CAMENA Early Modern Latin Texts

image: as003
P. GASPARIS SCHOTTI REGIS-CURIANI, E SOCIETATE IESU. Olim in Panormitano Siciliae, nunc in Herbipolitano Franconiae eiusdem SOCIETATIS IESU Gymnasio Matheseos Professoris CURSUS MATHEMATICUS, Sive ABSOLUTA OMNIUM MATHEMATICARUM DISCIPLINARUM. ENCYCLOPAEDIA, In LIBROS XXVIII. digesta, Eoque Ordine disposita, ut quivis, vel mediocri praeditus ingenio, totam Mathesin a primis fundamentis proprio Marte addiscere possit. Opus desideratum diu, promissum a multis, a non paucis tentatum, a nullo numeris omnibus absolutum. Accesserunt in fine THEORESES MECHANICAE NOVAE Additis INDICIBUS locupletissimis [gap: illustration] Cum Privilegio Sacrae Caesareae Maiestatis. BAMBERGAE, Sumpt. IOH. MARTINI SCHÖNWETTERI, Bibliopolae Francofurtensis. M. DC. LXXVII.

LIBER XVI. DE STATICA.

Prooemium.

[note: [note: Statica quid sit. ] PLerique Auctores Staticam cum Mechanica confundunt, et utramque pro eadem sumunt seu Arte, seu Scientia. Ego seiungo, et Mechanicam gravium movendorum, Staticam vero eorundem ponderandorum scientiam appello: aliud enim est, gravia movere ex arte, efficereque ut exigua potentia magno aequiponderet aut etiam praeponderet ponderi; aliud gravium pondus explorare, et notum facere: primum ad Mechanicam, secundum ad Staticam spectat. De hac agemus brevissime, ac primo trademus Statica Elementa, secundo Statica seu Ponderatoria Instrumenta, tertio Staticas praxes. Eadem tradidimus in 3. Par. Magiae lib. 4. Breviores erimus in hoc libro, quia multa quae in praecedenti tradidimus, sunt etiam Staticae communia. ]

CAPUT I. De Staticae Elementis.

[note: ] STaticae Elementa vocamus, Definitiones seu terminorum explicationes, Axiomata, et Postulata seu Hypotheses.

Propositio I. Definitiones Staticas, sive terminos in Statica usitatos explicare.

[note: Staticae Definitiones. ] I. STatica est poderandi scientia. Ponderare autem, est gravium pondera seu gravitates in nota ponderum mensura explorare. Quemadmodum [note: Staticae officium. ] vero Mechanica quae gravium movendorum est scientia, non solum gravia corpora movet, sed etiam Machinas praescribit quibus moveantur, et gravium rationes, ac cum porentijs motricibus proportiones scrutatur; sic Statica non solum gravia ponderat, sed etiam Instrumenta praescribit quibus ponderentur, et ponderum rationes ac affectiones varias considerat. Quid porro sit grave, quid gravitas, per quam lineam seu viam ad gravium centrum tendant gravia, aliaque similia; jam libro praecedenti explicatum fuit.

[note: Corpora aequalis ponderis. ] II. Corpora ejusdem aut aequalis ponderis seu gravitatis sunt quae in eodem medio aequali nisu deorsum tendunt, sublatis impedimentis. Haec libro praecedenti appella vimus aequiponderantia, et distinximus a corporibus aequilibribus. Aliqui ejusdem aut aequalis ponderis corpora appellant, quae in eodem medio descendendo, aequalitempore aequale spatium conficiunt. Non placet, quia lamina plumbea librilis, et sphaera plumbea librilis, aequalis sunt ponderis, nec tamen per aquam descendendo conficiunt aequali tempore aequale spatium, ut experientiâ constat. Idem sine dubio in aere contingit, licet minus sensibiliter. Eadem corpora aequalis ponderis aliqui vocant corpora aequalis potentiae, quia pondus seu gravitas corporum est potentia eorum quâ deorsum nituntur ac moventur.

III. Corpora diversi aut inaequalis ponderis seu gravitatis sunt. quae in eodem medio inaequalin su deorsum tendunt, sublatis impedimentis. Explicatio patet ex proxime dictis.

[note: Corpora specie ponderosiora. ] IV. Corpora specie ponderosiora seu graviora sunt, quae sub minori mole aequiponderant aut praeponderant aliis majoris molis. Sic plumbum dicitur ponderosius in specie sua quam cera, aut lana, quia minor massa plumbi est aequalis, imo majoris ponderis, quam major massa cerae aut lanae.

[note: Corpus noti ponderis. ] V. Corpus noti seu dati ponderis aut gravitatis est, cujus ponderositas certo numero exprimitur. Ut cum dicimus, corpus sex librarum, duorum centenariorum etc: Haec dicuntur etiam definitae ponderositatis seu gravitatis. Ex quo patet, quid sit data seu definita gravitas, datum seu definitum pondus; de qua re etiam in Definitionibus Mechan.

[note: Corpora aequilibria. ] VI. Corpora aequilibria sunt, quae suspensa ex diversis librae, staterae, vectis etc. brachiis, faciunt aequilibrium, hoc est, constituunt scapum librae etc. horizonti parallelum. Differuntergo aequiponderantia, et aequilibria corpora, quia aequiponderantia possunt esse non aequilibria, ut ex dictis in Mechanica patet.

VII. Pondus elevare dicitur, quidquid est causa ponderis in ponderatorio Instrumento suspensi in altum elevati. Tale non solum est corpus aliud ponderosum, sed impetus etiam, et quidquid impetum Instrumento ponderatorio imprimit.

Huc pertinent etiam quae libro praecedenti inter Definitiones Mechanicas diximus de centro gravitatis, linea directionis, jugo, ansa etc. quae vide.

Propositio II. Axiomata statica adsignare, et explicare.

[note: Statica Axiomata. ] AXiomam Mechanica, quae libro praecedenti cap. 2. attulimus, et explicavimus, sunt etiam Axiomata statica, et huc pertinent.

Propositio III. Postulata statica adsignare, et explicare.

[note: Statica Postulata. ] NOnnulla ex Postulatis Mechanicis libro praeced. cap, 3. allatis, et axplicatis, ad staticam etiam pertinent: quare explicatio eorum, si quae hîc repetentur, inde est petenda.

I. AEqualia pondera aequali utrimque brachio pondtratorii Instrumenti appensa, sunt in aequilibrio. Quia nulla est rato cur unum alteri praeponderet, cum aequiponderantia supponantur.

II. Inaequalia pondera aequali hinc inde brachio appensae, non aequiponderant, sed gravius praeponderat. Si enim aequalia dicto modo suspensa aequiponderant, necesse est inae qualia non aequiponderate.

III. AEqualia pondera inaequali distantia suspensa, non aequiponderant, sed suspensum ex majori distantia praeponderat. Explicatum est lo. cit. Postulato 2.

VI. Si ponderum ex quibuscunque distantiis aequiponderantium alteri adiiciatur aliquid, non aequiponderant amplius, sed praeponderat id cui adjectum est aliquid. Explicatum fuit ibidem Postulato 3.

V. Si gravium ex quibuscunque distantiis aequiponder antium alteridematur aliquid, aequilibrium perdunt, et praeponderat id cui nihil est ablatum. Explicatum est ibiden Postulato 4.

VI. Si pondera ex quibuscunque distantiis aequiponderant, etiam ipsis aequalia, seu revera, seu secundum proportionem, ex [?]isdem aequiponderant. Explicatum est cit. loco Postulato 5. quoad distantias aequales; sed eadem est ratio quoad quascunque.

VII. Inaequalia pondera inaequalibus brachiis librata faciunt aequilibrium si sit eadem proportio brachiorum, quae ponderum, permutando. Explicatum ac demonstratum fuit libro praecedente cap. 4. Proposit. 3. et 4. Multa alia eodem cap. 4. explicata ac probata, huc referri possunt tanquam Postulata, aut Hypotheses, ideo nolo esse longior.

CAPUT II. De staticis seu Ponderatoriis Instrumentis.

[note: ] DUo sunt praecipue statica seu ponderatoria Instrumenta, Libra, et Statera. Utriusque formam, usum, et proprietates trademus.

Propositio I. Formam et usum Librae ordinariae explicare.

[note: Librae ordinaria forma et usus. Iconis. XX Fig. 466. ] LIbra est organum seu instrumentum, ad examinandam corporum gravitatem aprum, assumpto alio notae gravitatis corpore. Alia est ordinaria, alia extraordinaria.

Forma Librae ordinariae, quoad substantiam saltem (varijs enim modis, pro artificum libitu, formari solent) est, qualem monstrat apposita fig. in qua AB vocatur librile, jugum, et scapuslibrae: AC, et BC, brachia, librilia, radij; C, centrum: CE, lingula, trutina, examen, argumentum: CF, ansa, spartum, agina: G et H, lances: AI et BK, pendula, funiculi. Lingula CE connexa est scapo immobiliter ad angulos rectos. Ansa CF sustinetur axiculo trajectio per centrum C, et per foramina ansae utrimque centro correspondentia. Bilances G et H, cum pendulis AI, et BK, solent esse aequalis ponderis; et praeterea pendula, aequalis longitudinis. Brachia AC, BC, aequalis solent esse longitudinis, crassitiei, et gravitatis. F est annulus, aut ligaculum, quo vel manibus apprehenditur, vel e clavo suspenditur totum Instrumentum in ejus usu.

Usus Librae notus est; nam uni lancium imponitur merx, cujus gravitas quaeritur, alteri pondus aliud notae gravitatis. Si notum pondus uni lanci impositum, et corpus examinandum alteri lanci commissum, Libram constituunt in aequilibrio; tunc arguitur eorum aequalitas secundum gravitatem, si Librae brachia sint aequalia, et reliqua omnia rite ordinata, omnisque fraus absit. Si vero non constituunt in aequilibrio, sed una lanx magis deprimitur quam altera; inaequalitas arguitur. Signum porro, quod Libra sit in aequilibrio constituta, est, quando lingula jugo ad angulos rectos affixa, stat immota intra ansam, in neutram partem propendens. Ratio est, quia grave suspensum liber non quiescit, nisi linea directionis transeat per centrum gravitatis corporis suspensi, simulque per punctum suspensionis, per Postul. 10. libri praeced. Quando ergo libere suspensum quiescit, signum

est, lineam directionis transire per dicta puncta. Quando itaque in Libra sunt omnia aequalia, brachia, pendula, lances, tam quoad longitudinem, quam quoad gravitatem, et consequenter quando vacua Libra suspensa libere stat in aequilibrio; si et onerata in aequilibrio stat, signum est pondera imposita utrimque esse inter se aequalia, quia linea directionis per centrum gravitatis totius compositi ex libra et ponderibus impositis transiens, dividit totum compositum grave in duas aequaliter graves partes, per Definit. 5. libri praeced.

Annotatio.

[note: Librarum tres species. ] LIbra, ut et alia gravia, libere suspensa, non potest quiescere, ut jam insinuavimus, nisi punctum suspensioni et grav. tatis sint in eadem linea directionis. Quoniam vero haec duo puncta tripliciter se possunt habere, ideo triplex species seu differentia librarum oritur, diversa proprietates habentium. Potest enim punctum suspensionis vel coincidere cum centrogravitatis, vel esse supra, vel infra cent um gravitatis. Hin librae aliquae a parallelismo dimotae ad ipsum redeunt, aliae non redeunt; de qua re in 3. Par. Magiae ib. 4. Syntagm. 2. cap. 1 Proposit. 3 fuse egimus. In Libra ordinaria centrum gravitatis semper est infra punctum suspensionis, ideo â parallelismo dimotasemper ad cum redit.

Propositio II. Fallacias Librae dolosae, quae tamen iusta videatur, explicare, atque detegere.

[note: Librae fallacia. ] MUltis modis contingere potest, ut Libra aliqua sit fallax, quae tamen justissima alioquin appareat. Primo ratione inaequalitatis brachiorum quoad longitudinem. Constat enim ex dictis libro praeced, grave ex longiori brachio pendens habere plus momenti, quam ex breviori. Itaque si merx brachio breviori, sacoma seu contrapondium breviori attribuatur, fraus committetur. Secundo ratione inaequalitatis funiculorum. Etiamsi enim libra habeat brachia exactissime aequalia, et trutinam perpendicularem, et lances aequalis gravitatis, et funiculorum pondera aequalia; si habeat tamen funiculum alterum altero longiorem, incumbatque plano horizontali impositis aequalibus ponderibus; non apparebit aequilibrium, si punctum suspensionis fuerit in centro gravitatis, vel infra, sed videbitur praeponderare ad illam partem, quae habuerit breviorem funiculum. Tertio ratione plani inclinati cui incum bunt lances. Etsi enim libra sit exactissime facta, et omnia plane sint aequalia in pondere, et in longitudine, incumbat tamen plano non horizontali; imposita pondera aequalia non constituent aequilibrium, sed vide bitur praeponderare lanx quae incumbebat parti depressiori plani. Quarto, si lances librae sint ferreae, et infra tabulam subtilem cui lances incumbunt, abscondatur magnes robustus, eique incumbat, lanx cum mercibus. Lege quae diximus fuse 3. Par. Magiae lib. 4. Syntag. 3. Pragm. 3.

Propositio III. Formam et usum Staterae communis explicare.

[note: Staterae communis forma et usus. ] STatera communis est quasi libra inaequalium brachiorum. Ejus forma est, qualem praesens fig. repraesentat. Pattes ejus sunt quatuor: AB scapus, seu teres, seu in tria, quatuor, et quotquot [note: Iconis. XX. Fig. 467. ] artifici placuerit, latera efformatus: CD ansa seu spartum, dividens scapum inaequaliter, eique affixum non secus ac inlibra: BE harpago, seu uncus, seu etiam lanx: F pondus seu aequipondium, appendiculumve, scapo appensum, et huc atque illuc mobile, unde et cursor appellatur, et sacôma, vel antisacôma. Centrum staterae est, ubi ansa est, per cujus foramina et centrum staterae transit axiculus. Immediate supra centrum, intra ansam, erigi potest perpendiculariter trutina; quamvis id in majoribus stateris fieri non soleat. Scapi longitudo major dividitur in partes varias, aequales minori longitudini; et quaelibet illarum subdividitur iterum.

Usus staterae hic est. Unco BE appenditur res cujus pondus in quiritur; aut si ibidem loco unci est lanx, imponitur lanci: deinde pondus F movetur versus ansam, et ab illa removetur, donec scapus in aequilibrio sit. Numerus sub quo pendet sacôma F, indicat pondus rei unco BE appensae; quod quidem sacôma se habet semper reciproce seu permutatim, ut distantia a sacomate usque ad ansam, ad distantiam ab unco ad ansam, quia statera, cum libra sit inaequalium brachiorum, idem est ac vectis, in qua axis per centrum transiens est hypomochlium. Sacoma F debet esse notae gravitatis, v. g. unius librae. Quod pondus si sub numero 1 facit aequilibrium cum mercibus appensis, pendunthae unam libram; si sub numero 2, duas; si sub numero 3, tres etc: Quo autem longius erit majus brachium supra minus, eo majori ponderi in unco appenso aequivalere potest idem sacôma, atque adeo ad eo majora pondera ponderanda adhiberi potest statera.

Annotatio.

[note: ] SOlent in staterae scapo fieri duae trutinae, una sursum, alterae deorsum tendens; et duo unci, unus similiter sursum, alter deorsum tendens, et tam latus scapisursum respiciens, quam latus deorsum tendens, dividi solet in certas ac determinatas partes, sed differentes interse, in uno nim. latere majores, in altero minores. Et majores quidem divisiones, cum trutina et uncino suo, serviunt pro majoribus ponderibus explorandis; minores vero pro minoribus.

CAPUT III. De variis et ingeniosis ponderandi modis.

[note: ] VArios et valde ingeniosos ponderandi modos, etiam sine ponderatorijs Instrumentis: attuli Par. 3. Magiae lib. 4. Syntagm. 3. ex quibus paucos qui sequuntur, excerpsi.

Propositio I. Magna pondera communi et mediocri statera examinare.

[note: Statera mediocri ponderare magna pondera. ] DEtur ingentis ponderis dolium A, cujus gravitas sit examinanda per stateram communem FG. Accipiatur tigillus ponderi ferendo proportionatus DE, in cujus extremo D sit uncus, [note: Iconism. XX. Fig. 468. ] cui adnectatur dolium A, et assumatur valde parva distantia DL, sitque L punctum ex quo tigillus suspendatur; ac fiat DL ad LE, ut v. g. 1. ad 20. alius item tigillus MH assumatur, et in eo prope punctum M, quod respondeat puncto E prioris tigilli, infigatur axis in I, circa quem converti possinsitque MI ad IH, ut 1 ad 10. v. g. demum staterae uncus H subijciatur extremo H tigilli M H, et aequipondium a sparto B paulatim removeatur, donec fiat aequilibrium v. g. in puncto G notâ librarum 12. Dico, dolium ponderare in tali casu libras 2400. Nam si punctum G deberet moveri deorsum, descenderet duodecuplo velocius, quam F, hoc est, quam H ascenderet; H vero decuplo velocius ascenderet, quam M, hoc est, quam E descenderet; at E vigecuplo velocius descenderet, quam D, hoc est, quam A ascenderet: Ergo velocitas motus ipsius G ad motum A esset, ut 2400 ad 1. Cum igitur fiat consistentia, et aequilibrium, necessario erit ut momentum ipsius G ad momentum ipsius A, ita pondus A ad pondus G.

Quod si aequipondium G magis a spartoremoveatur, jam praeponderabit, et attollet pondus A, ac proinde jam majus pondus eâdem statera examinari poterit. AEquipondium in statera FG supponitur esse tantum unius librae. Procurandum ut omnia sint proportionata ponderi ferendo. In summa ineunda debet haberi ratio impedimen[?]orum quae motum trabium cirea axes suos reddunt difficilem; et funium alligatorum.

Propositio II. Aliter communi statera [orig: staterâ] examinare magna pondera.

[note: Iconism. XX. Fig. 462. ] SIt communis Statera AB, cujus ansa CD, et aequipondium in extremo A possit solum 8 libras sustentare. Sit datum pondus G, et notum sit praeter propter quam multiplum sit respectu totius ponderis ab aequipondio in B sustentabilis, quod supposuimus esse 8 librarum, Accipiatur pondus aliud, quod ad aequipondium habeat eandem rationem, sed unitate mulctatam. Ut si notum sit, pondus G datum esse fere sextuplum ponderis ab aequi librio sustentabilis, accipiatur pondus aequipondij quintuplum, et in extremo A appendatur: deinde aequipondium adducatur ad illud jugi punctum, ubi fit aequilibrium. Nam si ratio ponderis in A ad aequi pondium, ducatur in numerum librarum a statera examinabilium (ut si in casu posito ducantur 5 in 8, fiunt 40) et producto addatur numerus librarum quas aequipondium notat. et sint v. g. 7; tota ponderis G gravitas libratum 47 innotescet.

Ratio est, quia pondus in extremo A potest quinquies plus quam aequipondium, ac proinde potest 40; aequipondium vero ad notam num. 7 promotum potest 7. libras; ergo simul cum pondere in A appenso potest 47. Quod si in nullo puncto collocato aequipondio fieret aequilibrium, sed pondus G praeponderaret; deberet assumi majus pondus, quod ad aequipondium haberet majorem rationem, quia signum esset etiam pondus G ad pondus a tota statera sustentabile habere majorem, quam assumpta fuerat, rationem.

Propositio III. Paucis ponderibus seu sacomatis magnae gravitatis pondera ponderare.

[note: Ponderibus paucis ponderare multa. ] FIant pauca pondera excedetia se in tripla proportione, quorum primum sit librae 1, secundum librarum 3, tertium 9, quartum 27, quintum 81, sextum 243 etc. Poterunt ijs ponderari corpora tot librarum, quot unitatum est summa collecta ex additione numerorum qui dicta pondera exprimunt. Sic tribus ponderibus librarum 1, 3, 9. quorum summa est 13, possum ponderare 13 libras; quatuor ponderibus librarum 1, 3, 9, 27, quorum summa est 40, possum ponderare 40, libras; quinque ponderibus librarum 1, 3, 9, 27, 81, quorum summa est 121, ponderare possum 12, libras, sex ponderibus lib. 1, 3, 9, 27, 81, 243, quorum summa est 364, ponderare possum 364 libras. Eâdem ratione ulterius progredi possum. Praxis consistit in hoc. Siunam libram mercium volo, impono uni lanci pondus unius librae, alteti lanci merces; et aequilibrium dat unam libram. Si duas volo libras, impono uni lanci pondus 3 librarum, alteri pondus unius librae, et huic addo merces donec aequilibrium fiat. Tres mercis libras dat pondus 3 librarum; Quatuor mercis libras, pondus 3 et 1; pro quinque libris impono uni lanci 9, alteri 3 et 1, et hisce addo merces donec aequilibrium fiat. Et sic de reliquis.

Aliter idem efficere.

[note: ] FIant pauca pondera excedentia se mutuo in proportione dupla, sic: 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. etc. Poteris horum tribus, quatuor, quinque etc. ponderare tot libras, quot exprimit summa ponderum additorum. Sic quatuor ponderibus ponderabis libras 15; quinque ponderibus libras 31; sex ponderibus libras 63 etc: Praxis non est diversa a praecedenti: nam unam, et duas libras dant pondera 1 et 2 singulatim; tres libras dant 1 et 2 simul; quinque libras Pondera 1 et 4 etc.

Vno etiam pondere notae gravitatis, v. g unius librae, unciae, semiunciae etc: idem quod antea fieri potest. Nam pondere unius librae ponderare possum integrum cumulum salis, alteriusve rei, exirahendo ex eo quotquot libuerit libras, sic. Si unam libram volo, pono in una lance libram in altera saltem donec aequi librium fiat: si duas libras pono in una lance pondus et salem unius librae et in altera lance habebo duas librassalis, quando erit aequilibrium. Et sic ulterius.

Propositio IV. Magnetis vim attractivam ad libram expendere.

[note: Magnetis vim attractivam ponderare. ] POne in una lance magnetem, ita ut polus respiciat fundum lancis: in altera lance colloca pondus,

donec fiat aequilibrium. Deinde infra lancem in qua magnes, applica ferrum, stante interim librâ in aequilibrio; et alteri lanci infunde paulatim et sine impetu tantum arenae, donec lanx cum magnete a ferro supposito abripiatur. Pondus arenae dat pondus virtutis magneticae. Multos alios modos dedimus Par. 3. Magiae lib. 4. Syntagm. 3. Pragm. 8. et seqq.

Propositio V. Aeris gravitatem libra aut statera expendere.

[note: Aeris gravitatem ponderare. ] VAriis modis id fieri potest. I. Si vesica prius flaccida, deinde bene inflata, ponderetur librâ: differentia enim ponderis inter utramque erit pondus aeris inflati. II. Si ponderetur AEolopila primum aere in statu suo naturali plena, et deinde calefacta et aere rarissimo plena. III. Si sclopeta pneumatica, aliaque similia instrumenta, primum aere non constipato, deinde constipato plena ponderentur. Sed omnibus his, aliisque praxibus, quas attuli lo. cit. Pragm. 10. nulla est certior, luculentior, et ingeniosior, quam illa quae sit per Experimentum Magdeburgicum novum, de quo in Mechanica nostra Hydraulico pneumatica: in aliis enim ponderatur aer non in suo staru naturali, sed violento constitutus; in illo vero aer in statu naturali.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] IN numera alia ad Staticam pertinentia huc adduci possent, quae fuse explicat Simon Stevinus, et ex parte Herigonus; sed quoniam in sola Theoria sistunt, et ad nullam praxin diriguntur, omittimus, contenti adduxisse Definitiones, et Hypotheses, e quibus illorum explicatio ac demonstratio pendent.

LIBER XVII. De HYDROSTATICA.

Prooemium.

[note: [note: Hydrostatica. ] STaticae subiungimus Hydrostaticam, quae ars est, seu scientia tam liquida librandi, quam solida in liquido ponderandi; speciem loco generis sumendo, et aquae vocabulo (hanc enim u (/dwr in composita Hydrostaticae voce significat) quaevis liquida intelligendo. Partes habet praecipue duas: quarum unam, quae de gravibus aquae innatantibus agit, Boreocolymbicam; alteram, quae de iisdem in aqua mersis tractat, Boreodysiam vocant. Utraque sua habet elementa, seu principia propria: utraque innatantium et mersorum causas, effectus, mensuram, aliaque phaenomena considerat. Nos pauca, quae sequuntur, damus. ]

CAPUT I. De Hydrostaticis Elementis.

[note: ] HYdrastatica Elementa sunt Definitiones, et Hypotheses. Utrarumque paucas afferam, explicabo.

DEFINITIONES.

[note: Hydrostaticae definitiones. ] I. MAteriâ aequiponderantia corpora sunt, quae in aere magnitudine et ponderitate aequan tur. Tales sunt duo cubi palmares aquei, lapidei, plumbei, etc. ejusdem aquae, lapidis, plumbi, etc.

II. Miteriâ ponderosius corpus est, quod magnitudine aqualibus praeponderat. Tale est cubus plumbeus palmaris respectu cubi lignei palmaris. Hoc aliqui vocant specie gravius corpus.

III. Materiâ levius corpus est, quod aequilibusmagnitudine cedit pondere. Sic cera levior est lapide, lapis levior ferro, ferrum levius auro, etc. Hoc aliqui vocant specie levius corpus.

IV. Liquidum corpus est, cujus materia est fluxa, et partes invicem permeabiles. Talis est aqua, et omnis liquor, item cera et metalla quaevis liquefacta.

V. Solidum corpus est, cujus materia non est fluxa. Itaque solidum hîc non idem est ac id quod trinam habet dimensionem.

VI. Vas superficiarium est superficies corporis, ab eo cogitatione separabilis. Philosophi cum Aristotele vocant locum, seu ubi extrinsecum.

VII. Fundum (seu fundus) est super ficies quaevis, qua subnixa est aqua, sive ea sit vase clausa, sive non.

VIII. Regulare fundum, est planum omni diametro bisectile. Tale est quadratum, circulare, etc.

HYPOTHESES.

[note: Hydrostatica hypotheses. ] I. OMne humidum habet pondus. Docent hoc sensus. Humidi porro nomine hîc intelligimus omne liquidum et permeabile ab alio corpore, etiam argentum vivum, plumbum liquefactum; et similia.

II. Non omnia humida sunt ejusdem gravitatis. Quod intellige de humidis tam ejusdem, quam diversae speciei. Est enim aqua gravior vino, vinum gravius oleo, et aqua marina, ac quaelibet salsa, gravior quam dulcis; frigida ejusdem fontis aut fluvii, gravior quamcalida. Idem judicium esto de aliis humidis.

III. Solida cum liquidis comparata quoad gravitatem, et ipsa etiam liquida cum aliis liquidis, posita paritate molis, aut sunt aequalis ponderis inter se, aut

ponderesiora, aut leviora. Sic unus aquae cubus palmaris est aequalis ponderis cum alio cubo palmari ejusdem aquae, unus autem cubus lapidis gravior, et unus cubus ligni abiegni levior, quam aquae cubus, uti experientiâ constat.

IV. Aqua data datum sibi intra aquam homogeneam locum servat. Quia alioquin daretur motus perpetuus: nam sicut ejusdem aquae homogeneae pars una expelleretur ab alia aqua circum assistente, sic etiam pars subsequens primae, et pars subsequens secundae, et sic in infinitum, cum non sit major ratio cur pars una potius servet loncum sibi datum, quam alia. Quod dixi de aqua, de quo vis alio liquore homogeneo intell gidebet.

V. Aqua consistens omnibus partibus est ponderitatis homogeneae. Neque enim in aqua consistente partes superiores premunt actu inferiores, ut late probavimus in Mechanica Hydraulico pne[?]matica Par. 1. Protheoria 4. cap. 1. Proposic. 5. et Parte 3. Magiae lib. 5. Syntagm. 3. Erorem. 3.

VI. Corpora gravia, sive solida, siv liquida, ejusdem rationis, seu homogenea, habent se ad invitem in mole, sicut in pondere, et e contrario, Itaque si duo ejusdem ferri v. g. frusta funt aequalia in mole, sunt etiam aequalia in pondere, et si in pondere sunt aequalia, sunt etiam aequalia in mole. Ex quo sequitur: Si duorum gravium corporum ejusdem generis, alterum alterius fuerit multiplex, quotu[?] lex majus fuerit minoris, totuplex erit majoris gravitas gravitatis minoris.

VII. Cuj[?] svis aquae intra vas consist[?]ntis suprema superficies, est plana et horizonti parallela, ad sensum: nam mathematice loquendo sphaerica est.

CAPUT II. Theoremata Hydrostatica, ab aliis demonstrata.

[note: Hydrostatica theoremata. ] ARchimedes lib. de Insidentibus in humido, Simon Stevinus in Hydrostaticis, Marinus Ghetaldus in Archimede promoto, et alii, multa ac praeclara demonstrant theoremata hydrostatica. Nos ad prolixitatem, et schematum multitudinem fugiendam, ex multis pauca et sine ulla demonstratione adducemus. Itaque Postulatorum aut Hypothesium loco nobis erunt.

Theorema I.

[note: ] COrpus solidum in aquam consistentem demissum, sigravius est quam aqua aequalis molis, mergitur, et ad fundum usque descendit: si levius est, partim mergitur, partim aliqua sui parte eminet: si est aeque grave, descendit usque dum suprema ipsius superficies coaequetur cum suprema supersicie aquae. In idem recidit, si dicas, solidum corpus specie seu materia levius quam aqua, non omnino mergi, sed eminere sui aliqua parte, specie vero seu materia gravius ad fundum usque demergi, specie denique seu materia aeque grave, mergi quidem totum, sed non submergi. Parent haec experientia, et demonstrantur ab Archimede lo. cit. Proposit. 3. 4 et 7. Idem contingit, si solidum ponatur in aliis liquoribus.

Theorema II.

[note: ] COrpus solidum aeque grave ac aqua molis aequalis, datum in aqua locum servat: Sequitur ex Hypothesi 4. si enim tale corpus intra aquam ponitur, tandem est ac si loco ipsius tantae molis aqua poneretur.

Theorema III.

[note: ] COrpus solidum levius aqua aequalis molis, in aquam demissum, usque eo mergitur, ut tanta pars sit intra aquam, quanta est moles aquae aequalem habens gravitatem cum toto corpore. Demonstratur ab Archimede loco cit. Proposit. 5. qui his verbis eam roponit. Solidarum magnitudinum quae unque levior humido fuerit, demissa in humidum, usque eo demergetur, ut tanta moles humidi, quanta est partis demersae, eandem quam tota magnitudo gravitatem habeat. Idem porro solidum aquâ in specie levius, plus mergitur in aqua leviori, quam in graviori. Hinc naves e mari in flumina transeuntes aliquando submerguntur, quia aqua fluvialis levior est quam marina.

Theorema IV.

[note: ] COrpus solidum materiae levioris quam aequa cui innatat, ponderitate aequale est tantae aquae moli, quanta sus parte demergitur. Demonstratur a Stevino lib. 4. Staticae Proposit. 5. et sequitur ex praeced. Proposit. Unde fit, ut corpore solido sui parte notae magnitudinis in aquam cognitae ponderitatis immerso, totius solidi pondus inveniri possit, ut bene deducit ac demonstrat Stevinus lo cit. Proposit. 6. Exempli gratiâ, si pars navis immersa sit 10000 pedum cubicorum, et pes aquae cubicus sit 70 librarum, si 10000 multiplicentur per 70, habebis libras 700000 pro pondere totius navis cum omnibus in navi contentis, vel illi innixis. Idem dicendum est de reliquis ponderibus, et idem de reliquis humidis est intelligendum. Ex iisdem fit, si sumatur aqua aequalis molis cum parte corporis solidi demersâ, aquam illam aeque gravem esse ac totum corpus sol dum aquae ex parte immersum. Fit denique, onus materiae imponendae navi, sumptum cum onere totius navis, debere esse minus quam onus seu gravitas aquae, cujus moles aequalis sit soliditati seu capacitati totius navis.

Theorema V.

[note: ] SI idem corpus solidum materiae levioris quam aqua, mergatur intra aquas ponderitatis heterogeneae, erit ut ponderitas materia aquae gravioris ad ponderitatem materiae aquae levioris, ita pars corporis solidi in aquam materiae levioris immersa, ad partem solidi ejusdem in aqua graviore demersum. Demonstrat Stevinus lo. cit. Proposit. 7. et sequitur ex dictis: nam in utraque aqua tanta pars solidi mergitur, quanta est aqua toti solido aequalis, cum autem aquae sint heterogeneae, major pars in leviori quam in graviori mergetur, et tanto major in una quam in altera, quanto levior est una quam altera.

Theorema VI.

[note: ] COrpus solidum in aqua levius est quam in aere, pondere aquae magnitudine sibi aequalis. Primae pars patet experientiâ; secundam demonstrat Archimedes lo. cit. Proposit. 7. In idem recidit, si dicas, grave intra aquam tanto minus ponderare, quantum ponderat aqua cujus locum occupat. Ut si pes cubicus lapidis alicujus penderet in aere libras

40 et pes cubicus aquae cui immersus est lapis, ponderet libras 20, ponderabit lapis intra aquam 20 libras minus, hoc est, viginti libras tantum. Hinc sequitur, lapidem illum descendere solum vi ponderis 20 librarum.

Theorema VII.

[note: ] COrpus solidum aqua levius, infra aquam vi demersum, fertur sursum tanta vi, quanto apud molem habes corpori demerso aequalem, gravior est ipso corpore. Demonstrat Archimedes loc. cit. Proposit. 6. In idem recidit, si dicas, corpus solidum minus grave intra humidum magis grave videtentum, si liberum dimittatur, ascendere sursum vi ponderis, quo exceditur ab humido magis gravi aequalis molis. Ut si pes cubicusligni ponderans quinque libras, detineatur vi intra aquam, cujus pes cubicus ponderer 20 libras, et dimittatur liber, ascendet vi 15. librarum quâ gravitas ejus exceditur a gravitate aquae.

CAPUT III. Problemata Hydrostatica breviter insinuata.

[note: Hydrostatica problemata. ] HYdrostatica Problemara hoc prae aliis Mathematicis Problematis habent, quod pleraque ingeniosa simul et mirabilia sunt, atque ad varios humanae vitae usus utilia. Multa dedimus in Magia nostra Hydrostatica 3. Par. Magiae lib. 5. Syntagm. 2. ex quibus sequentia decerpsimus.

Propositio I. Propositio quocumque corpore solido quod sit gravius aqua, invenire gravitatem aquae eidem in magnitudine aequalis.

[note: Aquarum gravitates ponderare hydrostatice. ] EXploretur bilance aut statera in aere propositi corporis pondus. Deinde idem suspendatur crine equino ex una lance librae, aut uno staterae brachio, et demittatur in aquam, ita ut fundum non attingat, et iterum ejus pondus exploretur. Quantum est decrementum ponderis intra aquam, tantum est pondus aquae aequalis in mole, per theor. 6.

Annotatio I.

[note: ] EAdem ratione exploratur pondus omnium aliorum liquorum. Crinem equinum adhiberi jussi, quia is fere aequalis est ponderis cum aqua, ac proinde nihil in aqua ponderat.

Annotatio II.

[note: ] SIcorpus totum ponderari non potest intra aquam, nota tamen est ipsius gravitas v. g. 4000 librarum, ponderetur parva v. g. 10. librarum particula illus, aut alterius ejusdem rationis corporis, primo extra, deinde intra aquam, et inventa differentia v. g. 2. librarum, fiat, ut 10 ad 4000, ita 2. ad aliud, et habebitur pondus aquae toti corpari aequalis, per 6. Hypothesin. Quid faciendum, quando pondus solidi magni dati non est notum, nota tamen est magnitudo, dicetur postea.

Propositio II. Differentiam inter gravitates aquarum quarumcumque invenire.

[note: Differentiam inter gravitates aquarum invenire hydrostatice. ] INquiratur, per praecedens Probl. omnium propositarum aquarum gravitas, et conferantur adinvicem pondera singularum. Et haec praxis longe certior est, quam si diversae aquae in eodem vase ponderentur in aere.

Annotatio.

[note: ] QVod dixi de aquis collatis ad invicem, intelligendum est etiam de quibuscunque liquoribus tam ejusdem speciei collatis ad invicem, quam diversae specier ad in vicem etiam collatis. Apud Ghetaldum et alies extant tabellae, quibus liquores diversi inter se conferuntur; quibus tamen ego non fido sine scrupulo, quia non omnium lecorum liquores ejudem generis, sunt inter se aequalis ponderis.

Propositio III. Mixtionem argenti in aurea corona, ad imitationem Archimedis, invenire.

[note: Mixtionem argenti in auro invenire hydrostatice. ] Fiat massa aurea aequalis ponderis cum corona, et alia argentea aequali etiam ponderis cum eadem corona. Tria haec corpora demittantur singulatim intra vas aquâ plenum, et notetur differentia aquae a singulis ejectae, seu in mensura, seu in pondere. Et quoniam moles auri minor est quam argenti, et coronae, et coronae minor quam argenti, major tamen quam auri; ideo corona plus aquae ejiciet quam aurum, minus quam argenrum. Ex aquarum differentiis cognoscetur quantum argenti sit auro mixtum, idque vel per Regulam proportionum, aut falsae positionis, aut Mixtionis, aut Algebrae. Vide quae diximus 3. Parte Magiae lib. 5. Syntagm. 2. Pragmatia 3.

Annotatio.

[note: ] MElius erit, si pondus aquarum respondentium massis auri, argenti, et coronae, exploretur modo dicto Problem. 1. quoniam enim tria illa corpora leviora sunt in aqua, quam extra, per 6. Hypothesin, diminutio ponderis singularum dabit praecisum pondus aquae quae aequalis est magnitudine singulis illis corporibus, quaeque ab iisdem corporibus eijceretur e vase exactisisme pleno in singulis immersionibus, si eae fierent. Sufficit autem adhibere quantumvis parvam particulam auri, et argenti, juxta dicta Prohlem. 1. Alias praxes huic similes vide lo. cit. Magiae nostrae.

Propositio IV. Ex gravitate auri cognoscere eius qualitatem hydrostatice.

[note: Auri qualitatem ex ] AUrum aliud dicitur purum, aliud non purum, sed aliis metallis mixtum, nim argento et aeri.

[note: gravitate cognoscere hydrostatice. ] Purum appellatur 24 partium; non purum, pauciorum, tot videlicer, quot ex 24 partibus quib. totum mixtum constat, auri partes admixtas habet, v. g. 20, 18, etc. Aurum non purum cum solo argento et aere misceri solet, ut dixi, ita tamen, ut argenti et aeris partes semper sint aequales in pondere. His suppositis,

Ponderetur in aere aurum propositum non purum, et accipiatur massa puri auri, item massa corporis mixti aequaliter ex argento et aere, quarum utraque sit aequalis omnino ponderis cum auro non puro proposito. Deindetres hae massae separatim ponderentur in aqua, et inveniantur gravitates trium aquarum tribus praedictis massis aequalium in mole. Postea inveniatur primo differentia inter gravitatem aquae puri auri, et corporis ex argento et aere mixti; secundo differentia inter gravitatem aquae auri non puri, et corporis ex argento et aere mixti. Tandem adhibeatur Regula Trium et fiat, ut differentia inter gravitatem aquae puri auri, et aquae mixti corporis ex argento et aere, ad gravitatem auri non puri propositi, ita differentia inter gravitatem aquae auri non puri, et aquae mixti ex argento et aere, ad aliud; et quartus numerus indicabit partes auri puri in auro proposito; quae reductae ad partes vigesimas quartas, dabunt qualitatem auri. Exemplum. Sit aurum non purum propositum unciarum, aliarum ve partium, 24 in pondere, similiterque aurum purum, et mixtum ex argento et aere sit toridem unciarum, autaliarum partium in pondere. Sit praeterea aqua auri puri unciae 1, aqua auri non puri unciarum 2, aqua denique mixti ex argento et aere unciarum 3. Erit differentia inter primam et tertiam aquam 2. differentia vero inter secundam et tertiam aquam erit 1. Fiat ergo, ut 2 ad 24, ita 1 ad aliud; prodibit aurum 12 partium,

Propositio V. Differentiam ponderis inter corpora solida, quae aqua sunt graviora, invenire hydrostatice.

[note: Differentiam ponderis inter corpora solida invenire hydrostatice. ] SUme quotcunque corpora, ferrum, aes, stannum, argentum, etc. pura tamen in sua specie, cujuscunque sint figurae, et bilance exactissima adhibita fac, ut corpora illa sint inter se omnino aequalia pondere. Pone autem pondus esse, 100 v. g. unciarum, aut scrupulorum, aliarum ve minutissimarum partium, in quas libra distingui solet. Tum singula corpora ex crine equino suspensa, et in aquam vase aliquo contentam demersa aliquousque, iterum examina eadem librâ inter aquam, et observa quantum minuatur unius cujusque pondus, dum in aqua est. Imminutio illa ponderis erit mensura ponderis aquae quae aequalis sit in magnitudine demerso corpori, et consequenter indicabit quanta sit cujusque corporis moles et magnitudo. V. G. appensum aurum in aere sit 100 unciarum, in aqua vero 95 unciarum: ex hoc colliges, aquam aequalem magnitudine et mole illi auro, esse quinque unciarum. Iterum plumbum in aere sit 100 unciarum, in aqua vero 92 unciarum, ex hoc similiter colliges, molem aquae plumbo aequalem esse 3 unciarum. Aurum ergo et plumbum, aequalia in pondere extra aquam, in mole se habentur 5 ad 8. Exquo sequitur, idem aurum et plumbum mole aequalia, in pondere esse ut 5 ad 8. Eadem est ratio de aliis corporibus.

Annotatio.

[note: ] NOn omnia metalla ejusdem speciei, nec fortassis aeque pura, aequalia pondere, sunt etiam aequaliae mote, unde non licet ex uno metallo ferre judicium de omnibus ejusdem speciei. Discrimen tamen, quod est inter illa, minutissimum est.

Propositio VI. Pondus cuiusque corporis quod in aqua demergitur, invenire hydrostatice, cognita corporis magnitudine.

[note: Pondus corporis invenire hydrostatice, cognita eius magnitudine. ] FAc ex quacunque materia quae gravior sit aquâ, nempe ex ferro, plumbo, lapide, etc. cubum perfectum palmarem (aut semipalmarem, aut etiam uncialem, etc.) ejusque pondus explora accuratissime primo extra aquam, deinde intra aquam, juxta Probl. 1. et nota quantum diminuatur pondus in aqua. Diminutio ponderis dabit pondus cubi aquei magnitudine aequalis solido tuo cubo; per 6. Theor. Sit v. g. solidus tuus cubus in aere 100 partium determinati ponderis, scil. librarum, unciarum, drachmarum, etc. in aqua vero 88 tantum, ita ut diminuatur pondus ipsius in aqua 12 partibus: erit cubus aqueus aequalis mole tuo cubo solido 12 partium. Quotiescunque igitur habes frustum aliquod cujuscunque solidi aquâ gravioris, cujus pondus extra aquam inventum diminuatur intra aquam 12 partibus ejusdem denominationis, quibus diminutus est tuus solidus cubus; certum est, aquam aequalem illi frusto, esse etiam aequalem cubo aqueo, ac proinde et cubo tuo solido, ideoque certissime concludes, frustum illud esse aequale, et mole et pondere, cubo ejusdem matetiae cujus est frustum.

Hoc posito, si solidi cujuscunque propositi, cujus notam habes magnitudinem in cubis, pondus exploraveris, exscinde ex corpore illo, aut materia ejusdem rationis cum tali corpore, frustum aliquod cujuscunque figurae, illudque imminuendo aut augendo paulatim eo redige, donec differentia ponderis illius, dum in aere primum, deinde in aqua appenditur, sit 12 partium. Hoc autem facile obtinebis per Regulam Trium, ubi semel exploraveris differentiam illius frusti, dum appenditur in aere et aqua, si enim invenias prima vice in aere partes v. g. 100, in aqua 80, ita ut differentia sit 20, si dicas 20 oriuntur ex 100 in aere, 12 ex quo oriuntur? statim habebis pondus in frusto quod extra aquam appenso requiritur ad hoc, ut diminutio in aqua fiat 12 partium. Inventâ hac differentiâ, constat ex modo dictis, frustum illud, licet non sit cubicae figurae, esse tamen omnino aequalis magnitudinis cum cubo tuo solido. Multiplica jam numerum ponderis talis frusti in aere appensi cum numero cuborum quos in ponderando corpore reperisti, et habebis pondus totius coporis propositi, v. g. si corpus propositum est 100 cuborum, et frustum est 20 librarum; multiplica 100 per 20, et invenies corpus propositum esse 2000 librarum.

Propositio VII. Ex noto pondere alicuius solidi corporis aqua gravioris, notam facere ipsius magnitudinem.

[note: Magnitudinem corporis invenire hydrostatice, cognito eius pondere. ] SIt saxi ingentis nota gravitas, cujuscunque sit figurae. Si ex ipso saxo, aut ex simili, frustum abscindas, et per dicta Problem, praercedenti efficias, ut frustum hoc sit aequale in magnitudine tuo cubo solido, hoc est, ut pondus ipsius in aqua sit 12. partibus minus quam in aere; et deinde pondus talis frusti examines in aere, inveniasque esse, v. g. 66 librarum: si totum saxi pondus div. das per 66, scies quot cubos aequales tuo cubo contineat saxum illud.

Propositio VIII. Datis duobus aut pluribus corporibus aqua gravioribus, eiusdem aut diversae species, aequalibus in pondere, invenire utrum sint aequalia in mole.

[note: Monetam adulteram deprehendere hydrostatice. ] SInt duo corpora metallica, v. g. duo monetae, aequales in pondere, sed vel ex diverso metallo, vel ex diversa ligatura, vis scire, num, et quantum una sit major altera? Appende singulas crine ad bilancem in aqua, et nota quantum diminuatur ipsarum pondus. Si enim aequaliter diminuitur, sunt aequales in magnitudine, quia ranta erit utriusque moles, quanta moles aquae ipsis aequalis; quas in casu posito aequales esse nec esse est, per 6. Theor. Si vero inaequaliter diminuitur utriusque pondus in aqua, inaequales erunt in magnitudine; illaque erit major, cujus pondus magis diminuitur; nam signum est, huic respondere molem majorem aquae quam alteri.

Annotatio.

[note: ] HAc arte scies, utrum moneta sit adulterata: si nimirum deprehendas hanc esse majorem non adulteratâ.

Propositio IX. Invenire gravitatem cuiuscumque aquae hydrostatice, mediante corpore quod sit levius aqua.

[note: Aquarum gravitates invenire hydrostatice ] POne corpus leviusa quâ in diversis aquis, et nota quantum in unaquaque mergatur: in qua enim plus mergitur, illa aqua levior est; in qua minus, illa est gravior. Ratio patet ex dictis Theor. 3. Si quis igitur cylindrulum concavum aeneum, aut argenteum (ligneus enim aquam imbibit) vel melius parallelepipedum construeret, eâ symmetriâ cum aqua, ut in ea ad horizontem perpendiculariter erectus nataret, et aliquâ sui parte supernataret; pars ejus immersa, vel emersa, doceret aquae, vel alterius humidi, cui imponeretur, gravitatem; si tamen semel quis illo instrumento exploraverit, quantae sit humidum aliquod gravitatis, vel ipsius instrumenti gravitatem in aere noverit. Nam si tota instrumenti longitudo dividatur crebris lineis per circuitum ductis, et basi parallelis, in partes aequales parum inter se distantes, et notetur usque ad quam lineam immergatur; certum est, humidumillud cui immersum est, aequale toti instrumento quoad molem, eam in gravitate rationem habere ad totum instrumentum, quam habet totum instrumentum ad partem sui mersam: Si igitur instrumenti pondus in aere est unius unciae, v. g. et mergatur dimidiâ sui parte; aquae moles toti instrumento aequalis erit duarum unciarum: si mergatur ad tertiam sui partem, aqua toti aequalis erit trium unciarum, etc.

Propositio X. Diversorum liquidorum gravitatum differentiam invenire hydrostatice, corpore quod aeque grave ac liquorum unus.

[note: ] GLobulo cereo, vel melius cereo cubo, aut parallelepipedo, adde tantum plumbi, ut in humido proposito nec supernatet, nec descendat, sed ubique in eo usque ad supremam superficiem mergatur: tunc enim signum est, tantum aquae, quantum est aggregatum ex cera et plumbo, esse aequalis ponderis cum tali aggregato. Jam si in alio quovis humido positum tale cereum corpus descenderit, id erit priori bumido levius: si vero supernataverit, crit id gravius: si denique mergatur usque ad supremam superficiem, erit aeque grave.

Propositio XI. Quantum salis contineat quaelibet aqua salsa, hydrostatico artificio cognoscere.

[note: Salis quantum contineat aqua, hydrostatice invenire. ] FIat tubus seu fistula gracilis A B ex ebore, palmaris circiter longitudinis, in cujus extremo sit sphaerula concava D. Accipe deinde aquam purissimam, in qua certo sciatur nihil salis inesse; in eam que instrumentum perpendiculariter ereoum [note: Iconis. XX. Fig. 469. ] impone, ac paulatim adjunge ad sphaerulam pondus aliquod, sive extra appendendo ubi E, sive intus infundendo, donec adjunctum pondus ita deorsum trahat instrumentum (clauso prius orificio A) ut solum summum fistulae orificium emineat supra aquam. Posthaec sume vas plenum aquâ purissimâ, in qua totum instrumentum perpendiculariter erectum demergi usque ad summum orificium A possit, et inquire exactissime pondus totius aquae, totumque pondus divide in partes 1200: sic enim aqua ista, cujuscunque sit ponderis, supponetur esse librarum 100, et una pars illarum 1200 censebitur esse una uncia illarum 100. librarum. Sume praeterea sal bene praeparatum, exsiccatum, et in pulverem subtiliter redactum; atque ex illo exacte repone particulas unciales ad rationem tuae aquae, id est, divide in particulas salis, quarum pondus sit aequale uni ex illis 1200. partibus aquae. His factis, impone instrumentum ABE in purissimam illam

aquam explorati ponderis, et in fistula nota exacte aliquam usque partem demergatur, notando circulum C, ira ut deleri non possit: mox in aquam injice unam unciam salis, hoc est, unam ex paratis particulis 1200, et exspecta donec in aqua dissolvatur; videbis statim instrumentum assurgere, ita ut major jam pars fistulae emineat ex aqua. Nota igitur diligentissime in fistula signum partis eminentis ex aqua, ita ut deleri non possit. Aliam similiter unciam salis tui impone in eandam aquam, ut di dissolvatur; et iterum magis assurget instrumentum, et major pars fistulae eminebit, quam similiter notabis signo ut deleri non possit. Mox tertiam injice salis unciam in aquam, eoque dissoluto nora ut antea signum magis eminentis fistulae. Eodem modo procede ulterius, quamdiu instrumentum manebit in aqua erectum pondere sphaerulae. Ubi eo deveneris, ut vel tota fistula AB emerserit ex aqua, vel certe ut instrumentum non maneat amplius erectum, appende pondus plumbeum Funcinulo E, et paulatim immmuendo dictum pondus, pone instrumentum iterum in aquam illam, in quam hactenus salem injecisti, et fac ut pondus ipsum detrahat praecise usque ad C; et iterum uncias salis addendo, assurget de novo pondus, novosque circellos in circuitu fistulae designabit, quos notabit suis numeris distinctis a prioribus.

Haec est instrumenti fabrica. Usus hic est. Quotiescunque ipsum in aquam aliquam pones, statim exparte fistulae emergentis ex aqua cognosces quantum salis sit in singulis 100 libris illius aquae. Sive enim aqua sit in magna quantitate, sive in parva, assurget pro ratione salis in aqua existentis. Infallibiliter ergo scies, quot salis unciae ex 1200. aquae unciis extrahi queant.

Annotatio.

[note: ] HOc eodem instrumento deprehendes, quaenam aqua potabilis sit levior, quae gravior: quanto enim magis aut minus emerget collum fistulae ex aqua, tanto erit levior aut gravior, juxta dicta Proposit. 9. praecedenti.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] OMitto multa alia Problemata, hydrostatica, de quibus egi 3. Par. Magiae lib. 5. Syntag. 2. Vt qua ratione possimus super aquas ambulare; naves, aliaque magni ponderis in mari aut fluminibus demersa extrahere, navem sub aquis natantem fabricari, saltem ex aliorum phantasia; maris profunditatem metiri; vitreas aviculas, aliasque cujuscunque formae icunculas ex vitro in aqua librare, surumque ac deorsum pro libitu motitare; quatuor humores intra sphaeram vitream ita librare, ut mundum elementarem referant; globulum solidum in medio liquore libratum suspendere; discumbentes illudere, ut pro vino aquam bibant; efficere ut quis putet aquam in vinum converti; aquam e vino separare; utrum vino admixta sit aquae, cognoscere, et similia alia. Omitto item quam plurima Erotemata hydrostatica; ut utrum navigari possit in aere; cur nubes in media regione aeris haereant suspensae; utrum in aqua consistente partes inferiores premantur a superioribus; cur hominis corpus aquae immer sum non sentiat aquae superpositae pondus; cur glacies supernatet aquae; cur corpora hominum viva mergantur, et post duos aut tres dies enatent, et alia multa.

LIBER XVIII. DE HYDROTECHNIA, Sive De Machinis Hydraulicis.

PROOEMIUM.

[note: [note: Hydrotechnia. ] HYdrotechniae, hoc est, Artis aquariae seu aquaticae, qua tam mira passim artificia, spectacula tam iucunda, tam utilia, et hominum usui necessaria Inventa ubique excitari videmus, tria praecipue sunt officia, aquas nimirum vel e profundo haurire, vel deducere per planitiem, vel educere in altum per fistulas ac tubos, ac deinde in fontes aliaque hydraulica technasmata, humano usui aut oblectationi accommodata formare. [note: Hydraulicae machinae triplicis generis sunt] Qua de causa Machinae aquaticae triplicis sunt generis. Aliae enim iumentorum, hominum, ponderum, ventorum, fluviorum ope, rotis varie inter sese implicatis, quin et sine rotis simplicissimo artificio, moventur. et aquas e puteis, lacubus, fluviis, in altum educunt, cuiusmodi sunt tympana, antliae seu Ctesibicae Machinae, cochleae, tollenones, globulorum catenae, haustrorum rotae, aliaque similia, quae passim multis in locis spectantur, et a variis Auctoribus graphice depinguntur, ac describuntur. Et hisce machinis elevantur aquae, ac sursum evehuntur, vel per vasa seu haustra, vel per tubos, et vasa vel sunt unica in singulis machinis, vel multiplicata et simul invicem connexa in modum perpetuae vasorum catenae, vel ita disposita, ut subinde ex uno in aliud vas aqua effundatur, donec tandem ad destinatum locum perveniat. Aliae solo aquarum lapsu naturali fontes exhibent amoenissimos, et aquas per sippones [perhaps: siphones] tubosque varie configuratos protrusas nunc expandunt in subtilissimum lucidissimumque velum, nunc diffundunt in radios, figurant in stellas, effingunt in flores, intendunt in iacula, crispant in pluvias, conglobant in grandines; aliaque generis omnis hydraulica spectacula, seu ludrica ad oculorum oblectamentum, seu seria ad hortorum domorumque privatos ac publicos usus exhibent. Aliae denique aquaticae machinae inclusi intrusive aeris [orig: aëris] violentia, eiusdemque, aut aquae rarefactionis ope, vel alterius ab altero vehementi

CAPUT I. De Machinarum Hydraulicarum principiis, seu fundamentis.

[note: Hydraulicarum machinarum fundamenta. ] DETractoriis machinis nihil hoc loco agimus, quoniam ad Mechanicam proprie spectant, sed de solis Hydraulicis, et Hydraulicopneumaticis; quas tamen omnes unicâ et breviori nomenclatura Hydraulicas appellare nunc placet. Harum quatuor reperio principia seu fundamenta. Primum est Vis Attractiva, seu Attractio ad evitandum vacuum: quâ vi aqua, quantumvis gravis alioquin, et humi repens, tracta accurrit, et suae oblita naturae in sublime nititur, am oenissimosque in fontes spargitur. Secundum est Vis expulsiva, seu Expulsio, ad corporum penetrationem fugiendam: quâ vi eadem aqua, dum aeri alterive corpori valide incumbenti cedere cogitur hospitio, expulsa fugam proripit eo celeriorem, excelsioremque quo vehementioribus se stimulis agitatam senterit. Tertium est Vis Rarefactiva, seu Rarefactio, ad majorem locum occupandum: quâ vi obsessum clementum aqueum tantas in subinde redigitur angustias, ut dum sese, quâ data porta, subducit, alas induisse videatur, abjectis gravitatis propriae compedibus. Quartum denique est Fluxus aquae naturalis, ad aequilibrium obtinendum: quo fluxu dum ad loca tendit decliviora, accedente arte tanto assurgit altius, quanto depressa antea fuerat profundius.

Haec quatuor principiaqui applicare rite noverit, et ingeniose combinare, quaslibet Hydraulicas Machinas fabricari poterit, facilitate summâ, successu infallibili, cum nulla sit, quae non unâ autpluribus harum facultatum instituatur, uti ex sequentibus patebit. Sed antequam ad Machinarum constructionem progrediamur, haec ipsa quatuor principia paulo distinctius explicemus.

CAPUT II. De primo Machinarum Hydraulicarum principio, quod est vis Attractiva, seu Attractio [correction of the transcriber; in the print Atractio], ad evitandum vacuum.

[note: Hydraulicarum machinarum fundamentum primum. ] NOn aerem solum sed aquam etiam, et alia graviora corpora, in altum trahi ad vacuum vitandum, fatentur nonii tantum qui vacuum e rerum Natura cum Aristotele et tota Peripateticorum Schola proscribunt, sed alii etiam qui corporibus omnibus vacuola quaedam (ita loquuntur) interspersa esse cum Democrito et Epicuro existimant: illi quidem; ad vacuum impediendum, hi vero ad idem implendum. Innumera Experimenta attulimus ex utrorumque sententia, in Mechanica Hydraul. Protheoria 1. et 4. et in Par. 3. Magiae lib. 7. Syntagm 1. Unum aut alterum hîc reponimus, ex Aristotelis et veriori sententia.

Experimentum I. De siphone inverso non interrupto.

ESto vas aquâ plenum ABCD, cui inversi siphonis [note: Sipho inversus non interruptus. ] crus unum FE immergatur, alterum FN foris maneat. Vocetur autem crus FE internum, crus vero FN externum; et sipho vocetur non interruptus, quia crura inter se continuantur. [note: Vide Iconism. XXI. Fig. 470. ] Si crus externum FN est longius quam internum. et exore N exsugatur aer, sequitur aqua vasis, ob vacui metum, et cessante suctu continuatur fluxus quamdiu cruris interni os E immersum est aquaae. Si totus sipho aquâ impleatur, et utrumque [note: Iconism. XXI. Fig 470. ] orificium claudatur, ac deinde minus crus EF aquae immergatur, majoriforas prominente, et simul utrumque orificium aperiatur, idem continget. Non tamen sufficit ut crus externum sit quacunque ratione longius crute interno, sed necessarium omnino est ut perpendiculum externi cruris longius sit perpendiculo iuterni, juxta explicationem quam dabimus sequenti experimento.

Experimentum II. De siphone inverso interrupto.

SIt cisterna, piscina, aut vase quocunque B, aqua [note: Sipho inversus interruptus. ] pleno, clevanda ad pedum aliquot altitudinem aqua in vas KA, quod sit constitutum in pa te aliqua superiori, et habeat epistomium H. Fiat vas C, ex eoque derivetur ad vas KA tubus OI [note: Vide Iconism. XXI. Fig. 471. ] utrimque apertus, qui in vase C incipiat immediate infra oper culum. Derivetur praeterea ex vase B, ad vas KA; tubus BK, utrimque etiam apertus, qui in vase B incipiat paulo supra fundum ipsius, in vase vero KA desinat paulo infra operculum, ubi etiam nonnihil incurvetur. Tandem ex vase C demittatur tubus EF utrimque apertus, cum epistomio E, habens longirudinem paulo majorem longitudine tubi BK. Debent autem omnes tres tubi diligentissime adferferruminari

seu coarctari plumbo, aliâve materia, suis vasis in loco transitus, et tam vas C, quam vas KA, debet claudi et obturari undique studiosissime, ne aliunde aerem, quam per tubos, recipere aut ejicere valeant. Vocetur autem haec Machina sipho in versus interruptus, quia crura BK, et EF, per quae aqua fluit, non continuantur inter se, sed nterrupta sunt. His ita praeparatis, impleatur vas Caqua per foramen O, et ubi repletum fuerit, claudatur ut dictum. Deinde clauso epistomio H, aperiatur epistomium E tubi EF, defluetque aqua ex vase C, et in locum ipsius, ne vacuum in vase C admittatur, sequetur tubum OI aer in vase KA contentus, in locum vero ae is extracti e vase KA, sequ[?]tur, propter vacui metum, aqua vasis seu cisternae B: per cubum BK, et tam diu durabit ascensus aquae per BK, in vas KA, quamdiu descendet aqua per EF ex vase C. Repleto vase KA, depromatur aqua per epistomium H, et operatio instituatur ut antea. Ut depleri possit vas KA per epistomium H, debet aquae effluenti succedere aer, quare vel aperiendum est alicubi vas KA (si in B adhuc est aqua, eique immersum os inferius tubi BK) vel vas G, velepistomium E depleto vase C.

Dixi, tubum EF debere esse paulo longiorem tubo BK. Causa est, quia perpendiculum aquae cadentis debet esse longius perpendiculo aquae ascendentis metu vacui, ut dicetur infra cap. 5. Unde non sufficit ut tubus EF sit quacunque ratione longior tubo BK, sed necessarium est ut perpendiculum ipsius EF sit longius quam perpendiculum BK, hoc est, ut tubus EF perpendiculariter ascendat profundius infra vas C, quam rubus BK ascendat perpendiculariter supra vas B. Quare si tubus EF longior, quam tubus BK, inclinaretur infra vas C. aut convolveretur in helicem, ut in Figura apparet, ita ut perpendiculum ipsius non pertingeret ab E usque ad F, sed solum usque ad lineam DG, neutiquam sufficeret, sed omnino necessarium est, ut pertingat ad minimum usque ad F, aut usque ad I neam FH. Causam de dimusin Meckanica Hydraul. Et hoc observandum est in omnibus Machinis quae vi attractiva, ob vacui metum, aquam attollunt, ut nimirum perpendiculum tubi per quem aqua descendit, sit longius quam perpendiculum per quem ascendit, in reliquis vero tubis, per quos solum aer commeat, ut est tubus CA, non requiritur dicta proportio.

