonstratur lib. 1. Proposit. 11. Euclid.

Problema IV. Parallelam lineam per punctum extra datam lineam positum ducere.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XX. ] DEtur linea AB, et punctum C extra illam, per quod ad lineam AB ducenda sit parallela. I. Posito pede uno circini in puncto C, et altero extento describe arcum ED, sumendo initium a linea data versus eam partem, in qua est punctum C. II. Pone pedem circini (manente priori aperturâ) in E, et describe arcum CF, incipiendo a C versus lineam datam, donec eam secet in puncto F. III. Accipe circino distantiam FC, eamque transfer in arcum ED, ex E usque in H. IV. Per C. et H duc lineam; et erit haec linea parallela desiderata. Demonstratur lib. 1. Propos 31. Euclid.

Problema V. Per tria puncta, non in eadem recta linea posita, circulum describere.

[note: Vide Iconismi I. Fig XXI. ] DEntur tria puncta, A, B, C, non in eadem recta linea, per quae circulus describi debeat. I. Pone circini aperti unum pedem in A, ex eoque describe arcum FGH. II. Eâdem servatâ apertura describe ex B arcum GKH, versus punctum A, donec secet alterum in duobus punctis. G et H III. Duc per has intersectiones G et H lineam. IV. Etiam ex tertio puncto C describe arcum KHI, donec unum ex ductis prius arcubus secet in duobus punctis, v. g. arcum GKH in punctis K et I; per quas duas sectiones ducito lineam KI, quae prius ductam lineam secabit in D, quod ipsum erit centrum circuli futuri. V. Pone pedem circini in D, et altero extento usque in C vel B, vel A, describe integrum circulum; qui necessario per tria puncta data transibit.

Hinc facile erit cujusvis arcus centrum reperire, et circulum integrum describere, si nimirum in arcu dato notentur tria quaelibet puncta, et procedatur ut dictum. Demonstratur lib. 3. Proposit. 25. Euclid.

CAPUT IV. Theoremata quindecim ad Trigonometriam necessaria.

Theorema I. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habuerint, habeant vero et angulos ab illis lateribus comprehensos aequales; etiam bases illorumerunt aequales, et consequenter totum triangulum erit aequale toti alteri triangulo.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XXII] SIt in apposita Fig. latus BA aequale lateri ED; et latus BC aequali lateri EF; et insuper angulus ABC aequalis angulo DEF. Dico primo, etiam tertium latus seu basim AC esse aequalem basi DF; et secundo, totum triangulum ABC esse aequale toti triangulo DEF. Est Propos. 4. lib. 1. Euclid. Demonstratur. Quae sibi mutuo congruunt, sunt aequalia, per Axio. 6. Sed basis AC, et DF, item totum triangulum ABC, et DEF, sibi mutuo congruunt; ergo et bases illae, et illa triangula sunt inter se aequalia. Minor probatur. Intelligatur enim triangulum DEF ita superponi triangulo ABC, ut latus ED jaceat super AB, et EF super BC, angulus vero DEF super angulo ABC; certum est quod etiam latus tertium DF congruat lateri AC, et consequenter totum triangulum DEF congruat toti triangulo ABC. Si enim latus DF non congrueret ipsi lateri AC; argo deberet latus DF exspatiari vel in G, vel in H: sed hoc est impossibile, et contra Definit. 1. quâ dicitur, omnia puncta lineae

rectae ex aequo debere inter jacere inter sua extrema puncta; basis vero DF aeque est linea recta, ac basis AC. Ergo et basis DF est aequalis basi AC; et totum triangulum ABC est aequale toti triangulo DEF. quod erat demonstrandum. Ex his patet, etiam reliquos angulos trianguli DEF esse aequales reliquis angulis trianguli ABC, quibus aequalia latera subtendutur, nimirum angulum EDF angulo BAC, et angulum EFD angulo BCA.

Theorema II. Si unum triangulum habuerit duos angulos aequales duobus angulis alterius trianguli; si item latera comprehensa ab illis angulis fuerint aequalia; etiam reliqua latera, et ipsa totatriangula, sibi aequalia erunt.

[note: Vide Iconismi I. Fig XXIII] SIt angulus ABC aequalis angulo DEF; item angulus BCA sit aequalis angulo EFD; et tandem latus BC sit aequale lateri EF. Dico, etiam latus DE esse aequale lateri AB, et latus DF lateri AC, et consequenter totum triangulum DEF toti triangulo ABC. Est Propos. 26. lib. 1. Euclid. Demonstratur. Quae sibi mutuo congruunt, sunt aequalia, per Axio. 6. sed latus DE in hoc casu congruit lateri AB; item latus DF lateri AC; et consequenter tota triangula sibi invicem; ergo erunt invicem aequalia. Minor probatur. Si enim illa latera non congruunt sibi invicem, excedet unum latus alterum, per Axio. 8. sed hoc implicat; ergo etc. Minor probatur. Intelligatur enim triangulum DEF ita superponi triangulo ABC, ut quae supponuntur invicem aequalia, jaceant super se invicem, tunc igitur (siquidem latus DE dicitur non congruere lateri AB) si excedatur latus AB a latere DE, ab A, v. g. usque ad D, sequitur partem esse aequalem toti, hoc est, angulum BCA (cui aequalis est ex suppositione, angulus EFD) angulo BCD: sed hoc est impossibile, per Axio. 5. ergo etc. Minor probatur, quia triangulum EDF superpositum, tunc caderet in BCD, per praecedens Theorema, ergo angulus BCD esset ipse angulus EFD superpositus; qui tamen supponitur aequalis esse ipsi angulo BCA. Eodem modo demonstratur de altero latere, et consequenter de toto triangulo. Si ergo unum triangulum habuerit, etc. quod erat demonstrandum. Ex his patet, etiam reliquos angulos esse inter se aequales, per Theor. 1.

Theorema III. Recta linea incidens in aliam rectam, facit velduos angulos rectos, vel duos angulos aequales duobus rectis.

[note: Vide Iconismi I. Fig XXIV] CAdat linea DE in lineam AB, dico illam facere duos angulos DEB, et DEA, vel rectos, vel duobus rectis aequales. Est Propos 13. lib. 1. Euclid. Demonstratur. Linea DE vel est perpendicularis lineae AB, vel non: si est, ergo per Definit. 4. faciet duos angulos rectos: si non est, intelligatur ducta quaedam perpendicularis CE ex puncto E, per Probl. 3. jam sic. Anguli CEA, et CEB, sunt aequales duobus rectis, per Definit. 4. Sed anguli DEA, et DEB sunt aequales angulis CEA, et CEB, ergo DEA, et DEB sunt aequales duobus rectis. Minor probatur, quia anguli CEA, CED, et DEB, sunt aequales angulis CEA et CEB, per Axio. 4. utpote partes suo toti: sed anguli DEA, et DEB, per idem Axio. 4. sunt aequales angulis CEA, et CEB; erga recta linea incidens, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema IV. Anguli ad crucem oppositi sunt aequales inter se.

ID est, angulus EBC est aequalis angulo DBA, [note: Vide Iconismi I. Fig. XXV] item angulus EBD aequalis est angulo CBA. Est Propos. 15. lib. 1. Euclid. Demonstratur. Si ab aequalibus aequalia tollas, quae remanent, sunt aequalia, per Axio. 3. Sed anguli EBC, et CBA, sunt aequales angulis CBA, et ABD; ergo si ab his auferas communem angulum CBA qui remanent (scilicet anguli EBC, et DBA) erunt aequales. Minor probatur, quia quae sunt aequalia uni tertio, sunt aequalia inter se, per Axio. 1. Sed anguli EBC, et CBA, item anguli CBA, et ABD, sunt aequales uni tertio, scil. duobus rectis, per Theor. 3. ergo sunt aequales inter se, et consequenter anguli ad crucem oppositi sunt inter se aequales, quod erat demonstrandum.

Theorema V. Recta incidens in duas rectas parallelas, facit 1. duos angulos internos, et ad easdem partes, simul aequales duobus rectis; 2. angulos alternos inter se aequales; 3. externum interno sibi ad easdem partes opposito aequalem: et vicissim, si recta incidens in duas rectas, facit 1. duos angulos internos, et ad easdem partes, aequales duobus rectis; 2. angulos alternos inter se aequales; 3. externum interno sibi ad easdem partes opposito aequalem; in omnibus casibus parallelae sunt duae illae rectae.

REcta linea EF, incidar in rectas parallelas [note: Vide Iconismi I. Fig XXVI] AB, et CD; dico 1. angulos duos AGH, et GHC simul sumtos, esse aequales duobus rectis; 2. angulum AGH esse aequalem angulo GHD. 3. angulum EGB esse aequalem angulo GHD. Est Propos 29. l. 1. Euclidis: item 27. et 28. ejus dem.

Demonstratur Imum Anguli AGH, et GHC simul sumpti, non sunt majores nec minores duobus rectis; ergo per Axio. 8. erunt aequales duobus rectis. Antecedens probatur, nam si duo anguli AGH, et GHC, essent majores duobus rectis, necessario duo anguli BGH, et GHD, per Theor. 3. residuiad quatuor rectos, erunt duobus rectis minores; ergo per Axio. 9. etiam lineae parallelae AB, CD, ex parte AG, et CH, magis distabunt, quam ex parte GB, et HD; quod est impossibile, et contra. Definit. 2. Eodem modo demonstratur, AGH, et GHC, non esse minores duobus rectis, eo quod tunc reliqui duo BGH, et GHD, essent majores, et consequenter contra Definitionem 2. parallelae non ubique et semper aeque distarent. Ergo recta

Demonstratur 2 um. Si ab aequalibus aequalia tollas, quae remanent, lunt aequalia, per Axio. 3. Sed AGH cum BGH est aequale ipsi DHG cum eodem BGH; ergo si tollatur angulus BGH utrique communis, quae remanent, scilicet alterni anguli AGH, et GHD, erunt inter se aequales. Minor probatur, quia quae sunt aequalia uni tertio, sunt etiam aequalia inter se, per Axio. 3. Sed AGH, cum BGH, per Theor 3. item DHG, cum eodem BGH, per 1. partem hujusTheor. Sunt aequalia uni tercio, scil. duobus rectis; ergo AGH cum BGH est aequale ipsi DHG cum eodem BGH. Ergo recta incidens in duas parallelas; angulos alternos facit inter se aequales; quod erat secundo demonstrandum.

Demonstratur 3 um. Angulus AGH est aequalis angulo GHD, per 2. partem hujus Theor. Sed EGB est aequalis ipsi AGH, per Theor. 4. ergo EGB est aequalis ipsi GHD. Ergo linea recta incidens in duas parallelas, facit angulum externum interno, etc. quod erat demonstrandum. Ex his facile demonstrari potest conversum hujus Theorematis quoad omnes tres partes.

Theorema VI. In omni triangulo tres anguli simul sunt aequales duobus rectis.

[note: Vide Iconismi I. F. XXVII. ] DIco igitur quod in triangulo ABC, tres anguli simul sumpti sint aequales duobus rectis. Est Propos. 32. lib 2. 1. Euclid. Demonstratur. Ducatur. per Probl. 4. linea DE, per punctum C, parallela lateri AB; quo facto, angulus ACD additus duobus angulis ABC, et BCA facit duobus rectis aequales, per partem 1. Theor. 5. Sed angulus BAC est aequalis angulo ACD, per partem 2. Theor. 5. ergo etiam BAC additus angulis ABC, et BCA, facit aequales duobus rectis. Ergo in omni triangulo, etc. quod erat demonstrandum.

Corollaria.

[note: ] HInc sequitur I. in uno triangulo non posse esse nisi unum rectum, et non nisi unum obtusum: nam si essent duo recti, vel duo obtusi, tertius angulus cum duobus illis rectis, velobtusis, jam faceret omnes tres majores duobus rectis. II. tertium quemvis angulum esse tantum, quantum reliquis duobus deest ad duos rectos. III. si duo triangula habent duos angulos sibi mutuo aequales, etiam tertius angulus unius trianguli erit aequalis tertio angulo alterius trianguli. IV. sequitur externum angulum FAB, esse aequalem duobus internis oppositis, hoc est, angulis ABC, et BCA, quia FAB cum BAC (utpote duo recti, per Theor. 3.) sunt aequales ipsis BAC cum ABC, et BCA (utpote etiam duobus rectis, per Theor. 6.) ergo si ab his aequalibus tollatur aequalis et utriusque communis angulus BAC'; quae remanent, nempe duo interni ABC, BCA simul sumpti, et externus FAB, erunt inter se aequales, per Axio. 3.

Theorema VII. Parallelogramma habent latera opposita, et angulos oppositos aequales.

[note: Vide Iconismi I. F. XXVIII] DIco ergo, quod in parallelogrammo AB CD, latus AB sit aequale lateri DC, et latus AD lateri BC, et angulus DAB aequalis angulo DCB, et angulus ADC angulo ABC. Est Propos. 34 lib. 1. Euclid. Demonstratur. Ducatur recta AC, per Postul. 1. ut fiant duo triangula ABC, et ADC. Jam sic: Si duo triangula habeant duos angulos aequales, et latera ab illis angulis comprehensa aequalia, tunc et reliqui anguli, et reliqua latera, et consequenter tota triangula, sunt inter se aequalia, per Theor. 2. Sed triangulum ABC habet angulum BAC aequalem angulo AC D, trianguli ADC; item; angulum BCA aequalem angulo DAC, per 2. partem Theor. 5. et tandem latus AC a duobus illis angulis aequalibus comprehensum commune utrique, seu aequale; ergo totum triangulum ABC est aequale toti triangulo DCA; ergo etiam latera AB et BC, erunt aequalia lateribus DC et AD; item angulus ABC aequalis angulo ADC. Eodem modo demonstratur, angulum DAB esse aequalem angulo BO D, si ducatur recta BD: nam etiam triangula DAB, et DCB, erunt tota sibi invicem aequalia. Ergo parallelogramma habent latera et angulos oppositos aequales; quod erat demonstrandum.

Hinc sequitur, quod omnia triangula quae fiunt per ductum diametri parallelogrammi, sint inter se aequalia.

Theorema VIII. Si triangulum fuerit duorum laterum aequalium, tunc linea ex concursu horum laterum ducta perpendiculariter ad basin, dividet et angulum, et basin in duas partes aequales: consequenter tota duo triangula inde facta erunt inter se aequalia.

[note: Vide Iconismi I. F. XXIX. ] SIt ergo latus AB aequale lateri BC. Dico, quod linea perpendiculatis BD faciat primo angulum ABD aequalem angulo CBD; secundo lineam AD aequalem lineae DC: tertio triangulum ABD aequale triangulo BCD: Demonstratur 1. Si enim perpendicularis BD angulum ABC non dividat in duas partes aequales, ita ut angulus ABD sit aequalis angulo BCD; dividat ergo aliqua alia linea, v. g. BF. dictum angulum ABC in duas partes aequales. Ergo, per Theor. 1. haec duo triangula, ABF, CBF, erunt tota aequalia inter se, et consequenter etiam angulus BFA aequalis angulo BFC, et per Definit. 5. uterque rectus; quod est impossibile: cum enim ABF, ut, pote externus, per 4. Coroll. Theor. 6. sit aequalis duobus internis, scil, angulo FDB recto per constructionem, et insuper acuto FBD; necessario erit major solo recto BDF. Ergo si triangulum, etc. quod erat primo demonstrandum.

Demonstratur 2. et 3. Quia AB est aequale ipsi CB, item BD est commune, et tandem per 1. partem hujus Theor. angulus ABD est aequalis ipsi CBD; ergo, per Theor. 1. et basis AD erit aequalis basi DC, et totum triangulum ABD aequale toti CBD; quod erat secundo et tertio demonstrandum.

Corollarium.

[note: ] EX quo colligitur, omne triangulum duorum aequalium laterum (sive sit isosceles, sive aequilarerum)

habere angulos duos ad basin, scil. BAC, et BCA, inter se aequales. Nam cum per. 1. partem hujus Theor. anguli ABD, et CBD, sint inter se aequales; item, per Definit. 5. anguli BDA, et BD Cinter se aequales; necessaerio erit etiam angulus BAD aequalis ipsi BCD, per 3. Coroll. Theor. 6. Haec est Propos. 5. lib. 1. Euclid.

Theorema IX. Omnia parallelogrammata super eadem vel aequali basi inter parallelas easdem lineas, sunt inter se aequalia.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XXX. ] HOc est, juxta 30. Fig. parallelogrammum ABCM est aequale parallelogranimo BCDE; et juxta 31. Fig. parallelogrammum GFLI est aequale parallelogrammo GHKL; et juxta 32 fig. parallelogrammum ABCD est aequale parallelogrammo GEFH. In primis duabus figuris duo parallelogramma sunt super eadem basi, in tertia figura super aequalibus. Haec est Propos. 35. et 36. lib. 1. Euclid.

Demonstratur juxta 30 Fig. Si aequalibus aequalia addantur, quae fiunt, sunt aequalia, per Axio. 2. Sed BAMN, et NCDE, sunt inter se aequalia; ergo si cuivis addatur commune et aequale BNC, quae fiunt, scilicet BAMC, et BDC E, erunt aequalia. Minor probatur, quia si ab aequalibus aequalia tollas, reliqua, quae remanent, sunt aequalia, per Axio. 3. Sed BAD, et MCE sunt aequalia, et MND est utrique commune; ergo si ab illis auferas MND, reliqua, hoc est, ABMN, et NCDE, erunt aequalia. Minor probatur, quia si unum triangulum duos angulos et latus comprehensum inter illos habeat aequales duobus angulis alterius trianguli, et lateri etiam comprehenso, tunc tota triangula sunt aequalia, per Theor. 2. Sed in triangulo DAB angulus BAD est aequalis angulo CME alterius trianguli ECM, item angulus ADB angulo ME C, per Theor. 5. et tandem latus AB aequale lateri MC, per Theor. 7. ergo triangulum ABD totum est aequale triangulo MCE

[note: Vide Iconismi I. Fig. XXXI] Demonstratur etiam juxta 31. Fig. quia si aequalibus FGH, et ILK (constat autem ex jam demonstratis, esse aequalia) addatur aequale seu commune GHIL; tota, id est, parallelogramma GFIL, et GHKL, erunt aequalia.

[note: Vide Iconis I. Fig. XXXII. ] Demonstratur tandem juxta 32. Fig. Ducatur enim ex B parallela linea BC ipsi lineae GE, item DI fiat parallela ipsi HF. Jam sic: quae sunt aequalia uni tertio, sunt etiam aequalia inter se, per Axio. 1. Sed parallelogrammum ABCD est aequale parallelogrammo BCDI, per 1. partem hujus Theor. et parallelogrammum GEFH est aequale eidem BCDI, cum et latera, per Theor. 7. et per constructionem, et anguli, per Theor. 5 horum duorum parallelogrammorum sint aequalia; ergo, per Axio. 1. parallelogrammum idem GEFH est aequale parallelogrammo ABCD. Ergo omnia parallelogramma, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema X. In circulo angulus ad centrum duplus est anguli adperipheriam, si fuerit peripheria eadem basis illorum angulorum.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXIII. ] HOc est, angulus BDC ad centrum C, duplus est ipsius BAC anguli ad peripheriam. Est Propos. 20. lib. 3. Euclid.

Demonstratur juxta 33. Fig. Angulus BDC est aequalis angulis DBA et DAB, per 4. Coroll. Theor. 6. item angulus EDC est aequalis angulis CAD et DCA, per idem Coroll. Sed duo anguli DCA, et DAC, sunt duplum anguli DAC; ergo angulus EDC est aequalis duplo anguli DAC, et consequenter totus BDC erit duplus totius BAC.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXIV. ] Demonstratur juxta 34. Fig. Angulus DAC, et DCA, simul sunt duplum solius anguli DAC; nam per Coroll. Theor. 8. anguli DAC, et DCA, inter se sunt aequales, ac proinde illi duo simul sunt duplum unius solius illorum: sed angulus BDC est aequalis duobus angulis DAC, et DC A, per 4. Coroll. Theor. 6. ergo angulus BDC est aequalis duplo anguli DAC, ac proinde duplus ejusdem anguli DAC.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXV. ] Demonstratur juxta 35. Fig. Totus angulus EDC, et duplum anguli DAC, sunt inter se aequalia, per 2. partem hujus Theor. ergo si ab illo auferatur angulus EDB aequalis duplo anguli DAB, per eandem 2. partem hujus, ab isto autem ipsunt duplum anguli DAB; quae remanent, scil. angulus BDC, et duplum anguli BAC, erunt inter se aequalia, per Axio. 3. Ergo in circulo angulus ad centrum, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema XI. Anguli qui in eodem circuli segmento, omnes sunt inter se aequales.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXVI. ] HOc est, anguli FGE, et FBE, et quicunque ex FE ad segmentum seu arcum FGB terminantur, sunt inter se aequales. Est Propos. 21. lib. 3. Euclid. Demonstratur. Angulus FAE est duplus anguli FG, per Theor. 10. Sed idem angulus FAE est, per idem Theor. etiam duplus anguli EFB; ergo FGE, et FBE, sunt inter se aequales, per Axio. 1. Ergo anguli qui, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema XII. Eiusdem altitudinis triangula, seu quae sunt inter easdem parallelas, habent se ut bases.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXVII. ] HOc est, ut se habet basis AC ad basin FG, ita se habet triangulum BAC ad triangulum KFG; hoc est, bases et triangula sunt in eadem proportione. Est Propositio 1. lib. 6. Euclid. Demonstratur. Fiant ipsi CA, quae est basis trianguli ABC, aequales CD, et DE, multiplices ipsius CA; item basi FG fiant aequales GH, HI, IL, LM, multiplices ipsius FG, erunt ergo triangula BDC, et BED, aequalia ipsi triangulo ABC, per Theor. 9 atque adeo erunt tot triangula multiplicia ipsius trianguli CBA, quot erunt bases multiplices ipsius trianguli CA, Eodem modo triangula GHK, HKI, IKL, LKM erunt singula aequalia triangulo FKG, per idem Theor. 9 et consequenter triangula illa erunt tot multiplicia ipsius trianguli FKG, quot multiplices.

sunt bases ipsius basis FG. Quo posito, sic ostendo Propositionem. Si quotiescunque multiplex primae magnitudinis est minor (aut major, aut aequalis) multiplici secundae, etiam semper multiplex tertiae est minor multiplici quartae magnitudinis; tunc prima ad secundam est in eadem proportione tertiae ad quartam, per Definit. 12. sed in casu nostro quoties multiplex primae est minor multiplici secundae, etiam multiplex tertiae est minor multiplici quartae; ergo etc. Minor probatur, quia prima magnitudo est AC, ejus vero multiplices sunt tres bases AC, CD, DE; secunda magnitudo est FG, ejusque multiplices sunt quinque bases FG, GH, HI, IL, LM: sed etiam multiplices tertiae magnitudinis, hoc est, trianguli CBA, sunt tria triangula CBA, DBC, EBD; et multiplices quartae magnitudinis, hoc est, trianguli GKF, sunt quinque illa triangula GKF, HKG, IKH, LKI, MKL; ergo verum est quod quoties multiplex ipsius AC est minor multiplice ipsius FG, etiam multiplex ipsius ABC sit minor multiplice ipsius FKG. Ergo ejusdem altitudinis triangula, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema XIII. Aequales magnitudines ad eandem magnitudinem habent aequalem seu eandem proportionem.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXVIII] HOc est, si magnitudo A sit aequalis magnitudini B; quam proportionem habebit A ad C, eandem habebit etiam B ad C. Est propos. 7 lib. 5. Euclid. Demonstratur. Sit enim v. g. proportio A ad C talis, ut multiplex ipsius A sit major multiplice ipsius C; tunc sicarguo: Multiplex A superat multiplicem ipsius C; sed multiplex ipsius B est semper aequalis multiplici ipsius A (siquidem B est tertia proportionis magnitudo, quae semper debeat toties accipi, quoties prima A;) ergo multiplex B etiam superat multiplicem ipsius C Eodem modo formabis argumentum ad probandum multiplicem ipsius B esse minorem, aut majorem, si multiplex ipsius A sit minor aut major multiplice ipsius B. Ergo aequales magnitudines, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema XIV. Si ad unum trianguli latus parallela ducta fuerit, haec proportionaliter secabit trianguli latera.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XXXIX. ] UT in triangulo ABC, linea ED sit parallela lateri BC; dico, esse ut CE ad EA, ita BD ad DA. Est propos. 2. lib. 6. Euclid. Demonstratur. Quia tunc, per Theor. 9. triangula DEB, et DEC, sunt aequalia inter se, cum sint inter duas easdem parallelas DE, et BC, et insuper super eadem basi DE. Et rursus quia sunt inter se aequalia, habebunt eandem rationem, per Theor. 13. ad idem triangulum ADE. Jam sic: ut est BD ad DA, ita est triangulum DEB ad triangulum DEA, per Theor. 12. Sed etiam ut CE ad EA, ita est DEB ad DEA; ergo etiam ut est CE ad EA, ita est BD ad DA. Minor probatur, quia ut est EDC ad DEA, ita est DEB ad eandem DEA, per Theor. 12; ergo CE ad EA est, ut DEB ad DEA. Ergo si ad unum trianguli latus, etc. quod erat demonstrandum.

Theorema XV. Triangula aequiangula habent latera circa aequales angulos proportionalia.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XL. ] HOc est, si triangula ABC, et DEF habuerint singulos angulos aequales singulis; erit ut AC ad AB, ita DF ad DE: item ut AB ad BC, ita DE ad EF, Est Propos. 4. lib. 6. Euclid. Demonstratur. Producatur enim primo latus AC, usque in G, donec CG sit aequalis ipsi DF: secundo, ex C ducatur CH parallela linea ipsi AB, seu ipsi AI; quae fit ex producto latere AB: tertio, ex G usque in I ducatur linea GHI parallela ipsi CB. His constitutis, erit totum triangulum CGH aequale ipsi triangulo DEF, per Theor. 2. Jam sicarguo. Linea CD est parallela lateri CI; ergo per Theor. 14. erit ut AC ad AB, ita CG ad BI, seu ad CH, quod per Theor. 7 est aequale ipsi BI. Ergo triangula aequinangula habent latera, etc. quod erat demonstrandum. Eodem modo probabis de alijs lateribus.

CAPUT V. De resolutione triangulorum planorum, seu manifestatione seu cuiusvis ignoti ex datis tribus notis intriangulis rectilineis.

[note: Resolutio triangulo rum planorum. ] IN omni triangulo sunt tria latera, et tres anguli. Tria nota, ex quibus quartum ignotum per regulam auream eruendum est, possunt esse vel meri anguli, vel mera latera, vel partim anguli et partim latera: ex meris angulis nihil cognosci porest; itaque tria nota debent esse vel latera, vel anguli et latera.

Antequam vero ad actualem triangulorum solutionem procedas, in promptu habere debes omnium et singulorum graduum ac minutorum circuli aut quadrantis sinus, tangentes et secantes, reductos in tabulas, quae passim in libellis Mathematicis extant. Pro usu eorundem Nota I. in tabulis sinuum, tangentium, et secantium, illum numerum esse sinum alicujus arcus, qui sub titulo Sinus penes tot gradus et minuta positus est, quot graduum et minutorum ille arcus est; et illum numerum esse tangentem, qui sub titulo Tangens penes illos gradus et minuta ponitur; et illum secantem, qui sub titulo Secans penes illum arcum locatur: radium vero, seu sinum totum 90. graduum esse juxta varias tabulas varium; nimirum vel 10000. vel 100000. vel 10000000. Nota II. si ex tabulis velis eruere sinum alicujus arcus; debere te in tabulis sinuum, quaerere tot gradus et minuta, quot graduum et minutorum est ille arcus, et sinum penes scriptum excerpere. Eodem modo accipies tangentem, et secantem. Econtra vero si offeratur sinus, tangens, vel secans, cujus gradus et minuta desideras; quaere illum numerum sub suo titulo, et gradus ac minuta penes scripta excerpe. His positis, sit

Propositio I. De solutione triangulorum rectilineorum rectangulorum, in quibus scilicet semper unus angulus rectus supponitur notus, utpote 90. graduum.

[note: Resolutio triangulorum planorum rectangulorum. ] IN rectangulis triangulis reliqui duo anguli, praeter rectum, sunt necessario acuti, et ambo aequales uni recto, per Theor. 6. quare cognito uno acutorum, alter latere non potest, utpote complementum ad unum rectum.

§. I.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XLI. ] DAtis in aedem mensura lateribus AB, et BC, trianguli rectanguli ABC, reperitur alteruter angulus praeter rectum, v. g. angulus CAB, si fiat, ut AB in mensura data ad BC in eadem mensura, ita tota AD radius seu sinus totus ad DE numerum tangentis anguli CAB, seu (quod idem est) anguli EAD; qui numerus quaesitus sub titulo, Tangens, dabit in latere tabulae; gradus et minuta anguli quaesiti. Demonstratur. Triangula aequiangula habent latera circa aequales angulos proportionalia, per Theor. 15. sed triangula ABC, et ADE, sunt aequiangula; ergo habent latera circa aequales angulos, scilicet AB et BC, item AD et DE, proportionalia; ergo est ut AB ad BC, ita AD ad DE. Minor patet, nam angulus ABC est rectus ex suppositione, ADE vero est rectus ex Definit. 4. et 21. angulus item CAB seu EAD, est communis utrique triangulo, et consequenter per 3. Coroll. Theor. 6. etiam angulus ACB erit aequalis angulo AED, ac proinde totum triangulum ABC est aequiangulum toti triangulo ADE.

Sit igitur pro exemplo linea AB 10 pedum, BC vero 6. pedum, et tandem AD (utpote sinus totus, qui semper est unus et idem) sit 100000. partium. Si ergo juxta auream Regulam tertius numerus per secundum, vel e contrario, multiplicetur, et productum ex hac multiplicatione dividatur per primum; relinquetur numerus 60000, cui juxta tabulam Tangentium correspondent 30. gr. 57. min. quantus est angulus BAC, seu DAD, ut arcus DF; quae omnia idem sunt.

§. II.

[note: ] DAtis latere uno AB 10 pedum v. g. et angulo ei opposito ACB 59. graduum v. g. reperitur reliquorum laterum quodubet, v. g. hypothenusa AC, si fiat, ut GA sinus anguli ACB, seu AF G (qui est complementum anguli CAG ad 90. gradus) ad AF sinum totum, ita BA ad AC: tunc enim quotiente producto per auream regulam, invenietur latus AC 12 fere pedum. Quod si ex ijsdem notis velis habere latus BC; fiat, ut AG sinus anguli ACB, vel AFG, ad GF sinum anguli CAB, vel FAG, ita latus BA ad BC: in quotiente enim aureae regulae reperies 6; quot pedum est ipsa linea BC.

§. III.

[note: ] DAtis in triangulo rectangulo hypothenusa AC, et alterutro latere, v. g. CB, invenire angulum alterutrum, v. g. angulum BAC. Fiat ut hypothenusa AC ad latus CB, ita sinus totus seu radius AF ad sinum FG: in quotiente enim prodibit numerus, qui quaesitus sub titulo Sinus, prodet tibi ex latere tabulae: gradus et minuta anguli quaesiti.

§. IV.

[note: ] DAto eodem latere BC, et latere AB, datur etiam hypothenusa AC, si primo fiat §. 1. (quo docuimus invenire angulum alterutrum) ut AB in mensura data, ad BC, ita AD radius, ad DE tangentem anguli EAD. Quo habito, secundo fiat, per §. 2. ut GA sinus anguli BCA, ad AF sinum totum, ita BA 10 pedum v. g. ad AC hypothenusam.

§. V.

[note: ] EX data hypothenusa AC, et angulis BAC, ACB, invenitur latus alterutrum, si fiat, ut radius AF ad sinum anguli FAG, hoc est ad lineam FG, ita latus AC 12 pedum ad latus CB. Pro latere vero BA inveniendo fiat, ut FA radius ad AG sinum anguli AFG, seu anguli ACB, ita CA 12 pedum ad latus AB.

Hae praxes solvendorum triangulorum rectangulorum omnes eodem modo demonstrantur, quo primam demonstravimus §. 1. scilicet ex eo quod triangula semper sint aequinangula, et consequenter latera habent proportionalia circa aequales angulos, ut consideranti patebit.

Propositio II. De solutione triangulorum rectilineorum obliquangulorum, hoc est, eorum qui nullum rectum angulum habent.

§. I.

[note: Resolutio triangulorum planorum obtusangulorum. ] DAtis tribus lateribus trianguli obliquanguli ABC, id est, datis AB, BC, et CA, reperire quemcunque angulum, v. g. angulum ABC. Hujus §. tres sunt casus.

[note: Vide Iconismi I. Fig. XLII] Casus est, si tria latera data sint omnia inter se aequalia, atque adeo triangulum illud sit aequilaterum, uti est in Fig. 42. tunc enim, cum per Theor. 6. anguli tres cujuscunque trianguli sint aequales duobus rectis, quilibet angulus erit 60. graduum. Demonstratur. Nam cum ex suppositione omnia tria latera sint sibi invicem aequalia, et consequenter per Coroll. Theor. 8. omnes etiam tres anguli sint inter se aequales; ideo quilibet angulus erit tertia pars duorum rectorum, hoc est, 180 graduum, quorum tertia pars habet 60. gradus, siquidem ter 60 faciunt 180.

II.

[note: Vide Iconismi I. F XLIII. XLIV. ] Casus est, si duo latera tancum ex illis tribus sint inter se aequalia, tertium vero sit vel majus, vel minus, utrolibet reliquorum, uti in Fig. 43. et 44. tunc enim fiet per §. 3. Proposit. 1. ut BA latus unum aequalium, ad AD dimidium lateris tertii inaequalis, ita eadem BA radius seu sinus totus ad aliud, quod ipsum erit AD, sinus anguli ABD: quem si duplices, habebis totum angulum ABC desideratum. Demonstratur eodem modo quo §. 3. Propos. 1. Habito hoc angulo, habebis etiam reliquos duos, si inventum angulum ABC subtrahas a 180 grad bus, et residuum dimidies: quivis enim reliquorum angulorum erit dimidium dicti residui.

III.

[note: Vide Iconismi I. F. XLV. ] Casus est, si omnia tria latera sint inter se inaequalia. Tum ergo primo fiat juxta Fig. 45. ut latus maximum BC, ad CF differentiam reliquorum laterum, ita CG summa eorundem duorum laterum ad CE.

Demonstratur haec proportio. Nam triangula aequiangula, per Theor. 15 habent latera circa aequales angulos proportionalia: sed triangula CGE, et CBF, sunt aequiangula (angulus enim CGE est aequalis angulo FBC, per Theor. 15. angulus vero FCB utrique triangulo communis, et reliqui duo sunt etiam aequales inter se, per 3. Coroll. Theor. 6.) ergo latera circa aequales hos angulos, hoc est, CB et FC, item GC, et CE, erunt inter se proportionalia: ergo est ut CB maximum latus trianguli BCF, ad CF differentiam reliquorum laterum (scil. CA, et AB) ita CG summa eorundem reliquorum laterum ad CE, quod erat demonstrandum.

Hoc igitur segmentum CE inventum, et abstractum a latere maximo CB, relinquit ipsum EB, in cujus dimidium ED cadit perpendicularis AD, per Theor. 8. Quare secundo fiat pro angulo ABC, per §. 3. Proposit. 1. ut hypothenusa AB ad BD dimidium ipsius BE: ita eadem ceu radius ad BD sinum anguli BAD, cujus complementum ad 90 gradus, per Coroll. Theor. 6. est angulus ABC petitus. Pro angulo vero ACB per eundem §. 3. fiat, ut CA latus ad CD, ita eadem CA ut radius ad eandem CD sinum anguli CAD: cujus complementum ad 90 gradus est angulus petitus BCA. Unde etiam habebis totum angulum CAB, si prius inventum angulum BAD, simul addideris; hi enim duo juncti faciunt angulum CAB. Demonstratio est eadem quae §. 3. Propos. 1.

Ut hunc §. melius intelligas, sit juxta Fig. 45. CA 10, AB 6, et CB 13 pedum: igitur latus maximum CB erit 13 pedum, summa vero reliquorum duorum laterum, hoc est, CG (AG enim est aequale ipsi AB, tanquam duae semidiametri ejusdem circuli) 16 pedum, differentia vero eorundem duorum laterum erit FC 4 pedum, si enim lineam GA, vel BA 6 pedum subtrahas a tota AC 10 pedum, manebit CF 4 pedum. Unde si per consuetam auream regulam fiat ut CB maximum latus (hîc 13 pedum) ad CF 4 pedum, seu differentiam reliquorum laterum, ita CG summa eorundem laterum (hîc 16 pedum) ad CE: invenies 5 fere pedes quos si subtraxeris a tota CB maximo latere, relinquetur EB 8 pedum, cujus dimidium ED, vel BD, erit 4 pedum. Quare si pro angulo ABD primo fiat, ut AB 6 pedum, ad BD 4 pedum, ira eadem AB ut radius, ad eandem BD alium numerum; producetur numerus iste, 66666, qui est sinus anguli BAD 41 gradus et 48 min. cujus complementum ad 90 gradus est 48 gr. et 12. min. angulus ABD, vel ABC petitus. Pro angulo vero ACD fiat, ut AC 10 pedum, ad CD 9 pedum (tota enim CD fit ex CE 5, et ED 4 pedibus inventis) ita eadem AC ut radius ad 90000 sinum anguli CAD 64 gr. 9. cujus complementum ad 90 gradus, hoc est, 25 grad. et 51 min. est ipse angulus ACD desiderarus, et consequenter habetur totus angulus CAB 112 grad. et 21. min complementum videlicet duorum angulorum inventorum ad 180.

§. II.

[note: ] DAtis duobus lateribus, AC v. g. et AB, item angulo ab eis comprehenso CAB, reperire angulum alterutrum ex reliquis, v. g. angulum ACB. Hujus §. Tres idem sunt casus.