Ex his pater, quomodo aqua, ad vacuum impediendum, ascendat contra naturalem suam inclinationem, et quomodo propter eandem causam aer descendat. Vis ergo Attractiva, seu Attractio, ad vacuum evitandum, est principium seu fundamentun: Machinarum Hydraulicarum.

CAPUT III. De secundo Machinarum Hydraulicarum principio, quod est Vis Expulsiva, seu Expulsio, ad corporum penetrationem fugiendam.

[note: Hydraulicarum machinarum fundamentum secundum ] NOn minus corporum penetrationem mutuam, quam vacuum, Natura abho[?]ret ac fugit. Quare ut vacui metus omnium Universi corporum inter se contiguitatem mutuam, ita penetrationis metus eorundem ex eodem loco mutuam expulsionem inducit. Et corpus quidem unum expellere alterum e suo, quem occupat, loco, si ei superveniat (ni sponte excedat) tam est evidens, quam est manifestum dari motum localem eorundem corporum. Idque verum est non tantum in duris solidisve, sed liquidis etiam ac fluidis corporibus, aere dico, et aqua. Videmus enim quotidie, aquam vasi aere pleno illabentem, expellere aerem, si exeundi locum habet, et si non haber, aquam infundi nec velle, nec posse. Videmus item, aerem inflatum vasi per os unum, expellere aquam per alterum, aut etiam per idem, si elabendi detur locus, qui si non datur, nec aeri patere ingressum. Taceo centum alia exempla. Atque haec mutua corporuni expulsio alterum est Machinarum Hydraulicmum principium, quo innumera, et non minus jucunda, quam admiranda exhibentur spectacula passim, ut ex sequentibus apparebit. Interim sequens accipe Experimentum.

Experimentum, quo ostenditur Vis Expulsiva, propter corporum impenetrationem, ad aquas in altum elevandas.

[note: Hydraulica machina Vi expulsi [correction of the transcriber; in the print . ] instituta ] FAc ex stanno, cupro, aliave materia quacunque aquis resistente, tria vascula, A, et F, et GH, columnis inter se distincta, ut monstrat Figura, aut aliâ ratione, prout placuerit: sintque haec vascula undique clausa quam diligentissime, ne aerpossit aut ingredi, aut elabi, saltem ex A, et GH. [note: Iconism. XXI. Fig. 472] Vas inferius GH habeat epistomium I, per quod aqua effluere possit. Vasa A, et F, habeant in operculis foramina C et E, ut per ea infundi possit aqua, et iterum obturari. Ex vase A egrediatur tubulus AB utrinque apertus, qui inferius fundum vasis non attingat, superius vero habeat osculumstrictissimum B, et epistomium K. Ex eodem vase A descendat intra vas GH alius tubulus DH utrimque apertus, qui superius non attingat operculum vasis A, sed tantum ab illo distet, ut possit egredi aer, inferius vero transeat solum operculum vasis GH, et non extendatur ulterius. Ex vase denique F descendat intra vas GH alius tubulus FG utrimque apertus, qui superius transeat solum fundum vasis F, et non progrediatur ulterius, inferius vero distet tantum a fundo vasis GH, ut aqua effluere possit habeatque epistomium L. Hi tres tubi debent ita stanno, aliâve materiâ coarctari et adferruminari vasis in loco transitus, ut nullus aer penetrare intra vasa, aut elabi ex [?]sdem possit. Debet praeterea tubus FG longior esse, quam tubulus AB, quare pra stat hunc quam minimum extra vas A protendi.

His prae paratis, repleantur aquâ duo vasa A, et F per foramina C et E (clauso prius epistomio L,) vas vero GH maneat vacuum. Deinde clausis reliquis epistomiis, et obturato foramine C, altero vero E relicto aperto, aperiatur epistomium L, ut aqua vasis F defluere possint intra vas GH, et postquam defluxit aliquantulum, aperiatur epistomium K. Erumpet maximo impetu aqua vasis A per tubulum AB, prosilietque in altum, vi expulsivâ, propter corporum impenetrabilitatem. Nam aqua vasis F descendens intra vas GH, expellit inde aerem per tubum HD intra vas A, qui aer expellit

inde aquam per tubulam AB, quoniam neque in GH, neque in A, aer et aqua simul in eodem loco manere possunt, sed necessario unum corpus expellit alterum, propter eorum impenetrabilitatem. Ubi descenderit aqua vasis F intra vas GH, et exsiliverit aqua vasis A per tubulum AB, depromi poterit aqua vasis GH per epistomium I, et repleri iterum vasa A et F ut antea, et insti tui idem lusus.

Vides igitur, quomodo vis Expulsiva, sive Expulsio, propter corporum impenetrabilitatem, sit principium et causa Machinarum Hydraulicarum.

Notanda circa praedictum Experimentum.

[note: ] Circa praedictum Experimentum notanda sunt sequentia. Primum est, expedire ut vas A non sit minus capax quam vas F, et tubus FG non sit amplior tubo AB, sic enim fiet, ut quamdiu aqua ex vase F descendit intra GH, tamdiu saliat aqua ex vase A per tubum AB. Secundum est, non esse necessarium ut fiat vas F, sed sufficeret solus tubus FG habens in F infundibulum, ut aqua infundi aut influere posset. Tertium est, omnino necessarium esse ut tub. FG longior sit, quam tubulus AB, quia hîc etiam, ut ubique in Hydraulicis; perpendiculum aquae descendentis debet esse longius, quam perpendiculum aquae descendentis. Perpendiculum autem tubi FG computatur ab F usque ad supremam superficiem aquae descendentis et quiescentis in vase GH. Quo vero longius fuerit perpendiculum FG supra perpendiculum AB, eo altius salit aqua ex osculo B. Quare cum in principio, quando incipit descendere aqua intra vas GH, longius sit perpendiculum FG, quam postea dum vas paulatim repletur, consequens est ut in principio altius saliat aqua ex B, quam postea. Quarium est, tubulum AB non debere esse laxiorem tubo FG, tum ob causam indicatam Notabili I, tum quia alioquin gravior erit aqua intra AB, quam ut elevari possit ab aere modico intra vas Apulso a modica aqua cadente intra vas GH. Nec laxior sit tubus FG, quam AB, ne nimis cito repleatur vas GH, et antequam tota aqua vasis A sit expulsa per AB. Quintum est, ninil referre quantae sit altitudinis tubus HD, per quem aer defertur, quia nihil confert ad perpendiculum. Ne sit tamen nimis longus, aut laxus, alias multum aeris intra ipsum absorbetur, quia alioquin expelli deberet intra vas A.

Annotatio.

[note: ] PRaedictum artificium clevandi aquam vi expulsivâ propter corporum impenetrabilitatem, semper debet haberi prae oculis in similibus Machinis fabricandis, et machina quae huic non conformantur, defectuosae sunt.

CAPUT IV. De tertio Machinarum Hydraulicarum principio, quod est Vis Rarefactiva, seu rarefactio, ad maiorem locum occupandum.

[note: ] RArefactionem ingentes suppeditare viros, aliis corporibus, ita aquae et aeri, ad ea in omnem situs differentiam impellenda, multoque magis ad hydraulica omnis generis technasmata molienda: is solus ignorare potest, qui stupendos ejus affectus ignorat. Videmus quotidie, miramurque ac plangimus etiam stragem quam nitratus ac sulphureus pulvis intra bombardarum militarium angustias rarefactus edit in sternendis non hominum corporibus tantum, sed aedibus, turribus, propugnaculis, atque adeo urbibus integris. Non minorem edit stragem idem pulvis intra cuniculos subruendis propugnaculis et arcibus excavatos accensus ac rarefactus. Notum est quod scripsimus cum aliis Par. 3. Magiae lib. 2. de auro: fulmi nante, et pulvere magni strepitus; et in Mechanica Hydraulicopnevmat. Par. 1. Protheoria 3. de globulis vitreis intus cavis, et pauculis aceti guttulis aliquo usque repletis, atque adignem vitriariâ arte iterum conclusis, qui carbonibus aut calido cineri impositi, ac vi rarefactionis in mille partes rupti, tantum edunt fragorem ut minores bombar dulas aemulentur. Alia exempla invenies cit. loc Mechanicae. Nunc unum accipe Experimentum, quod rem, de qua agimus, lucusentius confirmat.

Experimentum, quo ostenditur vis Rarefactiva, ad Machinas Hydraulicas efficiendas

[note: Hydraulica machina [correction of the transcriber; in the print muchina] vi rarefactiva [orig: rarefactivâ] instituta. ] FIat ex axe,, ferro, aliâve materiâ igni resistente, vas quodpiam in duo vascula, ED, et AF, mediâ columnâ B discriminatum, et in praesentem aut aliam formam elaboratum, intus cavum, et operculo M optime clausum, aerisque transpirationi prorsus impervium. Intus ab oper culo [note: Iconism. XXI. Fig. 473. ] M per columnam B, ad inferiorem partem derivetur tubus D B A utrimque apertus, qui operculum M non attingat, sed tantum distet, ut aeri seu vapori transmisso exitum concedat. Per ipsum vero operculum transeat alius tubulus CE, utrimque etiam apertus, et instrictissimum osculum C desinens, qui fundum vasculi ED non attingat, sed tantum distet, ut aquae ingressum permittat. His praeparatis, vasculum ED per foramen Mliquore aliquo repleatur, aqua videl. communi, aut odorifera, et ne transpirare possit, arcte claudatur. Vas etiam AF aqua communi, aliove liquore aliquo usque tantum repleatur (ne videlicet osculum A liquori immergatur) per osculum G, quod similiter arcte deinde claudatur. Tandem machinae subjice ignem; et paulo post aer ac vapor vasis AF vi caloris rarefactus, et ex nimia raritate dilatatus, majusque quaerens spatium, ascendet per tubum ABD in vasculum ED, ibique conclusae aquae superincumbens in tantas eam rediget angustias, ut, quia alium effugiendi locum non invenit, magna vi per tubulum E Cerumpat, atque in altum exsiliat tanto vehementius, quanto major fuerit rarefactio aeris et aquae in vasculo AF.

Ex his patet, quam vim habeat rarefactio ad machinas hydraulicas efficiendas.

CAPUT V. De quarte Machinarum Hydraulicarum principio, quod est fluxus aquae naturalis, ad aequilibrium obtinendum.

[note: Hydraulicarum machinarum fundamentum quartum. ] AQua dum naturaliter fluit, aut libere fluit, aut aquae ductibus, canalibus, tubis, siphonibus, fistulis, qui buscunque aliis meatibus, velut vinculis constricta. De utriusque fluxus proprietatibus fuse egimus in Mechanica Hydraul. Par. 1. Protheoria 4. ex quibus haec paucula excerpsimus,

Proprietates aquae fluentis libere.

[note: Aqua fluentis libere proprietates. ] AQua et omnis alius humor, fluens libere, tendit ad loca decliviora, hoc est, centro gravium sublunarium (quod credimus esse centrum Tetraquei globi, et totius Universi) propinquiora, si liber patet aditus, sive rectus ac perpendicularis, sive obliquus. Patet experientiâ quotidianâ, nec indiget probatione.

II.

[note: ] Aquae consistentis superficies superior est sphaerica. Sequitur ex praecedenti Proprietate. Si enim cessante fluxu, et consistente seuquiescente jam aquâ; superficies superior non esser sphaerica, et consequenter non omnesdictae super ficiei partes aequaliter distarent a centro Mundi, sed una esset altior, altera humilior: non omnes aquae partes, sublatis impedimentis, fluerentad loca decliviora, sed in statu violento detinerentur. In exiguis tamen vasis censeri potest horizonti parallela suprema aquae superficies.

III.

[note: ] Aqua fluens naturaliter non ascendit ad locum altiorem suâ origine, sive libere fluat, sive non libere, sed meatibus constricta. Patet experientiâ, et sequitur ex duabus praecedentibus Proprietatibus.

IV.

[note: ] Aqua non fluit naturaliter ab uno ad alterum locum, nisi terminus a quo altior sit quam ter minus ad quem, sive libere fluat, sive non. Patet similiter experientiâ, et sequitur ex dictis. Hinc aqua ut fluat, requirit declivitatem aliquam spatii per quod fluit.

Proprietates aquae fluentis per siphones erectos.

[note: Aqua fluentis per siphones erectos pro prietates. ] AQua uni siphonis erecti cruri infusa, descendit primum, deinde ascendit per alterum crus, donec supremae superficies introque crure sint in eadem linea horizontali ad sensum. Sint siphones erecti ABCDEF, sive aequalium, sive inaequalium [note: Iconism. XXI. Fig. 474. ] crurium, tam quoad longitudinem; quam quoad capacitatem, unique crurium, sive longiori, sive breviori, sive aequali, et sive largiori, sive strictiori, v. g. cruci AB infundatur aqua. Descendet ea primum usque ad B, indeque per C et D ascendet, donec supremae aquae superficies sint in utroque crure in eadem linea horizontali, v. g. in linea HIK ad sensum, hoc est, donec revera omnes dictarum superficierum partes distent aequaliter a centro Terrae. Patet experientiâ, et ratio sumitur ex dictis Propriet. 1. et 2. Idem contingit in omnibus incurvatis canalibus, alveis, et meatibus quibuscunque.

VI.

[note: ] Si uni crurium, sive longiori, sive breviori, sive aequali, et sive capaciori, sive minus capaci, addatur aliquid aequae, v. g. cruri AB; attollitur etiam alterius cruris aqua, donec rursus superficies distent aequaliter a centro Terrae, seu sint ad sensum in eadem linea horizontali, v. g. in lniea G F E. Ratio est eadem.

VII.

[note: ] Si cruri longiori non pleno, sive id capacius sit altero jam pleno, sive non, addas plus aquae, v. g. cruri AB; descendet ea per B, elevabitque aquam cruris C D E F. et expellet per os EF, donec cessante infusione sit iterum utraque super ficies in linea G F E. Paret experientiâ, et ratio est eadem, alioquin super ficies unius cruris plus distaret a centro Terrae, quam alterius.

VIII.

[note: ] Si cruri breviori, licet capaciori, nempe cruri EFCD, jam pleno addas plus aquae; ea non attollet aquam cruris longioris ultra punctum G, sed effluet ex ore EF, licet aqua cruris E F C D sit longe major et ponderosior, quam aqua cruris AB. Patet itidem experientiâ, et ratio est eadem, ne videl. superficies unius sit altior quam alterius.

Corollaria.

COlligitur hinc I. aquam majoris perpendiculi premere ac pellere aquam minoris perpendiculi, non obstante majori copiâ ac pondere hujus; quam illius. ideo enim aqua cruris longioris AB, etiam primae figurae, expellit aquam cruris brevioris CDEF, licet longe majorem ac ponderosiorem, quia perpendiculum illius est majus seu longius, quam perpendiculum hujus.

[note: In hydraulicis pugnatur ac vincitur perpendiculum. ] Colligitur II. In siphonibus erectis, atque adeo in hydraulicis, non aquarum copiâ, sed perpendiculis pugnari, ac vinci: illa enim aqua pellit ac vincit alteram, cujus perpendiculum est majus

Proprietates aquae fluentis per siphones inversos.

IX.

SI in figura apposita, quam supra c. 2. explicavimus, [note: Aqua fluentis per siphones inversos proprietates. ] crus extremum FN maneat integrum, hoc est, sit longius quam internum EF, et ex ore N ex sugatur aer: sequitur aqua vasis, ob vacui metum, ut ibi diximus, et suctu etiam cessante continuatur quamdiu os E aquae immersum manet. Idem contingit, si totus sipho aquâ impleatur et utrumque [note: Iconism. XXI. Fig 470. ] orificium claudatur, ac deinde minus crus EF aquae immergatur, majus vero foras promineat: et simul utrumque orificium aperiatur. Constat experientiâ, et ratio est, quia perpendiculum aquae cruris externi longius est, quam perpendiculum aquae et uris interni, ideoque illud fortius premit deorsum, et vincit, alteriusque aquam secum trahit, ob vacui metum. Effluit tamen aqua cum perpetuo celeritatis decremento, quia perpendiculum aquae crutis interni, altitudo nimirum aquae a puncto Pusque ad super ficiem supremam aquae vasis (haec enim sola premit actu deorsum (semper magis ac magis crescit, ac proinde

semper magis magisque resistit perpendiculo aquae cruris externi, quod immutatum manet, quamdiu aqua effluir.

[note: ] Si crus externum FN decurtetur in K, et internum tangat fere fundum in E vasis pleni, et ex ore K extrahatur aer, aut si utrumque crus est aquâ plenum, aperiatur simul utrumque orificium; effluit similiter aqua quam diu os E immersum manet. Ratio est, quia perpendiculum aquae cruris externi longius est quam interni. At postquam vas evacuatum est usque ad E, nihil amplius effluit ex K, sed aqua haer et in aequilibrio in utroque crure. Ratio est, quia perpendicula EF, KF, sunt aequalia; ergo neutrum vincit.

XI.

[note: ] Si crus externum decurtetur in H, et internum sit infra lineam LM, aut pertingat solummodo usque ad dictam lineam, vas tamen sit plenum, effluit aqua per os H, donec suprema aquae vasis superficies perveniat usque ad lineam LM, et non amplius. Ratio est, quia antequam dicta aquae super ficies perveniat ad lineam LM, perpendiculum cruris externi est semper longius perpendiculo cruris interni: quando vero descendit jam ad distam lineam, ambo perpendicula sunt aequalia.

XII.

[note: ] Si crus externum decurtetut in G, ut sit ejusdem altitudinis supra Horizontem cum superficie humidi CD, et aqua attrahatur in G, nihil effluit, quia perpendicula sunt aequalia. Aqua ergo haeret in aequilibrio in utroque crure.

Corollaria.

[note: In hydraulicis pugnatur ac vincitur perpendiculis. ] COlligitur hinc, etiam in siphonibus inversis, atque adeo in hydraulicis pugnari ac vinci perpendiculis, non aquarum copiâ. Unde etiamsi crus externum sit longe capacius quam internum, si tamen non est longius, non vincit et trahit ejus aqua aquara interni.

Ex his patet, quomodo fluxus naturalis aquae per canales, alveos, tubos, et siphones, possit esse principium fontium et Machinarum Hydraulicarum.

CAPUT VI. De Machinis Hydraulicis quae fiunt vi attractiva [orig: attractivâ], ob metum vacui.

[note: Hydraulica machina quae fiunt vi attractiva [orig: attractivâ]. ] HUjus generis multas dedimus in Mechanica Hydraul. Par. 2. Classe 1. cap. 1. et nonnullas 3. Par. Magiae lib. 7. Syntagm. 1. ex quibus paucas, quae sequuntur, desum psimus, ut sumptibus parcamus, et Operis moli.

Machina I. Fonticulus phialae vitreae inclusus.

[note: Fonticulus phialae vitreae inclusus. ] Flant tria vasa; HI ex aere, aut cupro, clausum, cum epistomio M, et foramine O aperto; KF similiter ex aere, aut cupro, apertum; et DB ex vitro, cum fundo aereo aut cupreo VX, optime ipsi vitreae phialae adglutinato. Ex hoc fundo tubum DFEL, per fundum vasis KF, usque in vas HI deduces; qui et epistomio E ad laxandum cohibendumque aquae fluxum instructus sit, et tam fundo VX, quam vasis KF, et HI, io transitu optime adferruminatus. Alium tubum AP ex fundo vasis KF per fundum vasis DB deduces, qui fundo VX optime adferruminetur, et intra phialam in tres aut plures tubulos strictissimos divaricetur fundumque vasis KF non attingat. His paratis, imple aliquo usque vas DB, per foramen in B, aut in fundo VX factum, et foramen obtura diligentissime, ne aer ingredi aut egredi possit. Imple similiter totum vas KF, vas vero HI maneat vacuum. Demum laxa epistomium E, et aqua vasis DB descendet per tubum DFEL, et ne detur vacuum, ascendet aqua vasis KF per tubum AP, et per divaricatos tubulos jucundissimo spectaculo in altum exsiliet intra phialam, nec cessabit saltus, quam diu vas KF aquam continebit. Quare si dicto vasi semper aqua affundatur, et interim aqua vasis HI per epistomium M effluat; semper durabit saltus aquae intra phialam.

Annotatio.

[note: ] TVbus DFEL sit strictus, ne nimium aquae defluat, et vas DB destituatur aqua. Pars FL tubi DFEL. sit longior quam tubus AP una cum tribus tubulis suis, ut perpendiculum aquaecadentis sit longius perpendiculo aquae ascendentis.

Machina II. Scyphus plenus per fundum effundens liquorem, non plenus retinens.

[note: Scyphus plenus per fundum effundens aquam, non plenus retinens. ] FIat scyphus, aut vasculum cujuscunque figurae oblongae, ex vitro, creta, stanno, etc. per cujus fundi medium transadigatur fistula seu tubus IK utrimque apertus, ira tamen, ut extremitas K abscondatur intra pedem scyphi, extremitas vero I adaequet fere altitudinem scyphi. Huic fistulae seu tubo superimpone alium ampliorem AB veluti thecam, superius in A clausum, inferius [note: Vide Iconis. XXI. Fig. 476. ] in B apertum, ita tamen, ut summitas A non attingat summitatem I tubi KI. In vas ita praeparatum infunde quem cunque liquorem; qui sese per foramen B insinuans, tantum ascendet intra thecam BA, quantum extra ipsam attollitur in vase; quamprimum vero pervenerit usque ad foramen I, intra ipsum sese insinuans effluet ex K, nec cessabit fluxus donec totus liquor effluxerit, attractus per foramen B, quod foramen necessario subit, ut laboranti Naturae ad vacuum vitandum succurat.

[note: Vide Iconis. XXI. Fig. 477. ] Aliter et facilius idem effectus sequetur, si intra scyphum fiat sipho recurvus ABC, cujus pars AB fundum non attingat, pars vero BC sit longior quam AB. Quamdiu enim infusus liquor, et intra siphonem per A sese insinuans, non pertinget usque ad B, non effluet: at ubi ad B pertingit, ipsumque tandem transcendit, innato pondere descendet versus C, et effluet.

Annotatio.

[note: ] INutraque machina potest internus tubus ac sipho tegi icunculâ aliquâ intus cava.

Machina III. Sipho inversus interruptus, elevans aquam in quamvis altitudinem.

[note: Sipho inversus interruptus, elevans aquam ad quamvis altitudinem. ] SUpra cap. 2. Experim. 2. dedimus siphonem inversum interruptum, elevantem aquam in determinatam altitudinem vi attractivâ, ob vacui metum. Nunc damus alium, elevantem aquam in quamlibet altitudinem. Potest esse usui, quando elevanda est aqua e loco inferiori in altum, et infra non potest descendi ad efficidiendum tubum aequalem altitudini ad quam educenda est aqua.

[note: Vide Iconis. XXII. Fig. 478. ] Fiant ergo quotlibet vasa, A, B, C, D, aquis recipiendis ac retinendis apta, disposita horizontaliter, suisque instructa tubis et epistomiis Ba, Ca, Da. Fiant deinde alia totidem vasa, uno minus, E, F, G, disposita altioribus locis eo modo, quo Figura ostendit, et aequalis capacitatis cum vasis B, C, D. Nectantur superiora cum inferioribus vasis, tubis AE, HI, KF, LM, NG, OP. Tubis AE, KF, NG, longiores debent esse, quoad perpendiculum, tubi Ba, Ca, Da, hoc est, tubus Ba longior tubo AE, et tubus Ca longior tubo KF, et tubus Da longior tubo NG. His paratis, impleantur vasa inferiora aquis experenni fonte, aut fluvio, aliave aqua praeterlabente, per canales X, laxatis eorum epistomiis, quae deinde, dum plena fuerint vasa, claudi debent, ne amplius aqua in illa influat: vas autem A sit semper plenum, et vasa superiora E, F, G, sint vacua. Deinde aperiatur epist omium tubi Ba, et claudatur epistomium tubi KF, et effluente ex vasa B aqua, sequetur per HI aer vasis E, in quo ne detur vacuum, sequetur ex vase A, per tubum AE aqua vasis A. Repleto igitur vase E (cujus signum esse potest, si effluxerit tota aqua vasis B aequalis capacitatis cum vase E) aperiatur tubus Ca, et KF, et claudatur tubus NG, et effluente aqua ex vase C. sequetur per tubum LM, ex vase F, aer ejusdem vasis F, ex vase vero E sequetur aqua per tubum KF. Repleto igitur vase F, aperiatur tubus Da, et NG, et claudatur KF, et trahetur ex vase G aer per tubum OP, ex vase vero F trahetur aqua per NG. Eodem modo procedes ulterius, si plura adsint vasa. Tandem ex supremo vase G derivari potest aqua, per epistomium R, in quos volueris usus.

Annotatio.

[note: ] PRaeter hastres Machinas, quae vi attractiva aquas in altum tollunt., plures damus alias in Mechanica Hydraul. Par. 2. Classe 1. cap. 1. et alibi, et in 3. Par. Magiae lib. 7. inter quas sunt Fons Caesareus, Cancer vomitor, Sphaera vitrea aquisuga, Navis horologa, Sipho inversus horologus, Bina vasa, quorum uni si aqua infundatur, alterum reddit vinum; Experimentum Magdeburgicum.

CAPUT VII. De Machinis Hydraulicis quae fiunt vi expulsiva ob corporum impenetrabilitatem.

[note: Hydraulica machinae, vi expulsiva institutae. ] PRincipium, harum Machinarum potest etiam appellari Vis Compressiva, seu Compressio, quia expulsio ob corporum impenetrabilitatem, non fit sine compressione.

Machina IV. Fons Heronis, eiectum liquorum resorbens.

[note: Fons Heronis. ] FIant ex cupro, stanno, aliave materia solida, duo vasa affabre elaborata FAH, et GLK, una, duabus, pluribusve columnulis innixa et inter [note: Iconis. XXII. Fig. 479. ] se distincta, sitque inferius paulo majus et altius quam superius. Operculum AO vasis superioris FAH, sit aliquantulum concavum instar conchulae, aut pelvis. Ex superiori vase FHA, per operculum et fundum deducatur tubus AE utrimque apertus, qui operculum inferioris vasis penetrans pertingat fere usque ad fundum ejusdem, tantumque ab eo distet, ut aqua commode effluere possit. Ex vase inferiori GLK, per ejus operculum deducatur alius tubus DC, per fundum vasis FAH, qui desinat paulo infra ejus operculum ubi C, nec ipsum attingat. In medio vasis superioris fiat tubulus BM, qui incipiat paulo supra fundum FH, et transeat per operculum AO, habeatque orificium M minutissimum. His factis, per os A imple vas KG aqua, et inverte Machmam, ut aqua vasis GK per tubum DC defluat in vas FAH, donec impleatur penitus. Quo facto, iterum inverte Machinam, et superfluum aquae vasis GK, si quod est, deprome per epistomium N, quod iterum claude. Tandem operculo concavo AO affunde scyphum aquae, per A in fluens, et per E effluens in vas GK, premet aerem ibi detentum, eumque per tubum DC expellet in vas FAH, qui pressam ibi aquam, cui super incumbit, ejiciet magna vi per tubulum BM.

Annotatio.

[note: ] POtest vas FAH impleri etiam per foramen O in operculo AO factum, quod deinde diligenter obturari debet. Potest item impleri per foramen O in latere vasis alicubi factum. Finito aquae saltu ex BM, potest verti Machina, ut aqua vasis inferioris GK descendat in vas superius FH. Vel potest depromi aqua per epistomium N, et iterum infundi per foramen O operculi. Potest vas superius FA esse in aliquo conclavi superiori, et inferius GK in alio inferiori, et utrumque connecti intermediis tubis AE et DC. Ad initationem hujus Machinae construi potest scyphus, qui vinum ejiciat, et recipiat.

Machina V. Fonticulus compressione aquam spargens in altum.

[note: Fonticulus compressione aquam spargens in altum ] IN vase aliquo cupreo, aut stanneo, alteriusve materiae solidae fiat tubus AB, qui fundum non attingat (aut si attingit, habeat a latere prope fundum foramen unum aut alterum) et per operculum vasis transiens desinat in osculum A [note: Vide Iconis. XXII. Fig. 480. ] strictissimum, habeatque epistomium E. In ejusdem vasis operculo fiat foramen C, quod interius habeat platismatium seu ventile (ita nunc appellant) ex corio, aut lamina, aliqua, simile illi quod

intra folles fit. His factis, impleatur syringâ DF vas, aquâ primum usque ad medietatem circiter per foramen C; deinde aere, eâdem fyringâ violenter intramisso. Si jam aperiatur epistomium E, exsiliet vi maximâ per tubum BA aqua: aer enim compressus, et aquae violenter incumbens, expellit ipsam, quod aliorsum non potest, per fistulam BA.

Annotatio I.

[note: ] POtest Machinula construi ad modum sphaerae. Potest praeterea tubi BA pars superior A conjungi reliquae per helicem foemininam et masculinam ita, ut pro libitu possit aufferri et reponi. Et tune ablatâ illâ parte, et aperto epistomio E, potest primo infundi aqua, et deinde syringâ intrudi aer, et claudi donec exhibendus sit saltus aquae.

Annotatio II.

[note: ] OMitto brevitatis gratiâ plures alias Machinas huc pertinentes, quas dedi in Mechanica Hydraul. Par. 2. Class. 1. cap. 2. cujusmodi sunt Clepsydra Heroniana, Fonticulus similis fonti Heronis, fons novus Polysiphonius, Fons perennis alto in loco aquam e puteo profundo subministrans, Speculator cornu inflans, Baculus aquivomus, Catellus mingens, Insundibulum pneumatico-hydraulicum aquam in determinatam altitudinem attollens, Infundibulum alterum aquam attollens in quamlibet altitudinem, Fons eâdem fistulâ discolores ejiciens liquores, Sedes aquivoma, Hydriae Canae Galilaeae, Hydra constiterium antiquum, et Hydra constiterium novum.

CAPUT VIII. De Machinis Hydraulicis quae fiunt Rarefactione.

[note: Hydraulicae Machinae, vi rarefactiva institutae. ] RArefactione iuquam aut aeris extrudentis aquam, aut aquae majorem nitentis occupare locum. Quae condensatione fiunt, pertinent ad caput 6. utpote vi attractivâ ob metum vacui institutae.

Machina VI. Fons pyrobolus, proiectum liquorem convertens in aerem, aut ignem.

[note: Fons pyrobulus. ] FIant duo vasa solida e stanno, cupro, aere, aliove metallo, IA, et CS, undique clausa, et columnâ concavâ M inter se discriminata. Intra [note: Iconis. XXII. Fig 481. ] columnam lateat tubus CI, ductus e vase CS per fundum vasis IA, et paulo infra operculum desinens in utroque vase. Vas vero IA, habeat tubulum AF, qui operculo S adglutinatus non attingat fundum vasis, et per operculum in F deducatur. Si autem hic tubulus AF multo subtilior tubo IC, atque in F habeat foramen subtilissimum. His paratis, repleatur aliquo usque vas CS aquâ, aut quovis alio liquore, per foramen S, atque ita obturetur, aut aeri sit penitus impervium: vas autem IA repleatur per foramen S spiritu vini ter rectificato, et praedictâ ratione obturetur. Deinde Machina exponatur fervido aeri, aut soli, aut ponatur in aliquo hipocausto calido; vasique CS subijciatur ignis, aut lampas accensa: et paulo post aqua vasis CS cum aere incluso vehementer rarefacta, amplioremque quaerens locum, aerem ejusdem vasis vapidum attenuatumque propellet per tubum CI, in vas IA: hic propulsus, et spiritui vini incluso superincumbens, eum per tubulum AF in altum ad instar subtilissimi fili projiciet: tenuis vero spiritus, aerem fervidum sentiens, ob proximam dispositionem quam ad ipsum habet, in eundem convertetur antequam penitus descendat.

Annotatio I.

[note: ] HIc fons non differt ab illo Experimento, quod dedimus supra cap. 4. Si per salientis spiritus vini asperginem traduces titionem, aut ferrum candens, is subito flammam concipiet, et igneas meteorologicas impressiones exhibebit. Potest haec Machina formari in formam leonis aut draconis, erecti in pedes, et aquam, aerem, ignem spirantis.

Annotatio II.

[note: ] OMitto alias Machinas vi Rarefactionis institutas, quas magno numero dedi in Mechanica Hydraul. Par. 2. Classe I. cap. 3. cujusmodi sunt, Thermoscopium hybernum et aestivum, Instrumentum novum gradus humidi et sicci indicans, Cacabus ejiciens et retrahens eandem aquam, Memnonia statua citharae et humanae vocis sonum ad orientem solem edens, Memnoniae aves voce et motu animatae, Ara cum aspide sibilante, et Iside atque Osiride sacrificantibus vinum et lac, Horologium horarum aequalium, Fonticulus horarius, etc.

CAPUT XI. De Machinis Hydraulicis quae fiunt naturali lapsu aquae.

[note: Hydraulicae machinae viaquae labentis naturaliter ] EXhoc principio innumerae Machinae, et innumerabilium formarum construi possunt. Ex eodem constructi sunt omnes fontes, et alia hydraulica rechnasmata, quae in hortis Principum passim per totam Europam visuntur. Unam aut alteram tantum dabimus.

Machina VII. Clepsydra quae fontis instar eiaculatur aquam, et inversa iterum fluit.

[note: Clepsydra aquaria. ] FIant ex cupro, stanno, aut qua vis materia aquae resistente, duo vasa lubitae figurae, AB, et CD, quotquot libuerit columellis discriminata, [note: Vide Ico. nis. XXII. Fig. 482. ] quorum opercula PN; et FE sint non nihil concava instar pelvis. Per columellas BD, et CA, diducantur tubi H G F, et K L N, qui intra praedicta vasa recurventur, ubi G et L, et emineant aliquantulum extra vasorum opercula in locis F et N, habeantque oscula F et N quam strictissima. Per utrumque operculum jam memoratum insinuentur alii duo canaliculi, EI, et PO, qui inferius seu prope fundum, ubi I et O, aperti sint, nec fundum contingant. His factis, impleatur aquâ altertrum vas, nempe AB (invertendo primum totam machinam) per foramen P canaliculi PO: quod vas AB ubi impletum fuerit, statuatur iterum Machina in eum situm, quem Figura monstrat, descendetque aqua per tubum HG, et per angustum orificium F magno exsiliens impetu, relabetur supra operculum concavum

vasis inferioris CD, tam diuque fluet, donec tota descenderit aqua ex vase AB. Ubi effluxerit, vertatur clepsydra, et aqua intra vas CD jam recepta descendet per tubum KL, perque orificium angustum N exsiliens, insinuabit se per foramen Pintra prius vas AB. Si igitur a principio tantum aquae infuderis, quantum intra horae spatium descendere atque effluere potest, habebis clepsydram horariam.

Machina VIII. Aquila Caesarea Horodictica.

[note: Aquila [correction of the transcriber; in the print Aqulia] horodictica. ] FIat tubus cupreus AB, superius ad A desinens in vas C, inferius ad B, primum in duos ramos tubiformes BD et BE, deinde in basim cavam [note: Vide Iconis. XVII. Fig. 483. ] IH. Epistomia aprata sint illis locis, quae Figura monstrat. Bina brachia BD, BE, binos sustentent tubos vitreos DF, EG, divisos in duodecim horaria spatia, et ita brachiis insertos, ut continuatos cum ipsis tubos constituant. Vas C tantae ad minimum capacitatis aquae sit, ut implere possit tubum AB, utrumque brachium et utrumque vitreum tubum. Ejusdem capacitatis sit basis IH. Debent praeterea vitrei tubi supra in F et G paululum esse aperti, ad aërem exspirandum inspirandumque Hujus Machinae usus hic est Aperitur epistomium B, itâque temperatur fluxus seu descensus aquae per ipsum ex vase G, et tubo CB, ut ascendendo per tubos vitreos horatim transcendat divisiones dodecamorias jam antea ex observatione signatas in alterutro, v. g. in DF. Aperitur deinde epistomium I (clauso prius epistomio B) itâque temperatur aquae fluxus per ipsum ex vitreis tubis, ut descendendo horatim transgrediatur divisiones easdem dodecamorias, at contrario ordine notatas in tubo GE. Cessante fluxu, exempta e Basi IH aqua refunditur intra vas C, et redit eadem operatio. Basis IH debet in operculo habere spiraculum K, ut aquâ delabente intra ipsam exspiret aer.

Annotatio.

[note: ] IN Mechanicae Hydraul. Par. 2. Clas. I. c. 4. in venies multas alias Machinas huc spectantes, ut sunt Multimammia Deorum Mater lac ex uberibus promens, Rota versatilis aquam fundens, Cynocephalus ex veretillo aquam ad horas monstrandas spargens, Hydrologium Bettinianum, Hercules clava draconem percutiens (haec tamen ad mixtas Machinas pertinet) Chorea serpentum aquivomorum (haec potius ad Machinas vi attractivâ institutas spectat) Coluber volitans, Nauta Hydro-horologus, Libra hydrauliea horodictica, Hydraulicum horolabium facillimum, Incubus hydro-horologus, Hydrologium magneticum.

CAPUT X. De Machinis Hydraulicis quae habent principium mixtum.

[note: Hydraulicae machinae habentes principium mixtum. ] MUltis modis combinari possunt principia hydraulica, ad unam Machinam conflandam. Multas dedimus cit. Io. Mechanicae nostrae cap. 5. Hîc unicam afferimus.

Machina IV. Avis exsputam a serpente aquam sorbens e cratere.

[note: Avis resorbens aquam a serpente exsputam. ] FIant ex materia quacunque solida, duo vasa, RS, et TE, columnis suis interstincta; quorum superius RS habeat in medio diaphragma seu interstitium, quo in duo distinguatur receptacula R, et S; et horum unumquodque habeat superius in operculis foramen, et obturamentum N et O, ut impleri aquâ, et obturari possit. Fiat praeterea tubus GE, cum epistomio F, cujus orificium Fincipiat supra fundum vasis S, infra vero terminetur fere usque ad fundum vasis TE. Fiat item alius tubulus HK, qui transeat per crura, corpus, et rostrum alicujus fictitiae volucris, alteriusve animalis. Tandem fiat tertius tubus CD, cujus pars C pertingat fere usque ad operculum, ubi B, et alius tubulus O B A, cujus pars BO pertingat fere usque adfundum, ubi O, habeatque epistomium B. Vas TE habeat similiter epistomium L, ad deplendam aquam. His ita praeparatis, claude epistomia F, et L, et B, et imple penitus vasa R et S, per foramina N et O eaque diligenter obtura, apposito cratere KM aquâ pleno, cui aliquo usque immersum sit rostrum K; vas vero TE maneat vacuum. Si jam exhibere vis spectaculum avis craterem ebibentis, laxa epistomium F; et aqua vasis S descendet per tubum GE, in vas vacuum TE, in ejus vero locum, ad vitandum vacuum in vase S, subsequetur aqua crateris KM per tubulum KH. Ne vero deficiat aqua crateris KM, laxa epistomium B; et aqua descendens per tubum GE in vacuum vas TE; premensque aerem ibidem contentum, expellet ipsum per tubum DC, invas R, qui aer comprimens aquam ibidem contentam, urgebit ipsum per tubulum OBA, in craterem KM, sicque fiet ut quantum sorbet avis e cratere, tantundem serpens refundat, nec deficiat sorbitio, done tota aqua vasis S descenderit.

Annotatio I.

[note: ] ELucet in hac Machina Vis Attractiva, et Compressiva seu Expulsiva. Si solam avem bibulam exhibere vis, sufficit solum vas S, et recipiens TE, et tubus GFE, cum tubulo HIK.

Annotatio II.

[note: ] HVc spectant aliae Machinaelo. cit. datae, nim. Vas hydro- pneumaticum omnis generis jocos exhibens, Triton buccinâ inflatâ cursum fluminum sistens, Atlas coelum humeris impositum torquens in gyrum, Lucerna Grunbergeriana, Hydrotechnicus tubus varia ludentis Naturae spectacula exhibens, etc.

Atque haec sufficiant de Hydrotechnia, plura enim addere angustia Operis futuri non permittit. Legat, qui plura volet, Mechanicam nostram Hydraul. et Partis 3. Magiae lib. 6. et 7.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] ANimus erat, post Hydrotechniam agere etiam de Aerotechnia seu Pneumatica, et de Pyrotechnia; hoc est, de Arte conficiendi Machinas artificiosas ope aeris aut compressi, aut dilatati, aliter quam in praecedentibus, et de Arte conciendi artificiosos ignes omnis generis, tam serios, quam recreativos. At Libri moles sub manibus crescens consilium mutare cogit, et Lectorem remittere ad alios Auctores, nostraeque Magiae partem 3. lib. 7. Par. 4. lib. 2. Ad alia ergo pergimus.

LIBER XIX. DE OPTICA.

Prooemium.

[note: [note: Optica. ] OPtica est scientia, quae considerat radios visuales sub ratione linearum, superficierum, angulorum, conorum, pyramidum, aliarumque proprietatum Mathematicarum, modosque et causas variae obiectorum proiecturae atque apparentiae demonstrat. Et quoniam triplex est radius visualis, Directus, Reflexus, et Refractus, ideo Optica in tres dividitur species, Opticam videlicet proprie dictam, quae radium directum, Catoptricam, quae reflexum, et Dioptricam, quae refractum considerat. Omnes tres subdividuntur in Speculativas, quae nuda cognitione contentae sunt, et Practicas, quae operi sunt intentae. Optica speculativa retinet generis vocabulum, nec aliam quam Opticae nomenclaturam sortitur. Practica vero communiter nunc appellatur Perspectiva. Et haec notitiam a Speculativa haustam applicat [note: Perspectiva. ] variis usibus, interque alia innumera corporum, superficierum, linearum proiectiones seu delineationes in planis quibuscumque molitur ac perficit, seu eorum solum vestigia sint exhibenda, seu frontes erigendae, seu cum frontibus abscedentia latera monstranda. Atque huic originem suam debet Ichnographice, Orthographice, et Sciagraphice. De tribus Opticae speciebus nunc agendum, ac primo de Optica proprie dicta. De iisdem iam egimus in Par. 1. Magiae nostrae: quare quae ibi fusius sumus prosecuti, hic brevius repetemus et quae omissa, addemus. ]

CAPUT I. De oculi structura, ac partibus.

[note: ] NEc speculativa Optica, nec Practica explicari ac percipi potest sine aliquali saltem strueturae humani oculi inspectione. Ab hac igitur inchoandum.

Partes oculi generatim.

[note: Oculi humani structura, et partes. ] PArtes oculi generatim, ad visionem necessariae, sunt nervus opticus, tres tunicae sive membranae, et tres humores, reliquae partes, ut adnata, musculi, glandulae, pinguendo, palpebrae, cilia ac supercilia, pertinent vel ad motum oculi, [note: Vide Iconis. XXIII Fig. 485. ] vel ad externam tutelam. Tunicae hîc sunt involucra, quae se mutuo ambiunt, humoresque oculi claudunt, et cum ipsis nervoque optico, oculum constituunt. Tunicarum partes anteriores a posterioribus nomine differunt, nam prima vocatur retro [gap: Greek word(s)] , Sclerotes sive dura, ante [gap: Greek word(s)] Cornea, secunda retro [gap: Greek word(s)] Choroides, ante [gap: Greek word(s)] Uvea: tertia retro [gap: Greek word(s)] Retina, ante [gap: Greek word(s)] Aranea: Has ambit ac veluti tuetur Adnata: unde septem aliqui tunicas oculi numerant. Humores oculi sunt Aqueus, Crystallinus, et Vitreus.

Nervus Opticus.

[note: ] IN apposita figura, quae repraesentat oculum sectum per axem et nervum opticum, OPQR est nervus opticus, qui ex cerebro immediate, tanquam ex communi sentiendi principio derivatus, constat duabus pelliculis et substantia quadam medullari intra dictas pelliculas inclusa. Exterior pellicula CC, quae crassior est, et a dura meninge seu matre cerebri propagatur, vocatur et ipsa dura meningis, interior vero D D, quae tenuior est, et a pia cerebri meninge derivatur, vocatur tenuis meningis. Et intra hanc continetur medullaris substantia.

Sclerotes, et Cornea.

[note: Oculi tunica. ] EX tribus his nervi optici partibus, propagantur tres nominatae antea tunicae. Ab exteriori pellicula CC, quae fimior est quam altera, propagatur prima et extima tunica PESBO, quae totum oculum circumdat, estque longe adhuc crassior et firmior quam in ipso nervo. Haec in parte posteriori, a P et O, usque ad E et B, appellatut Sclerotes, sive Sclerotica, hoc est, dura et consolidativa, quia revera dura est, totumque oculum consolidat, atque conservat in ea, quam a principio accepit, figura: inpaite vero anteriori, ubi ESB, appellatur Cornea, quia ibi durior est reliqua parte, penitusque tersa pellucida instar bracteolae corneae. Haec non nihil protuberat.

Choroides, et Uveae.

[note: ] AB interiori nervi pellicula DD propagatur secunda et media oculi tunica XY, priori subtilior. Haec etiam totum fere oculum circumdat interius sub Sclerotide et Cornea, et ipsi Sclerotidi implicatur quibusdam fibris, ideoque: et implexa tunica appellatur: ex parte tamen anteriori, ubi fere Sclerotes in Corneam transit, ab illa separatur, et procedit introrsum versus N, subsiditque inplanitiem, habentem in medio, ubi N, foramen quoddam ad recipiendum intuslumen et species rerum, quae per Corneam pellucidam transmittuntur. Hoc foramen dicitur Pupilla oculi, et dilatatur atque constringitur identidem loculorum instar, prout majori aut minoti lucis et specierum visibilium copia indiget oculus. Secunda haec tunica appellatur in parte postica et latente Choroides sive Implexa, in parte vero antica et patente dicitur Uvea. Spatium Uveae inter pupillam et album oculi comprehensum dicitur Iris oculi, quod Iridi ob varios colores assimiletur. Pupilla apparet nigra, quia per ipsam videtur nigredo interior Choroidis in fundo oculi ubi T et V.

Retina, et Aranea.

[note: ] A Parte medullari nervi propagatur tertia et intima oculi tunica; quae in posteriori parte Retina seu Retiformis vocatur (innumeris enim venulis instar retis est conspersa) in anteriori Aranea. Haec tunica a nervo optico incipiens circumdat totum oculum a parte posteriori usque ad IH, ubi exipsa procedit membrana quaedam delicatissima, aranearum telae instar, quae intro conversa humorem Crystallinum LNKM circumdat, libereque inter Aqueum et Vitreum humorem tenet suspensum. Araneam aliqui vocant Ciliarem tunicam, seu Ciliares Processus.

Humores Oculi.

[note: Oculi humores. ] TUnicas hactenus explicatas replent tres humores supra nominati. Aqueus replet totam partem anteriorem inter Corneam ESB, et Araneam IKLH. In isto libere natat pars Uveae X et Y. Appellatur aqueus, quia aquae purae similis est. Albugineus etiam dicitur, quia est aliquo modo similis albumini ovi. Crystallinus humor continetur ab Aranea HLMKIN. Proprie non est humor, sed veluti gemma crystallina, solida, et perfecte pellucida. Ejus figura in homine est lenticularis, et obtusior tamen ante quam retro. Non tamen in omnibus hominibus, nec in omnibus ejusdem hominis aetatibus est ejusdem figurae: nam in aliquibus tendit magis ad rotunditatem, in aliis minus, in aetate integra est rurgidus, in fracta quasi planus. Tam excessus, quam defectus a debita lenticulari figura inducit vitium in videndi perspicacia: cui tamen vitio medentur conspicilla, in presbytis quidem convexa, in miopibus vero concava. Vitreus humor explet totam reliquam oculi partem internam, ab IKMLH usque ad TV. Hic non est omnino fluidus, sed instar vitri fusi corpulentus, unde et nomen ac, cepit.

Adnata.

[note: ] PRaeter tres oculi tunicas explicatas est et alia, quae Adnata appellatur, et ab aliquibus Alba. Haec porrigitur a pericranio, et supra Sclerotidem consisit, torumque exterius oculum ad Corneam usque investit, quo loco in eam inseritur, atque ei in orbem adnectitur. Haec eadem alligat firmatque oculum Exterius, qua spectabilis est, habet insignem albedinem, quae ad Corneae ambitum terminatur.

Figura Oculi.

[note: ] FIgura oculi externa ex dictis humoribus et tunicis compositi, rotunda ast, non tamen perfecte, quia pars anterior Corneae nonnihil protuberat. Situs partium oculi hic est. Centra omnium humorum et tunicarum repletarum collocata sunt in una recta linea, quae axis opticus dicitur, et extenditur ab S per N, M, versus T. Nervus opticus non jacet in axe optico, sed in oculo dextero vergit sinistrorsum, in sinistro dextrorsum. Sclerotes, Uvea, et Choroides, sunt opacae, Cornea, Aranea, Retina perspicuae. Humores omnes sunt perspicui. Uvea ideo est opaca, ut luci et speciebus nimium ingressum intra oculum prohibeat, sinumque internum oculi tenebrosum reddat, relicto solum foramine. Choroides una cum Sclerotide opacae sunt, ut cameram oculi interiorem obscurando speciebus recipiendis adaptent. Retina habet nonnihil opaci albi, ut spaciebus imbibendis habillor evadat. Choroides est praeterea laevis, ut convexam Retinae super ficiem, ac proinde et concavam, ab omni inae qualitate vindicet, ut sic species appulsae situm inconfusum servent, tum etiam ut ultra progressae retundantur, et quodammodo sepcliantur.

CAPUT II. De oculi obiecto, eiusque radiatione.

[note: Oculi obiectum. ] OBjetum oculi seu visus aliud est proprium, quod nullo alio sensu percipitur; aliud commune, quod percipitur etiam ab aliis sensibus. De utroque agemus breviter sequentibus Propositionibus.

[note: ] Objectum visus proprium est lumen, et color; seu lucidum, et coloratum. Lumen quidem, seu lucidum, per se primo, quia sine alterius adjutorio movet sensum, color vero, seu coloratum, accessione lucis, sine qua non movet sensum.

II.

[note: ] Objecta visus communia sunt novem, nimirum 1. Quantitas, sub qua continetur magnum, parvum, crassum, tenue, longum, latum, aequale, et similia. 2. Figura; sub qua rectum, curvum, asperum, laeve, obtusum, acutum, convexum, concavum, planum, etc. 3. Locus seu Ubi, sub quo supernum, infernum, dexterum, sinistrum, anterius, posterius, etc. 4. Situs, sub quo sessio, statio, ordo, dispositio, etc. 5. Distantia, sub qua longinquum, propiuquum, altum, profundum, etc. 6. Continuitas, sub qua unitas. 7. Discretio, sub qua numerus, miltitudo, paucitas. 8. Motus, sub quo duratio, et tempus. 9. Quies.

III.

[note: ] Tamlucida, quam colorata illustrata, profundunt a se repraesentativasui, quas species visibiles appellant. Constat experientiâ, et probatur rationibus a Philosophis. Et hae species visibiles appellantur ab Opticis radii optici visuales.

IV.

[note: ] Lumen et Species, lineis rectis profunduntur, nisi aut a corpore speculari reflectantur, aut a medio di, verso refringantur. Patet experientiâ, nam umbrae corporum opacorum luminosis oppositorum semper sunt in illis locis tantum, ad quae non pertingunt radii recti a corporibus luminosis profusi: et oculus non percipit coloratum, nisi positus in eo loco, ad quem species a colorato profusae per lineas rectas nullo opaco corpore impeditas transmitti possunt.

[note: ] Lumen, et Species, circumquaque in modum sphaerae diffunduntur, sublatis impedimentis. Exposito enim corpore luminoso, e quocunque per circuitum loco ad illud convenitur oculus, ejus lumen percipit, nisi interpositum corpus opacum impediat aspectum. Idem dicendum de colorato.

VI.

[note: ] In qualibet parte medii, adquam a corpore luminoso et colorato duci possunt lineae rectae, existit lumen, et species, dummodo pars illa medii sit intra sphaeram activitatis luminosi, et colorati, et dummodo profusio luminis et specierum non impediatur occursu corporis opaci. Sequitur ex praecedenti.

VII.

[note: ] Quodlibet punctum objecti luminosi, colorati, propagat lumen et species intra sphaeram propagationis in totum medium, et totum objectum in quodlibet medii punctum. Nam si in cubiculum obscurum ingrediantur per foramen aliquod species objecti extra existentis, et obversâchartâ candidâ excipiantur, apparet in charta quodlibet objecti punctum a quo ad chartam per foramen duci potest linea recta, et tota objecti obversi facies, ita ut licet in ipso foramine omnium partium ac punctorum objecti species confundantur inter se, in propagatione tamen ultra foramen ita distinguantur, ut in proportionata distantia totam objecti obversam faciem cum sua figuratione et partibus rite distributis in charta depingant; et si aliquae obversae faciei partes auferantur, aut tegantur, manent reliquarum imagines. Idem dicendum proportionaliter, si foramini objectum luminosum exponatur.

VIII

[note: Vide Iconis. XXIII Fig. 486. ] Radij a luminoso et colorato profusi, alii aequidistant, aliisese intersecant, alij in diversa abscedunt. Sic enim corpus luminosum aut coloratum K, cujus duo puncta, A et B, connectat recta AB. Cum igitur quodcunque punctum corporis luminosi et colorati profundat radios suos rectos versus quamcunque partem, necesse est radios omnes ex A et B profusos facere cum recta AB angulos, aut rectos, aut acutos, aut obtusos, exceptis illis qui cum AB utrim que protenduntur in directum. Qui radii efficiunt angulos rectos uc AC, BD, sunt paralleli, per 28 pri. Euclid. Qui acutus, ut AF, BE, conveniunt tandem in aliquo puncto, ut in I, per 13. Axioma pri. Euclid. et ulterius producti intersecant sese in eodem puncto I, per undec. Axio. lo. cit. Qui obtusos, ut AG, BH, semper magis ab invicem discedunt, quia non possunt aequidistare, alioquin efficerent angulos duos rectos, aut aequales duobus rectis, per 29. pri. Euclid. neque possunt concurrere, quia alioquin efficerent duos angulos minores duobus rectis, per conversum Axio. 13. cit.

IX.

[note: ] Si in medio repleto lumine, aut speciebus, assumatur quodcunque punctum, reperiuntur in illo uniti vertices duorum radiosorum conorum, aut pyramidum, quorum unus habet basim in corpore luminoso aut colorato, appellaturque Conus rectus, alter in corpore posito post illud punctum e directo corporis luminosi aut colorati, et appellatur conus eversus. Sequitur ex praecedenti. Tales duos conos repraesentant in praecedenti figura duo triangula AIB, EIF. Duo bi coni invertice conjuncti, appellantur ab Opticis modernis penicilla, ob similitudinem cum penicillis pictorum.

CAPUT III. De Visione, et modo videndi.

[note: ] POst explicatum visus organum, et objectum, explicanda est visio, et modus quo sit. Quam rem multi multis explicant, seu potius implicant. Ego haec statuo.

Propositio I. [note: Visio, et modus videndi. ] Phaenomenon specierum visibilium in locum obscurum intromissarum, est typus visionis, et modi videndi.

[note: Species visibiles in cubiculum ] PHaenomenum insinuavi cap. praeced. et consistit in hoc. In cubiculi undique clausi et obscurati porta aut fenestra fit foramen exiguum, cui digitus

[note: obscurum quo modo intromittenda. ] aut pollex intrudi queat, et foramini intus vel inseritur, vel cerâ adgultinatur vitrum convexum lenticulare ex eorum numero, quibus presbytarum perspicilla constant: post vitrum vero, in debita distantia (quam expetientia docebit) oppanditur foramini charta aut tela candida, et ecce, simul cum lumine ingrediuntur species visibiles omnium rerum extra e regione positarum ita, ut radii earum recti per foramen penetrare possint, quae species in objecta charta pingunt earum rerum imagines, una cum earundem coloribus, motu, situ, et lineamentis omnibus, sed situ inverso, quia species seu radii in foramine decussantur. Lege quae scripsimus Par. 1. Magiae lib. 2. Praelus. 3. Hoc phaenomenum est typis perfectissimus visionis, et modi quo ea fit. Oculus enim gerit vicem cubiculi, tuniae oculi vicem parietum, humores oculum replentes vicem aeris replentis cubiculum: uvea est instar fenestrae clausae: pupilla instar foraminis, humor crystallinus instar vitri lenticularis post foramen applicati, retina instar chartae foramini oppansae. Sicut autem fenestra cubiculi clausi secernit aerem externum ab interno, eumque dividit in anteriorem et posteriorem, et praeterea lumini ac speciebus non permittit ingressum nisi per foramen: ita uvea dividit humorem aqueum in anteriorem et posteriorem, unum que ab altero secernit, tanquam externum ab interno, luminique ac speciebus non dat ingressum nisi per pupillam. Deinde sicut lumen et species, aperto foramine cubiculi, ingrediuntur majori vel minori copia, prout majus vel minus est foramen, ita aperta pupilla ingreditur in oculum lumen cum speciebus, magis aut minus, prout dilatatur aut constringitur pupilla. Praeterea sicut post foramen et vitrum fit undique decussatio radiorum in cubiculo, ita post pupillam et humorem crystallinum fit decussatio eorundem radiorum in oculo. Et sicut in puncto decussationis post foramen et vitrum concurrunt vertices duarum pyramidum aut conorum radiosorum, recti nimirum et eversi, quorum rectus habet basim in corpore radiante, eversus vero in charta foramini oppansa, ita in puncto decussationis post pupillam et humorem crystallinum conveniunt vertices similium duarum pyramidum aut conorum, quorum rectus habet basim in corpore radiante extra oculum, eversus in retina intra oculum. Ethic conus eversus pingit imaginem objecti in retina oculi (sicut alter eversus pingit similem imaginem objecti in charta cubiculi) quam dum percipit vitaliter anima, seu potentia ejus visiva, fit visio objecti, hoc est, perceptio vitalis imaginis objecti. Ex his sequitur

Propositio II. Visio non fit per extramissionem radiorum ex oculo, sed per intromissionem eorundem intra oculum.

[note: ] ESt contra antiquos Opticos, qui videntur velle, ab oculo exire radios, qui ad objectum visibile vel directe, vel reflexe ferantur, vel refracte, semper enim sic loquuntur, et sic suas demonstrationes conficiunt: imo ideo radio sillos appellant visuales, quod ab oculo egrediantur, hoc est, a visu. Sed ex dictis patet, non ab oculo prodire radios, qui ferantur ad objectum visibile, sed potius radios transmitti ab objecto ad oculum.

CAPUT IV. De Hypothesibus Opticae practicae.

[note: Opticae practicae seu Perspectivae hypotheses. ] QVae diximus hactenus, ad Speculativam pertinent Opticam, quae dicemus; praecipue ad Practicam, quamvis nonnulla etiam ad Speculativam spectent. Est autem, ut initio libri dictum, Optica practica, quae regulas praescribit delineandi in planis quibuscunque, res quascunque visas, aut visibiles, eo modo, quo apparent oculo ipsas ex determinato loco inspicienti, et quo species ab objectis ad oculum propagatae intermediam tabulam secare concipiuntur, prout infra melius explicabitur. Hanc Latini Optici, maxime recentiores, appellant Perspectivam. Hujus nonnulla Elementa nunc trademus, quae ideo Hypotheses appellamus, quia fere sine demonstratione admitti possunt ac solent.

[note: ] Visibile radiat e quolibet sui puncto, in quodlibet medii punctum, ad quod recta linea duci potest non impedita intermedio corpore opaco. Patet ex dictis cap. 2. et ex natura radiationis objectorum.

II.

[note: ] Id omne et solum videri potest, a quo ad oculum radiosus conus extendi potest. Patet ex dictis ibid. et cap. 3. sequiturque ex praecedenti Hypothesi.

III.

[note: ] Viso fit per modum picturae in retina oculi. Patet ex dictis cap. 3. Hinc sequitur, quod res omnis apparet in radiis, quibus ipsius simulacrum ad retinam porrigitur: et quod omne aspectabile eo majus apparet, quo major est ipsius imago in retina: eoque minus, quo minor est imago.

IV.

[note: ] Quidquid videtur, sub aliquo angulo videtur. Patet ex dictis cap. 3. et sequitur ex praecedenti Hypothesi. Nam visio fit, ut diximus, dum potentia visiva praecipit vitaliter imaginem objecti propositi impressam retinae in fundo oculi: quae quidem imago semper subtendit angulum (solidum) coni inversi, aequalem angulo coni recti, per 15 pri. Euclid. habentis pro basi objectum ipsum visum. Et in hoc sensu dicitur, quod omnis visio fiat sub aliquo angulo: et quod omne quod videtur, sub aliquo angulo videatur.

[note: ] Quae videntur sub angulo majori, apparent majora, quae sub minor, minora, quae sub aequali, aequalia. Sequitur ex Hypothesi praeced. Nam objecta quae efficiunt in oculo per species diffusas angulum majorem, efficiunt etiam in retina imaginem majorem, quae vero angulum minorem, etiam minorem imaginem: quae denique angulum aequalem, aequalem imaginem efficunt, per. 24. pri Euclid. Objecti autem magnitudo apparens sequitur magnitudinem imaginis in retina expressae, non secus ac claritas, distinctio, et similes conditiones apparentes objecti, sequuntur claritatem, distinctionem, et caeteras conditiones imaginis ejusdem objecti.

VI.

[note: ] Eaedem aut aequales res procul ab oculo positae, apparent minores, quam positae minus procul Sequitur ex praeced. Hypothesi. Nam procul posita res efficit minorem angulum in oculo, quam posita minus procul, sive ipsa res appropinquet oculo, sive oculus rei. Hinc colligitur, cur aequales magnitudines, inaequaliter ab oculo distantes, appareant inaequales, semperque illa appareat major, quae oculo est vicinior.

VII.

[note: ] Quae sub radiis sublimioribus videntur, apparent altiora, quae sub depressioribus, depressiora, quae sub dexterioribus, dexteriorae, quae sub sinisterioribus, sinisteriora. Nam objectum apparet in illis radiis, quibus ipsius simulacrum ad retinam porrigitur, et in illis locis, ad quae potentia visi va per radios receptos veluti manuducitur, per 3. Hypoth.

VIII.