[note: ] Casus est, si latera illa duo nota, inter se sint aequalia: tunc enim non alia est opus operatione, quam ut datum angulum comprehensum subtrahas a 180 gradibus, residuum vero dividas in duas partes aequales; haec enim duo dimidia, seu duae partes aequales, erunt duo angul resiqui. Demonstratio patet ex Theor. 8. cum enim triangulum hoc sit aequalium duorum laterum, etiam anguli supra basin erunt inter se aequales; et cum iidem duo anguli sint residuum anguli comprehensi et noti ad 180 gradus, seu duos rectos, necessario duo dimidia illius residui erunt illi anguli.

II.

[note: Vide Iconismi I. F. XLVI. ] Casus est, si illa duo latera illius trianguli obtusanguli sint quidem inaequalia, sed tamen angulus comprehenlus CAB major angulo recto, seu obtusus, juxta Fig. 46. Producatur enim tunc latus AB oppositum angulo quaesito ACB, usque in D, ita ut ex C possit ad BD duci perpendicularis CD. Quo posito, fiat primo per §. 5. Propos. 1. ut radius AC, ad CD sinum complementi anguli dati (ad sinum scil. tot graduum, quot angulo dato desunt ad 180 gradus, hoc est, ad sinum anguli DAC) ita idem latus notum AC, ad quartum aliquem numerum: qui erit quantitas sateris DC. Fiat secundo per eundem §. 5. ut radius CD, ad DA tangentem excessus anguli dati (scil. ad tangentem tot graduum, quot gradibus angulus datus excedit rectum, hoc est, ad tangentem anguli DCA) ita numerus antea inventus, hoc est, latus CD, ad alium numerum: qui erit ipsum latus DA. Tandem adde numerum jam repertum ad latus AB oppositum angulo quaesito, et habebis totum latus DE. Si igitur fiat tertio, per §. 1. Propos. 1. Ut latus BD ad latus DC, numerum videlicet prima vice repertum, ita idem BD radius ad tangentem: dabit haec tangens gradus et minuta anguli ABC, cujus complementum ad 90 grad. elt angulus quaesitus ACB.

Sit pro exemplo in Fig. 46. BA 11. pedum, AC 7 pedum et angulus BAC 108 gradum, cujus complementum ad 180 gradus erit angulus DAC 72. grad. quaeratur autem ex his notis angulus ACB. Fiat primo ut 100000 AC, ad

CD 95106 sinum complementi, hoc est, graduum 72, ita idem AC notum 7 pedum, ad DC fere 6 pedum. Fiat secundo ut CD 100000. ad DA 32492 tangentem excessus anguli dati, hoc est; 18 grad. ita idem CD notum, scil. 6. fere pedum ad DA fere 2 pedum: quos si addas ad 11. pedes lineae AB, fiet tota DB 13 pedum. Quare fiat tertio, ut DB 13 pedum, ad DC 6 pedum, ita idem BD 100000, ad DCE 46154 tangentem anguli DBC 24. grad. et 46. min. et consequenter ACB angulus erit 57 graduum, 14 min. scil. complementum ad duos rectos reliquorum angulorum duorum jam notorum.

III.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XLVII. ] Casus est, si angulus datus sit acutus: tunc enim juxta Fig. 47 ducatur ad majus laterum notorum ex angulo opposito perpendicularis, quae necessario cadet intra triangulum, ut patet ex Fig. 47. Tunc ergo fiat primo, per §. 5. Propos. 1. ut radius AB, ad BD sinum anguli BAD dati, ita idem AB notum ad quartum numerum: qui erit linea BD perpendicularis. Fiat secundo, ut radius BA, ad AD sinum complementi anguli dati (id est, ad sinumanguli ABD) ita idem latus BA notum ad quartum numerum, qui erit latus AD; quod si abstrahas a tota AC, relinquetur latus DC. Fiat tertio, ut CD ad DB, tangentem, quae dabit gradus et minuta anguli ABC petiti. Quo habito, habetur et tertius angulus ABC, utpote complementum notorum duorum ad 180.

§. III.

[note: ] DAtis iisdem duobus lateribus BA, et CA, et angulo ab eis comprehenso BAC, invenire latus tertium BC. Inveniantur juxta eandem Fig. 47. primo per §. 2. anguli reliqui ABC, et ACB; deinde fiat per §. 2. Propos. 1. ut BD sinus ejus anguli inventi, qui lateri minori dato opponitur, hoc est, anguli BCD, ad BC radium, ita eadem perpendicularis BD, seu numerus per primam operationem §. 2. inventus, ad alium numerum: hic enim ipse erit tertium latus quaesitum BC.

§. IV.

[note: Vide Iconismi I. Figuram XLVIII. ] DAtis juxta Fig. 48. duobus lateribus, v. g. AB, et AC, item angulo uni eorum opposito, v. g. angulo ABC: invenire angulum alteri lateri oppositum. v. g. lateri CB. Fiat ut latus oppositum angulo noto. v. g. CA, ad latus alterum AB, ita sinus anguli noti ABC, ad sinum alium: qui dabit gradus et minuta anguli oppositi secundo lateri. Quia autem, per Definit. 20. idem sinus est anguli minoris recto, et complementi ejus ad duos rectos, ideo constare debet utrum angulus quaesitus sit obtusus, seu major recto, an vero acutus, ut quantitas illa anguli habeatur.

Demonstratio. Producatur enim illud latus, quod minus est ex duobus notis, hoc est, BA, usque in F, scilicet tam diu, donec productum BF sit aequale ipsi AC alteri lateri majori dato: deinde ex termino A hujus lateris minoris BA demitratur perpendicularis ad latus ignotum CB (quod etiam, ut in praesenti Figura produci debet, si perpendicularis caderet extra triangulum) quae sit AE: eodem modo ex F termino lateris BF producti demittatur perpendicularis FD. Quibus positis, fiunt duo triangula, BAC, et BFD, aequiangula, per 3. Coroll. Theor. 6. Ergo qui proportionis, per Theor. 15. erit ut BF in partibus notis (seu CA, cui BF est aequale per constructionem) ad BA alterum latus in similibus partibus notum, ita DF in partibus radii BF, seu sinus anguli EBA, et CBA, ad AE in partibus ejusdem radii BF. Et quia haec linea AE in dictis partibus radii BF, est sinus anguli ECA respectu radii CA, per Definit. 20. ideo prodibit petitus angulus BCA, seu ECA.

§. V.

[note: Vide Iconismi L Figura XLIX. ] DAtis iisdem duobus lateribus, v. g. BA, et CA Fig. 49. insuper autem et angulo uni eorum opposito, v. g. BCA. reperire latus tertium BC. Invenitur prius per §. praeced. angulus CBA oppositus alteri noto lateri: quo habito, etiam datur tertius BAC, scilicet complementum reliquorum duorum ad semicirculum. Deinde fiat, ut FD v. g sinus anguli BCA (qui opponitur lateri noto BA) ad latus illud oppositum BA, ita BE sinus illius anguli BAC, qui opponitur lateri ignoto quaerendo, ad latus quaesitum BC: quotiens enim dabit latus quaesitum.

Demonstratio. Producatur enim latus ignotum CB, ita ut CF fiat aequale ipsi BA: deinde ex F et B demittantur perpendiculares ad lineam CA: tunc, per Definit. 20. FD est sinus anguli BCA respectu radii CF, qui angulus opponitur lateri noto BA: et BE est sinus anguli BAC respectu radii AB (seu etiam respectu radii CF, qui est aequalis, ex constructione, radio AB) qui angulus opponitur lateri quaerendo BC. Jam juxta praedictam Fig. FD, per Definit. 20. respectu radii CF, seu AB, est sinus anguli FCD, seu BCA; BA vero est latus notum, dicto angulo oppositum; item BE respectu ejusdem radii AB, seu CF, est, per Definit. 20. sinus anguli BAC paulo antea inventi; BC vero est latus tertium inquirendum: sed est, per Theor. 15. ut FD ad FC, seu BA, ita BE ad BC: ergo est ut FD sinus anguli FAC, ad latus oppositum CB, quod erat demonstrandum.

§. VI.

[note: ] DAtis duobus angulis trianguli proxime positi. v. g. BCA, et BAC, item uno latere, v. g. BC: reperire latus quodcunque, v. g. BA. Fiat juxta praedictam Fig. ut BE sinus ejus anguli, qui dato lateri opponitur, hoc est, anguli BAC, ad latus notum BC, ita FD sinus ejus anguli qui petito lateri opponitur, hoc est, FCD, ad latus ipsum quaesitum FC, quod juxta constructionem est aequale lateri BA. Demonstratio patet: est enim, per Theor. 15. ut EB ad BC, ita DF ad FC, vel AB, quae est aequalis per constructionem ipsi FC.

Quod si quaereretur latus oppositum angulo obtuso dato, et latus notum esset BA; tunc juxta Fig. 48. fieret, per Theor. 15. Ut EA sinus anguli DBA, seu CBA, ad latus FB, seu huic per

Propositio III. Praxes solutionis cuiuscumque trianguli in terminis abstractis.

§. I. Quomodo solvenda sint triangula rectilinea, in quibus semper supponitur rectus esse notus 90. graduum.

[note: Resolutio practica triangulorum rectangulorum. ] DAtis duobus lateribus includentibus angulum rectum, datur angulus alteruter, si fiat per Proposit. 1. §. 1. Ut latus unum ad latus alterum, ita radius ad tangentem anguli illius qui secundo lateri opponitur.

II.

[note: ] Datis iisdem duobus lateribus includentibus rectum, datur hypothenusa, seu latus tertium, si primo per Praxin praeced. fiat, Ut latus unum ad latus alterum, ita radius ad tangentem anguli illius qui opponitur secundo lateri. Deinde si fiat, ut sinus anguli jam inventi ad latus oppositum huic angulo, ita radius ad hypothenusam quaesitam.

III.

[note: ] Dato uno latere, et angulo opposito, datur latus alterutrum ex reliquis, si per Proposit. 1. §. 2. fiat, Ut sinus anguli obliqui dati ad latus sibi oppositum, ita sinus illius anguli qui quaesito lateri opponitur, ad latus petitum.

IV.

[note: ] Data hypothenusa (seu latere illo quod opponitur angulo recto) et alterutro latere, datur angulus uterque, si fiat per §. 3. Proposit. 1. ut hypothenusa ad latus alterum datum, ita radius ad sinum anguli illius ignoti qui opponitur alteri lateri dato.

[note: ] Datis iisdem, scil. hypothenusa et alterutro latere, datur etiam tertium latus, si fiat primo per §. 3. Proposit. 1. Ut hypothenusa ad latus alterum notum, ita radius ad sinum anguli qui opponitur alteri lateri: deinde si fiat secundo per §. 2. Proposit. 1. Ut radius ad hypothenusam, ita sinus anguli ejus qui opponitur lateri petito, ad ipsum latus petitum.

VI.

[note: ] Data hypothenusa et angulo obliquo, datur quodlibet latus, si fiat per §. 5. Proposit. 1. Ut radius ad hypothenusam, ita sinus anguli illius qui lateri petito opponitur, ad latus oppositum.

§. II. Quomodo practice solvenda sint triangula obliquangulae.

VII.

[note: Resolutio practica triangulorum obliquangulorum. ] DAtis tribus lateribus trianguli obliquanguli, reperire quemlibet angulum. Et quidem si tria latera inter se sint aequalia, cum etiam eo casu anguli sint inter se aequales, per Coroll. Theor. 8. divide duos rectos, hoc est, 180 gr. in tres partes: quotiens enim, hoc est, 60, erit quilibet angulus. Si vero duo latera tantum sint aequalia, tunc per §. 2. Proposit. 2. fiat, Ut unum latus aequalium ad dimidium lateris inaequalis, ita radius ad sinum aliquem: hic enim sinus dabit dimidium angulum comprehensum a duobus lateribus aequalibus: quem proinde si duplices, habebis totum angulum comprehensum: cum autem per Theor 8. anguli duo reliqui sint inter se aequales, divide residuum ad duos rectos in duas partes aequales, et habebis utrumque reliquorum angulorum.

VIII.

[note: ] Si vero omnia tria latera sint inaequalia inter se, tunc per §. 1. Proposit. 2. fiat primo, Ut latus maximum ad differentiam reliquorum duorum laterum, ita summa eorundem duorum reliquorum laterum ad alium quartum quendam numerum. Quod si hunc quartum numerum deinde subtrahas a numero lateris maximi, tunc ex hac subtractione relinquetur aliquod residuum, quod si dividas per medium, habebis dimidium residui; quod serva. Si velis angulum oppositum lateri medio, fiat secundo, Ut latus minimum ad jam acquisitum dimidium, ita radius ad sinum alicujus anguli: cujus complementum ad 90 gr. est angulus petitus.

IX.

[note: ] Si vero velis habere angulum minimo lateri oppositum, tunc quartum illum numerum per primam operationem acquisitum adde ad antea dictum dimidium, et relinquetur quaedam summa: et tandem fiat, Ut latus medium (hoc est, illud quod nec minimum, nec maximum est ex tribus) ad praedictam summam, ita radius ad sinum alicujus anguli: hujus enim complementum ad 90 gr. est angulus petitus oppositus minimo lateri.

Quod si angulum maximo lateri oppositum habere velis, tunc ipsos angulos duos, qui prodeunt per jam dictas operationes, adde invicem, et hoc productum abstrahe a 180 gr. residuum enim erit tertius angulus oppositus lateri maximo.

[note: ] Datis duobus lateribus, et angulo ab eis comprehenso, reperire alterutrum angulum ex reliquis. Et primo quidem si duo latera nota sint inter se aequalia, abstrahatur angulus notus a duobus rectis, scil. a 180 grad. residuum vero dividatur in duas partes aequales: quae ipsae erunt anguli quaesiti.

XI.

[note: ] SI vero latera sint inaequalia, et angulus comprehensus obtusus, seu major recto: tunc per §. 2. Proposit. 2. fiat primo, ut radius ad sinum complementi anguli comprehensi, ita latus notum quaesito angulo oppositum ad alium quendam numerum, qui vocetur numerus primo repertus. Secundo fiat, Ut radius ad sinum excessus anguli obtusi, ita latus notum quaesito angulo oppositum ad alium quendam numerum: qui numerus addatur ei lateri noto, quod non opponitur angulo quaesito, et fiet summa quaedam quae vocetur numerus secundo repertus.

Tertio igitur fiat, Ut hic numerus secundo repertus ad numerum primo repertum, ita radius ad tangentem anguli quaesiti: quo habito habetur etiam tertius angulus.

XII.

[note: ] Si vero angulus comprehensus sit acutus, tunc per eundem §. 2. Proposit. 2. fiat primo, Ut radius ad sinum anguli dati, ita latus minus ad aliud, quod vocetur numerus primo repertus. Fiat secundo, Ut radius sinum complementi anguli dati, ita latus minus ad aliud; quod abstrahatur a latere majore dato, et residuum vocetur numerus secundo repertus. Fiat tertio, Ut numerus secundo repertus ad numerum primo repertum, ita radius ad tangentem anguli illius qui opponitur lateri minori dato: quo angulo habito dabitur etiam tertius.

XIII.

[note: ] Datis iisdem duobus lateribus, et angulo ab eis comprehenso, etiam datur latus tertium. Primo inveniantur per Praxin praeced. anguli reliqui. Deinde fiat, Ut sinus anguli inventi ad latus sibi oppositum, ita sinus anguli comprehensi, vel certe (si angulus est major recto) ita sinus complementi illius anguli adi 180 gr. ad aliud: quod ipsum erit latus tertium quaesitum.

XIV.

[note: ] Datis duobus lateribus, et angulo uni eorum opposito, datur angulus oppositus alteri noto, et consequenter omnes tres anguli, si juxta §. 4. Propos. 2. fiat, Ut latus oppositum angulo dato ad sinum anguli dati, ita latus alterum ad sinum anguli sibi oppositi: cujus species aliunde constare debet, utrum scil, sit obtusus, vel acutus.

XV.

[note: ] Datis iisdem duobus lateribus, et angulo uni eorum opposito, invenire tertium latus. Inveniatur prius per Praxin praeced. angulas oppositus alteri dato lateri. Deinde fiat, Ut sinus anguli noti ad latus sibi oppositum, ita sinus anguli illius qui opponitur lateri quaesito, ad latus quaesitum.

XVI.

[note: ] Datis duobus angulis, et uno latere, invenire quodcunque reliquum latus. Fiat, Ut sinus anguli oppositi lateri noto, ita sinus illius anguli qui quaesito lateri opponitur, ad latus quaesitum.

Hoc est Trigonometriae, tam Elementaris, quam Practicae Compendium: quod quia ob brevitatem, methodum, claritatem, Tyronibus non ingratum fore judicavi, huc transferre volui.

MONITIO AD LECTOREM.

[note: ] SVperesset ut ageremus de Trigonometria Logarithmica per logarithmos a Nepero ingeniose inventos, et ab aliis varie excultos, aliterque dispositos, quorum ope per solam additionem, et subtractionem, et subinde etiam per bipartitionem, ac tripartitionem, facillime invenitur quod alias per taediosam multiplicationem ac divisionem quaeri debet. Sed quia voluminis angustia non permittit ut tabulas logarithmicas inseramus, omittere cogimur, et in alium locum differre. Pergimus ergo ad Geometriam Practicam.

LIBER VI. DE GEOMETRIA PRACTICA.

Prooemium.

[note: GEometria practica, omnium Mathematicarum Disciplinarum nobilissima aeque ac utilissima, est Ars dimetiendi non terram duntaxat (a cuius dimensione originem et nomenclaturam accepisse creditur) sed quidquid uspiam sub mensuram cadit, seu in coelo, seu in terra, seu intra terram ad usque recessus eius intimos. Ad tria porro summa capita revocari solent a plerisque, quae cadunt sub mensuram, ad lineas, ad superficies, ad corpora. Hinc in tres veluti species Geometriam Practicam dividunt [note: Geometriae practicae obiectum. ] plerique, quas Graeci Ethymetriam, Epipedometriam, et Stereometriam, Latino-Graeci Longimetriam, Planimetriam, et Solidemetriam, nuncupant. Nec immerito, quoniam quantitas continua omnis, circa quam mensurandam Geometria versatur tamquam circa obiectum suum proprium ac peculiare, aut linea est, seu longitudo sine latitudine ac profunditate; aut superficies, quam planum etiam appellare consuevimus; aut corpus denique, seu ut alii appellant, solidum. De tribus hisce magnitudinis speciebus rite dimetiendis [correction of the transcriber; in the print dimentiendis] hoc libro agemus; simulque (ut actior sit Geometria nostra practica, nec quidquam omittatur quod ad ipsam quovis modo pertinet) de superficierum diversione, quam Geodaesiam appellant Graeci; item de vasorum, aliorumque concavorum corporum mensuratione, quam koilometri/an seu Coelometriam appellare possumus; tandemque de magnitudinum ab una in aliam figuram transformatione, quam metamo/rfws1in, seu Metamorphosin nuncupare placet, breviter, et quam poterimus ordinatissime agemus. In sex igitur partes dividemus hunc de Geometria practica librum: in prima agemus de linearum, in secunda de superficierum, in tertia de corporum seu solidorum, in quarta de concavorum dimensione, in quinta de magnitudinum divisione, in sexta tandem de earundem varia transformatione. Quid vero in singulis partibus peculiariter agendum sit, in earum prooemiis dicetur. Adomnes necessaria est Arithmetica practica, et ut ex fundamentis ac scientifice addiscantur, Geometria Elementaris, de quibus in praecedentibus. His duabus qui instructus fuerit, ingentem sibi ex hoc libro Mathematicae thesaurum comparabit, cum vix quidquam in tota Mathesi occurrat,

Mensurae famosae Geometris ac Mathematicis omnibus usitatae.

[note: Mensurae famosae Geometris usi. tatae. ] HAE sunt granum, digitus, palmus, pes, cubitus, passus, stadium milliareltalicum, leuca Gallica seu Hispanica, leuca Belgica, et milliare Germanicum commune. Granum, omnium mensurarum minima, est latitudo grani hordeacei. Digitus est digiti latitudo, aequivaletque 4 granis secundum latitudinem se contingentibus. Palmus continer 4 digitos, pes 4 palmos, cubitus sequipedem, passus 5 pedes, stadium 125 passus, milliare Italicum 8 stadia, seu 1000 passus, leuca Gallica seu Hispanica sesquimillia re Italicum, seu 1500 passus: leuca Belgica duo milliaria Italica, seu 2000 passus, milliare Germanicum commune quatuor Italica, seu 4000 passus. Pes non est aequalis apud omnes nationes magnitudinis: Mathematici plerumque Romano antiquo utuntur, cujus mensuram in Pantometro Kircheriano docuimus. Pedem aliqui dividunt in partes aequales 16, quas digitos vocant: alii in 12 tantum, easque appellant pollices, ac uncias, Germanice Zoll. Geometrae utuntur praeterea virga divisa apud aliquos in 16, apud alios in 12, apud plerosque vero in 10 partes, quam propterea Decempedam nuncupant. Omnes hae, aliaeque similes mensurae dicuntur simplices, iisque metimur lineas; plana vero metimur iisdem mensuris [note: Mensurae simplices, quadratae cubicae. ] quadratis, corpora vero cubicis. Digitus, palmus, pes, passus, etc. quadratus, est superficies longa ac lata uno digito, palmo, pede, passu, etc. Digitus, palmus, pes, cubitus, passus, etc. cubitus, est corpus longum, latum, ac prosundum uno digiro, palmo, pede, etc.

PARS PRIMA.

De Longimetria, seu Linearum rectarum dimensione.

[note: Longimetria. ] DOcebimus in hac prima parte metiri omnis generis lineas rectas, seu in directum exporrectas, et secundum quemlibet situm, longitudinem videlicet, latitudinem, altitudinem, profunditatem, horizontaliter, perpendiculariter, diametraliter seu oblique extensas, cujusmodi sunt latitudines fluminum ac fossarum, distantae urbium at aliorum locorum, montium altitudines, vallium profunditates, aliaque hujus generis. Praestabimus id modis variis, variisque instrumentis non solum Arithmetices et Euclidaeorum Elementorum adminiculo, verum etiam absque ulla Arithmeticae operatione, et absque demonstrationum Geometricarum cognitione: quamvis illa singulis apponantur operationibus, aut saltem insinuentur, ut qui iis delectantur, habeant in quo ingenium etiam, et non manus tantum exerceant. Primum ergo omnium Instrumenta nonnulla, quibus in linearum dictarum dimensionibus utuntur Geometriae, sunt explicanda; tum eorum usus exponendus.

CAPUT I. De nonnullis Geometricis Instrumentis ad Longimetriam necessariis.

[note: Instrumenta Geometrica pro Longimetria. ] MUlta sunt Instrumenta geometrica ab antiquis ac neotericis ad longimetriam instituendam excogitata, ut Scala altimetra dorso Astrolabii adscripta, Quadratum geometricum, Quadrans geometricus, Baculus Sancti Jacobi, Protheus militaris, Horoscopium, Planimetrum, Holometrum, Annulus astronomicus, Asserculus, Zublerianus, Mensula Praetoriana, Triquetrum, Radius Latinus, aliaque similia quam plurima. Nos ex his omnibus seligimus solum Quadratum, et quadrantem, quoniam qui horum usum comprehendit, aliorum ignorare non potest. Addimus deinde Pantometrum Kircherianum, cujus fabricam et usum peculiari Opere explicavimus alias. Quod ideo facimus, quoniam nullum hactenus praeclarius, nullum ingeniosius, nullum facilius, universalius, certius excogitatum fuisse videtur: praesertim cum ad ejus usum nullae Arithmeticae calculationes, quae multos absterrent, requirantur.

Pragmatia I. Quadratum geometricum construere.

[note: Quadrati Geometrici fabrica. ] EX quavis materia solida, ut ligno, orichalco etc. consiciatur quadratum ABCD, juxta dicta lib. 1. cap. 4. art. 2. praxi 10. sive sit solidum totum sive excavatum, sive ex quatuor aequalibus [note: Vide Iconismi II. Fig. 262] regulis seu tigillis compactum, ut postea de Pantometro dicemus. In lateribus BC, et

CD ducantur tres lineae parallelae extremitatibus quadrati, et inter se convenienti spatio distantes pro divisionibus et numeris inscribendis, ut figura monstrat. Eadem duo latera BC, et CD, dividantur in 100 aequales partes, vel saltem in 10, si Instrumentum exiguum est: et regulâ applicatâ centro A ac punctis divisionum, ducantur lineolae, et adscribantur numeri, prout Figura monstrat. Quia vero difficile est lineam datam in datas partes dividere, consultius erit lineam quamcunque in plano aliquo ductam dividere in 100 partes, et ad illius magnitudinem quadratum construere, partesque divisae lineae in quadrati lineas BC, CD circino transferre.

Fiant deinde duae, aut plures regulae, AO, LM, longiores tamen quam quadrati latera; et dividantur in partes plus quam 100, aequales partibus laterum BC, CD. Regula AO affigatur angulo A quadrati, sic tamen ut libere hinc inde moveri et quadrati planum radere possit. Habeant deinde tam latera quadrati AB, AD, quam regula AO, pinnulas acu perforatas, nimirum pinnulas G, H, I, K: E, F. Has im posterum dioptras vocabimus, regulam vero ipsam appellabimus regulam dioptricam. Sint autem duae quaelibet dioptrae laterum quadrati, et regulae AO, ejusdem altitudinis, et foramina earum sint aequaliter remota a planis eorundem laterum et regulae, quibus infixae sunt. Potest etiam ex B suspendi perpendiculum, hoc est, filum cum globulo plumbeo, quod ad libitum refigi queat, ut ejus ope Instrumentum ad horizontem perpendiculariter erigi, quando opus fuerit, queat. Notandum etiam, dioptras E, F, infigi debere lineae AO regulae, ex centro A per totam regulae longitudinem ductae. Ut autem videri possit quotam divisorum laterum BC, CD partem attingat linea AO regulae, excavetur spatium aliquod inter F et O, et ab F versus O extendatur subtile filum, quod unam cum AO lineam efficiat. Alii aliter fieri jubent regulam dioptricam; mihi hic modus placet. De pede Quadrati, cujusmodi esse queat, dicetur propositione sequenti, ubi de pede Pantometri. Notandum etiam diligenter est, latus BC vocari a plerisque latus rectum, seu umbram rectam: et DC latus versum, seu umbram versam. Unde latus AB habet rationem styli ad horizontem perpendicularis: et latus AD rationem styli ad horizontem paralleli: quorum priot intelligitur projicere umbram rectam in BC, posterior vero umbram versam in DC. Nota praeterea, Instrumentum in usu posse esse vel stabile, vel pendulum, Quando stabile est, plerumque inversum habet situm, ut AD sit infra, BC supra. Quando pendulum est, debet suspendi per pendiculum ex A.

Pragmatia II. Pantometrum Kircherianum conficere.

[note: Pantometri Kircheriani fabrica. ] FIat ex ligno solido ac bene siccato quadratum ABCD, cujuslatus quodlibet unius circiter pedis sit in longitudine, in latitudine duorum, in crassitie unius digiti. Fiant deinde alia duo veluti brachia, FC, HI, decussatim in medio, [note: Vide Iconismi II. Fig. 263. ] ubi E, coagmentata: quibus quadratum AB CD impositum connectatur, et tota Instrumenti moles sustentetur. In horum brachiorum centro fiat foramen rotundum E: ut in eo orbis superimponendi (de quo mox) axis circumagi possit. II. Fiat orbis STVX, ejusdem exacte cum quadrato ABCD crassitiei, cujus diameter latera quadrati intrinseca praecise adaequet, atque exacte tangat; itaque formetur inter praedicta latera et super brachia FG, HI, ut tamen quadratum circa ipsum orbem volvi ac revolvi in gyrum possit, prout aliquo modo apparet in figura STVX, si quadrato praedicto imposita atque inserta intelligatur. In ipso porro orbe excavetur aliquo usque quadratulum OPQR, ita ut cavitati imponi possit charta, et tabula quadrata, ejusdem cum quadratulo capacitatis. Serviet autem charta ad lineas in ea ducendas plumbo, aut rubrica, in operationibus geometricis peragendis, si tabulae quadratae adglutinetur cerâ, aut alia ratione, ut diectur. III. In orbis STVX parte aliqua largiori, v. g. inter S et T, excavetur spatium rotundum, quod acui magneticae impositae, et supra obelum suum versatili sufficiat: impositâque acu magnetica ad magnetem excellentis virtutis legitime adfrictâ, claudatur superius vitro. In fundo vero spatii rotundi excavati notentur duae lineae rectae, intersecantes se in centro ad angulos rectos: et uni quidem adscribatur Oriens et Occidens, alteri vero Meridies et Septentrio. Et haec ultima repraesentat lineam meridianam, si versorium magneticum non declinat: alioquin notanda etiam erit linea declinationis juxta dicta in Magia Universali Part. 4. lib. 3. Syntag. 1. cap. 4. et Syntagm. 5. Pragm. 4. IV. Inlatere [note: Pantometri. Cursor. ] DB quadrati excavetur canalis RS, ut in eo Regula sive cursor TV, pro usurpantis arbitrio huc illucque versus B et D moveri possit. Qui quidem cursor TV adeo exacte dicto canali inseri debet, ut lateribus AB, et DC, semper sit parallelus; alioquin Instrumentum foret valde fallax. Per mediam longitudinem Cursoris ducantur duae pluresve lineae, et dividantur in 100 aut plures partes aequales, numeris appositis. V. Exteriori superficiei lateris AB, in loco K adaptetur Regula MN, dioptris suis instructa, eujus longitudo [note: Dioptricis regula. ] adaequet longitudinem lateris AB. Haec in K ita firmetur cochleolâ, ut circumduci, elevari, [note: Pantometri. ] deprimi, firmari pro libitu possit. Et hanc vocabimus imposterum Regulam dioptricam. VI. Pes Instrumenti hujus (uti et Quadrati geometrici [note: Pantometri pes. ] praecedentis Proposit.) ita rabricetur. Ex ligno solido fiat forceps AB, quae fissuram in capite deorsum versus habeat, ut cochleolis C et D, a latere immissis diduci ac constringi possit. Inferne ubi B, tres pedes lignei aculeis ferreis armati ita accommodentur cochleis, ut forceps cum Instrumento superposito in quamlibet, pro pedum divaricatorum situ, positionem constitui possit. Forcipis cavitati globus ligneis indatur, qui et superius, ubi A, foramen quadratum habeat, capax axis sive capuli quadrilateri e centro E quadrati ABCD intra brachia FG, HI, prominentis. Globus autem cum Instrumento in eo firmato, in omnem partem mobilis intra cavitatem forcipis, cochleis C et D firmari poterit. Atque haec est totius Instrumenti fabrica, omniumque ejus partium: quas si juxta praescriptum conficere, et invicem connectere incipies, rem melius quam ex verbis ipsis percipies. Si Pantometri duo latera dividas in 100 aequales partes, poterit esse loco Quadrati geometrici, si Regula dioptrica centro affigatur ut

in Quadrato fieri solet. Inspice figuram ultimam Iconismi secundi, quae omnes partes Instrumenti hactenus explicatas exhibet invicem connexas. Lege etiam Pantometrum nostrum Kircherianum, peculiari Opere explicatum.

Pragmatia III. Quadrantem Geometricum fabricare.

[note: Quadrantis Geometrici fabrica. ] IN tabula lignea bene polita, aut in lamina orichalcina, aut compendii gratia intra Quadratum geometricum antea constructum, describantur tres arcus quadrantis circuli, convenienti intervallo distantes inter se, prout figura monstrat. Horum remotissimus dividatur [note: Vide Iconismi II. Fig. 262. ] in 90. Gradus, juxta dicta lib. 1. cap. 4. art. 2. praxi 2 adscriptis numeris ut in eadem figura apparet. Ut vero videatur quotum gradum designet linea AO regulae dioptricae centro A affixae, excavetur pars regulae ab F usque ad L, et extendatur filum, quod dum movetur huc illuc regula, gradus tangat ac designet. Ex B suspendatur perpendiculum, quod refigi possit. Si Quadrans in altitudinum ac profunditatum dimensione pendulus esse debeat (potest enim et pendulus, et stabilis esse, ut videbimus;) refixâ regulâ dioptrica AO, suspendatur ex centro A perpendiculum.

CAPUT II. De dimensione longitudinum, ac latitudinum.

[note: Euthymetriae seu longitudinum ac latitudinum dimensio. ] LOngitudines, ac latitudines hic appello, quascunque locorum in eodem horizontali plano existentium distantias inter se, a quorum uno ad alterum recta linea duci, saltem per imaginationem possit. Harum igitur linearum mensuram in palmis, pedibus, passibus, cubitis, perticis, milliaribus, similibusque investigare hoc capite docemus.

Propositio I. Duorum locorum distantiam horizontalem metiri Quadrato, quando ad unum illorum accedi potest.

Primus Casus.

[note: Quadrati geometrici usus Longimetria. ] SIt mensuranda distantia duorum locorum B et A, velisque scire quantum distet A a B. Ita operare. Colloca quadratum pedi suo impositum in B, ita ut planum ejus sit horizonti parallelum, et dirige latus BC versus locum A, perque dioptras ejusdem lateris observa terminum A. Denique firmato in hoc situ Instrumento, ne [note: Vide Iconism D. Fig. 264. ] moveri amplius loco possit, observa quoque per lateris BD pinnulas seu dioptras signum aliquod E distans a B aliquot pedibus. Quo facto, fige baculum aut aliud signum in B, et transfer Quadratum [note: Distantias horizontales metiri multis modis. ] ex B in E, rursusque per pinnulas lateris EF observa baculum B, per pinnulas vero Regulae dioptricae centro A affixae observa locum A, ac diligenter nota ubi Regula secet latera Quadrati. Quae quidem sectio fiet vel in diagonali, hoc est, in angulo G, vel in latere FG, v. g. in puncto I; vel in latere HG, v. g. in puncto K. Secet primo in G, et distantia inter E et B sit 120 pedum, latera vero EF, FG sint 100 partium. Dic jam per auream regulam Arithmeticae: ut EF 100, ad FG 100, ita EB 120 ad BA: invenies extremum A in quod cadit linea EG producta, distare a B 120 pedibus. Ratio est, quia triangula EFG, EBA, sunt aequiangula: nam anguli B et F sunt recti, angulus BEA est communis utrique et reliqui sunt aequales, per 32. et 29. pri. Euclid. Ergo per 4. Sexti, latera circa aequales angulos sunt proportionalia: ergo ut EF ad FG, ita EB ad BA. Sicut ergo EF est aequale ipsi FG, ita EB est aequale ipsi BA. Secet secundo in I lateris FG, sintque, partes FI 6, seu 60 partium, qualium FG est 100; distantia vero EB sit ut antea 120. pedum. Dic igitur: si EF 100, dat FI 60, quid EB 120? invenies extremum A in quod cadit linea EI producta, distare a B, 72 pedibus. Ratio est, quia etiam triangula EFI, EBA sunt aequiangula propter demonstrationem antea factam. Ergo, per 4. Sexti, latera circa angulos aequales proportionalia sunt, ac proinde ut EF ad FI, ita EB ad BA. Secet tertio in K lateris HG, sitque HK 60 partium, EB 120 pedum ut antea, Dic jam: ut HK 60, ad HE 100, ita EB 120 ad BA: seu, si HK 60, dat HE 100, quid dat EB 120? Invenies operatione per regulam auream facta extremum A in quod cadit recta EK protracta, distare a B 200 pedibus. Ratio est, quia triangula ABE, EHK similia sunt: nam anguli B et H sunt recti: anguli AEB et HKE sunt aequales per 29. pri. et reliqui duo similiter, per 32. pri. ejusdem: Ergo per 4. Sexti, quam proportionem habet HK ad HE, eandem habet EB ad BA.

Ex his patet, quando Regula dioptrica cadit in angulum G, distantiam AB esse aequalem distantiae EB: quando vero cadit in latus FG, distantiam AB esse minorem: quando denique in latus HG cadit, AB majorem esse, quam EB.

Secundus Casus.

SEd accidit interdum ut lineae visuales ex B in A et E procedentes, angulum ABE rectum facere non possunt, ut in praecedenti casu, sed vel acutum vel obtusum. Quod cum accidit, operatio [note: Vide Iconismi D. Fig. 265. ] difficilior est. Sit ergo primo dictus angulus ABE, uti et BEA, acutus, ut in apposita figura. Observetur primo per pinnulas lateris BD terminus E, per pinnulas vero regulae BC terminus A, et observetur quot partes regula BC abscindat in latere KI, a K usque in C, sintque v. g. 60. Deinde figatur baculus in B, et transferatur Instrumentum ex B in E, sitque distantia BE ut antea 120 pedum: atque per pinnulas lateris EF observetur baculus B, per pinnulasvero regulae EG signum A. Denique fiat in latere HO distantia HG aequalis distantiae KC, nimirum partium 60. et ex F in G extendatur regula FG, quae transeat supra regulam dioptricam EG, noteturque quot partes regulae FG intercipiantut inter F et regulam EG, sintque v. g. 120. His factis dic: ut EF 100, ad FG 120, ita EB 120, ad BA. Et invenies EA esse 144 pedum. Ratio est, quia duo triangula, AEB magnum imaginarium, et GEF parvum reale, sunt aequiangula, quia angulus ad E est utrique communis: et angulus EBA idem est cum angulo EFG, ex constructione, cum tam FG, quam BC abscindat partes 60 in latere quadrati: et reliqui denique sunt aequales, per 32. pri. Ergo, per 4.

Sexti, latera circa angulos aequales proportionalia sunt. Ergo sicut EF 100, dat FG. 120, ita FB 120, dat BA 144. Cadit plerumque regula dioptrica EG non in G, hoc est, in punctum 60 lateris Quadrati, sed vel supra in O, vel infra in N. Quod cum accidit, extende ut antea ex F per O, aut N, regulam FO, aut FN, usque ad regulam dioptricam EG, et dic ut antea: Partes EF dant partes FO, aut FN; quid dant pedes inter EB numerati?