[note: ] AEqualia intervalla in eodem plano, et in eadem vecta linea, apparent inaequalia, nempe remotiora ab oculo mixora, viciniora oculo majora, sive oculus sit supra planum illud, sive infra. Ratio est, quia remotiora videntur sub miniori angulo, vicinora sub majori, ut in 1. Par. Magiae lib. 2. demonstravimus. Hinc patet, cur turris aut columnae altissimae partes aequales, appareant in aequales, scilicet remotiores a visu minores, Patet praeterea, cur arborum et columnarum longo ordine in eadem recta linea aequali intervallo distantium extremae videantur conjunctae, aut quasi conjunctae.

IX.

[note: ] Lineae parallelae in longum protractae, eo apparent viciniores interse, quo magis protrahuntur. Nam quo magis removentur ab oculo, eo sub minori angulo apparet spatium inter utramque interjectum, per 6. Hypoth. Hinc longae plateae et porticus inspectae ab una extremitare, videntur constringi versus alteram.

[note: ] Planorum sub oculo jacentium remotiores a visu partes, videntur altiores, contra vero planorum quae supra visum incumbunt, remotiores partes ad ima prolabi videntur. Nam quae videntur sub radiis altioribus, apparent altiora etc. per. 7. Hypoth. sed partes remotiores sub altioribus radiis videntur, ergo, etc. Idem sequitur ex praecedenti Hypothesi.

XI.

[note: ] Visibile obliquatum a visu, minus apparet seipso perpendiculariter erecto. Nam obliquatum videtur, sub angulo minori, quam erectum.

XII.

[note: ] AEqualium magnitudinum infra visum erectarum, remotiores, apparent altiores. Nam apparent sub altioribus radiis, quam propiores.

XIII.

[note: ] AEqualium magnitudinum supra visum erectarum, remotiores apparent decliviores. Nam apparent sub radiis inferioribus, quam viciniores.

XIV.

[note: ] Manente eadem quantitate anguli optici, eâdemque plagâ radiorum opticorum, aspectbile, quamvis moveatur, apparet immobile. Hinc qui navi vehitur, aspiciens navim aliam eâdem celeritate versus eandem plagam tendentem, putat illam quiescere.

XV.

[note: ] Mutatâ anguli optici quantitate, vel radiorum opticorum plagâ, aspectabile videtur moveri, etiamsi quiescat. Hinc qui navi vel curru vehitur, existimat vicina littora et arbores in contrariam partem moveri.

XVI.

[note: Hypotheses ad lumen et umbram spectantes ] LVminis per foramen in oppositum directe planum transfusi perimetrus ambitu foraminis est major, si luminosum majus est foramine, et minus ab eo distat quam oppositum planum. Ratio est, quia luminis radii post foramen divaricantur, et quo magis distat planum a foramine, eo amplior fit basis coni radiosi inversi. Semper autem luminis imago in plano opposito situm habet inversum respectu sui corporis luminosi, propter dictam divaricationem radiorum.

XVII.

[note: ] Si planum foramini parallelum fuerit, lumen corporis luminosi plano exceptum, servabit figuram foraminis: at si planum obliquum fuerit, figuara luminis erit obliqua sectio coni, vel pyramidis: si denique foramen et corpus luminosum diversae fuerint figurae, lumen foraminis ac corporis figuram imitabitur, eritque figura mixta. Quod similiter contingit, si diversum habeant situm, licet ejusdem figurae fuerint. Patet expetientia.

XVIII.

[note: ] Radius umbrosus cum radio luminoso, a quo procedit interjecto opaco, in directum extenditur. Patet experientiâ, et ex natura radiationis luminis

XIX.

[note: ] Opacum tot projicit umbras, quot luminaribus opponitur, quas in adversam luminis partem projicit. Patet similiter experientiâ.

XX.

[note: ] Opacum quo plures radios luminosi intercipit, eo densiorem umbram producit, et majus opacum majorem umbram projicit, caeteris paribus. Experientia docet.

XXI.

[note: ] Vmbra intendi aut remitti potest: quae cum multiplicatur, obscurior redditur. Vmbra secunda obscurior est quam prima, et tertia obscurior quam secunda, et sic porro. Vmbra corpori opaco porpinquior, est obscurior. Omnia constant experientiâ.

XXII.

[note: ] Si sphaera luminosa sphaerae opacae aequalis fuerit, umbra illius erit cylindrus interminatus: si major umbra eritconus basim habens circulum ex radiorum contactu descriptum, verticem autem in radiorum concursu: si minor, umbrae continuo aucta, tum longitudine, tum latitudine, in infinitum abibit. Prima umbra appellatur [gap: Greek word(s)] cylindroides, secunda [gap: Greek word(s)] conoides, tertia [gap: Greek word(s)] calathoides.

XXIII.

[note: ] Vmbra motum corporis opaci imitatur. Ad solius luminosi motum etiam movetur. Si luminosum circa opacum movetur, umbra contrariis motibus cietur, idque pari velocitate cum luminoso. Experientia haec docet.

XXIV.

[note: ] Luminosum sphaericum illuminat sphaerici aequalis dimidium, minoris plus dimidio, majoris minus. Patet ad sensum in his inferioribus.

XXV.

[note: ] Vmbra opaci aequalis luminoso, aequalis est opaco, minoris minor, majoris major. Experientia constar, et sequitur ex natura radiationis.

XXVI.

[note: ] Vmbra opaci tanto brevior est, quanto luminosum altius, et e contra. Experientiâ constat.

CAPUT V. De optica rerum delineatione in genere.

[note: Optica delineatio rerum. ] OPticae practicae seu perspectivae officium est, delineare in planis res quascunque visas, aut visibiles, eo modo, quo apparent, aut apparere possunt ac solent, oculo ipsas ex determinato loco aspicienti, ut initio etiam dixi.

In omni porro delineatione, inter alia multa, haec interveniunt. Primo res delineanda, quae vel est punstum, vel linea, vel superficies, vel corpus. Quae quidem omnia ut variis modis, et vario situ obijci possunt oculis, ita et diversimode proijci in planum ac delineari. Secundo oculus, ad quem radii optici ex omnibus rei delineandae partibus emicant. Tertio planum in quo debet fieri delineatio, quod alii vocant telam, alii tabulam, alii parietem, alii fectionem, quod interfecet conum radiosum ab objecto ad oculum procedentem, ut paulo post explicabitur, alii vitrum, quod res delineanda per ipsum transparere, et radios suos per idem transmittere concipiatur. Nos merito vocabimus planum mesopticum, quoniam fingitur esse diaphanum, et transitum dare speciebus seu radiis objecti delineandi.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 487. ] Hoc ut intelligatur, Supponendum est, ibi esse rei visae locum in plano mesoptico anterem visam constituto, ubi radius opticus a re ad oculum recta ductus, ipsum planum transit. Esto objectum aliquod ABCD, jacens in plano horizontali, et oculus sit in G, inter oculum vero et objectum sit planum mesopticum seu transparens EF. Radient omnia puncta objecti ABCD, per planum EF, in oculum G, et omnes radii transeuntes planum illud imprimant illi sua vestigia. Imprimet radius BG vestigium I, radius AG vestigium H, radius DG vestigium L, radius CG vestigium K, et alii radii alia vestigia. Locus ergo punctorum A, B, C, D, visorum per planum, erit in punctis H, I, K, L, inquibus radii optici priorum punctorum attingunt planum E F.

Dupliciter autem fieri potest rerum delineatio, seu in planm projectio, organice seu per instrumenta, et geometrice seu per regulas ex Geometria desumptas. De priori tantum, utpote faciliori, et naturis rerum magis conformi, agemus.

CAPUT VI. De organica rerum delineatione.

[note: Delineatio rerum organica. ] PLurima sunt a diversis excogitata organa seu instrumenta ad rerum delineationes optice peragendas, cujusmodi sunt Portula Dureri, Instrumentum duplex Ignatii Dantis, Mensa optica Maroloysii, Parallelogrammum Scheineri, et alia. Nullum tamen facilius, et naturis rerum conformius mihi videtur, quam Velum seu Planum Mesopticum, quod nihil est aliud quam velum sericum delicatissimum atque transparens, inclusum instrumento compacto ex quatuor tigillis, pede, cursore, et baculo transverso [note: Icons. XXIII. Fig. 488. ] cum foramine oculari, quale descripsimus ac delineavimus supra. lib. 14. par. 4. proposit. 5 pro horologiis delineandis, et hic iterum reponimus. Hujus instrumenti usus facillimus est, et tam amplus, ut nullum sit objectum, sive id sit figura plana sive corpus, sive imago, statua, domus, templum, urbs, campus, sylva, mons, etc. quod ipsius ope delineari non possit, juxta naturalem situm quo obijcitur oculo. Demonstrat praeterea ad oculum radiorum opticorum naturam, et omnem projectionis opticae rationem.

Quatuor autem modis rerum delineatio optica [note: Ichnographica delineatio rerum. ] institui hoc instrumento potest, nempe vel ichnographice, vel scenographice, vel sciagraphice. Ichnographicam delineationem appello, quando delineantur figurae planae habentes situm horizonti parallelum, cujusmodi sunt horti, campi, urbes et imagines ac figurae planae quaecunque in plano horizon tali constitutae. Proprie tamen loquendo, ichnographica delineatio est, quando plantae seu vestigia alicujus aedificii, alteriusve rei horizontali plano insistentis describuntur. [note: Orthographicae delineatio rerum. ] Ortho graphica delineatio est, cum res delineanda habet situm parallelum ad planum mesopticum; et sic frontispicia domorum, turrium, templorum, et quidquid conis radiosis rectis in oculos nostros fertur, delineamus. [note: Schenographica delineatio rerum. ] Schenographica delineatio est, cum objectum delincandum habet situm obliquum ad velum mesopticum, cujusmodi sunt illa quae horizonti non insistunt ad angulos rectos; et illa quae licet ad rectos insistant, super ficies tamen non convertunt directe ad velum, sed oblique. Sciagraphica delineatio est, cum projectionem umbrae [note: Sciagraphica delineatio rerum. ] alicujus corporis delineamus ope hujus Instrumenti. In sciagraphica delineatione objectum debet collocari ante velum, inter tigillum KI et ipsum velum, in aliis delineationibus post velum. In omnibus praeterea delineationibus depingenda est primo optice figura in ipso velo, deinde vero transferanda in chartam, telam, aut tabulam.

Usus instrumenti hic est. Primo, si vis objectum aliquod ichnographice delineare, colloca ipsum horizonti parallelum post velum mesopticum, si vero orthographice, statue ipsum velo parallelum, si denique scenographice, da ipsi situm vel inclinatum, vel declinantem, prout res exigit, aut lubitum fuerit. Quod si objectum habuerit situm immobilem, statue velum contra ipsum objectum aut in situ parallelo, aut declinante, prout scilicet desideras objectum delineare orthographice, vel scenographice. Eo autem major aut minor evadet figura in velo delineata, prout hoc magis aut minus fuerit ab objecto remotum. Secundo, tigillum exemptile EH extrahe, aut retrahe, tigillum vero transversum KI eleva, aut deprime, prout ex altiori aut humiliori loco inspicere volueris objectum: crescit enim ac decrescit imago, mutatque apparentiam, tam ex oculi, quam ex veli translatione, ut postea dicetur. His factis, instrumentum ita firma loco suo cochleolis F et G, ut moveri ab eo inter operandum non possit. Tertio, applica oculum ad foramen I, tigilli KI, ac per ipsum, simulque per velum inspice objectum retro collocatum, manuque quiescente supra lignum duobus fulcris innixum, juxta ductum visus in objectum post velum positum directi, describe in ipso velo figuram rubrica, creta, velaliâ quavis materiâ telam colorante, quae

tamen facile deleri possit; et habebis figuram optice descriptam, quam deinde transferes in chartam aut tabulam.

Quod autem figura dicto modo delineata in velo, sit optice delineata, ita ostendo. Si inter objectum radians, et oculum radios excipientem, ponatur planum diaphanum et radiis pervium (quale est velum nostrum) secatur conusradiosus in illo loco, in quo plan um interponitur et si radii planum penetrantes haberent vim relinquendi vestigium sui, remaneret plano impressa figura objecti apparentis post planum, eo prorsus modo, quo apparet oculo: hoc autem in casu nostro contingit, quia vestigia quae radii transcuntes imprimere non possunt, imprimit color, ergo etc.

Ex his patet, qua ratione procedendum sit in deline atione imaginum planarum, corporum solidorum, domorum, urbium, camporum, et quarumcunque aliarum rerum: idem enim in omnibus est operandi modus.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] AGendum nunc esset de geometrica rerum delineatione; sed quoniam omnia persequi quae ad illam pertinent, non possumus, tum ut sumptibus parcamus in tot figuris incidendis, tum ne Opus in nimiam molem excrescat; pauca autem dicere, nihil est dicere; praestat penitus abstinere, Lectoremque ad varios Auctores, qui de eare tractarunt, remittere: quorum quidem lucubrationes facile intelliget, qui organicam nostram descriptionem intelligit. De Optica practica seu Perspectiva inter alios agit Guidubaldus, Maroloysius, Dantes, Serlius, Vignola, Herigonus, et alic multi. De rerum transformationibus multa scripsimus in Magia 1. par. lib. 3.

LIBER XX. DE CATOPTRICA.

Prooemium.

[note: [note: Catoptrica. ] CAtoptrica, hoc est, Specularia scientia, versatur circa radios visuales e specularibus corporibus reflexos, circaque illa quae ope speculorum et huiusmodi radiorum efficiuntur; quae tam sunt mira, ut fidem humanam excedant, tam multa ut integris voluminibus comprehendi vix queant. Itaque duplex est Catoptrica, speculativa, et practica. De utraque non pauca diximus in Magia nostra Parte I. lib. 6. et 7. ex quibus pauca huc transferimus, potius ut Introductionem ad Catoptricam demus, quam ut illam pro dignitate tractemus. ]

CAPUT I. Definitiones Catoptricae.

[note: Catoptricae definitiones. ] COrpus radiosum vocamus omne illud, quod vel lumen, vel species colorum diffundit per medium diaphanum. Tam autem lumen, quam species colorum appellamus radios. Et corpus quidem profundens lumen, vocamus luminosum, corpus vero profundens species, coloratum. Explicatio petatur ex dictis libro praecedenti.

II.

[note: ] Radii corporis luminosi et colorati, non sunt lineae mathematicae omnis latitudinis expertes; sed sunt lumen ipsum, ipsaeque species, diffusae per medium diaphanum spaerice, et viis rectis. Concipimus tamen in hujusmodi lumine, et speciebus, lineas mathematicas, et super ficies, et solidas figuras, ut pyramides, conos, cylindros, etc. et iis ut talibus utimur in explicandis ac demonstrandis speculorum. phaenomenis.

III.

[note: Radius directus, et reflexus. ] Radius rectus seu directus (sive luminis, sive specierum) est, qui ab aliquo corpore luminoso aut colorato profusus, propagatur per medium diaphanum recta et nec refringitur, nec reflectitur. Radius reflexus est, qui a corpore radiante profusus, et per medium diaphanum aliquant isper recta progressus, impingit in corpus opacum aptum ad ipsum reflectendum, et sic impactus, et ulterius progredi prohibitus, reflectitur ac revertitur in idem medium diaphanum, [note: Iconism. XXIII. Fig. 489. ] per quod antea transierat. Esto in apposita fig. corpus seu punctum radians A, radius rectus seu directus AB, corpus opacum in quod radiat, CD, punctum in quod incidit radius, et a quo reflectitur, B, linea per quam reflectitur, BE, erit radius directus AB, reflexus BE.

IV.

Corpus speculare, seu speculum, est omne corpus politum, sive ab arte, sive a natura. Politio autem corporum est partium superficiei politi corporis continuitas perfecta, sine ulla pororum, asperitatis, inaequalitatis, ac divisionis senilbilitate. Speculum porro omne [note: Iconism. XXIII. Fig. 489. ] aut planum est, aut convexum, aut concavum, aut ex his mistum. Et tam convexum, quam concavum, aut est sphaericum; aut cylindricum, aut conicum, aut pyramidale, aut ellipticum, aut parabolicum, aut hyperbolicum, aut aliarum figurarum in quibus concavum et convexum dari potest. In praecdenti figura, linea recta CBD repraesentat speculum planum, curva FBG convexum

sphaericum, altera cutva HBI concavum sphaericum. Reliquorum figuras dedimus in Magia loco citato.

[note: ] Linea incidentiae dicitur illa, juxta cuius directionem radius rectus corporis seu puncti radiantis incidit inpoliti corporis superficiem. Talis est recta AB in praecedenti fig.

VI.

[note: ] Linea reflexionis dicitur illa, juxta cujus directionem radius rectus in superficiem politi corporis receptus, et propter corporis opacitatem ulterius in directum progredi non permissus, reflectitur in medium diaphanum, et ad visum in ipso exictentem. Talis est recta BE in eadem figura.

VII.

[note: ] Punctum incidentiae, et punctum reflexionis, dicitur illud, in quo linea incidentiae incidit in speculi superficiem, et a quo linea reflexionis revertitur in medium. Tale est punctum B praeced. fig. idem enim est utriusque punctum, quia radiorum reflexio semper fit a puncto incidentiae.

VIII.

[note: ] Perpendieularis super superficiem speculi, a quo fit reflexio, dicitur linea orthogonaliter erecta in puncto incidentiae super superficiem speculi illius, a quo fit reflexio, si speculum sit planum. Sivero speculum sit convexum, aut concavum, tunc dicitur perpendicularis super ipsum linea illa, quae est perpendicularis super superficiem planam, speculum in puncto incidentiae contingeniem. Talis est in praecedenti figura recta KBM, quae perpendicularis est, ut suppono, rectae seu plano CD, contingenti tam speculum convexum FBG, quam concavum HBI, inpuncto B. Et haec perpendicularis in speculis sphaericis, tam convexis, quam concavis, semper transit per centrum speculi.

IX.

[note: ] Superficies riflexionis dicitur illa superficies imaginaria supra speculum erecta, quae contines et lineam incidentiae, et reflexionis, et perpendicularem jam dictam. Talem in ead. fig. repraesentat superficies EBA, in qua sunt rectae AB, BE, BK, si imaginemur CD, vel HBI, vel FBG, esse speculum, et superficiem EBA supra ipsum erectam.

[note: ] Cathetus incidentiae dicitur linea illa, quae ex puncto aliquo corporis in speculum radiantis ducitur normaliter ad planam speculi superficiem (etiam pro ductam) aut ad planum contingens speculum convexum aut concavum in puncto incidentiae. Talis est recta AD respectu rectae CD, contingentis tam speculum HBI, quam speculum FBG, in puncto B.

XI.

[note: ] Cathetus reflexionis dicitur luxea illa, quae a puncto illo, ad quod terminatur lina reflexonis (ut a centro visus, aut ab alio puncto ad quem reflexio terminatur) dicitur normaliter adplanam speculi superficiem, aut ad planum contingens speculum sphaericum in puncto reflexionis. Talis est EC respectu lineae CD.

XII.

[note: ] Superficies incidentiae dicitur illa superficies imagiaria supra speculum erecta, quae continetur catheto incidentiae, et lineâ incidentiae. Talis est superficies ABD.

XIII.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 489. ] Augulus incidentiae dicitur ille, quem subtendit cathetus incidentiae in superficie reflexionis: aut quem conflituit linea incidentia cum linea illa, quae est communis sectio superficiei reflexionis et speculiplani, aut plani speculum spharicum in puncto incidentiae contingentis. Talis est angulus ABD.

XIV.

[note: ] Angulus reflexionis dicitur ille, quem subtendit cathetus reflexionis; aut quem constituit linea reflexionis una cum praedicta communi sectione. Talis est angulus EBC.

XV.

[note: ] Triangulus incidentiae est, quem super speculi plani superficiem, aut super planum contingens speculum sphaericum, fundat radius incidentiae una cum suo catheto. Talis est trianguhis ABD.

XVI.

[note: ] Triangulus reflexionis est, quem super praedictam superficiem constituit radius reflexionis una cum suo catheto. Talis est triangulus EBC.

XVII.

[note: ] Linea superficiei reflexionis est illa, quam efficit superficies reflexionis secans planum speculi, aut planum contingens speculum. Vel, est cemmunis sectio superficiei reflexionis, et plani praedicti. Talis est recta CBD.

XVIII.

[note: ] Imago dicitur forma illius objecti, quod in speculo, aut intra vel extra speculum apparet. Explicatio patebit ex dicendis.

XIX.

[note: ] Locus imaginis dicitur locus visionis praedictae forma, scilicet locus in quo apparet illa forma in speculo, aut intra vel extra ipsum.

XX.

[note: ] Inclinatio radii supra superficiem speculi, est angulus acutus, quem obliquus radius incidentiae et reflexionis efficit cum perpendiculari. Talis est angulus ABK, EBK, respectu superficierum speculi plani CD, convexi FBG, et concavi HBI. Et hi etiam dicuntur saepe anguli incidentiae et reflexionis.

CAPUT II. Hypotheses [correction of the transcriber; in the print Hypothesis] Catoptricae.

[note: Catoptricae hypotheses. ] OMne speculum, cujuscunque figurae sit, reflectit lumen, et colorum species, secundum lineas rectas, et a quolibet puncto in quod incidunt. Patent haec experientiâ. Nam si opponas speculum lumini forti, et colori vivaci illuminato, manifeste fit ad parietem vicinum reflexio luminis, et coloris; et moto speculo movetur radius reflexus; et si a loco cui incidit radius reflexus, ducatur manus vel aliud corpus mundum secundum rectam lineam versus superficiem speculi, semper apparet in illo lumen et; color; ergo etc. Et quia omnia speculi puncta habent eandem vim, sequitur quod a quolibet fiat reflexio, in quod lumen aut species cadunt: cadunt autem in omnia, ut patet ex dictis libro praeced. ergo etc.

II.

[note: ] Si objectum radians transfertur ad locum oculi, et oculus ad locum objecti, adhuc objectum eodem, quo antea, tramite radiat in oculum, am in visione directa, quam reflexa. Patet experientiâ. Et ratio est, quia ubicunque ponatur objectum radians, si omnia caetera manent eadem, radiat in orbem, et per lineas rectas, per dicta libro praecedenti.

III.

[note: ] In speculo objectum, non species objecti videtur. Quidam putant, in speculis videri idola seu imagines rerum, non res ipsas. Sed hoc falsum est. I. Si quis videt se in aliqua speculi parte, motus ad alium locum non videt se amplius in illa parte speculi, sed in alia, et tamen projicit adhuc species sui in priorem illam partem, quia in totam speculi supeficiem eas, per I. Hypoth. II. Si quis vidit in speculo aliquod corpus, et mutat situm, potest accidere ut non videat amplius in speculo illud corpus, licet videat totam speculi superficiem, et corpus antea visum non mutet locum, mittatque adhuc formam sui in speculum. III. Res non apparet semper in superficie extima speculi, sed velintra speculum, vel extra, ut patet experientiâ, et ratio dabitur postea. Et quo magis corpus visum removetur a speculo, aut speculum a corpore, eo magis apparet intra, aut extra. IV. In uno eodemque puncto speculi a diversis visibus diversa conspiciuntur objecta. V. Si quis moveat speculum, immoro manente oculo, oculus nihil videt amplius in speculo, etiamsi objectum adhuc mittat in ipsum species.

IV.

[note: ] Radius incidentiae, et reflexionis, et quatuor puncta, nempe punctum visibilis seu aspectabilis, incidentiae, imaginis, et oculi, sunt in eodem plano. Demonstratur a Vitellone, ab omnibus Catoptricis admittitur.

[note: ] Si extrema puncta objecti radiant in speculum quodcunque, etiam radiant intermedia puncta, nisi haec tegantur.

VI.

[note: ] Res omnis apparet in radio, quo ipsius simulacrum ad retinam porrigitur. Hoc idem exprimit Keplerus in sua Dioptrica num. 19. aliis verbis. Hoc idem vult Euclides in Catoptrica, dum ait Hypothesi 1. visionem fieri per lineam rectam, seu secundum lineam rectam. Lege quae dicimus in Magia Par. 1. lib. 6. Plolusione 2. Proposit. 4.

CAPUT III. Proprietates omnibus speculis communes.

Proprietas I. In omnibus speculis radii oblique incidentes reflectuntur ad angulos aequales angulis incidentiae.

[note: Catoptricae proprietates. ] SIt primo speculum planum AB, radius incidentiae CE, reflexionis ED, objetum in C, oculus [note: Iconis. XXIII. Fig. 490. ] in D. Quoniam igitur objectum est in C, si ponamus angulum incidentiae esse majorem angulo reflexionis, angulus CEA, erit major angulo DEB. Ponatur jam objectum in D, et oculus in C; radiabit objectum D eodem tramite in oculum C. quo antea tadia bat, per 2. Hypoth. ac proinde si ponamus angulum incidentiae esse majorem angulo reflexionis, erit angulus DEB major angulo CEA, ac proinde idem angulus CEA erit major et minor altero; quod est ab surdum. Sit Secundo speculum convexum MEN, et punctum incidentiae ac reflexionis sit E, ducatur que recta AB contingens speculum in puncto E. Quoniam igitur angulus DEB aequalis est angulo CEA, ut demonstratum est; et; etiam anguli contingentiae MEA, NEB, ut ex 16. Tertij Euclid. colligitur; erit totus angulus CEM, aequalis toti angulo DEN. Sit tertio specul um concavum FEG, et reliqua ut antea. Quoniam igitur engulus DEB aequalis est angulo CEA, et angulus contingentiae GEB, angulo FEA; erit etiam reliquus DEG aequalis reliquo CEF.

Proprietas II. In omnibus speculis, radii perpendiculariter incidentes reflectuntur in se ipsos.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 490. ] SIt planum speculum AB praecedentis fig. cadatque supra ipsum radius KE perpendiculariter in puncto E, et faciatangulos KEA, KEB aequales. Dico, radium hunc redire in seipsum per eandem lineam EK. Reffectatur enim, si fieri potest, in C, ita ut radius reflexionis efficiat duos angulos CEA, CEB. Quoniam igitur in omni reflexione angulus incidentiae aequalis est angulo reflexionis, per 1. hujus; erit angulus CEA aequalis angulo KEA, pars toti; quod est impossibile. Non ergo reflectetur radius KE in C, nec adaliud punctum extra rectam EK protractam. Eadem est ratio de aliis speculis.

Corollaria.

[note: ] COlligitur I. radium oblique incidentem inspeculum, non reflecti in seipsum, neque cadere ad partem anguli minoris quem facit cum plano speculi, alioquin angulus incidentiae non esset aequalis angulo reflexionis

Colligitur II. si radius in qua ecunque speculum cadens, aequales faciat hinc inde angulos, eum in seipsum refiecti, alioquin incidentiae et reflexionis angisli inaequales forent.

Proprietas III. Res visa per speculum reflexe, non videtur ibi ubi est, sed ubi non est, nempe in radio reflexionis protracto ab oculo versus speculum.

[note: Iconis. XXIII. Fig. 49] Sit speculum planum ED, supra quod objectum seu punctum objecti A mittat radium AB, ad punctum B, qui radius ad illo puncto reflectatur ad oculum C. Dico, oculum, C non videre objectum A in A, nempe supra speculum, et secundum directionem lineae fractae CBA, sed intra speculum, secundum directionem radii CBF. Patet experientiâ. Et ratio est, quia visio fit secundum lineam rectam secundum quam ducitur oculus a specie immediate recepta: quoniam igitur radius reflexus recipitur immediate in oculo, ab illo et secundum rectam illius viam ducitur in objectum. Lege quae diximus Parte 1. Magiae lib. 6. Praelus. 2. Proposit. 3.

Proprietas IV. In quolibet speculo res visa apparet in concursu catheti incidentiae et radii reflexi protracti per punctum reflexionis.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 492. ] SIt speculum planum AB, Figurae 493 ae, objectum C, radians in D, a quo reflectatur radius CD in oculum E. Descendat a Cin speculum perpendicularis sive cathetus incidentiae CA protracta versus F, radius vero reflexus ED protrahatur directe, donec occurrat cum catheto in puncto F. Dico, objectum C apparere in F. Sit iterum speculum convexum aut concavum AB, Figurae 493. et 494, cujus centrum G, objectum vero Cradiet in D, et inde in [note: Iconism. XXIII. Fig. 493. 494. ] E oculum. Descen data Cad centrum G cathetus CG, et protrahatur radius reflexus ED, occurrens catheto in F. Dico, objectum C apparere in F. Demonstrat hoc Euclides in Catoptr. Proposit. 16. 17. et 18. ex eo quod visio fit per lineam rectam, per 6. Hypoth. et quia in speculis occupato loco, in quem cathetus incidentiae cadit, res, quae alias videbatur, videri amplius non potest; nempe in figura 492 a occupato puncto A, et in reliquis occupato puncto H. Ex hoc infert, necessario videri C in catheto CF. Lege quae dicimus lo. cit. Proposit. 4.

Proprietas V. Impossibile est, simul duo puncta eiusdem rei visae, ab eodem oculo cuiuscumque speculi, reflecti ad idem punctum oculi; vel e duobus punctis eiusdem speculi reflecti formam unius puncti eiusdem rei visae.

[note: ] RAtio est, quia alioquin angulus reflexionis non esset aqualis angulo incidentiae.

Proprietas VI. Ab uno puncto superficiei speculi cuiuscumque, reflecti formam unius puncti rei visae ad duos visus, non est possibile.

[note: ] RAtio est eadem quae antea, cum alioquin angulus reflexionis et incidentiae inae quales forent, ut patet.

Proprietas VII. Ab uno puncto reflexionis cuiuscumque speculi, ad diversos visus, possibile est reflecti formas plurium punctorum; et a diversis unam.

[note: ] RAtio est, quia sicut radii diversi possunt incidere in idem punctum speculi secundum diversos angulos, ita etiam possunt reflecti secundum diversos angulos, atque adeo in diversos visus. Et sicut unius puncti radii possunt incidere in puncta diversa speculi, ita ab iis possunt reflecti in diversos visus. Alias rationes vide lo. cit. Proposit. 7.

Proprietas VIII. Specula penitus opaca, semel tantum reflectunt speciem; at secundum quid diaphana, bis.

[note: ] PEnitus opaca sunt marmor laevigatum, et chalybea specula. Secundum quid diaphana, sunt vitrea, et crystallina, et quae a prima superficie ad alteram usque, ubi terminatum est speculum, diaphana sunt, ideoque intra se species recipiunt. Haec igitur, propter duplicem specierum incidentiam, unam in anteriori superficie sine refractione, alteram in posteriori cum refractione duplicem dant specierum reflexionem: nam species in primam superficiem incidentes, a puncto incidentiae statim reflectuntur ad angulum aequalem incidentiae directae; illae eaedem penetrant speculum usque ad ultimam opacam superficiem, sed refractae, et inde reflectuntur ad angulum aequalem angulo incidentiae refractae. Et haec est causa, cur in hujusmodi speculis objectum appareat duplex, et aliquando triplex. In opacis vero speculis unica apparet imago, quia unica fit reflexio.

Proprietas IX. Moto oculo, obiectum in alia speculi parte conspicitur.

[note: ] MUtato enim oculi loco, ab aliis partibus speculi species reflexae doculum veniunt, quam antea, ergo etc.

CAPUT IV. Proprietates speculorum planorum.

Proprietas I. Radii eiusdem puncti radiantis a planis speculis reflexi, neque paralleli sunt, neque convergentes, sed divergentes.

[note: Speculorum planorum proprietates. ] ESto speculum planum AB, punctum radians C, radii incidentes CD, CE, radii reflexi DF, EG. Dico, hos neque parellelos esse, neque concurrere, sed divergere. Quoniam [note: Iconism. XXIII. Fig. 496. ] enim angulus CDA major est angulo CEA, per 16. pri. Euclid. et angulus FD aequalis angulo CDA, per 1. praeced. capit. erit etiam angulus FDE major angulo CEA, per 1. Axioma pri. Euclid. Est autem GEB angulus aequalis angulo CEA, per 1. praecedentis; ergo et FDE angulus major erit angulo GEB, per 1. Axiom, pri. Euclid. ac proinde radii reflexi DF, EG, non sunt paralleli, per Contrar. 28. pri. Euclid. neque convergentes, per Contrar. undec. Axio. pri. ergo divergences.

Proprietas II. Specula plana faciunt radios reflexos diversorum punctorum eiusdem generis, cuius essent, si radii illi fuissent continuati, parallelos, si paralleli fuissent, concurrentes si concurrissent, recedentes, si recessissent.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 497. ] ESto speculum planum AC; puncta radiantia E et G, radii incidences EC, GD, paralleli inter se, qui si continuarentur ultra punctra C et D, paralleli manerent, per 34. Definit. pri. Euclid radii vero reflexi sint CF, DH. Dico, hos etiam parallelos esse. Quoniam enim rectae EC, GD, parallelae sunt, erit angulus ECA aequalis angulo GDC, per convers. 28. pri. Euclid. Sed augulus FCD aequalis est angulo ECA, et angulus HDB aequalis angulo GDC, per 1. praecedentis. Ergo aequalis est angulus HDB angulo FCD, per 1. Axio. pri. ergo parallelae sunt rectae FC, HD, per 28. pri. Reliqua vide demonstrata in Magia Catoptr.

Proprietas III. In omni reflexione a speculis planis facta, lineae incidentiae et reflexionis proportionales sunt cathetis a punctis suorum terminorum demissis, et ipsis basibus in speculorum superficie, etiam protracta, si opus fuerit, interiectis.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 498. ] SPeculum sit AB, linea incidentiae CD, reflexionis linea DE, cathetus incidentiae CA, reflexionis EB. Quoniam igitur anguli ad A et B recti sunt, ex suppositione, et anguli ad D aequales intet se, per 1. praecedentis, erunt etiam anguli C et E aequales, per 32. pri. Euclid. AEquiangula ergo sunt triangula CAD, EBD, ac proinde latera circa aequales angulos proportionalia sunt, per 4. Sex. Euclid.

Proprietas IV. Eadem est distantia loci imaginis a superficie speculi plani sub speculo, quae est puncti visi ab eadem superficie supra speculum planum exsistentis.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 499. ] SPeculum sit AB, punctum visum D, radians in C, radius incidentiae DC, cathetus incidentiae infra speculum productus DAF, radius reflexionis infra etiam speculum prolongatus ECF. Erit itaque, per 4. praecedentis, locus imaginis puncti visi in F, scilicet in concursu radii reflexi producti cum catheto incidentiae producto. Dico, distantiam AF esse aequalem distantiae AD. Quoniam enim anguli ad A recti sunt, ex suppositione, et anguli ad C aequales, per 1. praecedentis, et per 15. pri. Euclid. uti et anguli D et F, per. 32. pri. erunt duo triangula, DAC, FAC, aequiangula, ac proinde per 4. sex. ut DA ad AC, ita FA ad AC. Ergo, per 9. Quin. DA, AF, aequales sunt. Idem contingit, si punctum D radiat in speculum perpendiculariter.

Proprietas V. In omni reflexione a speculis planis facta, linea a centro visus ad locum imaginis producta, aequalis est lineae incidentiae et reflexionis simul sumptis.

[note: ] DEmonstrationem vide in Magia nostra Catoptr. Par. 1. Magiae l. 6. par. 2. Syntagm. 1. cap. 1. Proposit. 5.

Proprietas VI. In planis speculis altitudines et profunditates apparent eversae, obliquae, ut re ipsa sunt, dextera apparent sinistra, et e contrario, et imago apparet aequalis rei visae.

[note: ] DEmonstravimus hoc lo. cit. Proposit. 6. 7. et 8. patent experientia.

Proprietas VII. Quando in speculo plano diaphano repraesentatur imago, eiusdem obiecti bis, una apparet profundius intra speculum quam altera.

Proprietas VIII. Per plura specula plana certo modo disposita, reprasentari potest res eadem, itaut in omnibus appareat.

Proprietas IX. Fracto speculo plano, si partes omnes maneant in eodem plano, unius rei unica imago apparet ut antea, si vero sint in diversis planis, plures.

[note: ] PAtet experientia, et ratio est, quia in primo casu non nisi ex uno puncto speculi fracti possunt reflecti radii unius puncti radiantis, ad angulos aequales angulo incidentiae: in secundo vero casu ex diversis punctis id fieri potest, propter diversum situm partium speculi. idem etiam contingitin aliisspeculis.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] PRaemissis hisce proprietatibus, cum nonnullis problematibus lo. cit. Magiae, egimus deinde c. 2. de rerum exhibitione per specula plana, ubi mirabiles ac

jucundissimas praxes praescripsimus, cujusmodi sunt 1. Speculum planum ita situare, ut intuens nec suâ, nec objecti speculo expositi, et a se visi, imagine visâ, videat alterius reinon visae imaginem. 2. Machinam catoptricam construere, in qua homo speculum planum intuens videat vultum asini, bovis, accipitris, aut cujuscunque animalis. 3. Aliter speculum planum ita situare, ut repraesentet imaginem ab inspiciente non visam. 4. Vno speculo plano repraesentare in cubiculo ea, quae extra sunt, et directâ visione videri non possunt. 5. Duobus aut tribus speculis planis repraesentare objectum extra cubiculum positum. 6. Theatrum catoptricum e speculis planis construere. 7. Perspectivam Catoptrico-architectonicam speculis planis repraesentare. 8. Duorum solummodo planorum speculorum ope rem eandem multiplicare multis modis. 9. Cistam catoptricam construere, in qua quaecunque volueris, ad Naturae exemplar exhibeantur. 10. Conclave catoptricum, seu Prothei theatrum construere. 11. Polyedrum catoptricum, Gazophylacium catoptricum, specum catoptricam construere. 12. Per speculare vitrum in cubiculo repraesentare ea. quae non sunt in illo. 13. Duo specula plana ita statuere, ut intuens in uno videat imaginem suam venientem, in altero recedentem. Omitto alia ibidem dicta.

CAPUT V. De speculis sphaericis, tam convexis, quam concavis.

[note: Specula sphaerica. ] LOnge mirabiliores ac prodigiis similiores sunt Proprietates atque effectus speculorum sphaericorum, quam planorum. Ex multis quae fuse tractavi Par. 2. Magiae lib. 6. Syntagm. 2. paucula huc transcribam.

DEFINITIONES.

[note: Speculorum sphaericorum definitiones. ] COnvexum speculum sphaericum est exterior alicujus sphaerae superficies polita et specularis, atque ad reflectendas rerum imagines apta; aut segmentum quodcunque huiusmodi sphaericae convexae superficiei, sive magnum, sive parvum.

II.

[note: ] COncavum speculum sphaericum est interior alicujus sphaerae intus cavae superficies polita ae specularis; aut segmentum aliquod hujusmodi interioris et concavae superficiei.

III.

[note: ] MAjus speculum sphaericum, tam convexum, quam concavum, est, quod est segmentum majoris spbaera; minus, quod minoris, aequale, quod aequalis. Itaque magnitudo et parvitas speculorum sphaericorum non desumitur a magnitudine et parvitate segmentorum, sed sphaerarum quarum sunt segmenta.

IV.

[note: ] CEntrum et diameter sphaerici speculi convexi et concavi, est centrum et diameter sphaerae cujus segmentum est. Itaque diameter speculi sphaerici concavi, non est linea ab extremo ambitu ad extremum ambitum per medium speculi extensa; nec centrum ejus, est punctum medium cavitatis ipsius.

[note: ] RAdius et punctum incidentiae, ac reflexionis, quid sit in speculis sphaericis, constat ex dictis cap. 1.

VI.

[note: ] CAthetus incidentiae in speculis sphaericis, est linea recta, a puncto radiante per centrum speculi ducta. Catethus reflextonis est linea recta, ab oculo per centrum speculi ducta. Haec vocatur etiam diameter visualis.

VII.

[note: ] LInea recta speculo sphaerico convexo aequidistare dicitur, quae secundum ejus punctum medium aequidistat lineae aliquem arcum circuli magni illius speculi secundum medium ejus punctum contingenti.

VIII.

[note: ] FInis contingentiae dicitur punctum, ubi altera cathetorum secat lineam in puncto reflexionis speculum contingentem.

IX.

[note: ] MEta locorum imaginis dicitur punctum, vel linea, ultra quam imago non videtur.

PROPRIETATES Speculi Convexi.

[note: Speculi convexi proprietates. ] INconvexis speculis sinistra apparent dextera, et contra. Et imago intra speculum apparens, minus distat a speculi superficie, quam aspectabile; tantoque minor apparet, quanto minus est speculum; tanto vero major, quanto aspectabile est propinquius speculo.

II.

[note: ] Altitudines et profunditates perpendiculariter incidentes speculis convexis, inversae apparent; obliquarum vero longitudinum idola apparent disposita juxta dispositionem objectorum.

III.

[note: ] In speculis convexis aspectabilium imagines aparent convexae seu curvae eoque convexiores, que specula convexiora fuerint.

IV.

[note: ] Locus imaginis visae in speculis convexis ponitur ab antiquis in concursu lineae reflexionis cum catheto incidentiae. Alii aliter, ego cum antiquis sentio.

[note: ] Radii ab objecto lucido vel corolato procedentes a convexis speculis disgregantur.

PROPRIETATES Speculi Concavi.

[note: Speculi concavi proprietates. ] OBjecto radiante constituto in centro speculi, omnes radii in speculum cadentes reflectuntur in seipsos. Ratio est, quia omnes radii e centro in superficiem speculi cadentes, recti sunt, ob naturam radiorum, et perpendiculares lineis puncta incidentiae tangentibus, per 18 Tertii Euclid. et Definit, 8. Capitis 1. ideoque in seipsos reflectuntur, per 2. Capitis 3.

II.

[note: ] Locus imaginis rerum a speculo reflexarum quandoque est in ipso puncto reflexionis, quandoque. ultra jpeculum, quandoque inter visum et speculum, quandoque in superficie ipsius visus, quandoque retro visum. Haec omnia sequuntur ex Proposit. 4 capitis 3.

III.

[note: ] Idem objectum potest in speculo habere duas, tres, et quatuor imagines. Racio est, quia potest ita collocari ob, ectum et oculus, ut a pluribus punctis speculi reflexio fiat ad oculum.

Res aliquando apparent confuse et dubie. Ratio est, quia aliquando apparent in oculo, vel retro oculuin, per 2. bujus, quod cum fit, necessario fuse apparent

[note: ] Imago apparet aliquando aequalis objecto, aliquando major, aliquando minor. Ratio est, quia catheti incidentiae extremitatum objecti varie se habent, et nunc quidem apparent paralleli, nunc convergunt, nunc divergunt.

VI.

[note: ] Altitudines et profunditates aliquando apparent versae, aliquando ut se habent. Demonstrat Euclides in Catoptr. Proposit. 2.

VII.

[note: ] In concavis speculis radii reflexi convergunt in centro, et inter super ficiem et centrum speculi. Ostendetur infra, quando de speculis ustoriis agetur. Omitto alias proprietares.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] MIra ac jucunda phaenomena, quae speculi concavi subsidio exhiberi possunt, dedimus lo. cit. supra Proposit. 12. cujusmodi sunt 1. Omnia majora exhibere. 2. Vt gladius e speculo, aliave objecta, egrediantur, et imagines rerum in aere pendeant, efficere. 3. Hominem in aere suspensum, pedibus sursum versis, exhibere. 4. speciesrerum perforamen in cubiculum obscurum intromissas erigere. 5. Calorem, frigus, vocem, et alia similia reflectere. 6 Noctu ea quaelonge sunt remota, videre. 7. Laternam catoptricam praeparare. 8. Noctu aut interdiu in loco obscuro litieras longe dissitas legere. 9. Notas alicui procul dissito clam significare. 10. Plures ejusdem rei imagines repraesentare.

CAPUT VI. De speculis columnaribus, et conicis, tam convexis, quam concavis.

[note: Specula cylindrica, et conica. ] SImul conjungo colum naria et conica, seu cylindracea et pyramidalis, ut alii vocant, specula, quia eaedem sunt fere utrorumque proprietates.

DEFINITIONES.

[note: ] COlumnare seu cylindraceum speculum convexum vocamus, rotundam columnam seu cylindrum specularem. Nec solum integrae columnae, sed partes etiam et segmenta earum secundum longitudinem sectarum constituunt hujusmodi specula.

II.

[note: ] Conicum seu pyramidale speculum convexum vocamus, conum seu pyramidem specularem, cujus nim. superficies polita et apta est ad imagines rerum reflectendas.

III.

[note: ] Majus speculum columnare et conicum convexum est, quod bases habet majores; minus, quod minores. Bases speculorum columnarium sunt bases suarum columnarum, bases conicorum sunt bases ipsorum conorum.

IV.

[note: ] Axis speculi cylindracei et conici convexi, est axis illius cylindri aut coni, quem speculum format, aut cujus pars est speculum. Hic in columnis est recta connectens centra basium, in conis est recta a centro ad verticem ducta.

[note: ] Cathetus incidentiae hic dicitur linea perpendicularis ducta a puncto rei visae super lineam, quae est communis sectio superficiei reflexionis et speculi, nempe vel super lineam rectam secundum longitudinem speculi ductam, vel super circulum, vel super oxygoniam sectionem, prout ab aliqua ipsarum linearum reflexio procedit.

VI.

[note: ] Cathetus reflexionis dicitur linea a centro visus perpendicularis super superficiem speculi et ad axem productam. Vocatur etiam diameter visualis.

PROPRIETATES.

[note: Speculorum cylindraceorum et conicorum proprietate. ] SIspeculum columnare vel conicum convexum orthogonaliter erectum opponatur visut, ita ut visus non sit in superficie speculi, aut et conriguus, illa solum speculi pars reflectit rerum formas adoculum, quam comprehendit basis radiosae pyramidis habentis verticem in oculo: hoc est, solum illa pars speculi reflectit species, quae ab oculo videtur.

II.

[note: ] Radii visuales a centro oculi ad extremos terminos superficierum speculorum columnarium et conicorum convexorum apparentium visui, tangunt specula.

III.

[note: ] Ad quodcunque punctum signatum in superficie apparente speculi cylindracei et conici ducatur linea recta a centro visus, illa producta necessario speculum secabit. Sequitur ex antecedenti.

IV.

[note: ] Speculo cylindraceo convexo visui opposito, ita ut visus non sit superficie speculi, et punctus rei visae radiantis in speculum sit cum visu in eadem superficie imaginaria aequidistante basibus columnae, erit circulus aequidistans basibus columnae.

Omitto alias proprietates tum convexi, tum concavi speculi columnaris ac pyramidalis, de quibus fuse Vitello lib. 7. et 9. et nos breviter Par. 1. Magiae lib. 6. Syntagm, 3. cap. 1. Eodem loco cap. 2. egimus fuse de mira bilibus effectibus speculorum columnarium, et pyramidalium convexorum, et non negligenter discussimus, Utrum possibilesit, speculum columnare vel pyramidale convexum taliter sisti, ut intuens videat in aere extra speculum imaginem rei alterius non visae. Proposuimus deinde binas praxes Portaeidolum e speculo educendi, ita ut in aere pendiculum videatur. Hoc idem, et melius, quomodo efficiatur speculo columnari concavo aut solo, aut adjuncto speculo plano, ostendimus ibidem cap. 4. Syntagmate deinde 4. fuse egimus de speculis metamorphoticis seu transformativis, eorumque prodigiosis effctibus.

CAPUT VII. De speculis causticis, ac primum de sphaerico concavo.

[note: Specula caustica. ] CAusticis seu ustoriis speculis Soli expositis, et ejus radiosexcipientib ac reflectentib. accendi

posse ac solere ignem, constat experientia antiquis et nostris temporibus. Dubium est, cujus formae esse debeant. De toto hoc negotio fuse egimus Par. 3. Magiae Iib. 7.

Et concava quidem specula sphaerica vim urendi habere, si Soli directe opponantur, ut radios illius excipere, atque reflectere versus eundem Solem queant, dubium nullum est. Difficultas tamen est, ubi sit focus hujusmodi speculorum, hoc est, in quo loco fiat confluxus radiorum solarium reflexorum, aptus ad causandam ustionem. Alii putarunt locum ustionis esse in centro speculi; alii in quarta parte diametri speculi, hoc est, in medio loco inter centrum et superficiem speculi, alii inter quartam et quintam partem diametri.

Pro intelligentia sequentium suppono, propter infinitam fere distantiam Solis a nobis, radios ab eodem puncto Solis in diversa speculi sphaerici concavi puncta incidentes, censeri posse parallelos, et eundem effectum habere ac si revera paralleli forent. Consequenter igitur iidem radii censendi sunt paralleli cum axe speculi per centrum ejus usque ad Solis centrum producto.

Propositio I. Radii Solis transeunt per centrum speculi sphaerici concavi Soli recta oppositi, et in idem centrum reflectuntur.

[note: Speculorum causticorum reflexiones, aliaeque proprietates ] ESto speculum sphaericum concavum AB, cujus centrum C, oppositum Soli D, in quo assumantur quaecunque puncta E, F, G, radiabunt haec etiam per centrum speculi, ut pater ex natura radiationis explicata lib. xix quoniam omnia puncta radiant in orbem, et intra speculi concavitatem mittunt conum radiosum ac luminosum, [note: Iconism. XXIII. Fig. 500. ] cujus vertex est in Sole, basis in speculo, ideoque in omnibus punctis inter Solem et speculum interjectis omnium punctorum radiantium radii concurrunt, ac proinde etiam in centro C. Punctum ergo E radiat per C in K, et punctum F per C in I, et punctum G per C in H. Et quoniam radii per centrum transeuntes. sunt speculo perpendiculares, reflectuntur omnes in seipsos, et in centro iterum conjunguntur, pre dicta supracap. 1. Quod autem dixi de punctis E, F, G, intelligi etiam debet de quibuscunque punctis, a quibus per centrum C ad speculum usque duci possunt lineae rectae.

Propositio II. Radii Solis inflexi in centro speculi sphaerici concavi concurrentes, non producunt ignem, si materia combustibilis apponatur.

[note: ] TOrsit haec difficultas multorum ingenia, cum dicti radii non minus producant calorem in centro, quam in aliis punctis in quibus uniuntur. Ratio mea est, quia collocato combustibili in centro, nullus radius incidentium aut reflexorum transit amplius per centrum, occupato loco centri a combustibili. Vide quae dicimus lo. cit. Proposit. 1.

Propositio III. Radii Solis in speculo sphaerico concavo, cadentes in puncta a speculi polo remota latere hexagoni, reflectuntur ad ipsum speculi polum.

[note: Iconism. XXIII. Fig 501. ] SItspeculum AB; cujus centrum C, axis BCD, polus B; radius incidens, et axi aequidistans, sit E A, cadens in punctum A, remotum a polo latere hexagoni, hoc est, gradibus 60. Dico, radium EA reflecti ad ipsum polum B. Quoniam enim angulus BCA, aequalis. est angulo incidentiae EAC, per 29. pri. Euclid. et eidem angulo incidentiae EAC, aequalis est angulus reflexionis, erunt duo anguli CAB, ACB, inter se aequales, per 1. Axio. 6 pri. Euclid. ideoque et latera AB, CB, aequalia, per 6. pri. Euclid, At latus AB est semediameter, ergo et latus CB erit semidiameter: Radius ergo reflexus AB cadit ad polum speculi.

Propositio IV. Radii Solis in speculo sphaerico concavo, cadentes in puncta a speculi polo remota plus quam latere hexagoni, reflectuntur infra polum speculi.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 501] SIt ut antea speculum AB, cujus centrum, axis, et polus sint iidem, radius vere incidens FG cadat extra latus hexagoni AB. Dico, eum reflecti infra polum, versus punctum H. Ducatur enim a puncto G, ad centrum C, semidiameter GC, fiatque angulus reflexionis CGH, aequalis angulo incidentiae FGC. Quoniam igitur angulo FGC, BCG. aequales sunt per 26. pri. et angulus BCG major est angulo BCA per 9. Axio. pri. erit etiam major angulo BAC, qui angulo BCA aequalis est, ut demonstravimus. Si ergo radius EA, cadens in latus hexagoni, reflectitur ad calcem diametri DCB, radius FG, cadens extra latus hexagoni, et constituens majorem angulum cum suo radio reflexionis, debet cadere infra diametrum DCB, nempe in punctum H. ubi eam intersecat, quandoquidem bases GC, CA aequales sunt.

Propositio V. Radii Solis cadentes in speculo concavo sphaerico in puncta a speculi polo remota latere octogoni, reflectuntur perpendiculariter super axem speculi.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 502. ] SItspeculum AB, cujus centrum C, axis DCB. Incidat radius Solis EA in punctum A, distans a polo B latere octogoni, hoc est, gradibus 45. Dico, radium reflexum AF, esse perpendicularem axi DCB. Ducantur enim duae semidiametri CE, CA, et angulus reflexionis CAF fiat aequalis angulo incidentiae CAE, et producatur recta AF usque ad axem. Quoniam igitur EC, CA, sunt semidiametri quadranti circulo inscriptibilis, ex suppositione, erit angulus ECA rectus (nam diametri quadrati in centro ad rectos

angulos decussantur, cum efficiant quatuor angulos, et inter se. et quatuor rectis aequales, per 15. et 26. pri. ) acproinde reliquorum duorum quilibet semirectus, cum inter se aequales sint, per 6. pri. Sunt autem et angu li ACF, FAC: semirecti, quia uterque aequalis est angulo CAE, per 29 pri. Rectus ergo est angulus EAF, et recta AF perpendicularis ad rectam CB.

Propositio VI. In reflectionibus speculorum sphaericorum concavorum linea reflexionis numquam ascendit usque ad quartam partem diametri speculi.

[note: Iconism. XXIII. Fig. 503. ] ESto speculum AB, cujus centrum C, et radius Solis incidens FA, quantumvis diametro DCB vicinus, radius vero reflexus sit AE. Dico, hunc nunquam ascendere usque ad quartam parcem diametri DCB. Quoniam enim, quantumvis radius reflexus AE ascendat versus centrum C, semper duo anguli ACE, CAE aequales sunt, ut demonstratum fuit, erunt et latera AE, EC, semper aequalia, per 6. pri. Est autem segmentum BE minus. quam latus AE, per 7. Tert. ergo et: minus quam segmentum EC. Nunquam ergo BE, segmentum est dimidium semidiametri, ac pars quarta diametri: acproinde nunquam reflexio ascendit usque ad quartam partem diametri.

Corollaria.

[note: ] COlligitur ex dictis I. Errare qui dicunt, combustionem fieri in centro, aut in termino quartae patris diametri.

II. Locum combustionis non consistere in indivisibili, quia non tantum circa punctum E uniuntur radii reflexi, sed etiam infra punctum E versus polum B, prout speculum est segmentum magnum suae sphaerae.

III. Radios reflexos tanto altius versus E coire, quanto radii incidentiae fuerint viciniores polo B, tanto vero minus alte ascendere, quanto remotiores a polo B.

Propositio VII. Speculo sphaerico concavo ignem accendere ante speculum.

[note: Speculo sphaerico concavo accendere ignem. ] SOli expone speculum, ita ut ejus radios directe excipiat, tum justo spatio, hoc est, eo in loco qui speculi focus appellatur, et a nobis inrer quartam et quintam diametri partem est constitutus, aptum quod cunque ignis pabulum apponc. Post moram aliquam accendetur ignis; si combustibilis sit materia, vel si plumbum, etc. liquescet subinde, prout major aut minor fuerit vis urendi.

Annotatio I.

[note: ] SI e speculo concavo exscindatur pars illa fundi, quae latere hexagoni circa polum circumscribitur, et relinquatur reliquum, ut fiat velus fascia quaedam circularis, seu annalus, solique modo dicto directe opponatur, reflectentur omnes radii incidentiae retro speculum, per 4. hujus, ibique accendent materiam combustibilem debito loco applicatam.

Annotatio II.

[note: Focum in speculo sphaerico concavo invenire. ] FOcum porro seu locum incensionis ante speculum invenies, siscias diametrum speculi, is enim est inter quartam et quintam diametri partem sitam inter centrum et cavam superficiem speculi. Vel sic. Oppone speculum Soli, alterive lumini, et ubiradios especulo reflexos coire videbis in apicem coni radiosi, ibi erit locus quaesitus. Videbis autem radios coeuntes in hyeme facile, propter aerem crassum, ac humidum, in astate vero, sisupponas speculo vas aqua calida plenum, ut vaporibus aer condensetur, vel si crassum halitum effles ante speculum, aut ventilatione atomos excites,

Annotatio III.

[note: ] UTrum possibile sit, efficere ut combustio fiat in centro speculi sphaerici concavi, ita ut ad distantiam mille passuum fiat, disseruimus Par. 1. Magia lib. 7. Syntagm. 1. in Digressione 1. et 2.

CAPUT VIII. De speculo caustico Parabolico.

[note: Speculum parabolicum. ] UNanimis Catoptricorum consensus est, inter omnia caustica specula aptissimum et efficacissimum esse parabolicum, cujus nimirum cavitas parabolae figuram referat. Est autem parabola, sectio coni parallela uni ejusdem lateri, unde sectio conica appellatur, et fit cum conus secatur plano alteri ejus lateri parallelo. Si jam lamina aliqua in parabolae figuram aptetur, et circa axem suum intra argillam circum volvatur, fit intra argillam figura concava, quae etiam parabola dicitur, et specula concava ejusdem formae, dicuntur parabolica, In hujus speculi axe seu diametro datur punctum aliquod, quod antiqui vocant punctum ex comparatione, moderni punctum seu centrum reflexionis, quoniam omnes radii cadentes intra parabolam, et paralleli axi, reflectuntur ad hoc punctum. Vocatur etiam focus, quoniam in illo fit ustio, propter radioruni concursum. Plura de hac re, de que modo conficiendi specula parabolica, lego quae diximus lo. proxime cit. Syntagm. 2.

Annotatio.

[note: ] IN speculis parabolicis major est visurendi, quam in sphaericis, quia in his omnes radii reflexi uniuntur in uno puncto; quod in spharicis non fit. An possit fieri combustio per specula parabolica ad infinitam distantiam, discussimus loco citato cap. 5

De Hyperbolico, et Elliptico speculo caustico, de quibus cit. loco Syntagm. 3. egimus, nihil dicimus, quoniam rarior est eorum usus, nec adeo fortassis efficacia sunt in comburendo.

CAPUT IX. De speculis planis causticis.

[note: Specula plana caustica. ] SPeculum planum Soli oppositum, non producit ignem, si solum sit. Quia lumen Solis ab ipso reflexum, non congregatur in locum unum, sed dissipatur: nam qui radii incidunt perpendiculariter; reflectuntur in seipsos, qui vero oblique, in contrariam partem, ut constat ex dictis cap. 1.

II.

[note: ] Si e speculis planis formetur pyramis concava polygona, radii Solis in altera interna incidentes et ab axe aequaliter distantes, reflectuntur ad unum punctum axis, tanto plures, quanto plura erunt latera pyramidis. Possunt ergo ignem producere. Ratio est, quia hujusmodi radii faciunt aequales angulos incidentiae cum suis lateribus, ergo et aequales angulos reflexionis, ergo cum intus versus axem reflectantur, necessario concurrere debent in uno puncto axis, alioquin non facerent aequales angulos reflexionis.

III.

[note: ] Plura plana specula possunt ita disponi, ut ignem ad magnam distantiam producant. Si nimirum ita disponantur, ut Solis radios reflectant omnia simul in unum locum. Modum disponendi explicavimus Par. 1. Magiae lib. 7. Syntagm. 4. Proposit. 2. Ibidem Syntagm. 5. discussimus, cujus formae fuerint specula caustica Archimedis, et Procli. De modo vero arcane perspecula absentibus loquendi et scribendi, tracta vimus lo. cit. toto libro 8. ubi multa scitu digna.

LIBER XXI. DE DIOPTRICA.

Prooemium.

[note: [note: Dioptrica. ] DIoptrica, sive Mesoptica, considerat radios luminis et coloris refractos, sive infractos, eaque accidentia et phaenomena, [note: Radius refractus. ] quae huiusmodi radios sequuntur. Est autem radius refractus ille, qui non procedit recta totaliter per totum suum medium, sed frangitur alicubi, et facit angulum, quod fit, quando radius, postquam progressus est recta aliquamdiu per medium diaphanum unius raritatis aut densitatis, incidit in aliud medium diaphanum diversae raritatis aut densitatis, v. g. ab aere [orig: aëre] transit in aquam, in vitrum, in crystallum, aut ab aqua transit in aerem, aut ab aere rariore progreditur in densiorem, vel e contrario. Nam in omnibus hisce et similibus casibus, in puncto incidentiae in diversum medium frangitur aliquantum radius, et facit angulum, ut explicabimus. [note: Iconism. XXIII. Fig. 504. ] Interim considera appositum schema, in quo ICDK est medium unius raritatis vel densitatis, COPD medium alterius raritatis vel densitatis, CD superficies diversi medii, A punctum radians, AB radius directus transiens irrefractus per medium uniforme ICDK, usque adpunctum B, a quo puncto ulterius tendit, non in directum usque ad E, uti faceret, si medium COPD esset eiusdem raritatis aut densitatis cum superiori medio, sed frangitur in puncto B, et progreditur versus G vel F, faciens angulum ABG, vel ABF. Sed ut Tirones naturam refractionis melius intelligant, simulque introducantur in Dioptricae seu Anaclasticae secreta, libet breviter velut Isagogen sequentia ex Par. 1. Magiae lib. 9. desumpta apponere. ]

CAPUT I. De Definitionibus Dioptricis, seu terminis in Dioptrica usitatis.

[note: Dioptrica definitiones. ] RAdius incidens, seu incidentiae est, secundum quem lumen, aut [note: Iconis. XXIII. Fig. 504. ] species, directe diffunditur per medium diaphanum ejusdem rationis. Talis est in superiori figura linea AB.

II.

[note: ] Radius refractlus, seu refractionis est, secundum quem lumen aut spicies, diffunditur per medium diaphanum diversaertionis a priori. Talis est linea BG, et BF.

III.

[note: ] Punctus refractionis est ille, in quo fit refractio radii incidentiae. Fit autem talis refractio in super ficie medii diversi. Talis superficies est repraesentata per lineam CD, et punctum B est punctum refractionis. Vocatur etiam punctus incidentiae.

IV.

[note: ] Perpendicularis seu cathetus incidentiae est linea illa quae a puncto radiante cadit perpendiculariter suprasuper ficiem illam, in qua incipit refractio. Talis est linea AM, et FN. Quando medium diversum est sphaericem, perpendicularis incidentiae; est illa linea, quae a puncto radiante tendit ad centrum illius corporis. Talis est AQL.

[note: ] Perpendicularis refractionis est illa linea, quae a puncto refractionis erigitur perpendiculariter supra superficiem illam, in qua incipit refractio. Talis est KBL. In corporibus sphaericis est illa. quae a puncto refractionis tendit ad centrum. Talis est QL, si Q sit punctum incidentiae. seu refractionis.

VI.

[note: ] Angulus incidentiae est, quem constituit linea incidentiae et perpendicu aris refractionis in puncto incidentiae seu refractionis coeuntes. Talis est ABK.

VII.

[note: ] Angulut refractus est quem constituit linea refractacum perpendiculari refractionis in puncto refractionis. Talis est angulus GBL, et FBL.

VIII.

[note: ] Angulus refractionis est, quem constituit linea refractionis cum linea incidentiae protracta in continuum per corpus diaphanum diversae rationis a priori. Talis est angulus GBE, et FBE.

IX.

[note: ] Refractio ad perpen diculum dicitur, cum radius refractionis accedit ad perpendicularem refractionis. Talis est refractio radii ABF, quia BF accedit ad BL, recedendo a BE.

[note: ] Refractio a perpendiculari est cum radius refractus recedit a perpendiculari refractionis. Talis est refractio radii ABG, quia BG recedita BL a BE

CAPUT II. De hypothesibus dioptricis, seu Propositionibus ab omnibus admissis.

[note: Dioptrica hypotheses. ] RAdii perpendiculariter e medio rariori in densius incidentes, penetrant illud irrefracti: oblique [note: Iconism. XXIII. Fig. 504. ] vero incidentes, in ingressu refringuntur, et refracti intra medium densius accedunt versus perpendicularem. Sic in superiori schemate, radius KB penetrat irrefractus in L; radius vero AB recedit a via recta BE, et procedit per viam BF, accedendo ad BL

II.

[note: ] Radii perpendiculariter e medio densiori in rarius incidentes, procedunt recta irrefracti: oblique vero incidentes, in ingressu refringuntur, et recedunt â perpendiculari. Sic radius LB procedit irrefractus versus K; at radius FB non procedit versus R per viam rectam, sed versus A, recedendo a perpendiculari BK.

III.

[note: ] Radius oblique incidens in medium densius, eo magis refringitur ad perpendicularem, quo densius est medium: incidens vero oblique in rarius medium, eo magis resringitur a perpendiculari, quo rarius est medium. Hinc fit ut, radio oblique in medium densius incidente, angulus refractus FBL eo sit minor, angulus vero refractionis FBE co sit major quo densius est medium respectu alterius rarioris. Et vicissim, quo minus densius est medium, eo major fit angulus refractus, et eo minor angulus refractionis. Radio autem oblique in rarius medium incidente, tam refractus quam refractionis angulus, nempe ABK, ABR, eo major fit, quo rarius est medium; angulo tamen refracto refractionis angulum semper superante, cum hic semper sit pars illius.

IV.

[note: ] Omnis refractio fit secundum lineas rectas, adeoque radius refractus in medio refractivo rectus procedit non secus ac radius directus extra medium refractivum. Experimentum hujus rei vide apud Kircherum lib. 8. de Lum. et Umb.

[note: ] Quo obliquius incidunt radii in medium refractivum, eo magis refringuntur.

VI.

[note: ] Si radius refractus ex medio densiore regrediatur per nunctum ingressus; eodem angulo, quo in ingressu fractus fuit, frangetur quoque in egressu: ideoque anguli, qui fiunt ad punctum retractionis ex lineis partim directis, partim refractis, in continuum productis, semper inter se aequales sunt. Sic angulus ABF, aequalis est angulo FBA, et vicissim. Item, angulus RBK. aequalis est angulo FBL, et vicissim.

VII.

[note: ] Imago reirefracta visui occurrens suo loco non videtur. Sic imago rei F, occurrens visui A, non videtur in F, sed in linea ABE. Ratio est, quia visio fit secundum lineam rectam: cum ergo oculus A videat objectum F per radium AB, ut supponitur, videbit id in eadem linea AB continuata versus E.

VIII.

[note: ] Imago refracta videtur in occursu perpendicularis seu cathiti refractionis et radit refracti continuati. Sic imago objecti F videtur in S.

IX.

[note: ] Refractio aliquando causat colorem. Patet in iride, coronis, virgis, Vitris triangularibus, et aliis rebus

[note: ] Res in medio rariori apparetremotior, et minor; in densiori vero propinqutor, et major. Quanto vero rarius est medium, tanto minora, et remotiora; et quanro densius est medium, tanto majora; et remotiora apparent objecta

XI.

[note: ] Imago cujuslibet rei visae diversimode figuratur secundum figuram super ficierum corporum, in. quibus fit ref actio.

Corollaria.

[note: ] HInc patet I. Posse aliquid videri visione refractâ, quod directa videri non potest, ut patet in nummo qui videtur, in certa a vase dictantia.

Patet II. Causam, cur pars baculi recti, oblique aquae immersa, non appareat in directum reliquae parti extra aquam existenti, at que adeo cur baculus appare at fractus, esse refractionim.

Patet III. Causam, cur Sol, Luna, et stellae infra horizontem rever ademersae, aliquando appareant supra horizontem, esse similiter refractionem.

Patet IV. Cur globus sub aquis delitescens et perpendiculariter inspectus, appareat planus, imo et concavus, quia numirum axis inspectus perpendiculariter, apparet suo loco, reliquae vero partes inspectae oblique apparent extras um locum, et sublimiores. Omitto mu ta alia.

CAPUT III. De vitrorum refringentium figuris, et nonnullis proprietatibus.

[note: Priorum refringentium proprietates. ] CRystalla, et vitra omnia, radios e medio rariore, nempe aere, inse oblique incidentes, refringunt ad perpendicularim; qui radii ex iisdem egressi in aerem, refringuntur a perpendiculari. Patet ex dictis Hypothesi 1. Sunt autem crystalli et vitri refractiones proxime eaedem.

II.

[note: ] Vitraref[?]ingentia sunt vel regularia, vel irregularia, hoc est, habent superficics vel regulares, vel irregulares. Regularia sunt multiplicia. Praecipua, et pro dioptricis instrumentis adhiberi solita, sunt plana, convexa, concava: Plana vel talia utrimque, vel plano-convexa, vel plano-concava: Convexa vel talia utrimque, vel convexo-plana, vel convexo-concava: Concava vel talia utrimque, vel concavo-plana, vel concavo-convexa. Sunt etiam plana multarum superficierum, quae polyedra vocamus. Sunt trilatera et oblonga, quae prismata trigona appellamus. Irregularium vitrorum infinitae sunt formae.

III.

[note: ] Vitra quorum in dioptricis instrumentis usus est, elaborata sunt ut plurimum in forma orbiculari: convexa quidem ad modum lentis, nempe in medio protuberantia, circa marginem per circuitum depressa; concava vero in medio depressa, circa marginem per circuitum elata. Prima vocamus lentes convexas, secunda concavas. Utraeque lentes solent etiam esse mixtae, nempe plano-convexae, plano-concavae, convexo-concavae.

IV.

[note: ] Lens majoris circuli, seu majoris sphaerae est, cuius superficies lenticularis est portio majoris sphaerae: id est, sphaerae habentis majorem diametrum.

[note: ] Lens majoris segmenti est, quae majorem partem sui circuli seu sphaerae continet, id est. plures gradus.

VI.

[note: ] Ex lentibus fiunt Tubi optici, quos vulgo Batavicos seu Hollandicos vocant, quia in Hollandia primum inventi: alii tubos Galilaei, quia ab ipso perfecti; communiter Telescopia, quia ad perfecte videndum conducunt: Parantur in modum cylindricavi, cujus bina ostia vitris seu lentibus clauduntur, quorum unum respicit visile, aliud oculum. Usus praecipuus est, videre res longinquas cominus, et auctas.

VII.

[note: ] Vitra convexa, sive utrimque, sive unâ solum parte, ultra se cogunt radios refractos in unum locum, in quo intersecant se, et terminantur in unam basim communem. Sequitur ex natura refractionum, et radiationum. Locus autem concursus, seu ejus a vitro distantia, varia est, pro varia convexitate vitri, distantia objecti radiantis, obliquitate radiorum incidentium. et similium. Nec consistit in indivisibili. Concursus tamen duorum quorumlibet radioruin distantium in egressu e vitro, et concurrentium post vitrum, consistit in indivisibili, nempe in puncto intersectionis.

VIII.

[note: ] Radij a diver sis punctis objecti radiantis in idem superficiei densioris refringentis punctum incidentes, ita semutuo secant, ut situm mutent, ac si sectio fieret sine refractione.

IX.

[note: ] Radij penetrando linearem angulum prismatis trigoni ex triangulo aequilatero vitreo, vel crystallino formati, jucundissimos colores iridis producunt. Si vero vitrei corporis angulus inter oculum et visile positus, rectus fuerit, non transmittet radios visiles ad oculum.

[note: ] Prismatis praedicti anguso supino, quae sunt, videntur supina, prono infra, dextro dextra, sinistro sinistra. Patet experientiâ.

XI.

[note: ] Radij paralleli incidentes in superficiem convexam lentis plano-convexa, portionis minoris quam 30 graduum, perpendiculariter objectam, concurrunt post lentem cum radio perpendiculariter incidente post sesquidiametrum sphaerae circiter: incidentes vero in planam superficiem pradicta lentis inversaeparalleli, et perpendiculares, concurrunt infra superficiem convexam cum perpendiculari radio fere diametro convexitatis.

XII.

[note: ] Si radij intra praedictum corpus non sint paralleli, sed versus densum convexi terminum convergant; in breviori distantia a convexo, quam est diameter convexitatis, ad punctum concurrent: at si punctum radians propius fuerit convexo, diametro convexitatis; radii puncti illius refracti divergent in corpore denso.

XIII.

[note: ] Radij paralleli in lentem utrimque convexam perpendiculariter objectam incidentes, propius post lentem concurrunt ad unum punctum, quam sit diameter circuli qui format aversam superficum; et propius quam sesquidiameter obversa. Quod si convexitas utraque ex codem circulo fuerit; concursus post lentem fiet in puncto, quod abest semidiametro obversiconvexi fere, hoc est, in centro ejus.

XIV.

[note: ] Si fuerint inaequales convexitates. concursus post lentem in illa distantia continget, quae inter utriu que convexitatis semidiametros versatur.

XV.

[note: ] Longinquae reiradiorum concursus est propinquior lenti, quam remotae.

XVI.

[note: ] Radij transeuntes per vitrum utrimque convexum, citius post egressum concurrunt, per vitrum vero unâ parte convexam, alterâ planum, si incidant in convexam superficiem, et egredianture plana, tardius concurrunt.

XVII.

[note: ] Radij transeuntes per vitrum utrimque concavum, dissipantur in egressu; si vero vitrum sit unâ parte cavum, alterâ planum, si incidant in cavam superficiem, et egrediantur e plana, post egressum colliguntur.

XVIII.

[note: ] Pictura lentis convexa inversa est. Nam radii refracti incedunt contrariâ viâ radiis directis.

XIX.

[note: ] Diametri pictura et rei visae, eandem fere inter se proportionem habent, quam earum distantiae a lente. Hinc, quo minus distat objectum a lente, eo major est ejus pictura, et quo magis, eo minor.

XX.

[note: ] Oculo constituto extra punctum, ad quod concurrunt radii unius visibilis puncti, pars visa objecti per lentem convexam apparet everso situ. Sequitur ex 18. praecedente.

XXI.

[note: ] Omnis per convexam lentem erecta repraesentatio visibilis rei est major justo, quia propter radiorum refractionem videtur res sub majori angulo, quam sine refractione ex eodem loco videretur.

XXII.

[note: ] Quo magis oculus extra punctum concursus post lentem convexam abierit, eo minora videt objecta eversa. Ratio est, quia quo magis recedit, eo minus videt sub minori angulo.

XXIII.

[note: ] Visibitia per cavas lentes repraesentantur minora, quia propter refractionein factam in illis, apparent sub minori angulo. Et quo magis oculus recesserit a lente, eo minora apparent. Omitto innumer a alia huc spectantia, quae dedisset Vir doctissimus P. Balthasar Conradus in exspectatissimo suo Opere dioptrico jam dudum Reipubl. litterariae promisso, nisi mors immatura eum nuper nobis eripuisset.

CAPUT IV. De varia rerum per radios refractos in aquis, et vitris, repraesentatione.

[note: Dioptricae repraesentationes. ] DIoptrica non minorem variarum ac mirabilium repraesentationum materiam nobis praeber, quam Optica, at que Catoptrica. Plurimas adduximus in 1. Par. Magiae lib. 9. Syntagm 2. cujusmodi sunt, Imaginem ita constituere, ut hydromantico artificio ex oculis subducatur, et mox reducatur: Hydromanticum spectaculum exhibere ut imagines variae derepente compareant, et dispareanr: Varia spectacula, variosque colores anaclastice exhibere per phialam vitream aqua plenam: Iridem per aquae guttulas in aerem sparsas formare, Iridem trigono prismate vitreo exhibere: Ubi cubiculum praestantissimis peripetasmatis vestitum videatur, efficere: Item ut omni pretioso lapide ornatum videatur: Irem ut rota stellata in cubiculo obscurocircumgyrata coelum stellatum referat, Varia phasmata colorigera in obscuro conclavi repraesentare: In fenestris colorigerum spectaculum exhibere: Vitro polyedro rem unicam multiplicare: eodem imagines seu picturas varie dissipare, et dissipatas colligere; Repraesentare minima ut maxima opepylae crystallinae: aliaque innumera.

Eodem libro Synragm. 8. egimus fuse deilluminatione et combustione dioptrica per vitra, aliaque diaphana corpora, ubi varios et jucundos effectus in medium produximus.

Demum libro 10. nonnulla diximus de fabrica, usu, et effectu prodigioso Telescopii, tam binoculi, quam monoculi, et de miris phasinatis Microscopii: quae omnia brevitatis causa omittere cogimur. Accuratius de iis tractasset paulo ante laudatus P. Balthasar Conradus.

LIBER XXII. DE ARCHITECTURA MILITARI.

Prooemium.

[note: [note: Architectura Militaris. ] ARchitectura, alia est Civilis, alia Militaris. Illa Aedificiorum, haec Munitionum fabrica est. Civilis enim Aedificiis, qua publicis, qua privatis, ad Urbium utilitatem atque ornatum, Militaris Munimentis seu Munitionibus ad earundem urbium, aliorumque locorum securitatem [correction of the transcriber; in the print securritatem] ac tutamen, secundum artis regulas excitandis intendit. Utraque mathematicarum disciplinarum subsidio eget, Militaris praecipue, ut quae tota, quanta quanta est, e Mathematicae praescripto et nata, et propagata fuit, atque ad illam, in qua nunc floret, perfectionem perducta. De hac igitur iure nostro agimus, et muniendi regulas iam antea a praestantissimis mathematicis praescriptas, a sagacissimis Belli ducibus approbatas, ab experientia denique diuturna, si umquam, hac nostra aetate, qua Mars tota tot iam annis furit Europa, stabilitas in medium producimus. Habebunt Tirones non introductionem tantum in Militarem Architecturam, sed sufficientem quoque instructionem, ac talem fortassis, qualem e copiosis multorum, qui ea de re scripserunt, commentariis vix multo labore hauriant. Si cui tamen nostra non placent, legat alios qui ea de re [note: Architecturae Militaris Scriptores. ] scripserunt, Italos, Gallos, Germanos, Belgas, aliarumque nationum, cuiusmodi sunt (quos ego quidem vidi atque evolvi) Petrus Sardi, Everhardus Barleduc, Bonaiutus Lorini, Galassus Alchisi, Hieronymus Magi, Iacobus Castriottus, Carolus Theti, Ioannes Baptista Bellici, Vincentius Scammozzi, Daniel Spekel, Bartholomaeus Pitiscus, Hugo Sempilius, Adrianus Metius, Iosephus Barca, Eugenius Gentilini, Auctor Amussis Ferdinandeae, Matthias Dogen, Petrus Herigonus, Thedoricus Beck, Abdias Trevv, Nicolaus Forestus, Georgius Andreas Bockler, Ioannes Faulhaber, Samuel Marlois, Nicolaus Goldman. Praeter hos de eodem argumento scripsere Adamus Freytag, Martinus Eylend, Franciscus de Manchi, Conradus Dietrich, Iosephus Furtenbach, Henricus Hondius, Honoratus de Meynier, Ioannes Henricus Sadler, Michael Potiers, Baro de Groto, et alii. ]

PARS I. De regularium Munimentorum delineatione.

[note: ] MIlitaris architecturae, quam munitionum fabricam appellavimus, finis seu officium est, datum locum ita artificio se, secundum regulas e militari experientia, et Mathematicae fontibus haustas, munire, ut pauci contra multos et illum, et seipsos: secure ac diu defendere possint. Munitiones porro aliae sunt regulares, aliae irregulares. Regulares sunt, quae habent omnes angulos, et omnia latera (ejusdem generis seu speciei) aequalia. Irregulares, quae non omnes angulos et omnia latera (ejusdem generis) aequalia habent. Vtrarumque construendarum scientia quatuor habet partes, Delineationem, Orthographie am, Ichnographiam, et Scenographiam. Delineatio est linearum, a quibus valli exterius latus seu basis incipit, descriptio. Ortographia est valli, et fossae, aliarumque Munimenti partium plano ad Horizontem perpendiculari dissectarum reprasentatio. Ichnographia est plantae seu vestigii totius Munimenti exhibitio. Scenographia est ejusdem munimenti frontis et laterum optica projectio. De primis tribus ordine agemus, ac primum de Delineatione.

CAPUT I. De terminis seu vocabulis in Munimentorum delineatione usitatis.

[note: Architecturae militaris termini seu vocabula. ] IN tota Architectura militari, et in singulis ejus partibus, multa, et pletumque exotica in usu sunt vocabula, partim a Mathematicis, partim a militibus, belliducibus, et polemicis architectis introducta: quorum quidem alia sunt usitata apud Latinos, alia apud Italos, alia apud Gallos, alia apud Belgas et Germanos. Horum rursus alia significant lineas Munimentorum, alia angulos, alia superficies; alia partes solidas. Vocabula ad delineationem spectantia significant lineas, et angulos. Haec igitur prius explicanda sunt. Quod ut faciam, ipsasque Munimentorum lineas et angulos ob oculos Tyronum ponam; propono rudem ac simplicem Munimenti pentagoni regularis delineationem, appositis variis litteris: sic enim melius, facilius, clarius, ac brevius explicare potero quod proposui, quam multis verborum ambagib. Quae autem de pentagono Munimento regulari dicuntur, intelligi etiam et accommodari debent cui vis alteri, sive regulari, sive irregulari, quantum hujus irregularitas permittit. Singulos terminos exprimam vocabulis Latinis, Italicis, Gallicis, et Germanicis: Belgica vocabula omitto, quia eadem fere sunt cum Germanicis.

§. I. Lineae seu Latera Munitionum, eorumque appellationes.

ONMYX, Polygonum internum quinque [note: Munitionum lineae seu latera. ] laterum et angulorum aequalium, seu pentagonum regulare, ac proinde circulo circumscriptibile. Vocatur internum, ad differentiam [note: Iconism. XXVI. Fig. 505. ] alterius externi quod sequitur, Italice Poligono interiore, Gallice Polygone interieur, Germanice Innere Seiten des Vielecks.

HGYßA, Polygonum externum quinque laterum et angulorum aequalium, ac proinde similiter regulare, ac circulo circum scriptibile. Vocatur externum, ad differentiam priolis quodincludit; Italice poligone exteriore; Gall. polygone exterieur; Germ. Eussere Seiten des Vielecks.

ON, NM, MY, YX, XO, Latus polygoni interni, seu latus munimenti; Ital. Lato de poligono interiore; Gall. coste du polygone interieur; Germanice, Die Seite der Festung von einem Winkel zum andern, vel, die Weite der Kehl- Puncten.

HG, GY, Yß, [?]ßA, AH, Latuspolygoni externi, seu distantia propugnaculorum, Italice Lato del poligono exteriore, Gall. coste du polygone externe, Germ. Die Weite der Bolvvercks-Puncten.

K, Centrum polygoni utriusque, tam interni, quam externi; Italice centro del poligono, Gall. centre du polygone; Germ. Mittel-Punct der Festung.

KO, KN, KM, KY, KX, Semidiameter polygoni interioris, seu munimenti; Ital. semidiametro del poligono interno, Gall. Le petit demidiametre, Germ. Der Festung halbe Mittel-Zeil.

KH, KG, KY etc. Semidiameter polygoni exterioris, distantia centri ab extremitate propugnaculi, Ital. semidiametro del poligono externo; Gall. Le grand. demidiametre; Germ. des eussersten Vielecks halbe Mittel-Zeil.

BDHPE, etc. Propugnaculum; Ital. Baloardo, vel Bastione; Gall. Boulevart, vel Bastion; Germ. Bollvverck.

O, N, M, etc. Centrum propugnaculi; il centro del baloardo; Gall. centro du boulevart, Germ. Mittel Punct des Bollvvercks.

OB, OE, etc. Linea colli, et linea faucium, vel simpliciter collum, fauces; Italice Recinto; Gallice Ligne de gorges, Gorge du bastion; Germ. Kehl-Linien, oder Kehl.

EP, BD, etc. Ala propugnaculi, humerus propugnaculi, Ala prima seu primaria; Ital. Fianco primo o primario, Gall. Le flanc, Ligne du flancque Espaule, Germ. Flugel, Schulter, die Streich.

HP, HD, etc. Facies propugnaculi, Ital. Faccia del baloardo; Gall. Face du bastion, face, Germ. Gesicht, Gesicht-Linie.

OH, etc. Linea capitalis, seu principalis, Ital. Linea capitale, Gall. Ligne capitale, Germ. Haupt-Linie.

EF, etc. Cortina, seu Chorda, Ital. Cortina, Gall. Courtine, Germ. Die Cortin. Haec est agger, sive vallum, aut murus, inter duo propugnacula extensus.

EZ, BZ, etc. Ala cortinae, Ala secunda seu secundaria; Ital. Fiancho secundo o secundario; Gall. Second flanc; Germ. Streich-Platz

RH, QH, AZ, Linea defensionis radentis, seu stringentis, Linea radens seu stringens, Linea defensiva raderis seu stringens, Linea defensionis mobilis, Defensio radens seu stringens, Defensio minor; Ital. Linearadente o stringente, Defensione radente o stringente; Gall. Ligne de defense razanie, Ligne de defense flanquante Germ. Bevvegliche Streich-Linie, oder Wehr-Linie.

FH, EA, etc. Linea defensionis figentis, seu fixae, Linea figens, Linea defensiva fixa, Defensio figens seu fixa, Defensio major; Ital. Linea ficante, Defensione ficante; Gall. Ligne de defense fichente; Germ Bestandige Streich-Linie, oder Wehr-Linie.

Ea, Bb, etc. Ala propugnaculi producta, seu continuata, Alae seu humeri continuatio; Ital. Fiancho primo prolongato, o continuato, Traversa; Gall. Flancq prolonge; Verlângter Flugel oder Schulter, verlângte Streich.

§. II. Anguli Munitionum, eorumque appellationes.

[note: Munitionum anguli. ] GKH, etc Angulus centri seu ad centrum polygoni, Angolo del centro; Angle du centre; der Winckel oder Eck des Mittel-Puncts.

MNO, NOX, etc. Angulus polygoni sive figurae, angulus ad circumferentiam polygoni, Angulus faucium; Angolo del poligono, o della figura. Angle du polygone; Winckel oder Eck der Kelil-Puncten, Kehl-Winckel.

DHP, etc. Angulus propugnaculi, angulus defensus, angulus a latere propugnatus, Angolo difeso; Angle flanque, Bollwercks-Winckel oder Eck.

HRO, HQO, etc. Angulus defensionis (seu defendens) interior, vel minor, Angulus Alae propugnaculi subtensus, Angulus Cortinae et Stringentis; Angolo dellae difesainteriore, o minore; Angle flanquant interieur; der innere oderkleine Streich-Winckel.

HRX, HQN. Angulus defensionis (seu defendens, seu a latere propugnans) exterior, vel major, Angulus Stringentis et Alae cortinae; Angolo dellae difesa exteriore, o maggiore; Angle flanquant exterieur; der eussere oder grosse Streich-Winckel.

HVG, HVA, etc. Angulus defendens, Angulus defensionum decussatarum, Ital. Tenaglia; Gall. Tenaille (forceps;) der Schutz-Winckel, der Winkel der Streicher.

HPE, etc. Angulus faciei et alae seu humeri propugnaculi; Angolo della faccia et ala del bastione, Angle del' espaule, vel Angle du flancq et de la face; der Winckel des Gesichts und Flugels.

EPR, etc. Angulus lineae defensionis et alae propugnaculi; Angolo dell ala e difensione; Angle de la ligne de defense e flancque Winckel des Flugels und Streich-Linie.

AHO, etc. Angulus diminutus; Angola diminuto; Angle diminue. Hunc format capitalis et latus polygoni exterioris. Apud Germanos non habet peculiare nomen, quod sciam. Alii angalum AHF ita vocant.

HOR, etc. Angulus lineae capitalis et lateris polygoni intetioris. Hic est complementum medietatis anguli propugnaculi, seu anguli defensi, estque aequalis angulo diminuto, ideoque aliis peculiaribus nominibus apud alias nationes non exprimitur, quod sciam.

PER, etc. Angulus alae propugnaculi et cortinae: Hic in munitionibus Hollandicis semper est rectus, et non habet alia nomina apud alias nationes, quod sciam.

HOD, HOP, etc. Angulus determinans alam, Angulus determinationis; Angolo di determinatione, Angle forme flanc; der Streichen Mas-Winckel.

Hi sunt anguli et nomina angulorum quae apud diversos Auctores usitata sunt. Et licet nos non omnium, uti nec omnium linearum in hoc libro mentionem simus facturi, referre tamen voluimus in Tyronum gratiam.

CAPUT II. Axiomata Architecturae Militaris, in Munimentorum delineatione ante oculos habenda.

[note: Architectura militaris axiomata. ] MVnimenti partes debent esse ita inter se ordinatae, atque connexa, ut ab instrumentis bellicis, quorum hodie usus est, defendi queant, et quidem a paucis contra multos; et ut quam minimo propugnantium detrimento hostis ubicunque constitutus ictus pateat, et minoribus oppositis viribus repellatur. Arma praecipua, quibus munitiones hodie defenduntur, sunt bombardae majores, et sclopeta manualia. Bombardae variae sunt, et ideo variae magni tudinis globos ejiciunt, atque ad varias distantias. Usus earum fere triplex est, hostem arcere moenibus, fossores impedire ab opere, et opera ab ipsis erecta disjicere. Sclopeta manualia glandes plumbeas emittunt recto cursu, ita ut collimata signa feriant, ad distantiam pedum geometricorum (qui iidem sunt cum Romanis antiquis, nec multum differunt a Rhynlandicis, seu Rhenanis, quibus in toto Belgio et fere Germania utuntur Militares Architecti in Munimentorum fabrica) 750 circiter. Horum pedum duodecim faciunt virgam Rhenanam, seu Rhynlandicam, et quilibet pes dividitur in 10 digitos. His pedibus et virgis toto hoc libro utemur. Alii virgam Rhenanam seu Rhynlandicam dividunt in 10 pedes.

II.

[note: ] Quaelibet munimenti pars debet posse defendi ab alia ejus parte. Ob hanc causam partes quae se mutûo defendere possunt ac solent, non debent esse remotiores a se invicem, quam ut sclopetis manualibus ab una ad alteram pertingi queat: nam sub assultum hostilem certior et efficacior est usus sclopetorum, quam bombardarum, quae tardiuns onerantur, et globos ut plurimum elapsâ jam occasione rei feliciter gerendae emit tunt, et fere etiam in incertum, cumm contra sclopetorum grando in omnem partem facile, certo, et efficaciter desaeviat.

III.

[note: ] Fortius est munimentum, quod non tantum in propugnaculo, sed etiam in cortina alas habet. Sic enim propugnacula, quae hostium insultibus praecipue, imo unice, exposita sunt, defendi possunt non solum ex aliis vicinis propugnaculis, sed etiam ex cortinarum alis, ut consi deranti patet.

Regulares munitiones praestant irregularibus, caeteris paribus. Habent enim suas partes magis ordinatas, ac proportionatas, et omnia latera aequaliter munita, ideoque melius defendi possunt. Hinc quo magis irregulares munitiones accedunt ad regulares, eo sunt meliores. Regulares munitiones aliqui vocant regales seu regias (Royal Gall.) et dividunt in Magnas, Mediocres, et Parvas. Nos uno vocabulo Regales seu Regias Munitiones appellamus, in qua defensio ictu sclopeti terminatur.

[note: ] Ala cortinae sit quam fieri potest maxima, ut facies propugnaculi a quam plurimis defendatur, sic tamen, ut

VI.

[note: ] Angulus propugnaculi tantus maneat, ut tormentis facile disjici nequeat: in hunc enim illa potissimum diriguntur. Hic autem angulus eo redditur minor, quo major fit ala cortinae: eo major ille, quo haec minor fit. Quo autem minor seu acutior est propugnaculi angulus, eo facilius a tormentis diruitur, quo major, eo difficilius. Itaque

VII.

[note: ] Idem angulus propugnaculi non sit minor gradibus 60, nec major gradibus 90: minor enim nimis debilis est, major majores sumptus requirit sine causa, cum rectus angulus satis sit fortis.

VIII.

[note: ] Facies propugnaculorum in regularibus munimentis non sit minor dimidio cortinae. Quia enim se ipsa etiam defendere debent propugnacula contra assultus hostium, quo majores erunt facies [?]eo plures defendentes capient.

IX.

[note: ] Ala propugnaculi non sit minor quarta parte faciei, nec major ejusdem medietate. Ne tamen Alis cortinae ab his praejucetur.

[note: ] Linea colli sit spatiosa, neque minor unquam sit quam ala, ne propugnaculum angustius reddatur quam ut sufficientem militem capiat.

XI.

[note: ] Defensio figens, seu linea defensionis fixae, in nullis munitionibus sit longior 750 pedibus: ulterius enim glans plumbea sclopeto emissa vix rectum cursum tenet usque ad metam destinatam.

XII.

[note: ] Defensio stringens quo brevior, eo melior: sic enim certior ac fortior erit propugnatio ex ala cortinae. Nec tamen sit brevior quam 120 pedum, nec longior quam 500.

XIII.

[note: ] Cortina in regiis munitionibus nec minor sit 300 pedibus, nec major 500. In minoribus castellis non sit minor 120 pedibus.

XIV.

[note: ] Angulus polygoni in regularibus munitionibus non debet esse minor 90 gradibus. Quia minimum polygonum regulare, quod commode muniri potest, est quadratum, cujus angulus est 90 graduum. Tametsi enim triangulum etiam aequilaterum et aequiangulum muniri queat, minus tamen commode id fit. Quo autem plurium laterum est polygonum ordinatum seu regulare, eo majores habet angulos. Quo majores sunt hi anguli, eo prolixiores sunt propugnaculi facies, et eo longiores fieri possunt alae primariae ac secundariae, atque adeo eo fortius redditur munimentum. Ex quo sequitur,

XV.

[note: ] Quo plura munimentum regulare habet laterae, angulos, et propugnacula, eo est robustius, si caetera respondeant. Hinc quadratum praestat trigono, pentagonum quadrato, sexagonum pentagono, et sic deinceps, hoc ipso nimirum, quod cum numero laterum et angulorum crescat etiam amplitudo angulorum, longitudo faucium, prolixitas alarum, et capacitas propugnaculorum, et quae omnia quo majora sunt, eo et hostem offendunt gravius, et ejus conatibus resistunt facilius, ac diuturnius. Accedit quod quo plura sunt propugnacula, eo melius hostis detegi, atque repelli potest, utpote e pluribus simul locis.

XVI.

[note: ] Quo major est polygoni regularis semidiameter, eo plura possunt ac debent fieri latera, et anguli, et propugnacula. Cum enim defensio non possit excedere pedes 750, et ambitus cir culi sit magnus, irecesse est ut in multa dividatur latera.

XVII.

[note: ] Alae propugnaculorum semper sint perpendiculares cortinae. Intellige, in munitionib. Hollandicis, nam in Gallicis usque ad octogonum inclusive, sunt perpen diculares lineis defensionum, in reliquis vero figuris perpen diculares cortipis. Nos Hollandicas praeferimus Gallicis.

CAPUT III. De calculo praecipuorum angulorum, ad Munitionum regularium delineationem necessariorum.

[note: Munitionum angulos calculare. ] IN Munitionum delineatione tam in charta, quam in campis, et in earundem constructione, attendere maxime oportet ad justam angulorum ac linearum magnitudinem, ne contra eam per excessum peccetur, aut per defectum. Hinc summum artificium, summaque cura Polemici Mathematici in eo consistit, ut legitimam utrimque determinet atque praescribat rationem, congruentem Axiomatibus seu principiis praecedenti capite allatis. Qua in re tam sunt aliqui scrupulosi, aut accurrati, ut toti sint in angulorum omnium, etiam minimorum, qui uspiam in Munitionibus effigiantur aut effinguntur, investigatione et calculo, ut ex his deinde lineas determinent. Nos trium angulorum, qui praecipui in hoc negotio sunt, investigatione contenti erimus, quoniam ad illos solum in Munitionum delineationibus ex linearum tabulis attendimus, reliqui vero ad horum formationem per se sequuntur.

I. Angulum centri polygonorum invenire.

[note: ] NVmerus graeduum totius circuli polygono circumscriptibilis, qui est 360, dividatur per numerum angulorum vel laterum dati polygoni, quotus dabit gradus anguli quaesiti. Sic pro angulo

II. Angulum polygoni, seu ad circumferentiam invenire.

[note: ] SVbirahatur angulus centri repertus a semicirculo, hoc est, a 180 gradibus, residuum dabit gradus anguli quaesiti. Sic pro tetragoni angulo reperies grad. 90, pro pentagoni angulo grad. 108, etc.

III. Angulum propugnaculi invenire.

[note: ] DImidio anguli polygoni adde 15, summa inventa, si non excedat 90, rejecto excessu retine 90 pro angulo quaesito. Hanc nos vsam tenemus. Alii dimidio anguli polygoni addunt 20, aliiejusdem anguli sumunt 2/3, quamdiu summa non superat 90 gradus, alii aliter procedunt. Omnes eo collimant, ut angulum propugnaculi habeant vel rectum, vel quam maximum infra rectum, et supra 2/3 unius recti.

Ex his, et aliis angulis quos omitto, per trigonometricum ratiocinium repertae sunt lineae seu latera sequentis Tabulae, quam brevitatis causa solum a quatuor ad novem laterum polygonum extendo (licet in infinitum queat extendi) quoniam nunquam Munitiones regulares fiunt plurium laterum.

CAPUT IV. Tabulae Angulorum ac Laterum, ad Munimenta regularia construenda necessariae.

Tabula I. Angulorum.

Tabula II. Linearum seu Laterum.

Explicatio Tabularum.

TAbula I. continet in prima columna transversali Polygona a tetragono usque ad enneagonum: secunda angulos centri dictorum polygonorum: tertia angulos ipsorum polygonorum, seu angulos ad circumferentiam circuli polygonis circumscripti, quos nimirum angulos constituunt duo quae libet polygoni latera: quarta angulos propugnaculorum in praedictis polygonis exstruendorum.

[note: Tabula angulorum ac linearum spectantium ad munitionem. ] Tabulae II. constructio seu dispositio patet ex ipsa tabula, et ex numerorum ejus inter se collatione. Ex qua etiam patet hanc tabulam constructam esse juxta Militaris Architecturae Axiomata seu principia c. 2. allata. Columna transversalis A continet figuras regulares a quadrato usque ad non agonum tantum, quoniam ut supra dixi, triangulum est minûs aptum ut muniatur; et polygona plurium, quam novem laterum raro muniuntur. Columna B continet longitudinem radiorum seu semidiametrorum pro praedictis polygonis circulo inscribendis, idque in pedib. Romanis antiquis (qui a Rhenanis seu Rhynlandicis non multum discrepant, ut constat ex dictis lib. 1. Pantometri nostri, quam vis plerique alii cum Snellio existiment Roinanum pedem cum Rhynlandico prorsus congruere) quorum duodecim faciunt unam virgam, apud Belgas, a quibus praecipue muniendi ars profluxit, usitatam. Columna C exhibet itidem in pedibus Romanis latus polygoni interni, nim. a centro unius propugnaculi ad centrum alterius. Reliquae columnae in iisdem pedibus continent lineas seu latera quae adscripta nomina indicant. In omnibus tabulis numeri post primum punctum significant minutias pedum Romanorum in decem, centum et mille partes divisorum: nempe numerus post primum punctum significat decimas pedum, seudigitos, numerus post secundum punctum centesimas pedum, seu decimas digitorum, numerus de, nique post tertium punctum millesimaspedum,

seu decimas centesimarum partium unius pedis. Et licet hae minutiae aliquando omitti queant in munimentorum delineatione, seu in charta, seu in campo, praestat tamen earum habere rationem, quantum fieri potest. Quinque priores columnae, nempe B, C, D, E, F, sufficiunt pro praxi, reliquae, quarum numeri reliquarum munimenti partium proportionem ex constructione juxta priorum quinque laterum numeros facta resultantem indicant, spectant ad Theoriam, et ut appareat quam apte omnia congruant principiis Artis Militaris supra cap. 2. allatis.

CAPUT V. De usu praecedentium Tabularum in delineatione Munimentorum in charta.

[note: Munitionem in charta delineare ex tabulis. ] ANtequam Munimenta in campis designentur, delineari solent in charta. Varii varios, ac saepe difficiles praescribunt modos, ego omnium facillimum ac brevissimum trado qui sequitur. Ex quo etiam patet usus nostrarum Tabularum, praesertim secundae; nam prima non nisi in campis necessaria est apud nos.

Sit igitur delineandum Munimentum regulare Hexagonum seu sex laterum, angulorum, ac propugnaculorum.

[note: Iconis. XXIV. Fig. 506. ] I. Construe scalam KL, cujus singulae partes aequales KI, IN, NO, etc. 100 pedes significent, particulae vero aequales KE, EF, etc. significent, 10 pedes, et quaelibet in alias decem subdivisa intelligatur.

II. In tabula secunda quaere in columna A transversali numerum VI, numerum nimirum qui indicat Polygonum sex angulorum et laterum; et juxta numeros in perpendiculari columna subjectos operare ut sequitur. Nimirum

III. Pro radio seu semidiametro Hexagoni quaere in columna transversali B, sub numero VI, numerum 713. 4. 8. 6. et sume circino ex scala KL pedes 713. 4/10, 8/100, 6/1000, atque ex A centro describe circulum occultum. Deinde pro latere Polygoni (quod in Hexagono aequale est radio) quaere in columna C sub numero VI numerum lateri Hexagoni competentem (qui in casu nostro est idem cum praecedenti) et sume totidem pedes circino ex scala, ac circulo inscribe latera B-B.

IV. Pro collo in columna transversali D quaere sub numero VI, numerum collo competentem, nim. 116. 7. 9. 3. et ex scala sume circino pedes 116. 7/10, 9/10, 3/1000, atque hos, circini pede uno fixo in punctis B, abscinde utrimque in orbem ex lateribus figurae, sitque BD.

V. Pro alis propugnaculi quaere in columna E, sub numero VI, numerum alae propugnaculi competentem, nim. 90, et ex scala KL sume circino totidem pedes, eosque ex punctis D in orbem perpendiculariter erige, sintque DG.

VI. Pro lineis capitalibus quaere in columna F numerum 209. 9. 7. 6, capitali lineae competentem, et ex scala sume pedes 209, 9/10, 7/100, 6/1000, easque ex semidiametris AB protractis abscinde, sintque BH.

VII. Denique jungantur puncta HG, et protrahantur usque ad O; eritque Munimenti hexagoni delineatio perfecta; in qua rectae HO sunt Defensio stringens, rectae HD Defensio figens, DD cortina, OD alae cortinae.

Annotatio I.

[note: ] SI ex data linea velut ex radio seu semidiametro delineanda sit Munitio sexangularis (et eadem est ratio de aliis) in charta, quaere in columna B, sub numero VI, numerum 713. 4. 8. 6. et ex data linea fac scalam pedum 713. 4/10, 8/100, 6/1000, atque eâdem lineâ velut radio describe circulum occultum, ac procede ut prius; et habebis quod petitur.

Annotatio II. ALITER, ET UNIVERSALIUS.

[note: ] SI data semidiameter pro polygono aliquo cum suis lineis delineando, v. gr. pro hexagano, sit minor aut major quam semidiameter Tabulae nostrae, hoc est, contineat pauciores aut plures pedes, quam in Tabula praescribuntur, assumatur semidiameter e Tabula, et per Regulam proportionum in quiratur magnitudo omnium reliquarum linearum, dicendo: ut semidiameter in Tabula adsignata, nempe 713, etc. ad suum latus polygoni, collum, alam propugnaculi, lineam capitalem, etc. in Tabula praescripta, ita semidiameter data, v. g. 600. pedum, ad suum latus polygoni, collum, alam, etc. Numeri inventi notentur, et cum illis procedatur ut dictum.

CAPUT VI. Munimentum regulare absque praesidio Tabulae delineare.

[note: Munitionem delineare sine tabulia ] MOdus superiori capite non minus accuratus est, quam facilis, ac proinde quantum fieri potest adhibendus, praesertim in delineandis Munitionibus majoribus ac durabilibus. Si tamen in promptu non sit tabula, procedi potest hoc pacto.

[note: I conis. XXV. Fig. 507. ] I. Describe polygonum regulare petitum, v. g. hexagonum ut antea, cum suis etiam diametris extra figuram productis, ejusque latus unum BB quintiseca; eritque 1/5, scil. BD, collum propugnaculi.

II. Unam harum quinque partium, v. g. DK seca in 10. parte[?] aequales, et ex iis sume partes unitate plures numero laterum figurae datae, nempe in casu nostro partes septem. Hae ex D erectae normaliter, dabunt alam propugnaculi, quae sit DF.

III. Cortinam DD, quae est 3/5 totius lateris BB, biseca in G, et ex G per F duc rectam G F E, donec occurrat radio AB producto, in E. Erit EF facies propugnaculi, EG Defensio stringens. Eadem constructio continuetur in orbem, et delineata erit Munitio petita.

Qui angulum propugnaculi volet obtusiorem, id obtinebit alam cortinae faciendo minorem, non mutatâ alâ propugnaculi. Qui volet rectum, ita operetur. Describat figuram quaesitam, et unum latus quintisecet, sitque una quinta DB, pro collo,

altera vero quinta DK pro ala cortinae, atque ex K ad AB ducatur normalis K R T, quae bisecabitur in puncto R: e quo velut centro fiat super K R T semicirculus, qui secabit AE in H. Jungantur TH, KH, eritque angulus KH Trectus, per 31. Tertit Euclid. Quod si propugnaculum sit nimis parvum, sumatur minus quam una quinta pro ala cortinae, v. g. 1/6, et reliqua operatio fiat eodem modo.

Hic modus est longe facilior quam varii aliorum modi plerumque valde intricati.

CAPUT VII. Castella minora seu campestria, ut vocant, delineare sine Tabula.

[note: Castella Campestria delineare sine tabulis. ] HIs opus est in campis, et obsidionibus, ubi nempe ad tempus tantum permanere debent. Ser viunt item defensioni fluminum, pontium, aquae ductuum, etc.

TETRAGONUM.

[note: Vide Iconis. XXV. Fig. 508. ] DEscribendum igitur sit Tetragonum seu Quadratum munimentum minus.

I. Describe quodratum, cum suis diametris productis extra latera quadrati. Latus unum BB quintiseca, sitque 1/5 BD pro collo, 3/5 DD pro cortina. Ex diametro producto sume BF aequalem duabus quintis lateris BB, et junge FD.

II. Ex D erige normales occurrentes ipsis FD in E. Erunt DE alae, FE facies propugnaculorum. In hac constructione ala DE erit 1/4 cortinae, facies FF 1/2 lateris BB.

PENTAGONUM.

[note: Vide Iconis. XXV. Fig. 508. et cogita esse Pentagonum] DEscribendum sic iterum Pentagonum minus. I. Describe pentagonum cum suis diametris, et unum latus quintiseca: eritque 1/5 collum DB; Ala quoque propugnaculi DE erit 1/5 normaliter ex D erecta, et 3/5 dabunt cortinam DD.

II. Cortinam DD quintiseca; et 4/5 ipsius dabunt capitalem BF, rectae vero EF dabunt facies propugnaculi. Eodem modo in orbem operare.

Si castellum minus hexagonum volueris, eodem modo operare ut in quadrato, eo solum mutato, quod pro linea capitali BF sumi debeant 2/4 cortinae BB.

Annotatio.

[note: ] IN hisce minoribus Munimentis illud universim observa, ut latus figurae non sit minus 120 pedibus, quod alioquin nimis angusta esset defensio.

Inter haec minora Munimenta maximus usus quadrati, rarior pentagoni, rarissimus hexagoni integri. Dimidium tamen aliquando fluminibus et pontibus custodiendis adhibetur. Parum etiam in his curatur ut alas in cortina habeant, eo quod propugnacula sint vicinissima, ob totius operis parvitatem: ac majorem, quam fieri solet in majoribus, ad planum arcis habeant proportionem adeoque militem capiant qui defensioni sufficiat.

PARS II. De regularium Munimentorum Orthographia.

[note: Munitionum Orthographia. ] MVnimenti orthographia, ut diximus supra initio Partis 1. est valli, fossae, et aliarum ejus partium plano verticali dissectarum repraesentatio. Ab aliis vocatur valli, fossae, etc. sectio, seu Intersectio, ab Italis Profilo, a Gallis Profil, a Germanis Durchschnitt, eo quod si plano aliquo verticali secarentur dictae partes ab intima usque adextimam, talis resultaret figura, qualem orthographica descriptio exhibet.

CAPUT VIII. De partibus Munimenti regularis, earumque appellatione.

[note: Munitionum partes orthographicae. ] PArtes ad Munitionem regularem spectantes, et orthographica descriptione exhiberi solitae, sunt vallum cum suo scamno et thorace, succinctus valli cum suo similiter scamno et thorace, fossa cum sua scarpa et contrascarpa (sic vocant,) via operta cum thorace suo, et si quae sunt aliae. Has omnes apposita figura exhibet, in qua

[note: Iconis. XXVI. Fig. 509. ] A B C D E F est vallum cum sua lorica seu thorace, et scamo seu suppedaneo. Vallum Itali vocant Terrapieno, Galli Rempart, Germani Wall. Fig.

AB est pes seu basis valli, et latitudo ejus inferior, Italis Base del terrapieno, Gall. Pied ou Base du rempart, Germ. Anlag, Grundt, oder Fus des Walls.

AF est acclivitas interior valli, Itali. Scarpa del terrapieno di dentro; Gall. Talud interne durempart, Le penchant ou La montee interieure du rempart, Germ. des Walls innere Auffdachung, oder innerliche Boschung.

BC est acclivitas exterior valli, Scarpa del terrapieno di fuori, Taludexterne, Le penchant ou La montee exterieure du rempart, Germ. des Walls eussere Auffdachung, oder eusser Bôschung.

GF et HC est altitudo valli, Alteza del terrapieno, Hauteur du rempart, Hôhe des Walls.

AG et HB est mensura acclivitatis seu inclinationis internae et externa, La misura della scarpa di dentro e di fuori del terrapieno, Le misure du talud interieure et exterieure du rempart, die Mas der innern und eussern Auffdachung des Walls.

IYEC est Lorica seu thorax valli, Parrapetto du rempart; Brust-Wehr des Walls.

YC est pes seu basis loricae, et latitudo ejus inferior, La base o grossezza inferiore del parapetto, Base du parapet, Anlag, Grundt, oder Fus der Brust-Wehr.

ZD est latitudo superior loricae, La latitudine o grossezza superiore del parapetto, Sommet du parapet, Son espesseur en haut; Obere Breite der Brustvvehr.

VE est loricae acclivitas interior, Lascarpa interiore del parapetio, Talud interieur du parapet, innere Auffdachung der Brust-Wehr.

CD est loricae acclivitas exterior, Lascarpa est eriore del parapetio, Talud exterieur du parapet, eussere Auffdachung der Brust-Wehr.

MD et LZ est altitudo loricae, Altezza del parapetto, Hauteur du parapet, Hôhe der Brust-Wehr.

FI est ambulacrum valli superius, Piazza ostrada superiore del terrap enno, Le plan, ou Chemin du rempart, oberer Wallgang.

BO est Succinctus valli, seu Ambulacrum valli inferius, Piazza o strada inferiore del terrapieno, Chemin des rondes, unterer Wallgang

ORSQP est Lorica promuralis, Antemurale, Parapetto inferiore del terrapieno, Parapet des rondes, ou La fausse braye, unter Brust - Wehr des Walls. Haec vocatur etiam Lorica horizontalis.

OT est scamnum loricae inferioris, SR acclivitas ejus interior, QP acclivitas exterior, SP basis seu latitudo inferior, Qh latitudo superior, Vh et XQ altitudo, SV mensura acclivitatis interioris, XP mensura acclivitatis exterioris.

Pa est Margo interior fossae, Margine interiore della fossa, Lifiere, Berne, Relais, der Randt des Grabens.

a c d b fossa, Lafossa, Le fosse, der Grabe. ab Fossae latitudo superior, c d latitudo inferior, e c et f d profunditas.

a c Declivitas interior fossae, sive Tunica, La scarp della fossa, E scarpe du fosse, des Grabens Niederdachung gegen der Festung.

b d Decli vitas exterior fossae, La Contrascarpa della fossa, Contrescarpe du fosse, des Grabens Niederdachung gegen dem Feldt.

ac et f b est mensura decli vitatum praedictarum. b g est Margo exterior fossae, seu Via cooperta, Margine esteriore della fossa, o strada coperta, Couridore, Chemin couvert, Grabens - Lauff, bedeckter Weg.

g i h est Lorica viae coopertae, seu Lorica suburbana, l m ejus scabellum seu scamnum, o i acclivitas interior, o h basis, n i altitudo. ll. parapetto e bancho etc. della strada coperta, Parapet et banq etc. du Chemin couvert l'Esplanade, des bedeckten Wegs-Brust Wehr, etc.

CAPUT IX. De praedictarum Munimenti partium mensura.

[note: Munitionum regularium mensurae. ] CIrca mensuram praedictarum Munimenti partium, quae sunt praecipue altitudo et latitudo, varii varia statuunt. Omnes tamen conveniunt, non unam atque eandem esse pro omnibus Munitionibus mensuram, sed aliam pro majoribus, aliam pro minoribus. Ego ex optimis Auctoribus, atque ex ipsa Belliducum experientia, statuo sequentia.

I. Valli altitudo, latitudo, et acclivitas.

[note: ] VAllum nec nimis altumsit, nec nimis humile: nam si valde altum est, hostem tegit propius accedentem, si valde humile, non protegit defensores, praesertim si loco non nihil elevato hostis consistat. Quare sit mediocris altitudo ejus, varia tamen in variis polygonis, prout sequens tabula docet; et quod decedit altitudini, accrescat latitudini. Latitudo etiam valli varia sit in diversis polygonis: superior tamen nunquatn sit minor 30 pedibus, nec major 60, quod illa vim tormentorum non sustineat, nec militibus ordinatim ultro citroque commeantibus locum praestet; haec vero expensas nimias requirat. Acclivitas interior semper sit aequalis altitudini valli, ut miles commode undequaque possit ascendere, et ut structura sit firmior. Acclivitatem exteriorem alii faciunt aequalem altitudini, alii duabus tertiis altitudinis, alii altitudinis dimidio. Determinatio dependet a conditione materiae si enim terra sit arenosa, quae facile decidat, locum habet prima opinio; si firma et saxosa, valet secunda, vel tertia.

II. Loricae superioris altitudo, latitudo, et acclivitas.

[note: ] VAllo exstructo lorica imponitur, cujus altitudo interior est pedum 6, aequalis justae hominis staturae; exterior pedum, ut habeatur inclinatio. Crassitudo seu latitudo loricae superior et inferior proportionari debet Munimenti ma gnitudini, ut docet tabula: ordinarie tamen ea est, quae tormento bellico est impervia; quanquam negligi ea etiam saepe soleat, quod ea positâ difficile sit ita loricam inclinare secundum lineam ED, ut hostes ad vallum accedentes detegi possint. Acclivitas loricae interior semper unius est pedis; exterior CM eandem semper habet rationem ad MD, quam acclivitas exterior valli BH habet ad HC. Quando igitur acclivitas valli exterior est dimidium altitudinis ipsius, erit quoque acclivitas loricae dimidium altitudinis ipsius etc. Scabellum IK loricae sit latum pedes 3, altum pedem 1 1/2.

III. Lorica inferior valli.

[note: ] EAdem cum lorica superiore habet omnia. Haec frequenter non adhibertur in Munitionibus, ad vitandas fortassis expensas. Ingens tamen ejus est non modo utilitas, sed etiam necessitas: fit enim subinde ut tam prope accedat hostis, ut ipsa eum valli altitudo tegat, et fossam sine magno suo periculo superet. Aliqui volunt, hanc loricam superiori altiorem fieri debere, ut ex ea non tantum fossa, sed et lorica fossae, et si quae sunt alia opera exteriora, defendi possint. Verum haec satis ex vallo defenduntur, defensio autem fossae eo melior et certior est, quo ictus magis sunt horizontales.

IV. Margo fossae.

[note: ] MArgo fossae sex pedes habeat in latitudine, ne terra in fossam recidat

V. Fossa.

[note: ] QVo profundior, et latior, eo melior. Profunditas tamen 10, aut 12 pedum videtut fufficere. Laticudo pro diversitate Munimentorum est varia, et usque ad Munimentum decem propugnaculorum non solet 132 pedes excedere.

Tabula Orthographica pro Munimentis [correction of the transcriber; in the print Monimentis] maioribus.

Loricae valli inferior, seu falsa braya, eodem modo quoad omnia fit, quo lorica superior.

Loricae post fossam scabellum et altitudo est ut supra.

[note: ] Disputant Polemici, num expediat fossam esse siccam, an aqua plenam. Er prior quidem opinio rationes habet non inidoneas: Solet tamen praeferri: ur debet, posterior, quod hostis magis remoretur fossa aquis plena, quam sicca.

VI. Via cooperta.

[note: ] HAbeat latitudinem in Tabula expressam. Loricae post fossam eadem habet quae superior. Ejus inclinatio talis sit, ut ex vallo sclopetis radi possit. Declivitas solet desinere in planum horizontale. Hanc postremam loricam quidam minori fossa cingunt, quae quamvis necessaria non sit, quin tamen Munimenti robur augeat, non est dubium. Caetera patent ex Tabula. Sed modum secundum Tabulam procedendi, in Orthographica Munimentorum descriptione, monstremus exemplo.

CAPUT X. Munimentum quodcumque orthographice ex praecedenti Tabula describere.

[note: Orthographiam Munitionis describere. ] Sit describendum Munimentorum quotcunque laterum, v. g. hexagonum. I. Fiat scala AB centum et amplius pedum, cujus pars AC subdividatur in 10 aequales particulas. Debet [note: Iconism. XXVI. Fig. 509. ] autem scala proportionari magnitudini; quod fiet, si scalae longitudo sit 1/3 latitudinis chartae.

II. Ducatur recta linea A h, quae dicatur horizontalis, et quaeratur in Tabula columna orthographiae Hexagoni, illa nimirum columna, cui in vertice adscriptus est numerus VI. Juxta hanc colum nam si procedas, habebis intentum. Sic autem procedes. Primo pro latitudine inferiori valli accipe circino ex scala 66 pedes, eosque transfer in lineam horizontalem Ah, ab A usque in B. Deinde pro acclivitate interiori AG accipe ex eadem scala 15. pedes, pro acclivitate vero exteriori HB 7 1/2 pedes, eosque transfer in eandem horizontalem ab A in G, et a B in H. Tum ex G et H erige normaliter 15 pedes GF, HC, sumptos ex scala, pro altitudine [note: Iconis. XXVI. Fig. 511. ] valli, et junge rectas AF, FC, CB, eritque vallum descriptum. Eodem prorsus modo describes reliquas partes ex eadem Tabula. Orthographiam simul cum Schenographia exhibet Figura 511.

CAPUT XI. Orthographiam Munimenti minoris seu Castelli describere ex sequenti Tabula.

[note: Orthographiam Munitionis minoris describere. ] INter minora seu campestria Castella pro ratione loci et temporis unum altero fottius est. Nos loco prolixioris discursus tres proponimus Tabulas, A, B, C, quatum praesidio describi possunt tria Castellorum genera eodem prosus modo, quo in praecedenti capite descripsimus majora Munimenta. Columna prima [note: Iconis. XXXI. Fig. 510. ] A orthographiam Castellorum, quorum in obsidionibus usus est, docet: altera B est pro Castellis quae iis locis exstruuntur, ubi major est hostium vis: tertia pro Castellis quae perpetuo manere debent. Sequitur Tabula.

Tabula Orthographica pro minoribus Munimentis.

Harum igitur Tabularum subsidio describes orthographice tria dicta Castellorum genera eodem prorsus modo, quo capite praecedenti majora, si nimirum facias scalam AB, horizontalem A b, et reliqua praestes ut supra.

PARS III. De regularium Munimentorum Ichnographia.

[note: Ichnographia Munitionum. ] IChnographia Munimentorum quid sit, diximus supra initio Partis 1. De hac nunc agimus brevissime et, praxin totam ostendimus unico exemplo.

CAPUT XII Ichnographiam cuiuscumque Munimenti regularis describere.

[note: Icons. XXVI. Fig. 512. ] DElinea praxi tradita supra c. 5. vel. 7. Munimentum quodvis, v. g. hexagonum BBBB.

II. Quaere in Tabula Orthographica Capitis 9 latitudinem valli inferiorem hexagoni, reperies 66 pedes: sume ergo circino ex scala 100 pe dumpedes 66, atque hac distantia circini ab ambitu exterior BBBB introrsum versus duc parallelas FFF, quae vel coeant in punctis I, vel jungantur lincolâ FF, eritque spatium intermedium GGG vestigium valli.

III. In Tabula capitis 9. praedicti quaere viam tectam, scabellum, et latitudinem interiorem loricae horizontalis: reperies numeros 15, 3, 15, quos confla in unam summam, et habebis 33, sume ergo iterum circino ex scala pede 33, atque hac distantia duc circum quaque rectas CCC, paralielas rectis BBB, et habebis vestigia viae tectae, scabelli, et loricae interioris, seu fauss brayae.

IV. Ex Tabula praedicta sume lat tudinem fossae, quae in hexagono est pedum 96. atque ad hanc distantiam circino ex scala acceptamduc rectas EEE, parallelas ad CCC, et habebis vestigium fossae.

V. In tabula quaere viam tectam post fossam, scabellum, et basim loricae extimae, invenies numeros 15, 3, 69, quos si confles, habes 87, ex scala igitur sume pedes 87, atque hac distantia duc rectas HHH, parallelas ad EEE, et habebis vestigium viae tectae, scabelli, et loricae post fossam.

Annotatio.

[note: ] QVod si minoris Munim entiseu Castelli ichnographiam desideres, procede eodem modo, sed ex Tabulacapuis undecimt. Haec breviter insinuasse sufficiat, quae alii fusse prosequuntur.

PARS IV. De praxi exstruendi Munimenta regularia in campo.

[note: ] QVi Munimenta in campo exstruere desiderat, delineet illa primum in charta deinde in campo. Ad hoc secundum opus est Instrumento aliquo Geometrico. Inter omnia facillimum ac jucundissimum habet usum Pant ometrum nostrum Kircherianum, de quo lib. 6. egimus, ubi etiam Proposit ultima docuimus modum delineandi in campis Munitionum ichnographiam. Commodus etiam est circulus, aut semicirculus, aut Quadrans Geometricus (de quo eodem lib. 6.) in gradus divisus, et regula dioptrica centro affixa instructus. Qui instrumentis caret, uti poterit simplici tabella loco Pantometri, ut dicemus.

CAPUT XIII. Quamcumque figuram regularem in dato campi loco delineare.

[note: Munitiones in campis delineare. ] DElineandum sit in dato campi loco Pentagonum, et accedi possit ad centrum loci, ubi nim. statuendum est centrum figurae delineandae. Utere methodo praescripta lo. cit. Proposit. ultima. Si Pantometro careas, adhibe simplicem tabulam pedi suo impositam, eique adglutina Pentagonum incharta delineatum, singulisque lineis supone regulam cum dioptris. Ingeniosus Tyro rem facile intelliget.

Si circulo, aut semicirculo, aut Quadrante etiam Geometrico uti placet, sic procede. Sit delineandum Hexagonum in campo, quod antea in charta delinea vimus.

[note: Iconis. XXVI. Fig. 513. ] I. Constitue te in centro loci, in quo figura est delineanda, v. g. in A, ibique fige pedem instrumenti, et pedi impone Semicirculam (aut Quadrantem, etc.) ita ut planum ejus sit horizonti parallelum. Deinde versus eam partem, ubi angulorum aliquem figurae vis esse, v. g. versus B, metire distantiam AB tantam, quantam cupis semidiametrum esse figurae, nim. in casu nostro pedes 71; quod fiet, si funem ex A in B extendas et distantiam inter A et B mensura aliqua in pedes divisa metiatis.

II. Fixo baculo in B, respice per dioptras lateri OP in B, et immoto manente instrumento quaere in Tabula capitis 5. angulum centri figurae quam delineas, qui in Hexagono est 30 graduum positaque regula dioptrica CAD supra 30. mumgradum instrumentri, respice versus G et E, et fixo inter G et E baculo, metire ut antea ab A usque ad E pedes 713, et relinque alium baculum in E.

III. Move regulam dioptricam CD in HK ad gradum usque 60 um (si Semicirculo uteris) et per dioptram ipsius respice ut prius versus L et F, atque ab A usque ad F metire pedes 713, relicto alio baculo in F. Eodem modo procedes in orbem, figendo baculum in I, in M, in N, etc. donec tot baculos fixeris aequaliter ab A distantes, quot angulos habet figura quam delineare cupis. Si Quadrante uteris, debes illum post primam aut secundam operationem movere in orbem, et per dioptras lateris respicere in E, per dioptras vero regulae dioptricae in F; etc.