Tertius Casus.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 266. ] SIt secundo angulus ABE obtusus, angulus vero BEA acutus. Observetur in B per dioptras lateris BL terminus E, per dioptras vero regulae dioptricae BC locus A, et juxta latus DO extendatur regula, quae occurrat regulae dioptricae in C, notenturque partes inter D et C interceptae. Deinde fixo in B baculo transferatur Instrumentum in E, perque dioptras lateris EF observetur signum B: per dioptras vero regulae dioptricae EK, locus A. Denique juxta latus HN extendatur regula divisa, ut inter HI tot sint partes, quot antea erant inter DC; et ex F in I emittatur alia regula divisa, et notentur partes inter F et G interceptae, quae sint v. g. 40. distantia vero EB sit 150 pedum. His factis, fiat ut EF 100, ad FG 40: ita EB 150, ad BA: et invenies distantiam inter A et B esse pedum 60. Ratio est, quia duo triangula, ABE, GFE, sunt aequiangula: nam angulus ad E est communis: angulus ABE idem est cum angudo IFE, ex constructione: reliqui denique sunt aequales, per 32. pri. Ergo latera circa aequales angulos sunt proportionalia, per 4. Sext.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 267. ] Sit tertio, angulus BEA obtusus, angulus vero ABE acutus. Observetur in B per pinnulas lateris BD terminus E, per pinnulas vero regulae dioptricae, BC locus A, notatisque punctis v. g. 80, inter D et C interceptis, et fixo baculo in B, transferatur Instrumentum in E, perque pinnulas lateris EF observetur terminus B, per regulae vero dioptricae EG pinnulas terminus A. Quo facto, firmetur regula EG, ne loco moveri possit: et ex F per punctum 80 lateris EL extendatur regula FG, denec cum regula EG concurrat in G: et notentur partes regulae inter F et G, quae sint v. g. 180. distantia vero stationum E et B sit 120 pedum. Dic jam: ut EF 100, ad FG 180. ita EB 120, ad BA. Invenies distantiam BA esse 216 pedum. Ratio est, quiatriangula ABE, GFE, sunt aequiangulae propter ralionem antea explicatam: ergo latera circa aequales angulos sunt proportionalia.

Propositio II. Duorum locorum distantiam metiri Pantometro, quando ad unum illorum accedi potest.

[note: Pantometri usus in Longimetria. ] SIt mensuranda latitudo fluminis AC, seu distantia duorum locorum A et C, ad quorum tamen unum, nempe ad A, accedere potes. Sic operare. Primo, in ripa fluminis elige duo loca, seu duas stationes, scilicet A et B, distantes inter [note: Vide Iconismi D. Fig. 268. ] se v. g. 100 pedes, aut quotquot volueris. Deinde Instrumentum supra suum pedem et globum accommodatum colloca in A, ita ut horizonti sit parallelum: et tamdiu huc illucque verte pedem Instrumenti, donec acus magnetica pyxidi inclusa quiescat supra lineam meridianam in fundo pyxidis ductam. Secundo, gyra quadratum Instrumenti, una cum Regula dioptrica lateri affixa (et consequenter una cum Cursote) ita, ut et Regula et Cursor versus signum C in altera ripa notatum respiciat: et per dioptras Regulae dirige radium visualem in C, et juxta latus Cursoris promoti versus Regulam dioptricam, et latus Ac, duc in charta quadratulo excavato superposita lineam rectam Ac, quae imaginatione protendatur usque ad signum C. Tertio, gyra iterum quadratum Instrumenti (orbe cum charta et acu magneticâ im motis manentibus:) et dirige Regulam dioptricam versussignum B: et per dioptras respice in dictum signum B, juxtaque latus Cursoris, promoti versus Regulam dioptricam et latus Ab, duc rectam Ab per totam chartae longitudinem, intersecantem Ac antea ductam, in A: et imaginatione produc usque in signum A. Quarto, intercipe circino ex linea Cursoris divisa tot particulas, quot pedes numerasti inter loca seu stationes A et B, nempe 100, easque transfer in lineam Ab in charta Instrumenti ductam, ex puncto intersectionis A usque ad punctum b. Quinto, transfer Instrumentum in locum B, relicto baculo, aut alio quopiam signo in loco A: et in B colloca Instrumentum ut ante horizonti parallelum, et tam diu gyra pedem cum instrumento superposito, donec iterum acus magnetica quiescat supra lineam meridianam, eundemque situm habeat, quem antea in loco A habebat. Deinde pro majori certitudine (si fortassis acus magnetica in loco B non acquireret eundem situm, quem habuerat in loco A) promove Cursorem supra lineam Ab antea ductam, et gyra instrumentum, pede immoto manente, donec per dioptras Regulae dioptricae videas locum A: tunc enim certum est, Iustrumentum habere eundem situm in B, quem habuerat in A. Sexto, gyra quadratum Instrumenti una cum Cursore circa Orbem immobilem: et dirige Regulam dioptricam in locum C, respiciendo per dioptras ipsum C signum. Deinde promove Cursorem supra punctum b tabulae seu chartae, in quo scilicet puncto finitur numerus 100 particularum: et juxta ipsius Cursoris latus duc in charta lineam bc, intersecantem priorem lineam A c in c, et protensam imaginatione usque ad C locum. His omnibus rite peractis, intercipe circino lineam ac in charta ductam: et vide quot particulae in linea Cursoris divisa ipsi respondeant. Dico, latitudinem fluminis, seu distantiam AC, continere tot pedes, quot particulas continet linea ac in charta ducta; quod sic demonstro.

DEMONSTRATIO. In hac operatione (ut et in praecedentibus per Quadratum, et in omnibus sequentibus, seu per Quadratum, seu per Pantometrum, seu per Quadrantem) formantur duo triangula, abc parvum et reale in tabula seu charta Instrumenti, et ABC magnum et imaginarium extra tabulam ex lineis visualibus AB, AC, BC. Quae quidem duo triangula sunt omnino aequiangula. Nam angulus ad B seu b est communis utrique triangulo, angulus bac parvi est idem cum angulo BAC magni: angulus denique abc est aequalis angulo ACB, per 32. pri. Ergo, per 4. Sexti, latera quae aequalibus adjacent angulis, sunt inter se proportionalia: et latera quae aequalibus angulis opponuntur, sunt homologa. Ergo quam proportionem habet latus BA

ad AC, eandem habet latus ba ad latus ac: et permutando, per 16. quinti, quam proportionem habet latus BA ad latus b a, eandem habet latus AC ad latus ac: Atque ex operatione facta, latus BA continet tot pedes, quot particulas continet ba: Ergo et latus AC continebit tot pedes, quot particulas continet ac: quod erat demonstrandum.

Annotatio I.

[note: ] SI numeres particulas intercepti lateris bc, habebis eitam distantiam inter loca B et C in pedibus. Ratio est eadem quae, antea.

II. Non est necessarium ut angulus A vel a sit rectus, sed potest esse velobtusus, vel acutus, prout occasio tulerit. In quibus casibus operatio per Pantometrum est longe sacilior, quam per Quadratum, ut ex dictis patet.

III. Si tantus esset numerus pedum inter duo signa A et B, ut in lineam ab tabule seu chartae non posset transferri numerus particularum aequalis numero pedum, tunc vel minue numerum pedum assumendo minorem distantiam AB: vel unicuique particulae lineae Cursoris divisae attribue duas, aut tres, pluresve partes, hoc est, aestima quamlibet esse subdivisam in duas, tres, aut plures. E contrario, si numerus pedum inter A et B est nimis parvus, computa duas, aut tres, pluresve Cursoris particulas pro una, ut sic triangulum abc in tabula formetur aliquanto majus ac distinctius.

IV. Prout latitudo AC mensuranda est magna, vel parva, assumenta est magna aut parva distantia AB, ut distinctior fiat triangulus abc in charta.

V. Si spatium inter A et B non est aequale, sed cavitates, et tubercula habeat, extendatur chorda, aut catenula in pedes divisa.

VI. Si inquirenda est distantia alicujus rei amplae, observetur in ea signum aliquod determinatum ac parvum ex loco A et ex loco B.

VII. Si visscire distantiam inter A et C in palmis, cubitis, passibus, etc. metire distantiam inter A et B palmis, cubitis, passibus.

Propositio III. Metiri distantiam inter duos terminos Quadrante, quando ad unum illorum accedi potest.

[note: Quadrantis geometrici usus in Longimetria. ] AD dimetiendi artem per Quadrantem, necessariae sunt tabulae sinuum, tangentium, et secantium, quas supra dedimus. In exemplis afferendis assumemus radium 100000 partium. Qui nudâ praxi contentus esse volet, poteris transilire rationes quas ex elementis Euclidis et Trigonometria petemus in demonstrationibus insinuandis.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 269. ] Primus Casus, quando sormatur triangulum rectangulum. Sit mensuranda distantia inter A et B. Colloca quadrantem in A, parallelum horizonti: et per dioptras lateris AC respice signum B: per dioptras vero lateris AE respice signum D electum ad libitum. Relicto deinde baculo in A, metire distantiam inter A et D in pedibus (aut palmis, passibus, etc.) et colloca Quadrantem in D, ac per dioptras lateris DF respice baculum A, regulam vero dioptricam DG dirige in B, donec per dioptras illud videas: et nota quot graduum sit arcus FG, seu angulus FDG. His peractis, resultat triangulum rectangulum DAB: in quo cum quodlibet latus possit assumi pro sinu anguli oppositi: aut unum pro radio, et reliqua duo pro tangente et secante, per 1. proposit. Trigon Pract. Item in eodem triangulo cum anguli acuti sint noti, ut ADB ex ipso Quadrante, et ABD per 32. pri. Euclid. utpote complementum ad rectum: et consequenter cum noti sint sinus eorundem angulorum ex tabula sinuum: et insuper cum notum sit latus AD in pedibus per mensurationem: fit ex his tribus cognitis notum latus AB, per regulam auream, si opereris, ut in 6. proposit. Trigonom. Pract. praescribitur. Sit igitur latus AD 12. pedum. v. g. et angulus ADB 48 grad. erit ergo reliquus ABD 42. grad. Si ergo dicas: ut sinus anguli DBA grad. 42. qui est partium 66913, ad sinum anguli ADB grad. 48, nempe part. 74314: ita latus DA pedum 12, ad latus AB: invenies per regulam auream latus A B pedum 13 1/3. Eandem distantiam invenies, si DA fiat radius, et AB tangens anguli ADB. Si idem DA fiat radius, et BD secans anguli ADB: habebis etiam latus DB in pedibus.

Secundus casus, quando triangulum oxygonium formatur. Si in A observes signum D sub angulo acuto BAD ex Quadrante noto, et metiaris distantiam AD, collocesque Quadrantem in D, et juxta latus DE respicias signum in A relictum: [note: Vide Iconismi D. Fig. 270. ] per dioptricam vero Regulam DG locum B, notesque angulum ADB: invenies nihilominus distantiam AB, per 25. proposit. Trigonom. Pract. Nam cum iterum singula trianguli latera assumi possint pro sinibus angulorum oppositorum, per 11. et 12. Proposit. Trigon. Pract. et duo anguli BAD, ADB noti sint ex Quadrante, reliquus vero ABD per 32. pri. noti etiam erunt eorum sinus: Cum igitur et latus AD si notum in pedibus: fiet etiam latus AB notum, per auream regulam. Sit enim ut antea latus AD pedum 12, et angulus DAB grad. 26, angulus vero BDA grad. 80 erit reliquus DBA grad. 38. Si ergo dicas: ut sinus anguli DBA grad. 38. et part. 61566, ad sinum anguli BDA grad. 80. et part. 98481: ita latus AD pedum 12 ad latus AB: invenies per regulam auream dictum latus AB pedum 19 1/5 fere. Simili modo invenies latus DB.

Tertiuscasus, quando formatur triangulum amblygonium. Si denique in A observes locum B per dioptras lateris CA, signum vero D per Regulam dioptricam AF sub angulo obtuso BAD: [note: Vide Iconismi D. Fig. 271. ] notatoque dicto angulo, et relicto baculo in A, transferas Quadrantem in D, et per latus DE respicias baculum A, per Regulam vero DG locum B, et notes angulum ADB: scies etiam angulum ABD per 32. pri. Cum igitur et latus AD, et sinus angulorum noti sint, notum fiet ex illis latus AB. Sit enim angulus EAF grad. 50; additus ergo angulo recto BAE, fiet angulus obtusus BAD grad 140. Sit praeterea angulus ADB grad. 24: erit reliquus DBA grad. 16. Sit denique latus AD pedum 12. Si dicas: ut sinus anguli ADB grad. 16, et par. 27564, ad sinum anguli ADB grad. 24, et par. 40674: ita latus AD ped. 12. ad latus AB: reperies ipsum AB pedum 17 7/10. Simili modo invenies latus DB.

Propositio IV. Distantiam duorum locorum metiri, quando ad neutrum accedi potest, licet tamen recedere [correction of the transcriber; in the print retocedere] in directum.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 272. ] SIt mensur anda distantia inter loca A et D, ad quorum neutrum accedere possis, possis tamen recedere in directum versus B, et ex B versus C (sive ad dexteram, sive ad sinistram) indeque videre utrumque extremum A et D. Sic operare.

QVADRATO. Colloca Quadratum in B, et per latus Bad respice versus loca A et D, per latus vero Bc respice versus signum aliquod C. Deinde metire distantiam BC in pedibus, et colloca Quadratum in C, ac per latus C b respice baculum in B rectum: Per regulam vero dioptricam respice primo ad locum A, et nota partes inter ba lateris Quadrati; deinde in locum D, et nota partes inter bd. Tandem dic: ut C b ad ba, ita CB ad BA. iterum: ut C b ad bd, ita CB ad BD. Subtrahe jam BA a BD, et remanebit distantia AD nota in pedibus. Ratio est, quiatriangula CBD, et cbd, sunt aequiangula, ut consideranti patet; ergo et latera proportionalia. Quod si regula dioptrica cadat semel in latus b F, et semel in latus EF; extendatur regula ex b in G, et fiat, ut C b ad b G, ita CB ad aliud subtrahaturque minor distantia a majori. Si vero bis caderet in latus EF, extendatur regula b F usque ad remotissimam dioptram, et operatio instituatur ut antea.

PANTOMETRO. Colloca Pantometrum in B, et per Regulam dioptricam lateri ejus affixam respice versus A et D, et in charta Pantometri duc rectam B ad juxta latus Cursoris. Iterum per eandem Regulam dioptricam respice versus C, et in charta duc rectam B c. Deinde relicto baculo in B, et mensuratâ distantiâ BC in pedibus, transfer in lineam B c notatam tot particulas ex linea Cursoris divisa, a B versus c, quot pedes numerasti a B ad C. Demum colloca Pantometrum in C, et posito Cursore supralinem C b antea in charta ductam, dirige Regulan dioptricam in B: deinde posito Cursore supra punctum c, dirige primo Regulam dioptricam in A, deinde in D, ductis interim juxta latus Cursoris lineis ca, cd. Dico distantiam AD continere tot pedes, quot particulas continet recta ad. Ratio est, quia triangula CAD, cad sunt aequiangula: nam anguli ad a et d sunt aequales angulis ad C et D, per 29. pri. et angulus ad C est communis: ergo, etc.

QVADRANTE. Collocetur Quadrans in B, et per dioptras laterum respiciantur primo A et D sub una linea visuali, deinde C. Deinde collocetur in C, et per latus C b respiciatur B, per Regulam dioptricam termini A et D: notenturque anguli b C a, b C d. Quibus habitis. una cum latere CB, habentur et anguli BAC, BDC: et tam horam, quam illorum sinus ex tabula: ergo et latera BA, et BD habebuntur: subtractoque BA a BD, remanebit AD. Ratio sumitur ex proposit. 11. et 12. et 15. nostrae Trigonom. Pract.

Monitio ad Tirones.

[note: ] BRevitatis causa omitto multos alios casus ac modos mensurandi distantias horizontales duorum aut etiam plurium locorum, quos invenies diligenter pertractatos in Pantometro: quos qui habet ingentum, facile applicabit ad Quadratum et Quadranten.

CAPUT III. De dimensione altitudinum verticalium.

[note: ] ALtitudines verticales voco illas, quae insistunt horizonti perpendiculariter, ut sunt turres rectae, aedificia, arbores, columnae, et similia.

Propositio V. Altitudines verticales, ad quas accessus patet, Quadrato metiri.

[note: Altitudines verticales metiri multis modis. ] ESto turris AB, cujus altitudinem scire oporteat. Potest id fieri vel ex distantia AC, vel AD, vel AE, et alia quavis, dummodo mensurari famosâ aliquâ mensurari possit.

Fiat primo ex distantia AC 60 pedum. Colloca igitur Quadratum e latere pedis suspensum in C, [note: Vide Iconismi D. Fig. 273. ] ita ut latera CL, IK sint ad horizontem perpendicularia; quod fit ope perpendiculi a puncto L suspensi: si enim congruit lineae L C, Quadratum est horizonti perpendiculare. His factis, dirige Regulam dioptricam CF verus turris cacumen B, quae cadat in latus IK. Ponamus autem Quadrilatera esse in 10 (aut in 100, perinde est) partes divisa, et partes abscissas inter I et F esse 5. Quo posito, utere regula proportionum hoc modo: Latus Quadrati CI 10, dat distantiam CA 60, quid dant partes abscissae IF 5? Reperies operatione absoluta altitudinem turris AB pedum 30. Ratio est, quia duo triangula CIF, CAB, sunt aequiangula; nam anguli ad I et A sunt recti: angulus ACB est utrique communis: et reliqui sunt aequales per 32. pri. Ergo, etc.

Fiat secundo ex distantia AD 30. Collocato igitur Instrumento in D modo antea dicto et directa regula dioptrica DG in B, cadat ea in angulum G Quadrati, fiantque duo triangula DIG, DAB. Dic jam per regulam auream. Ut DI 10 ad DA 30; ita IG 10, ad AB. Facta operatione invenies 30 pro altitudine turris. Ratio est, quia dicta duo triangula sunt aequiangula, et habent latera aequalibus angulis adjacentia proportionalia.

Fiat tertio ex distantia AE 15 pedum, cadatque regula dioptrica E H in punctum H lateris LK, sint que inter H et L partes 5. Dic igitur: ut H. L 5, ad E A 15; ita LE 10, ad AB. Reperiessa facta operatione regulae trium, AB esse 30 pedum. Ratio est, quia ELH, BAE, sunt triangula aequiangula: nam anguli ad L et ad A sunt recti; et tam anguli EHL, AEB, quam anguli AEB, HEL sunt aequales, per 29. pri. Ergo, etc.

Ex his colligitur, quando Regula dioptrica in aliqua distantia cadit in angulum G Quadrati, altitudinem esse aequalem distantiae: quando cadit in latus KL, altitudinem esse majorem distantiâ: quando denique cadit in latus KI, esse minorem. Nota tamen ad altitudinem inventam adjici debere altitudinem pedis Instrumenti, ut dicetur Propositione

sequente. Colligitur praeterea, quomodo inveniantur diametrales EB, DB, CB, eadem opera.

Propositio VI. Altitudines verticales, ad quas accedi potest, metiri Pantometro.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 274. ] ESto turris, domus, etc. AB, ad horizontem perpendicularis, ad quam accedere possis. Numera a B basi turris usque ad C, quotlibet pedes; et colloca instrumentum supra pedem suum accommodatum, ita ut sit horizonti perpendiculare, prout figura monstrar; directâque Regulâ dioptricâ in B, fac juxtra Cursoris latus lineam C b in c harta horizonti parallelam. Deinde rectâ eâdem Regulâ in A, et posito Cursore supra C punctum, duc lineam C a. His factis, numera a C usque ad b tot particulas, quot pedes numerasti a C usque ad B; et ex b erige perpendicularem b a, quae intersecet lineam C a in a. Dico, particulas lineae b a dare pedes altitudinis BA. Ratio est, quia in duobus triangulis ABC, ab C, angulus ad C est communis utrique, anguli ad B et b suntrecti ex suppositione et operatione: anguli denique ad A et a sunt aequales, per 32 pri. et 29. ejusd. Ergout particulae C b aa particulas b a, ita pedes CB ad pedes BA per 4. Sexti, et 16. Quinti.

Annotatio I.

[note: ] ALtitudini AB inventae debes adjicere altitudinem pedis Instrumenti, nempe altitudinem CF, seu BG ipsi aequalem: nam per operationem factam reperitur sotum altitudo AB, non AG. 11. Particulae lineae C a dant pedes lineae diametralis CA, propter causam antea dictam. III. Sispatium inter B et C non est aequale, extende chordam. Si est declive, dirige Regulam dioptricam horizonti parallelam in turrim, et nota in ipsa turri punctum v. g. B ad quod terminatur radius visualis: facta enim operatione modo dicto, habebis altitudinem a cacumine usque ad punctum B notatum: cui altitudini si adjicias spatium BG usque ad terram, habebis totam altitudinem turris.

Corollarium.

[note: ] HInc colligitur quomodo mensuranda sit portio alicujus altitudinis verticalis, v. g. distantia inter fenestram D et cacumen A, item distantia inter duas fenestras D et E. Si enim primo investiges altitiudinem majorem B A, modo dicto, deinde minorem BD, hanc ab illa subtrahas, habebis distantiam inter D et A. Eodem modo invenies distanttam inter E et D. Idem intellige circa usum Quadrantis sequentis.

Propositio VII. Metiri altitudinem perpendicularem AB Quadrante, quando ad ipsius basin B accedi potest,

[note: Vide Iconismi D. Fig. 275. ] STatue Quadrantem in loco C, distance a B 20 pedibus; et per dioptram CE aspice summitatem A sub angulo ACB grad. 60. erit ergo angulus CAB grad. 30. His tribus cognitis, invenies AB primo per sinus, si dicas: Ut sinus anguli CAB grad. 60, et part. 50000, ad sinum anguli ACB grad. 60, et part. 86602 ita latus C B pedum 20, ad latus BA pedum 34[?] fere. Addi tamen debet altitudo Instrumenti e terra elevati. Eandem invenies secundo per sinus et tangentes: si CB fiat sinus totus, et AB tangens anguli ACB. Nam si dicas: sinus totus 100000 dat tangentem anguli ACB grad. 60. nempe 173205: quid dat latus CB pedum 20? Invenies enim pro latere AB pedes 34[?] sive [?]. Diametrum sive hypothenusam CA eadem opera invenies persinus, et per secantes. Persinus, sidicas: ut sinus anguli B A C grad, 30. et par. 50000, ad sinum totum part. 100000, ita latus BC pedum 20, ad latus CA pedum 40. Persecante, si facias CB sinum totum et dicas: ut sinus totus 100000, ad secantem anguli ACB grad. 60, et par. 200000: ita latus BC ad latus CA 40.

Propositio VIII. Atitudines verticales, adquas accessus non patet, Quadrato metiri per duas stationes.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 273. ] ESto turris AB in diagrammate Proposit. 5. praecedentis, sitque distantia AE ignota, eo quod non possit ex E accedi ad A. Fiant primo observationes duae in E et D. Et in E quidem observetur per pinnulas regulae EH, cacumen turris B, et notentur partes LH 5 in latere LK abscissae. Deinde transferatur Instrumentum ex E in D secundum lineam rectam AD, et observetur similiter per regulam DG cacumen B cadatque regula in angulum G, et sit LP ipsi LH aequalis, nempe 5 partium: totidemque partium sit HK, vel PK, cum tota LK sit 10 partium: distantia vero inter duas stationes E et D sit 15 pedum. Cum igitur duo triangular PDG, EBD: item duo GLD, BAD, sint similia, ut consideranti patet; Si dicas: GP 5, dat ED 15 quid dat LK, live LG 10? Reperies distantiam AD 30 pedum. Et quia in statione D regula cadit in angulum G: erit altitudo turris AB distantiae AD aequalis, nempe 30 pedum, eo quod sicuti GL est aequalis ipsi LD, ita AD est aequalis ipsi AB.

Fiant secundo observationes duae in D et C, cadatque in D regula dioptrica in angulum G, in C vero cadat in punctum F lateris IK, sitque distantia DC 36 pedum. Extendatur ex L per K regula quaedam divisa usque in M, donec scilicet attingat regulam dioptricam CF protensam; habeatque KM partes 12, et consequenter tota LM partes 12, et consequenter tota LM partes 22, quoniam KL est 10 partium. Igitur si dicas: KM 12, dat CD 36; quid dat LM 22? reperies distantiam CA 66 pedum. Sit jam IF partium 4[?]. Cum igitur triangula CIF, CAB, sint similia; sitque CI partium 10, IF partium 4[?], et CA pedum 66: Si dicas; IC 10, dat IF 4[?], quid dat CA? reperies AB 30 pedum altitudinis.

Fiant tertio duae observationes in E et C, sitque distantia obser vatio num EC pedum 51, et cadat regula dioptrica in obser vatione E in H, in observatione vero C in F, et fiat IO aequalisipsi IF, extendanturque per LK, et per EO, duae reg. divisae, in N concurrentes: sitque KN 12. partium: HK 5. ut tota HN sit 17, remaneatque HL 5. Et quia triangula

EAB, EHL sunt similia, estque, LH 5, E L 10. partium: item quia EBC, EHN similia, estque, HN 17, et distantia CE 51 pedum; si dicas HN 17, dat CE 51; quid dat LH 5? reperies AE 15 pedum. Rursus, si dicas: LH 5, dat AE 15: quid dat EL 10? reperies AB 30 pedum altitudinis. Omnia melius fortassis intelligentur ex sequenti Propostione.

Propositio IX. Altitudines verticales metiri Pantometro per duas stationes, ad quas non patet accessus, potest tamen in directum retrocedi.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 276. ] ESto ut antea turris AB, ad cujus basin B accedere non possis, propter, fossam, aedes adjunctas, etc. utere duabus stationibus in C et D, sic. Colloca primo instrumentum in C horizonti perpendiculare, et juxta Cursoris latus duc in charta aut tabula ipsius lineam C b horizonti parallelam. Respice deinde per dioptras regulae cacumen A turris et applicato Cursore supra punctum C, duc rectam C a e in charta. His factis, procede versus turrim usque ad D, et numera pedes inter C et D interjectos; simulque in linea C b chartae numera ex C usque ad d tot particulas, quot pedes numerasti a statione C usque ad strationem D. His etiam factis colloca Instrumentum in D, ita ut d instrumenti correspondeat D loci: et dirige regulam dioptricam iterum in cacumen A, C ursorem vero pone supra punctum d seu D, et fac D a, quae intersecet lineam c a seu C a in a. Post haec a puncto intersectionis a demitte perpendicularem a b ad lineam c b chartae. Dico jam, turrim AB continere tot pedes in altitudine, quot particulas continet perpendicularis a b chartae. Dico praeterea, rectam b D dare latitudinem fossae D B, si D fuit prope fossam: b c distantiam primae stationis C a turri; D a, et c a, lineas diametrales a locis stationum ad caclimen A. Ratio est, quia duo triangula, ACD majus, et a c D minus sunt aequiangula, propterea quod angulus ADC est communis utrique, et angulus ACD est idem cum angulo a c D: et relique sunt aequales, per 32. pri. Ergo, per 4 Sexti, et 16. Quinti, proportio lateris D a minoris, ad latus D A majoris, est sicuti proportio D c minoris, ad D C majoris. Quia ergo latus D c minoris continet tot particulas, quot pedes continet latus DC majoris, et e contra: sequitur quod etiam latus D a minoris contineat tot particulas, quot pedes continet latus DA majoris, et e contra Iterum duo triangula ADB majus, et a D b minus, sunt aequiangula, propterea quod angulus B et in utroque rectus est, angulus ADB communis utrique, et reliqui aequales per 32. pri. Ergo, per 4, Sex. et 16. Quin proportio lateris a b minoris ad latus AB majoris, est sicuti proportio lateris a D minoris ad AD majoris, et e contra. Quoniam igitur AD majores continet tot pedes, quot particulas continet a D minoris: sequitur quod etiam AB majoris contineat tot pedes, quot particulas continet a b minoris: quod erat inquirendum.

Annotationes.

[note: ] SIprimam stationem facias in D, et secundam in C, et ex d chartae usque ad c seu C numeres particulas, et reliqua praestes ut dictum: invenies eandem altitudinem. II. Non est necesse ut videatur basis turris, sedsufficitut Regula et Cursor directi in basim, sint paralleli horizonti, ut fiat linea C d b honrizonti, parallela. III. Si numeres particulas lateris D b trianguli a D b, habebis distantiam D B. Si vero numeres particulas c b, habebis distantiam C B: a qua si subtrahas distantiam C D, remanet distantia D B. Demonstratio horum similis est praecedinti.

Corollaria.

[note: Montis altitudinem metiri. ] EX dictis colligitur primo, qua ratione mensuranda sit altitudo perpendicularis alicujus montis: etiamsi ad basim perpenducularis accedi non possit propter montis acclivitatem. Si enim stationem primam facias in loco C a monte remotiori, alteram in D monti propinquiori, et ex utroque loco aspicias verticem montis, aut signum aliquod vertici impositum, et reliqua praestes ut dictum: dabit a b perpendicularem AB, a vertice montis usque ad planum cui mons insistit, et in quo operationem institusti.

II. Colligitur secundo, quae ratione invenienda sit distantia a loco stationis, seu primae, seu secundae, usque ad perpendicularem montis aut turris, arcis, etc. monti impositae Vndesi perforandus esset mons, et arci impositae supponendus pulvis pyrius; quantum perforandum sit, scies.

III. Colligitur tertio, quo modo mensuranda sit portio alicujus altitudinis verticalis, ad quam non possis accedere; si nimirum primo investiges majorem, deinde minorem altitudinem, ac demum subtrahas minorem a majori.

Propositio X. Metiri altitudinem perpendicularem AB, quando non potest accedi ad ipsius basim, Quadrante ex duplici statione.

[note: Vide Icon D. Fig. 275. ] OBserva summitatem A primo in D, deinde in C, sub angulis ADB grad. 70 et ACB gr. 50: et nota distantiam inter CD pedum 20 v. g. Ex his invenies hypothenusam DA (quâ cognita, cognosce, deinde altitudinem AB) tali pacto. Cum in triangulo A C D notus sit angulus C gr. 50 ex Quadrante, et notus etiam sit angulus CDA gr. 110, per 13. pri. Euclid. utpote deinceps angulo ADB cognito etiam ex Quadrante, cujus est complementum ad duos rectos: et notus praeterea sit angulus CAD grad. 20. per 32. pri. et tandem notum sit latus CD pedum 20. invenies latus DA, si dicas: ut sinus anguli CAD gr. 20. et part. 34201, ad sinum anguli ACD gr. 50. et part. 76604: ita latus CD pedum 20, ad latus DA. Invenies enim pedes 44[?] fere. Habito larere Da trianguli ADB, cum habeatur etiam angulus ADB grad. 70, ex Quadrante, et angulus B ex suppositione rectus: si AD assumas prosinutoto, et dicas: ut radius 100000, ad sinum anguli ADB 70, et part. 93969; ita latus DA pedum 44[?] ad aliud: invenies latus AB ped. 41[?] fere. Si verodicas: ut sinus totus 100000, ad sinum ang. DAB 34202,

ita latus DA 44[?], ad aliud, invenies distantiam DB. Huc accommodari possunt fere omnia quae diximus in Annotationibus et Corollariis praecedentis Proposit.

Propositio XI. Altitudines in monte positas metiri Quadrato, adquas patet accessus.

[note: Altitudines in monte positas metiri. ] ESto turris AB in monte posita primo ex D observanda. Sit distantia a turri. DA 40 pedum. Observetur igitur per pinnulas regulae DE cacumen turris B, et demittatur ex E perpendiculum EG, quod in F secet latus DH, sit [note: Vide Iconismi D. Fig. 277. ] que DF 6 partium, EF 3. Si ergo dicas: DF 6, dat DA 40; quid dat EF 3? reperies AB 20 pedum altitudinis. Ratio est, quia triangula DAB, DFE, sunt aequiangula: est enim angulus ADB utrique communis; et anguli ABD, FED, sunt aequales, per 29. pri. propterea quod AB, EG sint parallelae per 6. undec. habent ergo circa aequales angulos latera proportionalia, per 4. Sexti.

Sit secundo eadem turris AB ex C dimetienda. Observetur per pinnulas regulae CE cacumen turris B, et demittatur ex E perpendiculum seu filum cum pondere FG, sitque distantia CA 10 pedum, partes instrumenti inter C et F 4 partium, partes perpendiculi EF 8. Si igitur dicas: CF 4, dat CA 10; quid dat EF 8? reperies pro AB 20 utantea. Ratio est, quia triangular CAB, CFE sunt aequiangula: nam angulus ACB utrique triangulo est communis; anguli vero AB C, FEC sunt aequales per 29. pri. ergo etc.

Propositio XII. Altitudines accessibiles in monte positas Pantometro metiri.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 278. ] ESto ut antea turris AB. Colloca Pantomectum in loco C, qui dister a B pedibus 40, et dirige Regulam dioptricam in B, et in A, et juxta latus Cursoris duc lineas C b, C a. Demum in lineam C b a C usque ad b transfer particulas 40, et ope perpendiculi erige perpen dicularem a b. Dico turrim AB esse tot pedum, quot particulas continet b a. Nam triangula ABC, ab C sunt similia, quia angulus C est communis utrique; anguli b et B, a et A, sunt aequales, per 29, pri. Ergo ut Cb ad CB, ita b a ad BA.

Propositio XIII. Altitudines verticales monti impositas, et accessibiles, Quadrante metiri.

[note: ] Sit in praecedenti schemate mensuranda AB. Collocato Quadr ante in C, distante a B quantum lubet, ita ut latus E F sit ad horizontem, perpendiculare; dirige regulam in B, et in A, et nota mensuram anguli ACD: quo habito habetur etiam angulus A, utpote complementum ad rectum. Cum igitur et angulus ACB notus sit ex instrumento, notus etiam erit angulus ABC: est autem et latus CB notum. Si ergo dicas: ut sinus anguli A ad sinum anguli ACB, ita latus CB ad BA: reperies AB in pedibus.

Propositio XIV. Altitudines in monte positas, ad quas accessus non patet, metiri.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 277. ] QVADRATO. Sit mensuranda altitudo AB figurae Proposit. XI. ad quam accessus non patet, potest tamen in directum retrocedi. Obtervetur cacumen bis, semel in C, et iterum in D, ut ibi dictum, transferaturque ex observatione in C facta in observationem in D factam, HE ex H in K, et demittatur ex K ipsi DC parallela regula KI, donec cum regula DE in I concurrat; ducaturque recta KD. Sit autem distantia observationum D et C 30 pedum, KI 15 partium, DK 13? Igitur si dicas: KI 15, dat DC 30, quid dat DK 13? reperies C B 26. Si rursus dicas: DK, seu CE 13, dat CB 26, quid EF 10: v. g. reperies AB altiiudinem turris 20. ped. Ratio est, quia triangula CBD, DKI, sunt eaquiangula: nam anguli BDC, DIK sunt aequales, per 29. pri. utpote allterni, quia DC, KI sunt parallelae. Eandem ob causam aequales sunt anguli CBD, KDI, sunt enim CB, DK parallelae, quia eundem angulum cum AD faciunt. Triangula quoque BAC, EFC, aequiangula sunt, ut proposit. 7. demonstratum fuit.

PANTOMETRO, et QVADRANTE quomodo eadem altitudo mensuranda sit, facile ex dictis patet, ideo plura addere supersedeo.

Monitio ad Tirones.

[note: ] MVltos alios casus et modos dimetiendi altitudines verticales, quos in Pantometro pertractavi, et facile ad Quadratum ac Quadrantem accommodari possunt, omittere cogor, ne nimium mutiplicentur figurae, sine quibus explicari ac demostrar: non possunt, cujusmodi sunt metiri illas quando neque accedi potest, neque indirectum retrocedi, sed tantu~ad latus: item ex alia altitudine per duas stationes: item majorem ex minori, aut minorem ex majori, per unicam stationem: item altitudinem turris ex ipsa turri, quando basis turris non potest videri: item altitudinem nubium verticalium, et non verticalium: item altitudinem turris in fossa aut valle positam: item altitudinem turris ex ipsa turri, quando nota est distantia quaedam horizontalis a basi ipsius etc. Nobis Juffciat usum trium Instrumentorum in dimensione verticalium altitudinum ostendisse: quem qui intelligit, nullo negotio intelligent usum quorumlibet aliorum instrumentorum geometricorum, a variis excogitatorum: omnium enim eadem estratio, quoniam in omnium usu formantur duo triangular similia, et tribus cognitis venitur in cognitionem quarti ignotiper auream Arithmeticae regulam.

CAPUT IV. De dimensione profunditatum.

PRofunditates hîc appello lineas perpendiculariter descendentes e loco superiori, vel

[note: Profunditatum dimenso. ] ascendenres ex inferiori: cujusmodi sunt profunditates puteorum, vallium, etc. quae etiam vocari possunt verticales profunditates: et eandem fere dimetiendi rationem habent cum verticalibus altitudinibus.

Propositio XV. Profunditates puteorum metiri.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 279. ] ESto puteus DFEC, aequalem habens latitudinem, superius DC, inferius FE, sive rotundae sit cavitatis, sive non. Metire latitudinem DC, quae sit v. g. 20 pedum. Deinde applica Quadratum, aut Quadrantem ut vides, et directâ dioptra in F, nota in Quadrato partes CG 30. v. g. in Quadrante arcum CH. Demum dic: ut GC 30, ad CA 100. ita DC vel FE 20 ad EA. Item, ut sinus anguli FAE, ad sinum anguli AFE, ita FE seu DC ad EA. Vel, ut sinus totus ad tangentem anguli AFE, ita FE seu DC ad EA, Pantometro sic untere. Fac duas rectas AC, CG, intersecantes se in C, et ex C usque in G, transfer 20 particulas, et dirige regulam dioptricam in F, positoque Cursore in puncto G duc rectam GA. His factis, tot pedes continebit AE, quot particulas AC. Auferri debet in omnibus tribus operationibus alticudo Instrumenti CA a prosunditate AE inventa. Ratio horum omnium ex dictis patet. Aliis etiam modis institui potest operatio, ut in Pantometro dixi, quos omitto.