IV. Signa junge lineis rectis BE, EF, FI, IM, MN, NB, et habebis figuram quaesitam in campo delineatam.

Quod si ad centrum loci accessus non pateat, ita operare per Circulum, aut Semicirculum. Primo fac in terra lineam BE tantam, quantum vis esse figurae latus, nempe in casu posito pedum si militer 713. Secundo fixis baculis in B et E, et constituto Instrumento horizontaliter super baculum B, et super pedem suum fixum in B, ita ut per dioptas lateris OP videri possit baculus E, quaere ex Tabula capitis 5. angulum polygoni quod delineare vis, qui in casu nostro est grad. 120, ac regulam dioptricam CD statue supra gradum 120 instrumenti, perque ejus dioptras respice versus X et N, atque ex B usque ad N metire longitudinem BN aequalem lineae BE, et fixo baculo signa punctum N. Tertio transfer Instrumentum in N, et per latus respice in B, per regulam positam supra grad. 120 respice in M, et metire NM aequalem rectae BN. Similiter reperies et signabis reliqua puncta I, F, quae si rectis lineis in terra factis conjungas, descripta erit figura quaesita.

Simili modo operaberis per Pantometrum aut asserculum, quando ad centrum A accedi non potest. Sit enim super planum Pantometri, aut asserculi, delineatum Hexagonum BEFI MN. Colloca Instrumentum in B, et posito Cursore aut regula primo supra BE, et respiciendo versus E signum aliquod in campo, fac rectam BE 713 pedum: transfer deinde instrumentum in N, in M, in I, in F, et operare ut antea

CAPUT XIV. Quodvis Munimentum regulare in campo exstruere.

[note: Munitiones in campo exstruere. ] I. MUnimentum in campo exstructurus habeat in charta ichnographiam juxta modum jam traditum cap. 12. singularum partium proportione adscripta per numeros pedum ex tabula capitis 9 sumptos.

II. Delineet in campo figucam illam regularem quam in charta habet, juxta modum capite praeced. traditum.

III. Ex lateribus figurae delinea tae abscindat lineas colli tot pedum, quot charta monstrat, ex quarum extremis punctis erigat normales tot pedum, quot rursus habet in charta, atque ita habebit alas, et cortinam.

IV. Ductis dein ex Munimenti centro, funium praesidio, semidiam etris per singulos angulos figurae, ex iis ultra figuram protractis abscindet lineas capitales tot pedum, quot habet charta: tum connectat extremitates linearum capitalium et alarum, et habebit propugnaculorum extimas lineas.

V. Quod si ad centrum Munimenti non possit accedere, ad semidiametros ducendas, bisecet angulos circum ferentiae, rectae lineae enim illas bisecantes, sunt semidiametri. In lineis itaque bisecantib. ultra figuram protractis abscindat lineas capitales.

VI. Reliquas ichnographiae partes, juxta proportionem quam habet in charta, simili modo in terra delineet.

Denique absoluta ichnographia, singulas Munimenti partes jubeat aggesta terra assurgere eo ordine ac proportione tum latitudinis, tum altitudinis, quam orthographicum prototypum in charta expressum monstrat.

PARS V. De operibus externis Munimentorum.

[note: Munitionum opera externa] INter operaexterna, quae adhibentur ad hostem longius a Munitione arcendum, praecipua sunt Ravelinus, Semiluna, Opus cornutum, Opus coronatum, Forceps. De singulis breviter tractabimus.

CAPUT XV. De Parmulis seu Ravelinis.

[note: Munimentorum parmula seu ravelini. ] PArmula, seu Ravelinus, sic dictus a Gallica voce Ravelin; est moles terrea, fere similis propugnaculo, a cortinis abscissa. Solet constitui ex adverso cortinae mediae inter utrumque propugnaculum, sic ut inter ipsum et cortinam tota latitudo Fossae interjaceat. Sua denique peculiari fossa versus hostem cingitur, ut instar Insulae aquis undique circumdetur, unde et Insula vocari solet. Non desunt qui Ravelinum tanquam inutilem, et subinde etiam damnosum rejiciant. Rationes illorum sunt, quod ipsi difficulter succurri possit, quod inter ceptus ab hoste, in nocumentum Munitionis convertatur. Sed ad primum respondeo, pontibus et naviculis emissitiis succurri posse. Ad secundum dico, cum posse cuniculo destrui, cum est necessarium. Et vero tota adhuc fossae latitudo interjacet. Demum ipso usu compertum est quantum valeat ad hostem retardandum. Sane in Sylve ducensi obsidione simile opus hosti plurimum negotii facessi visse fertur.

[note: Parmularum seu Ravelinorum constructio. ] Parmulae seu Ravelini constructio diversis fit modis. Primus modus est. Centris A et B in terminis cortinae, intervallo ipsius cortinae, describe duos arcus se secantes in E, et ex C ac D terminis alarum duc rectas CE, DE, et fossae margines produc, dum sibi occurrant in H, et [note: Iconis. XXVIL. Fig. 514. ] habebis Ravelinum FEGH, cujus linea capitalis est EH, quae producta normaliter bisecat cortinam in S, facies EF, et EG, collum FH, et GH.

Secundus modus est. Lineas colli AR, BZ, biseca in O et P, atque ex O et P, per C et D terminos alarum duc rectas, se secantes in E, et fossae margines protrahe ut prius, et habebis Parmulam.

Tertius modus est. Biseca cortinam in S, atque ex puncto S duc normalem, cui occurrant margines fossae in H, atque ex normali a puncto H abscinde HE 3/4 faciei TC, tum expuncto E, ad C et D duc rectas occurrentes margini fossae in F et G, et habebis rursum quaesitam Parmulam.

Pro irregularibus forma constructionis accommodanda est loco, et fit in his subinde, ut Parmulae alas habere debeant, ut defectum propugnaculorum suppleant.

[note: Tabula pro Ravelinis exstruendis. ] Ravelinorum ichnographiam et orthographiam dabit sequens Tabula, in qua numerus primae columnae est pro fortiori, secundae pro minus forti Munimento.

CAPUT XVI. De Semi-Lunis.

[note: Semiluna Munimentorum. ] SUnt qui confundunt Semi-lunas cum Parmulis seu Ravelinis; sed imperite: differunt enim a Parmulis, quod hae inter duo propugnacula fiant, et alis careant; illae vero ex adverso propugnaculi construantur, et habeantalas, sed sine vallo et lorica. Dicuntur Semi-lunae, seu Lunae dimidiatae (Gallice, demy Lunes ) quod eâ parte, quâ propugnaculum respiciunt, instar falcatae Lunae excavantur in arcum.

[note: Icons. XXVII. Fig. 514] Harum constructio ita se habet. Primo producatur linea capitalis ZV, versus X, et centro V (angulo scil. marginis propugnaculum ambientis) describatur arcus bag inter vallo marginum fossae. Secundo exlinea capitali abscindantur 2/3 faciei PV, incipiendo a puncto a usque ad X, et a puncto X ducatur ad H punctum colli ipsius parmulae recta XH, ab alterius quoque Parmulae puncto L ducatur recta XL. Tertio producantur facies propugnaculi, quae secantes arcum in b et g. et rectas XH, et XL, in z et d, dabunt Semilunam, cujus facies erunt zX, dX, alae zb, et gd, collum bag. Deinde fossa circum ducatur ut monstrat bag. Deinde fossa circumducatur ut monstrat figura.

Alii paululum variant constructionem, et lineas ex quibus facies Semi-lunae sumuntur, ducunt non ex collis Parmularum, sed ex puncto medio alae vel colli duorum propugnaculorum circumstantium. Sed res eodem fere recidit.

Inter Opera externa hoc caeteris infirmius est, et caret defensione, si solum ponatur, non enim defenditur a propugnaculo cui obiicitur, ut patet, a propugnaculis vero vicinis au: vix, aut omnino non, ob nimiam distantiam. A Ravelinis tamen defendi possunt.

Alae Semi-lunarum vallo et loricâ carent, ne hostes potiti loco, a lateribus sint tuti.

CAPUT XVII. De Operibus Cornutis.

[note: Coronata opera Munitionum. ] OPus cornutum (Gallice Piece a cornes, vel Ouurage a cornes ) est Munimenti genus nomen habens a cornibus, quae duo illius dimidiata propugnacula versus hostem prominentia referunt. Frequens in Belgio usus est, ubi et natum. Constructio variat. Unum modum proponara caeteris, ut videtur, meliorem.

[note: Iconis. XXVII. Fig. 514. ] I. Duc duaslineas IE, KF, quae partes sint alarum propugnaculorum productarum, ad eam longitudinem, quam vis habere Opus cornutum, et junge puncta EF. II. Fac angulos FEG, EFH, graduum 25, et biseca angulum FEG per rectam EL, secantem FH in C. III. Abscinde ED, aequalem ipsi FC, et junge DC, atque ex punctis D et C duc normales DA, CB, jungeque AB.

Habebis constructum Opus quaesitum, cujus facies sunt ED, FC, alae DA, CB, cortina AB, lineae colli AN, BN.

Orthographia et ichnographia est ordinarie eadem quae Parmularum. Videpraecedentem Figuram, et lege quae sequuntar.

Muniri solent subinde Opera cornuta Parmulâ inter duo cornua interjectâ, sed operis levioris quam eae, quae inter cortinam arcis exstruuntur. Quin et Opere coronato subinde circumducantur, ut Bredae ab Hollandis est factum.

Operum cornutorum latitudo EF ordinatie aequalis est cortinae arcis, latera IE, KF, parallela. Horum longitudinem loci naturae accommoda. Distantia tamen punctorum E et F major non sit quam ut commodam ab arce seu Munitione defensionem admittant.

Locus est inter duo propugnacula, sic, ut cortinam tegant. Nunquam statuuntur ex adverso propugnaculi, quia ob nimiam distantiam aegre defenderentur. Inter cornua et cortinam Operis hujus mediat saepe Parmula cum sua fossa, item lorica extima. Multum roboris ad Opus cornutum accedit, si semel aut saepius rescindatur, ut jam non simplex, sed compositum evadat.

CAPUT XVIII. De Coronis seu Operibus Coronatis.

[note: Coropata opera Munitionum. ] MUnitiones illae exteriores, quae in medio unum aut plura habent propugnacula, utrimque vero duodimiata, Coronae sive Opera Coronata vocantur, Gallice Ouurages acour onnes, quod in coronae speciem arcis partem aliquam cingunt. Fortiora sunt Operibus Cornutis, et loco majori cingendo apta. Exstruuntur ex adverso propugnaculi, et ex adverso cortinae. Hoc Opus est pars Munimenti regularis, unde et constructio ejusdem constructioni regularium est fere similis. Accipe exemplum.

[note: Iconis. XXVII. Fig. 514. ] Si arcis alicujus propugnaculum EBF, cui Coronam porteat circumdare. Producatur linea capitalis AB versus D, et circa eam constituatur propugnaculum GDH (per praxin aliquam Parte I. traditam) cum duobus utrimque dimidiatis Pentagoni regularis, vel Hexagoni, prout ratio loci exiget. Deinde punctis I et K versus alas arcis ducantur rectae IM, KL, usque ad loricam extimam, et habebis Coronam dato propugnaculo circumductam.

Circa hoc Munimenti genus insuper Nota I. angulos PIM, OKL, non esse semper dimidiam praecise partem anguli propugnaculi GDH, quod latera Coronae KL, IM, ita duci debeant, ut quam optimam defensionem habeant. Curari nihilominus debet, ut non sint minores 60, nec majores 90 gradibus. II. Propugnacula Coronae solere fieri minora quam arcis. III. Orthographiam eandem esse quae Parmularum. IV. Latera IM, KL eam habeant longitudinem, ut commode ex arce defendi possint.

Solent Coronae Operibus Cornutis aliquando praeponi, et tunc aliter fit constructio earum, quae tamen ex dictis facile colligi potest.

CAPUT XIX. De Forcipulis et Traversis.

[note: Forcipes Munitionum. ] FOrcipes seu Forcipulae, Gallice Tenailles, cedunt robore Cornutis Operibus, sed operae et sumptus sunt minoris, quare cum aut desunt expensae, aut temporis premunt angustiae, omissis Cornutis operibus, cortinae obiiciuntur. Earum duae sunt species, una simplex, altera duplex appellatur.

[note: Iconis. XXVII. Fig 514. ] Simplex Forcipula ita construitur. Alae propugnaculorum ultra loricam extimam producuntur, ad minus tamen inter vallum quam in Opere Cornuto, ex iisque abscinduntur AC, BD, ejus longitudinis, quam locus exigit. Puncta C et D sint intra sclopeti ictum. Ducitur deinde CD, et bisecatur in F, atque inde erigitur normalis FE, aequalis 1/4 ipsius CD. Tum jumctis CE, DE, habebis Forcipulam simplicem. Quae fortior adjecto Ravelino reddi potest.

Duplex Forcipula construitur in hunc modu. Ex alis propugnaculis productis abscinde rursus AC, BD, junctamque CD biseca in G, et fac normalem GE, aequalem 1/4 ipsius CD, eamque produc in F sic, ut GF dimidia sit ipsius GE. Tum junge CE, DE, easque biseca in K et H. Junctis jam FK, FH, figura ACKFHDB est forcipula duplex. Validior est simplici, quia majorem defensione habeat et ipsa nihilominus Cornutis cedit.

[note: Transversa opera Munitionum. ] Transversa opera, Gallice Travers, appellantur universim omnia illa Opera, quae variis hinc inde in locis raptim construuntur in formam loricarum. Fieri solent ad viarum angustias, ad sylvas, ad paludes et loca aquosa, ac similia. Item in ipsis vallis, ac plateis urbium obsessarum, ut

[note: Icons. XXVIII. Fig. 516. ] Data sit recta linea AH munienda juxta primum modum. Fac scalam 1000 pedum Rhenan. et I. quaere in Tabula 1 ma cortiam, quae est 480 pedum: hos ex scala sumptos abscinde ex AH, sintque AB. II. quaere in Tabula eadem lineam colli 169 ped. et 7/10, 0/100, 6/1000, et sumptos et scala totidem pedes abscinde ex BH bis, et sint Bc, CD. III. abscinde cortinam DE, et bis lineam colli EF, FG, ut prius, quoties opus est. IV. quaere alas in Tabula, reperles 90 ped. hos sumptos ex scala erige normaliter BK, DL, EK, GL, ac junge KL, atque ex C et F normaies erige CI, FI, secantes KL in N, et sumc NI aequalem ipsi BC, seu K N. V. Junge KI, LI, et perfecta erit Munitio. Quanta autem posita hac constructione sit factes, ala, cortina, defensio stringens, et figens, patet ex Tabula. Angulus propugnaculi KIL semper est rectus, quia KN, NL, NI sunt aequales ex constructione, ac proinde circulus ex N intervallo KN descriptus transit per I et L, ergo angulus KIL est in semicirculo, ideoque rectus, per 31. tertii Euchd.

[note: Propugnacula plana quae sint. ] Propugnacula jam exstructa vocantur plana, Gallice Plata forme, non quod plana sint, et minime solida, sed quod ad rectam et planam lineam sint constituta.

Munitio lineae rectae locum habet, cum ripae fluminum, aggeres, et cortinae urbium ictum sclopeti longicudine excedentes, muniri debent. Quando tamen cortinis nimis longis adhibentur, quaedam immutanda sunt, ut postea dicetur.

PARS VI. De Munitionibus Irregularibus.

[note: Munitiones irregulares. ] HActenus breviter de Regubaribus Munitionib. egimus, nunc eadem brevitate de Irregularib. agendum, quae regularibus conformari debent, quantum fieri potest. Major est harum, quam illarum necessitas, quoniam saepius urbes jam exstruct as muniri, quam novas Munitiones excitari contingit, quae tamen urbes ut plurimum aptae non sunt ut regulaeri Munitione cingantur. Quae etia causa est, ut difficilieres sint irregulares, quam regulares Munitiones.

CAPUT XX. De munitione linearum rectarum.

[note: Munitio irregularis linearum rectarum. ] LInea recta muniri dicitur, quando super eam exstruuntur propugnacula. Pro lineae rectae munitione inserviunt sequentes tresTabulae, et prima quidem pro munitione lineae rectae Sexanguli, secunda pro Octangudi, tertia pro Nonanguli, Decanguli, etc. adhibenda.

CAPUT XXI. De munitione locorum quae habent latera et angulos aptos.

[note: Munitio irregularis locorum habentium angulos et latera apta. ] ANgulum aptum voco, non minorem 90 gradibus, inepeum, qui est minor, quod ei propugnaculum superstrui neque at, nisi cujus angulussit minor 90 gradibus, contra Axioma 3. c. 2.

Latus aptum est, quod abscissis utrimque lineis colli secundum minorem angulum figurae, minus non est 300 pedibus, nec majus 500. minus enim 300 haberet alas cortinae nimis parvas, majus 500 lineam defensionis minis longam. Cum autem linea colli in regiis munimentis nunquam minor sit 109 pedibus, neque major 163, ut patet ex Tabula cap. 5. latus aptum nunquam minus est 518 pedibus. nec majus 826.

[note: Iconism. XXVIII. Fig. 517. ] Datus sit igitur locus irregularis, latera et angulos aptos habens, muniendus. Delinea figuram similem in charta, per praxin. lib. 6. Part. 7. Proposit. 6. in qua minimus angulus sit A. Quoniam hic aptus est, ex hypothesi, erit non minor 90 gr. Sit ergo 94. Vide in Tabula cit. cap. posita, ad cujus figurae angulum circumferentiae propius accedat angulus A 94 gr. Accedit proxime ad angulum Quadrati, is n. est graduum 90, Pentagoni autem est gr. 108. Itaque ad singulos angulos A, B, F, E, D, C, etc. constitue ex Tabula capitis 5. lineas colli, alas, et capitales (quae angulos bise care debent) Quadrati. Quod si abscissis lineis colli circa aliquem angulum cortina notabiliter sit minor

300 pedibus: latus erit ineptum. Deinde a capitalium extremitate ad alarum extremitates duc rectas, eruntque singuli datae figurae anguli suo propugnaculo muniti. Quod si ala cortinae sit nimis parva, minuatur vel linea capitalis. vel angulus propugnaculi, sic tamen, ut debitam magnitudinem utraque retineat. Si ala cortinae sit valde magna, augeri poterit angulus propugnaculi.

Alia quoque ratiorie eundem locum munies, super singulis figurae angulis faciendo propugnacula desumptis line is colli, alis, et capitali ex figura quae habet angulum circumferentiae aequalem, vel proxime minorem. Exemplia gratia, angulo A proxime sit minor angulus Quadrati: ad illum igitur construe propugnaculum Quadrati ex Tab. cap. 5. Deinde angulo B proxime sit minor angulus Hexagoni: ad hunc exstrue propugnaculum Hexagoni, et sic deinceps.

Circa hunc secundum modum Nota, si ad angulos B et Fv. g. factis propugnaculis Septanguli, et Nonanguli, cortina sit notabiliter minor 300 ped. fac ad B propugnaculum Sexanguli, et ad F Octanguli, orieturque cortina major, cum lineae colli in figuris paucorum laterum minores sint. Si tamen adhuc minor sit 300 ped. fac ad B propugnaculum Quinquanguli, ad F Septanguli, et sic, si opus est, ad Quadratum usque descendendo. Quod si ad B et F exstructis Quadrati propugnaculis, adhuc cortina sit notabiliter minor 300 pedibus, latus BF, erit ineptum.

CAPUT XXII. De munitione figurarum irregularium quae non habent latera et angulos aptos.

[note: Munitio irregularis locorum habentium angulos et latera inepta. ] I. QVando latera non sunt apta ratione longitudinis, sic procede. Si bisecta AB v. g. in G, et abscissis lineis colli GI, GH Quadrati v. g [cum minimus angulus A ad Quadratum accedat) residua 10, HN sint no minora 300, nec majora 500pedibus, exstrue in medio propugnaculum

[note: Iconis. XXVIII. Fig. 517. ] planum hoc modo. Lineas colli GI, GH, et alas HL, IK, sume ex figura ad quam proxime minimus angulus A accedit: facies vero ducito ut cap. 20 dictum.

Quod si latus aliquod (ut hic AC) in tres, aut plures partes dividi poslit, sic ut abscissis lineis colli secundum minimum angulum figurae, cortinae intermediae sint inter 300 et 500pedes, duo aut tria propugnacula plana constitue, juxta methodum jam traditam.

II. Quando latera sunt inepta ratione parvitatis, sic procede. Si unum vel plura latera sint minora 300 ped. figura videtur immutanda. Si immutari non possit, cortinae praestruatur Parmula, vel angulus Coronae. Si latus minus est quam ut abscissis lineis colli secundum minimum angulum figurae, cortina sit 300 ped. tunc etsi aptisint anguli, supra cos tamen propugnacula non fiant, sed Opera exteriora praestruantur, quod Cornutum sit, si angulus sit inter 90 et 120 gradus: si major 120 gradibus, propugnaculum abscissum super ipsa fossa statuatur.

III. Quando anguli apti non sunt, sic procede. Si fuerit inter 80 et 90 gradus, Opera Cornuta praestruantur: si minor 60, immutandus est. Caeteris casibus Architectus Polemicus ingenio suo occurrat, nam omnes praeceptis complecti, infinitum est.

CAPUT XXIII. De munitione anguli externi.

[note: Munitio anguli externi. ] SIangulus externus talis sit, ut punctorum A et C distantia sit inter 518 et 807 (quantum est latus internum figurae 60 angulorum) pedes anguli

[note: Iconis. XXVIII. Fig. 518. ] A et C muniantur propugnaculis juxta praxin cap. 21. et 22. traditam. Neque alia munitione opus erit: cum enim ex hypothesi puncta A et C habeant distantiam justae defensionis: propugnacula angulis A et C imposita optime sese mutuo defendent.

Immerito igitur omnes anguli externi rejiciuntur; nam propugnacula sic constructa validiora sunt, quam si super rectam A C consisterent: nam ala cortinae QP, PG, multo fit major.

[note: Iconism. XXVIII. Fig. 519. ] Si distantia punctorum A et C major sit 807 pedibus, angulis A et C propugnacula imponantur, et angulo externo B praestruatur Ravelinus, aut Opus Cornutum

Si distantia punctorum A et C minor sit 518 pedibus, fiant ad A et C duo dimidiata propugnacula pro defensione laterum AS, CR, angulo autem externo Parmula major praestruatur.

CAPUT XXIV. De urbibus flumini adiacentibus muniendis, et de castellis urbi adiungendis.

[note: Munitio urbium fluminib. adiacentium. ] URbes flumini adjacentes muniuntur versus terram ut alia loca, versus aquas sufficit vallum cum dimidiata defensione sine propugnaculis ullis. Ad latera tamen, ubi dimidiata propugnacula, exstruuntur Opera Cornuta.

Si fluminis latitudo ictum sclopeti non excedat, ad alteram fluminis ripam fiat Ravelinus major, aut dimidiata Stella seu Corona. Si excedat, ex ad verso fiat Munimentum majus, dimidia nempe pars Hexagoni, aut Heptagoni, etc. et latera utrimque Operibus Cornutis muniantur, versus urbem pateat, aut levem defensionem habeat.

[note: Castella urbibus apponendo. ] Arces seu Castella urbibus hunc in modum apponenda. Eo loci arx poni debet, unde et urbi, et campo, et flumini, si urbem alluit, imperare possit. Unde nunquam in medio, verum ad latus urbis collocanda, et una pars urbem, altera flumen, tertia campum, e quo miles in arcem mitti possit, respiciat. Urbem intet et arcem sit spatium medium, ut cives facile non possint se contra arcem vallo tegere, utque supersit locus pro Operib. externis, si necessitas urgeat, contra urbem ab hoste occupatam erigendis. Vallum urbis ita sit exstructum, ut tormentis arcis plane subsit. Fere Pentagonae esse consueverunt arces, sic ut duo propugnacula urbem, tria campum respiciant. Figura quadrata debilior est, hexagona, et hanc sequentes, majores sunt quam hic sit necessarium. Ideam arcis urbi junctae suis numeris absolutam praebet Antuerpia.

CAPUT XXV. Varia ad Munitiones pertinentia.

[note: ] MUnitiones, caeteris paribus, utilius excitantur circa Regionum limices, quam alibi.

II.

[note: ] Temeremultiplicari non debent, ne distractis in diversae Reipublicae curis ac sumptibus, a praesidio, machinis, commcatu, etc. non satis instructae, cedant in emolumentum hostium, et damnum patriae. Laudant tamen Arces montanae (die Berg-Hauser) praesertim quae ad Provinciarum aditus consistunt, et habent necessariam fontanae copiam, hae enim non magnis exstruuntur sumptibus, et commeatu ac praesidio modico contentae, multis saepe mensibus, et annis, hostem fatigant, nec facile sine ejus damno capiuntur, non magno Provinciae detrimento.

III.

[note: ] Locus Munitionis universim aptissimus esse creditur, ad quem accessus hosti quide est difficilis, aditum tamen unum alterumve semper habet apertum, subvehendo commeatui, ac subsidiis aliis oportunum. Talia loca sunt ferê plana regularia, ex una parte montibus, aut paludibus inaccessis cincta, ex altera mari, lacui, magno flumini adsita. Contra locus ineptus habetur, qui ad pedem montis positus; aqua destituitur, habetque alios circa se colles, glebamque pinguem, operibus et cuniculis agendis accommodam.

EPILOGUS.

[note: ] MVlta alia supersunt dicenda; praesertim methodus supputandi angulos omnes, et omnes lineas Munimentorum regularium, dimetiendique tam areas, quam solidas partes omnes, nempe vallum, loricam, fossam, etc. at Operis brevitas quam effectamus, ulterius nos progredi non sinit. Ingeniosus Tyro subsidium petat e Trigonometria et Geometria practica, quas suis locis supra tradidimus, et quod deest, suppleat. Ad alia igitur pergimus.

LIBER XXIII. DE POLEMICA OFFENSIVA AC DEFENSIVA.

Prooemium.

[note: [note: Polemica. ] POlemica, seu Ars Militaris, consistit praecipue in urbium obsidione, oppugnatione, ac defensione, in castrorum metatione, in ordinatione exercituum, in bellicorum tormentorum oneratione, ac directione, aliisque similibus. De singulis breviter agemus, quoniam sine Matheseos subsidio peragi non possunt, hoc quidem libro de urbium obsidione, oppugnatione, defensione, tormentorumque directione (quae Polemicae offensivae ac defensivae nomine comprehendimus:) de reliquis vero in sequenti libro. ]

PARSI. De Obsidione ac Oppugnatione urbium.

[note: ] VRbium munitarum obsidio et oppugnatio, juxta Militaris Artis regulas, in eo consistit, ut obsidentes atque oppugnantes quam minimo suo periculo hostile Munimentum adgrediantur, obsideant, oppugnent, ac tandem obtineant.

CAPUT I. Generalissima pro obsidione urbium instructio.

[note: Obsidio urbium quomodo instituenda. ] POle micae offensivae praecipuus actus est obsidio, quae hoc fere modo a supremo Polemarcho est in stituenda.

I. Obsessurus urbem sciat illius situm, fortificationem, circumstantias, copiam annonae, militum, annorum, etc.

II. Ubi extercitum urbi admovet, prima sit cura excludere omne auxilium, tam militum, quam annonae: secunda, ne hostis rerum necessariarum in exercitum invehendarum vias occludat.

III. Prima nocte exercitum urbi admoveat tam prope, quam possit, ne obsessi ulla Operara possint exstruere, aut exstructis addere, vel ne deijciant et evertant illa quae obsidentibus favere ullo modo possunt.

IV. Deliberet, quot et quibus locis castra seu stationes ( Quarteria vulgo nunc appellant) collocet. Qua in re his axiomatibus dirigetur.

Axiomata obsidionalia.

[note: Axiomata obsidionalia. ] CAstra seu Stationes (Quarteriae) iis maxime locis statuenda, ubi facilior hosti obsidionem solvere volenti est aditus.

III. Tot sint, ut lineis sive trencheis (ut nunc vulgo vocant) castra seu Quarteria connectentibus, et Operibus quae inter lineas sunt posita, facile et cito succurri possit.

VI. Castra lineis seu trencheis connectantur sic, ut nullus ad urbem trasitus pateat.

VII. Flumina minora deriventur in fossas linearum et castrorum; majora ponte navali claudantur.

IX. Tamlineae, quam castra, omnis generis Operibus, de quibus infra, muniantur. Totus autem ille ambitus, qui ex lineis, castris, et operibus componitur, et Circum vallatio dicitur.

X. Circum vallatione perfecta, singuli suos accessus ad urbem (Approches nunc vocant) incipiant: quibus cum satis appropinquarunt, sic ut sclopeti ictu tantum distent, suggestus tormentorum (Batteries) exstruantur, ex quibus non vage in omnem urbis partem ejaculentur, sed primo tormenta omnia e moenibus dejiciant; aut exarment, deinde propugnaculotum facies et alas: tertio Casamattas (sic vocant loca cava in propugnaculorum alis olim exstructa, et tormentis bellicis instructa) et partes alias quibus tormenta imponi possent.

CAPUT II. De Lineis, seu Vallo obsidionali.

[note: Vallum obsidionale. ] LIneatum sive valli obsidionalis (Trencheas nunc vocant) partes praecipuae sunt, scabellum, lorica, margo, fossa. Non est ergo aliud vallum obsidionale, quam lorica quaedam perpetua, omnibus suis partibus completa. Duplex fieri solet, aliud exterius objicitur hosti obsidionem soluturo, aliud exterius arcet obsessorum eruptiones. Hoc communicationis dicitur, illud continuationis. Exemplar illustre utriusque suppe ditaruntgeminae obsidiones, Bredana, et Sylvaducensis. Posterioris duplicem Orthographiam adjungo, quae instar idearum erunt caeterorum.

Orthographia duplicis Valli obsidionalis ad Silvaducum [orig: Sylvaducum].

Constitutis his vallis, cum Batavi audivissent regium adventare exercitum ad solutionem obsidionis tentandam, vallum exterius roborarunt hunc in modum. Basim loricae auxerunt ad 9 pedes, cui apposuere tria scabella, quorum tres bases faciebant 9 pedes. Altitudo primi scabelli erat pedum 4 1/2, secundi 3, insimi 1 1/2. Declivitas exterior erat 4 1/2, interior 1/4. Altitudo loricae 9, fossae latitudo 15, declivitas fossae exterior 5, interior 3, latitudo fundi 5.

Orthographiae priores adhiberi possunt ordinarie, posterior, quando gravius imminet ab hoste periculum.

Lineae et castra seu Quarteria ad singulos minimum 750 pedes variis Operibus confirmari debent. Adhiberi solent Reductus, Forcipulae, Stellae, Castella cum dimidiatis propugnaculis, Propugnacula plana integra, Propugnacula plana dimidiata, Ravelini, Opera cornuta, Coronae, etc.

CAPUT III. De Reductibus, et Stellis.

[note: Reductus ] REductus (Redonites) sunt opera quadrata, aut parallelog tamma, sine alis et propugnaculis, hinc inde in castris exstructa, in quos se milites ac fossores recipere, et contra obsessorum excursiones defendere possunt. In obsidionibus nihil est frequentius his Reductibus. Eorum locus praecipuus est, tam vallum exterius, quam interius. Fiunt etiam ad accessus (Approchen) ut fossores habeant quo se recipiant obsessis erumpentibus, ut dixi. Delineatio facilis est. Delineatur enim in campo linea 48, aut 60, aut ad summum 72 pedum, supra quam fit quadratum, et habetur propositum. Fiunt quandoque oblongi, et subinde etiam dimidii.

[note: Stellatae munitiuncula. ] Stella, seu Munitiunculae stellatae, fortiores sunt quam Reductus, quia meliorem habent defensionem. Non solent majores esse quam quadrangulae aut quinquangulae. Constructio quadrangulae aut quinquangulae. Constructio quadrangulae est haec. Fit quadratum ABFC,

[note: Iconis. XXIX. Fig. 520. ] cujus latus AB est 48, aut 50, pluriumve pedum: bisecatur AB in E, et ex E ducitur normalis ED, aequalis uni quartae ipsius AE, jungunturque AD, BD. Similiter proceditur in reliquis quadratilateribus, et habetur Stella quadrangularis, cum quatuor propugnaculis utin Figura apparet. Pro Stella pentagona sit pentagonum regulare, et perpendicularis ED est una tertia ipsius AE, res liqua fiunt ut in quadrata.

Reductuum et Stellarum eadem est Orthographia. Basis fere est 14 aut 20 ped. altitudo 8 aut 10, sup erior latitudo 4 aut 6. Loricae addunter duo aut tria scabella gradatim structa. Margo est 2 aut 3 ped. Fossae latitudo 15 aut 14, profunditas 5 aut 6. Quando majus imminet ab hoste periculum, Orthographia augeri potest.

CAPUT IV. De Castellis omnis generis cum dimidiis propugnaculis.

[note: Castella cum dimidiis propugnaculis. ] SUnt quidem hujusmodi Castella iis debiliora, quae integra habent propugnacula, cum dimidiatas tantum habeant defensiones, dimidiati tamen laboris etiam sunt, et expensae. unde frequens in obsidionibus est eorum usus. Solent plerumque esse quadrangula, quamvis etiam [note: Iconism. XXIV. Fig. 521. et 522. ] triangula fiant. Constructio patet ex appositis figuris, his tantum observatis, quod caput AL, BL. etc. et collum AM, BM, etc. sint 1/3, ala MN 1/6 lateris AB, etc. quod in quadratis latus AB neque minus sit 120 ped. nec majus 180, quod in triangularibus conveniat latus esse minus, quam in quadratis. Aliquando fiunt a parte anteriori [note: Iconism. XXIX. Fig. 523. ] A ad modum Operis Cornuti, a parte vero opposita B ad modum forcipulae cum dimidiis propugnaculis a latere, ubi altitudo forcipis EF est 1/3 lateris CD. Multas alias castellorum formas omitto. Praedicta omnia Castella fieri ettiam possunt cum integris propugnaculis.

CAPUT V. De Suggestibus tormentorum bellicorum.

[note: Suggestus tormentorum bellicorum. ] SUggestus, seu Batteriae, ut nunc vocant, sunt duplices, offensivi, et defensivi Offensivi sub initium obsidionis a loco obsesso distare solent ictu sclopeti, hoc est, pedibus 750, imo etiam obsidione formata in hac distantia possunt manere, ad impediendas excursiones, et defendos accessus ad urbem faciendos: sed tunc praeterea alii propius admoveri debent pro deiiciendis moenibus.

Longitudo A, B, etc. numero et magnitudini tormentorum proportionatur. Intervalla tormentorum [note: Iconism. XXIX. Fig 524. ] sint pedum 12, inter loricam suggestus et postrema duo tormenta utrimque sit spatium 6 pedum: itaque suggestussex tormentorum habebit praeter loricam 84 ped[?] longitudinis. Pro latitudine ad longitudinem tormenti una cum curru suo addantur 10 ad 12 pedes, ut commode tormentum possit retrocedere: item 5 aut 6 pedes, ut adhuc sit spatium ad circumeundum. Versus campos planum Suggestus inclinari sursum debet, ut tormenta retracta facile ad locum suum reduci possint. Sterni item debet asseribus spatium 12 aut 14 pedum, eandem ob causam.

Ne autem tormenta hostibus sint obnoxia, lorica Suggestus est cingendus. Loricae ea parte, qua hostem spectat, basis est 12, 15, 18, pedum. altitudo 6, ad latera minor altitudo suflicit. Intersecta sit oportet tot foraminibus, quot sunt tormenta. Foraminum altitudo ED sit 3. pedum, latitudo versus hostem exterior 4, interior 2, si ad unum solum locum collimare debent, si ad diversa, major debet esse utraque latitudo, ut dirigi in illa possint.

Atque haec est constructio Batteriae remotioris. Propin quiores, ob periculum cui tormenta illarum sunt exposita, fiunt duplices hoc modo. Construatur ut ante dictum est, Batteria ABCD, spatio dein intercepto 20 aut 30 pedum versus castra fiat secunda Batteria ejusdem longitudinis, sic ut hujus fissurae directe respondeant fissuris primae. In secunda ponantur tormenta. Quae ut melius ab hostilibus tormentis defendantur, oportet primam esse ejus crassitiei, quae tormentis resistat, et majoris altitudinis quam secunda. Praeterea ut secunda melius tegatur, solent ramos et cannas palustres per modum sepis densissimae coacervatas circa primam Batteriam figere. Ligna vero et asseres, quibus illi rami affiguntur et alligantur, dicuntur deschandeliers, candelabra: tegmentum vero ipsum dicitur des blindes, occultationes. Loco secundae Batteriae aliquando solent corbes exstruere terra plenos, ea altitudine, qua hominem stantem tegant, 5, vel 6 pedum. Retro aditus modice acclivis fit, per quem tormenta et necessaria advehi et avehi possint. Post suggestum sit spatium suggestui aequale, ad cujus latus unum sit fossa quadrata 10 aut 12 pedibus longa, profunda vero 3 aut 4. In ea pulvis asservetur; quem oportet corio tegere, ne scintilla vento allapsa infortunium creet. Deinique tam suggestus, quam spatium retro relictum, jungitur cum fossa 8 aut 10 pedes lata, profunda 6.

Defensivi Suggestus, qui campum spectant, levioris sunt operis, quod ad versus oppositum hostis suggestum defendi plerumque non debeant. Lorica vel ex terra exstruitur, vel ex corbibus terra repletis. Ex terra structae crassities sit pedum 6 aut 7, altitudo non minor quam tormenti vehiculo suo impositi. Fossa frontem solum et latera ambiat.

CAPUT VI. De Accessibus seu Reductibus.

[note: Accessus seu reductus obsidionales. ] IN A, mille circiter pedibus ab urbe, aut paulo propius, effodiunt ductum BC, terrâ versus hostem ejectâ; qui non recta, sed oblique ad urbem tendat. Qui ductus cum eo processerit, ut patere incipiant fossores, novum in altera parte [note: Iconism, XXIX. Fig. 525. ] incipiunt flexum CD, terrâ rursus versus hostem rejectâ. Atque has obliquas fossas (Approches vocant nunc) ad loricam horizontalem continuat, ubi demum accessus perficiuntur duabus longioribus lineis FK, HI. Haec in genere Accessuum theoria est; nunc speciatim singula proponamus.

Accessuum ars consistit in eo, quod ita ad urbem obliquentur, ut nulla ab urbe recta linea duci possit quae longitudinem eorum stringat, alias ictui paterent fossores. Orthographia haec est. Fossae latitudo inferior est 6 ped. superior 12; scabellum unum, duo, aut subinde tria adduntur; profunditas varia; minima sit, quae simul cum terra rejecta hominem tegat; latitudo etiam augetur quandoque, quando materia ad vineam necessaria curribus per fossam est advehenda. Quo propius acceditur, eo fossa profundior, et lorica fit altior; quae in super prope urbem corbibus superimpositis utiliter munietur.

Singulis fere lineis Reductus adduntur 200 fere militum capaces, in quos erum pentibus obsessis sese recipiant fossores, et defendant, donec auxilia advenerint. Optimus Reductuum situs videtur, si utrumque Accessuum latus stringant. In figura apposita Reductus sunt A, B, E, F, etc.

Cum propter vicinitatem ad urbem fossae obliquae sine periculo amplius duci non possunt, unica linea recta LN (quam Sappam vocant) ita est superius cooperienda, ut inferius ambulanti vallum hostile non appareat. Interim ad loricam ipsam Suggestus M fit, ut tutior sit Sappae constructio.

Quando terra paludosa est, virgultis admixtâ terrâ fundamentum sive agger ducitur, cui utrimque corbes loricales 7 pedes crassi et 10 alti, duplici ordine apponuntur. Per arenas quoque similibus corbibus Accessus fiunt.

Quando terra paludosa et humida est, ita ut per exiguam fossionem aqua effluat: Accessus fiunt per Reductus continuo ordine inter se connexos.

Si terra bona quidem est, sed spatium obliquandi deest, per unam rectam lineam Accessus perficitur eadem ratione, qua Sappam ducendam diximus.

Accessus nunquam ad cortinam dirigi debent, quae omnium est fortissima, ut pote ab utroque propugnaculo lateraliter defensa: neque etiam ad angulum propugnaculi, qui etiam a duobus propugnaculis T et Z stringitur, quam vis ex longiori inter vallo: sed dirigi debent ad faciem propugnaculi, quae caeteris infirmior, quod simplicem tantum habeat defensionem, quae structâ in MBatteriâ, facile impeditur, aut debilitatur.

CAPUT VII De Vineis, seu ut nunc vocant, Galeriis.

[note: Vinea seu Galeriae obsidionales. ] QVando ultimus Accessus sive Sappa LN ad loricam attigit (quae vi et numero militum, uti et contrascarpa, expugnari debet) Primo, eadem Sappa per loricam et viam tectam ad fossam usque producitur. Secundo, per fossam [note: Iconism. XXIX. Fig. 525. ] injectis ruderibus et fascibus agger duci debet, qui ut laboris et periculi minimum subeant, perpendicularis ad faciem propugnaculi esse debet, cum haec sit via omnium brevissima. Atque hic agger basis erit Vineae superstruendae: quae ut firma sit, fasces temere injecti, ab uno vel plurib. qui sese magno lucro proposito huic periculo voluerint exponere, noctu ordinandi et componendi sunt. Tertio, fossa repleta, per Sappam magua terrae copia advehitur, quae versus propugnaculum super aggerem, in fossa exstructum projicitur in collis figuram, qui ictus obsessorum ex adversa propugnaculi facie jaculantium intercipiat. Ima dein collis illius pars longis ligonibus ultra superiorem projicitur, atque ita quasi in gyrum actus sensim versus propugnaculum provolvitur. Quarto, interim porta lignea, cujus latitudo 9 aut 10 ped. est, altitudo 10, crassities trabium 7 pollicum, aut pedis dimidii, ad initium fossae erigitur: rursus mole terrea ulterius ad aliquod spatium promota, altera erigitur pr. ori similis, 4 aut 5 pedum intervallo, et quam celerrime asseribus latera utrumque et pars superior clauditur. Qui haec perficiunt, a fronte tuti sunt mole terrea, a latere saltem uno subeunt periculum, quod minuetur, si Quinto, quam primum asseres sunt affixi, lateri quod hostis potest impetere, tantum terrae affundatur, ut ictum tormenti ferat. alterum latus aut nulla, aut rariori terra tegatur, pro ratione periculi. Superior etiam pars terra uno aut sesquialtero pede alta muniatur, ne incendi ab hoste possit. Sexto, simili ratione provoluto continuo colle, Vinea usque ad faciem propugnaculi petducitur.

CAPUT VIII. De Cuniculis.

[note: Cuniculi obsidionales. ] VIneâ ad Vallum productâ, vide sub qua parte propugnaculi pul verem velis recondere, quae v. g. sit G. Hujus itaque distantiam et situm a termino Vineae explora. Tum in B perforetur [note: Icons. XXIX. Fig. 526. ] murus, si qui est, et semita versus G fodiatur, alta pedes 4, vel 4 1/2, lata vero 3 1/2 aut 4, cujus superior pars pilis suppositis et asserib. ante in est usum comparatis fulciatur. Terra quae effo ditur, silentio versus Vineam coriaciis embolis efferatur. Si aqua reperiatur, canalis in medio semitae fiat, in quem aqua defluat, sitque versus B modice declivis.

Semita porro illa non recta versus G, sed per flexum BCDHG fodiatur, quia sic et pulvis accensus difficilius per orificium Cuniculi [Mine] erumpet, et facilius obsessi Cuniculum quaerentes decipiuntur. Ut vero per flexus illos recta ad locum destinatum perveniatur, necesse est ut is, qui Cuniculum fodit, acu magnetica sese norit dirigere, ad eum fere modum quo nautae. Quo propius acceditur, semita angustior fiat, ut pulvis tanto validius in terram suppositam agat. Receptaculi G magnitudo, quam vis pro magnitudine molis dest ruendae varia sit, eo tamen erit meliot, quo angustior, modo pulveris vasculis recipiendis sufficiat. Ordinarie altum est 6 aut 7 pedibus, latum 5.

In Receptaculo pulvis reconditur: cujus quantitas definiri debet ex molis, quam cupis diffringere, gravitate. Caeterum experientia constat, vasculum pulveris 12 pedibus terrae ruinam inferre, ex quo licet colligere quamtum esse debeat. Vascula debent ita disponi, ut simul accendantur, quo validior sit effectus. Imposito pulvere, aditus Receptaculi H quam arctissime clauditur trabibus appositis: in quibus exiguumfit foramen, per quod tubulus per totam semitam subterraneam ducitur usque ad B, ut pulvis accendi possit. Omnia deinde summa diligentia terra obstuuntur, ne qua pulveri per Cuniculum erumpendi via laxetur.

Cuniculos autem agunt plures, ut uno deficiente succedat alter: atque adeo triplici via tentet in urbem evadere, nimirum recta et ruinae opposita et ex utroque latere, ut ex omni parte illos, qui ruinam et Abscissiones (les Rotrenchementes) defendunt, possint impetere,

PARS II. De Defensione Urbium obsessarum.

[note: ] HOc modo urbes nunc obsidentur, oppugnantur, et expugnantur. Iam de defensione earundem contra obsidentes et oppugnantes aliquid brevissime dicamus.

CAPUT IX. Brevissima pro defensione Obsessarum urbium instructio.

[note: Defensio urbium obsessarum quomodo fiat. ] SI quis collis, sylva, aut aliud vicinum hosti favere possit, statim solo aequetur, Cataractis remissis (si quidem id fieri possit) loca omnia inundentur. Ad partes urbis debiliores fortalitia, aut Opera Cornuta exstruantur, et si quid in Operibus externis debile aut dirutum erit, statim omni ex parte roboretur, atque adeo tota praesidiariorum manus, paucis exceptis, Opera externa defendant: his enim amissis, actum est de urbe.

II. Sub initium obsidionis crebro, sed prudenter, explodant obsessi, ta ut obsidentium Opera impediant, aut retardent, ne ipsi tamen absumpto pulvere citius (quod saepe accidit) ad deditionem compellantur.

III. Intelligat Gubernator per exploratores hostis consilia, in quas urbis partes praecipue intendat, et quo versus ducat fossas, in quas crebro erumpat, et repleat, vel contrariis Accessibus (Contrapproches) ab urbe institutis eas impediat, in quo praecipuum studium Gubernatoris esse debet: cum enim omnis hostium appropinquatio fiat per illos Accessus, fit ut, dum illis strenue occurritur, hostis ulterius progredi, et ad ipsa Opera accedere non possit. Hoc tamen observandum, ne obsessi fossa suas, quibus hosti occurrunt, usque adeo promoveant, ut facile ab hoste circumveniri, aut a reliquis possint separari: hinc ultra 800 pedes extendi non possunt. Observandum praeterea, ut Accessus suosita dirigant, ut a civitate stringi possint, ne deinde hosti occultando serviant.

IV. Praecipuum vero quod tormentis suis tam ex urbe, quam ex Operibus externis impedire debent obsessi, est primo ne Batteriae ullae exstruantur: hinc sicubi moles terreas, aut des blindes erigi advertunt, continuo dejiciant. Secundo ne hostis possit in campum prodire: alias enim qui fossas hosti contraductas defendunt, possent opprimi.

V. Excursiones pro numero militum faciat frequentes. Finis earum est, hostem e fossis suis abigere, illas destruere, tormenta hostilia clavis inutilia reddere.

VI. Ubi Opera externa fuerint intercepta, et Batteriae exstructae, primo tormenta sua tuta reddat, fissuras in lorica, et ulterius in vallo faciendo, in quas demissa tormenta tuto possint explodere. Hoc vocant enterrer lescanons. Secundo, partes illas moeniorum, quae tormentis quatiuntur, cuniculis suffodiuntur, aut intercipiendae videntur, rescindat, id est, faciat rescissiones, retrenchements.

VII. Hoste propugnaculum seu Cortinam suffodiente, omni cura indaget Cuniculum. Pro quo variae sunt praxes. Primo variis locis, quae suspecta sunt, tympana fortissime tensa constituantur, quibus pisa imponantur, quae si subsiluerint, indicium est istic infra hostem moliri cuniculum. Secundo terra variis locis longâ terebrâ perforetur, quae ne longitudine sua impediat, ex variis partibus componitur: aurem deinde ad ejus extimum applica, et facile hostiles fossiones percipies. Pari modo si baculo altius terrae impresso aurem applices, equitum ex longinquo adventantium pulsus distincte audies. Cuniculo reperto, pulvis efferatur, si tempus non sinat, madefiat, et aditusigni patefiat.

VIII. Ruinâ factâ hostis totis viribus invadenti resistat, primo tormentis, glandibus emissis ex rescissi onibus, retrenchements. Ante ipsam, et in ipsam ruinam injiciat aliquot granatas, ferramentis, clavis, etc. iramixtis. Per ipsam ruinam hosti occurrat obviam, et tam diu sustineat, donec succurri ruinae, et suggestâ tertâ ac trabibus possit occludi.

PARS III. De Tormentis bellicis.

[note: ] INter arma offensiva ac defensiva, quorum in obsidione, oppugnatione, ac defensione urbium est usus, praecipua sunt tormenta bellica, de quibus breviter aliquid dicendum.

CAPUT X. De variis Tormentorum generibus.

[note: Tormentorum bellicorum varia genera. ] OMissis aliorum divisionibus, ajo duas esse universim loquendo tormentorum nunc temporis usitatorum species, Canônes sive Carthaunas, et Colubrinas sive longiora tormenta. Charthauna integra, sive Canon integer, qui nunc passim in bellis adhibetur, habet longitudinem pedum 11 1/2, ponderat 6000 librarum, emittit pilam 40 librarum, oneratur 20, libris pulveris boni, aut 27 libris puveris communis, requirit equos 20, exploditur per horam novies aut decies.

Est aliud insuper genus conônum integrorum, qui globum ejaculantur 48 librarum, longi sunt 12 pedes.

Carthauna dimidia, seu dimidius Canonlongus est pedes 10 1/2, appendit 4000 lib. fert pilam 24. lib. requirit 12 lib. pulveris, equos 18, exploditur decies per horam.

Quadrans Carthaunae seu Canônis longus est pedes 10, appendit 2600 lib. fert pilam 10 lib. requirit 6 lib. pulveris, equos 15, dat ictus 14 per horam.

Colubrina integra, sive Serpentina, longa est pedes 14, ponderat 5000 lib. fert pilam 12 lib. requirit equos 13.

Colubrina dimidia, sive Aspis, longa est pedes 10, ponderat 2000 lib. pilam fert 5 lib. requirit equos 9, dat ictus per horam 13 fere.

Quadrans Colubrinae (Falconet) longus est pedes 10, ponderat 1600 lib. fert pilam 2 l. b. equos requirit 5. dat ictus per horam 20.

Tormenta praedicta, et alia quae vis, post quatuor horarum explosionem quiescere debent, nisi velis periculo rupturae exponere.

Olim tormentis multo majoribus utebantur, quae licet ruinam multo majorem faciant, mole tamen suâ et minus tractabilia, et vecturae sunt difficillimae Hujusmodi est Canon duplex. longus pedes 14, fert pilam 96 librarum ferri, tequirit pro pulvere 4 2/3 pilae, id est, libras 38 2/5. Item Colubrina

duplex, quem Droconem seu Basiliscum vocant, fert 40 libras ferri. Fundebantur etiam quae jaculabantur 36 libras, et longa erant 22 pedes.

CAPUT XI. De elevatione tormentorum, et ictus longitudine in qualibet elevatione.

[note: Tormentorum eiaculatio. ] PRimus et naturalis tormenti situs est horizontalis, quando scilicet tormentum ita constitutum est, ut axis ejus sit horizonti parallelus. Postrema et maxima ejus elevatio est, cum axis ad horizontem est normalis. Porro tormentum [note: Iconism. XXIX. Fig. 527. ] aprima ad postremam elevationem motum, describit quadrantem: quare omnis elevationum quantitas et varietas in quadrante continetur. Ut igitur diversae tormentorum elevationes distingui et mensurari possint, ligneum aut aeneum Quadrantem, in apposita Figura expressum, excogitarunt, cujus unum latus altero longius est per duos vel tres pedes, ut tormenti oripossit inseri. Arcum CD dividunt in 12 partes aequales: aliqui in 24, sed id non est necesarium, cum plerumque plures tormenti elevationes quam 12 distingui non soleant. Latus seu crus longius AB Galli vocant l' esquere.

Hoc instrumento datam tormenti elevationem reperies sic. Ori tormenti insere latus longius. Si perpendiculum ex A demissum congruat lateri AB, tormentum habet situm horizonti parallelum: nam licet tormentum crassius sit circa basim, concavitas tamen sive tubus est cylindricus. Si perpendiculum cadat supra 1. tormentum habet elevationem primam, quae etiam elevatio communis dicitur, si supra 2, habet elevationem secundam, si supra 6, habet elevationem mediam, in qua longissime ejaculatur.

Canon integer cujus globus 48 librarum est, in situ horizontali emitrit pilam ad 500 passus, sive 2500 pedes geometricos: in elevatione prima seu communi, 1000 passus, in media, 5964 passus.

Canon integer cujus globus 40 librarum est, ad distantiam paulo minorem ejaculatur globum suum, quam praecedens.

Canon dimidius in situ horizontali ad 425 passus, in situ communi ad 500, in medio ad 570.

Canonis quadrans globum defert in horizontali situ ad 375 passus, in communi ad 750, in medio ad 4480 passus.

Colubrina duplex in elevatione horizontali ad 714 passus, in communi ad 1429, in media ad 8504.

Colubrina cujus globus est 20. lib. in horizontali situ ad 360 passus, in communi ad 1260, in medio ad 7497. Similis fere est ictus in Colubrina cujus pila est 12 librarum.

Experimento compertum est, Falconetam emittentem pilam librarum 3, ejaculari in situ horizontali ad distantiam passuum 268, in prima elevatione ad 594, in secunda 794, in tertia 954, in quarta 1010, in quinta 1040, in sexta 1053.

In elevationibus sextam sequentibus iterum decrescit longitudo emissionis globi, usque ad elevationem perpendicularem.

Regulam universalem ad longitudinem ictus dati tormeni in elevatione data inveniendam, tradit Jacobus Ufanus, in hunc modum. Inquire longitudinem ictus dati tormenti in elevatione communi, sitque exempli gratia numerus passuum A, hunc di vide per 50, et quotum multiplica per 11,

et productum sit E, eritque haec maxima digressio. Tum E adde ipsi numero A, scilicet longitudini ictus in elevatione communi, habebis longitudinem ictus tormenti, quando elevatum est ad 2. grad. quadrantis, hoc est, ad proximum gradum post elevationem communem, qui secundum ipsum respondet primo gradui: maximam deinde digressione E divideper 44, et quotus sit F, hunc si subtrahas a maxima digressione E, et reliquum addas ad longitudinem secundi gradus, habebis longitudine ictus in elevatione trium graduum. Rursus quotum F subtrahe bis ex digressione maxima E, si residuum addas longitudini gradus tertii, habebis longitudinem gradus quarti. Ad gradum quintum quotus F a digressione maxima E subtrahendus est ter, ad gradum sextum quater, et sic deinceps.

Hoc de tormentis, nunc vero longitudinum proportionem quae est in mortariis, exhibeo ex mente laudati Jacobi Ufani in suo de Artilleria tractatu.

In situ horizontali longitudo ictus est passuum communium (pedum scilicet duorum cum dimidio) 220. In elevatione prima [scilicet in 12] passuum communium 487, in secunda 755, in tertia 937, in quarta 1065, in quinta 1132, in sexta 1170, in septima 1132, in octava 1005, in nona 937, in decima 755, in undecima 487.

Notandum tamen, variationen ex multis circumstantiis contingere, ut puta ex pulvere, ex aere, etc. itaque porportio praedicta locum tantum habet quando omnia sunt paria, quae tamen ipsa non consistit in indivisibili.

CAPUT XII. De collimatione iaculantis.

[note: Tormentorum bellicorum collimatio. ] SUppono I. Rectitudinem lineae quam describit globus ex tormento excussus, totam oriri ab impetu quo globus ex tormento excutitur. Itaque si impetus erit major, linea erit rectior, si minor, minus recta. II. Globum tormento excussum ad nullum spatium ferri recta linea. III. Globum in initio semper ferri supra lineam animae seu axis tormenti. His suppositis

Dico I. Si supra orificium tormenti erigatur dimidium differentiae oris et basis, et imponatur regula lignea habens dioptras, perque eas collimetur, ita ut linea visualis sit parallela lineae animae, si etiam scopus fuerit in linea visuali, globus tormenti duobus locis potest scopum attingere, in duplici videlicet intersectione lineae globi cum linea visuali, quarum una sit in ascensu globi in initio, altera in descensu si vae sine volatus globi. Sequitur ex dictis.

Dico II. Si scopus fuerit in linea animae, poterit globus tantum semel scopum attingere. Linea enim globi tantum semel, nimirum in descensu, seu fine, secat lineam animae, cum initio, tam in tormento, quam extra, feratur supra lineam animae.

Ex his sequitur, globum nunquam attacturum s[?]opum, nisi in communi inter sectione lineae globi et lineae directionis, sive illa sit linea animae, sive visualis. Puncta vero illa intersectionis variantur expluribus casibus. Primo, si anima tormenti non sit ubique sibi aequalis, aut certe in medio tormenti declinet ad alterutrum latus. Secundo, si globus sit nimis parvus: tunc enim libratur in canali tormenti, nec certa via procedit. Tertio, si nimis multum vel parum pul veris sit, quo enim plus pulveris est, eo globus magis sursum rapitur, et longius fertur, adeoque mutantur puncta inter sectionum.

Ut igitur quis bene in scopum possit collimare, haec erunt observanda. Primo, distantia scopi. Secundo virtus pulveris quo utitur: nam pro illius diversitate varianda est illius quantitas, quam tormentum requirit. Tertio, quanta sit sphaera tormenti maxima, quanta dum horizontaliter jaculatur.

Pro mortariis hoc obser vandum, ut mensura pulveris sit tertia pars globi seu granatae quam ejaculatur.

CAPUT XIII. Alia quaedam de tormentis.

[note: Tormenta bellica quando rumpantur. ] PEricula rupturae tormenti sunt quando fortiter tormentum recedit, quando sphaera nimis magna est, ac proinde violenter intruditur, quando tubus aeriginem contraxit, quando nimium pulveris, aut tenuior pro crassiori adhibetur, quando materia tormenti fuerit squamosa, et minime tenax, plena vesicis, ac rimas agens.

Universaliter non est verum, quo tormenta aequalis orificii longiora sunt, eo globum longius ejicere: nam experientia constat, ab 8 usque ad 12 pedes inclusive aucta longitudine tormenti, augeri quoque vim et longitudinem ictus, ultra vero 12 pedes si augeatur longitudo tormenti, decresere longitudinem ictus.

Globus tormenti majori excussus conficit duobus minutis unius horae unum milliare Germanicum, seu quatuor Italica, quorum unum continet 1000 passus geometricos, seu 5000 pedum, observante id Landgravio Hassiae, et Tychone Brahe. Ex quo colliges, quantum quis temporis habeat in data distantia ad declinandum ictum post visam flammam et fumum. Distet enim quis 3000 pedibus. Quoniam igitur 2 minutis percutruntur 20000 pedum: Fiat ut 20000 ped. ad 2 minuta, ita 3000 ped. ad aliud, habe bis quaesitum.

Dati globi ferrei gravitatem explorant sic. Circino cujus extremitates crurium intus curvantur, metiuntur globi diametrum, et illius diametri quantitatem applicant regulae colibisticae, et inveniunt quod quaerunt. Haec sufficunt hoc loco.

LIBER XXIV. DE TACTICA HODIERNA. Sive De Castrametatione, et acierum Instructione.

PROOEMIUM.

[note: [note: Tactica. ] TActicam hic appello distributionem ac ordinationem exercitus, tam in castris, quam in acie, ideo duplicem illam statuo, aliam castrorum, aliam acierum, quarum illam voco Castrametationem, hanc acierum Instructionem. De utraque brevissime agam, et quidem de hodierna tantum apud praecipuos Europaeos usitata. Antiquam Graecorum ac Romanorum qui nosse volet, legat Polybium, Vegetium, Aelianum, Iustum Lipsium, Ioannem Antonium Valtrinum, et alios. Et ne mihi occinatur quod Magnum Alexandrum nescio cui Philosopho de rebus Militaribus aequo audacius ac liberius disserenti occinuisse ferunt, nihil toto hoc libro de meo, sed quae alii cum plausu et approbatione summorum Polimarchorum scripsere, afferam. Aequi ergo ac boni, ut in aliis, sic in hoc quoque laborem meum, Lector, consule. ]

PARS I. De Tactica Castrorum, seu Castrametatione.

[note: Castrametatio. ] TActica castrorum idem est ac Castrametatio. Castra autem metari nihil aliud est, quam locum in campo designare, ac in partes dividere, ut totum exercitum cum omnibus impedimentis ordinate capiat. Quod ut exacte fiat, nosse prius oportet castrametatorem, quae in castris capi debeant: tum numerum legionum, et cohortium, tam peditum, quam equitum: et quantum loci singulae cohortes requirant: Si enim quantum loci uni cohorti debeatur, sciat: ignorare non poterit, quamtum uni legioni, atque adel toti debeatur exercitui.

CAPUT I. Catalogus eorum quibus diversa Castra seu Quarteria in castrametatione attribui debent.

[note: ] I. GEnerali. 2. Singulis nationibus, et inter has singulis legionibus, et singulis cohortibus p[?]ditum. 3. Singulis legionibus et cohortibus equitum. 4. Tormentis bellicis. 5. Curribus et impedimencis. 6. Foro in quo annona, et alia venalia exponantur. 7. Annonae militari, pulveri nitrato, globis ferreis, naviculis, scalis etc.

His cognitis, intelligat Castrametator singularum legionum et cohortium numerum, uti et tormentorum, curruum etc. dein singulis aptum locum designet.

Sed ante omnia tutum pro castris, aptumque eligat situm, praesertim hoste vicino, ubi et lignorum, et pabulorum, et aquarum suppetat copia; et si diutius sit commorandum, loci salubritatem non negligat. Caveat etiam ne mons aut collis sit vicinus, qui ab hoste captus, possit officere suis. Talis tandem sit locus, in quo olecta castra muniri queant. Muniuntur autem vel situ seu naturâ loci, vel arte. Graeci olim situm munitum quaerebant; Romani vero non tam situ, quam arte castra muniebant. Hinc licebat his semper eandem castrorum formam sequi: siquidem ipsi situm sibi obedire, non ad situm ipsi se accommodare malebant: quod Graecis minus succedebat, dum situm sequi necesse haberent. Recentiores nostri hac in re Romanos potius quam Graecos imitantur, ut ex sequentibus patebit.