Propositio XVI. Profunditates vallis metiri ex monte.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 279. ] MOns sit AFE praecedentis figurae, altitudo vallis FI, vel EA quae quaeritur. Metire primo per ea quae dicentur capite sequenti, diametralem AF. Deinde applica Instrumentum ut vides et viso signo F, dic pro Quadrato: Ut partes regulae AG ad partes lateris AC, ita AF ad AE, vel FI. Pro Quadrante dic: ut sinus totus ad sinum anguli AFE, ita AF ad AE seu FI. Pro Pantometro transfer ab A usque in G tot particulas, quot pedum est diametralis AF, et per G duc rectam GC perpendicularem ipsi AC, et dic: ut particulae AG ad particulas AC, ita AF ad AE, seu ad FI. Aliis modis invenire potest eadem vallis profunditas in Pantometro insinuatis, quos omitto: sicut et praxin inveniendi altitudinem turris in valle positae.

CAPUT V. De dimensione distantiarum diametralium.

[note: Diametrales distantias mitiri. ] DIstantias seu lineas diametrales voco, distantias transversales a termino quopiam in planitie constituto usque ad alium in eminentiori loco situm, qualis est scalarum muris applicatarum ad conscendendum, qualesque sunt distantiae EB, DB, CB, etc. in sequentibus diagrammatis.

Propositio XVII. Distantiam diametralem invenire, quando ad basim altitudinis accedi potest, aut nota est ipsa altitudo.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 273. ] QVADRATO. Sint inveniendae distantiae EB, DB, CB. Metire in pedibus v. g. intervalla AE, AD, AC, et applicato Quadrato in E, in D, in C, dirige regulam dioptricam in B. Deinde dic in primo casu, ut LH ad HE, ita AE ad EB: in secundo casu, ut LK ad KD, ita AD ad BD: in tertio, ut IC ad CF, ita AC ad CB. Ratio est, quia in omnibus casibus formantur triangula duo similia, ut ex dictis supracap. 3. Proposit. 5. patet.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 274. ] PANTOMETRO. Sint inveniendae distantiae CE, CD, CA. Metire CB, et ducta instrumento recta C b horizonti parallelâ, directaque regula dioptrica in E, in D, in A, fac rectas C e, C d, C a. Numera deinde ex C in b tot particulas, quot pedes in CB, erigeque perpendicularem b a. Particulae C e, C d, C a dabunt pedes CE, CD, CA. Ratio sumitur a triangulis duobus similibus, ut explicatum est loc. cit. Proposit. 6.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 275. ] QVADRANTE. Sint mensurandae diametrales DA, CA. Metire in pedibus DB, CB, et applicato Quadrante in D et C, dirige regulam in A, et dic: ut sinus anguli BAD ad sinum totum, ita BD ad DA: item, ut sinus anguli BAC ad sinum totum, ita BC ad CA. Easdem diametrales invenies per secantes modo dicto loco cit. Proposit. 7.

Annotatio I.

[note: ] SI altitudo est nota, et distantia horizontalis ignota, invenies nibilominus diametrales, si opereris modo praedicto, et dicas in schemate Quadrati Figurae 273, ut LE ad EH, ita AB ad BE, etc. in schemate Pantometri Figurae 274, ut b c ad e C, ita BE ad EC etc. in schemate Quadrantis Figurae 275, ut sinns totus ad secantem anguli BAD, ita BA ad AD etc. II. In omnibus casibus, si Instrumentum est elevatum supraterram, diagonalis ipso ducta, aut per regulam dioptricam designata, debet extendi (applicato filo) usque ad terram per lineam rectam, ut habeatur integra diagonalis quaesita.

Propositio XVIII. Distantiam diametralem invenire quando ad basim altitudinis non potest accedi, neque nota est ipsa altitudo.

[note: ] QVaere prius vel latitudinem, inaccessibilem, per dicta cap 2. Proposit. 4. vel altitudinem, per dicta cap. 3. Proposit. 8. 9. et 10. Ex utravis inventa invenies distantiam diametralem modo dicto Proposit. praecedente.

Propositio XIX. Distantiam diametralem invenire sine ulla observatione, quando nota est altitudo et distantia horizontalis.

In charta aliqua fac angulum rectum BAE, et divisâ BC in tot particulas, quot pedes continet altitudo, AE vero in tot, quot pedes continet distantia horizontalis; fac hypothenusam EB, et similiter in particulas prioribus aequales divide. Numerus particularum hujus hypothenusae erit numerus pedum diametralis quaesitae.

Propositio XX. Acclivitatem alicuius montis invenire.

[note: Montis acclivitatem metiri. ] ACclivitas vel declivitas montis, hoc est, distantia a summitate per dorsum usque ad subjectam vallem aut planitiem, habet rationem distantiae diametralis. Quam sic invenies per dicta cap. 2. Proposit. 1. 2. et 3. Declivitas seu acclivitas montis sit BA, ita ut, B sit signum aliquod in monte, A invalle. In ipsa montis summitate, [note: Vide Iconismi D. Fig. 264. ] si fieri potest, fac duas stationes, v. g. in B et E, posito Quadrato ita, ut planum ejus sit montis dorso seu acclivitati perallelum: et in utraque observa sinum A in subjecta valle aut planitie, modo ibidem Proposit. 1. dicto. Erit ut EF ad FI, ita EB ad BA: Ratio exibi dictispatet Eodem modo reperies acclivitatem Pantometro et Quadrante, si opereris ut praescribitur Proposit. 2. et 3. dabunt enim in Pantometro particulae a c pedes acclivitatis EC. Quadrato vero invenies, si dicas, ut sinus anguli C ad sinum anguli D, ita BA ad AB.

Propositio XXI. Diagonalem ex ipsa altitudine nota invenire.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 272. ] DAta sit altitudo BC, et sit invenienda diagonalis CA, CD, CH. In summitate C applica instrumentum ut figura monstrat, et dirige radium visualem in A, in D, in H. His factis, in Pantometro particulae C a, C d, CG, dant diametrales CA, CD, CH. In Quadrato easdem habebis, si dicas, ut b C ad C a, ita B C ad CA, etc. In Quadrante, si fiat ut sinus anguli CAB ad sinum totum, ita BC ad CA, etc. Ratio patet ex dictis cap. 2. Proposit. 4.

CAPUT VI. De usu Quadrati et Quadrantis penduli.

[note: Quadrati et Quadrantis geometrici penduli usus. ] UTrumque instrumentum in usu posse esse et stabile, et pendulum, supra diximus cap. 1. Explicavimus breviter usum quando stabilia sunt, id est, e pedibus suis stabiliter suspensa, et vel horizonti parallela, vel perpendicularia, vel alium situm habentia: nunc paucis insinuandus usus dum pendula sunt, id est, e manibus, vel e suis etiam pedibus mobiliter suspensa. In quo casu, loco regulae dioptricae e centro A suspensae, suspendi debet filum cum perpendiculo ex eodem centro A.

Propositio XXII. Quadrato pendulo turrium et aliarum rerum altitudines dimetiri, quando ad basim accedi potest.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 280. ] ESto turris AB. Sint distantiae: AC, AD, AE, in quibus observationes fieri debeant, cognitae, sitque AC 20, AD 40, AE 100 pedum. Observetur per pinnulas lateris GF cacumen turris B, et abscindat perpendiculum FH in statione prima C, exlatere GM partes 5 G I, in secunda D partes 10 GI, in tertia E ex latere KL partes KI 4, adeoque IL sit 6 partium. Et quia in prima statione C, distantia AC ponitur pedum 20, GI partium 5, GS partium 10, et sunt triangula BAC, FGI, aequiangula (nam anguli A et G sunt recti; anguli vero ABC, IFG sunt aequales, per 29. pri. propter parallelas AB, SH, in quas linea optica CB incidit, et reliqui etiam duo anguli aequales sunt, per 32. pri.) si dicas: GI 5, dat GF 10, quid dat AB 20? reperies AB 40 pedum.

In secunda statione D, quia distantia a turri BA ponitur 40 pedum, et GI 10 partium, sicut et GF, si dicas: GI 10, dat GF 10, quid dat AD 40? reperies iterum AB 40 pedum.

In tertia statione E quia distantia AE ponitur 100 pedum, KI 4 partium, et KF 10, (suntque triangula ABE, KFI aequiangula, quoniam anguli ad A et K sunt recti, anguli vero ABE, FIK sunt aequales, quod uterque aequalis sit angulo IFE, per 29. pri; ) si dicas KF 10, dnt KI 4, quid dat AE 100? reperies ut antea AB 40. pedum.

Propositio XXIII. Quadrato pendulo metiri altitudines, quando ad earum bases accedi non potest.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 280. ] SInt distantiae AC, AD, AE incognitae. Obser vetur primo cacumen B per lateris GF pinnulas, in C et D, cadatque per pendiculum in I, et GI primae; observationis transferatur ex G secundae obser vationis in L, sitque GI, sive GL partium 5, totidemque LI, et distantia inter duas stationes C et D sit 20 pedum. Si igitur dicas: LI 5, dat GL, seu GI 5; CD 20 quid dat? reperies AC 20 pedum. Cum igitur jam distantia AC nota sit, scietur et altitudo AB ut prius, si nimirum dicas: GI 5, dat GF 10, quid dat CA 20? reperies enim rursus AB 40 pedum.

Observetur secundo cacumen B in stationibus C et E, per pinnulas lateris GF. Transferatur GI 5, primae observationis, ex G in N secundae observationis, cadatque filum in eadem secunda statione in I lateris KL, et extendantur per F et I, item per G et L, duae regulae in M concurrentes, sitque GN 5 partium, NM 20, distantia observationum CE pedum 80. Igitur si dicas: NM 20, dat CE 80, quid dat GN 5? aut convertendo per 16. Quinti, NM 20, dat GN 5, quid dat CE 80? reperies AC 20 pedum. Ratio est, quia tam triangula BAE, FGM, quam triangula ABC, SGN sunt aequiangula, ut consideranti patet. Habitâ igitur distantiâ AC a turri, facile reperitur altitudo turris AB, si dicas: GM 25, dat AE 100, quid dat FG 10? vel convertendo per

16, Quinti, GM 25, dat FG 10. quid dat AE 100? reperies enim rursus 40 pedum altitudinem turris AB. Eandem altitudinem obtinebis, si dicas: GI, seu GN 5. dat FG 10, quid dat AC 20?

Observetur tertio cacumen B per pinnulas lateris GF in stationibus D et E, cadatque filum in statione D in angulum I, in statione E in I lateris KL, et extendantur duae regulae per FI: et per GL, concurrentes in M, sitque LM 15 partium, CK 10, distantia observationum DE 60 pedum. Igitur si dicas: LM 15, dat DE 60, quid dat GL 10? reperies DA 40 pedum. Quare habita distantia DA a turri AB, cum in observatione D filum sive perpendiculum cadat in angulum I, erit altitudo turris aequalis distantiae, hoc est 40 pedum.

Propositio XXIV. Quadrante pendulo metiri altitudines verticales accessibiles.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 280. ] SIt ut antea turris AB, sitque primo observanda ex C distante ab A 20 pedibus. Per pinnulas GE respiciatur cacumen B, et notetur angulus GFI, seu CBA, et consequenter angulus BCA qui est prioris complementum ad rectum. Dic deinde: ut sinus anguli ABC, ad sinum anguli BCA, ita distantia CA ad altitudinem AB. Vel ut sinus totus ad tangentem anguli BCA, ita distantia CA ad AB. Sit secundo observanda ex D, distante ab A 40 pedibus, cadatque filum perpendiculi FH in gradum 45, seu in angulum I. Erit ergo altitudo AB aequalis distantiae AD. Quod etiam reperies, si dicas; ut sinus anguli IFG, seu ABD, ad sinum anguli FGI, seu BDA, ita distantia DA ad AB. Seu, ut sinus totus ad tangentem anguli D. ita DA ad AB. Sit tertio observanda ex E, distante ab A 100 pedibus, cadatque perpendiculum in I, et notetur angulus IFG seu AEB, et consequenter angulus IFK, seu BAE. Deinde dic ut antea: ut sinus anguli ABE ad sinum anguli E, ita EA ad AB: vel, ut sinus totus, etc.

Propositio XXV. Quadrante pendulo metiri altitudines easdem inaccessibiles.

[note: ] OBservetur cacumen B, per pinnulas lateris GF, primo in C, deinde in D distante a C 20 pedibus; et notetur in prima statione angulus IFG, seu ABC, in secunda angulus IFG, seu ABD, et primo subtracto a secundo, notetur angulus IFL, seu CBD. Deinde dicatur: ut tangentes anguli CBD ad tangentem anguli ABC, ita CD, ad CA. Habita igitur distantia CA, invenitur altitudo AB ut antea. Simili modo procedendum est, si observationes fiant in D et E, aut in C et E.

Annotatio I.

[note: ] INomnibus casibus hujus capitis, ad altitudinem inventam debet addi elevatio Instrumenti supra terram. II. Similem usum habent praedicta Instrumenta in Vranometria; in Geometria vero vix alium usum habent. III. Qui evitare vult calculum arithmeticae recedat in usu Quadrati tam diu ab altitudine accessibili, donec regula cadat in angulum; et tunc distantia ab altitudine erit aequalis altitudini: Vel donec cadat in punctum quintum lateris recti BC; et tunc distantia est subdupla altitudinis: Vel donec cadat in punctum quintum lateris versi CD, et tunc distantia est dupla altitudinis,

CAPUT VII. De variis dimetiendi modis per alia Instrumenta aut sine Instrumentis.

[note: Metiendi modi varii. ] IN hoc caput conjiciam varios modos dimetiendi per Instrumenta facillime parabilia, aut etiam sine omni Instrumento, quoniam id Tyronibus gratissimum accidere non ignoro.

Propositio XXVI. Metiri altitudines perpendiculares accessibiles, per umbram [correction of the transcriber; in the print umbrum].

[note: Metiri altitudines per umbram. ] SIt mensuranda turris, domus, columna, arbor, etc. AB. Primo sole lucente erige perpendiculariter baculum DE cujuscunque longitudinis, divisum in 10. partes aequales, et vide quot talium partium sit umbra ejus EF. Secundo [note: Vede Iconismi D. Figuram CCLXXX. ] metire umbram BC turris in pedibus v. g. 30. Tertio dic per regulam Trium: ut umbra EF, ad altitudinem ED, ita umbra BC ad altitudinem BA. Quotiens dabit altitudinem quaesitam. Ratio patet ex dictis, et fundatur in 4. Sexti Euclid. Supponitur autem posse accedi ad basim B. Pro baculo potes uti filo DE in 10 partes aequales per nodulos diviso, et habente annexum pondus: si enim suspendas filum, ut pondus E attingat leviter terram et metiaris umbram EF fili, procedasque ut dictum; invenies eandem altitudinem AB. Potes etiam in regula aliqua lignea EF, v. g. prolongara, et divisa in multas partes aequales secundum longitudinem, erige perpendiculariter in ejus extremo E stylum ED in 10 partes aequales divisum: sic enim statim videbis quot partium sit umbra a stylo projecta. Imo horizontale planum potest dividi in multos circulos concentricos aequaliter inter se distantes, et in ejus centro erigi stylus divisus in 10 ejusdem magnitudinis partes, quibus distant inter se circuli. Hac ratione poteris metiri altitudinem quamcunque particulariter erectam etiam a te remotam, si misso alio explores longitudinem umbrae ipsius. Ex his ingeniosus Tyro multa alia eruere poterit.

Propositio XXVII. Altitudines verticales accessibiles metiri per umbram sine arithmetica.

[note: ] SIcut ut antea altitudo verticalis AB quae projiciat umbram BC quorcunque pedum. Erige perpendiculariter baculum DE longum uno pede, et nota longitudinem umbrae EF quam projicit. Accipe deinde alium bacillum tantae longitudinis, quantae est umbra EF, et metire

tali bacillo umbram CB. Dico, tot pedes continere altitudinem AB, quoties umbra BC continet dictum bacillum aequalem umbrae EF, ut si umbra BC continet trigesies in se mensuram umbrae EF, altitudo AB erit 30. pedum. Ratio est, quia sicut se habet umbra EF projecta ab uno pede DE ad ipsum DE: ita se habet umbra BC projecta a 30 pedibus AB, ad ipsum AB. Modum hunc insinuat Plato in aliquo Dialogo, cujus nunc non memini.

Aliter sine arithmetica. Centro E, semidiametro DE, describe circulum in plano aliquo horizontali, et infixo ad perpendiculum stylo DE aequali semidiametro circuli, exspecta donec extremitas umbrae FE attingat peripheriam circuli. Metire tunc umbram altitudinis, et quot pedum erit umbra, totidem erit altitudo. Ratio est quia sicuti umbra styli est aequalis stylo, ita umbra altitudinis altitudini.

Propositio XXVIII. Metiri altitudines verticales accessibiles per umbram ope Quadrati et Quadrantis.

[note: Vide Icon II. Fig. 262. ] QVADRATO. Colloca Quadratum horizonti perpendiculare, ut figura monstrat (vel, quod perinde est, inverso situ, ut latus AD sit tertiae parallelum) et regulam dioptricam AO eleva ac deprime tamdiu, donec radius solis per utriusque pinnacidii E et F foraminulum transeat. Tum si regula cadit in angulum C, altitudo rei mensurandae est praecise aequalis suae umbrae, ac proinde mensurata umbra usque ad radicem altitudinis, scietur altitudo. Si cadit in latus rectum BC, v. g. in partem sexagesimam: umbra est minor quam altitudo, et quam proportionem habent 60 ad 100, eandem habetumbra altitudinis ad altitudinem. Si cadit in latus versum CD, v. g. in partem 80, umbra est major quam altitudo, se ut se habet 80 ad 100: ita umbra altitudinis ad altitudinem. Ratio patet ex dictis de usu Quadrati in praecedentibus.

QVADRANTE. Colloca Quadrantem ut Quadratum, et eleva ac deprime regulam A O ut antea. Si cadit in gradum 45: umbra altirudinis est ipsi aequalis. Si cadit citra 45. v. g. in gradum 30. umbra est major et se habet ad altitudinem sicut sinus complementi anguli 30 graduum ad sinum anguli 30. grad. Si cadit ultra 45, v. g. in 70 grad. umbra est minor altitudine, et se habet ad illam iterum ut sinus complementi anguli 70 grad. ad sinum anguli 70 graduum. Ratio patet ex dictis in Trigonom. de finibus.

In omnibus tamen casibus ad altitudinem inventam debet addi altitudo Instrumenti supra terram. Qui in usu Quadrati vult evitare calculum arithmeticae, observet in accessu et recessu ab altitudine id quod diximus cap. 6. in Annot. 3.

Propositio XXIX. Fossae aut fluvii non adeo magni latitudinem metiri pileo capiti imposito.

[note: Metiri latitudinem pileo. ] I. STans erectus ad unam ripam fluvii, respice ad alteram, et limbum pilei capiti impositi tam diu deprime et eleva, donec radius visualis radat limbum, et terminetur ad alteram ripam. II. Manente eodem corporis et pilei situ, verte te, et in planitie nota signum in quod terminatur radius visualis radens limbum pilei. [note: Vide Iconismi D. Fig. 281. ] III. Metire spatium inter te et signum notatum: huic enim spatio aequalis est fluvii latitudo. In figura praesente fluvius sit AD, homo erectus AB, radius visualis ex oculo B. emissus, et radens limbum BC, terminatusque in D, sit BCD. Manente hoc situ erecti corporis et depressi pilei, vertat se, et respiciat signum E, per radium BCE. Spatium AE erit aequale spatio AD. Ratio desumitur ex 26. pri. Euclid. nam duo anguli ABD, BAD, sunt aequales duobus ABE, BAE, ex constructione et suppositione, et latus AB utrique adjacens est commune utriqueque triangulo BAD, BAE; ergo et latera AD, AE, aequalia sunt.

Propositio XXX. Aliter idem facere baculo et bacillo.

[note: Metiri latitudinem baculo et bacillo. ] FAcilius et securius idem facies hoc modo I. Ad ripam A fluminis AD, erige perpendiculariter (ope perpendiculi) baculum AB; et fissura facta in B, infige ipsi baculum GC. II. Applicato oculo ad G, et respiciendo supra dorsum bacilli, eleva ac deprime eum intra fissuram B [note: Vide Iconismi D. Fig. 281. ] tam diu, donec radius visualis GCD cadat in alteram ripam D. III. Immoto manente angulo CBA, verte baculum AB cum bacillo in fixo, et applicato oculo ad F respice pet bacilli dorsum in signum aliquod E in planitie. Distantia AE erit aequalis latitudini fluminis AD. Ratio est eadem quae antea.

Propositio XXXI. Altitudines verticales accessibiles metiri eodem baculo et bacillo.

[note: Metiri altitudinem baculo et bacillo. ] SIt turris, columna, arbor etc. FG, perpendiculariter erecta. Statue bacillum AB divisum in 10. aequales partes, in A perpendiculariter erectum et applicato oculo ad C bacilli CBD, [note: Vide Iconismi D. Fig. 282. ] dirige per ejus dorsum CBD radium visualem in F. II. Applicato oculo ad D, dirige radium in E, et ibi nota signum aliquod. III. Metire spatium EA 6 v. g. et spatium EG 20 v. g. et dic per Regulam Trium: si EA 6, dat AB 10, quid dat EG 20? invenies altitudinem GF pedum 33 1/3 Ratio est quia triangula EAB, EGF, sunt aequiangula, ut consider anti patet; ergo per 4. Sexti, etc.

Hinc patet, quomodo reperiri possit altitudo fenestrae HP in turri GF, si nimirum modo dicto reperiatur primo altitudo GF, deinde altitudo GH, et haec ab illa subtrahatur: remanebit enim HF.

Propositio XXXII. Aliter idem facere solo baculo AB, sine bacillo CBD et sine arithmetica.

[note: Metiri altitudinem solo bacillo, ] SIt ut antea turris, arbor, etc. GF. Accipe baculum AB aequalem tuaestaturae a pedibus ad oculos: et jacens supinus in terra, erige

baculum perpendiculariter inter pedes compressos, et rependo accede aut discede a GF, donec per B videas F, id est, donec radius visualis ex oculo tuo E egrediens, et radens terminum B, terminetur praecise in F. Spatium ab oculo E usque ad G, erit aequale arbori FG. Ratio est, quia sicut latus EA est aequale lateri AB, ita latus EG est aequale lateri GF, per 4. Sexti.

Propositio XXXIII. Idem efficere baculo et bacillo, sine arithmetica.

[note: ] BAcillus CBD cum bacillo AB praecedentis figurae, faciat angulum ABC 45 graduum, seu semirectum: Quo habito, accede et recede, erigendo identidem baculum AB perpendiculariter, et respiciendo per dorsum CBD versus F, donec videas F per dictum dorsum bacilli CBD. Hoc facto, fige baculum AB, et applicato oculo ad D, nota signum E. Spatium EG erit aequale altitudini GF. Ratio est, quia si angulus ABC est semirectus, erit et alter AEB semirectus, per 32. pri. Ergo per 6. pri. latus EA est aequale lateri AB. Ergo per 4. Sex. ut EA ad AB, ita EG ad GF.

Propositio XXXIV. Gnomone, seu angulo recto metiri rerum altitudines.

[note: Metiri altitudines gnomone seu angulo recto. ] IN tabula lignea delinea angulum rectum ABC, vel potius ex duabus regulis AB, BC, in B orthogonaliter connexis confice gnomonem ABC, ductasque per medium lineas divide in [note: Vide Iconismi D. Fig. 283. ] quotlibet partes aequales, quam fieri potest plurimas et minimas. Hoc instrumento mensurari possunt altitudines rerum eodem fere modo, quod per Quadratum Sit enim mensuranda turris EF, ex statione A distante ab E 40 pedibus. Colloca Gnomonem ut vides, et puncto A infige acum, oculoque applicato dirige radium visualem in F, notando punctum D quod intersecat. Dico, quam proportionem habent partes AB, ad partes BD, eandem habet distantia AE ad altitudinem EF. Ratio desumitur ex 4. Sexti.

Nota I. Si a B versus A numeres tot partes, quot pedes numerasti ab E usque ad A, scies altitudinem EF sine arithmetica: nam tot pedum erit altitudo, quot partes erunt a B usque ad punctum ubi linea visualis intersecat latus BC. Ratio est eadem: nam ut partes AB ad pedes AE, ita partes BD v. g. ad pedes EF sed partes AB et pedes AE sunt pares numero: ergo et partes BD ac pedes EF.

Nota II. Si tam lateri AB, quam lateri BC accommodes acum aut stylum mobilem, qui nimirum moveri ad libitum versus B ac removeri queat; commodius erit: tunc enim applicato uno stylo ad A v. g. poteris alterum in latere BC movere sursum ac deorsum donec radius visualis per utriusque apicem transeat, et terminetur [note: Metiri latitudines gnomone. ] ad F.

Propositio XXXV. Gnomone metiri rerum latitudines.

[note: Vide Iconismi D. Fig. 284. ] SIt fluvii latitudo AG. Per stylos lateris BA dirige visum in G, et per stylos lateris BC in signum D. Metire distantiam BD, et sit v. g. 50 pedum. Colloca gnomonem in D, relicto baculo in B, et ab E usque ad D numera 50 partes; stylo applicato ad D, dirige primo visum per latus DE in B, deinde in signum G, et nota punctum intersectionis F. Dico, quot partes erunt in EF, tot pedes erunt in BG. Ratio est eadem quae antea.

Nota. Ingeniosus Tyro facile applicabit Instrumentum ad alios casus in praecedentibus capitibus propositos. Siregulae CB, BA, mobiles fiant circae B, ut instar circini aperiri et claudi, seu dilatari et constringi possint; immensum usum habebit Instrumentum. Quae omnia ingeniosis consideranda relinquo.

Propositio XXXVI. Speculo plano, aut vase aqua pleno, metiri rerum altitudines.

[note: Metiri altitudines [correction of the transcriber; in the print altitudidines] speculo. ] SIt domus AB, ad cujus basim accedi queat. Colloca speculum in C aliquot pedibus remoto, et recede versus D, donec videas in specu lo summitatem B, et nihil amplius. Metire deinde [note: Vide Iconismi D. Fig. 285. ] tuam staturam DE, quae sit 6 pedum: et distantiam DC a speculo, quae sit 5 pedum; et distantiam CA speculi a domo, quae sit 18 pedum. Dic jam, ut CD 5, ad DE 6, ita CA 18, ad AB. Invenies 21 3/5 pedum pro AB. Ratio est, quia triangula BAC, EDC sunt aequiangula: nam anguli ad A et D sunt recti, ex suppositione: angulus incidentiae BCA, est aequalis angulo reflexionis ECD, ut demonstramus in Magia par. 1 lib. 6. Praelus. 2 Proposit. 1. Ergo per 4. Sexti ut CD ad DE, ita CA ad AB. Si speculo destitutus es, accipe vas aqua limpidissima plenum et utere illo tanquam speculo.

Si domus AB non potest accedi, utere duabus stationibus, collocando speculum primo in K secundo in C, sic: Ex K recede in F, donec videas summitatem B, et nota distantiam KF, quae sit v. g. 5 pedum. Ex C recede in D, donec videas iterum in speculo summitatem B, et nota distantiam CD, quae sit v. g. 12 pedum: DI aut sit aequalis ipsi KF, nimirum 5 pedum, ideoque IC 7 pedum: distantia denique inter duas stationes seu loca speculi K et C, sit 20. Dic jam: ut DI 5, seu KF, ad IC 7, ita CK 20 ad KA: invenies KA 28 pedum. Habita jam distantia KA, habebis altitudinem AB, si dicas: ut KF ad FG, ita KA ad AB. Ratio est eadem quae in aliis similibus casibus duarum stationum.

Ex his pateat, quomodo per duas stationes reperiatur distantia AK, si AK est fossa ante domum AB.

Propositio XXXVII. Fluminis latitudinem, aut duorum locorum distantiam non adeo magnam, fixis solum in campo baculis metiri.

[note: Metiri locorum distantias pluribus baculis. ] SIt investiganda latitudo fluminis, aut duorum locorum distantia GA. Ab A, fixo prius baculo, procede usque ad H, ita ut HA cum AB constituat angulum rectum; sitque distantia AH 100 pedum [note: Vide Iconismi D. Fig. 284. ] v. g. Fixo deinde baculo in H, recede ad angulum rectum in I, sitque distantia HI pedum v. g. 30. Demum fixo baculo in I, recede ad angulum rectum

versus D, donec in eadem recta linea videas baculum H et signum G, per radium visualem DHG. Metire jam distantiam DI, quae sit v. g. 40 pe dum, et dic: Ut D I 40, ad IH 30, ita HA 100 ad A G 60. Ratio est, quia triangula DIH, HAG, sunt similia.

PARS SECUNDA. De Planimetria, seu superficierum dimensione.

[note: Planimetria, seu superficierum dimensio] SVperficies apud Mathematicos est magnitudo longa, ac lata, carens profunditate. Geometrae tamen practici et Agrimensores nomine superficierum intelligunt planities camporum, hortorum, vinearum, pratorum, lacuum, et similium rerum: item sylvasper planities extensas; et quidquid denique in longum, in latum, in circulum, et in quamcunque figuram planam est extensum, et secundum superficiem suam mensurabile. Dividitur superficies in planam, cavam, et convexam. Plana in rectilineam, curvilineam, circularem, [note: Superficies et eius divisio. ] et mixtam. Rectilineae sunt, quae rectis circumscribuntur lineis, seu quorum omnia latera sunt recta. Hae dividuntur in trilateras, quadrilateras, et multilateras, sive in triangulares, quadrangulares, et multangulares; quae etiam vocantur graece trigonae, tetragonae, et polygonae. Trilaterae seu triangulares appellantur triangula, et dividuntur in triangula rectangula, et obliquangula: et haec in acutangula, et obtusangula. Haetres triangulorum species appellantur graece triangula orthogonia, oxygonia, et amblygonia. Quaedrilaterae superficies dividuntur in quadrata, altera parte longiora, seu oblonga, rhombos, rhomboides, et trapezia. Multilaterae in regulares, et irregulares. Inter curvilineas numerantur superficies hyperbolicae, parabolicae, ellipticae, quas aliqui ovalles vocant. Circulares sunt circuli. Mixtae sunt circulorum segmenta. Cavae superficies sunt interiores sphaerarum, cylindrorum, conorum, et similium corporum intus cavorum. Convexae sunt exteriores eorundem corporum. Omnium fere definitiones cum appropriatis diagrammatis dedimus lib. 1. Qua de sunt, dabimus hac libri hujus parte, de harum omnium dimensione nunc agemus. Recolenda sunt quae diximus initio hujus libri de famosis mensuris simplicibus et quadratis; simplicibus enim latera, quadratis areas seu capacitates superficierum metimur, ut ibi diximus.

Propositio I. Parallelogrammorum rectangulorum areas metiri.

[note: Parallelogramma metiri. ] QVid, et quotuplex sit parallelogrammum, diximus lib. 1. cap. 3. 2. 4. quae prius relegenda sunt. Area cujuslibet figurae planae seu superficiei, est capacitas seu spatium intra latera ipsius contentum. Hoc est in parallelogrammis rectangulis reperies sic. Metire nota aliqua mensura (ut palmis, pedibus, etc.) duo quaecunque ejus latera circa eundem angulum rectum: deinde duc unum latus in alterum, hoc est, multiplica unius lateris numerum per alterius lateris numerum: productum enim erit area figurae propositae in mensuris quadratis. Sit quadratum ABCD, cujus singula latera contineant 5 pedes simplices. [note: Vide Icon E. Fig. 286. ] Duc AB in AD, id est, 5 in 5; productum 25 est area quaesita. Habebit ergo dicta superficies 25 pedes quadratos, hoc est, continebit 25 quadratula, quorum quodlibet sit longum et latum uno pede simplici. Sit iterum oblongum EFGH, cujus latus EH sit 3. EF 5 palmorum simplicium: Multiplica 5 per 3, producentur 15; ac proinde dicta superficies continebit 15 palmos quadratos. Ratio desumitur ex Proposit. 2. lib. 2. Elem Euclidis, et patet ex ipsis figuris. Si enim AB dividatur in 5 aequales partes, quarum quaelibet sit unius pedis, et AD similiter in 5, et a punctis divisionum ad opposita latera ducantur parallelae; resultant 25 quadratula, quorum quodlibet est longum et latum uno pede simplici ac proinde unumquodque est per quadratus; quae quidem 25 quadratula quia explent totam aream seu capacitatem figurae propositae, merito dicitur esse 25 pedum quadrotorum Recte ergo diximus figurae rectangulae quadrilaterae aream in veniri ex ductu unius lateris in alterum. Et hoc vult Euclides lib. 2. Elem. Defin. 1. dicens, omne parallelogrammum rectangulum contineri sub rectis duabus lineis, quae rectum comprehendunt angulum; quia videlicet quaelibet hujusmodi duae lineae exprimunt totam parallelogrammi magnitudinem, una quidem longitudinem, ut ibidem explicavimus. Cur autem duo latera circa rectum angulum debeant in se mutuo duci, potest adsignari haec ratio. Superficies concipitur oriri ex fluxu lineae: hinc si duae lineae pedales AE, AG, ita sibi mutuo insistant in A, ut efficiant angulum rectum, et concipiatur lineam AG movert in transversum versus EF, ita ut cum linea AE semper efficiat angulum rectum A, et relinquat post se vestigium sui; nascetur ex tali fluxu superficies pedalis quadrata AEFG. Eadem superficies nascetur, si linea AE cogitetur descendere versus GF, ita ut cum AG semper constituat angulum rectum A. Simili igitur ratione, si duae lineae AB, AD, quarum quaelibet sit 5 pedum simplicium, moveantur dicto modo; orietur superficies 25 pedum quadratorum. Atque hoc est, duciunam lineam in aliam. Haec pro Tyronibus dixerim.

Corollarium.

[note: ] COlligitur hinc, qua ratione, si quis pavimentum quadrilaterum rectangulum lateribus rectangulis sternere velit, laterculorum numerum invenire queat. Si enim laterculi sunt quadrati, id sciet, si alterutro laterculi latere metiatur duo pavimenti latera circa eundem angulum, et duos inventos numeros in se invicem ducat; productum enim dabit summam laterculorum necessariorum. Si vero laterculi sunt oblongi, metire unum pavimenti latus longitudine, alterum latitudine laterculi, et numerum unum duc in alterum; producti enim summa dabit summam laterculorum

Propositio II. Parallelogrammorum non rectangulorum areas invenire.

PArallelogramma non rectangula sunt rhombus, et rhomboides. Ea definivimus lib. 1. lo. cit. utriusque eadem est dimetiendi ratio, idque ope parallelogrammi rectanguli, sic. Ab angulo ad latus oppositum demitte perpendicularem; hanc duc in latus productum, erit area. [note: Vide Iconismi E. Fig. 278. ] Sit rhombus (idem intellige de rhomboide) ABCD. Demitte perpendicularem AE: metire deinde tam AE, quam CD: eadem mensura ut pedibus, et duc AE in CD: productum dabit capacitatem totius figurae in pedibus quadratis. Ratio est, quia ex ductu AE in CD, seu in AB, producitur, area parallelogrammirectanguli AEFB, per praeced. Sed haec aequalis est areae rhombi ABCD, per 35. pri. cum sint super eadem basi AB, et inter easdem parallelas AB, CD, ergo etc. Possunt etiam rhombi et rhomboides resolvi in duo triangula, et mensurari modis sequentibus.

Propositio III. Triangulorum areas dimetiri.

[note: Triangulorum areas metiri. ] MUltis modis inveniri possunt areae triangulorum. Tradam primo regulam unicam pro solis rectangulis; deinde binas pro omnibus triangulis in universum.

REGULA I.

PRo triangulis rectangulis. Metire duo latera circa angulum rectum, et duc unum in alterum dabitque producti semissis aream quaesitam. Vel, Duc semissem unius lateris in totum latus alterum, totum productum dabit aream. Esto triangulum ABC, sitque latus AB 11, BC 5 pedum: [note: Vide Iconismi E. Fig. 288. ] duc 5 in 11, et prodibunt 55 pedes quadrati; quorum semissis 27 1/2. dat aream trianguli. Vel, duc semissem lateris AB in totum latus BC: aut semissem lateris BC in totum AB: provenient 55/2, vel 27 1/2 pro area trianguli. Ratio est, quia si latus AB ducatur in BC, provenit area totius parallelogrammi BD, per dicta Proposit. 1. quod cum diameter AC bifariam secet, per 34. pri aut cum sit duplum trianguli ABC habentis eandem basim et altitudinem, per 41. pri. sequitur trianguli ABC aream, esse dimidium areae parallelogrammi BD. Est etiam rectangulum ex alterutro latere dimidio, alterutroque integro descriptum, aequale triangulo rectangulo, ut demonstrat Clavius ad 41. pri.

REGULA II.

PRo omnibus triangulis. Demitte ex quocunque angulo perpendicularem in latus oppositum, etjam protractum, si opus fuerit (quanquam ut ex maximo angulo in maximum latus demittatur, consultum sit, quia tunc cadit semper intra triangulum;) eamque duc in semissem lateris in quod cadit; aut contra duc latus illud in semissem perpendicularis: et erit quod provenit, area trianguli. Vel, duc dictam perpendicularem in totum latus in quod cadit: producti dimidium est area quaesita. Esto triangulum quodcunque ABC, cujus latus BC, in quod cadit perpendicularis sit 14, pedum, perpendicularis AD 8 pedum. Duc 8 in 14. producuntur 112; cujus dimidium 56, est area trianguli. Vel, duc [note: Vide Iconismi E. Fig. 289. ] 8 in 7: vel 14 in 4: et provenient 56, pro area totius trianguli. Ratio est, quia ex ductu perpendicularis AD, in latus BC, fit rectangulum BE, habens eandem basim cum triangulo: sed hujus dimidium est triangulum, per 41. pri: ergo. Ex ductu vero dimidii perpendicularis in dimidium lateris, gignitur rectangulum aequale triangulo per Scholium Clavii ad 41. pri. Ex ductu denique dimidiae perpendicularis in totum latus, oritur rectangulum aequale triangulo, per Schol. Clavii ad 1. Sexti.

Nota. Magnitudo perpendicularis ab angulo ad latus oppositum demissa reperitur geometrice per proposit. 14. capitis 5. Trigonometriae nostrae.

REGULA III.

[note: ] PRo omnibus triangulis. Collige omnia tria latera trianguli in unam summam: hanc divide bifariam et ex semisse subtrahe singula latera, ut habeas tres differentias inter illam semissem et latera singula; multiplica inter se tres differentias, et semissem summae: ultimi enim producti radix quadrata dabit aream trianguli quaesitam Trianguli latera sint 10, 12, 14: erit summa illorum 36, semissis 18, differentiae 8, 6, 4. Hae ductae in semissem faciunt 3456: nam 8 ducta in 18, producunt 144: haec ducta in 6, producunt 864: haec denique ducta in 4. producunt 3456: cujus numeri quadrata radix 58 92/117 erit area trianguli. Demonstrationem vide apud Clavium lib. 4. Geomet, pract. cap. 2.

Propositio IV. Trapeziorum areas invenire.

[note: Trapeziorum areas metiri. ] TRapezia possunt habere varias formas, et ratione laterum, et ratione angulorum. Vel enim habent unum angulum rectum, vel duos, vel nullum: sed vel unum tantum obtusum, alios acutos: vel duos obtusos, et alios acutos. Item vel duo tantum latera parallela, vel nulla vel aliqua inter se aequalia, vel nulla, etc: Ad horum areas inveniendas, trademus unam regulam communem omnibus, alteram propriam illis quae habent duo latera parallela.

REGULA I.

[note: Vide Iconismi E. Fig. 290. ] PRo omnibus trapeziis. Ducta diametro dividatur trapezium in duo triangula, et utriusque capacitas inquiratur per dicta Proposit. praeced. nam summa utriusque trianguli dat aream totius trapezii. Esto trapezium ABCD. Ducatur AC, et inveniatur area triangulorum ABC, ADC, Demonstratio est eadem quaeloco cit.

REGULA II.

[note: ] PRo trapeziis habentibus duo latera parallela. Ducatur perpendicularis inter duo latera parallela, et multiplicetur in semissem summae dictorum laterum; productum erit area quaesita. Sit trapezium ut ante; ducatur AE. et fiat quod diximus. Ratio est, quia ut demonstratum proposit. praeced. area trianguli ABC fit ex ductu AE in semissem

BC: er area trianguli ADC ex ductu ejusdem AE in semissem AD: cum ergo trapezium aequale sit dictis duobus triangulis, patetpro positum.

Propositio V. Figuras multilateras ordinatas sive regulares dimetiri.

[note: Regulares figuras metiri. ] HArum areae duplici ratione inveniri possunt. Primo, si resolvantur in triangula, et horum areae investigentur modo dicto prop. 3. Ratio clara est. Secundo, si multiplicetur semissis summae laterum omnium in perpendicularem ex centro figurae in quodcunque latus demissam: numerus enim productus erit area figurae. Eandem aream dat semissis producti ex ductu perpendicularis in summam omnium laterum. Ratio est, quia tot fiunt triangula, quot figura habet latera: cum ergo quodlibet triangulum producatur ex ductu perpendicularis in semissem lateris, patet propositum. Centrum porro figurae ordinatae imparium laterum est in communi sectione linearum ex angulis ad latera opposita perpendiculariter ductarum: parium vero, in communi sectione linearum ex angulis ad angulos oppositos ductarum. Forma figuras, et duc lineas praescriptas, et videbis quod diximus.

Propositio VI. Superficies polygonas irregulares dimetiri.

[note: Irre ulares siguras metiri. ] REsolve superficiem propositam in triangula et singulorum areas indaga, modo dicto proposit. 3. horum areae simul dabunt aream illius. Ratio patet ex dictis lo. cit. Resolvitur quaelibet figura multilatera irregularis in tot triangula, quot ipsa habet angulos duobus demptis: quoniam ex quolibet angulo ad reliquos, exceptis duobus proximis, possunt duci lineae rectae.

Propositio VII. Circulorum areas invenire, cognita diametro et circumferentia.

[note: Circulorum areas metiri. ] ARchimedes libello de Dimens. circuli Proposit. 1. demonstrat, aream circuli esse aequalem areae trianguli rectanguli, cujus unum latus circa rectum angulum sit aequale semidiametro circuli, alterum peripheriae ejusdem. Ut si in apposito circulo semidiameter sit AB, periphaeriae vero sit aequalis recta BC: si angulus B est rectus, erit area circuli aequalis areae trianguli ABC. Itaque si dato quocunque circulo accipias [note: Vide Iconismi E. Fig. 291. ] semidiametrum ipsius, et invenias lineam rectam aequalem circumferentiae ejusdem, et has duas lineas componas ad angulum rectum, subtensâque hypothenusa efficias triangulum rectangulum, ejusque aream investiges, juxta dicta proposit. 3. habebis aream circuli dati. Eadem area producitur ex ductu semidiametri in semissem: vel diametri in quartam partem peripheriae: vel totius peripheriae in semissem semidiametri.

Tota difficultas consistit in linea recta peripheriae circuli aequali invenienda, seu reperienda proportione inter diametrum et circumferentiam circuli. Archimedes lib. cit. Propos. 3. demonstrat, cujuslibet circuli peripheriam esse triplam diametri, et adhuc superare parte, quae quidem minor sit decem septuagesimis diametri. Cum igitur 10/70 sint 1/7, et [?] sint plus quam 1/8, sequitur circumferentiam circuli continere diametrum ter, et minus quam unam septimam diametri, plus vero quam unam octavam ejusdem: atque adeo veram proportionem circumferentiae ad diametrum consistere inter triplam sequiseptimam, et triplam sequioctavam. Demonstrationem Archimedis dedimus in 3 par. Magiae lib. 9. quam temere enervare conatur Gephyrandrus, ut ibidem ostendimus.

Itaque proportion perimetri circuli ad diametrum, est minor quam 220 ad 70, sive 22 ad 7, major vero quam 223 ad 71. Data igitur diametro circuli partium v. g. 28, si fiat, ut 70 ad 220. seu ut 7 ad 22, ita 28 ad aliud: reperitur numerus paulo major perimetro, nempe 88. Si vero fiat, ut 71 ad 223, ita 28 ad aliud: reperietur numerus paulo minor perimetro, nempe 87 6/7 7/1. E contrario vero, data circumferentia cujuscunque circuli, v. g. 88 partium, si fiat ut 220 ad 70, seu 22 ad 7, ita 88 ad aliud: proveniet numerus 28, minor verâ diametro: si vero fiat ut 223 ad 71, ita 88 ad aliud: dabit productus numerus 28 4/223, diametrum vera majorem.

Ex quibus patet, diametrum circuli ad circumferentiam non esse praecise ut 7 ad 22: neae circumferentiam ad diametrum ut 22 ad 7. Communiter tamen inter Mathematicos, tam Veteres, quam Modernos, adhibetur praedicta portio, ad vitandas fractiones. Subtilior tamen est ratio seu proportio illa quam invenit Prolemaeus lib 6 Almag. et adhuc subtilior illa quam invenit Vieta: subtilissima vero, licet non undequaque vera, quam reperit Rudolphus Collen, et examinavit ac approbavit Christophorus Grienbergerus. Secundum Prolemaeum igitur circuli diameter ad circumferentiam est ut 10,000,000, ad 31, 416, 666. Secundum Vietam, ut 10, 000, 000, 000, ad 31, 415, 926, 535. Secundum Rudolphum et Grienbergerum, ut 100, 000, 000, 000, 000, 000, 000, ad 314, 159, 265, 358, 979, 323, 846 1/2.

Problemata ad cyclometriam pertinentia.

[note: Cyclometrica Problemata. ] EX dictis constat, ut area circuli reperiatur, necesse esse vel ejus diametrum, vel circumferentiam, vel utramque cognitam esse. Tradenda ergo sunt nonnulla Problemata seu Regulae, quibus ex data diametro circumferentia, et ex data circumferentia diameter cognoscatur, tum major vera, tum minor, tum media.

PROBLEMA I.

[note: ] DAta circumferentia circuli roperire diametrum. Fiat, ut 220 ad 70, seu 22 ad 7 (hoc est, ut 3 1/7 ad 1,) ita data circumferentia ad aliud: habebis diametrum paulo minorem vera. Iterum, Fiat, ut 223, ad 71, ita data circumfere~ntia ad aliud; habebis diametrum majorem vera. Ex duab. extremis, modo dicto inventis, elige mediam: Vel, Fiat ut 314 ad 100, ita data circumferentia ad aliud; habebis diametrum

verisimiliorem. Haec regula communis est omnibus circulis. Quo tamen major est circumferentia, eo magis deviatur a vera diametro. Pro Geometria practica aliqui multiplicant circumferentiam datam per 3 I, 1 II, 8 III, et productum accipiunt pro diametro quaesita. Sic si circuli circumferentia sit 18 0, 8 I, 5 II, 2 III decempedarum: ducunt eam in 3 I, 1 II, 8 III, proveniuntque pro diametro 5 0, 9 I, 9 II, 4 III, 9 IV, 3 V, 7 VI, hoc est, quinque decempedae integrae, novem primae, cum novem secundis: reliquarum vero partium non habetur ratio, praesertim in dimensionibus camporum.

PROBLEMA II.

[note: ] DAta diametro circuli, reperire circumferentiam. Fiat ut 7 ad 22 (hoc est, ut 1 ad 3 1/7) ita data diameter ad aliud; habebis circumferentiam majorem verâ. Rursus, fiat ut 7. ad 223, ita diameter ad aliud: habebis circumferentiam minorem vera. Iterum, Ex duabus inventis elige mediam, Vel, Fiat ut 100 ad 314, ita data diameter ad aliud; habebis circumferentiam verisimiliorem. Haec etiam regula communis est omnibus circulis, cum animadversione praecedenti Problemate dicta. Pro Geometria practica aliqui multiplicant diametrum per 3 0, 1 I, 4 II, 2 III, productum accipiunt pro circumferentia. Sic si diameter sit 6 decemped multiplicant eamper 3 0, 1 I, 4 II, 2 III, provenitque pro circumferentia 18 0, 8 I, 5 II, 2 III, id est, octodecim decempedae, octo pedes, cum 5 II, et 2 III, unius decempedae.

PROBLEMA III.

[note: ] DAta circum ferentia et diametro circuli, invenire aream. Multiplica semicircumferentiam per semidiametrum, vel quartam partem circumferentiae per diametrum; et habebis aream circuli in mensuris quadratis. Ut si semidiameter fuerit pedum simplicium 10, et semicircumferentia pedum eorundem 30: erit area circuli pedum quadratorum 300.

Propositio VIII. Circulorum areas invenire data sola diametro.

[note: ] DAta diametro cujuscunque circuli fiant ut 14 ad 11, ita quadratum diametri datae ad aliud: habebis aream circuli verâ majorem. Vel, fiat ut 284 ad 223, ita quadratum datae diametri ad aliud: habebis aream vera minorem. Media autem inter duas inventas, erit verisimilior. Ratio est, quia proportio quadrati ex diametro cujuslibet circuli ad ejusdem circuli aream, major est quam 14 ad 11, et minor quam 284 ad 223, ut demonstrat Clavtus lib. 4. Geomet. pract. cap. 7. Proposit 2. Alii in Geometria practica multiplicant quadratum diametri per 7 I, 8 II, 5 III, et productum accipiunt pro circuli superficie. Quod si idem quadratum diametri multiplicetur per 7 I, 8 II, 5 III, 4 IV, 3 V: adhuc praecisius reperitur area circuli.

Propositio IX. Circulorum areas invenire data sola peripheria

[note: ] DAta circumferentia cujuscunque circuli, fiat ut 892 ad 71, ita quadratum datae circumferentiae ad aliud: et habebis ateam versâ majorem, Iterum, fiat ut 88 ad 7. ita quadratum circumferentiae ad aliud, et habebis aream vera minorem. Media autem inter duas inventas, erit verisimilior. Ratio est, quia proportio quadrati circumferentiae circuli ad ejus aream, major, est quam 892 ad 71, minor vero quam 88 ad 7, ut demonstrat Clavius lo. cit. Proposit. 3. Aliqui in Geometria practica multiplicant quadratum circumferentiae per 7 I, 9 II, 5 IV, et productum accipiunt pro area.

Quomodo ex data area circuli eruatur ejus diameter, et circumferentia, docemus in pantometro lib. 3. Probl. 12. et 13.

Propositio X. Invenire aream circuli, quando nec diameter, nec circumferentia est nota.

[note: Vide Iconismi E. Fig. 292. ] SIt circularis basis alicujus turris ABCK, cujus et diameter, et circumferentia sit ignora, sitque tantum pars ACBD accessibilis: Sic invenies diametrum, et ex ea circumferentiam, et ex utraque aream. Metire chordam AB, eamque divide bifariam in D, et duc rectam perpendicularem CD pro sinu verso, eamque similiter metire: deinde multiplica dimidium chordae AD, per se ipsum, et summam divide per sinum versum DC, prodibitque portio DK: cui si addas sinum versum DC habebis totam diametrum. Exempli gratia, sit chorda AB 24, dimidium AD 12, sinus versus DC 6. Multiplica 12 per 12, et summam productam 144 divide per 6, prodibit 24: cui si addas 6, habebis 30 pro tota diametro CK. Habita vero diametro, habebis circumferentiam, et aream quaesitam, per dicta in praecedencibus. Ratio est, quia AD est media provortionalis inter CD, et DK, per 8. Sexti, ut patet, si ducantur rectae AC, AK, quaeconstituent triangulum rectangulum ad A, per 31 Tertii, ergo quadratum AD aequalis estrectangulo ex CD et DK, per 17. Sexti: ac proinde divisum quadratum AD per latus CD, dabit latus DK.

Quid faciendum, si mensurari non possit chorda, et sinusversus, docemus in Pantometro lo. cit. Probi. 14. in Annotatione I.

Propositio XI. Segmentorum circuli areas invenire.

[note: Circuli segmentorum areas metiri. ] SEmicirculi area producitur ex ductu semidiametri in quartam partem peripheriae: Quadrantis, in octavam partem: octavae partis, in sextam decimam partem: et sic deinceps. Ratio patet ex dictis Proposit. 7.

Sectoris, cujus nora sit in certa mensura tam semidiameter, quam arcus, area invenitur, si semidiameter ducatur in semissem arcus; productum enim est erea ejus in mensuris quadratis. Sic si in praecedenti figura sector sit EACB, et EA sit 6 palmorum, arcus ACB 12, et semissis ejus AC 6: si multiplicetur AC 6 per EA 6, erit productum 36 area quaesita. Compleatur enim

circulus ACBK, et fiat quadrans EAF, et semicirculus EAFG. Quoniam igitur, per 33. Sexti. est ut arcus AB ad quadrantem AF, ita sector EAB ad sectorem EAF: erit quoque (ex Scholio Clavii ad 22. Quinti) ut arcus AB ad quadruplum quadrantis AF, hoc est, ad totam circumferentiam, ita sector EAB ad quadruplum sectoris EAF, hoc est, ad totum circulum. Ut autem arcus AB ad totam circumferentiam, ita est AC, semssis arcus AB, ad ABG, semissem totius circumferentiae, per 15. Quinti: Igitur erit quoque ut AC ad ABG, ita sector EAB ad totum circulum. Sed ut AC ad ABG, ita est rectangulum sub EA, AC, ad rectangulum sub EA, ABG, per 1. Sexti, Ergo erit quoque sector EAB ad totum circulum, ut rectangulum sub EA, AC, ad rectangulum sub EA, ABG. Cum ergo ut Proposit. 7. probavimus, circulus aequalis sit rectangulo sub EA, ABG: erit quoque, per 14. Quinti, sector EAB aequalis rectangulo sub EA, AC. Quod si neque semidiameter, neque arcus sectoris sint noti in certa mensura, mensuranda est semidiameter notâ mensurâ, et secundum eandem indaganda est circumferentia totius circuli, per dicta in praecedentibus, ac praeterea mensuranda est chorda AB: ex semidiametro enim et chorda notis, inveniri potest arcus ACB primo in gradibus, et deinde in mensuris quib. mensurata est semidiameter, tandemque ex semidiametro et semiarcu indaganda area. Porro ex semidiametro EA, et chorda AB, notis in certa mensura, v. g. in palmis, invenies arcum ACB in gradibus, si dicas: ut semidiameter EA, 6. pal. v. g. ad chordam AB 10 pal. ita sinus totus 100000 part, ad aliud; numerus enim procreatus dabit rectam AB cognitam in partibus sinus totius: cujus inedietas erit sinus semissis arcus ACB, ac proinde sinus rectus arcus AC: ideoque ex tabula sinuum semissis arcus ACB in gradibus nota erit: qua habitâ, totus arcus ACB non ignorabitur. Hoc autem noto in gradibus, idem notus fiet in mensura semidiametri EA, v. g in palmis, si prius inveniatur tota circumferentia in palmis per regulas supra traditas, et deinde fiat, ut gradus 360 ad totam circumferentiam in assumpta mensura cognitam; ita arcus ACB in gradibus cognitus, ad aliud. Vide Pantometrum nostrum lib. 3. Probl. 15.

Segmentorum aliorum circuli, quae non sint sectores, v. g segmenti ACBD aream, sic invenies. Quaere arcus ACB centrum E, per 25. Tertii, et ductis EA, EB, inquire in certa mensura quantitatem semidiametri EA, et arcus ACB, investigaque aream totius sectoris EACB, modo proxime dicto: et ductâ rectâ AB, inquire aream trianguli EAB, per dicta Proposit. 3. eamque aufer a sectoris area: remanebit area segmenti.

Corollaria.

[note: ] EXhis patet I. quomodo investiganda sit area figurae lenticularis, quae scilicet composita est ex duobus segmentis duorum circulorum, sive aequalium, sive inaequalium: si enim utriusque segmenti aream investiges modo proxime dicto, habebis aream totius figurae. Patet II. quomodo inveniatur area superficierum quibus vel annexum est segmentum circuli, quale est in sequenti figura CDAEB: vel de est segmentum circulare, quale est in eadem, CD ALB. Sed de hoc in sequenti Proposit.

Propositio XII. Figuras ex variis circulorum segmentis coagmentatas metiri.

[note: Vide Iconismi E. Fig. 293. ] FIguras ex variis circulorum segmentis coagmentatas; sive omnes circumferentiae extrorsum vergant, ut in prima figura: sive omnes introrsum, ut in secunda: sive partim introrsum, et partim extrorsum, ut in tertia, sic metieris.

Arcubus subtende chordas in omnibus figuris. Et in prima figura metire quadrilaterum ABCD, per dicta Proposit. 1. et 2. et singular segmenta, per dicta Proposit. praeced. si enim segmenta quadrilatero ad jeceris, conflabitur area totius figurae.

In secunda figura metire pentagonum, per dicta proposit. 5. aut 6. et subtrahe ex ipso quinque segmenta: et remanebit reliqua figura.

In tertia adde quadrilatero ABCD, segmenta AFB, DHC, extrorsum vergentia, et ex composito numero aufer segmenta AEC, BGD, introrsum vergentia, et relinquetur area figurae propositae.

Ex his patet, quomodo in aliis figuris procedendum sit, ut sunt segmenta circuli duabus rectis et duobus arcubus comprehensa, et similia, de quibus in pantometro lo. cit. Probl. 18.

Propositio XIII. Ovalis et Elliptica figura aream invenire.

[note: Ellipsis aream metiri. ] QVaere inter majorem et minorem diametrum B et CD, mediam proportionalem, per 13. Sexti: et ad mediae proportionalis medietatem describe circulum, ejusque aream indaga,

per dicta Proposit. 7 et habebis aream quaesitam. Ratio est, quia praedictus circulus est aequalis praedictae figura, ut demonstravimus in Pantometro ex Clavio.

Propositio XIV. Sphaerarum, et hemisphaeriorum superficies convexas metiri.

[note: Sphaerarum superficies convexas metiri. ] SPhaerae superficiem convexam habebis: si invento circulo maximo, ejus aream inquiras per dicta Proposit. 7. et multiplices illam per 4. Ratio est, quia ut demonstrat Archim. lib. 1. de Sphara et Cylindro Proposit. 31. sphaera superficies convexa est quaedrupla areae circuli maximi ejusdem. Eadem superficies sphaerae procreatur, si diameter sphaerae in circum

circumferentiam circuli maximi ducatur. Nam rectangulum sub diametro et circumferentia maximi circuli, est aequale superficies convexae sphaerae ut probat Clavius lib. 5. Geomet. pract. §. 5. propos. 2. Est etiam sphaerae superficies aequalis circulo habenti semidiametrum aequalem diametro sphaerae, ita Archimedes in Coroll. Proposit. citatae.

Hemisphaerii superficiem convexam habebis, si aream circuli maximi multiplices per 2: vel circumferentiam ejusdem ducas in semidiametrum, aut diametrum in semicircumferentiam. Sequitur ex praecedenti Proposit. Notandum tamen, inveniri in hoc casu solam convexam superficiem, excludendo basim hemisphaerii, quae est circulus.

Propositio XV. Portionum sphaerarum hemisphaerio maiorum aut minorum, convexas superficies reperire.

[note: Vide Iconismi E. Fig. 292. ] ARea superficiei convexae cujuslibet portionis sphaerae hemisphaerio minoris, vel majoris, dempta base, aequalis est areae circuli, cujus semidiameter aequalis est rectae lineae quae a vertice portionis ad circumferentiam basis ejusdem portionis ducitur. Quaeratur igitur praedicta linea, extendendo circinum a vertice ad circumferentiam basis, et ad ipsius intervallum describatur circulus, ejusque area reperiatur per Proposit. 7. et habebitur intentum. Demonstrat hoc Archimedes lib. 1. de Sphaera et Cylindro Proposit. 40. Sit alicujus sphaerae portio minor ACBD, major vero BKAD, sitque vertex minoris portionis C, majoris K. Ducantur rectae CA, AK, eritque circulus semidiametti CA aequalis superficiei portionis ACBD, et semidiametri circulus AK aequalis superficiei portionis BKAD.

Propositio XVI. Superficiem convexam cylindri recti, et coni recti, reperire.

[note: Cylindrorum et Conorum [correction of the transcriber; in the print Conorums] superficie convexas metiri. ] SUperficies convexa cylindri recti, demptis basibus, aequalis est circulo, cujus semidiameter est linea media proportionalis inter latus cylindri et diametrum basis. Conirecti superficies convexa, seclusa base, aequalis est circulo, cujus semidiameter est linea media proportionalis inter latus coni, et semidiametrum basis. Demonstrat Archimedes lib. 1. de Sphaera et Cylindro Proposit. 13. et 14.

PARS III. De Steriometria, seu solidorum dimensionibus

[note: Stereometria. Corporum seu solidorum variae species. ] SOlidum sive corpus est, quod habet longitudinem, latitudinem, et profunditatem seu crassitiem. Corporum alia habent superficies planas, alia curvas, alia mixtas. Superficies planas habentia sunt vel regularia, vel irregularia. Curvas superficies habentia sunt sphaerae, sphaeroides, figurae ovales, etc. Mixtas denique babentia superficies sunt cylindri, coni, conoides, etc. Definitiones plerorumque cum schematibus dedimus lib. 1. cap. 3. art. 5. Corpora metimur mensuris cubicis, ut diximus supra initio libri. Itaque quando dicitur corpus aliquod continere decem palmos, pedes, passus, milliaria, etc. sensus est illud continere decem cubos, quorum singuli habeant singula latera aequalia uni palmo, etc. quadrato, ac proinde decem palmos, etc. cubicos explere aream sive capacitatem ac soliditatem illius corporis, sive, quod idem est, tale corpus dividi posse in decem cubicos palmos, etc. Ex his patet, ut corpora metiamur, metiendas esse eorum bases, latera, et universaliter super ficies eorum: quae quidem superficies mensur antur per planimetriam, de qua in praecedentibus. Ad demonstrationes intelligendas requiritir cognitio Elementi 11. 12 et 13. Euclidis.

Propositio I. Parallelepipedia metiri, ad inveniendam eorum soliditatem.

[note: Parallelepipeda metiri. ] MEtire aliquâ certâ mensurâ, v. g. palmis, propositi parallelepipedi longitudinem, latitudinem, et altitudinem: duc deinde latitudinem in longitudinem, et habebis aream basis: demum productum seu basim inventam duc in altitudinem, et numerus resultans dabit palmos cubicos quos continet. E. G. Appositi parallelepipedi latitudo AD sit 2. palmorum, longitudo AB 4, altitudo AH 8: duc 2 in 4, habebis 8 palmos quadratos pro basi ABCD: hanc duc in 8, habebis 64 palmos cubicos pro soliditate seu capacitate totius parallelepipedi. Ex

his patet, cubi soliditatem reperiri, si unum solum latus mensuretur, et cubice in se multiplicetur, hoc est, si latus inventum in se ducatur, et idem deinde ducatur in productum. Ratio hujus praxis est, quia si latitudo ducatur in longitudinem, nempe in exemplo posito, 2 in 4, resultat superficies 8 palmorum quadratorum, ut constat ex dictis par. praecedente. Quae superficies si elevetur ad altitudinem unius palmi, resultat corpus 8. palm. cubicorum; si ad duos elevetur, resultat corpus 16 palm. si denique ad 8 palm. altitudinem elevetur (quod fit, ducendo basin in altitudinem) resultat corpus 64 palm. cubicorum. Eadem est ratio in caeteris.

Si parallelepipedum est rhombus, aut rhomboides, inquire per dicta par. praeced. Proposit. 2. aream basis, eamque duc in altitudinem: productus enim numerus erit ejus area seu soliditas in maensuris cubicis. Ratio eadem quae antea.

Si nullam latus parallelepipedi est rectum ad basin, demitte perpendicularem ex aliquo angulo supremi parallelogrammi ad basin, eamque metire, et habebis altitudinem parallelepipedi. Investiga deinde aream basis, eamque duc in altitudinem, et producetur capacitas seu soliditas in mensuris cubicis. Ratio est, quia si super eandem basin intelligatur parallelepipedum rectum ejusdem altitudinis cum proposito parallelepipedo, erunt per 29 et 30. Undec. duo haec parallelepipeda inter se aequalia.

Corollarium.

[note: ] COlligitur hinc I. qua ratione inveniatur soliditas alicujus muri, valli, cortinae inter propugnacula extensae, etc. II. quâ ratione, si exstruendus sit murus quadrangularis ex lateribus, lapidibus quadratis, aut oblongis reperiatur numerus lapidum ac laterum necessarius, dummodo sciatur muri futuri longitudo, et latitudo. et altitudo. Nam si longitudine lateris aut latitudine latitudinem, altitudine seu crassitie altitudinem, et quoties quaelibet harum in muro contineatur, notes, ac tres numeros inventosin se ducas: habebis numerum quaesitum.

Propositio II. Prismata metiri, eorumque soliditatem invenire.

[note: Prismata metiri. ] INquire aream basis in mensuris quadratis, eamque duc in altitudinem, et habebis prismatis soliditatem. E. G. Sit prisma pentaedrum, quale appositum Schema refert: metire basim ABC in mensura quadrata, eamque duc in altitudinem AD. Area porro basis prismatis cognoscitur ex dictis par. praeced. Proposit. 1. 2. 3. 4. et 5. Altitudo habetur, demittendo perpendicularem ad basim, si latera non sunt recte ad ipsam. Ratio praxeos est, quia si concipiatur parallelepipedum ejusdem altitudinis cum prismate, habens pro base rectangulum basi prismatis aequale; erit, per 2 Coroll. 7 mae Duodec. hoc parallelepipedum prismati aequale: cum ergo parallelepipedum producatur ex sua base in altitudinem multiplicata, procreabitur quoque prisma ex sua basis ductu in altitudinem.

Propositio III. Cylindrorum soliditatem invenire.

[note: Cylindros metiri. ] CYlindrum refert figura apposita. Definitionem dedimus lib. 1. Cylindri atea seu soliditas procreator ex multiplicatione basis in altitudinem. Basis in mensuris quadratis reperitur per dicta Par. praeced. Prop. 7. Quod si cylindrus sit obliquus, exquirenda est altitudo ejus per lineam perpendicularem ex suprema base demissa ad planum, in quo inferior basis existit: atque, in hanc altitudinem area basis multiplicanda est; productus enim numerus dabit aream cylindri propositi, cum aequalis sit cylindro recto eandem cum illa basin et altitudinem habenti, per Coroll. 11. mae Duodec. Ratio porro dictorum de cylindro recto est eadem cum illa, quam adsignavimus pro parallelepipedo rectangulo Proposit. praeced.

Propositio IV. Pyramidum, et Conorum soliditates invenire.

[note: Pyramides et Conos metiri. ] PYramidem refert figura 34. Conum figura 37, utriusque definitionem dedimus lib. 1. Utriusque area seu soliditas produciturex multiplicatione basis in tertiam partem altitudinis: aut ex altitudine in tertiam partem basis. Ex quo fit, si

basis ducatur in totam altitudinem, tertiam partem numeri producti esse quoque aream pyramidis et coni. Ratio est, quia cum ex base in totam altitudinem gignatur prisma; aut cylindrus, eandem habens cum pyramide et cono altitudinem, ut diximus Proposit. praeced. producetur per Scholium 14. mae Duodec. ex eadem basi in tertiam partem altitudinis, tertia pars illius prismatis, vel cylindri: sed pyramis, per Coroll. 7. mae Duodec. est tertia pars illius prismatis; et conus, per 10. Duodec. est tertia pars cylindri: ergo, etc. Basis porro pyramidis reperitur in mensuris quadratis per dicta Par. praeced. Proposit. 7. Altitudo pyramidis et coni habetur, si in vertice statuatur planum aut linea basi aequidistans, ab eisque ad planam in quo basis est, demittatur perpendicularis, et mensuretur.

Pyramides et Conos detruncatos, seu frusta pyramidum et conorum sic metieris. Comple imaginatione, vel etiam lineari descriptione, totam pyramidem, et conum, et metire primo totam, deinde complementum: quod si auferas a toto, remanebit frustum quaesitum. Sed haec melius patebunt ex dicendis Proposit. 8.

Propositio V. Aream solidam corporum regularinm invenire.

[note: Regularia corpora metiri. ] COrpora regularia sunt quinque tantum, ut probet Clavius in scholio Proposit. 18. lib. 13. Euclidis, nimirum Tetraedrum, Hexaedrum, Octaedrum, Dodecaedrum, et Icosaedrum. Definitiones dedimus lib. 1. c. 3. art. 5. Qui ea vult construere, conjungat pro tetraedro quatuor, pro Octaedro octo, pro icosoedro vigin. triangula aequilatera: pro dodecaedro vero duodec. pentagones aequilateras et aequiangulas superficies: pro

hex ae dro tandem sex quadrara. Figurae passim extant apud Geometriae practicae Scriptores.

Tetraedri area seu soliditas reperitur per dicta Proposit. 4. praecedente, est enim tetraedrum pyramis triangularis aequilatera.

Hexaedri, sive parallelepipedi basium quadratarum, in quo omnes tres dimensiones sunt aequales (est enim hexaedrum hujusmodi paralle lepipedum) capacitas atque soliditas reperitur per dicta Proposit. 1.

Octaedri area sic invenitur. Quia octaedrum dividitur in duas pyramides similes et aequales, quarum basis communis est quadratum a latere descriptum; si utriusque pyramidis area investigetur per dicta Proposit. 4. praeced. habebitur area octaedri. Producitur autem area illarum duarum pyramidum, si quadratum lateris octaedri ducatur in diametrum octaedri, et producti numeri tertia pars capiatur; ea enim est quaesita. Ratio est, quia productus ille numerus ex quadrato lateris octaedri in ejusdem diametrum, est parallelepipedum duarum illarum pyramidum triplum, propterea quod, per Corol. 7. Duo dec. semissis illius parallelepipedi eandem basim habens et altitudinem cum utralibet pyramidum., tripla est unius pyramidis. Diameter porro octaedri, quae a diametro sphaerae, vel quadrati lateris octaedri non differt, invenitur, si ex duplo quadrati lateris eruatur radix quadrata, eo quod, per Schol. 47. mae pri. tam quadratum ex diametro quadrati descriptum, sit duplum quadrati lateris, quam quadratum diametri sphaerae quadrati lateris octaedri, per 14. Decimi ter. semissis vero hujus diametri est altitudo utriuslibet pyramidis.

Dodecaedri area sic invenitur. Quia ductis ex centro dodecaedri ad omnes ejus angulos rectis lineis, dodecaedrum dividitur in duodecim pyramides pendagonas aequales; si area unius pyramidis per dicta Proposit. 4. praeced. inventa multiplicetur per 12, procreatur area totius dodecaedri. Ut autem area unius pyramidis habeatur, necesse est et aream basis pendagonae, et altitudinem pyramidis investigare. Area basis pentagonae invenitur ex latere dato per dicta par. 2. proposit. 5. Altitudo pyramidis habetur, si ex superiori plano producto demittatur ad planum basis oppositae linea perperndicularis: hujus enim semissis inquisita in partibus lateris dodecagoni, dat pyramidis altitudinem.

Icosaedri area sic invenitur. Quia ductis ex centro Icosaedri ad omnes ejus angulos rectis lineis, icosaedrum dividitur in 20 pyramides triangulares aequales; si area unius pyramidis, per dicta Proposit. 4. praeced. inventa, multiplicetur per 20. gignitur totius icosaedri soliditas. Area autem unius praedictarum pyramidum investigatur modo paulo ante dicto.

Propositio VI. Corpora irregularia metiri geometrice, et mechanice.

[note: Irregularia corpora metiri. ] GEometrice mensurantur, si resolvantur in regularia, et haec mensurentur modo antedicto: horum enim omnium simul capacitas dat illorum capacitatem.

Quoniam vero quaedam irregularia non possunt commode resolvi in regularia, cujusmodi sunt statuae, urnae, vasa diversarum formarum, frusta saxorum, et similia; utere hac praxi. Para arcam ligneam instar parallelepipedi, pice oblitam intus, ut aquam continere possit, tantae magnitudinis, ut corpus mensurandum intra ipsam, positum, totum possit aquâ operiti. Positâ hac arcâ horizonti parallelâ, beneficio libellae, imponatur corpus, et aquâ totum operiatur, notenturque suprema latera aquae in asseribus arcae, ut habeatur altitudo aquae usque ad arcae fundum. Extracto deinde corpore, notentur rursum latera aquae, postquam quieverit. His factis, metire duo parallelepipeda, per dicta Proposit. 1, quorum basis communis est fundus arcae, altitudo lineae rectae a lateribus aquae notatae usque ad basim; et minus a majore subtrahe; residuum aequale erit soliditati corporis propositi. Sunt qui infusâ aquâ in arcam, latera ejus primo notent in asseribus arcae; deinde imposito corpore, ejusdem aquae latera iterum notent; ac demum altitudinem inter posteriora ac priora latera ducant in basim arcae: productum enim est soliditas corporis impositi. Si corpota sunt excavata, implent ea arenâ, et orificia obturant ne aqua ingrediatur; imposito deinde corpore in aquam investigant ejus soliditatem modo dicto. Deinde extractâ arenâ, notant latera aquae antequam corpus vacuum imponatur. Demum imposito illo, ita ut totum aquâ impleatur, signant iterum latera aquae. His factis; altitudinem, inter posteriota ac priora latera in vase notata multiplicant per basem arcae; productus enim numerus dat soliditatem corporis.

Eâdem ratione mensurari etiam possunt mechanice corpora regularia, maxime vero sphaerae, de quibus mox.

Propositio VII. Sphaerae soliditatem, et segmentorum eius reperire.

[note: Sphaeras metiri. ] SPhaerae soliditas haberi potest multis modis. Primo, si ducas superficiem convexam in tertiam partem semidiametri ipsius, vel e contrario tertiam partem semidiam in superficiem convexam: Secundo, si ducas semidiametrum in tertiam partem superficiei sphaerae, vel e contrario. Tertio; si semidiametrum ducas in totam superficiem, et producti accipias tertiam partem. Quarto, si diametrum ducas in sextam partem superficiei, vel e contra. Alios modos, et demonstrationem praecedentium, vide apud Clavium. lib. 5. Geom. pract. cap. 5. post Proposit. 7. Regulae scundae. Exemplum. Sit sphaerae diamerer 56, pedum; erit semidiamerer 28, perimeter circuli maximi 176. pedum simplicium; area circuli maxîni 2464 pedum quadratorum, sphaerae superficies convexa 9856: hac ductâ in 28. et producto diviso per 3, prodit soliditas 91989 1/3 pedum cubicorum. Aliter, Duc diametrum 56, in aream circuli maximi 2464, et produces 1; 7984 hoc duc in 2, productum divide per 3, et teperies 91989 1/2 ut prius.

[note: Hemisphaeria metiri. ] Hemisphaerii soliditas producitur ex semidiametro in tertiam partem superficiei hemisphaerii vel superficiei hemisphaerii in tertiam partem semidiametri, etc. Alios modos vide apud Clavium loc. cit. cap. 6. n. 3. ubi etiam n. 4. et 5. docet modum inveniendi soliditatem sectoris sphaerae, et cujuslibet portionis ipsius: capite vero 7 tradir modum inveniendi soliditatem sphaeroidis: capite denique 8. et 9. soliditatem conoidis parabolici, et hyperbolici.

PARS QUARTA. De Caelometria, seu concavorum dimensionibus.

[note: Caelometria. ] AD Stereometriam pertinet etiam vasorum, et quorumvis concavorum dimensio, qua nimirum ipsorum capacitas indagatur in certis mensuris liquidorum, aut aridorum. Vasa, aliave concava, sunt, vel parallelepipeda (quae brevitatis causa in posterum cubica subinde appellabimus) vel cylindrica, vel neutra, seu mista, hoc est, vel constant superficiebus planis, vel rotundis, vel ex his misticis. Haec ad illa reduci debent, ut sub geometricam mensurandi rationem cadere possint. Ita ut mensurentur, opus est Regula seu Virga cubimetrica et cylindrimetrica, divisa in certas partes, quarum singulae significent certam aliquam mensuram liquidorum, aut aridorum, usitatam in eo loco, pro quo con struitur virga. Hujus constructionem primo, deinde usum nunc breviter et methodice docebimus in omnibus concavis corporibus ac vasis: deinde pro doliis seu vasis vinariis, alterius praeterea virgae fabricam et usum, majoris facilitatis et securitatis gratia in iis mensurandis, subjungemus.