CAPUT II. Locum singulis cohortibus ac legionibus peditum adsignare.

[note: Iconism. XXX. Fig. 528. ] COhorti peditum 100 militum locus detur per modum rectanguli AB, longus 200 ped. latus 30; quo juxta latitudinem diviso trifariam, medium relinquatur plateae, duo lateralia casis militum, et tentoriis.

Si capitaneus seu tribunus cohorti velit cohabitare, fiat ipsi ad caput praedicti rectanguli AB quadrangulum C, 30 pedes latum, 40 longum, interstitio 20 pedum relicto inter ipsum et militum rectangula. Ad finem ejusdem rectanguli AB adsignetur locus D pro caupone, longus pedes 20, latus 30, relicto iterum spatio 20 pedum inter D et rectangula militum. Tuguria militum ita aedificantur, ut ostia respiciant plateam intermediam, exceptis duobus primis A et F, quorum unum vexilliferi est, alterum locum-tenentis, et ostia respiciunt versus locum C capitanei: ultimorum vero E et B ostia respiciunt locum D. Non sunt contigua inter se tuguria, ut exorto incendio unum sine altero destrui facile queat. Itaque totum spatium pro cohorte 100 peditum est 300 pedum in longitudine, et 30 in latitudine, ut patet ex numeris Figurae 528 adscriptis. Latitudo tentoriorum militarium manet semper eadem; longitudo singulorum potest ac solet esse major, aut minor, prout solis aut associatis habitare placet.

Si cohors continet plures quam 100 milites, plures fiunt series tuguriorum, et plures plateae intermediae, et consequenter latitudo rectanguli AB augetur, uti et latitudo loci C pro capitaneo; at longitudo semper manet eadem.

[note: Iconism. XXX. Fig. 529. ] Hinc si scitur numerus cohortium alicujus legionis seu regimenti, facile designatur toti legioni suus locus. Sit enim legio 10 cohortium, quarum singulae 100 capita numerent. Ponantur 10 rectangula A, B, C, D, E, F, G, H, I, K eâ quantitate, quam ante dedimus, sic tamen, ut et quinque sint ab una, quinque ab alia parte; et relinquatur spatium S, M, R, intermedium 60 pedum in latitudine. Interstitium vero inter singula rectangula sit 8 pedum. Ad frontes singularum cohortium sint quadrangula L L L tribunorum seu capitaneorum, quorum medium Poccupet Colonellus seu Dux legionis. Singula quadrangula L habeant in latitudine pedes 30, in longitudine 40. Intervallum inter Illa sit 8 pedum. Ad tergum designetur locus NO, latus 20 pedes, pro cauponis annona, et curribus etc. inter quem locum et tuguria iterum relinquatur spatium 20 pedum vacuum. In R habitat Locum-tenens Ducis, post ipsum in M, Secretarius, Concionator, Chirurgus, aliique similes. Spatium S maner vacuum pro curribus et impedimentis Ducis, aliorumque in R et M habitantium.

Annotatio.

[note: ] ALii loco P quem Dux legionis seu Colonellus accupat, dant 64, alii 68. pedes in latitudine, et 40 in logitudine: locis vero LL, seu tabernaculis Tribunorum dant nobiscum in longitudine quidem 40 pedes, at in latitudine solum 24. atque adeo singulisrectangulis A, B, C etc. non nisi totidem in latitudine pedes adsignant, adeo ut tam militum tabernacula, quam plateae intermediae inter duas tabernaculorum series, non nisi 8 in latitudine pedes occupent. In longitudine tamen eorundem tabernaculorum nobiscum conveniunt, dando unicuique 10. pedes, toti vero seriei omnium tabe[?]aculorum in longit udine pedes 200. Sunt igitur in qualibet serie tabernacula 20, et e regione unius cujusque Tribuni L tabernacula 40.

CAPUT III. Locum singulis cohortibus ac legionibus equitum adsignare.

[note: Iconis. XXX. Fig. 530. ] PRo cohorte equitum 100 capitum sit rectangulum A B C D, 200 pedes longum, 70 latum. Hinc utriinque ad AB et CD abscinduntur rectangula BF, et DE, 10 pedum pro casis militum: tum a residuo rursus duo abscinduntur rectangula FH, et KE, 5. ped. pro plateis; rursus a residuo abscinduntur utrimque rectangula HI, et KL 10 pedum pro equis: residuum spatium IL 20 pedum servit pro ingressu et egressu equorum, pro stabulo et

fimo eorundem. Itaquein BF et DE sunt tuguria pro equitibus; in HI et KL tuguria equorum. In fronte pro Magistro equitum datur spatium MN, longum pedes 40, latum 70; inter quod et tuguria militum intercedit spatium 20. pedum. Ad pedes datur pro cauponibus, eorumque annona et impedimentis, spatium OP longum pedes 20, latum 70; inter quod et tuguria relinquitur spatium 20 pedum. Itaque totum spatium pro cohorte 100 equitum, est longum pedes 300, latum 70.

Si coho[?]s equitum pauciora numerat capita, idem spatium occupat, sed tunc inter quaelibet, aut saltem inter aliqua tuguria relinquitur spatium vacuum; aut ea fiunt laxiora quoad longitudinem, non quoad latitudinem. Si plura capita quam 100 continet cohors, fiunt plures series tuguriotum, id est, spatium quoad latitudinem crescit, at non quoad longitudinem.

Singulis itaque cohortibus equitum adsignatur spatium quantum diximus, et inter singularum cohortium spatia relinquitur locus 20 pedum in latitudine. Hinc si scitur numerus cohortium alicujus legionis, scitur totus locus legioni debitus.

CAPUT IV. Locum Generali exercitus adsignare.

[note: Iconism. XXX. Fig. 531. ] PRo Principe seu Generali exercitus (Polemarcho) fiat rectangulum AHF, 300 pedes latum, 400 (aut aliquando pauciores) longum, utrimque abscindantur rectangula AB, DF, lata 100 ped. et ex AB abscindatur rectangulum AG longum 6 ped. pro stabulo equorum principis; reliquum GH sit pro impedimentis et famulis. Rectangulum BC DE est pro equis aulicorum et nobilium. Rectangula GGG, quae 50 pedibus distant a BH, DF, rectangulis, a se invicem vero 25 pedibus. et lata sunt 30 pedes, longa 40, sunt pro habitatione aulicorum, nimirum pro Secretario, Cubiculario, Oeconomo, reliquisque nobilibus Principis. Rectangula OOO sunt cubicula, antecamerae etc. Intermediae vero distantiae sunt transitu[?], per quos ab uno in aliuditur. Rectangulum P est locus vigiliarum; et RI le corps de gardes; Reliquum DF est pro curribus, reliquisque impedimentis. in spatio vacuo circa MN congregantur Tribu[?]i aliique officiales exercitus, qui quotidie Generalem conveniunt.

CAPUT V. Locum pro tormentis bellicis, et spectantibus ad illa adsignare,

[note: Iconism. XXX. Fig. 532. ] PRo tormentis bellic[?]s parallelogrammum OP, sit latum 300, longum 480 pedes. A, pro Generali Artilleriae. B, pro Locumtenente, et reliquis nobilibus. C, armamentarium tormentorum. D, Armamentarium annonae tormentariae. E, Igniarii, cum suis adhaerentibus. F, Directores tormentorum (conestables) cum reliquis. G, Magister curruum, cum omnibus aurigis, fabris ferrariis, lignariis etc. H, Milites qui tormentis adsunt ut de loco in locum moveant I, Fossores etc. Mensurae singulis loculamentis sunt adscriptae.

CAPUT VI. Locum pro curribus et aurigis, ac pro foro adsignare.

PRo curribus et aurigis rectangulum 300 pedes latum, 400 longum datur, quod pro numero curruum augetur et diminuitur. Ponuntur currus longo ordine juxta se invicem. Pro singulis una cum equis dantur pedes 12 in longum, 18 in latum, nimirum 12 pro longitudine curruum, et 6 pro latitudine, reliqui pro equis. Inter duos quosque ordines curruum sit spatium 24pedum. Aurigae communiter in curribus suis morantur.

[note: Iconism. XXX. Fig. 533. ] Pro foro rectangulum 300 pedes latum, 400 longum sumitur; quod dividitur in rectangula 40 pedes lata, spatio 300 pedes longo relicto.

Subjicio schema totius castramecationis; in quo A est locus Principis seu Ducis exercitus, B sunt tormenta bellica, C forum, D currus, E Hispani, F Germani, G vigiliae Principis, H Valones, I Angli et Helvetii, K Itali.

PARS II. De Tactica acierum, seu aciei instructione.

[note: Aciei instructio. ] TActica acierum idem est ac instructio aciei militaris, sive ad praeliandum, sive ad progrediendum. Pro ea damus sequentia.

CAPUT VII. Explicantur termini scitu necessarii pro acie instruenda.

ANte aciei instructionem termini aliqui sunt explicandi, quid nimirum sit ordo, quid manipulus, quid acies, quid exercitus.

[note: Ordo militum. ] Ordo est numerus militum in longitudinem fil[?]instar porrectus. Italis dicitur Filo, Gallis Fil, Germanis Glidt. Ordo duplex est, frontalis, et lateralis. Frontalis est, in quo latus militis unius respondet lateri alterius. Lateralis est, in quo frons unius alterius tergo respondet. Extremi ordines alicujus Manipuli militaris sunt frons, tergum, dexterum, sinistrum; Italis testa, coda, fianchi.

[note: Manipulus militum. ] Manipulus, qui Italis Squadra vel Squadrone, Gall s Esquadron dicitur, est numerus militum formâ quadrilaterâ instructus. Estque vel quadrata, vel rectangularis alterâ parte longior.

[note: Acies militaris. ] Acies est numerus manipulorum certâ formâ dispositus, Differt itaque a manipulo in magnitudine, in figura, in qualitate militum. In magnitudine, quia componitur ex pluribus manipulis: in figura, quia potest esse ejusdem, et diversae figurae, ut quadratae, oblongae, triangularis, rotundae, Polygonae: in qualitate militum, quia constat ex militibus diversae armaturae; cum manipulus plerumque unius armaturae militem contineat.

[note: Aciei militaris partet. ] Aciei partes sunt, Cornua, Alae, Frons, Tergum, Corpus. Corpus est aciei pars media. Frons, sive Auangarde Gallis, Antiguardin Italis, est

pars aciei anterior. Tergum, sive Arriereguarde Gallis, Retroguardia Italis, est posterior pars. Cornua sunt manipuli militum ad frontem corpori extantes. Alae sunt partes laterales aciei, quae corporis latera defendunt.

CAPUT VIII. De forma Aciei.

[note: Aciei forma qualis esse debeat. ] ACiei forma nulla est certa; mutatur enim ad diversitatem circum stantiarum, et ad cujusque Ducis libitum. Cogunt aliqui totum exercitum in unam formam regularem, nimirum quadratam, parallelogrammam, triangularem, polygonam etc. Sed Vitium in his est multiplex. Primo, quod totum corpus simul praelium inch[?]et; quod tamen maxime evitandum: si enim primo pars alterutra deficere incipiat, mox acies declinat, nec modus est sine strage aciem subducendi, Secundo, quod parte unâ deficiente, altera auxilio esse non possit, nisi ordo regularis frangatur, adeoque acies turbetur. Tertio, quod deletâ unâ parte aciei, reliqua se contrahere non possit, nisi rursus ordo turbetur, aut fiat plane irregularis.

Melior igitur, et plerumque usitatior est acies, quae in plures partes dividitur, et non tota simul, sed singulatim praelium init.

CAPUT IX. Ordo proeliandi, acie iam instructa.

[note: Proeliandi ordo. ] ANtequam intra ictus sclopetorum ventum est, tormentis certatur, et alterutrum plerumque Cornu conantur debilitare. Tum paulatim procedendo committuntur leves velitationes, tam peditum, quam equitum. Deinde Fions sive Anteguardia in hostem procedit, cornua manent immota, et non nisi cum reliquo corpore procedunt. Defensive tantum se gerunt Cornua, et Corpus.

II. Equitatus partes seu officia sunt; primo, hostilia cornua, aut alas, adeoque totam aciem conati infiringere; Secundo, equitatui hostili resistere; Tertio, conari alas et cornua a corpore dividere, et divisos opprimere.

III. Tormenta bellica plerumque cessant dum ad sclopeta et manus ventum est, ne mixtos utriusque acieimilites dejiciant.

IV. Ducis locus est plerumque medium aciei, ibique habeat plurimos cursores, qui singuli ei referant quid tali vel tali parte aciei contingat. Si cornu unum audiat debilitari, aut vehementer impeti, eo statim per cursorem jubeat unam alteramve legionem procedere; et hac ratione partibus singulis aciei adsit, succurrat, jubeat procedere, conjungi, separari etc.

V. Currus et impedimenta a tergo sunt, aut in castris, sub custodia militum, ne hostis, pugnantibus aliis, possit illa invadere.

CAPUT X. Axiomata quaedam ad aciem bene instruendam.

[note: Axiomata pro acie militari. ] TOta aciei constructio proportionari debet et accommodari circumstantiis rerum praesentibus. Hinc ut aciem bene quis instruat, I. Sciat necesse est quâ parte hostis adveniat, et an ex una tantum parte, aut ex pluribus possit accedere.

II. Vires peditatus et equitatus hostilis cognitas habeat. Et si in aperto sit campo, exploret quali acie instructus sit; quales ordines habeat etc. quae ala, aut quod cornu debilius, aut fortius; quomodo sint animati; quae agitent consilia; an nullae lateant insidiae etc.

III. Consideret omnino omnia quae sibi obesse, aut prodesse, vel praejudicare possint. Galli vocant les auantages, et les desavantages; Itali Liauantagi et disauantagi.

Les auantages (liceat hoc uti vocabulo) sunt duplices, aliae permanentes, aliae transeuntes. Permanentes auantages spectant locum seu campos sibi in pugna faventes; quia altiores per modum collium multum prosunt. Deinde illo loco aciem ponat, ad quem hostis unicâ tantum viâ accedere possit. Hinc conetur ad latera, vel a tergo habere sylvas, aut paludes, ut tuto, si acies incipit declinare, illam possit subducere. Quare nunquam sic aciem in apertum campum ducat, ut ex omni parte possit impeti, aut circum veniri. Transeuntes auantages sunt, aura pugnae favens, ventus propitius; Sol ex latere, vel a tergo, ne oculi perstringantur.

Les desauantages etiam duplices sunt: aliae dicuntur positivae, aliae negativae. Positivae sunt, locus demissus, undique hosti patens. Negativae sunt infinitae, ex circumstantiis locorum, temporis etc. ortae.

IV. Nunquam totum exercitum e castris in apertum campum ducat, tametsi numero hostem multum superet, aut multa hosti praejudicent: praestat enim ex omni capite castris suis inhaerere, et hostem exspectare, quam in apertum campum descendere.

V. Nunquam hostem in castris suis haerentem aggrediatur, nisi stratagemate illius vires possit dividere, vel partem exercitus caerdere, aut multa hosti praejudicent.

VI. Imperator semper invigilet omnistudio, quomodo hosti possit illudere, ejus consilia explorare, sua nulli, aut paucis innotescant; hostem semper suspensum teneat, varia attentando, simulando etc.

CAPUT XI. Regulae ad Tacticam manipulorum spectantes.

[note: Aciei instruendae regulae. ] NOtandum, in peditatu esse potissimum hastatos moschettario, et sclopetarios. Haftato trib[?]untur 3 pedes geometrici in lacum, sive in ordine frontali; et 7 in longum, sive in ordine laterali. Moschettario 4 pedes in latum, 5 in longum.

Sclopetario 3 1/2 in latum, et 4 in longum. In necessitare, ne opus sit uti passibus geometricis, et unicuique diversae armaturae militi tribuere spatium particulare; aliqui ad explorandum quam citissime spatium, mensurant gressibus communibus parvis, quorum unus non excedat duos pedes, latitudinem et longitudinem soli: deinde uni militum in communi, cujuscunque sit armaturae, tribuunt in latum duos gressus, et in longum quatuor; spatio vero sive viae inter alas seu manicas diversas talem adsignant latitudinem, ut per eam sine impedimento transiri queat. Nos adsignamus Regulas juxta primum modum: ex quibus etiam patet, quid faciendum juxca secundum modum.

Regula I. Dato numero militum alicuius manipuli dispositi, invenire quot pedes quadratos occupent.

[note: ] SI sunt hastati, duc numerum militum in 21; Si Moschettarii, in 20. si Sclopetarii, in 14. in omnibus casibus productum dabit numerum pedum.

Regula II. Dato numero pedum quadratorum quos occupat manipulus, invenire numerum militum.

[note: ] SI sunt hastati, numerus pedum dividatur per 21. si moschettarii, per 20. si sclopetarii, per 14. in omnibus casibus quotus dabit numerum militum.

Regula III. Dato numero militum occupantium frontem, invenire pedes frontis.

[note: ] SI sunt hastati, multiplicetur numerus militum per 3. si moschettarii, per 4. si sclopetarii, per 3 1/2. in omnibus casibus productum dabit quaesitum.

Regula IV. Dato numero pedum quos occupat frons, invenire numerum militum.

[note: ] SI sunt hastati, dividatur numerus pedum per 3. si moschettarii, per 4. si sclopetarii, per 3 1/2 in omnibus casibus quotus dabit quaesitum.

Regula V. Dato numero militum occupantium spatium, invenire pedes spatii, et vicissim, dato numero pedum spatii, invenire numerum militum.

[note: ] PRo primo, multipliectur numerus militum vel per 21, vel per 20, vel 14: et habebis pedes. Pro secundo, et dividatur numerus pedum per 21, vel 20. vel 14: et habebis milites. Haec regula non differt a prima et secundae.

Regula VI. Dato numero militum occupantium, latus, invenire numerum pedum lateris, et vicissim, datis pedibus lateris, invenire milites occupantes latus.

[note: ] PRo primo, multiplicetur numerus militum vel per 7, vel per 5, vel per 4; productum dabit quaesitum. Pro secundo, dividatur numerus pedum vel per 7, vel per 5, vel per 4; quotus dabit quaesitum.

Regula VII. Dato numero militum formantium manipulum, et numero eorum qui frontem occupant, invenire numerum occupantium latus: et vicissim, dato numero occupantium latus, invenire numerum occupantium frontem.

[note: ] PRo primo, dividatur numerus militum per numerum frontis; et habebitur latus. Pro secundo, dividatur numerus militum per numerum lateris, et habebitur frons.

Regula VIII. Dato numero militum frontis, et data [orig: datâ] in numeris proportione frontis ad latus, invenire latus: vel dato numero militum lateris, et proportione eius ad frontem, invenire frontem.

[note: ] SIt frons ad latus, sicut numerus A ad numerum B. Fiat ut A ad B, ita numerus frontis ad aliud; et ha bebitur latus. Item fiat ut B ad A, ita numerus lateris ad aliud; et habebitur frons.

Regula IX. Data [orig: Datâ] fronte et latere, invenire numerum omnium militum.

Corollaria.

[note: ] SImili ratione, dato numero pedum frontis, et spatio quod occupat totus manipulus, aut numero omnium militum, invenitur numerus pedum lateris; aut numerus frontis per numerum lateris, per Regul. 7. Item, dato numero pedum frontis, et proportione frontis ad latus, aut e contrario, invenitur et frons, et latus, per Regul. 8. Item dato numero pedum frontis et lateris, invenitur numerus pedum totius spatii, per Regul. 9.

CAPUT XII. Aliae Regulae ad Tacticam manipulorum spectantes.

Regula X. Dato numero militum, et determinato numero pro quolibet ordine, invenire numerum ordinum.

[note: ] DIvidatur numerus militum per numerum determinatum; quotus dabit quaesitum. Sint milites 60, e quibus struendus manipulus, cujus singuli ordines habeant milites 5. Dividantur 60 per 5; quotus 12 dabit numerum ordinum

Regula XI. Dato numero militum, et determinato numero ordinum, invenire numerum militum pro quolibet ordine.

[note: ] Divide munerum militum per numerum determinatum, quotus dabit quaesitum. Sint milites 60, ordines futuri 12; dividantur 60 per 12. quotus 5 est numerus militum qui quaeritur.

Regula XII. Dato numero ordinum, et numero militum pro quolibet ordine, invenire numerum militum necessarium ad manipulum formandum.

[note: ] MUltiplica numerum ordinum per numerum militum cujuslibet ordinis; productum dabit quaesitum. Vis habere ordines 20, et milites 7 in quolibet ordine: multiplica 20 per 7, et productum 140 est numerus quaesitus.

Regula XIII. Dato spatio, invenire quot milites requirantur ad instruendum in ipso manipulum.

[note: ] MEnsura latitudinem et longitudimem spatii in pedibus: latitudinem divide per numerum pedum quos miles occupat in fronte: longitudinem verô divide per numerum pedum quos idem miles occupat in latere: primus divisor dabit numerum pro fronte, secundus pro latere: et multiplicati inter se, dabunt numerum omnium militum.

Regula XIV. Date numero militum, formare manipulum arithmetice quadratum.

[note: ] IDest, ut tor sint in fronte, quot in latere. Ex dato numero extrahe radicem quadratam, et habebis numerum tam capitum unius ordinis, quam ipsorum ordinum. Quod remanet post radicem extractam, est extra ordines.

Regula XV. Dato numero militum, formare manipulum geometrice quadratum.

[note: ] IDest, ut spatium quod occupant, sit quadratum 1. Datum numerum militum muitiplica per spatium quod unus miles occupat in latere: 2. Productum divide peripatium quod idem occupat in fronte: 3. Ex quoto extrahe radicem quadratam; et habebis numerum militum pro ordine frontali: 4. Per hunc numerum divide totum numerum militum datum; et habebis tam numerum ordinum, quam militum pro ordine laterali. EXEMPLUM. Sit datus numetus militum hastatorum 1000. Multiplica 1000 per 7, et productum 7000 divide per 3. habebisque 2333, et remanebit 1. radix quadrata numeri 2333. est 48, et remanent 29. Militcs ergo 48 erunt in latere frontali. Divide jam 1000 per 48, et habebis 20, remanebuntque 40; erunt ergo ordines, 20 et totidem milites in ordine laterali. Omitto multa alia quae dici possent.

LIBER XXV. DE HARMONICA, SEU MUSICA.

Prooemium.

[note: [note: Musica sive Harmonica. ] DE Harmonica, seu Musica, quam scientiam contemplandi et exercendi concentum definit Euclides, tam multis ac varie scripserunt prisci, semiprisci, ac recentiores plurimi, quos inter est Euclides, Ptolemaeus, Aristoxenus, Alipius, Boethius [orig: Boëthius], Stapulensis, Zarlinus, Mersennus, Keplerus, Kircherus, aliique multi, insignes Mathematici, ut merito quis suspicetur, eam non ultimam esse Mathematicarum Disciplinarum; nec oscitanter tractandam, quae tanta [orig: tantâ] ab illis est accuratione pertractata. Nihilominus si quis Graecorum scripta evolvat, reperiet totam eorum Musicam (quae quidem scriptis est consignata) in alio non consistere, quam in consideratione sonorum, intervallorum, consonantiarum, tetrachordorum, systematum, generum, aliorumque similium. Nec ab his diversa tradunt Latini ingentibus voluminibus, nisi quod Latinorum etiam seu Modernam Musicam utcumque explicent, insuperque Melopoeiam seu componendi artem adiungant. In utramque Musicam, Graecorum inquam, et Latinorum, ne nihil de illa scripsisse videamur, sequentem damus Introductionem; reliqua quae longioris sunt indaginis, Tiro ex citatis Auctoribus petet. Nonnulla ex his tradidimus etiam Par. 2. Magiae lib. 6. ]

CAPUT. I. De Musica Graecorum, in quo consistat, quomodo nata, et propagata.

[note: Musica Graecorum in quo consistat. ] Ota Graecorum Musica conconsistebat praecipue, ut dixi, inconsideratione sonorum, intervallorum, consonnatiatum, systematum, generum, tonorum, aliorumque similium.

I. De Sonis Musicis.

[note: Musicus sonus. ] SOnus omnis qui in Musica adhibetur, aut gravis est, aut acutus. Gravis est, quando depressus seu profundus est; acutus, quando altus seu elatus. Uterque [gap: Greek word(s)] Graece, hoc est, Phtongus appelatur a Boethio, et alijs: qui si melodiae aptus est, dicitur [gap: Greek word(s)] si ineptus, [gap: Greek word(s)] Melodiae aptum sonum seu phtongum Euclides vocat concinnum vocis casum adu[?]am extensionem; Proclus vero, sonum carentem intervallo; quod Herigonus bene sic interpretatur: Le sonest la voix quitient ferme sur une mesme note. Quod qua ratione intelligendum sit, ex mox sequentibus patebit.

II. De Intervallis Musicis.

[note: Musica intervalla. ] SOnus qui in Musica adhibetur ad harmoniam efficiendam, non manet semper sibimet ipsi aequalis, nec semper retinetur idem, sed variatur, nunc ex gravi in acutum ascendendo, nuncex acuto in gravem descendendo, ut fiat varia et concinna gravium et acutorum sonorum permixtio. Distantia igitur, quae est inter gravem et acutum sonum, appellatur Intervallum, graece [gap: Greek word(s)] . Unde Boethius sic illud definit: Intervallum est soni acuti, gravisque, distantia. Et Euclides in sua Musica: Intervallum inquit, est, quod continetur duobus sonis, acumine et gravitate differentibus. Ex diversa igitur sonorum gravium et acutorum mixtura, nascuntur diversa [gap: Greek word(s)] , seu Intervalla: de quorum numero, divisione, ordine, consonantia, dissonantia, alijsque affectionibus, tanta est apud Auctores varios, tam antiquos, quam modernos, sententiatum diversitas, ut vixunus cum altero conveniat. De intervallis Musicis mox plura dicemus, ubi et Tabulam praecipuorum Intervallorum dabimus.

III. De consonantiis ac Dissonantiis Musicis, iterumque de Inter vallis.

[note: Musicae consonantia ac dissonantia. ] EX varia acutorum et gravium sonorum ac vocum, quocunque intervallo distantium, permixtione oritur varius concentus, ex occursu seu concursu sonorum acuti et gravis compositus, quorum alius naturaliter est gratus auribus, alius ingratus. Illum Musici Consonantiam, hunc Dissonantiam appellant. Consonantia igitur (quam Graeci appellant [gap: Greek word(s)] .) est acuti soni gravisque mixtura, suaviter auribus accid us. Dissonantia (quam Graeci [gap: Greek word(s)] vocant) est eorundem sonorum mixtura, aspere et injucunde auribus accidens. [note: Unisonus non est intervallum Musicum. ] Ex his colligitur, Unisonum non esse consonantiam: est enim unisonus (graece [gap: Greek word(s)] ) sonus sibi aut alteri omnino aequalis, aut geminus aequalium chordarum aut vocum sonus, sine remissione ac intensione. Colligitur praeterea, Intervalla Musica alia esse consona, alia dissona.

[note: Consonantiam sonorum quomodo deprehenderint Graeci. ] Qui porro soni seu phtongi consonantiam efficerent, qui dissonantiam, primi Graecorum didicerunt ex judicio aurium, hac, ut reor, viâ. Multas chordas, seu ejusdem, seu diversae crassitiei ac longitudinis, extenderunt super eandem tabulam instar cistae aut chelys majoris concavam, easque ita tendiculis quibusdam traxerunt, ut, cum digito aut plectro tangebantur, una acutius sonaret quam altera, ascendendo ab infima seu gravissima, usque ad supremam seu acutissimam. Atque hoc totum systema chordarum vocarunt scalam harmonicam; singulas vero chordas, et consequenter singulos sonos, appellarunt gradus, quoniam ex ijs veluti gradibus scala chordarum effecta erat. Incitarunt deinde simul duas quaslibet chordas, combinando nunc infimas cum medijs, et supremis, nunc medias cum his atque illis. Et quarum simul concitatarum sonus accidebat gratus autibus, eas consonantiam efficere asseruerunt; quarum ingratus, dissonantiam. Ac priorum quidem intervallum appellarunt consonum, posteriorum dissonum. Praeterea intervallum inter duas proximas chordas, hoc est, inter primam et secundam, appellarunt [gap: Greek word(s)] , per duas; intervallum vero inter tres, hoc est, inter primam et tertiam omissâ secundâ, appellarunt [gap: Greek word(s)] , per tres; inter quatuor, [gap: Greek word(s)] , per quatuor; inter quin que, [gap: Greek word(s)] , per quinque; inter sex, [gap: Greek word(s)] , per sex; inter septem, [gap: Greek word(s)] , per septem; intervallum inter octo chordas, non appellarunt [gap: Greek word(s)] , per octo, sed [gap: Greek word(s)] , per omnes (subintellige chordas) ideo fortassis, quia initio octo tantum chordas extenderunt. Quas quidem octo chordas ita concinnarunt, ut sonus octa vae â sono infimae distaret eâ ratione, qua pueri aut mulieris vox a voce viri, cum simul eundem seu aequalem sonum edere cantando volunt, distat; intermediae vero ab infima usque ad octa vam paulatim et fere paribus intervallis in acumen declinarent. Quod idem deinde servarunt, quando extenderunt quindecim chordas, ita ut decima quinta distaret ab octava tantum, quantum a prima distabat octava, nisi quod octo secundae a primis octo discreparent acumine. Idem praeterea servarunt, seu primi, seu subsequentes Graeci, in adjectione aliarum octo, incipiendo inclusive a decima quinta usque ad vigesimam secundam.

Quod diximus de chordis, intelligi etiam debet de fistulis, vocibus, et quibuscunque corporibus sonantibus ejusdem rationis.

Haec ratio dijudicandi consonantias a dissonantijs, et intervalla consona a dissonis discernendi, duravit usque ad Pythagorae tempora, qui primus advertit, judicium aurium esse fallax, quoniam nec omnibus eadem sentiendi vis, nec eidem homini semper aequalis, nec ullis instrumentis fidendum, utpote penes quae saepe multa varietas et inconstantia nascitur, ob aerem nunc humidiorem, nunc sicciorem, chordam modo crassiorem, modo subtiliorem, aliasque ob circumstantias. Idem contingit in alijs quibusvis instrumentis, ac etiam vocibus [note: Pythagoras quomodo inveneris consonantias Musicas. ] hominum. Diu igitur cogitavit, quamm ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret, earumque rationem non sensui, sed rationi ac judicio committeret; donec fabrorum of ficinas aliquando praeteriens, exaudivit malleos incudi illisos ex diversis sonis unam quodammodo concinentiam personare, deprehenditque, examinatis malleorum ponderibus, quae erant pondo 12, 9, 8, 6, deprehendit inquam, malleos qui erant in proportione dupla, nempe ut 12 ad 6, efficere consonantiam [gap: Greek word(s)] ; malleos vero qui erant in proportione sesquitertia, nempe ut 12, ad 9, ut 8 ad 6, efficere consonantiam [gap: Greek word(s)] ; et malleos qui erant in proportione sesquialtera, nempe ut 9 ad 6, et ut 12 ad 8, efficere consonantiam [gap: Greek word(s)] ; denique malleos qui erant in proportione sesquioctava, nempe ut 9 ad 8, efficere consonantiam [gap: Greek word(s)] . Idem deprehendit postea contingere in nervis, in calamis, cyathis, alijsque corporibus: unde tam ipse, quam omnes postea Musici alij, statuerunt universale illud Axioma, ut magnitudo ad magnitudinem in eadem speciemateria, ita sonus ad sonum. Sensus est, ut chordarum ejusdem crassitiei, et eâdem vi tensarum longitudo ad longitudinem, ita sonus unius ad sonum alterius: ut chordarum ejusdem longitudinis, et eodem seu aequali pondere tensarum crassities ad crassitiem, ita sonus unius ad sonum alterius: ut malleorum ejusdem materiae pondus ad pondus, ita sonus ad sonum. Idem de reliquis corporibus sonantibus judicium esto.

Atque hae est causa, cur consonantia Diapason vocetur dupla, Diatessaron sesquitertia, Diapente sesquialtera, Tonus sesquioctava.

IV. Iterum De Consonantiis et Intervallis Musicis.

[note: Consonantiae et intervalla musica. ] POrro inter plures consonantias quas Pythagoras praedicto artificio invenit, eas tantum acceptavit, quae simplicissimae sunt, et oriuntur ex proportione multiplici, aut superparticulari, usque ad quadruplam inclusive, et non ultra; nempe illas quae sunt inter 2 et 1, inter 3 et 2, inter 4 et 3, inter 3 et 1, et inter 4 et 1, vocanturque ab antiquis Diapason, Diapente, Diatesaron, Diapason, Diapente, et Disdiapasson; a modernis vero, Octrava, Quinta, Quarta, Duodecima, et Decimaquinta. Alij tamen subsequentes Musici plurimas alias acceptarunt Consonantias, seu Intervalla consona, uti ex sequentibus Tabulis patet: quorum aliqua vocant majora, alia minora.

Tabula I. Intervallorum maiorum apud Musicos usitatorum.

Diesis ab aliquibus vocatur semitonium minus, ab alijs sonus minor semitonio. Practici Musici nunc ubi volunt dimidium vocis seu soni a Cantore adhiberi, apponunt notam Diesis sic, [?]

V. De Tetrachordis Graecorum, eorumque numero, ordine, et appellatione.

[note: Tetrachorda Graecorum. ] ADeo simplex principio apud Graecos erat Musica, ut quatuor solum nervis seu chordis constiterit. Eranthi ita inter se ordinati quoad intensionem, crassitiem, et longitudinem, ut primus et quartus Diapason consonantiam resenarent; medij vero ad se invicem quidem tonum, ad ertremos vero Diapente, ac Diatessaron. Atque hoc ex quatuor chordis dicto modo ordinatis Instrumentum (seu lyra id fuerit, seu cithara) Tetrachordon seu Quadrichordum appellabatur, ejusque inventor Mercurius fuisse creditur. Deinde paulatim in Pentachordon, Hexachordon, Heptachordon, Octochordon, Enneachordon, Decachordon, Hendecachordon, ulteriusque in Trisdecachordon, et Tessaradecachordon excrevit, quod quatuordecim constabat chordis; quibus deinde addita fuit decima quinta et infima chorda, quae ob id [gap: Greek word(s)] , hoc est, assumpta seu adjuncta appellatur. Inserrae fuerunt postea aliae tres chordae, et in universum octodecim chordarum Instrumentum est constitutum; quod ob antiquitatis reverentiam in quinque Tetrachorda (initio facto a prima post [gap: Greek word(s)] ) dividitur, eo quod ultima primi Tetrachordi chorda sit prima secundi, et ultima secundi prima tertij etc. exceptâ prima quarti Tetrachordi; quae non communicat cum ultima terrij.

Horum quinque Terrachordorum primum appellatur [gap: Greek word(s)] , gravissimum, vel [gap: Greek word(s)] , gravissimarum, seu principalium; secundum, [gap: Greek word(s)] , medium, vel [gap: Greek word(s)] mediarum; tertium, [gap: Greek word(s)] , conjunctum, vel [gap: Greek word(s)] , conjunctorum; quartum, [gap: Greek word(s)] , disjunctum, vel [gap: Greek word(s)] , disjunctarum; eo quod, ut dixi, prima ejus chorda cum ultima tertij non communicat, sed disjuncta est; quintum, [gap: Greek word(s)] , acutissimum, vel [gap: Greek word(s)] , acutissimarum, seu excellentium. Caeterum quatuor quaelibet horum quinque Tetrachordorum chordae longealiter ordinatae atque intensae ad sonos edendos sunt, quam in primo Mercurij Tetrachordo: hîc enim Tetrachorda nihil aliud sunt, quam quatuor chordae juxta quatuor Diatessaron seu Quartae sonos extensae.

Chordarum nomina Graeca, et Graecolatina, eatumque significata, et numerum seu ordinem habes in sequenti Tabula; in qua scripsimus [gap: Greek word(s)] cum Glareano, non [gap: Greek word(s)] ut quidam alij.

Tabula Chordarum in Graecorum quinque Tetrachordis.

VI. De systematibus, et Generibus Musicis Graecorum.

[note: Systemata musica. ] CHordarum, et consequenter etiam vocum ae sonorum quorumlibet ordinationem praedicta per Terrachorda, Graeci vocant Systema Musicum, Latini Scalam seu Manum Muficam, ut dicemus postea. Quoniam igitur varia fuit hujusmodi chordarum ordinatio, nunc scilicet pauciorum, nunc plurium; consequens est etiam varia fuisse Systemata, quaedam minora, quaedam vero majora, prout plura aut pauciora tetrachorda in unum fuerunt coordinata.

Praeterea in quovis Systemate quatuor cujuslibet Tetrachordi chordae diversimode a diversis Musicis fuerunt secundum gravitatem et acumen sonorum ordinatae: nam in aliquibus in ascensu ac descensu procedebatur per majora, in alijs per minora intervalla, varie permixta: Atque hos ascendendi ac descendendi modos vocarunt Graeci Genera modulandi, seu Genera Musica. Itaque Genus Musicum hîc nihil aliud est, quam certa quaedam habitudo seu convenientia sonorum, qui inter se componunt Diatessaron seu Quartam. Vel, est relatio quaedam quam ad invicem habent quatuor soni, vel tria intervalla, alicujus Quartae.

Triplex porro ab antiquis ac modernis adsignatur modulandi Genus, Diatonicum, Chromaticum, Enharmonicum. Diatonicum Genus est, quod per duos tonos et semitonium incedit in ascensu, contrariâ vero ratione in descensu. Chromaticum Genus (sic dictum a coloribus, quod veteres hoc a praecedenti diversis coloribus distinguebant) est, quod per duo semitonia et semiditonum incedit. Enharmonicum Genus est, quod per duas dieses et ditonum procedit. Piget diutius his inhaerere.

CAPUT II. De Musica Latinorum seu Moderna.

[note: Musica Latinorum seu Moderna. ] DIfficillima erat Graecorum Musica, tum ob chordarum numerum et nomina multiplicia, tum vero maxime ob notas multiplices et intricatissimas, quibus vocis ac soni variationem quoad ascensum ac descensum, seu gravitatem et acumen, denotabant. Notae illae extant apud Alipium, et alios antiquos, et videntur esse litterae Graecae varie transformatae. Latini ergo ut faciliorem redderent Musicam a Graecis acceptam, varia jam inde a Boethij, Sanctorum Ambrosij, Augustini, et Gregorij Magni temporibus adhibuerunt compendia, donec tandem Guido Aretinus, ex Aretio Hetruriae oppido oriundus, Monachus Benedictinus, circa Annum Domini 1024 excogitavit novum cantandi, et cantum discendi atque docendi genus facile ac jucundum, quo etiamnum tota utitur Europa.

Haec autem praecipue praestitit Guido circa Musicam reformatam. Primo cum videret, inter octo lineas a praedecessoribus adhibitas (tot enim in Ecclesiastico cantu adhibebant, tanquam octo chordas, paribus intervallis inter se dissitas, quarum initia litteris Graecis aut Latinis A B C D E F G H insignita erant, et in illis lineis notabantur puncta, ut nunc notae musicae, omissis spatijs intermedijs) spatia otiosa esse, ac punctis seu notis vacantia; restrinxit eas lineas ad quinque, et medijs Interseruit etiam notas, ut sic paucioribus lineis plura intervalla comprehenderet. Harum quinque linearum schema Neoterici Musici vocant Pentagrammum.

Secundo, pro vocum signis quibus antea usi fuerant ad voces exprimendas, substituit sex hasce syllabas, Vt, Re, Mi, Fa, Sol, La; a quarum prima, Vt, per reliquas ascensus fieret a voce gravissima ad acutissimam, et ab ultima, La, per easdem descensus ab acutissima ad gravissimam. Desumpsit has syllabas ex prima Hymni de S. Joanne Baptista stropha lila.

Tertio, retinuit septem litteras Alphabeti a S. Gregorio Magno antea pro vocum lignis institutas, easque in linearum ac spatiorum sui Pentagrammi initijs disposuit, ideoque eas vocavit Claves cantus, quoniam aditum aperiunt ad cantum inchoandum, ac prosequendum.

Quarto, has litteras, et praedictas syllabas, in ordinem tanquam in scalam quandam, ad Graecorum Tetrachordorum similitudinem, redegit, ductis, in plano multis lineis inter se parallelis, scalae formam referentibus. Et in primo quidem scalae gradu, seu in infima linea, posuit vocem Vt. praefixâ tertiâ Graeci Alphabeti litterâ majuscula [?]. deinde in spatio inter primam et secundam lineam posuit vocem Re, cum littera A praeposita: in secunda linea vocem Mi, cum littera B, et sic ulterius, ut apparet in Systemate seu scala Guidonis, quae passim extat apud Musicos theoricos; qui tamen non in lineis et spatijs, sed in solis spatijs inter duas quasque lineas comprehensis praedictas litteras ac syllabas, uti et numeros vocum seu sonorum proportiones significantes, scripserunt. Et quoniam Guido systema suum, seu scalam Musicam, ad 22 chordas seu gradus extendit, in ijs litteras septem praedictas ita distribuit, ut post graecum [?] in infimo graduc ollocatum, sequantur ordine septem majusculae A B C D E F G; deinde eaedem septem minusculae a b c d e f g, cum [?] quadrato inter b et c posito; tertio quinque geminatae sic, A a, B b, C c, D d, E e, cum gemio B [?] quadrato inter Bb et Cc collocato. Easdem litteras et syllabas hactenus dictas distribuit Guido memoriae causâ in manûs sinistrae digitis, ideoque et Guidonianum hoc systema vocatur Manus Musica.

CAPUT III. De Musicae Figuratae Elementis.

[note: Musicae figuratae elementa. ] MUsica Latinorum quae sit, et curita dicatur, patet ex capite praecedenti. Dividitur in planam, et figuratam. Plana est, in qua omnes notae vocum seu lonorum sunt ejusdem figutae et valoris, et proinde cum eâdem temporis morâ omnes in ascensu ac descensu voces cantantur. Vocatur etiam Musica Gregoriana, Ecclesiastica, Choralis, Monastica, quia a S. Gregorio Magno vel inventa vel restaurata, et in Ecclesia, in Choro, a Monachis praecipue, usurpatur. Figurata est, in qua diversarum figurarum notae, diversique valoris quoad moram temporis, adhibentur. De hujus secundae Elementis potissimum hîc agitur (quanquam nonnulla quae dicentur, etiam priori sint communia) cujusmodi sunt Claves, Voces, partes, Pentagrammata cum eorum significatione, Cantus, Notae et earum valor, Tactus seu Mensura, Pausae, Ratio triplae, Intervalla, Modi seu Toni, et similia.

[note: Musicae claves. ] I. Claves Musicae sunt septem primae Alphabeti Latini litterae, A B C D E F G, ut supra dixi; quae ascendendo antogrado, descendendo vero retrogrado ordine numerantur. Vocantur claves, quia ijs veluti clavibus porta ad modulationem inchoandam ac prosequendam, tum in cantando, tum in componendo aperitur, ut postae melius dicetur.

[note: Musicae voces. ] II. Voces Musicae sunt sex supra recensitae: Ut, Re, MI, Fa, Sol, La; quibus addunt aliqui Bi, vel Si, sed sine necessitate. His vocibus ascenditur ab Ut in Re, Mi etc. et descenditur â La in Sol, Fa etc. inque vel continuaro ascensu ac descensu, vel suterrupro: quem quidem ascensum ac descensum Solmisationem, seu Solmifationem appellant. Omnes praedictae voces inter se tono uno aequaliter distant, praeter Mi et Fa, quae semitonio. Sed de his iterum postea.

[note: Musicae partes. ] III. Partes Masiae, sunt diversae cantantium voces, acumine et gravitate inter se differentes, et secundum varias consonantias permixtae, ex quibus tanquam ex partibus harmonia componitur. Hae possunt esse 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et quotquot demum symphoniurgus voluerit. Principales tamen sunt quatuor, dicunturque Cantus seu Discantus, Tenor, Altus seu Contratenor, et Bassus seu Basis. Harum aliquando concinunt duae tantum, aliquando tres, aliquando quatuor, aliquando plures, seu ejusdem, seu diversae denominationis, ut postea patebit.

[note: Musicae Pentagrammata. ] IV. Pentagramma sunt quinquae lineae parallelae, quibus inscrihuntur et claves, et voces, et notae musicae, et pausae. Auctor earum censetur fuisse Guido Aretinus, ut supra dixi. Cum enim Graeci ac Latini antiqui in suis cantibus per claves signandis, et per notas exprimendis, uterentur pluribus lineis inter se parallelis, quas chordas vocabant; Guido praedictus judicavit quinque sufficere, si notae musicae non solum in ipsis lineis, sed in intervallis etiam vacuis inter quasliber duas interjectis, uti et supra ac infra lineas, notarentur. Has quinque lineas nos Pentades lineares seu Pentagramma appellamus. Musici absolute lineas vocant. Hisce, earumve intervallis, attribuunt Musici unam e septem praedictis clavibus seu chara cteribus musicis, quamvis non omnes septem notentur, sed tantum C, F, et G; nec C et F ponuntur expresse, sed pro C signum ho, [?] pro F vero signum hoc [?]; G autem per se collocatur, licet subinde aliquantum defor[?]a [?] tum. Signum hoc, [?], semper ponitur in Pentagrammo Bassi, et aliquando in PentagrammoTenoris. Et in Basso quidem collocatur vel in linea media, vel in quarta ab infima, vel in quinta, ut in sequenti schemate apparet.

Signatio Pentagrammorum Musicorum pro Cantu Duro.

Signatio Pentagrammorum Musicorum pro Cantu Molli.

In transponendis cantionibus [?] ut plurimum ponitur in media, et tunc Bassus altius intonat. Quando ponitur in quarta linea, mediccrem, et vocibus

maxiwe naturalem intonationem, prioreque semiditono inferiorein indicat. In quinta linea collocatum (quod raro fit) profundissimam, et semiditono praecedente inferiorem denotat intonationem. Bassi signationem sequuntur reliquarum vocum signationes, eo prorsus modo, quo in praedicta fig. apparet. Est autem duplex signatio; quarum altera, quam prima diagrammatis columna exhibet, appellatur Dura seu Naturalis, altera vero, quam exhibet secunda columna, appellatur Mollis seu Ficta, et a praecedenti solum in hoc differt, quod singulis Vocib. seu Partibus in convenienti linea seu spatio Pentagrammi ponitur b, ut in Diagrammate apparet. Possent quidem et aliter pro aliis cantionum transpositionibus signari Pentagramma, sed tunc nimis altam aut profundam denotarent vocem.

A praedictis tribus figuris. [?] si sursum ac deorsum per lineas ac spatia [?] Pentagrammorum numeres, invenies sedes aliarum septem principalium Clavium seu Characterum, A B C D E F G, prout in sequenti Diagrammate clare patet.

Dispositio Clavium in Pentagrammis Musicis.

Simili modo disponuntur Claves in caeteris Pentagrammis paulo ante datis, tam pro Cantu Duro, quam pro Molli: ut n, hîc, ita ubique a signo [?], aut [?], aut [?], hoc est, ab F, a C, a G, ascenditur su[?]um, [?] vel deorsum descenditur, donec singulis lineis ac intervallis sua Clavis respondeat.

[note: Musicus cantus. ] V. Cantus duplex est, Mollis, cui B praefixum est; et Durus, cui B praefixum non est. Mollis dicitur cantus, qui non est adeo gravis; durus qui est gravis: unde priorem aliqui fictum, posteriorem vero vocant naturalem. Uterque notatur in Pentagrammis modis antea dictis. In Cantu Molli in Fascendendo canitur Vt, et consequenter in A canitur Mi, descendendo vero La, deinde in D canitur ascendendo Re, descendendo La. In Cantu Duro in A ascendendo canitur Re, descendendo La. in E canitur ascendendo Mi, descendendo La, et consequenter in Cascendendo Fa.

VI. Notas Musicas quod attinet, erantillae [note: Musicae nota. ] antiquis temporibus primo quidem puncta nigra, deinde circelli albi, demum quadrangulares notulae nigrae aut albae, iisque solae lineae octogrammi, quod tunc loco penta grammi usurpabant, insigniebantur, et non intervalla linearum, indicabantque Cantori, ibi ubi positae erant, vocem seu sonum esse aut elevandum, aut deprimendum. Omnes erant ejusdem valoris quoad moram temporis, et tantâ cum morâ seu duratione sonus ac vox in lineis insignitis protrahebatur, quantum cantori lubebat, aut chori moderator permittebat, qui tactu, hoc est, manus elevatione ac depressione, ut nunc etiam, vocum moras moderabatur. Atque hic cantandi mos duravit usque ad annum Christi circiter 1320, quando Joannes de Muris dicitur invenisse notulas diversi valoris, quibus nunc utimur, ad diversam vocum ac sonorum moram exprimendam. Notarum species omnes exhibet apposita Tabella, una cum earum valore, nomine, ac proprietate. Ex quibus apparet, antecedentem semper esse duplam subsequentis, quoad valorem seu moram temporis.

Post notas musicas ponitur aliquando unum punctum, quod semper valet dimidium notae quam sequitur.

Tabula valoris, nominum et proprietatum notarum Musicarum.

[note: Musicus tactus. ] VI. Tactum seu Mensuram inter cantandum quod attinet, constat Musicos seu Cantores in cantu figurato non eodem semper motu inter cantandum procedere, se aliquando tardo, aliquando veloci, aliquando medio inter utrumque. Motus hos praescribit Choragus elevatione ac depressione manus, nunc tarda, nunc celeri, nunc media inter tardam ac celerem. Elevationem Graeci vocant [gap: Greek word(s)] , depressionem [gap: Greek word(s)] . Ex utraque componitur una mensura temporis musici, quam Latini Tactum, Itali La Battuta, Boethius Plausum, alii Mensuram, Kircherus Chronometron appellat.

[note: Musica pausa. ] VIII. Pausa sunt certa signa in pentagrammis posita, quibus phonasci seu cantores monentur, quando, et quanto tempore pausare dabeant, et a cantu cessare, aliis interim cantum prosequentibus. Signa pausarum, una cum earum valore,

Tabula Pausarum, et Valoris earum.

hoc est, quanto tempore, seu quot mensuris aut mensurae partibus quiescendum sit, ob oculos ponit sequens Tabula; in qua lineae aliaque signa in pentagrammo posita significant pausas, numeri infra scripti mensuras, et mensurarum partes.

[note: Musica tripla. ] IX. Triplam quod attinet, sciendum est, valorem praedictarum notarum musicarum aliquando mutari, quod fit, quando pentagrammum notatur certis figuris, aut numeris, sive in principio cantionum, sive in progressu. Quae quidem [gap: illustration] mutatio valde varia est, maxime apud antiquiores Musicos, quorum vix unus cum altero convenit. Usitatiora signa apud modernos sunt numeri 3 et 2 simul politi, aut numerus 3 solus positus, ut sequitur.

In primo modo Triplae, quae communis vocatur, tres quilibet communes integri ractus faciunt unum solum tactum, tam in notis, quam in pausis, in secundo vero modo tres dimidii tactus faciunt unum tactum in notis, et in pausis.

X. Intervalla musica quid sint et quotuplex, diximus supra cap 1. ubi et duplicem eorum Tabulam dedimus, ex quibus patet in qua proportione quaelibet consistant.

[note: Musicus modus seu Tonus. ] XI. Modus, seu ut alii vocant, Tonus Musicus, est certa quaedam concentus formandi ratio in cantilenae principio, medio, et fine, ad certam tum intensionis remissionisque, tum ascensus ac descensus mensuram, tum concentus ad affectus varios movendos efficaciam, instituta. Varii a variis tum veteribus, tum modernis adsignantur. Oriuntur omnes ex septem Diapason seu Octavarum speciebus, pro varia Diatessaron ac Diapente, seu Quartae ac Quintae in iis connexione, quâ Octavae ipsae dividuntur. Varietas tota oritur ex variis semitoniorum sedibus. quae ex Quartarum et Quintarum connexione proficiscuntur. Sunt totius harmonicae varietatis causa, et origo.

Moderni docti duodecim admittunt Modos seu Tonos, ex septem Diapason speciebus desumptos; quorum sex appellant authentos seu heriles principales, sex alios plagales seu serviles ac minus principales. Cum enim videant, Diapason seu Octavas constitui ex Quarta et Quinta, ex variis autem Quartarum et Quintarum speciebus nasci quatuordecim diversas semitonii dispositiones (septem nimirum in quibus ascendendo Quinta praecedit, Quarta subsequitur) atque ex his oriri quatuordecim diversas modulationes, quarum tamen duae, ob tritonum ac semiditonum occurrentes, illegitimae sunt; ideo rejectis duabus retinuerunt 12 hujusmodi modulationes, quae totidem Modos seu Tonos musicos constituunt, ita dictos, quod apti sint ad variandas cantilenas, easque diversis affectibus concitandis aptas reddant.

Quis dictorum 12 Modorum seu Tonorum primus sit, quis secundus, tertius, etc. longa est, et nondum dirempta lis. Moderni sensatiores vocant primum, qui ex prima Diapason specie oritur, secundum, qui exsecunda, etc. Primam autem Diapason speciem vocant, quae oritur ex prima Diapente ac Diatessaron specit. Sed cum primatus Diapente ac Diatessaron specierum ab hominum atbitrio dependeat, nec apud omnes eadem sit mens atque sententia, indefinitalis manet. Duodecim Tonos, cum eorum nominibus antiquis, quaelitatibus, signationibus, etc. dedimus in Magia Par. 2. lib. 7. in Mensa Tonographica, et nunc iterum ex parte damus.

Mensa Tonographica.

[note: ] SEx tantum tonos, easque praecipuos in hac Mensa proponimus. Singulis. adscribimus nomina, qualitates, signationem, et an Cantui duro vel molli congruant. Ducem sequimur P. Athanasium Kircherum, tametsi ab allis nonnihil discrepet.

Unde cognoscatur cujus toni sit quaelibet cantilena, multi multas praescribunt regulas, sed tam inter se diversas, ut quid statuendum sit, discernere nequeas. Malo itaque nihil dicere, quam incerta in medium proferre.

CAPUT IV. De Regulis in Melopoeia servandis.

[note: Melopoeia regula. ] PIget plura addere ex iis quae fusissime abaliis tractantur circa Musicam, seu veterem, seu modernam,

praesertim circa harmonicorum numerorum doctrinam, eorumque ad invicem proportionem, additionem, subtractionem, multiplicationem, divisionem, de intervallorum item genesi, excessuque mutuo; de harmonico algorithmo, et Arithmetica musica, de divisione toni, aliorumque intervallorum musicorum hemiosi seu dimidiatione, de triplici genere Musicae, et varia in unoquoque tetrachordorum dispositione, de consonantiarum divisibilitate ac divisione ope Monochordi, Dichordi, Hexachordi. Enneachordi. Heliconis Ptolemaici, deque aliis ingeniosis quidem, sed fere inutilibus, saltem plane sterilibus inventi, quibus nec symphonasci seu cantores, nec symphoniurgi seu compositores unquam utuntur. Solum libet Regulas nonnullas in Melopoeja seu Practica compositione plurium vocum servandas subjicere, ac deinde paucis componendi artem, saltem quoad Contrapunctum simplicem, insinuare.

Regulae itaque in practica symphoniurgia, id est, plurium vocum in concinnam et auribus suavem consonantiam compositione servandae, sunt vel generales, vel particulares. Generales in omni compositione sunt servandae, particulares in particularibus casibus.

Regulae Generales.

[note: Regulae generales pro melopoeia. ] I. COnsiderentur verba textus cantilenae futurae, ac verborum proprierates, et quos exprimant affectus, num gaudii, doloris, tristitiae, timoris, irae, risus, miserationis, amoris, etc. Alii enim affectus alium requirunt ronum, aliamque notarum dispositionem quoad tarditatem, celeritatem, fugam, syncopationem, ligaturam, etc.

II. Eligatur tonus affectui verborum congruus. Qui autem tonus quibus affectibus congruat, discetur ex Mensa tonographica, ubi singulis tonis adscripti sunt competentes affectus.

III. Pentagramma signentur prout tonus exigit, id est, vel signatura cantus duri, vel signatura cantus mollis: et alterutra signatura vel transposititia, vel non transposititia.

IV. Basis seu Bassus, utpote fundamentum caeterarum partium, primo juxta textus exigentiam constituatur, et in suo pentagrammo notetur. Et hic sit gravis, intervallis gaudeat majoribus, ut quartis; quintis, octavis; praesertim in fine, unisonum ac tertias fugiat quantum fieri potest, qualis enim bassus est, tales reliquae erunt voces.

V. In cantu quocunque nunquam duae, tres, aut plures perfectae consonantiae, ut sunt quartae, quintae, octavae, se immediate ascendentes aut descendentes sequantur sine intermistione aliarum: imo nec duo unisoni. Imperfectae autem tertiae possunt se mutuo immediate sequi. Item diversae speciei consonantiae se sequi immediate permittuntur, tam in ascensu, quam descensu, ut quinta, et octava, etc.

VI. In eadem linea aut eodem spatio pentagrammi plures consonantiae, sive perfectae, sive imperfectae, se immediate possunt sequi. Item plures ejusdem speciei consonantiae permittuntur, si ex eadem chorda, aut eodem spatio migraverint per contrarios motus in diversas partes. Et hoc in octonis vocib. frequentissimum est.

VII. Caveatur ne Fa ponatur contra Mi. In certis tamen casibus, et cum certis cautelis id permittitur.

VIII. Basso consistente in aliqua clavi aliquo tempore; aliarum vocum una vel plures per quintam ascendere aut descendere poterit, aut una ascendere, altera descendere, tertia cum basso quiescere.

IX. Cadentiae sextarum, septimarum, nonarum similesque, non permittantur, nec sonant nisi certo cum artificio adhibeantur.

X. Diligenter observentur motus harmoniae: Sunt autem varii notarum per vocesexpressarum motus: quaedam enim voces recto ordine procedunt, quando nim. notae duarum vocum sunt in eadem chorda, aliae motu recto per gradus conjunctos, quando fixa basi, altera gradatim ascendit vel descendit: aliae recto motu per disjunctos gradus, quando fixâ unâ voce, altera per disiunctos gradus ascendit vel descendit interrupte: aliae motu obliquo per gradus conjunctos, quando utraque non ascendit vel descendit gradatim: aliae motu obliquo per disiunctos gradus, quando una voce oblique et per saltus ascendente, altera per saltus sive gradus interruptos pariter ascendit vel descendit: aliae per contrarios motus quando duae voces in contrarias partes ascendendo vel descendendo per gradus conjundos aut disiunctos tendunt, aliae per saltus, quando utraque vox per saltus incedit: aliae aliter.

XI. A consonantiis perfectis ad imperfectas transeatur motu contrario, obliquo, recto, conjuncto, disiuncto, dummodo una pars faciat saltum per tertiam majorem: e contra ab imperfectis ad perfectas transeatur motibus contrariis, et non solo motu recto, vel obliquo.

XII. Cavendum maxime, ne vocabulis textus tales notae alligentur, ut inter cantandum syllaba longa efferatur ut brevis, et e contrario, magnum enim vitium esset, si pronuntiaretur [?]amare, pro amare, silius, pro filius.

XIII. In compositione plurium vocum possunt duae voces in unisono convenire, dummodo discrete et cum judicio fiat.

Regulae Particulares De Semitoniis,

[note: Regula particulares pro melopoeia. ] I. SEmitonium (quod in cantilenis signari solet sic [?]) in certis tonis ac consonantiis tantum adhiberi soleta peritioribus Musicis.

II. Semitonium nunquam apponitur nisi tertiae in genere Diatonico, seu simplici cantu, in genere tamen Chromatico et Enharmonico nullum certum servat locum.

III. Semitonium nunquam ponitur in genere Diatonico in descensu notarum, sed in ascentu.

IV. In Tonis, primo, secundo, tertio, quarto, septimo, locum habet semitoninm, in aliis tonorum cadentiis non ita crebro ponitur: in primo enim tono tertia, nimirum C, requirit semitonium, si sequens immediate ascendit, vel si descenderit pausâ immediate sequente, Similiter et in aliis tonis praedictis.

Regulae Particulares de b molli.

[note: ] I. TUm in cantu duro, tum in b molli, nunquam ponitur b molle, nisi in primo tono cantus duri in genere Diatonico, in basi quidem toties,

quoties nota tangit lineam b Fa b Mi, in vocibus vero quoties Bassus percurrit G, toties reliquarum vocum una habebit b Fab Mi molle.

II. In cantu vero molli in Basso extra b Fa b Mi ordinarie ponitur b molle in secundo tono in E, in reliquis vero vocibus basso constituto in C, b molle ponitur semper in E.

Innumeras alias regulas circa consonantias licitas et illicitas, circaque alia multa. omitto, quia non perfectum Melothetam instruere, sed solum Tyronem in Melopoejam introducere est animus.

CAPUT V. De Melopoeja seu Compositione practica Contrapuncti simplicis.

[note: Contrapunctus musicus. ] MUsicus Contrapunctus vel potius Contrapunctatio est, quando voci cuicunque datae (sive Basis sit, sive Cantus, sive alia) notisque musicis in pentagrammo suo expressae, contraponimus in aliis pentagrammis aliarum vocum notas, consonantiam inter se et cum prioribus efficientes. Dicitur Contrapunctus, seu Contrapunctatio hujusmodi componendi modus, quia contra notas datas ponuntur primo tantum puncta, et earum deinde loco notae musicae, ut in sequentibus patebit.

Dividitur Contrapunctus in naturalem, et artificialem. Naturalis fit extempore, nulla praeeunte arte, sed sola Natura ductrice ac directrice: et hoc saepe utuntur pastores; sartores, fossores, aliique opifices simul laborantes, et tribus quatuorve vocibus concinentes. Artificialis est, qui secundum regulas artis fit. De hoc solo loquimur. Hic dividitum Simplicem, Floridum, et Goloratum. Simplex est, in quo nulla notularum musicarum, et consequenter nulla temporis seu mensuraes varietas est, sed punctus contra punctum, seu nota contra notam aequalis in omnib. vocib. valoris ac mensurae ponitur. Floridus est, in quo contra notas datas in una voce, aliae notae diversae speciei et mensurae ponuntur in aliis vocibus, vel omnibus, vel saltem aliquibus. Coloratus est, qui constituitur ex diversorum signorum notularumque contrapositione, ita ut non ejusdem mensurae notae contra notas tantum, ut in simplici, nec diversarum mensurarum notae contra alias, ut in florido, ponantur, sed per discretas concordantias pro multiplici signorum ac proportionum varietate, ex diversis figuris seu notis artificiosa harmonia, velut ex variis coloribus, constituatur. His praemissis, sit

Propositio I. Dato Basso reliquas tres voces componere per consonantias simplices.