Propositio I. Regulam cubimetricam et cylindrimetricam constituere, hoc est, mensuras famosas in certis locis usitatas tam aridorum, quam liquidorum, virgis seu perticis inscribere.

[note: Regula cubimetrica, et cylindrimetrica. ] AD dimensionem vasorum cubicorum ac cylindricorum requiritur, ut dicebam, Regula seu Virga incertas partes ex arte geometrica divisa, ita ut singulae ejus partes significent certam aliquam mensuram usitatam in illo loco, pro quo virga construitur. Ut si quis scire cupiat, quot mensuras certi alicujus loci capiat aliquod vas, vel quot modios tritici aliquod granarium, etc. oportet prius construere pro loci illius mensura et modio certam Regulam tam pro planis, quam pro cylindricis vasis. Regula cubimetrica mensuramus corpora constantia superficiebus planis: cylindrimetrica, vasa cylindrica, sphaeras, et conos, Variis varios adsignant modos hujusmodi Virgam construendi: omnium facillimus et certissimus videtur mihi qui sequitur.

Primo. Ex linea AB, in polito assere ducta, abscinde decem minutissimas partes aequales, ab A usque ad C. Has decem partes, hoc est, distantiam [note: Vide Iconism. E. Fig. 294. ] AC transfer ex C in D, ex D in E, in F, etc. usque ad B: eritque tota linea AB in 100 aequales partes divisa. Quod si AB decies in lineam AB productam transferas; erit illa in 1000 aequales partes divisa. Secundo. Pro regula cylindrimetrica construe vas cylindricum A: pro cubimetrica vas cubicum seu par allelepipedum B, ex ligno, cupro, aliave materia apta. Tertio. Infunde in haec vasa, Pro mensuris liquidorum virgae inscribendis, 1, 8, 27, 64, 125 mensuras, aut alium numerum mensurarum (in eo loco, pro quo virgam constituere vis) cubicum, quorum radices seu latera cubica sunt 1, 2, 3, 4, 5, etc. Pro mensuris vero aridorum, v. g. pro modiis virgae inscribendis, infunde in eadem vasa, 1, 8, 27, 64, 125, etc. modios: et nora diligenter, quousque vasa impleantur, v. g. usque in CG. Quarto. Linea AB divisa modo supra dicto, metire tam diametrum fundi interni CD vasis cylindrici A, quam latera basis internae KH, HC, vasis parallepipedi B. Metire quoque eadem linea AB utriusque impletionis altitudines CG. His factis inquire aream fundorum seu basim praedictorum vasorum, per dicta Par. 2. proposit. 1. et 7. Inventam basim seu basis aream in mensuris seu partibus quadratis lineae AB divisae, duc in altitudidem impletionis CG, atque ex producto extrahe radicem cubicam. Hujus radicis numerum in partibus lineae AB inventam intercipe circino, eamque aliquoties transfer in lineam LM ductam in praeparata Regula seu Virga. Et si quidem in vasa infudisti unam mensuram aut modium, significabunt singulae partes lineae LM unam mensuram: si infudisti 8, 27, 64, 125, etc. significabunt singulae 8, 27, 64, 125 mensuras: quare singulae dividi debent in duas, tres, quatuor, quinque particulas aequales, ut quaelibet particula significet unam mensuram. E. G. habeat utrumque latus KH, HC, 26 partes, altitudo impletioniis CG, 43: duc latus 26 in se, et produces 676: hoc productum duc in altitudinem impletionis, nempein 43, et produces 29068: ex hoc numero extrahe radicem cubicam, quae est 30 7/10 circiter. Si igitur vas cubicum infudisti unam tantum mensuram, accipe ex linea divisa AB 30 7/10 partes, easque transfer in lineam LM: si infudisti 8 mensuras, accipe ejusdem numeri dimidium, nempe 15 7/10. si 27 infudisti, accipe tertiam partem ejusdem numeri, nempe 10 7/30, etc. Et quia pono infulas fuisse 8 mensuras, idcirco accipe ex linea divisa AB partes 15 7/20, sive 15 1/3 fere: easque in Regulam LM aliquoties, ut decies, vigesies, aut saepius transfer, nimirum ex L in N, O, P, Q, etc. et habebis Regulam cubimetricam praeparatam. Eodemque modo praeparabis Regulam cylindricam.

Potes quoque unam partem LN, aut etiam onines, in decem aut centum alias partes subdividere: sic enim usus ipsius latus patebit et ad vasorum etiam exiguorum mensurationes extendi poterit. Hactenus constructio Regularum, nunc earum usum explicemus.

Propositio II. Vasa parallelepipeda metiri Regula [orig: Regulâ] cubimetrica

[note: Vasa parallelepipeda metiri. ] PEr vasa parallelepipeda intelligo etiam hypocausta, cubicula, granaria, turres quadrilateras, et omnia quae constant sex parietibus, [note: Vide Iconismi. E. Fig. 294. ] quorum duo quilibet oppositi sint paralleli. Indagaturus igitur quot modios tritici capiat v. g. horreum parallelepipedum, metire Regulâ cubimetricâ LM ejus longitudinem, latitudinem, et altitudinem; duc longitudinem in latitudinem, productumque in altitudinem, et habebis numerum modiorum quos capit propositum granarium. Ponamus longitudinem habere puncta majora seu partes majores Regulae: LM 200, latitudinem 120, altitudinem 80, multiplica 200 in 120, et produces 24000; hoc productum duc in 80, et produces totam horrei capacitatem, nimirum modiorum 1920000. Ratio patet ex dictis Par. 2. Proposit. 1. Excludo in hoc calculo cavitates granarii, quas fenestrae, januae, et alia ejusmodi faciunt; ponoque quatuor parietes cum tabulato superiori, et pavimento inferiori, carere cavitatibus, lacunis, asperitatibus, et tumoribus: alioquin etiam harum cavitatum capacitas esset indaganda, et numero praedicto adjugenda.

Quod si aut longitudo, aut latitudo, aut altitudo, aut omnes simul, aut duae tantum, non exacte habeant puncta majora, sed praeter illa habeant etiam minora, ut plerumque accidit; resolve majora in minora, hoc est, si majora puncta divisa sunt in decem minora, duc majora in 10; si majora in centum sunt divisa, duc illa in 100. et productis adde minora puncta majoribus adhaerentia. Quo facto, duc ut prius, longitudinem in latitudinem, et productum hoc in altitudinem, atque ex hoc postremo producto reijce trespriores numeros ad dexteram, si puncta majora divisa sunt in 10 minora; sex; si majora in 100. minora sunt divisa; novem, si in 1000. E. G. Sit alicujus granarii longitudo punctorum majorum 180, et minorum 7; latitudo majorum 95, minorum 7; altitudo majorum 42, minorum 5. Igitur si majora puncta longitudinis duxeris in 10, productaque adjeceris 7; procreabis puncta minora 1807, si latitudinis puncta majora duxeris in 10. productaque addideris 6 minora; efficies 956 minora: denique si altitudinis puncta majora duxeris in 10. productoque adjeceris 5. minora; progignes 425 minora. Resolutis igitur in hunc modum punctis majoribus in minora, si duxeris 1807 in 956, progignes 1727492; si hoc productum in 425 duxeris, procreabis 734184100: unde rejectis tribus numeris prioribus versus dexteram, restant 734184. Atque tot modiorum est dicti granarii capacitas.

Corollaria. I.

[note: ] PAtet hinc, quomodo puteorum prismaticorum seu parallelepipedorum capacitas in certis mensuris inveniri possit. II. quomodo dimetienda sit frumenti congeries parallelepipedi formam efficiens. Quia vero talis congeriei superficies inferior quae pavimento incumbit, amplior solet esse quam superior, tam in longitudine, quam in latitudine; necesse est illas prius adaequare, et reducere congeriem in perfectum parallelepipedum. Quod fit, si metiaris tam inferiorem quam superiorem longitudinem, et latitudinem, et summarum semisses pro adaequata longitudine et latitudine accipias, et procedas modo dicto in Propositione. E. G. Contineat inferior longitudo partes Regulae cubimetricae majores 120, superior 112, inferior latitudo contineat 80, superior 72; erit igitur aequata longitudo 116, latitudo 76: sit denique congerici altitudo seu profunditas punctorum majorum 4. Igitur si hos tres numeros 116, 76, 4, in se duxeris, hoc est, si 116 duxeris in 76, et productum in 4; procreabis totam frumenti summam, quam reperies modiorum 35264. De adaequatione inaequalium laterum dicemus plura infra Proposit. 9. et 10. Lumen quoque addet sequens Propositio.

Propositio III. Fossae excavandae capacitatem invenire.

[note: Fossae excavandae capacitatem invenire. ] CIrca civitatem aut arcem ducenda sit fossa, cujus latitudo superior debeat esse 16 cubitorum, inferior 12, profunditas 8, longitudo 1000. Debent autem pro quolibet cubito cubico expendi 40 nummi certi valoris. Quaetitur, quantum pecuniae pro tota fossa expendi debeat. Sit superior latitudo AF, inferior CD, profunditas [note: Vide Iconismi E. Fig. 295. ] CG. Quia triangula AEC, BDF, sunt aequalia, ut suppono; erit parallelogrammum ABDE, aequale trapezio ABDF, per dicta Par. 2. Proposit. 4. Cumque latitudo BC sit 12 cubitorum (est enim aequalis latitudini CD;) erit tam AG, quam FB, duorum cubitorum; quare tota AB erit 14 cubitorum, et est profunditas GC 8 cubitorum. Si igitur 14 in 8 ducas, habebis 112, aream parallelogrammi AEDB, sive trapezii ACDF. Hac igitur areâ in longitudinem fossae cubitorum 1000, erit tota fossae capicitas cubitorum cubicorum 121000. Et quia pro uno cubito expendi debent 40. nummi; si 112000 duxeris in 40, produces 4480000 nummos; quos deinde per divisionem reduces ad aliam monetam majorem.

Propositio IV. Vasa cubica duplicare, triplicare, etc. mechanice, ope Regulae cubimetricae.

[note: Vasa cubica duplicare, triplicare etc. ] MEchanice seu practice vasa cubica, imo et cubica corpora solida, sic duplicabis ope praedictae Regulae. Metire latus unum cubi dati, in partibus Regulae, et numerum partium inventarum duc in se; productum vero duc in duplum numeri illius in quem latus divisum est; atque ex hoc postremo producto extrahe radicem cubicam; et haec radix erit latus cubi duplicandi. E. G. Esto cubus cujus latus sit 20 partium Regulae. Duc 20 in se; et produces 400; hoc productum duc in duplum lateris, nempe in 40, produces 16000; hujus numeri radix cubica propinquior est paulo minor quam 25 1/5, nam hic numerus in se cubice multiplicatus producit 16003 1/125, qui numerus valde parum abest ab hoc numero, 16000; est vero hic numerus duplus cubi radicis 20.

Si cubus sit triplicandus, duc primo latus cubi triplicandi in se, deinde productum in triplum lateris;

nam ex postremo hoc producto educta radix cubica dabit latus cubi triplicandi. Quod fit ope Regulae, fieri etiam potest sine illa, ut patet.

Propositio V. Concavas columnas, turres, et quaecumque prismata bases habentia triangulares, pentagonas, hexagonas, octogonas, et etiam irregulares [correction of the transcriber; in the print irregures], metiri.

[note: Concavas columnas. turres. etc. metiri. ] MEtire latera basis Regulâ cubimetricâ, et inquire ejusdem basis aream, per dicta Par. 2. Proposit. 3. 4. 5. 6. inventamque duc in altitudinem eâdem regulâ mensuratam; productum erit tota capacitas. EG. Sit turris octogona, cujus quodlibet latus habeat puncta majora 20, semidiameter vero AB 26, altitudo 340. Quia igitur tota figura basis resolvitur in octo [note: Vide Iconismi E. Fig. 296. ] talia triangula, quale est BAC; et quodlibet est punctorum quadratorum 166 fere: si ducantur 166 in 8, exurgit totius basis area punctorum quadratorum 1328; quibus ductis in 340, prodit totius turris capacitas modiorum 451520. Eodem modo in omnibus aliis agendum est; si enim area ducatur in altitudinem, habebitur semper totius turris, prismatis, columnae, capacitas.

Propositio VI. Tetraedra [orig: Tetraëdra], seu pyramides regulares, et reliqua corpora regularia, metiri.

[note: Concava corpora regularia metiri. ] MEtire regulâ cubimetricâ basis pyramidis latera, et altitudinem; in hanc multiplica aream basis inventam per dicta Par. 2. Proposit. 3. productumque divide per 3. et habebis capacitatem. Ratio patet ex dictis Par. 2. Proposit. 4. E. G. Sit pyramis, cujus basis latera singula sint 8 punctorum majorum; erit igitur quadratum areae basis (operando juxta Regulam 3. traditam Par. 2. Proposit. 3.) 768, adeoque ipsa area 27 8/11 fere. Sit altitudo 20 punctorum majorum; cujus quadratum 400 si duxeris in quadratum areae, produces 307200, quadratum capacitatis prismatis eandem basin et altitudinem cum pyramide habentis. Quare si ejus radicem quadratam, quae est 554 1/4 fere, per 3 diviseris, proveniet capacitas pyramidis 184 3/4 punctorum cubicorum fere.

Quod ad reliqua corpora regularia spectat, cum ea resolvantur in tot pyramides, quot bases seu superficies habent: si areae superficierum ducantur in numerum superficierum seu basium, productumque in altitudinem pyramidum, quae est semissis altitudinis totius corporis (est autem altitudo corporum regularium, tetraedro excepto, distantia duarum superficierum oppositarum seu parallelarum) et summa dividatur per 3; prodit totius corporis capacitas. Ratio patet ex dictis Par. 3. Proposit. 5. E. G. Sint latera basium dodecaedri 6 punctorum majorum, altitudo 14; erit igitur area pentagona basis 61 7/8 punctorum majorum quadratorum, per dicta Par. 2. Proposit. 5; quae ducta in 12, nempe in numerum superficierum, facit 742 1/2. Et quia altitudo corporis ponitur esse 14 punctorum, erit semissis, nempe altitudo pyramidum, in quas dodecaedrum resolvitur, 7 punctorum. Si igitur 7 ducantur in 742 1/2, producuntur 5197 1/2; hujus tertia pars 1732 1/2, est totius dodecaedri capacitas.

Propositio VII. Cylindrorum capacitatem invenire.

[note: Concavas cylindros metiri. ] IN cylindris dimetiendis utimur Regulâ cylindrimetricâ. Cylindros igitur dimensurus, metire Regulam cylindrimetricâ primo latitudinem cylindri, hoc est, diametrum basis cylindri; ut habeas ejusdem basis aream, per dicta Par. 2. Propos. 7. et 8. deinde ejusdem cylindri longitudinem seu altitudinem. Hoc facto, duc basis aream in longitudinem cylindri, et habebis capacitatem. Ratio patet ex dictis Par. 3. Prop 3. E. G. Sit cylindri basis in mensuris quadratis, ex latitudine seu diametro inventa, punctorum minorum 3249, longitudo vero seu altitudo punctorum itidem minorum 128. Duc. 3249 in 128; producentur 415872; ex quibus rejectis tribus prioribus figuris dextris, ut invenias puncta majora, restant mensurae 415, seu potius 416, propterea quod numerus ultimus rejectus, qui est 8, fere ad 10 accedit. Si calculum accuratius subducere desideres, dic per Regulam Proportionum: 1000 dant unam mensuram, quid dant figurae rejectae, scilicet 872? et reperies 5/6 fere unius mensurae. Igitur vera capacitas totius cylindri erit 415 5/6 mensurarum. Patet hinc, quomodo puteorum cylindrac eorum capacitas inveniri possit.

Propositio VIII. Pyramidum et Conorum capacitates invenire.

INquire aream basis in partibus quadratis Regulae [note: Concavas pyramides et conos metiri. ] Cubimetricae, aut cylindrimetricae, per dicta Par. 2. Proposit. 1. 2. 3. 4. 5. 6. et 7. eamque duc in tertiam partem altitudinis; et productum divide per 3; et habebis totam capacitatem in certis mensuris aridorum aut liquidorum. Ratio patet ex dictis Par. 3. Proposit. 4.

Propositio IX. Vasa inaequalium basium metiri.

[note: Concava vasa inaequalium basium metiri. ] QVando bases oppositae, superior videlicet et inferior, inaequales sunt, similes tamen, et parallelae; adaequa illas, hoc est, inquire inter ipsas mediam aliquam inter majorem et minorem, eamque duc in altitudinem, et productum dabit vasis capacitatem.

[note: Adaequare bases inaequales vasorum. ] Adaequantur bases primo; si reperiatur separatim utriusque area, et summa ex utraque facta dimidietur; haec enim dat basim adaequatam. Secundo, si minor auferatur a majori, et residui dimidium vel adjiciatur minori, vel auferatur a majori; summa enim residua, aut resultans, est basis adaequata. Quomodo porro basis utraque reperiatur, patet ex dictis loco proxime citato.

Propositio X. Doliorum seu vasorum vinariorum capacitatem reperire.

[note: Doliorum capacitatem invenire. ] DOlia, seu vasa vinaria referunt plerumque figuram duplicis coni decurtati, quorum bases sint circa doliorum medium conjunctae, vertices vero decurtati sint eorundem fundi. Tale est appositum dolium constans duobus [note: Vide Iconis. E. Fig. 297. ] conis truncatis AFBE, CDBE, quorum bases BE sunt in medio dolii, seu in ejus ventre, conjuncti, fundi vero AF, et CD, sunt conorum truncatorum vertices. Doliorum hujusmodi capacitas reperitur, si fundi et ventres adaequentur, et summa adaequata ducatur in altitudinem seu longitudinem, productum enim dat capacitatem in mensuris quae in virga cylindrimetrica sunt notatae.

Semper ergo in doliorum dimensione adaequadi prius sunt fundi et ventres. Et quidem si fundi sunt inter se aequales, ut plerumque fit: unica adaequatio sufficit, nempe diametrorum ventris et unius fundorum: si autem inaequales sunt fundi, duplici adaequatione opus est, nempe primo duorum fundorum inter se, deinde fundi adaequati cum ventre.

Sint igitur primo fundi aequales. Inquire per Regulam cylindrimetricam diametrum unius fundi, deinde diametrum ventris ab interna superficie curvitatis B, usque ad internam superficiem curvitatis E: adde utramque in summam unam, et erit summae dimidium diameter adaequata. Eandem adaequationem habebis sine arithmetica, si utramque praedictam diametrum notes in Regula, et inter utriusque differentiam sumpseris punctum medium: hoc enim dabit diametrum adaequatam: Ut si fundi diameter sit GH, ventri diameter GI, erit GK diameter adaequata.

EXEMPLUM. Sit utraque diameter fundorum alicujus vasis punctorum majorum 7, minorum 4. ventris vero diameter sit punctorum majorum 9, minotum 6. Si resolvantur majora puncta in minora, fiet fundorum diameter alterutra punctorum minorum 74, ventris 96: quorum dimidium, nimirum 85, est diameter vasis adaequata. Habita hac, metire etiam longitudinem vasis inter fundorum superficies internas, sit que punctorum majorum 25, minorum 5: ergo majora in minora resoluta, faciunt 255 minora: His factis, duc 85 in se, et produces 7225, nempe quadratum diametri fundorum. Ex hoc quadrato ut invenias aream circuli alterutrius fundorum, dic, per ea quae docuimus Par. 2. Proposit. 8 si 14 dant 11, quid dabunt 7225? reperies 5676 11/14 pro area fundi. Hanc si multiplices in vasis longitudinem 255, et a summa producta rejicias tres priores figuras dextras: reperies totius vasis capacitatem.

Sint secundo fundi inaequales. Adaequa illos, sumendo utriusque summae dimidium, illudque addendo diametro ventris, rursusque hujus summae dimidium pro diametro adaequata sumendo, ex eaque aream eliciendo, et aream ducendo in longitudinem vasis: productum enim dabit vasiscapacitatem.

Annotationes. I.

[note: ] SI fundi vasorum non sint circulares, sed elliptici; sic procedito. Per Regulam cylindrimetricam fundorum latitudinem utramque decussatim accipito, binas faciendo in Regula tua notas: punctum enim inter hasce notas medium adaequabit illas. Similiter adaequabis planum imaginarium BE per ventrem basis transiens, decussando ipsius latitudines seu diametros binas. Medium inter utrumque planum, fundi inquam et ventris, exhibebit diametrum adaequatam vasis. Ex diametro sic adaequata quaere aream circuli; hanc duc in vasis longitudinem, et habebis vasis continentiam.

II. Longitudo doliorum est recta inter utramque internam fundorum superficiem comprehensa, ut supra insinuavi. Quare cum haec longitudo forinsecus mensuratur, debet a tota extrinseca vasis longitudine demi uterque margo prominens extra fundos, et praeterea utriusque fundi crassities.

Propositio XI. Virgam visoriam praeparare, eaque dolia vinaria mensurare.

[note: Virga visoria. ] TAmetsi quaelibet fere dolia vinaria mensurari possint Regula cylindriametrica Proposit. 1, descripta, et arte Proposit. praeced. explicata; tamen ad dimetienda eadem promptius et facilius sine praevia inventione areae fundorum ex adae quata diametro, sed per solam profunditatem adaequatam ductam in longitudinem: solent construi a Coelimetris aliae quaedam virgae, quas visorias appellant communiter, germanice vero Visier-Ruthen. In iis duplicem partium distinctionem notant: unam, quâ latitudinem doliorum, et aequatam basium ac ventris diametrum inquirunt; alteram, qua eorundem doliorum longitudinem mensurant. Longitudinis partes sunt aequales, latitudinis inaequales: hae ultimae explicant aream circulorum, quam alioquin ex diametro alaequata, et circumferentia ex diametro indagata, invenire oportet per dicta Par. 2. Proposit. 7. et 8. Varii varie procedunt in utrisque punctis seu partibus virgae inscribendis: nobis placet sequens modus.

Primo cura fieri ex ligno, cupro, stanno, aliave similimateria vas cylindricum ABF, continens exactissime certam aliquam in eo loco, pro quo virgam vis constituere, mensuram usitaram, puta vel unam mensuram, vel unum quartale, vel (si pro majoribus doliis fabricare vis virgam) unam urnam. Longitudo AF hujus vasis repraesentabit longitudinem doliorum mensurandorum: latitudo seu diameter AB, profunditatem seu diametrum eorundem. Secundo. Accipe virgam quadrilateram, quatuor, quinque, aut sex pedes [note: Vide Iconis. E. Fig. 298. ] longam, pro magnitudine vasorum mensurandorum. In hujus virgae unum latus transfer diametrum AB, in alterum altitudinem seu longitudinem AF, toties, quoties poteris, voceturque hoc latus virga profunditatis,

quia ejus divisiones repraesentant prosunditates seu diametros vasorum: illud vero vocetur virga longitudinis, quia ejus divisiones repraesentant longitudines vasorum a fundo ad fundum. Tertio. Latus longitudinum relinque indivisum: aut si placet, singulas partes subdivide in 10 aut 100 aequales partes, sic enim habebit virga majorem usum etiam in minoribus doliis metiendis. Latus vero profunditatum subdividi debet in alias partes minores inaequales interse, ut initio dixi: quod quidem fieri potest velgeometrice vel arithmetice. Geometrice sic.

In lineam AB ductam in aliquo plano transferantur ex latere profunditatis puncta seu partes omne, eritque AB, divisa in partes AD, DE, EF, FG, GH, HI, IK: KB, etc: Deinde ad punctum A excitetur perpendicularis AC, aequalis uni dictarum, nempe parti AD. His factis, pone unum circini pedem in C, et alterum extende in D, atque hanc circini aperturam transfer ex A in l. Deinde pone rursus unum pedem in C, et alterum extende in l, hancque circini aperturam transfer ex A in m. Tertio pone unum pedem in C, et alterum in m, et hancaperturam transfer ex A in E: in hoc enim punctum cadere debet apertura C m, alioquin erratum est. Rursus ponatur unus pes circini in C, alter in. E, et transferatur distantia CE ex A in n. et deinde distantia C n ex Ain o: distantia C o ex A in p: distantia C p ex A in q: debebitque rursusm, si erratum non est, distantia C q aequalis esse distantiae AF: item distantia C r distantiae AG, etc. Facta hac divisione lineae AB, videbis primum punctum majus AD dictae lineae manere indivisum, secundum DE dividi in tria minora puncta, tertium EF in quinque, quartum FG in septem, quintum GH in novem, sextum HI in undecim, septem, IK in tredecim, octavum KB in quindecim. Et si plura adsint puncta majora, erit nonum divisum in minora 17, decimum in 19, etc Significat autem distantia AD unam mensuram ex iis quas infudisti invas ABF, A l duas, A m, tres, AE quatuor, et sic deinceps. Ratio hujus divisionis fundatur in 47. pri. Euclidis, ex qua constat, quadratum rectae CD esse aequale quadratis rectarum AD, AC, ideoque A l est latus duarum mensurarum, qualium AD est latus nnius. Eadem est ratio rectae Cl respectu rectarum CA, Al. ideoque Cm est latus trium mensurarum, etc.

Arithmetice idem latus profunditatis dividi potest, si prima diameter AD dividatur in 1000. aut in 100, aquales particulas, et ex sequenti radicum quadratorum tabula deportentur puncta minora in lineam AB. In qua tabula, columna prima continet puncta majora seu partes aequales lineae AB: secunda ordinem et numerum mensurarum seu punctorum minorum, quae tam ipsis punctis majoribus, quam intermediis divisionibus minoribus futuris respondent: tertia distantiam singularum mensurarum seu punctorum a puncto A versus punctum B prardictae lineae AB distantiam inquam in partibus, qualium AD, vel AC, diameter nimirum prima, est 1000: quarta denique earundem mensurarum seu punctorum distantiam a puncto A in partibus, quarum AD censetur esse 100. Quod si itervallum AD censeatur divisum solummodo in decem aequales partes, construenda est alia columna, quae duabus tantum figuris conster, rectis duabusversus dexteram ex tertia columna: habendo tamen semper respectum ad figuras rectas; quae si superant 50, augenri debet unitate figura dextera remanentium

Tabula Radicum Quadratarum.

Praedictae igitur columnae beneficio puncta minora pro funditatis inscribes lineae AB jam divisae in octo puncta majora (quod sufficit) tali ratione. Primum spatium seu prima mensura AD dividatur in 1000, aut 100 partes aequales, reliquae vero intelligantur in totidem partes divisae. Harum partium 1414, aut 141, intercipe circino, et transfer ex A in l; hoc est, accipe ex praedictis 1000, aut 100 particulis particulas 414, aut 41, easque ex D transfer in l, et habebis punctum pro secunda mensura. Pro tertio puncto transfer ex A in m 1732, aut 173 particulas, hoc est, ex D in m transfer 731, aut 73. Pro quarto puncto transfer ex A in E 2000. aut 200 particulas, sive ex D in E 1000, aut 100, cadetque hoc punctum minus in majus punctum E jam antea notatum: alioquin erit erratum. Simili modo praecedes in aliis punctis minoribus notandis in linea AB ex praeced. tabula radicum quadratorum.

Si inter puncta hactenus notata in linea AB, vis etiam notare puncta intermedia quae significent mensuras dimidias, nempe [?]: etc. id assequeris ope praecedentis alterius tabulae extensae solum usque ad spatium inter 14 et 15 punctum; reliqua enim puncta dividi possunt circino in duas partes fere aequales; quamvis revera prior medietas versus A semper debeat esse paulo major, quam altera medietas versus A.

Si denique lineae AB inscribere etiam velles puncta primorum scrupulorum, ita ut quodlibet spatium praedictae lineae jam divisae subdividatur in alias partes decem: fieri id poterit, li dividatur quodlibet spatium circino in alias decem, ita tamen, ut priores versus A sint semper major es, quam posteriores versus B. Melius tamen et securius id siet inprimis viginti scrupulis opesequentis tabellae

[note: Tabulae radicum quadrasorum constrisctio. ] Structura prae cedentium tabularum sundatur in 47 pri. Euclidis. Artificium consistit in hoc. Ponuntur ordine numeri 64, aut plures hoc modo, 1. 2. 3. 4. 5. etc. usque ad 64; illisque apponuntur duo, quamor, sex, aut octo cifrae hoc modo, 1000000, 2000000, 3000000, etc. ex numeris hoc modo per cifras appositas auctis extrahuntur radices quadratae, et producuntur numeri in prima tabula positi. Vel quod idem est, numerus quadratus 1000000 primae mensurae, quae continet 1000 particulas, radicem videlicet quadratam numeri 1000000, multiplicatur per 2, per 3, per 4, etc. siunt 2000000: 3000000, 4000000, etc. et ex singulis extrahitur radix quadrata: et resultat eadem prima tabula. Secunda tabula dimidiarum mensurarum fit, si numerus 1000000 multiplicetur per [?], seu per 1. mensur. et 5. scrup. per [?], seu 2. mens. et 5. scrup. etc. et siant 1500000, 2500000, etc. atque ex his extrahatur radix quadrata; prodibunt enim numeri in fecunda tabula positi. Tertia denique tabula fit, si multiplicentur 1000000 in[?], in [?], etc: et ex productis numeris 100000, 200000, extrahantur radices quadratae quae sunt ipsismi numeri in tertia tabula positi.

Linea AB praedicto modo seu geometrice seu arithmetice divisa transferantur omnes divisiones in lineam profunditatis in Virga praeparata ductam, et habebis lineam diametrorum seu profunditatum doliorum.

[note: Virgae visoriae constructio, et usus. ] Vsus virgae sic constructae hic est. Indagaturus dolii alicujus capacitatem in mensuris (si pro mensuris constructa fuit virga) aut urnis (si facta fuit pro urnis) demitte virgam per epistomium medium usque in fundum perpendi culariter, notando puncta profunditatum in lacere profunditatis intercepta inter fundum et orificium internum dicti epistomii. Deinde exempta virga, metire similiter duos vasis fundos quoad diametros eorum, semper exacte creta notando puncta prosunditatis abscissa. Comparata igitur minori cum majore profunditate, medium inter utrasque dabit veram et adaequatam profunditatem, quae nihil est aliud quam medium proportionale interparvam et magnam diametrum. V. G. deprehendisti demissa virga per medium epistomium in fundum vasis, ventris diametrum 40 punctorum, fundorum vero diametrum 36 punctorum; medium differentiae horum numerorum dabit medietatem rectificatae profunditatis, adiiciendam minori, vel subtrahendam majori prufunditati inventae, eritque adaequata profunditas 38 punctorum. Hanc diligenter nota seorsim. Post haec metire quoque virga seu latere longitudinum vasis longitudinem, demptis extantiis, et investiantur v. g. 6 puncta longitudinum: quae etiam nota. Multiplica jam 38 per 6, profunditatem videlicet in longitudinem, provenient 228 mensurae pro capacitate vasis: quae per 4 divisae, producunt quartalia, ubi mensurae quatuor unum quartale conficiunt: at divisa per 64, producunt urnas, ubi urna una est 64 mensurarum. Si integris longitudinis et profunditatis partes adhaereant, procede ut supra dictum fuit praeced. Proposit.

Qui plura desiderat de variis modis perticas visorias, non solum quadratas, qualem hactenus construximus, sed etiam cubicas, id est, non solum operadicum quadratarum, sed etiam cubicarum: legat Adrianum Metium in Geomet. Pract. Par. 2. cap. 6. et 7. VVilhelmum Birckmannum in Stereometria nova germanice edita, Vdalricum Kern in Opere germanico de arte visorandi (ut barbare aliqui loquuntur) et alios.

PARS V. De Geodaesia, seu superficierum divisionibus.

[note: Geodaesia. ] GEodaesia pars est Geometriae practicae non postrema, ejusque officium proprium est, superficies quascunque propositas in quascunque partes desideratas partiri. De ea bic agere lubet, tum ut integram de Geometria practica materiam tradamus, tum quia camporum superficies dividendae commodissime in Pantometro nostro (quod supra Parte 1. cap. 1. Proposit. 2. explicavimus, et usum in Longimetria tradidimus) delineari, et delineatae dividi possunt: quod fieri operae pretium est ingens. Licet enim in ipso campo dividi possint superficies: praestat tamen illas ichnographice in charta delineare secundum omnem laterum proportionem, ac deinde illas ita delineat as dividere, et demum mediante figura divisa in charta dividere easdem in campo. Quod cum nullo instrumento melius ac facilius fiat quam Pantometro nostro, merito hoc loco ea de re tota tractamus eodem ordine et breviter, quo eandem explicavimus fuse in Pantometro, toto lib. 7. Qua vero ratione et methodo camporum et planitierum quarumcunque ichnographia sit in Pantometro delineanda, explicabitur infra Par. 7. hujus libri.

CAPUT I. De divisione triangulorum-

[note: Geodaesia triangulorum ] TAmetsi raro accidat, ut planities dividenda sit perfecte triangularis: accidere tamen solet non raro, ut planitiem ipsam, cujus aream inquirimus, dividere prius oporteatin triangula, et ipsa deinde triangula partiri. Possunt triangula dividi per rectas lineas ductas vel ab uno angulorum, vel a puncto in uno laterum dato, vel a puncto intra, vel a puncto extra triangulum dato. De omnibus agemus.

Propositio I. Triangulum quodcumque dividere in duas, tres, et quotcumque libuerit partes aequales, per lineas a quovis angulo ad latus oppositum productas.

[note: Triangulorum variae divisiones quoad aream. ] SIt triangulum ABC primo dividendum in duas aequales partes per lineam ab angulo A ad basin BC protractam. Dividatur BC bifariam in D, et ducatur recta AD, eritque factum quod quaeritur, per 38. pri. et 1. Sexti. Sit secundo dividendum [note: Vide Iconismi F. Fig. 299. ] in quatuor aut quotlibet alias partes aequales. Dividatur BC in quatuor, etc. partes, et ducantur rectae ut vides: eritque factum quod quaeritur, per eandem 38. pri. et 1. Sexti.

Aliter idem facere. Quoniam si omnes lineae ab eodem ducantur angulo, aliquando segmenta [note: Vide Iconismi F. Fig. 300. ] fiunt nimis arcta (quod incommodum est in agrorum dimensione:) ideo aliter id fieri docebimus. Sit triangulum ABC dividendum in quinque aequales partes. I. Accipe ex utrolibet majorum laterum, nempe ex latere BC, partem quintam BD: et ducta recta AD, habebis unam quintam. II. Ex latere AC accipe partem quartam AG, et ducta DG habebis alteram quintam III. Ex latere DC accipe partem tertiam DF, et ducta FG habebis tertiam quintam. Eodem modo procede ulterius. Ratio desumitur ex 1. Sexti Euclidis, quia ABD ad ABC sehabent, ut BD ad BC, etc.

Propositio II. Triangulum quodcumque dividere per rectam a quovis angulo ductam, in duas partes inaequales secundum proportionem datam, itaut antecedens proportionis vergat in quam partem volueris.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 301. ] SIt ABC dividendum in duas partes, per lineam AD, secundum proportionem E ad F, ita ut pars ad B vergens, ad reliquam se habeat ut E ad F. Secetur BC in D secundum proportionem E ad F, per Schol. 10. Sexti. ducaturque AD, eritque ABD ad ADC, ut E ad F, per 1. Sexti. Si vis ut antecedens proportionis vergat ad C, seca CB ita, ut CD ad DB sit, ut E ad F.

Hinc patet, quomodo campus sit dividendus inter duos, ut unus habet [?], alter [?], aut secundum aliam quamcunque proportionem.

Propositio III. Triangulum quodcumque per rectas a quovis angulo ductas dividere in plures partes inaequales secundum proportionem datam, ut antecedens prima proportionis vergat in quam malueris partem.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 302. ] SIt ABC dividendum in trespartes secundum proportione D ad E, et E ad F, lineis ab A ad ad BC ductis, ita ut primum antecedens vergat ad B. Dividatur, per Schol. 10. Sexti, BC in H et C, ut sit BG ad HG, ut D ad E, et GH ad HC, ut E ad F. Ductis enim AG, AH, erit factum quod quaeris, per 1. Sexti. Eodem modo agendum, si in plures partes proportionales esser dividendum. Si primum antecedens debet esse versus C, inchoeturdivisio a C versus B.

Propositio IV. Campum triangularem dividere in partes inaequales datas, per lineas ab uno eodemque angulo ductas.

[note: Campum triangularem dividere. etc. ] ESt campus triangularis continens 600 perticas quadratas, dividendus inter quatuor ita, ut primus habeat quadratas perticas 200, fecundus 150. tertius 130, quartus 120: et omnes lineae

divisionum debent egredi ab angulo opposito lateri BC. Mensuretur latus BC, et inveniatur esse 50 perticarum simplicium. Dividantur 50 secundum proportionem datam in quatuor partes, per Regulam Trium quater, aut saltem ter repetitam, sic. Perticae quadratae 600 dant in latere BC perticas simplices 50, quid dant 200? quid 150? quid 130? quid 120? Invenies pro prima parte in dicto latere BC perticas simplices 16[?], pro secunda 1[?], pro tertia 10[?], pro quarra 10. Inventas partes abscinde in BC, in punctis D, E, F, et ex angulo opposito duc rectas ad puncta inventa, eritque campus divisus prout postulatum fuit. Ratio sundatur in 1. Sexti.

Propositio V. Triangularem campum dividere in partes inaequales petitas, per lineas ex diversi punctis ductas.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 303. ] SIt idem campus praedicto modo dividendus, sed per lineas a diversis punctis ducta. I. Ex latere BC abscinde perticas simplices 16[?], usque ad D, et ducta AD, continebit triangulum ABD perticas quadratas 200. II. Metire latus AC, sitque 40 perticarum simplicium: et dic: si residuis 400 perticis quadratis trianguli ADC, respondent in latere AC 40 perticae simplices: 150 perticis quadratis quot perticae simplices respondentin eodem AC? Invenies 15. Abscinde ergo 15 perticas ab A usque ad E: et ducta DE habebis triangulum ADE 150 perticarum quadratarum, totidem que erit residuum DEC. Quia vero ex BC 50, abscidisti 16[?], erit residuum DC 33[?]. Dic ergo: si 150 quadratae perticae trianguli DEC, habent latus DC 33[?]: 130 perticae quadratae; quot habebit in eodem latere DC? invenies 17[?] perticas simpices: quas si abscindas in F, et duca, EF, erit DEF 130 perticarum quadratarum, residuum vero FEC erit 120. Ratio est eadem quae in praecedentibus.