[note: ] SImplices consonantias voco tertiam, quintam, et octavam. Has ut Bassi notis superstruas, sic procede.

I. Reliquarum vocum pentagramma signa eo modo. quem bassi signatura requirit, juxta methodum signandi supra cap. 3. traditam

II. In pentagrammi Bassi initio adscribe singulis lineis ac spatiis suas competentes claves, et notas singulas ejusdem Bassi in pentagrammis suis descriptas dittingue, clavibus sive litteris infra aut supra appositis.

III. Reliquarum etiam vocum pentagrammis appone in principio suas competences claves seu litteras.

IV. Compositionem ipsam auspicare, singulis Bassi notis contraponendo aliarum vocum notas seu puncta loco notarum, incipiendo a prima, sic: Clavem F primae notae Bassi adscriptam quaere in reliquarum vocum pentagrammis singulis, et ab ipsa sursum gradatim per singulas claves ascendendo quaere in una voce tertiam, in altera quintam, in tertia octavam, hoc est, quaere claves quae a clavi F absunt sursum versus unâ tertiâ, unâ quintâ, et unâ octavâ, et loca inventa signa punctis seu notis ejusdem valoris cum prima nota bassi, et habebis in reliquis vocibus notas primae Bassi notae superstructas. Eodem modo procede cum aliis notis Bassi, donec omnibus congruentes ac consonantes notas superstruxeris. Inspice sequens paradigma, in quo omnia clare patent quae diximus servanda:

Simili prorsus methodo dato Basso, aut etiam data quavis alia voce, superstrues unam aliam solam, aut duas, aut quatuor, quinque, sex, septem, ac octo. In omnibus tamen serventur regulae supra positae.

Propositio II. Datis quibuscumque duabus vocibus, reliquas adiungere.

[note: ] SCiendum est, duas voces semper convenire vel in unisono, vel in tertia, vel in quarta, vel in quinta, vel in sexta, vel in octava. Datis igitur quibuscunque duabus vocibus in una praedictarum consonantiarum concordantibus, ut reliquas superstruas voces, has observabis regulas.

I. Cantu et Tenore unisonante, si Bassus infra Tenorem habeat 3, Altus supra basin habeat 5, aut 6, si ille 5, hic 3, vel 10: si ille 6, hic 3, vel 10: si ille 8, hic 5, 6, 10, 12. si ille 10, hic 5, vel 12: si ille 12, hic 3, vel 5: si ille 15, hic 10, 12, 13.

II. Cantu cum Tenore concordante in 3, si Bassus infra Tenorem habet 3, Altus habeat supra Bassu unisonum, vel 8: si ille 6, hic 3, vel 10: si ille 8. hic 5, vel 6: si ille 10, hic unifonum, vel 12.

III. Cantu cum Tenore concordante in 4, si Bassus habet infra Tenorem 12, Altus habeat supra Bassum 10: si ille 5, hic 10.

IV CantucumTenore concordante in 5, si Bassus habet infra Tenorem 8, Altus supra Bassum habet 3, vel 10: si ille 6, hic unifonum, vel 8.

V. Cantu corcordante cum Tenore in 6, si Bassus habet infra Tenorem 5, Altus habeat supra Bassum unifonum, vel 8: si ille 3, hic 5: si ille 10, hic 5, vel 12.

VI. Cantu concordante cum Tenore in 8, si Bassus infra Tenorem habet 5, Altus supra Bassum habeat 10, 12, 13: si ille 5, hic 3: si ille 8, hic 10: vel 12, si ille 12, hic 10, vel 17.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] Circa Contrapuncti simplicis compositionem multa alia dicenda forent, ut quaratione consonantiae ac dissonantiae sint artificiose interserendae, quae cautelae in compositione adhibendae ad vitandos processus illicitos, consecutionemque octavarum, quis usus sit consonantiarum imperfectarum, nempe decimarum, sextarum, etc. quis dissonantiarum usus, et quomodo collocandae, ut reddantur consonae, de syncopsi seu syncopatione dissonantiarum, aliaque multa: quae quia paucis comprehendi non possunt, omittere cogimur.

De symphoniurgia seu compositione Contrapuncti simplicis per bacillos musurgicos; per abacum melotheticum, tam contractum, quam expransum, per Musarithmos Melotheticos, per plectra Musurgica, fuse egimus in Parte 2. Magiae lib. 7.

Eadem de cause omittimus quae dicenda restarent de compositione Contrapuncti Floridi, et Colorati.

LIBER XXVI. DE ALGEBRA.

Prooemium.

[note: [note: Algebra quid sit. ] ALgebra, quam Divinam appellare ob subtilitatem et excellentiam audet nonnemo, obscure licet ab antiquioribus tradita, adeo non difficilis, contra ac plerique existimant, mihi videtur, praesertim si quae de vulgari Arithmetica, ac de Geometria Elementari et Practica tradidimus, mediocriter saltem intelligantur, ut vel ipsis eam Tironibus hoc loco proponendam existimem [correction of the transcriber; in the print existimen]. Eam definio Arithmeticam (hoc est, Artem numerandi) quae versatur circa numeros figuratos, assumendo quaesitum numerum tamquam notum, et constituendo inter eum aliosque numeros datos aequalitatem, ad inveniendum numerum qui quaeritur: qua etiam de causa ab aliquibus Analytica nuncupatur. Hoc quid sit, quave ratione intelligendum patebit ex dicendis: explicari enim non potest, nisi quid numeros figuratos appellemus, et qua in operationibus suis methodo procedat Algebra, prius explicemus. Cur porro Algebram antiquis Artem praedictam nuncupare placuerit, non omnium una est opinio. Sunt qui a praecellentia supra alias scientias ac artes ita dici autument, [note: Algebra unde nomen trahat. ] derivato videlicet Algebrae vocabulo a radice Hebraica [gap: Hebrew word] , quod praevalere interpretantur. Alii melius Arabicum agnoscunt etymon, aiuntque ideo ab Arabibus, seu primis inventoribus, seu praecipuis cultoribus, vocatam Algebram, hoc est, instaurationem, (ut ipsi quidem exponunt) quia in quaestionibus hac Arte solvendis semper deveniendum est ad aliquam aequationem sive aequalitatem, in qua quidquid aut ablatum, aut diminutum hinc et inde fuit, restaurari opertet. Latinorum [note: Algebra cur dicatur Regula Census, et Rei. ] multi Regulam Census et Rei, hoc est, Regulam Radicis et Quadrati eandem dixerunt Artem; quod magna ex parte quaestiones in ea propositae, solvuntur per calculationes Radicum, quas ipsi Res, et Quadratorum, quos Census vocant; ut inquit Clavius cap. 1. suae Algebrae. Agnosco atque approbo appellationem, at non appellationis causam: neque enim Census apud Latinos Quadratum significat, neque Res apud eosdem Radicem. Potius crediderim, Arabes doctos Quadratum dixisse Zensum, ipsamque Artem quae figuratos numeros (quorum primus, ac velut ceterorum basis est quadratus) considerat, Artem seu Regulam Zensi, pro quo deinde Latini scripsere Census, eandemque Regulam Census appellarunt.

[note: Haec de nomine ac significatione Algebrae dicta sufficiant. Quae si quam praeclara est (ut cum Clavio cit. lo [abbr.: loco] loquar) quam iucunda studiosis sui, quam omnibus sese praestat admirabilem, tam etiam perspicue tradita esset, nec in Arithmeticorum, qui eam docuerunt, obscuritate declaranda magis, quam in eiusdem praeceptis explicandis laborandum; coleretur etiam ipsa inter primas, suamque dignitatem pariter, et nominis splendorem integrum retineret, nec tam multi eius addiscendae avidi, scriptorum, praesertim antiquorum, vel ambagibus impediti, vel obscuritate, (adde, et characterum figurarumque quibus utuntur, monstris) deterriti, relato [note: Algebra obscure tradita ab antiquis. ] repente vestigio, ante discendae Algebrae voluntatem, et spem perdiscendi abicerent, quam eam a primo, ut aiunt, limine salutarent. Mirum enim dictu est, quam plerique omnes scriptores eam olim, nescio an studio, an ignorantia, obscurarint ac defoedarint. Primus Clavius ea methodo illam tradidit, difficultatumque moles omnes adeo explanavit, ut quivis mediocriter tantum in Arithmeticae vulgaris praeceptis versatus, et in Elementari ac Practica Geometria non prorsus hospes, eam aggredi ac pervincere non magno labore queat, ut initio dicebam. Clavii vestigiis insistam, et quod ipse fusius, ego brevius, in Tironum gratiam, tradam, tali tamen ordine ac modo, ut ipsos sperato fructu minime defraudandos sperem. Ordo tractandorum hic erit. Quoniam duo genera numerorum occurrunt in Algebra, rationales scilicet, et irrationales (hi quid sint, suis locis dicetur) et rationalium tractatio facilior est, quam irrationalium, ideo prius agam de rationalibus, quam de irrationalibus. Itaque primo tradam Elementa Algebrae quoad numeros rationales, secundo explicabo eius Regulam: tertio, monstrabo eiusdem usum et praximper varia exempla, sedin numeris rationalibus tantum, quarto tradam Elementa Algebrae quoad numeros irrationales, eorumque usumper exempla explicabo. ]

PARS I. De Elementis Algebrae in numeris rationalibus.

[note: Numeri rationales et irrationales quinam sint. ] NVmerirationales, seu rectius, effabiles (Eclidi lib. 10. Element, [gap: Greek word(s)] ) sunt quorum valor numeris potest exprimi, cujusmodi sunt omnes numeri quos passim exprimere solemus. Numeri irrationales seu ineffabiles (Euclidi [gap: Greek word(s)] sunt, quorum valor non potest exprimi, cujusmodi est radix quadrata numeri 20, qui quadratus non est. De primorum numerorum Elementis in Algebrascitu necessariis, hac primaparte agemus, de irrationalium Elementis infra parte quarta, ubi etiam melius, quid numerus irrationalis sit, intelligetur.

Elementa porro Algebrae in numeris rationalibus voco numerorum Algebraicorum Denominationem, Notationem, Expositionem, Numerationem, Additionem, Subtractionem, Divisionem, et Extractionem radicum. De singulis ordine agam, ubi prius quid numeri Algebraicisint, explicavero. Radicum tamen extractio commodius par. 2. cap. 5. post Algebrae Regulampertractabitur.

CAPUT I. De Numeris Algebraicis.

[note: Numeri algebraici ] Numeri algebraici, hoc est, in Algebra usitati: sunt vel numeri absoluti, vel numeri cujuscunque Progressionis Geometricae, ab unitate incipiencis. Numeri absoluti sive simplices sunt, qui solas et nudas unitates simplices significant,

et repraesentant: Numeri vero Progressionis geometricae sunt, qui unitatibus suis certo modo dispositis significant et repraesentant figuras geometricas, unde et Figurati numeri appellantur. Haec ut intelligat Tyro, explicandum breviter est, quid sit progressio Arithmetica, et Geometrica.

[note: Progressio arithmetica. ] Progressio Arithmetica est series plurium numerorum se mutuo eodem excessu superantium. Tales sunt tres sequentes series.

quarum prima et secunda incipit ab 1, tertia a 3. In prima omnes numeri se ordine superant unitate: in secunda binario, in tertia ternario. Ad hunc modum fieri possunt infinitae aliae series aliorum numerorum. Primus cujusque seriei terminus potest esse quicunque, hoc est, sive 1, sive 2, sive 3, sive 4, etc. Excessus quoque terminorum

potest esse quilibet, sive sit aequalis primo termino, qualis est in prima et tertia praedicta serie; sive inaequalis, qualis est in secunda.

[note: Progressio geometrica. ] Progressio Geometrica est series plurium numerorum se mutuo eâdem proportone superantium. Tales sunt sequentes.

quarum prima incipit ab 1, et progreditur per proportionem duplam ita ut quilibet numerus sit duplo major aut minor numero se proxime praecedente aut subsequente: secunda incipit similiter ab 1, et progreditur per triplam proportionem, ita ut quilibet numerus sit triplo major, aut minor eo, qui proxime praecedit, aut sequitur: tertia denique incipit a 3, et per duplam proportionem procedit. De utriusque Progressionis natura et proprietatibus agit Clavius in Arithmeth, pract. cap. 24. et 25. Tacquet. in Arithm. sua pract. l. 5. per totum, et alii Arith metici passim.

Omnes hi numeri in praedictis et quibuscunque aliis Progressionibus Geometricis ab unitate incipientibus, quacunque proportione se mutuo superent, et quantum cunque progressiones extendantur (possunt enim extendi quantum libet) una cum quibuscunque numeris absolutis, appellantur Algebraici, quia in Algebra sunt usitati, ut patebit; quamvis plerique solos numeros progressionis geometricae vocent algebraicos, non vero simplices; quod et nos subinde faciemus. Alii algebraicos numeros vocant Cossicos quia Algebram vocant Cossam, seu Regulam Cossae, ut diximus. Alii numeros Denominatos nuncupant, quod varias geometricarum figurarum denominationes suscipiant, ut mox dicemus.

CAPUT II. De Denominatione numerorum Algebraicorum.

[note: Denominatio numerorum algebraicorum. ] Singulis cujuscunque Progressionis Geometricae ab unitate incipientis numeris, seu terminis, certas ac determihatas denominationes; a Geometricis figutis petitas (primo termino, qui est unitas, excepto) attribunt Mathematici, quibus et Algebrae Scriptores utuntur. Hae igitur denominationes ante omnia explicandae, et Tyrone diligenter sunt perdiscendae. Varii varias tradunt denominationes: Ego omnium facillimas ac maxime proprias selegi, quas primo tradam, ac deinde aliorum quoque denominationes subjungam.

Primus igitur in qualibet progressione geometrica ab unitate initium sumente, terminus appellatur Unitas, quia revera talis est, et ideo nullam geometricam figuram constituit, aut repraesentat.

Secundus terminus unitatem proxime sequens, vocatur Radix, quia est omnium sequentium in eadem Progressione numerorum radix et origo, cum ex ejus multiplicatione in seipsum procreetur, tertius, et ex multiplicatione ejusdem in tertium producatur quartus, et sic deinceps, ut consideranti patet, et demonstrat Clavius in Scholio Proposit, 10. lib. 8. Element. Euclidis, meliusque infra par. 2. cap. 5. §. 1. dicetur.

Tertius terminus, qui producitur, ut dictum, ex ductu secundi in seipsum, dicitur Quadratus, quia secundum suas unitates in longum et latum dispositas repraesentat Quadratum geometricum.

Quartus terminus appellatur Cubus, quoniam fit ex multiplicatione Radicis, hoc est, secundi termini, in suum quadratum, nimirum in tertium terminum, ut diximus, ac proinde suis unitatibus secundum longitudinem, latitudinem, et altitudinem seu profunditatem dispositis, repraesentat cubum geometricum. Similis est ratio denominationis reliquorum sequen tium omnium terminorum cujuscunque Geometricae progressionis. Nam

Quintus terminus appellatur Quadrati quadratus, sive Biquadratus, quia fit ex ductu Quadrati praecedentis, hoc est, tertii termini, in seipsum, sive (quod idem est) ex ductu Radicis in Cubum, et secundum suas unitates dispositas in longum ac latum, repraesentat aliud quadratum geometricum, cujus quod libet latus tot habet unitates, quot habet totum praecedens Quadratum;

Sextus terminus appellatur Surdesolidus, quia cum fiat ex ductu Radicis in Quadratiquadratum, repraesentat suis unitatibus dispositis figuram geometricam, quae nec Quadratum est, nec Cubus (nisi quando secundus terminus ab unitate quadratus est, vel cubus, ut ex Proposit. 10. lib. 9. Elem. Euclidis constat) ideoque sur desolidus, hoc est, qui audiri et consequenter exprimi

TABULA I. Algebraicorum numerorum Denominationes nostrae.

TABULA II. Eorundem numerorum Denominationes nostrae, et aliorum.

Septimus terminus vocatur Cubi quadratus, quia fit ex ductu cubi praecedentis in seipsum, sive (quod idem est) Radicis in praecedentem Surdesolidum.

Octavus terminus vocatur Surdesolidus secundus, et fit ex ductu Radicis in Cubiquadratum, eademque de causa sur desolidus appellatur ut sextus praecedens terminus.

Nonus dicitur Quadratiquadratiquadratus, sive Triquadratus, quia fit ex ductu Biquadrati in seipsum, seu Radicis in Surdesolidum secundum.

Decimus dicitur Cubicubus, quia fit ex cubica multiplicatione primi Cubi in seipsum, sive Radicis in Triquadratum.

Simili ratione ulterius progredi licet in Geometrica Progressione, et cuilibet termino convenientem adsignare denominationem, prout passim faciunt Algebrae Scriptores: at quoniam raro in operationibus Algebraicis proceditur ultra quintum, sextumve terminum, nedum ultra decimum. ideo isto labore supersedeo, et ejus loco, praedictas Denominationes nostras, una cum aliorum Denominationib. brevi synopsi propono.

Reliqui numeri qui non sunt ex praedictis, id est, qui nullam figuram geometricam suis unitatibus dispositis certo modo repraesentant, vocantur, ut initio capitis dixi, absoluti seu simplices, et non minus quam priores in Algebra usurpantur. Sequuntur Denominationum Tabulae geminae.

CAPUT III. De Notatione numerorum Algebraicorum.

[note: Notatio numerorum algebraicorum. ] UT numeri absoluti a figuratis, et hi inter se, in operationibus Algebraicis discernantur, solent singulis apponi suae denominationes, non verbis, sed notis seu characteribus quibusdam expressae. Qua in re nonnulli valde exoticis utuntur notis, et quae Tyrones absterreant, atque a progressu avertant. Nos simplicissimis utemur, nec aliis quam initialibus vel litteris, vel syllabis denominationum praecedenti capite expositarum. Harum igitur notarum seu characterum expressionem et abbreviationem appellamus Notationem numerorum Algebraicorum. Insubjecta Tabula, prima columna continet Notationes, secunda Significationes.

Algebraicorum numerorum

Primus itaque character N, significat numerum absolutum seu simplicem, ideoque numerus, cui apponitur, pro absoluto et simplici habetur. Sic 4. N. significat quatuor unitates simplices et absolutas, nulla figurae geometricae denominatione affectas. Plerumque tamen hic character non soler apponi numeris, quando pro absolutis habendi sunt, alii vero characteres numeris suis, quos significare debent, semper apponuntur; Itaque sive numerus aliquis in operationibus Algebraicis appositum habeat signum hoc N. sive non, accipiendus est pro numero absoluto, aliud signum non habet adjunctum.

Secundus character R. vel r. significat Radicem ita ut numerus cui appositus est, a Radicibus denominetur. Sic 4 R. vel r. significant quatuor Radices, Unde si in progressione geometrica Radix est 2; erunt 4 R octo unitates. si vero Radix 3 lunt 4 r. duodecim unitates: Eadem est ratio de caeteris.

Tertius character Q. vel q. significat Quadratum: Itaque 4 Q. vel 4. q. denotat quatuor Quadratos. Unde si Quadratum in progressione geometrica est 4; erunt 4 Q. vel 4 q. sexdecem unitates: si autem Quadratum est 9; sunt 4 q. triginta sex unitates. Et sic de caeteris.

Quartus character C. vel c. denotat Cubum. Itaque 4 C. vel 4 c. significat quatuor Cubos. Itaque si cubus in progressione geometrica sit 8; erunt 4 C. vel. 4 c. triginta duae unitates: si Cubus sit 27; sunt 4 c. centum et octo unitates, etc.

Simili modo exponendae sunt significationes reliquorum characterum seu notationum. Et si progressio geometrica ulterius extenditur, denominationes numerorum similibus characteribus exprimi debent, initialibus videlicet litteris aut syllabis. Sed his non immoror, quia nunquam aut raro excenditur ultra decem terminos, ut supra dixi. Lege tamen quae habentur infra par. 2. cap. 5. §. 2.

Characteres seu Notae hactenus expositae, solent poni post numeros quos afficiunt, ut videbimus cap. 5.

CAPUT IV. De Expositione numerorum et characterum algebraicorum, eorumque Exponentibus.

[note: Expositio numerorum et characterum algebraicorum. ] EXpositio numerorum et characterum algebraicorum, est signatio illorum per numeros absolutos, ad cognoscendum quotum locum obtineant in progressione geometrica, quantumque valeant. Fit tali pacto: Scribuntur duae progressiones, una arithmetica supra, inchoata a cifra, et progrediens ordine naturali ad unitatem, per binarium, ternarium, etc. altera geometrica infra, inchoata ab unitate, et progrediens secundum quamcunque proportionem; et in medio collocantur characteres algebraici, sic:

Loco progressionis geometricae praedictae, quae crescit secundum duplam proportionem, scribi potest quaevis alia secundum quamcunque proportionem crescens.

[note: Exponentes numerorum algebraicorum. ] Numeri progressionis Arithmeticae vocantur Exponentes, quoniam et subscriptos numeros geometricae proportionis, et characteres algebraicos interjectos exponunt. Haec autem expositio in hoc consistit. Prima figura o, habens sub se N, et 1, indicat numerum absolutum ac simplicem, sive is sit unitas (quae proprie numerus non est, sed initium numeri) sive ex unitatibus compositus, nullam tamen figuram geometricam denotantibus: qua etiam de causa nullum alium exponentem habet praetero. Secunda figura, 1, posita supra R, et 2, ostendit numerum seu terminum secundum progressionis geometricae esse primam denominationem in numeris algebraicis, appellarique Radicem.

Tertia figura, 2, posita supra Q, et 4, ostendit tertium numerum, seu terminum geometicae progressionis esse secundam denominationem, vocarique Quadratum. Idem dicendum est de reliquis.

Praedicti numeri Exponentes progressionis naturalis numerorum, positi supra characteres et numeros algebraicos, docent, quot propo[?]tiones progressionis geometricae interji ciantur inter quemlibet numerum ejusdem geometricae progressionis, et unitatem. Ut 1 supra R et 2 significat, inter Radicem progression s geometricae, atque unitatem, contineriunicam proportionem 2 ad 1. At 2 supra Q et. 4 indicant, inter Quadratum et unitatem intercedere duas proportiones, nimitum 4 ad 2, R 2. ad 1. Item 3 supra C et 8, ostendit, inter Cubum et unitatem cadere tres proportiones, nimirum 8 ad 4, 4 ad 2, et 2 ad 1. Et sic de caeteris. Vide quae dicimus infra part. 2. cap. 5. §. 2.

CAPUT V. De Numeratione algebraicorum numerorum, et de signis algebraicis.

[note: Numeratio algebraicorum numerorum ] NOtandum est, algebraicorum numerorum alios vocari Compositos, alios Simplices. Compositi sunt, qui ajunctum habent vel hoc signum,?, vel hoc, -, vel utrumque. Simplices sunt, qui nullum horum signorum habent [note: Numeri algebraici compositi alii, alii simplices. ] adjunctum. Signum hoc,?, significat Plus, vel Additionem, ideoque vocatur signum ad dirorum, vel auctotum, et numeri illud habentes adjunctum, vocantur Aucti. Signum veto hoc, -, significat Minus, vel Dimnutionem, ideoque [note: Signa Algebraica. ] vocatur signum diminutorum, aut subtractorum; et numeri illnd habentes adjunctum, vocantur Diminuti. Qui utrumque signum adjunctum habent, dicuntur numeri Mixti.

His notatis, facilis est Numeratio (seu Lectio, et expressio) numerorum Algebraicorum. Nam simplices, et qui soli ponuntur sine praedictis signis ut 3 R, vel 6 Q. vel 8 C, etc. exprimuntur hoc modo: tres Radices, vel sex Quadrati, vel osto Cubi, etc. compositi vero, et qui adjunctum habent alterutrum, aut utrumque signum, ut hi, 5 R? 8 Q, item hi, Q 3-2 R; item hi, 12 C? 7 Q-3 R; sic exprimuntur, quinque radices, plus octo quadrati, item tres quadrati, minus duae radices, itein duodecim cubi, plus septem quadrati, minus tres radices. Hic vero numerus, 3 qq? 8 C- 19, effertur sic: tres biquadrati, plus octo cubi, minus novendecim: nam, ut dictum cap. 2. numerus qui non habet characterem algebraicum, significat numerum absolutum ex unitatibus compositum.

Observandum hîc est, haec signa,? et - referti ad numeros qui ea sequuntur, nunquam autem ad praecedentes. E contrario characteres algebraici referuntur ad numeros qui eos praecedunt, nunquam autem ad sequentes, ut diximus cap. 3. in fine.

Observandum praeterea, numeros qui nentrum horum fignorum,? et -, habent, intelligi habere signum additorum?.

[note: Valor numerorum algebraicorum. ] Valor porto numerorum algebraicorum, tam simplicium, quam compositorum, dependet ex valore radicis progressionis geometricae. Unde si radix progressionis est 2; cum dicitur, 5 R? 8 Q, intelliguntur quinque radices una cum octo quadratis, hoc est, unitate 42: nam 5 R sunt 10 unitates, et 8 Q sunt 32 unitates. Item cum dicitur, 8 Q - 5 R intelliguntur ex 8 quadraris detractas esse 5 radices: unde si radix est 2, et quadratus est 4; continebit praedictus numerus diminutus unitates 22: nam 8 quadrati sunt 32 unitates, a quibus si subtrahantur 5 radices, hoc est, decem unitates, remanent 22 unitates. Eodem modo interpretandus est valor aliornm. numerorum, tam simplicium, quam compositotum; et horum tam auctorum, quam diminutorum, et mixtorum.

Annotatio.

[note: ] TAm notae algebraicae R, Q, C, qq, etc. de quibus cap 3. quam haec signa,?, et -, de quibus hoc capue, appellari possunt ac solent signa algebraica. Ad confusionem tamen vitandam priores notas imposterum vocabimus characteres algebraicos, posteriores vero signa algebraica.

CAPUT VI. De Additione numerorum algebraicorum.

[note: Additio numerorum algebraicorum. ] NUmeri algebraici addendi, vel sunt simplices, vel compositi. Simplices, vel sunt ejusdem denominationis seu characteris, vel diversi Compositi, vel aucti aut diminuti tantum, vel mixti. Singuli casus habent suas regulas, sed facillimas.

§. I. Additio numerorum simplicium.

[note: ] I. A Dditio simplicium algebraicorum ejusdem denominationis seu characteris fit

eodem modo, quo absolutorum, et summae productae apponitur idem character quem habent addendi. Ut si addendae sunt 10 R ad 8 R; seribuntur, adduntur, et signantur ut in Exemplo A apparet.

II. Additio simplicium diversae denominationis seu characteris fit mediante signo?, et summa

producta fit numerus compositus auctus. Ut si addendae sunt 8 unitates ad 6 R, adduntur, et signantur ut in exemplo B apparet. Item si addenda sunt 6 N, 8 R, 10 Q, 3 C; additio et signatio fit hoc modo: 6? 8 r? 10 q? 3 c; vel potius sic: 3 C? 10 Q? 8 R? 6.

§. II. Additio numerorum compositorum.

[note: ] III. QVando numeri compositi inter se adendi habent eadem sigua? vel-; ponitur alter sub altero ita, ut numeri ejusdem denominationis inter se respondeant. Quod si in alterutro eorum non reperiatur numerus respondens alicui in altero numero; ponitur loco ejus zerus cum signo?. His factis, adduntur numeri ejusdem appellationis, et summae subscriptae apponuntur eadem signa? vel -, quae in numeris addendis reperiuntur.

Exempla.

Quintum.

In additione horum, et omnium liorum exemplorum, potest incipi vel a sinistra, ut in ordinaria additione, vel a dextera, dicendo in primo exemplo, 6, et 7 faciunt 13, etc.

In omnibus praedictis exemplis scripsimus characteres algebraicos ad latus numerorum. Possunt ettam scribi supra numeros, sic:

IV. Quando alter numerorum addendorum habet signum?. alter vero signum-; mutatur additio in subtractionem, et minor subtrahitur ex majori, residuo vero numero tribuitur signum majoris numeri a quo facta est subtractio, sive illud fuerit?, sive --. At quando numeri addendi sunt aequales interse, sed unus habet signum?, alter--; residuo zero apponi potest, vel?, vel-.

Exemplum.

Annotatio.

[note: ] SI in numeris addendis non correspondeant ordine characteres characteribus. sen species speciebus,

scribantur ita ut correspondeant, et fiat addito. Vi[?] si hi duo numeri 6 Q -- 8 R, et 12 R -- 3 debeant addi, scribantur numeri ut singulae species respondeant singulis, prout in paradigmate apposito apparet, et fiat adduio juxta praecedentem Regulam.

§. III. Examen Additionis.

[note: ] EXamen sive Probatio Additionis in omnibus casibus praedictis, sit per Subtractionem, de qua capite sequenti: si enim alteruter additorum subtrahatur a summa produeta, et remaneat additorum alter, legitima fuit operatio, propter Axioma illud: Si ab aqualibus auferas aequal a, remanen[?] aequalia.

CAPUT VII. De Subtractione numerorum algebraico rum.

[note: Subtractio numerorum algebraicorum. ] Hîc etiam vel ambo numeri sunt Simplices, vel Compositi. Simplices, vel ejusdem appellationis, vel diversae. Compositi, vel aucti aut diminuti, vel mixti. Numerum, a quo firsubtractio, vocamus Integrum, alterum, qui subtrahitur, Subtrahendum, quod remanet, Residuum.

§. I. Subtractio numerorum simplicium.

[note: ] I. QVando numerus algebr[?]icus subtrahendus est ex altero numero algebraico ejusdem characteris, subtrahitur numerus a numero, ut in vulgata Subtractione, et residuo apponitur idem character qui antea erat. Ut si

ex 9 R subtrahendae sunt 4 R, scribuntur numeri ut hîc apparet, et residuum scribitur infra cum character R. Eodem modo si 8 Q ex 20 Q subtrahendi sunt, scribuntur 20 supra, 8 infra; et subtractione faeta remanent 12 Q.

est exaltero numero algebraico diversi characteris, absolvitur subtractio mediante hoc signo, --, fitque numerus diminutus. Ut si 6, R, ex 8 Q. subtrahendae sint, erit residuum 8 Q-- 6 R, ut in exemplo apposito apparet. Item si 12 N, ex 6 R subtrahendi sunt, remanet 6R -- 12. Eadera est ratio de caeteris.

§. II. Subtractio numerorum compositorum.

[note: ] III. QVando tam Integer, quam Subtrahendus, habent eadem signa? vel-; ponitur alter sub altero ita, ut numeri ejusdem denominationis inter se respondeant. Quod si in alterutro eorum non reperiatur numerus respondens alicui in altero numero: ponitur zerus loco ipsius, cum signo?. Quibus constitutis, alter ab altero subtrahitur, et R esidua scribuntur infra in propriis locis, una cum iisdem signis? vel-, quae in numero Integro et Subtrahendo reperiuntur.

Exempla.

Annotatio.

[note: ] INprimo Exemplo summaresidua debent sic scribi: 3 C? 8 Q - 4: quia? o R debet omiti, cum supervacaneum fit. Idem observandum est in aliis similibus exemplis.

IV. Quando alter duorum numerorum habet signum?, alter vero signum-, muratur subtractio in additionem, et ambo numeri simul adduntur, summae vero productae apponitur signum superioris mimeri, a quo fieri debeat subtractio, quod cunque illud fuerit, sive?, sive-.

Exempla.

Annotatio.

[note: ] INprimo exemplo, quando subtrabuntur 4 R a 4 R, et relinquitur o R; potest scribi vel o R, vel? o R, quia nec- o R minuit summam residuam, nec? o R auget eandem. Quia igitur supervacaneum est utrumque, potest utrumque omitti, et summa residua scribisic: 7 C q?6 Ss 7 Qq? 2.

V. Quando uterque duorum numerorum habet signum? vel, sed Subtrahendus major est quam Integer cui subscriptus est, subtrahitur praepostero ordine superior ab inferiori, et numero residuo apponitur signum contrarium, ita ut ex signo? fiat-, et ex- fiat?.

Exempla.

Annotatio.

[note: ] IN posteritori exemplo quoniam 7 C, et 8 C, itelliguntur habere signum?, juxta dicta cap. 5 ideo residuum (quod est 1, juxta hoc quintum praeceptum) acquisivit signum-: unde, quia non recte primus numerus in aliqua ferie afficitur signo-, ita scribi deberet residuum illud: 3 Q I C? 2 R- 5.

§. III. Examen Subtractionis.

[note: ] EXamen sive Probatio Subtractionis in omnibus praedictis casibus, fit per additionem, de qua capite praecedenti: si enim residuum addatur Subtrahendo, et resulrat Integer: legitima fuit operatio: sin minus, certum est, fuisse erratum, propter Axioma illud: Totum est aequale omnibus partibus simul sumptis.

CAPUT VIII. De Multiplicatione numerorum algebraicorum.

[note: ] IN Multiplicatione algebraica vel interveniunt numeri simplices, vel compositi. Uterque casus habet suas R egulas.

§. I. Multiplicatio numerorum simplicium.

[note: ] I. QVando numerus algebraicus multiplicatur per numerum absolutum: multiplicatio quo ad numeros fit eo dem modo, quo absolutorum, et producitur numerus ejusde denominationis

algebraicae quae antea erat. Ut si multiplicentur 4 R, per 3, producuntur 12 R, ut apparet in exemplo A. Item si multiplicentur 8 Q per 3, producuntur 24 Q, ut apparet in exemplo B. Eadem est ratio de caeteris.

II. Quando numerus algebraicus multiplicatur per numerum algebraicum; multiplicatio quoad numeros fit ut antea: deinde adduntur numerorum Exponentes, et character summae Exponentium additur producto ex multiplicatione.

Ut si multiplicentur 3 Q, per 4 R, producuntur 12 C, ut apparet in exemplo. C. Item si in 10 C, dacantar 6 Q producuntur 60 Ss, ut apparet in exemplo D. Eadem est ratio de aliis. Vide quae diximus cap. 4. de Exponentibus numerorum et characterum algebraicorum.

Annotatio.

[note: ] EX his patet, quidnam producatur, si numerus algebraicus ducitur in seipsum quadrate, cubice, etc, Nam 6 Ciu se quadrate ducti, faciunt 36 Cq. quia 3 et 3 (qui sunt Exponentes Culi) faciunt 6,

§. II. Multiplicatio numerorum compositorum.

[note: ] III. QVando numerus algebraicus comp ositus multiplicatur vel per numerum absolutum, vel per algebraicum, tam simplicem, quam compositum: servantur quoad numeros et characteres eaedem regulae jam traditae, at in signis? et - fit variatio. Nam quando numeri se mutuo multiplicantes habent idem signum? vel-, apponitur producto semper signum?: quando vero alter illorum habet signum?, et alter signum-, apponitur producto semper signum-. Hoc alii scriptores docent his verbis: In multiplicatione??? per?, vel per-, producit?: at? per-, vel- per? producit-. Alu his aliis verbis idem explicant: Eadem signa ponunt signum?, diversa vero signa ponunt signum-.

Exempla.

Septimum.

[note: ] In praecedentibus exemplis duximus Multiplicatorem in Multiplicandum, incipiendo a dextima figura Multiplicatoris. In hoc exemplo incipiemus a sinistima figura: potest enim utroque modo fieri operatio. Sint itaque multiplicanda 6 qq 5 C t 4 Q? 10, per 10 Q? 8 R: procede secundum regulas praedictas, et sic stabit paradigma.

In hoc paradigmate, numerus A est Multiplicandus, numerus B multiplicator, numeri D et E sunt summae productae. Hae ut in unam summam F colligantur, debent sic disponi juxta praecepta de Additione

§. III. Examen Multiplicationis.

[note: ] EXamen Multiplicationis fit per Divisionem, de qua capite sequenti agemus: si enim summa ex multiplicatione producta, dividatur per Multiplicandum, et in quoto reperiatur Multiplicator; aut e contrario si eadem summa dividatur per multiplicatorem, et pro Quoto resultet Multiplicandus: certum est, operationem fuisse legitimam.

CAPUT IX. De Divisione numerorum Algebraicorum.

[note: Divisio numerorum algebraicorum. ] UT in Multiplicatione, ita et in Divisione algebraica, intervaniunt vel numeri simplices, vel compositi. Utriusque casus R egulae fere conveniunt cum R egulis Multiplicationis.

§. I. Divisio numerorum simplicium.

[note: ] I. QVando numerus algebraicus dividitur per numerum absolutum; divisio quoad numeros fit eodem modo, quo absolutorum, et

Quotus productus habet eundem characterem, quem Dividendus habebat. Ut si dividantur 12 R per 3, producuntur pro Quoto 4 R, ut apparet in exemplo A. Item si dividantur 24 Q per 3, producuntur pro Quoto 8 Q, prout apparet in Exemplo B. Eadem est ratio in aliis exemplis.

II. Quando numerus algebraicus dividitur per numerum algebraicum; divisio quoad numeros fit ut antea, Quotus autem productus alium characterem adquirit: qui sic reperitur. Vide quos characteres gerant Dividendus et Divisor sume eorum Exponentes, minorem que a majori subtrahe; residuum erit Exponens characteris

Quoto adscribendi. Ut si dividantur 20 C per 5 Q, proveniunt 4 R. Si 40 Biq. per 5 Q, proveniunt 8 Q. Eodem modo si dividantur 36 C, per 4 R, proveniunt 9 Q.

§. II. Divisio numerorum compositorum.

[note: ] QVando num erus algebraicus compositus dividitur vel per numerum absolutum, vel per algebraicum, tam simplicem, quam compositum: servantur Regulae praedictae, at in signis? et - fit variatio. Nam quando numeri se mutuo dividentes habent idem signum?, vel-: apponitur Quoto producto semper signum?: quando vero alter illorum habet signum?, et alter signum-, apponitur Quotosemper signum-.

EXEMPLA.

Primum.

Secundum.

Annotatio.

[note: ] OMitto exempla in quibus divisor est numerus compositus: quia cum tunc divisio non nisi in exemplis arte factis locum habeat, ut pulurimum per hujusmodi Divisores compositos non potest fieri, vel saltem non fit divisio, sed subscripto Divisore ipsi Dividendo, interjectaque linea, fit fractio: ut si dividenda sint 12 qq. per 2 Q? 4 R: fit haec fractio.

Fractio quoque constituitur, quando numerus algebraicus simplex, velcompositus, dividendus est per algebraicum numerum simplicem majoris denomitnationis, ut 8 Q, per 2 Cq: fit enim haec fractio:

§. III. Examen Divisionis.

[note: ] EXamen Divisionis fit per multiplicationem, de qua capire praecedenti. Nam si Divisor ducatur in Quotum, aut vicissim Quotus in Divisorem, et redeat numerus Dividendus: certum est legitimam fuisse divisionem.

CAPUT X. De fractionibus sive Minutiis numerorum algebraicorum.

[note: Fractiones numerorum algebraicorum. ] QVi absolutarum Fractionum seu Minutiarum calculum, de quo lib. 2. par. I. cap. 2. egimus, probe novit, nullam sentiet difficultatem in calculo Fractionum seu Minutiarum algebraicarum: nam eaedem fere operationes sunt in his, quae in illis, dummodo habeatur ratio characterum algebraicorum, et siguorum? ac-, juxta traditas hactenus regulas.

§. I. Numeratio fractionum algebraicarum.

[note: Fractionum algebraicarum numeratio. ] FRactiones algebraicae scribuntur ut absolutae, nimirum Numerator supra, Denominator infra lineam, sic, [?] Significat haec fractio, tres unitates esse divisas per 8 R. Haec autem, [?] denotat, 7 quadratos esse divisos per 9 unitates. Item haec,

indicat, hunc numerum, 9 qq? 8 Q, div[?]sum esse per 6 C. Eadem est rario de alus.

§. II. Abbreviatio fractionum algebraicarum.

[note: Fractionum algebraicarum abbreviatio. ] Abbreviatio, seu reductio adminores terminos, eundem tamen valorem retinentes, fit ut in vulgaribus fractionibus, abbreviando videlicet numeros, intactis characteribus algebraicis. Sic fractio haec,

redutitur ad hanc, nempe ad dimidium tam Numeratoris, quam Denominatoris. Sic etiam haec,

quia maxima mensura communis, dividens tam Numeratorem, quam Denominatorem, est 9.

§. III. Reductio fractionum algebraicarum.

[note: Fractionum algebrai carum reductio. ] REductio fractionum algebraicarum ad eundem denominatorem, seu ad eandem denominationem, fit ut in vulgaribus, multiplicando nimirum Numeratores in Denominatores per cruecem, et Denominatores inter se. Sic si hae fractiones,

sint ad eandem denominationem reducendae: duco in se Denominatores, et produco 12 R? 6o, pro novo Denominatore: pro numeratoribus vero novis duco per crucem 4 R? 20, in 12: et 3 Q- 10 R, in I R? 5, et produco 48 R? 240, et 3 C? 5 Q- 50 R. Sic itaque stabunt fractiones reductae:

§. IV.

[note: Fractionum algebraicarum additio. ] SI Denominatores sunt similes, seu iidem in duabus aut pluribus fractionibus, adduntur inter se Numeratores, et summae subscribitur idem Denominator qui antea etat: Sic hae fractiones,

Si autem Denominatores sunt dissimiles, seu diversi: reducuntur prius fradtiones ad eandem denominationem, per praecedens praeceptum: deinde Numeratores adduntur, et summae productae supponitur comunis Denominator. Sic si addendae sint hae fractiones,

Deinde Numeratores reducti adduntur, et conflatur surama 3 C? 5 Q --2 R -- 240. Huic summae supponitur communis Denominator, sic:

§. V. Subtractio fractionum algebraicarum.

[note: Fractionum algebraicarum subtractio. ] SI Denominationes sunt similes, subtrahitur minor Num erator a majori, et residuo supponitur communis Denominator. Si Denominatores dissimiles sunt, reducuntur fractiones ad eundem Denominatorem, et deinde Numerator minor subtrahitur a majori, residuoque subscribitur denominator communis reductus. Sic si

subtrahenda est: reducuntur prius fractiones; deinde reductus hic Numerator, 48 R? 240, subtrahitur ex hoc reducto, 3 C? 5 Q-- 50 R, et residuo supponitur communis Denominator reductus, fic:

§. VI. Multiplicatio fractionum Algebraicarum.

[note: Fractionum [correction of the transcriber; in the print Fractioumnum] algebraicarum multiplicatio. ] DUc tam Numeratores, quam Denominatores in se, et erit multiplicatio peracta. Sic si supradictae duae Fradiones,

sint rnultiplicandae; duco tam superiores, quam inferiores numeros in se, et produco

§. VIII. Divisio fractionum Algebraicarum.

[note: Fractionum algebraicarum divisio. ] IN verte Divisorem, hoc est, ex Numeratore Divisoris fac Denominatorem, et ex Denominatore Divisorem: deinde operare ut in. praecedenti §. Sic si dividenda sint

§. VIII. Examen praecedentium operationum.

[note: ] AD ditio probatur per subtractionem, et vicissim: item Multiplicatio per Divisionem, et vicissim quoque.

Annotatio I.

[note: ] SAEpe in operationibus algebraicis repriuntur integra aequalia fractis, aut integris addenda junt fracta, vel ab illis subtrahenda. In omnibus his casibus supponitur integris un[?]as, et reliqua fiunt u[?] jam dictum in praecedentibus Regulis.

EXEMPLVM habet P. Lantz, ad cujus imitationem plura formare potest Tyro. Sit haec fractio,

inventa aqualis huic numero integro, 24 (in quo consistat haec aequalitas, intelligetur paulo post, cum de invenienda aequatione agetur) aut eadem fractio sit huic integro addenda, aut ab illo subtrahenda. Suppono integro unitatem, hoc modo,

Pro communi Denominatore duco inferiores in se, et produco 2 R? pro Numeratoribus vero duco per crucem, 24 in 2 R? 4, et 8 Q? 5 R -10, in I. producoque 48 R? 96, et 8 Q? 5 R- 10: quibus aut sutppono communem Denominatorem hoc modo,

ANNOTATIO II. De Abbreviatione characterum Algebraicorum.

[note: Abbreviatio characterum algebraicorum. ] ABbreviatio fractionum algebraicarum potest fieri duobus modis: primo, abbreviando solum numeros, ut in minutiis vulgaribus fit, intactis characteribus adjunctis: secundo, abbreviando etiam characteres. Illa fit, si tam Numerator, quam Denominator, eadem communi mensura maxima dividatur. Abbreviatio characterum algebraicorum fit per subtractionem Exponentis minoris characteris ab exponentibus aliorum characterum: nam si numeris residuis proprii characteres tribuantur, juxta dicta cap. 3. peracta erit abbreviatio quoad characteres. Ex hoc constat, numerum minoris characteris algebraici fieri in hac abbreviatione absolutum.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] AGendum hic esset de Elementis secundarum Radicum, ut vocant, quarum usus subinde in Algebraicis operationibus occurrit, at ne multitudine aliorum praeceptorum, antequam hactenus tradita in usum ac praxin reducantur, obruantur Tyrones, libenter eam tractationem differimus usque ad tertiam sequentem partem; ubi cum dictarum Radicum notitia fuerit necessaria, eam breviter

PARS II. De Regula Algebrae, eiusque partibus.

[note: ] ABsolutis Elementis numerorum algebraitorum, explicandus est modus operandi per Algebram, ejusque auxilio varias, et quantumvis difficiles atque abstruas quaestiones solvendi. Quem modum antiquiores ad bujus fere seculi initum usque in varias distraxerunt Regulas: primus vero (quod sciam) Clavius ad unicam omnes reduxit; quem nos quoque sequemur. Primo itaque celeberrimam Algebrae Regulam trademus, breviterque universim explicabimus: deinde singulas ejus partes enucleatius exponemus, et quidquid ad perfectam ejus cognitionem pertinere fuerit visum, declarabimus.

CAPUT I. De Regula Algebrae generatim,

REgula igitur Algebrae, quam alii Scriptores ante Clavium in plures distraxerunt, ut dixi, haec est.

[note: Algebrae Regula. ] Primo. Pro numero absondito qui quaeritur, ponatur unae Radix hoc modo, I R; et cum eaprocedatur juxta quaestionis propositae tenorem, donec perveniatur ad aliquam aequationem. Secundo. Inventa aequatio reducatur, si reductione opus sit. Tertio. Per numerum characteris Algebraici majoris dividatur reliquus aequationis numerus, et proveniet numerus absconditus in Quoto. Quarto. Si Quotus non manifestat numerum absconditum, extrahatur ex eo radix illa, quam character algebraicus Diivisoris induat; eritque haec numerus absconditus quaesitus.

Habet itaque Regula Algebrae quatuor partes. Prima est, Inventio aequationis, positâ seu assumptâ I R loco numeri ignoti qui quaeritur: Secunda, Reductio aequationis inventae, si opus fuerit: Tertia, Divisio alterius numeri aequationis per numerum majoris characteris algebraici: Quarta, Extractio radicis alicujus ex Quotiente, si fuerit necessaria.

Harum duae, nimirum Inventio aequationis, et Divisio, sunt omnino necessariae, quia in omni quaestione per hanc Regulam solvenda inquiri atque inveniri debet aequatio sive aequalitas inter duos numeros, et Divisio institui. Reliquae duae, scilicet Reductio aequationis, et Extractio radicis alicujus ex Quotiente, non sunt omnino necessariae, ut videbimus, cum multae quaestiones so lâ Inventione aequationis et Divisione solvi queant. Quando vero Quotus inventus indicet numerum quaesitum, et quando non, sed extrahenda sit radix aliqua; quae item radix extrahi debeat; dicemus in sequentibus. Nunc singulas praedictae Regulae partes singulatim ac distincte explicemus, et exemplis illustremus.

ANNOTATIO.

[note: ] POssunt etiam pro numero incognito poni plures Radices hoc modo, 2. R, vel 3 R, etc. sed quando id fit, debet numerus absolutâ tota operationne per Algebrae Regulam inventus, multiplicari per illam aliam Radicem assumpiam. Praestat ergo accipere I R, quam plures.

CAPUT II. De prima parte Regulae Algebraicae, quae est inventio aequationis.

[note: Aequationis inventio in Algebra. ] PRima pars Regulae Algebraicae jubet pro numero abscondito qui quaeritur, assumere hypothetice unam Radicem hoc modo, I R, et cum illa procedere secundum quaestionis tenorem, non secus ac si illa esset numerus inveniendus; donec inter Radicem assumptam, et juxta quaestionis propositae sententiam seu tenorem examinatam, et inter alium quempiam numerum, inveniatur aequatio, seu aequalitas aliqua. Sed rem hanc melius exemplis aliquot declarernus: quae exempla quia ficta esse solent et ab omni materia abstrahere; perinde est sive nos fingamus, sive ab aliis ficta mutuemus, et melius atque ad captum Tyronum accommodatius diducamus. Sitigitur

Primum Exemplum. Numerum invenire, a quo si auferatur dimidium, et tertia pars, remaneant 7. Pono hunc numerum ignotum qui quaeritur, esse I R sumo hujus 1/2. et 1/3. hoc est, 1/2 R, et 1/3 R, et addo inter se (juxta praeceptum de Additione fractionum traditum cap. 10 §. 4.) habeo 5/6 R: aufero 5/6 R, ex I R (juxta praeceptum de Subtractione fractionum traditum ibidem §. 5.) remanet 1/6 R. AEqualitas ergo inventa est inter 1/6 et hunc numerum, 7. Sic enim ratiocinor. Quoniam I R posita est aequalis toti numero abscondito qui quaeritur; erit 1/2 R aequalis dimidio totius illius numeri absconditi, et 1/3 R erit aequalis tertiae partis ejusdem totius numeri. Et quoniam dimidio ac tertia parte ex toto abscondito numero detractis, reliquus numerus est 7; fit, ut 1/2 R, et 1/3 R, hoc est 5/6 R detractis ex I R, reliquis numerus, nimirum 1/6 R, aequalis sit reliquo numero 7: quia si ab aequalibus ablata sint aequalla, quae relinquuntur, sunt aequalia.

Secundum Exemplum. In Veniendus sit numerus, qui si ducatur in 3, et ex producto demantur 24, residuique 1/3 ducatur in 5, pro[?] Pono numerum inveniendum esse I R: cum hac procedo juxta quaestionis tenorem, nimirum duco 1 R in 3 (juxta praecepta de Multiplicatione supra cap. 8. tradita) et produco 3 R: ex his subtraho 24 (juxta praecepta de Subtractione supra cap. 7. tradita) et remanent 3 R 24: hujus residui sumo 1/3, hoc est, divido per 3 (juxta praecepta de Divisione tradita c. 9.) et produco I R-8: hunc numerum duco in, 5, et produco 5 R-40. Hic ultimus numerus, juxta quaestionis propositae sensum. debet esse aequalis huic, 20. Inventa ergo est aequatio sive aequalitasinter 5 R - 40,

et 20. Nam quia I R posita fuit aequalis numero abscondito qui quaeritur, etiam I R ducta in 3, erit aequalis toti numero ducto in 3, etc.

Tertium Exemplum. Inveniendi sint tres numeri, hac lege, ut primum secundus excedat hoc numero, 4, secundum tertius hoc 6, sitque id quod fit ex ductu primi in secundum, minus eo quod fit ex ductu primi in tertium, hoc numero, 42. Quaeritur, qui sint hi tres numeri? Pono primum esse I R: erit ergo secundus I R + 4, et tertius I R + 10: horum primus et secundus in se ducti, faciunt I Q + 4 R: primus vero et tertius in se ducti, faciunt I Q + 10 R: quia itaque I Q + 4 R minus est quam I Q + 10 R, hoc numero 42; si addantur 42 ad productum ex primo in secundum, sic I Q + 4 R + 42.; erunt hi duo numeri, I Q + 4 R + 42, et I Q + 10 R, interse aequales. atque adeo inventa erit aequatio sive aequalitas inter hos duos numeros.

Quartum Exemplum. Dividatur numerus 24 in duas inaequales partes ita, ut siducatur major pars in 3, minor in 5, addantur producto minoris 20, majoris 4; summae fiant aequales. Pono majorem esse I R: erit ergo minor 24-I R: major ductus in 3, facit 3 R, minor in 5, facit 120-5 R: si huic addantur 20, illi vero 4; erunt hi duo numeri, 3 R? 4, et 140-5 R, aequales interse, atque adeo inventa erit inter illos aliqua aequatio seu aequalitas.

Quintum Exemplum Dividatur numerus 20 in duas partes ita, ut partes illae in seductae, producant 91. Pono primam partem I R: erit ergo secunda pars 20-I R: hae partes in se ductae, faciunt 20 R-I q: aequalitas ergo est inter 20 R I q, et 91

Annotatio I.

[note: ] EX his quinque exemplis (plurima alia habebis infra) patet, quaratione juxta tenorem quaestionis propositae procedendum sit cum I Rhypothetice assumpta tanquam aequali toti numero abscondito qui inquiritur, seu quomodo secundum quaestionis propositae sententiam sit examinanda I R assumpta.

Patet praeterea, quid sit aequatio in Algebrae Regula; nihil nimirum aliud, quam proportio aequalitatis inter duas quantitates sive res diversae denominationis: qualis est in primo exemplo inter 1/6 R et 7; quae sunt res diversae denominationis, cum unasignificet partes Radicis, alterapartes numeri absoluti. Eadem est ratio in aliis exemplis. Dixi, aequationem de qua hic sermo est, esse proportionem aequalitatis inter res diversae denominationis, non vero interres ejusdem denominationis. Nam aequalitas inter duas res ejusdem denominationis, aut falsa est (ut cum dico aequalitatem seu aequationem esse inter 5 et 7, aut inter 1/6 R, et 1/2 R) aut vera (ut cum dico, aequationem esse inter 6 et 6, aut inter 4 R et 4 R:) utraque harum inutitis est ad Regulam Algebrae, quia falsa parit falsum numerum absconditum; vera vero nugatoria est, quia identica, et quaestio tunc per quemvis numerum solvipotest.

Annotatio II.

[note: ] PAtet quoque ex his, Regulam Algebrae quoad hanc primam partem convenire cum Regula Falsi (de qua lib. 2. par. I. cap. 3. art. 3.) quia aeque ut illa docet ex numero falso hypothetice assumpto elicere numerum verum. Differt tamen quoad caeteras partes. Quare tametsi aliquae quaestiones quas Algebrasolvit, aeque solvi queant per Regulam falsi, infinitae tamen aliae per illam solvi nequeunt.

CAPUT III. De secunda parte Regulae Algebraicae, quae est Reductio aequationis.

[note: Aequationis reductio in algebra. ] SEcunda Algebraicae Regulae pars praecipit aequationem in ventam reducere, si opus sit reductione. Tunc autem opus est reductione, quando per operationem juxta primam praecedentem partem ejusdem Regulae deventum fuit ad talem aequationem inter duos numeros diversae denominationis, ut per numerum majoris characteris algebraici reliquus aequationis numerus dividi non possit, prout tertia pars Regulae praecipit. Quae quidem divisio fieri nequit, quando major character algebraicus, per cujus numerum fieri debet divisio, vel non solus reperitur in una parte aequationis, sed ei conjunctus est alius numerus algebraicus minoris denominationis, vel etsi solus ponitur, tamen in reliqua quoque parte aequationis idem character reperitur. Exemplis rem declaro. Sit inventa aequatio inter 9 R-12, et 42. Hîc non potest fieri divisio per 9 (qui est numerus majoris characteris algebraici in una aequationis parte, character enim numeri alterius partis, 42, est N, qui minor est quam R) quia non solum 9 R constituunt illam aequationis partem, sed 9 R-12. Sititerum inventa aequatio inter 9 R, et 72-3 R. Hîc iterum non potest fieri divisio per 9 R, numerum videlicet hujus characteris, R, quia licet solus ipse character occupet alteram partem aequationis, idem tamen reperitur quoque in altera aequationis parte, Plura exempla occurrent in sequentibus.

[note: Reductio aequationis in algebra, quando sit necessaria. ] Hae igitur aequationes, et omnes aliae his similes, in quibus videlicet major charactet algebraicus vel non solus ponitur in altera parte aequationis, vel etsi solus ponitur, tamen in reliqua etiam parte reperitur, reducendae sunt ad alias aequationes, in quibus major character algebraicus in altera parte aequationis solus statuitur, et in altera parte amplius non reperitur,

Haec autem reductio fit per varias restaurationes [note: Reductio aequationis in algebra, quomodo fiat. ] et transpositiones particularum in alterutra aut utraque parte aequationis repertarum, hoc est, si vel utrique termino aequationis idem commun[?] addatur, vel ab utroque idem commune subtrahatur (juxta Regulas supra de Additione et subtractione traditas, tam in numeris integris, quam in fractis) idque tam diu, donec major character algebraicus solus et solum in una parte aequationis reperitur; ita enim manebit illaesa aequatio sub terminis mutatis; quoniam si ab aequalibus auferantur aequalia, remanent aequalia; et si aequalibus adjiciantur aequalia, resultant aequalia. Sic aequatio inter 9 R-12, et 42, reducitur per restaurationem hujus diminuti, -12 (hoc est, per additionem numeri 12 ad utramque partem aequationis) ad hanc, 9 R; et 54: nam si ad 9 R-12 addas 12, habebis 9 R: et si ad 42 adjicias etiam 12, habes 54. Ita aequatio inter 9 R, et 72-3R, revocatur per restaurationem hujus diminuti, -3 R (hoc est, per additionem 3 R ad

utramque partem) ad hanc, 12 R, et 72. Pari ratione si aequatio inventa sit inter 9. R? 12, et 782 R, reducitur ea primo per restaurationem diminuti hujus, - 2 R (seu per additionem 2 R ad utramque partem aequationis) ad aequationem inter 11 R? 12, et 78 deinde haec, per transpositionem hujus additi,? 12 (hoc est, per subtradtionem 12 ex utraque parte) reducitur ad aequationem inter 11 R, et 66.

Annotatio I.

[note: Reducere aequationem quid sit. Reductione quando sit opus. Reductio in quo consistat. ] EXhis patet primo, quid sit reducere aequationem, nimirum idem ac datam aequationem sub aliis terminis illaesam proponere, ut apta sit Divisioni algebraicae. Patet secundo, quando opus sit reductione aequationis inventae, ad aliam aequationem; quando nimirum major character algebraicus vel non solus, vel non solum in una aequationis parte reperitur. Patet Tertio, in quo consistat reductio, nempe in hoc, ut velutrique aequationis ineptae termino idem commune addatur, vel ab utroque idem commune subtrahatur, idque tam diu, donec velex una parte tantum sit algebraicus character, ex alterâ tantum absolutus; vel ex una sit solus major algebraicus, ex altera minor cum absoluto. Patet quarto, quomodo intelligenda sit ratio in Prooemio hujus libri [note: Algebra cur vocetur restauratio. ] adsignata, ob quam nonnulli Algebram vocant restauratione, quoniam videlicet in reductione aequationum intervenit varia restauratio et transpositio, hoc est, additio et subtractio particularum ab una aequationis parte in aliam.

Hit expositis, reducamus jam aequationes praecedenti capite quinque Exemplis allatas. [note: Reductionis algebraica varia exempla. ] Prima itaque aequatio inter 1/6 R, et 7, non indiget reductione, quoniam maximus character algebraicus, nempe R, reperitur solum et solus in una parte aequationis, in altera vero reperitur absolutus. Reliquae vero aequationes aliorum Exemplorum indigent reductione.

Secunda itaque inter 5 R-40, et 20, reducitur, si utrique parti aequationis addantur 40, ut fiant ex una parte 5 R, exalia parte 60. Quoniam enim prima aequationis pars sunt 5 R-40; si adijciam 40, aufero-40, ac proinde manent 5 R: et si alten quoque parti, quae est 20, adijciantur similiter 40, fiunt 60. AEquatio igitur erit inter 5 R, et 60, utilis ad Divisionem algebraicam.

Tertia inter I q? 4 R? 24 ex una parte, et I q? 10 R ex altera parte, reducitur, si primo tollatur ab utraque parte I q, ut reman eant haec, 4 R? 42, aequalia his, 10 R. Deinde si rursus ab utraque parte tollantur 4 R, ut remaneant 42 ex una, et 6 R ex altera parte: tunc enim erit aequatio inter 6 R, et 42, utilis ad Algebrae Divisionem instituendam.

Quarta inter 3 R? 4, et 140-5 R, reducitur sic. Adduntur utrique parti 5 R, et erunt haec, 8 R? 4, aequalia his, 140: iterum tolluntur ab utraque parte 4, et remanent haec, 8 R, aequalia his, 136.

Quinta inter 20 R-I q, et 91, sic reducitur. Adduntur utrique parti I q, et erunt 20 R exuna, et 91? I q ex altera parte, et inter se aequalia. Iterum demuntur ab utraque parte 91, et remanebunt exuna parte 20-91, et altera I q, eritque inter 20-91, et I q, aequatio apta ad Divisionem algebraicam.

Annotatio II.

[note: Reductio aequationum quomodo instituenda, ] OMnis reductio aequationum, (ut bene monet Clavius cap. 10. Algebrae suae) ut ex peditior fiat, initium sumere debet a restauratione diminuti, si quod est; hoc est, numerus ille qui gerit hoc signum, -, utrique parti aequationis addi debet. Deinde transponendus est numerus signum[?]? gestans, ex una parte in alteram, hoc est, ex utraque parte est detrahendus. Quae quidem restauratio seu additio, et transpositio seu subtractio, quam vis recte fiat per regulas Additionis et subtractionis, de quibus supra cap. 6. et 7. tota tamen ars reductionis continetur in [note: Reductionis algebraica praecepta duo. ] his duobus praeceptis. I. Quidquid transponitur, mutat signum. II. Eadem signa subtrahunt, diversa vero addunt. Sensus primi praecpti est: Particula aequationis habens signum-, transposita in alteram partem ac quirit signum?, quia nimirum additur alteri parti. Particula vero gerens signum?, transposita in alteram partem acquirit-, quia nimirum subtrahitur. Quod quidem in omnibus praecedentibus reductionibus observatum est. Quod si particula illa quae transponitur, habuerit similem denominationem in altera parte, in quam est transponenda; usur pandum est secundum praeceptum, cujus sensus hic est. Si particulae aequationis transponenda, gerens signum quodcunque ex his duobus,?, -, habuerit in altera parte aequationis numerum majorem ejusdem denominationis cum eodem signo; subtrahendus est numerus illius particulae ab hoc numero, relinquendumque est idem signum quod habet numerus, a quo fit subtrastio: unde inchoanda erit transpositio a minori numero. Si vero in altera parte habuerit numerum ejusdem denominationis cum opposito signo; addendus est numerus illius particula huic numero, relinquendumque est idem signum quod habet numerus, ad quem fit additio. Haec antem duo praecepta solum inventa sunt pro compendio redictionis; quae fieri commodissime potest per solas regulas Additionis et Subtractionis: quare Tyrones, ne multitudine praeceptorum et regularum confundantur, solis Additionis et Subtractionis regulis contenti esse poterunt.