Sit idem campus ABC dividendus in quatuor partes, quarum prima contineat 1/3, secunda 1/4. tertia 1/5, quarta residuum: Adhibe regulam Arithmeticam Falsae positionis, et quaere numetum inquo contineatur 1/3, 1/4, 1/5, sine fractionibus: quod fit multiplicando denominatores praedictos inter se, nempe 4 perr 3, et productum per t: et invenies 60, cujus pars tertia est 20, pars quarta 16, pars quinta 12. Finge jam totum campum continere 60 perticas quadratas. Metire praeterea BC, et AC, habeatque BC perticas simplices 50, AC 40 His factis accipe ex BC 50, tertiam partem BD, nempe 16[?], et ducta AD, erit ABD pars tertia totius campi, et continebit perticas quadratas 20 ex 60 quas finxisti contineri in toto, reliquum vero triangulum ADC continebit 40 perticas quadratas, ex quib. abscindenda est pars quarta totius trianguli ABC 60 perticarum quadratarum, nempe perticae 15: quod ita efficies. Latus AC continet 40, et triangulum ADC itidem 40. Dic ergo: si ADC 40, dat in AC 40, quid dabunt 15? invenies 15. Abscinde ergo 15 ab A usque ad E; et ducta DE, habebis quartam partem totius ABC, nempe ADE 15 perticarum quadratarum: reliquum vero EDC continebit 25 perticas quadratas, ex quibus abscindenda est pars quinta totius ABC, nempe 12 perticae quadratae: quod ita fir. Linea DC continet 33[?], et triangulum EDC 25. Dic ergo: EDC 25 dant DC 33[?], quid dant 12? Invenies 16 perticas simplices, quas abscinde a D usque ad F: et ducta EF, continebit DEF perticas quadratas 12, nempe partem quintam totius: residuum vero ERC continebit 13. His peractis, dic: ut 60 ad 600, ita 20, ita 15, ita 12 ad aliud: et invenies idem quod in praecedenti Proposit. Ratio est eadem quaeibi.

Propositio VI. Dividere triangulum in duas partes aequales, per lineam a quovis puncto dato in uno latere ductam adlatus alterum.

[note: Vide Ico nismi F. Fig. 304. ] TRiangulum sit ABC punctum datum D. Si D dividit BC bifariam; DA dividet triangulum bifariam, per i. Sexti. Si D non dividit BC bifariam, secetur ea bifariam in E, et ducatur DA, et ipsi DA parallela EF. Recta DF dividet triangulum bifariam. Nam ducta EA, erunt EFA, EFD aeualia, per 37. pri. cum sint super eandem basim EF, et inter easdem parallelas EF, AD. Addito ergo communi CFE, erunt tota AEC, CDF aequalia, per 2. Axio. Est autem AEC dimidium totius, per 1. Sexti:. ergo et CDF erit dimidium totius. Eadem est ratio, si punctum D cadatinter EC: item si punctum D assumatur ad libitum in latere.

Propositio VII. Dividere triangulum in duas partes inaequales, per rectam a quovis latere ductam, secundum proportionem datam.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 305. ] TRiangulum ABC, dividendum sit per rectam a dato puncto D ductam, in partes inaequales duas secundum proportionem E ad F. Dividatur BC, in G, secundum proportionem E ad F, per Coroll. 10. Sexti; cadetque G vel in D, ut in. 1 fig. vel inter C et D, ut in 2. fig. vel inter B et D. ut in 3. fig.

Cadit primo G in D. Ducatur DA, et erit factum quod quaeritur, quoniam ABG ad AGC est, ut BG ad GC, hoc est, ut E ad F, per 1. Sexti, Cadat secundo G inter C et D. Ducatur DA, et ipsi parallela GH. conjunganturque rectae DH, GA. Secabit DH triangulum ut petitur. hoc est trapezium AB DH ad triangulum CDH erit, ut BG ad GC, hoc est, ut E ad F. Nam ducta GA, erunt HGA, GHD, aequalia, per 37. pri. additoque communi CGH fient CGA, CDH aequalia, per 2. Axio. Est autem et trapezjum ABDH aequale triangulo BGA, per idem 2. Axio. aeproinde, per 7, Quinti, totum ABC eandem proportionem habet ad CGA, et ad CHD. Dividendo igitur, per 17. Quinti, erit ut BGA ad CGA, ita BDHa ad CDH: Est autem, per 1. Sexti, BGA ad GCA ut BG ad GC: igitur erit et BDHA ad CDH, ut BG ad GC, seu ut E ad F. Cadat tertio G inter B et: D, ducaturque DA, et ipsi parallela GH. Secabit DH tiiangulum ABC ut petitur. Ratio est similis praecedenti.

Propositio VIII. Dividere triangulum in tres aut quotlibet partes aequales, per rectas a puncto in latere assumpto.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 306. ] DIvidendum sit ABC in tres partes aequales per rectas ductas a D. Divide BC in tres aequales partes in E et F, et ducta DA, erige ipsi parallelas EG, FH, tandemque duc rectas GD, HD. Erunt BGD, GDH, HDC aequalia, Nam siduncantur EA, DH, erit BGD, aequale ipsi BAE (quoniam GEA, et GED aequalia sunt, per 37 pri. ideoque addito communi BGE, aequalia etiam sunt BGD, BAE,) ideoque BGD adtotum ABC erit, ut BAE ad idem totum ABC, hoc est, ut BE ad BC. per 1. Sexti. Est autem BE pars tertia totius BC: ergo BGD quoque tertia pars pars est totius ABC. Eodem modo probatur, quadrilaterum BAHD esse duas tertias totius ABC.

Propositio IX. Triangulum dividere in tres aequales partes per lineas a latere adlatus ductas e diversis punctis.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 307. ] DIvidendum sit modo dicto ABC. In quolibet latere, v. g. in AC, elige puncta D et E exquibus putas dividi posse triangulum per lineas ad latus BC ductas, et fac lineas occultas BD, BE. Deinde divide AC in tres aequales partes in H et I, ex quibus duc HFIG, parallelas rectis DB, EB. Tandem duc rectas DF, EG, eritque quadrilaterum ABFD una tertia pars totius, et quadrilaterum DFGE altera, reliqua vero tertia pars erit triangulum EGC. Ratio ex dictis patet. Vide Pantometrum.

Propositio X. Dividere triangulum in tres partes inaequales secundum quamcumque rationem datam, lineis a latere ad latus ductis.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 308. ] CAmpus ABC sit dividendus inter tres, ita ut primus habeat 1/4, secundus 1/3, tertius reliquum. Divide latus quodcunque, v. g. BC secundum rationem datam in D et E, et electo puncto F inter BD, duc occultam AF, et huic parallelam DG, tandemque rectam FG. Erit quadrilaterum ABFG pars quarta totius ABC. Iterum elige punctum I inter D et E, et duc occultam AI, aliamque ipsi parallelam EH, tandemque rectam IH. Erit quadrilaterum GFIH pars tertia totius ABC: reliquum vero HIC. Ratio ex dictis patet. Vide Pantometrum.

Propositio XI. Triangulum quodcumque per lineas uni lateri parallelas dividere in quotlibet partes aequales.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 309. ] ABC dividendum sit in quatuor aequales partes, per lineas lateri CB aequidistantes. Secetur utrum vis reliquorum laterum, v. g. AC in quatuor aequales partes in D, E, F: et inter duas AD, AC inveniatur media proportionalis AE per 13. Sexti: item inter duas AB, AC, alia media AN: denique inter duas AB, AC, alia media AG. His factis ducantur rectae: EI, NK, GL, parallelae lateri CB, eritque factum quod jubetur. Quoniam enim, per Coroll. 4. Sexti similia sunt triangula AEI, ACB: erit, per Coroll. 19. Sexti AEI, ad ACB, ut AD ad AC: Est autem AD una quarta totius AC: ergo et AEI erit una quarta totius ACB. Proprer eandem rationem ANK erit ad ACB, ut AE ad AC: quia igitur AE est dimidium seu duae quartae totius AC; erit et ANK dimid um seu duae quartae totius ACB. Et quia demonstratum est, AEI esse unam quartam totius ACB, erit et quadrilaterum ENKI una quarta totius ABC. Simili modo demonstrantur reliqua.

Propositio XII. Triangulum in duas partes inaequales, habentes quamcumque proportionem datam, dividere per lineas uni lateri parallelas, ita ut antecedens proportionis sit versus quem volueris angulum, aut latus.

[note: ] INpraecedenti triangulo ABC ducenda sit parallela lateri CB, quae triangulum dividat in duas partes ita, ut pars versus A ad partem versus CB, sit sicut M ad H. Dividatur alterutrum reliquorum laterum, videlicet AC, in Fita, per Schol. 16. Sexti, ut sit AF ad FC, sicut M ad H. Deinde inter duas AC, AF, inveniatur media proportionalis AG, per 13. Sexti et ducatur GL parallela lateri BC. Erit factum quod petebatur. Quoniam enim ACB, AGL, similia sunt, per Coroll. 4. Sexti: erit ACB ad AGL, sicut AC ad AF, eo quod AC, AG, AF, sint tres continue proportionales, ex constructione facta. Ergo per conversionem rationis, juxta Coroll. 19. Quinti, erit ACB ad quadrilaterum GCBL, sicut est AC ad FC: et dividendo per 17. Quinti, AGL ad quadrilaterum GCBL, erit ut AF ad FC, hoc est, ut Mad H.

Corollarium.

[note: ] PAtet hinc, quomodo dividendum sit triangulum in plures partes modo dicto, nempe dividendo unum latus secundum proportionem datam, et inter quoslibet duos terminos proportionis inveniendo mediam proportionalem, et operando ut dictum,

Brevitatis causa omitto multos alios casus circa triangulorum divisiones, quas vide in Pantometro lib. 7. cap. 3. 4. et 5.

CAPUT II. De divisione parallelogrammorum, et Trapeziorum in partes datas.

[note: Geodaesia parallelogrammorum. ] PAucos tantum casus adducemus, reliqui videri possunt in Pantometro lib. 7. a cap. 6.

Propositio XIII. Parallelogrammum dividere in plures partes secundum quamlibet proportionem datam, per lineas lateribus aquidistantes.

[note: Parallelogrammorum varia divisiones quoad aream- ] SIt dividendum parallelogrammum GFCB, sive rectangulum, sive non rectangulum, in tres partes, per lineas lateribus GB, FC aequidistantes. Dividatur GF secundum proportionem datam in partes GH, HI, IF, per Schol. 10. Sexti, et ducantur rectae HD, IE, parallelae rectis [note: Vide Iconismi F. Fig. CCCIX. ] GB, FC. Factum erit quod petebatur, per 1. Sexti.

Propositio XIV. Parallelogrammum dividere in plures partes secundum rationem datam, quando nota est area ipsius.

[note: ] IN praecedenti parallelogrammo area sit 12. jugerum, sitque dividendum in tres partes ita, ut prima habeat jugera 5, secunda 4, tertia 3. Metire latera opposita GF, BC, et contineat unumquodque perticas simplices 192. Divide utrumque secundum rationem datam 5, 4, 3, utendo ter, aut bis saltem, Regula Trium, sic: Si 12 dant 192, quid dant 5? quid 4: quid 3? Invenies 80. 64, 48. Metire jam in utroque latere CF, BC, perticas 80 a G et B usque ad H et D: deinde perticas 64 ab H et D usque ad I et E. Demum duc rectas HD, IE: eritque facta diviso desiderata, per 1. Sexti.

Multos alios casus deparallelogrammorum divisione, pertractatores in Pantometro loc. cit. cap. 6. omitto.

Propositio XV. Trapezium duo latera parallela habens dividere in partes aequales, lineis a latere ad latus tractis.

[note: Geodaesia trapeziorum. ] PArallela latera opposita AB, et CD, divide in tot partes aequales, in quot dividendum est totum trapezium, et puncta correspondentia conjunge rectis lineis, eritque divisio peracta. [note: Vide Iconis. F. Fig. 310. ] Nam tria triangula EGC, FGH, BHD, et item tria CAE, GEF, HFB, inter se aequalia sunt, per 38. pri. utpote inter easdem parallelas, et super aequalibus basibus respective constituta; ergo, etc.

[note: Trapeziorum variae divisiones quoad aream. ] Si nota sit superficies trapezii in mensuris quadratis et dividenda in partes aequales, duobus lateribus parallelis existentibus: adhibenda est regula Trium semel pro latere majori, et semel pro minori, et puncta divisionis conjungenda rectis lineis. Contin eat aliquot jugera 16, debeatque dividi in tres partes ita, ut prima habeat jugera 4, secunda 5, tertia 7: sit autem latus parallelum majus perticarum 246, minus 192. Ad dividendum majus latus, dic jugera 16 dant perticas 246, quid dant 4? quid 5? quid 7? Invenies 62, 77 1/2, et reliquum pro tertia parte. Ad dividendum minus, dic jugera 16 dant perticas 192, quid dant 4? quid 5? quid 7?

Propositio XVI. Dividere trapezium duorum qui distantium laterum per lineam ab angulo protractam, in duas partes inaequales secundum propositionem datam.

[note: Vide Iconis. F. Fig. 311. ] SIt trapezium ABCD, dividendum per lineam protractam ab angulo A, secundum proportionem M ad N. Protrahatur latus BC versus C, et sumatur CF aequalis lateri AD, ducaturque recta DF. His factis, divide BF secundum proportionem M ad N, cadetque punctum divisionis vel in C, vel citra inter BC, vel ultra inter CF. Cadat primo in C, ut in prima figura, ita ut sit eadem proportio BC ad CF, quae est M ad N. Linea AC dividet trapezium secundum proportionem M ad N. Si enim ducatur AF, erit ACF aequale ipsi DCF, per 37. pri. et consequenter ipsi ACD, quod aequale est triangulo DCF, per 34. pri. Atqui ABC ad ACF, est ut BC ad CF hoc est, ut M ad N, per 1. Sexti: Ergo etiam idem ABC ad ACD erit, ut BC ad CF, seu M ad N. Cadat secundo in E, circa C, ut in secunda figura, ita ut sit eadem proportio BE ad EF, quae est M ad N. Linea AE dividet trapezium secundum proportionem M ad N. Nam ductis AC, AF, erit ut antea ACD aequale ipsi ACF: addito ergo communi AEC, erit trapezium AECD aequale triangulo AEF. Atqui ABE est ad AEF, ut BE ad EF, hoc est, ut M ad N: Ergo. etc. Cadat tertio in G, ultra C, ut in tertia fig. ita ut sit eadem proportio BG ad GF, quae est M ad N. Dico, si ex G ducatur GH, parallela lineae FD, usque dum concurrat cum CD in H, et deinde fiat recta AH: dico inquam, ABCH ad AHD esse ut M ad N. Ductis enim AC, AG, et AF, erit AHC aequale ipsi AGC, per 37. pri. quia sunt super eadem basi AC, et in eisdem parallelis ACHG: est autem et totum triangulum ACD aequale toti triangulo ACF, per eandem 37. pri. Ergo et residuum AHD erit aequale residuo AFG. Addito ergo communi ABC duobus ACH, ACG aequalibus, erit trapezium ABCH ad triangulum ADH, ut triangulum ABG ad idem triangulum ADH, hoc est ad aequale ipsi AGF. Sed proportio trianguli ABG ad AGF, est ut M ad N. ergo, etc.

Multos alios casus ad trapeziorum divisionem pertinentes, de quibus in Pantometro, omitto brevitatis causa. Serlii et aliorum errorem in divisione tabulae longae 10. ped. et latae 3[?] ad efficiendam portam longam 7. ped. et latam 4. deteximus ibidem in fine lib. 7. et iterum 3. par. in Magia Geometrica.

PARS SEXTA. De Metamorphosi seu transformatione planorum ac corporum.

[note: Metamorphosis seu transformatio planorum et corporum. ] PLanorum ac corporum metamorphosis, seu de una in aliam figuram, majoremqua aut minorem formam transmutatio, data quacunque proportione, infinitis pane modis fieri potest; ideoque infinitus hic aperiretur campus, excurrere si liceret. Quod cum voluminis angustia, qua totam Mathesin concludere statui, non per mittat, pauca attingam, ob causas supra allatas, nimirum quia Practica Geometricasine iis manca foret; et quia praxes, quae ad figurarum planarum rectilinearum auctionem ac diminutionem pertinent, tam facile, simulqua tam ingeniose Pantometri nostri subsidio peraguntur, nulla ut assignari queat figura, quae non Instrumento illo, arte sane mirabili, inata proportione minui queat, dant augmentari; praesertim si instrumenti discus latior fiat, aut si ad normam ejus fiat Quadratum majus versatile circa suum orbem, et suo cursore instructum. Vnde consequenter maximus ejusdem Instrumenti usus est in Perspectiva, cum Scenographiae, Orthographiae, atque Ichnographiae corporum quorumcunque sive regularium, sive irregularium, uti et quarumvis aliarum rerum projectura, summa facilitate delineari, augeri, et minui possint. Brevitatis tamen causa omittam praxes mechanicas per Pantometrum, et solum geometricas tradam; illas qui volet, videat lib. 8. Pantometri. Caeterum quoniam geometrica metamorphosis in planis figuris effici non potest sine inventione mediae, proportionalis inter duas rectas lineas datas, nec in solidis. nisi inter duas rectas datas duae aliae mediae proportionales reperiantur; ideo recolendae sunt quae dixin. us lib. 1. cap. 4. art. 1. Praxi 12. 13. 14. et 15. in Pautometro lib. 8. cap. 1. Lemmate 4. ex Kirchero lib. 4. Musurgiae

cap. 7. Proposit. 2. pag. 205. et 206, uti et ex Villalpando tom. 3. Par. 2. lib. 1. cap. 3. Proposit. ultima.

CAPUT I. De transformatione Triangulorum planorum rectilineorum in alias planas rectilineas figuras.

[note: Transformatio triangulorum. ] QVid, et quotuplex sit figura plana, diximus lib. 1. cap. 3. Inter alias affectiones quae iis tribuuntur, est, quod aliquae sint inter se similes, similiterque positae. Similes sunt, quae angulos singulos singulis habent aequales, et latera circum aequales angulos proportionalia, ut habet Euclides lib. 6. Elem. Definit. I. Similiter positae dicuntur, quando termini proportionales [note: Similiter positae figurae. ] simili situ respond [?], superi superis, inferi inferis, dextri dextris, sinistri sinistris, prout mox patebit ex figuris.

Propositio I. Triangulo cuicumque dato constituere aliud simile, similiterque positum, in quacumque proportione quoad latera.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 312. ] SIt dato triangulo ABC, cuicunque, constituendum aliud DEF simile, in quacunque proportione data, aut assumpta ratione laterum v. g. triplo majus. Fiat EF triplo major quam BC: deinde divaricato circino ad triplam distantiam CA, collocetur unus pes in F, altero describatur arcus occultus versus D: Demum aperto iterum circino ad triplam distantiam BA, ponatur pes unus in E, et altero describatur alius arcus occultus versus D, qui priorem intersecet. Ex puncto intersectionis D ducantur DE, DF, eritque DEF simile priori, et latera singula erunt triplo majora singulis illius. Ratio pendet ex 22. et 23. primi Euclidis. Simili modo fiet ABC aequale, aut majus: minusve, quam DEF, in quacunque proportione. Quomodo idem fieri facillime queat Pantometro, docemus ibi lib. 8. cap. 2. Problem. 1.

Propositio II. Triangulo cuicumque dato constituere aliud simile, similiterque positum, sub quavis proportione quoad superficiem.

[note: ] SIt datum triangulum quodcunque DEF praecedentis figurae, cui simile similiterque positum sit describendi minus ABC, secundum proportionem H ad G, aut aliam quam cunque. Tribus rectis GH, EF (vel etiam DE, aut DF) inveniatur quarta proportionalis I, per 12. Sexti. Deinde duabus EF, et I, inveniatur media proportionalis BC, per 13. Sexti. Tandem super recta BC fiat angulus ABC, aequalis angulo DEF: et ducantur rectae BA, CA, quae intersecabunt se in A (quoniam duo anguli B et C minores sunt duobus rectis, ut ex 32 pri. colligitur) et constituent triangulum ABC, simile similiterque positum triangulo DEF, sed minus secundum proportionem G ad H. Simile quidem, quia per constructionem, et per 32. pri. singuli anguli hujus sunt aequales singulis angulis illius, et per 4. Sexti, latera circa aequales angulos proportionalia. Similiter positum, ex constructione facta. Minus secundum proportionem datam, per 19. et 20. Sexti. Eodem prorsus modo constituetur majus secundum proportionem datam. Pantometro quomodo idem fiat, docemus loco proxime citato.

Corollarium.

[note: ] PAtet hinc, quomodo quodcunque triangulum sit duplicandum, triplicandum, etc. aut subduplicandum, subtriplicandum, etc. servata eadem similitudine. Si enim proportio G ad H sumatur ut 2 ad 1, vel 3 ad 1, etc. aut ut 1 ad 2, ut 1 ad 3, ut 1 ad 4, etc. Et reliqua perficiantur ut dictum: habebitur triangulum simile, similiterque positum, quod si trianguli dati duplum, triplum, etc. subduplum, subtriplum, etc.

Propositio III. Dato triangulo aquale parallelogrammum rectangulum, et non rectangulum facere.

[note: Vide Iconis. F. Fig. 313. ] DAto triangulo cuicunque ABC (quod dico de hoc, de omnibus intelligendum est) constituendum sit primo parallelogrammum rectangulum aequale. Fiat rectangulum BA, cujus unum latus sit aequale semissi basis trianguli, alterum altitudini ejusdem, et habebis quod quaeris Sit secundo eidem constituendum parallelogrammum non rectangulum. Fiat parallelogrammum BF, cujus unum latus sit aequale et parallelum lateri BA: habebis intentum. Ratio fundatur in 41. primi Euclidis.

Propositio IV. Dato triangulo cuicumque constituere aequale quadratum.

[note: ] REduc triangulum ad parallelogrammum rectangulum aequale, per praecedentem Propositionem: et huic constitue quadratum aequale, per Proposit. 10 sequentem, et habebis intentum. Aliter. Inter altitudinem trianguli dati, et dimidiam ejus basim, quaere mediam proportionalem, per 13. Sexti, et super hac constitue quadratum, per 47. primi.

Propositio V. Duabus triangulis, seu aequalibus, seu inaqualibus, similibus tamen, invenire aliud triangulum simile aequale.

[note: Vide Iconis. F. Fig. 314. ] A et B sint similia, oporteatque invenire K illis aequale et simile. Conjungantur bases CD, ut efficiant angulum rectum CDE, ducaturque recta CE: super qua constituatur triangulum K simile prioribus, per Proposit. 1. et 2. praecedentem. Dico, hoc ess aequale illis, per 31. Sexti.

Propositio VI. Triangulum dato quadrato aequale constituere: item dato parallelogrammo, seu rectangulo, seu non rectangulo.

[note: Vide Iconis. F. Fig. 315. ] QVadrato ABCD sit constituendum aequale triangulum. Ducatur DB diagonalis, et ipsi parallela AE, secans latus CD productum in E, ducaturque recta BE. Dico, triangulum BCE esse aequale quadrato dato. Nam triangulum m estiaequale triangulo n, per 26. et 4 primi. In praxi fiat ED aequale ipsi DC, et ducatur recta BE.

Si ABCD parallelogrammum foret, sive rectangulum, sive non rectangulum, eodem modo procedendum foret: nam semper triangulum BCE aequale erit parallelogrammo, propter rationem dictam.

Propositio VII. Datis quotcumque triangulis aequale triangulum constituere.

[note: ] TRiangulis fiant aequalia parallelogramma, per 3. hujus: parallelogrammis aequalia quadrata, per 4. hujus: quadratis omnibus unum quadratum aequale, per 11. sequentem: quadrato ultimo aequale triangulum, per 6. huius.

Propositio VIII. Triangulum rectangulum dato circulo aequale quam proxime constituere.

[note: Vide Iconis. E. Fig. 291. ] FIat angulus rectus ABC per 11. pri. et BA fiat aequalis semidiametro circuli, BC aequalis triplo et sesquiseptimo (hoc est, uni septimae) diametri BD, et ducatur AC. Erit ABC aequale circulo quam proxime. Ratio patet ex dictis par. 2. huius libri Proposit. 7. Est etiam triangulum rectangulum DBE, ex diametro DB et dimidia totius BC, aequale circulo dato.

CAPUT II. De transmutatione quadrangulorum, et aliarum figurarum planarum, in alias figuras planas.

[note: Transformatio quadrangulorum. ] Qvadrangula sunt omnia parallelogramma, et trapezia, quorum definitiones dedimus lib. 1. cap. 3.

Propositio IX. Quadrangulo quocumque dato describere aliud simile, vel aequale, vel quoad singula latera maius aut minus, in qualibet proportione.

QVadrato ABCD constituetur quadratum simile, secundum quamcunque proportionem, si super rectam AB in data proportione excedente fiat quadratum, per 46. pri.

Oblongo ACED constituetur aliud simile similiterque positum, secundum proportionem quamcunque, si AC, AD secundum datam proportionem auctas conjunxeris ad angulum rectum A, et rectangulum perfeceris.

Rhombo ABDC constitues similem majorem aut minorem, si rectas AB, AC, auctas vel diminutas, composueris ad angulum A aequalem, et rhombum perfeceris. Eodem modo constitues rhomboidi similem majorem aut minorem.

[note: Vide Iconismi E. Fig. 290. ] Trapezio cuicunque ABCD constituetur aliud aequale, aut minus, aut majus, si ducas in dato trapezio rectam AC, et constituas duo triangula conjuncta, et duobus ABC, ACD similia similiterque posita aequalia, aut majora, aut minora, secundum proportionem datam, per 1. Proposit. hujus.

[note: Vide Iconismi F. Fig. XXI. ] Si quadrangulo dato vis constituere aliud simile majus aut minus quoad aream, operare modo simili dicto supra proposit. 2. Sit quadratum lateris CD (quod dico de quadrato, de quovis Parallelogrammo intelligendum est) cui construendum sit majus secundum proportionem K ad I. Tribus lineis I, K, et CD, inveniatur quarta proportionalis L, ad quam nimirum se habet CD, ut I ad K. Deinde inter CD, et L, reperiatur media proportionalis GH, supra quam constituatur quadratum. Erit hoc majus priori secundum proportionem datam. Simili modo constituetur quadrato GH aliud simile minus CD, secundum proportionem I ad K. Eodem prorsus modo operandum est in augendo et diminuendo rhombo. In oblongo, et rhomboide, supra mediam proportionalem inventam erigendum est latus in angulo aequali, quod ad mediam illam proportionalem habeat rationem lateris homologi ad latus homologum mediae proportionali inventae. Vide quae dicimus in in Pantometro lib. 8. cap. 3. Problem. 2. et 3.

Propositio X. Parallelogrammo rectangulo, et non rectangulo, aequale quadratum constituere.

[note: ] QVoad rectangulum parallelogrammum, inveniatur inter ejus basin et altitudinem media proportionalis, per 13. Sexti, nam quod super ea fiet quadratum, aequale erit dato parallelogrammo, per 17. Sexti. Vel, fiat rectangulo aequale quadratum, per ult. Secundi.

Quoad non rectangulum, ducatur a quovis ejus angulo ad basin perpendicularis, et inter perpendicularem ac basin inveniatur media proportionalis: ejus enim quadratum aequale erit dato parallelogrammo, per eand. 17. Sexti. Vel operare ut in ult. secund, lib. Euclid.

Propositio XI. Datis duobus, aut pluribus quadratis, parallelogrammis, et rectilineis quibuscunque, invenire quadratum unum illis aequale.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 316. ] quorum latera sint AB, BC: sitque inveniendum quadratum unum duobus simul aequale. Conjungatur AB, BC, ad angulum rectum B, et ducatur recta AC. Erit haec latus quadrati utrique dato aequalis, per 47. pri. Si adsit tertium quadratum AD, et omnibus tribus inveniendum sit unum aequale, faciat AD cum AC angulum rectum A, et ducatur hypothenusa DC: eritque haec latus quadrati omnibus aequalis. Si adsit quartum DE, faciat DE cum DC angulum rectum D, et ducatur EC: erit que hujus quadratum aequale omnibus quatuor. Si quintum EF adsit, faciat EF cum EC angulum rectum eritque hypothenusa FC latus quadrati omnibus quinque aequale, etc. Ratio sundatur in 47. pri.

Si pluribus rectangulis aut non rectangulis parallelogrammis constituendum sit aequale quadratum, reducantur parallelogramma ad quadrata, per praecedentem, et his constituatur unum quadratum aequale, per praesentem

Si rectilineis quibuscunque et quotcunque faciendum sit aequale quadratum, resolvantur rectilineain triangula: haec in paralielogramma, per 3. huius: et haec tandem in unum quadratum, per 10. huius.

Propositio XII. Polygono cuicumque dato describere aliud simile similiterque positum, maius vel minus, in quacumque proportione quoad latera.

[note: Transformatio polygonorum ] SIt dato polygono rectilineo AFGHI, describendum aliud simile similiterque positum majus aut minus, in quacunque proportione, v. g. AB ad AF. Produc AF, AI (si majus fieri debeat polygonum) et ex A per omnes angulos duc rectas AC, AD, etc. Deinde ex AF abscinde [note: Vide Iconismi F. Fig. 317. ] AB aequales datis rectis AB. Tandem duc rectas AC, CD, DE, parallelas lateribus FG, GH, HI, Demonstratio patet ex 29. pri. ex 4. Sexti, et ex ipsa constructione.

Propositio XIII. Date circulo aequale triangulum, rectangulum, et quadratum quam proxime, invenire.

[note: Transformatio circulorum. ] TRiangulum habebis, si circuli semidiametrum et rectam peripheriae aequalem conjunxeris ad angulum rectum, et subtenderis hypothenusam, ut diximus supra par. 2. proposit. 7.

Quadratum habebis primo, si circulo constitues aequale triangulum rectangulum, per modo dicta: et aequale parallelogrammum, per 3. huius, et huic aequale quadratum, per 10. huius. Secundo, si dividas diametrum circuli in 14 partes aequales, et ex undecima excites perpendicularem usque ad circumferentiam: recta enim ducta a principio diametri ad punctum, in quo praedicta perpendicularis secat circumferentiam, erit latus quadrati circulo aequalis. Demonstratio fundatur in eo quod supra par. 2. Propositio. 8. docuimus, nimirum quadratum diametri ad circulum habere ferme proportionem, quam 14 ad 11. Tertio, si inter semidiametrum et semiperipheriam invenias mediam proportionalem: quadratum enim hujus est circulo aequale proxime. Ratio est, quia rectangulum sub semidiametro et semiperipheria est aequale circulo, ut diximus par. 2. proposit. 7. Et quadratum mediae proportionalis inter duo dicti rectanguli latera angulum rectum comprehendentia est aequale eidem rectangulo, per 17. Sexti.

Propositio XIV. Dato quadrato constituere circulum quam prexime aequalem.

[note: ] IN quadrato dato ducantur diametri AD, BC, secantes se in E: latus AB dividatur in partes septem aequales: una septima transferatur a B in F: centro E ad intervallum EF fiat circulus. Erit hic proxime aequalis quadrato. Aliam praxim cum demonstratione vide in Pantemetro lib. 8. cap. 1. Problem. 1. Circulum cuicunque rectilineo aequalem constitues, si rectilineo facias aequale quadratum, per 10. huius: quadrato circulum per praxin praecedentem. Eo modo constituetur circulus aequalis parallelogrammo, si hoc vertatur prius in quaddratum per 19. hujus.

Propositio XV. Pluribus circulis datis describere unum aequalem.

[note: ] COnverte singulos in singula quadrata, per 13. huius, et omnibus quadratis fac unum quadratum aequale, per 11. huius: huic quadrato circulum aequalem, per 14. huius.

Propositio XVI. Circulum in quavis proportione data augere, vel minuere.

[note: Circulum augere vel minuere. ] CUm circuli inter se sint, ut a diametris descripta quadrata, per 2. Duodec. circulos datos non aliter augebimus, vel minuemus, quam ipsa diametrorum quadrata. Sit itaque datus circulus ad diametrum AB descriptus, oporteatque alium facere, ad quem datus rationem habeat [note: Vide Iconismi F. Fig. XXII. ] quam D ad E. Tribus lineis D, E, AB, inveniatur quarta proportionalis F. per 12. Sexti Deinde inter AB, et F, inquiratur media proportionalis GH, per 13. Sexti. Circulus circa diametrum GH descriptus, erit is qui quaeritur. Simili ratione minuetur circulus.

Propositio XVII. Circulum duplicare, triplicare, vel quavis proportione aequali augere, aut minuere.

[note: Vide Iconismi F. Fig. 318. ] ECentro A descriptus sit circulus BC, qui sit duplicandus, triplicandus etc. BC transferatur ex A in D: circulus ad semidiametrum AD descriptus,

erit duplus priori. Iterum BD transferatur ex A in E: circulus ad semidiametrum AE erit triplus primi. Si BE ex A transferatur in F, et BF in G, et BG in H, etc. erit circulus semidiametri BF quadruplus, AG quincuplus primi, etc. Ratio est quia circuli inter se sunt, ut a diametris quadrata, per 2. Duodec. et consequenter ut a semidiametris quadrata: sed quadratum BC, seu AD duplum est quadrati AC: et quadratum BD, seu AE triplum quadrati AD, etc. per 47. pri: Ergo etc. Simili modo minuentur circuli.

CPUT III. De transumatione [perhaps: transmutatione] figurarum solidarum in alias figuras solidas.

[note: Transformatio figurarum solidarum. ] AGemus primo loco de solidis invicem transmutandia, tum de iisdem augendis, ac minuendis, sed breviter. Plura qui volet, adeat Pantometri librum 8. cap. 6.

Propositio XVIII. Datum cylindrum in parallelepipedum aequale eiusdem altitudinis convertere et vicissim.

[note: ] BAsi circulari CF cylindri fiat aequale quadratum DB, per 13. hujus: erectisque super DB ad angulos rectos planis, fiat parallelepipedum DG, habens eandem altitudiuem cum

dato cylindro CE: eritque factum quod quaeritur. Contrario modo datum parallelepipedum facies aequale cylindro ejusdem altitudinis. Ratio est, quia basis CF est aequalis basi DB, et altitudo CD altitudini BG, ex suppositione: et vicissim: cum ergo tam cylindrus, quam parallelepipedum, producatur ex ductu basis in altitudinem, ut constat ex dictis supra par. 3. Proposit. 1. et 3. patet propositum.

Propositio XIX. Dato cono aequalem pyramidem eiusdem altitudinis constituere: et vicissim.

[note: ] COnus ADC sit convertendus in pyramidem cbe, quotcunque laterum. Fiat planum rectilineum, sive triangulum sit, sive quadratum, sive multangulum aequale basi CBD coni dati, per 13. praecedentem, et super rectilineum illud construatur pyramis ejusdem cum cono altitudinis: et habebis quod quaeritur. Si pyramis convertenda in conum est, fac circulum aequalem basi pyramidis, et super circulum construe conum ejusdem cum pyramide altitudinis. Ratio est, quia ex ductu basis CBD in altitudinem BA producitur

cylindrus, cujus tertia pars est conus ADC: ex ductu item basis abcd in altitudinem ef producitur praedicto cylindro aequale parallelepipedum, cujus tertia pars est pyramis cbe, ut diximns supra par 3. Proposit. 4.

Propositio XX. Dato prismati, vel cylindro, aequalem sub eadem altitudine pyramidem vel conum construere: et e converso.

[note: ] BAsis prismatis vel cylindri dati triplicetur, hoc est, sub ratione tripla augeatur, per 12. et 18. hujus, et super basi triplicata exstruatur pyramis vel conus, ad altitudinem prismatis, vel cylindri: et factum erit quod in prima parte petitur. Vice versa, si pyramis, vel conus, in aequale prisma, vel cylindrum, ejusdem tamen cum pyramide vel cono altitudinis, transmutandi sunt, minue basin pyrarmidis vel coni dati, sub ratione tripla, et super ipsam erige prisma, vel cylindrum, ad pyramidis, vel cylindri altitudinem. Ratio est, quia in primo casu consurgit prisma triplo majus priori prismate, et cylinder triplo major priori cylindro, per 6. et 11. Duodec. Cum ergo pyramis et conus supratriplicatas illas bases constructi, sint tertia pars dicti prismatis et cylindri triplicati, per Coroll. 7. Duodec. et per 10. ejusdem: erunt ii aequales priori prismati et cylindro, per 9. Quinti. Contrariaratio est secundi casus.

Corollarium.

[note: ] PAtet hinc, quamlibet pyramidem et conum, item quodlibet prisma et cylindrum, posse mutari in parallelepipedum rectangulum, cujus basis sit quadrata. Nam si pyramis, conus, cylinder in prisma qualecunque mutentur, et quadratum ejusdem prismatis basi aequale construatur, et super illud in eadem altitudine parallelepipedum rectangulum exstruatur: erit hoc prismati, ac proinde pyramidi, cono, cylindro dato aequale, per 2. Coroll. 7. Duodec.

Propositio XXI. Datum cylindrum, vel prisma: similiter datum conum, vel pyramidem, cuiuscumque altitudinis, in aequalem cylindrum, etc. sub data qualibet alia altitudine, et supra basin quotcumque angulorum, revocare.

[note: ] IN proportione quam data altitudo habet ad altitudinem propositi solidi, augeatur vel minuatur

basis ejus dem solidi, per ea quae diximus in praecedentibus. Nam solidum supra hanc basin auctam vel diminutam extructum secundum datam altitudinem, erit id quod quaeritur: erit enim aequale dato solido, per 9. et 11. Duodec. quandoquidem altitudines cum basibus reciprocae sunt. Quod si basi constructi solidi fiat aequalis basis quotcunque angulorum, et supra eam construatur solidum sub data altitudine; erit hoc etiam proposito solido aequale.

Propositio XXII. Dato parallelepipedo, cylindro, cono, pyramidi, aequalem cubum constituere.

[note: ] SI parallelepipedum habet basin quadratam, inveniantur duae mediae proportionales (per dicta lib. 1. cap. 4. a. 1. Praxi 15.) inter parallelepipedi dati altitudinem, et basis quadratae latus; atque ex ea media proportionali, quae eidem basi vicinior fuerit, fiat cubus; eritque hic parallelepipedo dato aequalis. Si vero non habet basim quadraram, sed oblongam; converte eam in quadratam, per 10. hujus: deinde inter altitudinem dati parallelepipedi, et latus quadrati inventi, quaere duas proportionales: tandem ex ea media proportionali, quae vicinior est lateri quadrati inventi, cubus construatur; qui erit dato parallelipipedo aequalis. Exemplum cum schemate, et demonstrationem vide in Pantometro lib. 8, cap. 6. Probl. 5.

II. Si dato cylindro fiat aequale parallelepipedum, per 18. hujus; et parallelepipedo facto aequalis cubus, per praxin praecedentem; erit hic aequalis cylindro dato.

III. Si cono et pyramidi siat aequale parallelepipedum, per Coroll. 20. hujus; et parallelepipedo aequalis cubus; erit hic aequalis cono vel pyramidi.

Brevitatis causâ omitto multa huc spectantia, quae in Pantometro pertractavi, et docui, ut quomodo dato cubo [?] alle lepipedum rectangulum aut non rectang [?] construedum in data altitudine, vel supra[?] aliaque similia multa.

Propositio XXIII. Datae sphaerae aequalem cubum construere.

[note: Vide Iconismi F. Fig. XXIII. ] DIameter datae sphaerae sit A, circa quam circulus in data sphaera maximus describatur, eique inveniatur aequale quadratum, per 13. hujus, cujus latus sit B; accipiaturque linea C aequalis duabus tertiis diametri A; atque inter B et C inveniantur duae mediae proportionales, D et E, ac super D describatur cubus. Erit hic aequalis sphaerae datae Demonstrationem vide in Pantometro lib. 8. cap. 6. Problem. 11.

Aliter Archimedes lib. 1. de sphaera et cylindro proposit. 32. demonstrat, Sphaeram esse quadruplam coni, cujus basis est maximusipsius sphaerae circulus, altitudo vero ejusdem sphaerae semidiameter. Circulus ergo maximus sphaerae datae augeatur in quadrupla proportione, per 16. hujus, et super eum erigatur conus ad altitudinem semidiame trisphaerae; erit hic aequalis sphaerae datea: conus vertatur in cubum per 22. hujus, et habebitur intentum.

Propositio XXIV. Dato cubo aequalem sphaeram invenire.

[note: Vide Iconismi. F. Fig. XXIV. ] LAtus cubi datisit A. Intelligatur sphaera cujus diameter sit aequalis lateri A, eique inveniatur aequalis cubus, per praecedentem, cujus latus sit C; et fiat ut C latus cubi ad diametrum A ipsius spaehrae, ita ipsum latus A dati cubi ad D. Erit sphaera circa diametrum D descripta, aequalis cubo dato. Demonstrationem vide loc. cit. Problema. 12

Multa alia cit. lo. cap. 6. tradita circa solidorum transmutationem, augmentationem, diminutionem omitto, breviratis causa.

Propositio XXV. Solidum quodcumque augere, vel minuere in proportione data [orig: datâ], arithmetice:

QVoniam in praxi difficilis est metamorphosis geometrica solidorum hactenus explicata, placuit eadem arithmetice tradere, quae longe facilior est. Propositum itaque sit

I. Cubum datum duplicare, triplicare, etc, Inquire cubi dati soliditatem in mensura solida nota, v. g. in pedibus, eamque duplica, triplica, etc. et ex producto extrahe radicem cubicam; erit ea latus cubi duplicandi, triplicandi, etc. Detur cubus, cujus latus sit 8 pedum simplicium, et consequenter soliditas 512: hunc numerum duplica; triplica, etc. numerus triplicatus erit 1536; cujus radix cubica 11. 5. 3. est latus cubi triplicati.

[note: Vide Iconismi F. Fig. XXV] II. Parallelepipedum oblongnio augere vel minuere in proportione data. Sit parallelepipedum, cujus basis quadratae latus sit CD 4 perticarum, sitque augendum secundum proportionem E 6 ad F 8 perticarum. Quaere per regulam Trium quartam proportionalem C 5 1/3 pert. et per ultimum art. part. I. Arithm. nostrae inveniatur prior duarum mediarum proportionalium inter dictas extremas CD4, et G 5 1/3 scilicet linea H 4 pert. 4. ped. 6. dig. Erit haec latus basis quadratae, supra quam constitutum parallelepipedum simile similiterque positum priori, habebit ad ipsum proportionem datam.

III. Datis duobus solidis similibus, tertium simile proportionale constituere. In datis solidis homologa latera sint 4 et 6. His inveniatur tertius numerus proportionalis, per ultimum art. lo. cit. 9. Latus itaque prioribus homologum erit 9; ad quod si constituatur solidum simile similiterque positum prioribus, habebitur quaesitum.

IV. Dato prismati aequale prisma facere in data, altitudine. Basis prismatis, quaesiti ad basim prismatis dati fiat, ut altitudo prismatis dati ad altitudinem datam, et super basim constituatur prisma ad datam altitudinem. Ut, basis prismatis dati sit 12, altitudo 6, quaesiti vero prismatis altitudo sit 12. Fiat ut 6. ad 12, ita 12 ad aliud, nimirum ad 24. Super hanc basin construatur prisma ad altitudinem 12, et erit factum quod quaeritur. Simili ratione proceditur in pyramidibus, et conis

V. Super datam basim rectilineam prisma datae pyramidi aequale, constituere. Fiat ur basis data ad basim pyramidis darae, ita triens altitudinis ejusdem ad aliud. Invenies altitudinem, ad quam si construas prisma super datam basim, habebis intentum. Ut, basis data sit 8, pyramidis basis 12. ejusque altritudo 6. fiat, ut 8 ad 12, ita 2. ad aliud, nempe ad 3. Itaque prisma constirutum ad altitudinem 3, supra basim 8, erit quod quaeritur.

VI. Dato prismati cubum aequalem constituere. Latus quadratae basis prismatis dati sit 6, altitudo 48. Inveniantur duo medit continue proportionales inter 6 et 48, per art ultim. lo. cit. qui sunt 12, et 24. Cubus a latere 12 descriptus aequabitur prismati dato.

VII. Datae fphae ae aequalem cylindrum constituere. Supra basim aequalem circulo maximo sphaerae datae construc cylindrum ad 2/3 altitudinis axis sphaerae, seu diametri illius, et habebis quaesitum. Ut, axis sphaerae datae sit I:, ejusdem 2/3 sint 10. cylindrus ad altitudinem 10, super circulum aequalem maximo circulo sphaerae constructus, satisfacit quaesito.

VIII Sphaerae datae cubum aequalem facere. Quoad soliditatis sphaerae latus cubicum satisfaciet quaesito, quando ex eo cubus fit.

IX. Duobus aut pluribus cubis, unum cubum aequalem facere. Cubos datos collige in unam summam, numeri producti radix cubica erit latus cubi quaesiti. Eodem modo invenies cubum aequalem qui buscunque solidis.

X. Dato cubo corpus regulare aequale constituere. Latus cubi divide in 1000 talium partium 2039. dant latus tetraedri, 1285 latus octoedri, 770 icosaedri, 507 dodecaedri, 1239. sphaerae. Itaque qualium latus cubi

VI. Quodvis corpus regulares in aliud, aut in sphaeram transmutare. Sit latus cubi dati 12, et quaeratur sphaera cubo aequalis. Fiat ut 1000 ad 1239, ita 12 ad aliud. Iterum, sit sphaerae axis seu diameter 15, et construendum sit octoêdrum sphaerae aequale. Fiat ut 1239 ad 1285, ita 15 ad aliud. Simili ratione in aliis procedes.

XII. Duabus, aut pluribus sphaeris unam sphaeram aequalem efficere. Propositis sphaeris fiant aequales totidem cubi, per num. VIII. et omnibus cubis fiat aequalis unus cubus, per num. IX. tandem huic fiat sphaera aequalis, per 23. hujus.

PARS VII. De Ichnographia, seu plantarum delineationibus, et locorum planorum descriptionibus.

[note: Ichnographia seu plantarum delineatio. ] IChnographia, sic dicta ab [gap: Greek word(s)] , quod vestigium seuplantam, [gap: Greek word(s)] quod descriptionem significat, est descriptio seu delineatio superficierum secundum latera, angulos, et omnem situm ac formam, quam urbs, domus, aliave quaevis res superficiei insistens eidem velut imprimit, et remotâ urbe, domo, etc. impressam relinquit; ad eum modum, quo hominis planta terrae insistens imprimit eidem vestigium seu figuram plantae, eamque remota a terra impressam relinquit. Haec igitur ichnographia, seu plantarum delineatio, et locorum quorumvis planorum (sive ab insistentibus corporibus occupentur, sive non) descriptio, pars non est ultima Geometriae practicae. De ea igitur hoc loco agendum. Et quamvis hujusmodi plantarum delineationes, locorumque planorum descriptiones, fieri ex parte ettam possint Quadrato, et Qradrante; longe tamen facilius et accur atius fiunt Pantometro nostro. Ideo ejus in hac re usum paulo fusius hic tradere placuit, eodem ordine quo in Pantometri libro 4. id fecimus. Trademus igitur primo modum deline andi in charta plantam seu situm hortorum, camporum, urbium, domorum, lacuum, subterr aneorum locorum, regionum integrarum, sylvarum, et similium locorum: secundo modum haec eadem, et praecipue fortalitia seu munitiones in charta descriptas, delineandi in campo, cum omnibus suis proportionibus, lateribus, angulis, et similibus. Ope Pantometri olim P. Kircherus totam regionim montanam (Die Bergstrassen) a Moguntino districtu Heydelbergam usque, jussu Eminentissimi Archiepiscopi, Moguntini Ioannis Suicardi, graphice et aocuratissime delineavit.

Propositio I. Situm alicuius horti, campi, artrii [perhaps: atrii], etc. delineare in charta, seu Topographiam eius ope Pantometri perficere.

[note: Topographiam locorum per- aficere. ] TOpograhia est descriptio locorum particularium, ut sunt sylvae, campi, horti, urbes, castella. Sit delineandus hortus CDEFGHIKLM. Pone in omnibus angulis, nempe in C, in D, in E, etc. palos ad horizontem rectos, aliave signa, [note: Vide Iconismi III. Fig. 319. ] et elige in inso horto duo loca, v g. A et B, ex quibus pali positi videri possint: sintque loca A et B distantia inter se v. g. 100 pedibus. His constitutis, colloca primo Instrumentum supra pedem suum accommodatum in loco A; et directâ Regulâ dioptricâ versus B, pone Cursorem supra punctum A chartae Instrumento superpositae, et duc lineam AB in charta. Deinde immoto manente pede Instrumenti cum suo Orbe, et moto solum Quadrato circa Orbem, per ejusdem Regulae dioptras observa omnes palos positos, et juxta Cursorem puncto A applicatum duc lineas AC, AD, AE, AF, AG. AH, AI, AK, AL, AM. His factis, relicto signo in loco B, perge ad locum B, et in linea AB Instrumenti ex A versus B numera 100 particulas usque ad B, et ope magneticae pyxidis colloca Instrumentum ut antea, it tamen ut puctum B Instrumenti respondeat loco B, et punctum A Instrumenti respiciat locum A. Vel potius, posiro Cursore supra lineam BA Instrumenti, dirige Regulam dioptricam

in locum A; illo enim per dioptras viso, signum est Instrumentum esse collocatum ut antea, dummodo B Instrumenti respondeat loco B. Post haec dirige Regulam dioptricam rursus ad omnes palos; et posito Cursore semper supra punctum B, duc lineas BC, BD, BE, BF, BG, BH, BI, BK, BL, BM; quae linea ubi secant lineas ex puncto A chartae ductas, ibi sunt anguli respondentes angulis horti. Si jam intersectiones illas in charta Instrumenti factas conjunxeris lineis rectis CD, DE, EF, FG, GH, etc. erit hortus in charta descriptus secundum omnem suum situm. Si praeterea inquiras quot particulae, aequales particulis lineae AB, contineantur in singulis lineis CD, DE, EF, etc, habebis totum ambitum horti, et omnes ipsius distantias, in pedibus.

Demonstrationem vide in Pantometro lib. 4. Problem. 1. quae sundatur in 4. Sexti Euclid. propter triangula similia realia in Instrumento, et imaginaria in horto. Si charta Instrumenti est nimis parva, ut non possit recipere linearum intersectiones; vel imponatur Instrumento asser longior ac latior cum charta; vel delineatione factâ imponatur charta Instrumenti chartae majori, et lineae producantur donec intersecent sese, et puncta intersectionis conjungantur.

Propositio II. Ichnographiam urbium Instrumenta Pantometro perficere.

[note: Ichnographiam urbium perficere. ] ELige in ipsa urbe, aut in ejus extremis finibus; duo loca eminentiora, ex quibus totum urbis situm, et omnia ejus loca ac angulos conspicere possis. Inquire horum duorum locorum distantiam inter se quam exactissime in passibus v. g. ex utroque operarce modo dicto; et habebis intentum. Ratio est eadem. Si ex solis duobus locis urbis non possunt conspici omnia ejus loca, describe ex duobus primo electis ea quae potes; deinde elige alia duo, vel saltem alium ab alterutro priorum dissitum, et ex illis describe quod potes; postea alia, donec totam perfeceris ichnographiam. Possunt etiam assumi duo loca extra urbem sita; sed commodius est si intra assumantur. Si urbs multos habet angulos, aut multorum locorum in ipsa sit observandus situs et distantia ab invicem; adscribe lineis ex primo loco observationis ductis nomina angu lorum et locorum, ad quae tendunt lineae, ne error committatur. Habet hoc commodi Instrumetum nostrum, ut loca etiam vicina stationibus electis, et quantumvis depressa, possint per dioptras Regulae; observari, quod in aliis Instrumentis non fit.

Propositio III. Aliter ichnographice delineare urbes Pantometro.

[note: Vide Iconismi III. Fig. 320. ] COlloca Instrumentum magnetice, hoc est, ita ut acus magnetica incumbat lineae meridianae pyxidis, ad portam A, et per dioptras Regulae respice totam plateam AHFK, item plateam AN, et plateam AQ: et juxta Cursoris supra punctum A chartae semper jacentis latus duc in charta rectas lineas AHFK, N, A et AQ Deinde metire accurate in pedibus aut passibus distantias AH, AN, AQ et in lineas charrae his plateis respondentes transfer, ab A chartae incipiendo, tot particulas Cursoris, quot pedes aut passus invenisti inter AH, AN, AQ platearum. His factis, transfer Instrumentum in H, eoque magnetice ut antea situato, dirige Regulam versus P, et versus R, et juxta latus Cursoris duc rectas HP, HR; et metire distantias HP, HR platearum, atque in lineas HP, HR chartae transfer, a puncto Hincipiendo, tot particulas, quot pedes aut passus invenisti in HP, HR platearum; deinde puncta P et N, R et Q, notata in charta, conjunge lineis rectis PN, et RQ. His etiam factis, transfer Instrumentum in F, deinde in K, deinde in alia loca, et operare ut ut dictum. Operatione peractâ habebis ichnographiam situs urbis, id est, figuram in charta, similem figurae in planitie, quoad angulos, et platearum numerum, longitudinem, flexum etc. Ratio est, quia ex operatione facta, omnes anguli in chartae figura junt aequales omnibus angulis figurae prototypae, et latera lateribus proportionalia; ergo, etc.

Propositio IV. Chorographicas descriptiones Pantometro perficere.

[note: Chorographiam locorum perficere. ] CHorographia est descriptio provinciarum regionum, regnorum, etc. Sit igitur regionis praesentis situs delineandus, ita ut omnia loca suum debitum situm, et proportionatam distantiam habeant. Selige duas stationes, S et T, [note: Vide Iconismi III. Fig. 321. ] ex quibus totius regionis circuitus conspici possit, aut saltem magna ejus pars. Sint autem stationes istae in montibus, turribus, aut aliis locis editioribus. Deinde Instrumento magnetice situato in S, gyratâque dioptrali Regulâ versus T alteram stationem, duc in charta juxta Cursoris situm lineam ST. His peractis, gyra Regulam ad singula loca A, B, C, V, F; et posito Cursore super eodem semper puncto S chartae, trahe juxta ipsius situm et latus ex puncto S lineas per totam chartae longitudinem, SA, SB, SC, SV, SF, adscriptis nominibus singulorum locorum, ne inter se confun dantur. His etiam peractis, metire spatium inter duas stationes S et T, transferque Instrumentum ad alteram stationem T, et iterum magneticesitua, ita ut linea ST chartae directe jaceat supra lineam ST stationum, et T chartae respondeat T loco, S vero chartae respiciat S locum. Deinde in linea ST chartae, ab S versus T, determina tot particullas, quot pedes aut passus, invenisti inter dictas duas stationes S et T, finemque particularum nota signo T in charta. Posthaec gyra Regulam dioptricam per singula memorata loca A, B, C, V, F; et posito Cursore supra punctum T, duc juxta ipsius situm et latus ex puncto T lineas TA, TB, TC, TV, TF; et nota ubi hae lineae concurrant cum lineis ex S eductis: concursus enim singularum duarum linearum in eundem locum tendentium dabunt veram et genuinam loci cujusque positionem; particulae vero earundem linearum a puncto ad punctum intersectionis dabunt distantiam locorum ab invicem, et a locis stationum, aut in pedibus, aut in passibus. Ratio est eadem quae in praecdentibus. Factâ descriptione ex duobus locis electis, eligantur alia duo, et eo dem modo procedatur, donec descripta sit tota regio. Sed in hoc casu vel assumenda

est major charta cum assere Instrumento imposito, vel paulatim adjungenda est alia charta. Huic tamen incommodo occurritur sequenti praxi.

Propositio V. Aliter, et novo modo, tam Topographicas, quam Chorographicas descriptiones Pantametro perficere.

MOdi hactenus enumerari topographicas et chorographicas desc riptiones perficiendi, sunt communes quorundam aliis aliorum Instrumentis; sequens est omnino novus, et nostro Instrumento peculiaris, excogitatus a R. P. Ioanne Zieglero e Societate nostra, et ad perfectionem deductus a P. Athansio Kirchero, ac saepe in praxin redactus variis in locis in Germania, Gallia, et Italia.

[note: Vide Iconismi III. Fig. 322. ] Sit igitur sylva, aut regio quaepiam, qualem sequens schema repraefentat, cujusque singulos limites appositae littera; indicant, delineanda. In promptu habeas multas chartas quadratas cavitati quadratae Orbis Pantometri insertas, ut uni lineis referrae aliam substituas. Has omnes chartulas signabis n aliquo latere signo hoc, [gap: Greek word(s)] [note: Vide Iconismi. III. Fig. 323. ] quod quatuor plagarum Mundi situm ostendit; cui adjunges numerum folii hoc modo, n. 1. 2. 3. 4. etc. prout figura monstrat. Has chartas instrumenti quadrato concavo, tabellâ quadrato repleto, ita inseres, velpotius tabellae quadrato insertae adglutinabis, unam post alteram, ut latus cui signum acus seu sagittae magneticae adpictum est, semper in Septentrionalem plagam, quam magnetica acus pyxidi inclusa ostendit, vergat. His ita rite constirutis, ac notatis, sic operationem aggredere.

Primo. Applica Instrumentum ad A v. g. primum loci deineandi limitem, aut angulum, Orbeque cum charta quadrata n. 1. signata magne tice ad Boream verso, respice per dioptralem Regulam ex A in limites, seu angutos P, et B, et in charta quadrata juxta Cursoris latus trahe lineas AB, et AP. Utramque deinde distantiam locorum AB, et AP, metire in pedibus aut passibus, sitque distantia AB 50, AP 46 pedes, aut passus longa. In lineam igitur AB Instrumenti transfer 50 particulas, ex A usque in B; in lineam vero A P particulas 46, et habebis primam operationem factam. Quod si prima charta n. I. notata, non recipit totam lineam AB 50 particularum, nota in ea tot quot poteris particulas, et amotâ chartâ, substitutâque aliâ n. 2. notatâ, duc in ea juxta latus Cursoris immoti lineam, et in eam transfer residuum particularum. Idem servabis in sequentibus operationibus. Secundo, Instrumentum supra pedem suum firmatum, translatumque in limitem B, juxta prioris stationis positionem magnetice situa, ita ut Regula dioptrica, et Cursor supra lineam AB chartae positus, tendant directe ex B in A. Quo facto, gyratam Regulam dirige in C, et posito Cursore supra punctum B, duc lineam BC, mensuratoque spatio BC, transfer in lineam BC, a B usque ad C tot particulas, quot in spatio BC pedes aut passus invenisti. Simili modo operaberis in C, ut habeas lineam CD; et in D, ut habeas lineam DE; et in E, in F, G. etc. ut habeas lineas DE, EF, FG, etc. donec totum ambitum [note: Vide Iconismi III. Fig. 324. ] compleveris. Tertio. Ambitu hac industriâ integre completo, conjunge chartulas quadratas pro ut in apposita figura apparet, et videbis in illis simul junctis totius sylvae situm, cum angulis, limitibusque, ac caeteris anfractisbus, eâ prorsus ratione, quâ in figura exhibemus,

Fusiorem explicationem vide in Pantometro lib. 4. Problem. 5. Demonstratio est eadem quae in praecedentius.

Propositio VI. Silvam, lacum, aliaque loca plana describere, quando intra ipsa non possunt fieri stattones.

[note: Situm locorum delineare. ] SIt lacus qualem, praesens figura repraesentat. Pone Instrumentum magnetice supra pedem suum situatum in loco A, et per Regulam dioptricam [note: Vide Iconismi III. Fig. 325. ] respice limitem G, ductâ rectâ AG indeterminatae longitudinis juxta situm et latus Cursoris. Deinde ex A versus G procedendo numera pedes lateris AG, qui sint v. g. 30, et in lineam AG charrae transfer totidem particulas ex scala Cursori inscripta, incipiendo a puncto A notato usque ad punctum G. Post haec pone Instrumentum magnetice situatum in loco G, ita ut G Instrumenti correspondeat limiti G; et directâ Regulâ in E positoque Cursore supra punctum G chartae, respice in limitem F, et fac lineam GF; et mensurato etiam latere GF, transfer in lineam GF tot particulas, incipiendo a G usque ad F, quot pedes numerasti in latere GF. Similes operationes institue in omnibus aliis limitibus, et habebis situm cum numero pedum totius circuitus. Ratio est eadem quae supra.

Annotatio.

[note: ] SImili prorsus ratione delineabis situm templorum palatiorum, fortalitiorum, ur bium, etc. circumeundo dicta loca, et operationem instituendo in singulis angulis ac limitibus.

Propositio VII. Situm camporum, similiumque locorum, ex unica statione delineare.

[note: Vide Iconismi III. Fig. 326. ] SItum loci BCDEFG, ex unica statione A, sic describes; operosius quidem quam praedictis modis, at certius fortassis. Posito Instrumento in loco A, et electo in charta Instrumenti puncto A, dirige dioptricam regulam ad singulos limites dati loci, seu ad palos in ipsis defixos, aut ad ipsos angulos; positoque semper Cursore in puncto A, duc lineas AB, AC, AD, etc. Deinde distantias a loco A usque ad singulos limites aut angulos inquire in pedibus. Tandem in lineas chartae correspondentes transfer tot particulas, ab A semper incipiendo, quot pedes in distantiis invenisti. Si enim extrema ultimarum particularum puncta lineis rectis conjunxeris; habebis situm loci quaesitum. Ratio patet ex dictis.

Propositio VIII. Ichnographiam subterraneorum locorum perficere.

[note: Ichnographiam subterraneorum locorum perficere. ] IN delineandis fodinis metallicis, aut salis, in sub terrancis cuniculis, Romanis caemeteriis, egre

gium usum habet Pantometrum nostrum. Quod quidem tunc non imponitur pedi suo, sed manu gestatur, et latera ejus parietibus applicantur, ita ut planum Instrumenti sit parallelum plano horizontis. Praeterea non gyratur quadratum Instrumenti circa suum Orbem immotum, nec adhibetur Regula dioptrica: sed ablata Regula, immotoque quadratilatere muris applicato, Orbis cum imposira sibi quadrata charta ad delineationem perficiendam gyratur, ea, quae sequitur, ratione.

[note: Vide Iconismi III. Fig. 327. ] Sit locus subterraneus ABCDEF, etc. Applica latus Instrumenti, cui Regula dioptrica antea affixa fuerat, parieti ED ita, ut Cursor et dictum latus sint ad dictum parietem in situ parallelo. Si murus asper et cavernosus est, applica ipsi asserem, aut longam regulam, et asseri aut regulae applica Instrumenti latus. His factis, gyra intermedium Orbem eo usque, donec acus magnetica recta Boream respiciat. Quo facto, juxta Cursoris latus fac lineam ED in charta Instrumenti, in eamque trausfer tot particulas ab E usque ad D, quot pedes invenisti in muri ED longitudine. Deinde applica Instrumenrum supra murum EF, eo prorsus modo et quadrati situ, quo in prima operatione: et gyra Orbem donec acus denuo perfecte Boream respiciat: quo peracto, lineae ED chartae annecte lineam EF ductam juxta situm Cursoris, parallelam muro EF. Iterum applicato instrumento parieti FG, et magnetice situato Orbe, connectelineae EF chartae lineam FG, praevia dimensione notam. Eodem prorsus modo in omnibus lateribus explorandis, describendisque procede, donec totam subterraneam ichnographiam perfeceris. Ratio est eadem quae superiorum. Praedicta ichnographia pluribus chartulis quadtatis persici debet, eadem prorsus methodo, quam Proposit. s. docuimus.

Propositio IX. Cuivis puncto in extrema terrae superficie adsignare, aliud ad perpendiculum ei in intimis terrae visceribus respondens, Pantometro reperire.

MOdum nunc docemus, quo manifeste conster, si subterraneos meatus, cuniculos occulta ambulacra construere volumus, aut suffodereac pulvere pyrio supposito dejicere urbis moenia, turres, propugnacula, aut metallorum venas scrutari, autalia similia perficere: conster in quam, sub quibus terrae locis praecise consistamus.

[note: Vide Iconismi III. Fig. 328. ] Sit ergo locus M in castris urbem obsidentium, aquo deducendi sint infra terram cuniculi ad urbis propugnacula G, L, C, H. Pone Instrumentum in M horizonti parallelum, et statue ipsum magnetice juxta quatuor Mundi cardines. Dirige deinde R egula dioptralem in omnia praedicta propugnacula, quae nimirum in subterraneis maeandris vis respondere ad perpendiculum: et posito cursore supra punctum M in Instrumenti chartanotatum, duclineas MG, ML, MC, MH. Demum singulorum locorum distantiam ab M per lineam rectam metire summa diligentia, juxta praecepta par. 1. tradita. Hisperactis, fode ad perpendiculum meatum MA tantae profunditatis, quantam judicaveris necessariam: in eaque pone Instrumentum horizonti parallelum, et magnetice situatum. Si jam ponas Cursorem supra lineasantea notatas in charta Instrumenti, et secundum ductum seu directionem ipsarum fodias ad tantam distantiam, quantam ab M ad dicta loca invenisti inexteriori terrae superficie; pervenies ad locum directe dictis locis intra terrae viscera respondentem. Resclaraest, et demonstratione non eget. Rationem tamen in Pantometro adsignavimus.

Si inter fodiendum occurrant obstacula, ne possit pergi via recta ab A versus G v. g. sed divertendum sit, deflecte ad latus per lineam BC, quae cum visa subterranea AB jam facta efficiat [note: Vide Iconismi III. Fig. 329. ] angulum rectum ABC, procedendo per certum numerum pedum: deinde flecte iterum per angulum rectum C, procedendo similiter per certum numerum pedum: tandem iterum flecte per angulum rectum D, procedendo per tot pedes usque ad E, per quot in principio deflexisti a B usque ad C: erisque iterum in linea AG inprincipio inchoata, et scies quot pedes remaneant fodiendi usque ad locum destinatum. Vide Pantometrum.

Propositio X. Ichnographiam [correction of the transcriber; in the print Ichonographiam] omnium partium interiorum alicuius domus, aut Ecclesiae Pantometro perficere.

[note: Ichnographiam [correction of the transcriber; in the print Ichonographiam] interiorem domus perficere. ] MEthodus operandi, et applicatio Instrumenti ad interiores muros prorsus eadem est quae in proposit. 8. Primo enim applicabis Instrumentum manu apprehensum inter te et murum eo situ, ut Curior et latus Regulae dioptralis jam antea ablatae, semper obtineant situm parallelum cum muro, et latus praedictum radat murum. Secundo Orbem magnetice una cum charta superimposita situabis. Tertio, juxta cursoris situm lineas duces in charta, quae longitudini muri certa mensura exploratae in scala Cursoris respondeant. Quarto, aliud latus alterius muri immediate sequentis petes, atque Instrumentum praedicto modo et situ ei applicabis, situatoque Orbe magnetice, lineam juxta Cursoris situm duces lineae parietis, cujus mensura constat proportionatam, inchoando lineam ab extremo puncto proecedentis lineae. Eodem prorsus modo procedes ad finem usque obambulando torum conclave, aut domum, vel Ecclesiam. Quinto, peracta ichnographia singulas chartas eximes, et supra mensam ordine dispones, prout in Propositione 5. docuimus. Si chartulis supposueris aliam chartam amplam, et juxta ambitus linearum, et angulorum in dispositis chartulis notatorum ordinem et situm, acicula inferiorem suppositam chartam punctaveris, punctaque lineis rectis terminaveris: habebis totam ichnographiam suppositae chartae impressam. Ratio est eadem quae est in praecedentibus.

Propositio XI. Munitionum seu Fortalitiorum ichnographicam delineationem in camporum planitie perficere Pantometro.

[note: Ichnographiam [correction of the transcriber; in the print Ichonographiam] PRaeclarissimum juxta ac facillimum usum habet Pantometrum nostrum in Munitionum plantis

Plura huc pertinentia dicemus infra suo loco in Architectura militari, ubi etiam vocabula omnium partium fortalitii explicabimus. Ratio operationis factae eadem est quae in praecedentibus.

Annotatio de agrorum dimensione.

[note: ] SVperesset ut adderem aliquid de practica agrorum dimensione. Sed quoniam ea ex dictis per 2. et 5. satis constat, eo labore supersedeo. Hoc solum moneo, quando ager aut campus est valdeirregularis, solere agrimensores intra ipsum constituere quam possunt maximum quadrangulum, et a lateribus quadranguli ad angulos agri emittere perpendiculares, ut residua extra quadrangula resolvantur in triangula ac trapezia, hisque omnibus singulatim dimensis per ducta par. 2. et in unam summam collectis, pronuntiare de totius agri capacitate. Quod si in agricircuitu portio aliqua curva est, eam secant in rectilinea, donec residui linea curva parum a recta differat. Alii ita procedunt. Peripsum agri medium, vel potius circa latus eius magis irregulare, constituuno lineam quam longissimam possunt, erigendo baculos aliquot conspicuos, et juxta illos lineam designando. Hanc lineam vocant fundamentatem. Ex ea in singulos angulos aut extremitates agri (in quibus similiter baculos conspicuos erigunt) digrediuntur hinc et inde ad angulos rectos, eaque ratione totum agrum in triangula rectangula et trapezia partiuntur, singulorumque aream inquirunt per dicta par. 2. areasque omnes in unam summam colligunt. Sisylvae area investiganda est, aut campi qui perambulari nequit propter inundationem, aliamve causam: constituunt circa eam rectilineum maximum, et ab ejus lateribus ad sylvae aut campi angulos et extremitates ducunt perpendiculares, constitutaque triangula ac trapezia mensurant separatim, et totum rectilineum circumscriptum etiam separatim, atque ab hoc demunt triangula et trapezia extra sylvam aut campum constituta: residuum enim est area quaesita. Atque haec sufficiant de Geometria practica. Alia ad coeli et terrae dimensionem spectantia dabimus in Astronomia, et Geographia, ubi de problematibus Astronomicis et Geopraphicis. Quae ad militarem Architecturam spectant, dabimus, cum eo pervenerimus.

LEOPOLDO I. ROMANORUM IMPERATORI SEMPER AUGUSTO, PIO, SAPIENTI; GERMANIAE, UNGARIAE, BOHEMIAE, DALMATIAE, CROATIAE, SCLAVONIAE, REGI, Encyclopaediam Mathematicam O. D. C. CASPARUS SCHOTTUS S. I.

FACULTAS R. P. Provincialis Societatis Iesu per Rheni superioris Provinciam, Auctori facta. RICQUINUS GÖLTGENS Provincialis Societatis Iesu Rheni superioris.

FACULTAS R. P. Provincialis Societatis Iesu per Rheni Superioris Provinciam, Bibliopolae facta. RICQUINUS GÖLTGENS. Provincialis Societatis Iesu Rheni Superioris.

LIBER I. ISAGOGE MATHEMATICA, Sive Brevis Introductio in omnes Mathematicas Disciplinas. PROOEMIUM.

CAPUT I. De Etymo, Obiecto, et Natura Mathematicae.

CAPUT II. De variis Mathematicarum Disciplinarum divisionibus.

CAPUT III. De Terminis seu Vocab. Mathematicis

Articulus I. De puncto, linea, superficie, et corpore; eorumque varia divisione.

Articulus II. De linearum inclinationibus, sive de angulis planis.

Articulus III. De figuris planis Curvilineis, et praecipue de Circulo.

Articulus IV. De figuris planis rectilineis.

Articulus V. De figuris solidis.

CAPUT IV. De praxibus Mathematicis.

Articulus I. De Praxibus spectantibus ad lineas.

Praxis I. Lineam rectam ducere.

Primus Modus. Ope Regulae rectae

Secundus Modus. Ope Amussis funicularis.

Tertius Modus. Ope radii visualis.

Praxis II Regulam examinare, num recta sit, pro ducendis lineis rectis.

Praxis III. Per datum punctum, datae rectae lineae, parallelam rectam lineam ducere.

Primus Modus.

Secundus Modus.

Annotatio.

Tertius Modus.

Corollarium. Datae rectae lineae parallelam rectam lineam ducere, ad datum vel assumptum intervallum.

Quartus Modus.

Praxis IV. Data recta [orig: rectâ] linea, et puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare.

Primus Modus.

Secundus Modus.

Tertius Modus.

Quartus Modus. Unica [orig: Unicâ] circini apertura [orig: aperturâ] erigere perpendicularem ad datum punctum in data recta.

Quintus Modus.

Corollarium. Ad datam rectam ducere perpendicularem ad punctum quodcumque assumptum.

Sextus Modus.

Annotatio I.

Annotatio II. Qua ratione in agris et campis designanda sit linea perpendicularis, seu angulus rectus faciendus.

Praxis V. Examinare Normam, num accurate sit fabricata.

Praxis VI. Super datam rectam lineam, a dato puncto quod in ea non est perpendicularem erigere.

Primus Modus.

Annotationes. I.

Secundus Modus.

Tertius Modus.

Annotatio. Qua ratione in agris et campis ducenda sit perpendicularis ad datam rectum a puncto extra dato.

Praxis VII. Dividere lineam rectam finitam bifariam.

Annotationes. I.

Corollarium.

Praxis VIII. Datam lineam rectam finitam in quotlibet partes aequales secare.

Primus Modus. Per Parallelogrammum.

Secundus Modus. Per Instrumentum partium.

Annotationes. I.

Tertius Modus. Per quadrantem Proportionum.

Praxis IX. Ex data recta quamvis partem centesimam aut millesimam abscindere.

Primus Modus. Per instrumentum partium.

Annotationes.

Secundus Modus. Per Quadrantem proportionum.

Praxis X. Datam rectam in duas aut plures secare, quae habeant proportionem quamcumque datam.

Annotationes. I.

Corollaria.

Praxis XI. Datam rectam lineam secare proportionaliter extrema et media ratione.

raxis XII. Datis duabus rectis tertiam proportionalem invenire.

Praxis XIII. Datis tribus rectis, quartam proportionalem invenire.

Corollarium.

Praxis XIV. Inter duas rectas lineas datas, mediam proportionalem invenire.

Praxis XV. Inter duas rectas invenire duas medias proportionales.

Articulus II. De Praxibus spectantibus ad Superficies

Praxis I. Circulum in 360. partes aequales dividere.

Praxis II. Quadrantem mirificum fabricare, eumque in 90. gradus dividere.

Annotatio.

Praxis III. Angulum rectilineum alteri dato aequalem constituere.

Praxis IV. Quot gradus contineat quilibet angulus aut arcus datus, cognoscere.

Annotationes.

Corollarium. Ex arcu dato quotlibet gradus accipere.

Praxis V. Dato arcu alicuius circuli, circulum perficere, invento eius centro.

Corollarium. Per tria quaelibet puncta non in unam rectam lineam cadentia circuli peripheriam ducere.

Praxis VI. Super data, aut assumpta recta linea constituere triangulum aequilaterum, isosceles, scalenum.

Praxis VII. Examinare angulum propositum, an sit rectus, obtusus, acutus.

Praxis VIII. Datis tribus lineis rectis, construere triangulum, dummodo duae quaelibet sint maiores reliqua.

Corollarium. Triangulo dato construere aliud simile et aequale.

Praxis IX. Figuram ovalem seu ellipticam describere. Primus Modus.

Secundus Modus.

Praxis IV. Data recta [orig:* rectâ] linea, et puncto in ea dato, rectam lineam ad angulos rectos excitare.*

Quartus Modus. Unica [orig:* Unicâ] circini apertura [orig: aperturâ] erigere perpendicularem ad datum punctum in data recta.*

Primus casus, Quando uterque numerus unica [orig:* unicâ] figura [orig: figurâ] constat.*