Annotatio II.

[note: Reductio aequationis inter fractiones quomodo fiat. ] AE Quotia quae inter Minutias seu Fractliones reperitur, reducitur ad aequationem integrorum, per multiplicationem in crucem, ducendo Numeratorem prioris in Denominatorem posterioris, et Numeratorem posterioris in Denominatorem prioris. Quae quidem integra inter dum abbreviantur per numeros, aut per characteres, et tandem iterum reducuntur. Exempla vide apud Clavium cap. 10. Algebrae.

Annotatio IV. De abbreviatione characterum algebraicorum, ut habeatur numerus absolutus in una parte aequationis.

[note: Abbreviatio characterum algebraicorum. ] SI occurrat aequatio, in quanullus sit numerus absiolutus, ita ut Divisio institui nequeat, abbreviari debent characteres agebraici, juxta dicta par. I. cap. 10. §. 8. Annot. 2. ut aequatio inter 2. Q, et 12 R, reduci debet ad aequationem inter 2 R, et 12 N. Item aequatio inter I C q, et I S s? 34560, ad aequationem inter I Q, et I R? 34560.

CAPUT IV. De tertia parte Regulae Algebraicae, quae est Divisio.

[note: Divisio in algebrae Regula. ] TErtia pars Regalae Algebraicae praecipit, ut inventâ aequatione, eâque reductâ, si opus sit; per numerum maximi characteris Algebraici, abjecto charactere, totus reliquus aequationis numerus dividatur, una cum characteribus algebraicis, si quos habet adjunctos. Quâ divisione factâ, vel Quotus est numerus absconditus qui quaeritur, vel radix aliqua ex quoto extracta.

[note: Divisionis algebraicae Quotus quando indicet numerum absconditum. ] Et quidem quando inventâ aequatione, aut fa ctâ reductione, major character algebraicus fuerit R, tunc Quotiens est numerus absconditus qui quaeritur: ut si 5 R aequales sint 30 N; factâ divisione numeri 30 per 5, dabit Quotiens 6 pro numero abscondito quaesito. Ratio est, quia per Divisionem habetur tunc pretium unius R. Idem contingit, quando numerus algebraicus majoris denominationis aequatur numero algebraico proxime minoris et collateralis denominationis, si tunc dividatur numerus minoris denominationis per majoris denominationis numerum: ut si 5 aequentur 30 q q; divisis 30 per 5, fit Quotiens 6, pro numero quaesito. Eadem ratio est de caeteris numeris algebraicis collateralibus. Hujus rei causa est, quia si horum numerorum characteres abbrevientur, eo modo quo supra diximus; reducitur aequatio inventa ad aequationem inter R, et N. Hujus vero ratio ulterior est. quod in quacunque progressione geometrica incipiente ab unitate, eadem semper est proportio cujusque numeri ad proxime antecedentem, quae secundi ad primum, hoc est, R ad N.

[note: Radix quando extrahi debeat ex Quoto divisionis algebraicae. ] Si vero post redudionem characterum, maximus character algebraicus aequationis, qui solus ex una parte aequationis statuitur, major fuerit quam R, et numerus absolutus sit in altera parte; tunc extrahenda est ex Quotiente Radix quam ipse character indicat, nempe quadrata, si character est Q; cubica, si character est C, etc. Sed de hac re plura capite sequenti. Ratio est, quia in hujusmodi aequationibus ex divisione invenitur aestimatio unius Quadrati, vel Cubi, vel Biquadrati, etc. cum tamen desideretur aestimatio unius Radicis.

Itaque in primo quinque Exemplorum, cap. 2. propositorum, si N 7. dividatur per 1/6 R, relicto charactere R; fit Quotiens 42 numerus absconditus quaesitus: nam si hujus numeri sumatur 2/1, nimirum 21, et 1/3, nimirum 14, atque hae partes ex ipso numero 42 detrahantur; fit reliquus numerus 7, ut in qusestione proposita desiderabatur.

Si in secundo Exemplo dividantur 60 per 5 R, proveniunt 12, numerus nimirum qui in quaestione erat propositus.

Si in tertio exemplo dividantur 42 per 6 R, proveniunt 7; qui est numerus primus in quaestione quaesitus: erit ergo secundus II, tertius 17.

Si in quarto exemplo, 136 per 8 R dividantur, provenient 17, numerus major: erit igitur minor 7.

In quinto exemplo, quia ab una aequationis parte est algebraicus maximus, ab altera minor algebraicus cum absoluto; debet uter que, tamabsolutus nimirum, quam minor algebraicus, per maximum algebraicum dividi, et ex producto radix quadrata extrahi, eo modo, quo ca pite sequenti dicetur.

Annotatio I.

[note: Divisio algebraica est compendium Regula Trium. ] DIvisio algebraica, de qua hîc sermo, compendium est Regulae Proportionum, de qua lib. 2. par. I. cap. 3 art. I. Nam dum inventâ aequatione v. g. inter 42 et 7 R. (eadem ratio est de aliis exemplis omnibus) divido 42 per 7, et invenio 6, idem facio, ac si juxta praescriptum Regulae Proportionum seu Trium decerem: si 7 R dant 42, quid dat I R? et ducto tertio numero in secundum, productisque 42, ea dividerem per primum, nempe per 7, R; invenirem enim 6 N pro aestimatione unius Radicis, quando quidem dum algebraicus numerus per algebraicum ejusdem characteris dividitur, producitur numerus absolutus, ut constat ex dictis supra cap. 9. de Divisione.

Annotatio II.

[note: Characteres algebraici quando abbreviandi. ] UT generaliter sciatur, quaenam radix eruenda sit ex Quotiente, quando duo numeri algebraici non collaterales inter se aequantur, quorum neuter est numerus absolutus; abbreviandi sunt characteres, ut aequatio fiat inter N, et numerum Algebraicum. Vt si aequatio sit inter 10 C q et 20 C; reducenda est ad aequationem 10 C, et 20 N. Qua reductione factâ, colligitur extrahendam esse Radicem cubicam. Et ratio est, quia in his casibus, factâ divisione, reperitur valor unius cubi, vel alterius numerialgebraici, ad quem facta est abbreviatio per characterem: nam idem tunc est, ac si dicas: si 10 C dant 20 N, quid dat I C? factâ enim multiplicatione secundi numeri per tertium, et divisis 20 N per 10 C; fieret Quotus 2, valor unius cubi. Eadem est ratio de reliquis.

Annotatio III.

[note: Characteres algebraici non necessario abbreviandi sunt. ] NOn tamen est necesse, quando duo numerialgebraici non collaterales inter se eaquantur, ab breviare characteres, ut cognoscatur, quae nam radix, factâ divisione majoris numeri algebraici per minorem, extrahenda sit ex Quotiente; sed sufficit videre quot denominationes in progressione geometrica inter propositos numeros algebraicos sint interjectae. Nam si una tantum est inter media, extrahenda est radix quadrata; si duae, cubica; si tres, biquadrata, et.

CAPUT V. De quarta parte Regulae Algebraicae, quae est Extractio Radicis,

QVando Quotus per Divisionem inventus parefa ciat numerum ignotum qui quaeritur, et quando non, sed radix aliqua ex Quoto sit, et quae nam sit extrahenda, quae eundem numerum ignorum manifestet; diximus capite praecedenti. Nunc de ipsa radicis extractione agendum. Qui quidem, meo judicio, est omnium difficillimus et intricatissimus in tota Algebra nodis, ut ex dicendis patebit. Varii varie procedunt, per compendia alii, alii per ambages; utrique laudabiliter. Ego viam sectabor quam Tyroni judicavero commodissimam. Itaque

tradam primo nonnulla, qua omni extractioni radicum (varixe nim sunt, ut videbimus) communia sunt: deinde pro aliquibus Regulas peculiares, vel potius unam omnibus communem, sed varie applicatam adsignabo: tandem omnes Regulas ad unam revocare conabor. Rationem dictorum vel intersecam, vel in finem differam.

[note: Extractio radicis quid; et quotuplex. ] §. I. Quid, et quotuplex sit extractio radicis. Ut haec explicem, seiendum est I. omnes numeros figuratos cujuscunque progressionis geometricae oririab una radice aliquoties posita, et vel in se solam; vel simul in productos numeros multiplicara. Sic in sequenti progressione inci-piente ab unitate, et pro grediente per augmentum triplex, radix est numerus 3, ex quo omnes reliqui, quantumvis ulterius extendatur praedicta progreffio, oriuntur, si aliquoties ponatur, et vel in sesolum, vel simulin producta ducatur. Sic Quadratus numerus oritur

ex radice bis posita, et in se multiplicata; Cubus oritur ex radice ter posita, ac primo in se, deinde in producttum Quadratum ducta; Biquadratus oritur ex radice quater posita, et primom se, deinde in Quadratum, demum in cubum mtiltiplicaca. Simili ratione Surdesolidus oritur ex radice quinquies, Cubiquadratus ex ea sexies, Sutdesolidus secundus ex eadem septies posita, et praedictis modis multiplicata. Quoties porro poni debeat radix, et in se primum, deinde in pioxime productros numeros multiplicari, ut resultet numerus aliquis figuratus geometricae progressionis, pulchre declarant Exponentes iisdem numeris suprascripti: toties enim poni debet radix, quot unitates continet exponens numerum de quo est sermo. Sic ad procreandum C que poni debet radix sexies, quia ejus Exponens continet sex unitates: ad Triquadratum poni debet octies, quia octo unitates habet Exponens ipsius, etc.

Sciendum est II. tametsi una et eadem sit radix omnium numerorum figuratorum alicujus progressionis geometricae, eam tamen respectu diversorum diversam sortiri denominationem: nam respectu numeri Quadrati dicitur radix quadrata, respectu Cubi cubica, respectu Biquadrati biquadrata, etc. adeo ut tot sint radicum seu species, seu differentiae, quot sunt numeti qui ex radicibus oriuntur.

Sciendum est III. numerum aliquem dici quadrate multiplicari, quando bis ponitur, et in seipsum ducitur: cubice vero, quando ter ponitur, et primum in se, deinde in quadratum ducitur; biquadrate, quando quater ponitur, et primum in se ducitur, ut fiat quadratus; deinde in quadratum, ut fiat cubus: demum in cubum, ut fiat biquadratus. Et sic ulterius.

Hispraemissis, Ajo I. Extractionem radicis ex aliquo numero nihil aliud esse, quam inventionem numeri ex proposito numero, qui multiplicatione aliqua in seproducat propositum, si exacte radicem habet. Ut extractio radicis quadratae, est inventio numeri ex numero, qui quadrate multiplicatus ipsum producat, si quadra, tus est: extractio radicis cubieae, est inventio numeri ex numero, qui cubice multiplicatus ipsum producat, si cubicus est, etc.

Ajo II. Sicut innumerae suntspecies multiplicationum numerorum in se, ex quibus oriuntur numeri figurari geomerricarum progressionum; et sicutinnumerae etiam sunt radices, seu potius ejus dem radicis denominationes. quae dictos numeros multiplicatae procreant; ita innumerae sunt Extractiones radicum, nempe Extractio radicis quadratae, Exrtactio radicis cubicae, biquadrarae, cubicubicae, etc. Rursus quia alii numerisunt absoluti, iique vel integri, vel fracti: alii algebraici; sic aliae quoque sunt Extractiones radicum ex numeris absolutis integris et fractis, alix ex numeris algebraicis. Algebraicus denuo vel simplex est, vel compositus; et uterque vel rationalis, vel irrationalis. Horum omnium respectu mire variat radicis Extractio. Nos priusagemus de Extractione radicum ex numeris absolutis, deinde ex algebraicis rationalibus De irranonalibus infra suo loco agemus,

§. II. Tabula primorum novem Graduum cum eorum Characteribus, et Exponentibus.

[note: Tabulae primorum novem graduum progressionis geometrica. ] NUmeri cujuscunque geometricae progressionis per certos gradus, tanquam per sca lam, ascendunt continuo, atque excrescunt, a radice, per quadratum, et caeteros in infinitum; ideo non incommode Gradus appellari possunt, quoniam veluti gradus constituunt scalam. In sequentibus Radicum Extractionibus semper ante oculos habendi sunt primi novem saltem, quoniam ab iis Extractio in choatur, ut patebit. Eorum igitur tabulam hic damus, unâ cum Characteribus, et Exponentibus.

In hujus Tabulae columna GH transversali, sunt Exponentes numerorum Gradualium seu scalatium: in columna IK characteres eorum: in LM et reliquis sequentibus sunt progressiones geometricae octo, incipientes ab unitate, et extensae usque ad nonum Gradum. Possunt omnes extendi in infinitum. In columna perpendiculari AB sunt umtates, a quibus incipiunt praedictae geoinetricae progressiones; in columna C D sunt Radices, in EF Quadrati, in N O Cubi, in P Q Biquadrati, in R S Surde soldi, in T V Cuboquadrati, in X Y Surdesolidi secundi, in ab Triquadrati, in p q Cubocubi, etc.

[note: Progressio geometrica quomodo extendatur. ] Gradus singularum columnarum transversalium L M, etc. extenduntur, si gradus ultim us uniuscujusque ducatur contimuo in radicem sibi respondentem: ut si volo extendere gradus columnae LM, duco 512 in 2, et productum iterum in 2, sic sic porro quousque libet.

[note: Characteres algebraici quomodo extensis gradibus progressionis geometrica apponuntur. ] Characteres extensis gradibus convenientes reperiuntur hoc modo. Omnes gradus post Surdesolidum primum, quorum Exponentes sunt mimeri primi (quos videlicet sola unitas metitur) ac proinde nullam habent communem mensuram praeter unitatem, cujusmodi sunc 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc. sunt Surdesolidi: ac proinde eorum characteres sunt Ss B, Ss C, Ss D, Ss E, Ss F, etc. Graduum vero rehquorum, quorum Exponentes non sunt numeri primi, sed compositi (quos videlicet praeter unitatem aliquis numerus ab ipsis diversus metitur) characteres reperiuntur, si accipiantur quicunque duo numeri, qui inter se multiplicati producunt Exponentem numerum Gradus oblati, et eorum characteres componantur in unum characterem: hic enim erit character quaesitus. Sic character Gradus, cujus Exponens est, 10, est QS s, quia si 10 dividam in 2 et 5, quae multiplicatione sua constitnunt 10, et characterem Exponentis numeri 2, qui est Q, conjungam cum charactere Exponentis numen 5, qui est Ss: habebo QSs pro charactere desiderato. Eadem est ratio de iis. Aliter. Div. de Exponentem Gradus propositi per numerum quemcunque, et conjunge characterem Divisoris et Quoti, et habebis characterem quaesitum. Sic si divido 10 per 2, invenio idem quod antea. Si cupio characterem Exponentis 12: divido 12 per 3, et produco 4, conjungoque characterem Exponentis 3 cum charactere Exponentis 4, qui sunt C et QQ, et habebo QC C. Si dividam 12 per 2, et produco 6, characteresque Exponentium 2 et 6, qui sunt Q et QC, conjungo: idem habeo quod antea.

§. III De Extractione radicis quadratae ex numeris absolutis.

[note: Extractio radicis quadratae. ] DEhac re egimus lib. 2. par. 1. cap. 3 art. 5. ubi etiam explicavimus quid sit numerus quadratus, quid radix quadrata, et quid extrahere radicem quadratam. Praxis ibidem tradita, haec est

Operatio prima, semel tantum facienda.

[note: ] 1. Numerum propositum divide in certa membra, interponendo punctum aut comna post binas quasque notas, initio facto a dexteris, ut factum vides in paradigmate A. Tot atitem Hguras habere debet Radix invenienda quot membra notasti. Quodlibet membrum constat duabus figuris, ultimo excepto, quod unica constarepotest.

2. Radicem postremi membri a sinistris, si quadratus est numerus; sin minus, quadrati proxime minoris, ex

columna E F praecedentis Tabulae desume, et pone post semicuculum: ipsum vero quadratum subscribe dicto membro, ut factum vides in eodem paradigmate A: eumque ab eodem membro subtrahe, et deletis numeris residuum pone infra, ut vides in paradigmate B factum. Haec prima est operatio, quae non repetitur amplius.

Operatio secunda, toties repetenda, quot membra supersunt post ultimum.

[note: ] 3. Ad residuum assume duos alios numeros penultimi membri, ut factum vides in paradigmate

B, et para novum Divisorem hoc modo. Primo Radicem post semicirculum scriptam duplica, et duplum subscribe notae sinistimae ejusdem penultimi membri pro novo Divisore, ut vides in eodem paradigmate B. Secundo. Vide quoties hoc duplum contineatur in numero sibi superscripto, et Quotum scribe tam post semicirculum pro nova radicis figura,

quam post duplum subscriptum, ut factum est in paradigmate C. Tertio Totum subscriptum multiplica per Quotum modo inventum, sive per novam radicis figuram; stabitque paradigma ut vides in C. Quarto. Productum subtrahe a numero sibi superscripto, et residuum pone infra; et stabit paradigma ut in D.

4. Residuo appone alios duos numeros antepenultimi membri (si aliud superest) ut factum vides in E: et denuo institue totam secundam operationem: nimirum duplica totum quod est post semicirculum notatum: duplum subscribe notae sinistimae dicti membri: vide quoties hoc

duplum contineatur in numero superscripto, et Quotum scribe post semicirculum pro nova radicis figura, ac post duplum antea positum pro novo Divisore: totum subscriptum multiplica per Quotum seu novam radicis figuram modo inventam: productum subtrahe a superscripto numero, residuum que infra scribe: stabitque paradigma ut in F: Quod si plura supersunt membra, eandem operarionem secundam toties repete, donec totum exhauseris numerum.

EXEMPLUM.

[note: ] SIt extrahenda radix quadrata ex numero 391876. Primo, incipiendo a dexteris, nota post binas quasque figuras comma, prout factum vides in omnibus Exemplis. Secundo, quoniam ultimum ad sinistrum membrum, 39, non est numerus quadratus: quaere in Tabula §. 2. quadratum proxime minorem, 36, eumque dicto membro subscribe: radicem vero, 6, nora post semicirculum, ut factum est in exemp lo A. Tertio, subtrahe 36 a 39: et residuum, 3, scribe infra, ur factum est in exemplo B. Quarto, ad residuum praedictum, 3, assume duas penultimi membri figuras, 1 et 8, ut in eodem exemplo B factum est. Quinto, duplica radicem, 6, post semicir culum scriptam; et duplum, 12, scribe tanquam novum Divisorem infra eo ordine, quo vides factum in dicto exemplo B. Sexto, vide quoties 12 contineatur in 31: et Quorum 2, scribe post semicirculum tanquam novam radicis figuram, ac etiam post 12, ut factum est in exemplo C. Septimo, duc Quotum seu novam radicem, 2, modo inventam in 122, et productum 244 scribe infra, ut in eodem exemplo C vides. Idem productum subtrahe a 318 suprascriptis: residuumque, 74, scribe infra, uc factum est in D. Ostavo, huic residuo adde reliquas duas tertii membri figuras, 7 et 6, ut factum est in E. Deinde duplum numeri 62 post semicirculum scripti, nempe 124, scribe infra 747 tanquam novum Divisorem, et vide quoties 124 contineantur in 747, seu 22 in 74; Quotumque, 6, scribe post semicirculum tanquam novam radicis figuram, et post 124, ut totus infra scriptus numetus sit 1246. Demum multiplica hoc totum per novam radicem 6: productum que 7476 subtrahe a 7476. Et quoniam nihil remanet, signum est numerum 391876 initio propositum, esse quadratum, ejusque radicem esse 626.

Annotatio I. Quid faciendum, quando absoluta tota operatione manet aliquid residuum.

SIperacta tota operatione praescripta, manet aliquod residuum, signum est numerum propositum, ex [note: Radicem quadrata propinquam invenire. ] quo radix extracta fuit, non esse exacte quadratum, ac proinde radicem inventam non esse praeise illius radicem, sed numeri quadrati proxime minoris numeri, et quae a veramodice differat, tribus modis inveniripotest. Primo Inventaeradici adjiciatur fractio, cujus Numerator sit residuum post extractionem, Denominator vero auplum radicis inventae, et praeterea unitas. Et haec fractio una cum radice inventa constituit radicem propositi unumeri minorem vera. Secundo. Inventae radici adjiciatur, fractio, cujus Numerator sit residuum praedictum. Denominator vero duplum radicis inventae. Et haec fractio una cum radice inventa constituit radicem propositi numeri majorem vera. Tertio. Residuo adde vel duas, vel quatuer, vel sex, vel octo, vel decem, etc. cifras, semper tamen binas: et operationem secundam toties repete, quoties binas cifras adjecisti: constituaturque fractio radici inventae adhaerens, cujus Numerator sit novus hic Quotus, Denominator vero unitas cum tot cifris, quot binarios illarum residuo adjecisti. Quo autem plures binarios cifrarum adjeceris, eo propinquior radix inventur. Aliter. Toti numero ab initio proposito apponantur aliquot binarit cifrarum, et radix extrahatur modo supra dicto, donec totus numerus sit exhaustus: deinde ex radice inventa abjiciantur tot figurae ad dexteram, quot cifrarum binarios adjecisti: et tunc residuae figurae dabunt radicem integram, abjectae vero constituent Numeratorem fractionis habentis pro Denominatore unitatem cum tot cifris, quot binarios cifrarum adjecisti: quae quidem fractio una cum radice integra inventa,

constituet radicem propositi numeri eo minorem vera, quo plures binarios adjecisti. Quod si Numeratori adjeceris unitatem, habebis radicem vera majorem.

Annotatio II.

[note: ] QUando in secuda operatione numerus, qui ex radice inventa duplicata resultans, non continetur, ne simel quidem, in numero cui velus novus Divisor subscriptur est; ponendus est zerus post semicirculum pro nova radicis figura, et deleto novo illo Divisore, caeteris vero omnibus relictis, procedendum est ulterius ut dicta secunda operatio praescribit, duplicando videlicet totam radicem post semicirculum scriptam, et duplum infrascribendo, sed una figura magis versus dexteram quam antea erat scriptum.

Annotatio III. IV. V.

[note: ] RAdix inventa debet habere tot figuras, quot membra commatibus distincta continet numerus e quo extracta est. Singula membra continent duas figuras, excepto ultimo ad sinistram, quod potest habere tantm unam, ut supra etiam dixi. Quod numerus propositus, ex quo radix quadrata extrahenda, dividendus sit in membra modo supradicto, ita ut quodlibet constet duabus figuris; indicat Exponens Quadrati in Tabula §. 2. qui est numerus binarius.

Examen operationis factae.

[note: ] RAdicem inventam multiplica per seipsam, et producto adde residuum, si quod remansit post secundam operationem ultimo repetitam: si prodit numerus primo propositus, operatio fuit legitima: sin minus, erratum est.

Annotatio VI.

[note: ] ALii in secunda operatione, postquam duplum radicis post semicirculum scriptae subscripserunt, et ejus quotum in ventum priori radicis notae apposuerunt: multiplicant illud per quotum, et subtrahunt: deinde ejusdem Quoti quadratum subscribunt, sed una nota magis versus dexioram, quam duplum praecedens, et similiter subtrahunt. Sed in idem redit hic operandi modus cum priori. Sed rem exemplo declaremns. Sit ex numero 7298 extrahenda radix quadrata. Quadratum

primi membri ad sinistram est 64, ejusque radix 8. Pacta subtractione quadrati 64 a numero 72, remanent 8. His infra scriptis, eisque apposito altero membro, 98: duplicant radi cem, 8, et 16 subscribunt: haec quia in suprascrip to numero 89 continentur quinquies: scribunt 5 post semicirculum, easque ducunt in 16, et productum 80 subtrahunt a 89, residuumque 98 subscribunt: his subscribunt 25, quadratum nimirum numeri 5, et subtrahunt; remanent 73. Idem faciunt, quoties secundam operatiorem repetunt. Sed noster modus compendiosior est isto, quem tamen insinuare volui, quia sequentium modorum norma est, ut patebit.

§. IV. De Extractione radicis cubicae ex numeris absolutis.

[note: Extractio radicis cubicae. ] PRaxin tradidimus supra lib. 2. par. r. cap. 3. art. 6. quam brevius ac distinctius hîc repetere placet, ut omnes radicum extractiones unum in caput includamus. Quid autem sit cubus, quid numerus cubicus, quid cubice multiplicare numerum in se: ibidem diximus.

Operatio prima, semel tantum facienda.

[note: ] 1. Numeram propositum divide in certa membra, post ternas quasque notas, initio facto a dextris, comma aut punctum interponendo, ut factum vides in A. Radix autem invenienda habere debet tot figuras, quot membra constituisti: et quodlibet membrum constat tribus notis, ultimo ad sinistram excepto, quod constare potest aut duabus, aut una rantum.

2. Radicempostremi membri a sinistris, si cubicus est numerus: sin minus, cubici proxime minoris in eo contenti, desume ex columna NO, Tabulae §. 2. et scribe post semilunulam, ut vides factum in B: ipsumvero cubum radicis subscribe dicto postremo membro, ab eoque subtrahe, et residuum scribe infra, suprascriptos vero numeros dele, ut vides factum in C et D. Et haec prima operatio non reperitur amplius.

Operatio secunda, toties repetenda, quot membra post ultimum supersunt.

[note: ] 3. Ad residuum assume tres alias figuras sequentis membri, ut vides factum in D. Et hoc appelletur novos Dividendus. Deinde para novum Divisorem hoc modo. Primo, triplica numerum post semilunulam scriptum, et triplum pone sub secunda novi Dividendi figura a dextris inchoando, si unica est figura, ut vides factum in D A: si autem sunt plures figurae, subjice dextimam secundae jam dictae, reliquas vero reliquis sequentibus laevam versus. Secundo, Eundem numerum post semilunulam duc in triplum jam antea subscriptum, ut habeas novum Divisorem. et summam productam scribe infra uno loco remotius versus sinistram, quam triplum est positum, ut vides factum in B A. Tertio, Vide quoties novus Divisor contineatur in numero sibi suprascripto, et Quotum scribe in semilunula, post primam radicis figuram antea inventam, ut vides factum in E.

Quarto, Quorum illius Divisoris ter multiplica: primo cubice in se, et productum subscribe dextimae figurae Dividendi novi superscripti, ut vides factum in F: deinde quadrate in se, et quadratum in triplum, productumque triplo subjice, ut vides factum in G: postremo simpliciter in Divisorem, et productum subjice divisori, ut vides factum in H. Haec tria producta adde in unam in summam, ut vides factum in I; eamque subtrahe ex superiori cubo, et

residuum scribe infra, si quod est, ut vides factum in K. Atque haec eadem operatio toties repeti debet, quot membra adhuc supersunt.

EXEMPLUM.

[note: ] REpono atque examino idem exemplum quod loco citato libri secundi adduxi, quoniam tametsi ibi constet sibi calculus, numeri tamen ron sunt sibi mutuo directe, ut oportet, suppositi, Typographi errore; nec tota operatio fuit ante oculos proposita. Discrimen inter hunc modum, et modum ibi traditum, est tantum in ordine et modo operationes instituendi, nullum in reipsa. Hic tamen modus distinctior ac facilior est.

Sit itaque extrahenda radix cubica ex numero A. Dividitur primo in quatuor membra, b, d, f, p, quorum quodlibet constet tribus notis, excepto ultimo ad sinistram. Deinde ex Tabula §. 2. quaeratur cubus maximus C, in ultimo membro b contentus, eique subscribatur; radix vero cubi scribatur post lunulam B. Demum subtrahatur cubus C a membro ultimo b, et residuum, 7, scribatur infra. Haec est prima operatio, nunquam amplius repetenda.

Secunda operatio sic instituatur. A d residuum, 7, assumatur penultimum membrum d, ut habeatur numerus D tanquam Dividendus. Deinde Primo triplicetur radix B, et triplum D A scribatur infra secundam notam Dividendi D. Secundo, eadem radix B, ducatur in triplum D A, et pioductum B A scribatur infra tertiam notam Dividendi D pro novo Divisote. Tertio, inquiratur quoties D visor B A contineatur in Dividendo D; et Quotus, 2, scribatur post radicem antea in ventam, ut fiat radix E. Quarto, nonus Quotus, 2, ducatur primo cubice in se, et cubus F cribatur ut vides: secundo, quadrate in se, et quadratum 4 ducatur in triplum D A, productumque G scribatur post cubum F, ut vides: tertio, simpliciter in Divisorem B A; et productum H scribatur infra ut vides. Haec tria pruducta, F, G, H, colligantur in summam I, et haec subtrahatur a Dividendo D; residuumque K scribatur infra ut vides. Haec secunda operatio adhuc bis repeti debet, quia adhuc duo supersunt membra, f et p. Itaque

Tertia operatio sic instituatur. Ad residuum K, assumatur ante penultimum membrum f, ut fiat novus Dividendus L. Deinde Primo triplicetur tora radix E, et triplum M scribatur infra ut vides. Secundo, eadem radix E ducatur in triplum M, et productum N scribatur infra ut vides, pro novo Divisore. Tertio, inquiratur quoties novus Divifor N contineatur in Dividendo L; et Quotus, 4, scribatur post notas radicis antea inventas, ut factum vides in O. Quarto, novus Quotus, 4, ducatur primo cubice inse, et productum P scribatur ut vides: secundo, quadratei inse, et quadrarum 16 in triplum M, et productum Q scribatur ut vides: tertio, simpliciter in Divisorem N, et productum R scribatur ut vides. Hae tres summae, P, Q R. colligantur in unam summam S; et haec subtr. hatur a Dividendo L; residuumque T scribatur infra.

Quarta denique et urtima operatio sic fiat. Ad residuum T, assumatur primum membrum p; ut fiat novus Dividendus V. Deinde Primo, tripletur tota radix O, et triplum X scribatur ut vides. Secundo, eadem radix O ducatur in triplum X, et productum Y scribatur ut vides pro novu Divisore. Tertio, videatur quoties hic Divisor Y contineatur in Dividendo V; et Quotus, 7, scribatur post radicem antea inventam, ut apparet in Z. Quarto, hic Quotus, 7, ducatur primo cubice in se, et productum Aa scribatur infra Dividendum V, ut vides: secundo, quadrate in se, et quadratum in triplum X; productum que Bb scribatur infra ut vides: tertio, simpliciter in Divisorem Y; et productum Cc scribatur ut vides. Hae tres summae, A a, B b, C c, colligantur in unam Dd; et haec subtrahatur a Dividendo V, eritque residuus numerus Ee: quod signum est, propositum numerum A non esse cubicum; sed maximuni numerum cubicum in eo contentum esse numerum Dd, ejusque radicem esse Z.

Annotatio. Quid faciendum, quando absoluta [orig: absolutâ] tota [orig: totâ] operatione manet aliquid residuum.

[note: Radicem cubicae propinquam invenire. ] QUando remanet aliquid post totam operationem signum est numerum propositum non esse cubicum, nec habere exacte cubicam radicem, ac proinde radicem inventam none esse neumeri propositi sed maximi cubi in eo contenti. Propinqua tamen propositinumeri radix, et quae a vera insensibiliter differat, invenitur, si ad numer um adji antur aliquot ternarii cifrarum. et extractio fiat ex toto aggregato ex numero et cifris deinde ex radice inventa abijciantur addexteram tot figurae, quot cifrarum ternarii fuerunt adjecti: reliquae enim figurae dabunt radicem integram cuiaddenda est fractio Numeratorem habens figuras abjectas, Denominatorem vero unitatem cum tot cifris quot ternarii fuerunt antea additi. Tanto autem propinquior radix invinitur, quanto plurescifrarum ternarii adjiciuntur.

Examen Operationis factae.

TOta radix ducatur cubice in se, et producto addatur residuum, si quod est, et si quidem resultat primus numerus propositus A, legitima fuit operatio, sin minus, fuit erratum. Sic in proposito exemplo, si radix tota z ducatur cubice in se, prodibit cubus 34233150223: cui si addatur residuum Ee, redibit numerus A.

§. V. De Extractione radicis Biquadratae, Cubiquadratae, Triquadratae, Cubicubicae etc.

[note: Extractio radicis Biquadratae, Cubiquadratae, Triquadratae, Cubicubicae etc. ] EXtractio radicis quadratae, et cubicae, quas hactenus explicavimus, norma sunt omnium reliquarum: omnes enim reliquae quadam proportione illas imitantur. Nonnulli particularia. artificia praescribunt pro singulis in particulari: alij generale pro omnibus: nos, ne Tyrones praeceptorum multitudine obruamus, neutrum facimus, sed eodem artificio hactenus pro radicis quadrarae et cubicae extractione tradito utemur ad reliquas omnes extractiones e numeris figuratis, quae denominationem a quadratis, aut cubis, aut utrisque simul habent, cujusmodi sunt numeri Biquadrati, Triquadrati, Cubiquadrati, Cubicubici etc: Pro quibus omnibus hanc cunicam damus Regulam.

Regula generalis.

Extractio radicis Biquadratae Triquadratae, Cubiquadratae, Cubicubica etc: cum sitradicum compositarum, sequitur Regulam extractionis quadratae, et cubicae.

Itaque qui vult radicem Biquadratam extrahere ex aliquo numero, extrahat primo radicem quadratam e numero proposito, deinde e radice inventra extrahat iterum radicem quadratam, et habebit radicem biquadratam quaesitam. Qui vero vult radicem Triquadratam, extrahat primo quadratam e numero toto, deinde ex dice primo inventa, demum ex radice secundo inventa. Qui vult Cubiquadratam, extrahat primo e numero dato radicem quadratam, deinde ex hac cubicam; vel e contrario primo cubicam extrahat radicem, et de inde ex hac quadratam. Qui vult Cubicubicam, extrahat primo cubicam, deinde ex hac aliam cubicam. Idem intelligetur de caeteris.

Universim itaque loquendo, si ex proposito numero figurato illas radices extrahas, quas characteres ostendunt, erit radix extrahenda inventa.

§. VI. De Extractione radicis e Surdesolido primo, secundo, tertio etc.

[note: Extractio radicis surdesolidae primae, secundae, tertiae etc. ] SUrdesolidus primus, ut ex dictis constar, fit ex multiplicatione radicis quinquies posita, ducendo illam primo in se, deinde in quadratum, tum in cubum, demum in biquadratum: ut si radix sit 2; ducitur primo in se, et fit quadratum 4; deinde ducitur in hoc quadratum, et fit cubus 8; tum in hunc cubum, et fit biquadratum 16; demum in hoc biquadratum, et fit furdesolidus primus 32. Ex quo constat, Exponentem surdesolidi primi esse 5, et numerum surdesolidum ex quo radix extrahenda sit, distinguendum esse in membra, quorum quodlibet constet quinque notis seu figuris, excepto ultimo ad sinistram, quod paucioribus constare potest, ut quatuor, tribus, duabus, unâ. Praxis autem radicem ex surdesolido primo extrahendi, est ut sequitur.

Operatio prima semel tantum facienda.

1. Numerum propositum divide in membra, post quinas quasque notas, initio faclo a dextera, ponendo comma, aut punctum. Radix itaque invenienda tot figuras habere debet, quot membra sunt constiruta.

2. Radicem ultimi membri a sinistris, si surdesolidus est numerus; sin minus, surdesolidi proxime minoris in eo contenti, desume ex tabula §. 2. eamque scribe post lunulam pro prima figura radicis inveniendae; ipsum vero surdesolidum radicis, ex eadem tabula desumptum, subscribe praedicto ultimo membro; et factâ subtractione illius ab hoc, residuum scribe infra, et suprascriptos numeros dele.

Operatio secunda, toties repetenda, quot membra post ultimum supersunt.

[note: ] 3. Ad residuum assume quinque alias figuras sequentis penultimi membri, ut habeatur novus Dividendus. Deinde para novum Divisorem hoc pacto. Primo, numeri post lunam scripti Biquadratum quintuplica, ejusque primam a dextris figuram scribe sub ultima a sinistris figura penultimi membri; reliquas vero sub reliquis laevam versus. Secundo, ejusdem numeri post lunam scripti Cubum decupla, productumque subscribe proxime

priori numero unâ figurâ magis versus dexteram. Tertio, ejusdem adhuc numeti scripti post lunam quad ratum de cupla, et productum scribe sub proxime priori numero unâ notâ magis versus dexteram. Quarto tandem, eundem numerum post lunam scriptum quintuplica, et productum scribe sub proxime minori unâ figurâ magis versus dexteram: Hos quatuor numeros sub Dividendo scriptos collige in unam sumam, et habebis novum Divisorem, Dividendo sub scribendum ita, ut prima ejus figura ad dexteram sit sub secunda Dividendi.

4. Vide quoties novus Divisor contineatur in Dividendo, et novumQuotum scribe post lunulam pro secunda figura radicis inveniendae. Deinde multiplicationem ad inveniendam summam a Dividendo subtrahendam, sic institue. Primo, Novum Quotum duc in quintuplum Biquadrati, et productum subscribe eidem directe. Secundo, Quadratum NoviQuoti duc in decuplum Cubi, et producrum subscribe illi directe. Tertio, Cubum novi Quoti duc in de cuplum Quadrati, et productum directe illi subscribe. Quarto, Biquadrarum novi Quoti duc in quintuplum Quoti, et productum ipsi subscribe. Quinto, numeris hactenus inventis, ac dicto modo collocatis, adde surdesolidum novi Quoti. Hos quinque numeros sub Divisore scriptos collige in unam summam, eamque a Dividendo suprascripto subtrahe.

Si plura supersunt membra, repetenda est haec eadem secunda operatio toties, quot supersunt membra.

EXEMPLUM.

[note: ] Sit extrahenda radix surdesolida ex numero A. Primo, dividatur numerus in membra b etc: et quia ultimum membrum b non est pure surdesolidus numerus, quaeratur ex tabula §. 2. surdesolidus maximus in eo contentus, nempe numerus C, ejusque radix, 5. ponatur post lunulam B: C vero sub tranatur a membro b, et residuum scribatu rinfra. Secundo, ad residuum assumatur alterum membrum c, ut fiat novus Dividendus D. Tertio, sumatur quintuplum Biquadrati B, et fiat numerus E: et decuplum Cubi ejusdem B, et fiat numerus F, et decuplum Quadrati ejusdem B, et fiat numerus G; ac quantum quintuplum ipsius B, et fiat numerus H. Quatuor hae summae, E, F, G. H, scribantur ut apparet in Exemplo, colliganturque in unam summam, ut habeatur Divisor I, qui scribatur infra ut in eodem Exemplo apparet. Quarto, Videatur quoties hic Divisor I contineatur in Dividendo D, et novus Quotus, 4, scribatur post lunulam K. Deinde, novus Quotus ducatur primo in quintuplum Biquadrati E, et summa L scribatur infra ut apparet in exemplo. Secundo, quadratum novi Quoti ducatur in decuplum Cubi F, et summa M scribatur infra. Tertio, Cubus novi Quoti ducatur in decuplum Quadrati G, et summa N subseribatur. Quarto, B, quadratum novi quoti ducatur in quintuplum Quoti H, et summa O similiter subscribatur, ut in exemplo est factum. Quinto denique, Surdesolidus P novi Quoti addatur praediclis summis: et omnes quinque summae; L, M, N, O, P, colligantur in unam summam Q, eaque subtrahatur a Dividendo D: eritque radix inventa 54.

Annotatio I.

[note: Rudicem surdesolidae propinquam invenire. ] SIperacta totâ operatione est aliquid residuum, signum est, propositum numerum non esse pure surdesolidum, nec habere accuratam radicem surde solidum. Propinquior autem radix eruitur, si toti numero apponantur aliquot quinarii cifrarum, et ex toto aggregaro extrahatur radix modo dicto, atque ab inventa radice detrahantur ad dexteram tot figurae, quot cifrarum quinarii fuerunt adjecti, ex abjectis vero figuris flat Numerator, et ex quinariis cifrarum Denominator, fractioquod adjiciatur radici inventae.

Examen Operationis factae.

TOta radix inventa ducatur surdesolide in se, hoc est, primo ducatur in se, ut fiat numerus quadratus; secundo in quadratum, ut fiat numerus cubicus: tertio in cubum, ut fiat numerus biquadratus: quarto in biquadratum, ut fiat numetus surdesolidus. Producto surdesolido addatur residuum, si quod fuit post extractionem radicis. Si redit numerus primo propositus, fuit legitima operatio: sin minus, erratum fuit.

Annotatio II.

[note: ] RAdicem surdesolidam secundam habebis, si ex numero proposito extrahas primo radicem surdesolidam: deinde ex radice inventa iterum eandemradicem extrahas. Simili ratione invenies surdesolidam tertiam, quartam etc. radicem.

CAPUT VI. De Extractione quarumcumque radicum e numeris fractis absolutis.

[note: Extractio radicum quarumcunque efractionibus. ] RAdicem petitam (nempe quadratam, cubicam, surdesolidam etc.) extrahe tam ex Numeratore, quam Denominatore fractionis, artificio

hactenus explicato; fradtio ex his composita, erit radix quaesita fractionis datae. Sic radix quadrata hujus fractionis 9/25, est haec, 3/5: radix cubica hujus, 8/27 est haec, 2/5. Idemest operandi modus in omnibus aliis exemplis.

Annotatio I.

[note: ] SIfactâ extractione superest aliquid tam in Numeratore, quam denominatore, adjciantur utrique aliquot binarii, ternarii, quarernarii, quinarii etc: cifrarum; et continue ur extractio modo dicto in praecedentibus: Si vero in alterutro tantum fractionis numero aliquid superest illi tantum adjiciantur cifrae, et operatio continuetur ut dictum.

Annotatio II.

[note: ] HOc artificio per adjectionem cifrarum extrahi possunt radices quaecunque ex numeris quantumvis parvis. Vt siex numero, 2. sit extrahendaradix quadrata, cubica etc: adjiciantur illi ali. quot binarii, ternarii etc: cifrarum, et extractio radicis instituatur modo dicto in antecedenitibus.

Annotatio III.

QVitabulas habet numerorum quadratorum et cubicorum cum suis radi ibus, quales construxit P. Paulus Guldinus in Append. lib. 1. de Centro gravitatis, ubi omnium numerorum ab unitate usquod ad decimillenarium quadratos et cubos exhibet; magna ex narte radicum quadratarum et cubicarum extrahendarum molestia liberatur. Nam si numerum datum, cujus radicim quadratam aut cubicam petit, invenit inter quadratos velcubos tabularum; invenit etiam radicem illi adscriptam: si non invenit, quarat illi proxime minorem quadratum aut cubum; eritquod radix huic adscripta maxima; quae circa fractiones elici ex dato numero potest.

Maximus quadratus in tabulis Guldini constat novem notis maximus vero cubus iredecim. Itaquod earum opeobtineri potest quadrataradix omnis numeri, qui non piuribus quam novem notis constat, et radix cubio a a omnis numeri, qui tredecim notas non superat. Quod si numerus oblatus constat pluribus notisquam praedictis possunt nihilominus earunde tabularum ope exillo expediri quatuor majora membra ad sinistram; quoadreliquas vero notas continuari potest extractio juxtaregulas in praecedentib. traditas.

CAPUT VII. De Extractione radicum ex numeris algebraicis simplicibus.

[note: Extractio radicum ex numeris algebraicis simplicibus. ] EXnumeris algebraicis simplicibus radix extrahitur eodem modo, quo ex absolutis numeris, de quibus hactenus egimus. Itaque radix quadrata ex hoc numero, 25 Q, extrahitur hon aliter qua ex numero absoluto 25; et radix cubica ex hoc, 17 C, non aliter quam ex hoc, 27 etc:

Utautem sciatur, quo charactere afficienda sit radixinventa, dividatur Exponens characterin umeri algebraici dati, per Exponentem characteris a quo radix extrahenda denominatur; indicabitque Quotus inventus Exponentem characteris, a quo radix in venta denominabitur.

Sit extrahenda radix quadrata ex hoc numero algebraico, 144 Q: quaeratur radix absoluta hujus numeri absoluti, 144, quae est 12: et quia Exponens numeri 144 Q, est 2. et Exponens characteris a quo radix quadrata denominatur, est etiam 2; dividatur Exponens illius per Exponentem hujus, nimirum 2 per 2, proveniet 1 proQuoto: ergo 1 erit Exponens characteris quem gerere debet radix 12 inventa: Erit igitur 12 R, radix quadrata hujus numeri, 144 Q: nam si hic numerus, 12 R, in seipsam multiplicetur, producetur numtrus antea datus 144 Q.

Sir iterum extrahenda radix quadrata ex 144 Cq. Accepta radice quadratâ numeri 144, nempe 12, dividatur. Exponens characteris hujus, Cq, nempe 6, per Exponentem radicis quadrarae, nimirum per 2; reperietur Exponens 3, cujus character est 3. Igitur radix quadrata hujus numeri, 144 Cq. est 12 C. Eadem est ratio de aliis quibuscunque.

Quod si ex divisione Exponentium modo dicto non producatur numerus Exponens integer; vel si producatur quidem, numerus tamen algebrsicus qui characterem gerit, non habet radicem quae inquiritur; catebit numerus algebraicus propositus radice illâ, quae desideratur. Ita hic numerus, 25 C, non habet radicem quadratam, quia etiamsi numerus ab solutus 23 habeat quadratam radicem, nempe 5; tamen ex divisione Exponentis hujus characteris, C, qui est 3, per Exponentem radicis quadratae, qui est 2, provenit numerus 1 1/2, cui nullus character respondet. Idem numerus 25 c, caret radice cubica, quia etsi ex divisione 3 per 3, nimirum Exponentis characteris C, per Exponentem radicis cubicâ, proveniat 1, qui est Exponens hujus characteris R; tamen quia numerus 25 caret radice ubicâ, etiam numerus algebraicus 25 C illâ carebit. Eadem ratio est de aliis similibus.

CAPUT VIII. De Extractione radicum ex numeris algebraicis compositis.

[note: Extractio radicum ex numeris algebraicis compositis. ] INaequationibus algebraicis juxta Algebrae regulam repertis, aliquando tres sunt numeri, ut quando uni numero algebraico aequantur duo, cujusmodi est aequatio inventa inter 1 Q et 6 R? 72, vel 1 Q, et 72-6 R etc: aliquando plures quam tres, ut quando plures quam duo numeri algebraici aequantur uni, qualis est aequatio inter 1 C? 3 Q? 7 R, et 34. Iterum tres numeri algebraici aliquando habent Exponentes, qui servant progressi onem Arithmeticam, hoc est, eundem seu aequalem inter se excessum habent, cujusumodi sunt 2, 1, 0; item 4, 2, 0; item 6, 3; 0; item 8, 4, 0 etc: aliquando vero non servant Exponentes Arithmeticam progressionem, ut sunt 3, 2, 0 item 3, 1, 0 etc: Arithmeticam progtessionem servant Exponentes sequentium

eaquationum: 1 Q. 6 R? 2. 2. 1. 0. Item 1. Q. 72-6 R. 2. 0. 1. item 1 Q. 14 R-48. 2. 1. 0. Item 1 Qq. 18 R? 648. 4. 2. 0. etc.

[note: Abbreviatio characterum algebraicorum quomodo fiat. ] Quando minimus Exponens non est o, ut in omnibus praecedentibus, sed numerus, ut in hac aequatione, 1 S s C. 725. S s B. 4. C c, cujus Exponentes sunt, 11, 7, 9 etc. tunc abbreviari debent Exponentes; quod fit dum subtrahitur minimus numerus tum a se, tum ab alijs Exponentibus, et residuorum characteres assumuntur. Sic in praece denti exemplo, si subtraham 7 a 7, et a 9, et ab 11, remanent 4, 0, 2 pro Exponentibus. Idem de alijs dicendum est.

In omnibus praedictis aequationum casibus, factâ divisione per numerum majoris characteris algebraici, extra henda est radix aliqua ex Quoto, qui semper est numerus algebraicus compositus, sive auctus, sive diminutus. Ante Francisci Vietae tempora tunc solum poterant certâ viâ et arte ex compositis numeris algebraicis extrahi radices, quando tres tantum numeri aequationis aderant, quorum Exponentes erant arithmetice proportionales, hoc est, servabant Arithmeticam progressionem seu proportionalitatem; dictus vero Vieta regulam universalem in venit pro omnibus radicibus ex qui buscunque numeris extrahendis, etiamsi plures sint quam tres numeri; et etiamsi Exponentes eorum non servent Arithmeticam proportionem. Nos hoc loco tantum explicabimus cum Clavio exrractiones radicum ex numeris prioris generis, quando nimirum unus numerus algebraicus aequatur duobus, et Expunentes eoram servant proportionalitatem Arithmeticam, quoniam ea facilior est pro Tyronibus, et sufficiens ad plerasque algebraicas quaestiones solvendas. De Vietae regula vel infra suo loco, vel alio in opusculo sermo erit.

§. I. De Extractione radicis quadratae ex numero algebraico composito aucto, vel diminuto.

[note: Extractio radicis quadratae ex numero algebraico composito. ] QUando trium numerorum Exponentes (mit 2, 1, 0, vel 2, 0, 1; radices quae factâ divisioneu nius aequationum termini per alterum exrahi debent, sunt omnes quadratae. Harum extrahendarum haec est regula.

1. Factâ divisione sume dimidium numeri radicum numeri radicum. 2. Adhujus dimidii quadratum adde, velab eodem subirahe numerum absolutum, prout hic signo? vel-fuerit affectus. 3. Ex hoc aggregato, velresiduo, extrahe radicem quadratam; eique adde, vel ab eadem subtrahe dimidium numeri radicum, proutradicum numerus signo? vel furrit notatus. Vltima haec summa, vel ultimum residuum, dabit numerum ignotum quaesitum, aestimationem videlicet et pretium unius radicis quadratae. Nunc regulam declaramus exemplis nonnullis a Clavio traditis.

EXEM PLUM. Sititaque aequatio inventa inter 1 Q et 72-6 R; quotum numetorum Exponentes sunt 2, 0, 1. Factâ divisione secundi aequationis membri per primum, abjecto charactere algebraico, nempe 72-6 R, per 1, ut jubet Regula Algebrae; prodit idem. numerus 726 R (pretium nimirum unius Quadrati) quoniam unitas non dividit. Hujus radicem ut inveniam: Primo, sumo dimidium numeri radicum, nimirum 3. Secundo, sumo hujus dimidij quadratum, nimirum 9, et illi addo numerum absolutum 72, quoniam gerit signum? (numerus enim qui nullo affectus est signo, intelligitur habere signum?, ut supra 1. par. cap. 5. advertimus) facioque 81. Tertio, ex hoc aggregato 81 extraho radicem quadratam, quae est 9, eique detraho dimidium numeri radicum, puta 3, quoniam numerus radicum affectus est signo-. Residuum, 6, est numerus absconditus quaesitus nimirum aestimatio unius radicis quae quaeritur.

EXEMPLUM II. Sit iterum aequatio in venta interi Q, et 6 R? 72, quorum Exponentes sunt, 2. 1. 0. Factâ divisione, Quotus est hic numerus, 6 R? 72; ex quo radix quadrata sic eruitur. Primo, capio dimidium numeri radicum, puta 3. Secundo, ad hujus dimidij quadratum, quod est 9, addo absolutum numerum 72, propter signum? quod gerit absolutus numerus, facioque 81. Tertio, ad radicem quadratam hujus summae 81, nimirum ad 9, adijcio dimidium numeri radicum, nempe 3, propter signum?, quo affectus est numerus radicum, efficioque 12, pro pretio raditis quaesitae.

EXEMPLUM III. Sit tertio inventa aequatio inter 1 Q, et 18 R-72, quorum Exponentes sunt, 2, 1, 0. Facta divisione, resultat Quotus, 18 R-72; ex quo radix quadrata sic eruitur. Primo, accipio dimidium numeri radicum, nimirum 9. Secundo, ab hujus dimidij quadrato, purta ab 81, subrraho 72, propter signum-, quod praeponitur numero absoluto, et remanent 9. Tertio, ad radicem quadratam hujus residui 9, quae est 3. addo cimidium numeri radicum, nempe 9, quia numerus radicum gerit signum?, efficioque 12 pro valoreradicis quaesitae, seu numeri abscondiu.

Annotatio.

[note: ] QUando numerus absolutus notatur signo-, duplex radix ex numero aldibraico proposito extrahi potest quae aequationi satisfaciat, major una, alteraminor: (nisi nume us absolutus aequalis sit quadrato dimidii numeri radicum; tunce imradix est ipsum dimidium numeri radicum.) Major habetur, siradici quadratae inventae addatur dimidium numeri raditum, ut dictum. Minor vero habetur, siraaix quadrata illius restdui ex dimidio numeri radicum detrahatur: ut in dato proxime exemplo, si 3, radix videlicet quadrata hujus residui 9 subiraha ur â 9, utpote dimindio numeri radicum reiinquentur 6 proradiceminore hujus numeri algebraici, 18 R 72. Itaque in hujusmodi numeris liberum erit, teriio loco adradicem quadratam inventam ex residuo illo, veladdere dimidrum numeri radicum, veleandem illam radicem inventam, ex dimidio numeri radicum subducere. Non tamen semper utraque radix propositum problemasolvit, sed altera tantum, ut bene notat Clavius cap. 12. Algerae, et ostendit cap. 32. aenigmate 25. Quare siexamen instirutum perunam radicum, non responaet aenigmari, assumenda est altera.

§. II. De Extractione radicis Biquadratae, Cubiquadratae etc: ex numero algebraico composito aucto, vel diminuto.

[note: Extractio radicis Biquadratae Cubiquadratae etc. ex numero algebraico composito. ] QUando trium numerorum algebraicorum Exponentes sunt, 4, 2, 0, vel 4, 0, 2, vel 6, 3, 0, vel 6, 0, 3, vel 8, 4, 0, vel 8, 0, 4 etc: tunc major character semper componitur ex Q, et alio charactere algebraico, ut ex eorum Exponentibus constat; et ideo radices quae extrahi debent factâ divisione, non sunt Quadratae, vel Biquadratae, Cubiquadratae, Triquadratae etc.

In his itaque casibus extrahenda est prius radix quadrata. propter characterem Q. juxta prae cepta praecedenti §. tradita, accommodando omnia illa quae de numero radicum praecepimus, illi numero qui affectus est charactete algebraico in illa parte aequationis, ex qua radix eruenda est, perinde ac si aequatio foret inter tres numeros cum characteribus Q, R, N. Deinde ex hac radice quadrata inventa, elicienda est alia radix, juxta reliquam partem characteris algebraici majoris, relicto hoc charactere Q; hocest (ut bene explicac Clavius) eruenda est radix denominata a charactere algebraico, qui in ea parte aequationis cernitur, in qua duo numeri reperiuntur, et qui medius est inter maximum characterem, et minimum, sive N. Ut si aequatio inventa sit inter 1 Qq, et 18 Q? 48; extrahenda est radix quadrara ex hoc numero, 18 Q? 648, propter priorem partem algebraici characteris Q, non aliterac si aequatio esset inter 1 Q, et 18 R.? 648 quae radix est 36: ex hac deinde nur sus eruenda est radix quadrata, nempe 6, ob reliquam partem characteris algebraici Q, qui medium locum tenet inter Qq. et N. Igitur 6 erit radix numeri algebraici propositi. Eodem modo, si sit aequatio inter 1 Cq, et 5120-16 C; extrahenda est prius radix quadrata hujus numeri, 5120 16 C; et ex hac deinde elicienda est radix cubica, quia character C est medius inter Cq, et N. Eadem ratio est de alijs.

CAPUT IX. De secundis Radicibus, earumque Elementis.

[note: Radices secunda, earumque Elementa. ] UT per Regulam falsae positionis non omnes quaestiones solvi possunt unicâ positione factâ, sed saepe opus est duabus, aut pluribus positionibus. ita etiam per Regulam Algebrae. Nam non raro quaeruntur duo, tres, autetiam plures numeri abrcouditi, quorum und per unam positionem unius aut plurium Radicum cognito, reliqui non facile cognosci possunt. Quo casu, postquam pro primo numero inveniendo posita est 1 R (aut etjam plures Radices) pro secundo numero ponenda iterum esset 1 R, iterumque pro tertio, quarto etc: Sed quoniam Radix pro secundo numero inveniendo posita, plerumque diversum valorem habet a radice pro primo numero posita; et radix pro tertio numero diversum quoque valorem a radice tam pro primo, quam pro secundo posita; ideo ad confu sionem vitandam distinguunt Algebrae Scriptores radices pro secundo, tertio, et reliquis numeris positas, appositis Alphabeti litteris sic, 1 A, 1 B, 1 C etc. easque uno nomine vocant Radices secundas, ad distinctionem Radicum pro primis numeris abscondiris positarum, quas Radices primas appellant. Denis hoc locoagendum, antequam ad exercitationem Algebraicam progrediamur. Poterit tamen Tyro, ne praeceptorum multitudine confundatur, differre hujus capitis lectionem usque ad caput ultimum par. 2. sequentis, in quo secundarum Radicum usum per exempla declarabimus.

§. I. Notatio et Significatio Radicum secundarum.

[note: Radicum secundarum notatio. et significatio. ] RAdices secundae, ut dixi, ad differentiam primarum, notantur sic: 1 A. 1 B. 1 c etc: 1 A significat 1 R secundam distinctam ab ea, quae primo loco posita est. 1 B significar 1 R secundam distinctam a duabus, quae primo, et secundo loco positae sunt. 1 C significat 1 R secundam distinctam a tribus, quae primo, secundo, et tertio loco positea fuerunt. Simili modo notantur et explicantur aliae radices se cundae alijs litteris expressae.

§. II. Numeratio Radicum secundarum.

[note: Radicum secundarum numeratio. ] QUando numerus, cursub junctum est signum secundatum Radicum, habet praepositum si gnum seu charactetem algebraicum, significatur numerum cum priore signo ductum esse in unitatem posterioris signi. Ut 1 R A, significat 1 R, ductam in 1 A, et 3 R A. significat 3 R, ductas in 1 A; S c 1 QAQ. indicat 1 Q, ductum 1 AQ etc.

§. III. Additio et Subtractio Radicum secundarum.

[note: Radicum secundarum additio, et subtractio. ] SI numeri addendi vel subtrahen di adjuncta habent signa ejusdem generis; adduntur et subtrahuntur numeri, et summae vel residuo apponitur idem signum quod antea gerebant. Ut si 3 Aad 4 A sunt addenda, fiunt 7 A: si 3 A ex 7 A sunt subtrahenda, restant 4 A.

Si numeri addendi vel subtrahendi adjuncta habent signa diversi generis; additio fit per signum?, subtractio per silgnum-. Ut si addendae sint 3 R ad 4 A, conflantur 3 R? A: et si addenda 3 A ad 4 B, fiunt 3 A? 4 B. Si vero 4 A subtrahenda sint ex 3 R, restant 3 R-4 A: et si 3 A ex 4 B subtrahenda sint, remanent 4 B 3 A.

§. IV. Multiplicatio Radicum secundarum.

[note: Radicum secundarum multiplicatio. ] I. MUltiplicatio numeri absoluti cum numero secundae Radicis, facit numerum secundae Radicis, Ut ex 6 in 3 C, fiunt 18 C: et ex 7 in 4 B, fiunt 28 B etc.

II. Multiplicatio numeri Radicis primae cum numero Radicis secundae sig natae solum literâ A, vel B etc. facit numerum cum eisdem signis. Ut ex 2 R in 2 A, fiunt 4 RA, id est, 4 R multiplicatae in 1 A: et ex 2 A in 2 R, fiunt 4 AR, hoc est, 4 A multiplicatae in 1 R. Sic etiam ex 3 Q in 4 B, fiunt 12 QB, id est, 12 Q multiplicata in 1 B etc. Sic etiam ex 1 R in 1 A, fit 1 RA, id est. 1 R multiplicata in 1 A: et ex 1 Q in 1 AQ, fit 1 QAQ, hoc est, 1 Q ductum in 1 AQ.

III. Multiplicatio numeri secundae Radicis cum numero secundae Radicis ejusdem literae, facit numerum cum charactere Q, praepositâ tamen eâdem literâ. Ut ex 3 A in 4 A, fiunt 12 AQ.

IV. Multiplicatio numeri secundae Radicis in se quadrate, vel cubice, producit numerum cum charactere Q, vel C etc. praepositâ eâdem literâ. Ut 1 A in se quadrate, facit 1 AQ, hoc est, quadratum secundae Radicis. Item ex 1 RA in 1 RA, fit 1 QAQ, id est 1 Q primae Radicis ductum in 1 Q secundae Radicis. Item 3 B in se quadrate, faciunt 9 BQ. Sic 3 B in se cubice, faciunt 27 BC.

V. Multiplicatio numeri secundae Radicis cum numero cecundae Radicis diversae literae, facit numerum cum iisdem litteris. Ut ex 3 A in 9 B, fiunt 27 AB, hoc est, 27 A multiplicatae in 1 B.

Nota hîc, quando numerus secundae Radicis ducitur in alium numerum ejusdem secundae Radicis, quae etiam habet characterem algebraicum; intelligitur primus numerus habere etiam characterem R. Ut ex 1 A in 1 AQ, fit 1 AC, quia ex ductu R in Q, fit C. Item ex 3 B in 4 BC, fiunt 12 B Qq, quia ex ductu R in C, fit Qq.

VI. Multiplicatio numeri algebraici simplicis absque liteta secundae Radicis, cum numero signato et literâ, et signo algebraico, facit numerum habenrem eandem literam et signum. Ut ex 2 C in 4 AQ, fiunt 8 CAQ, hoc est, 8 C multiplicati in 1 AQ. Item ex 1 C in 1 RAQ, fit 1 QqAQ, id est 1 Qq ductum in 1 AQ. Item ex 1 QA in se quadrate ducto, fit 1 QqAQ: quia ex 1 Q in se, fit 1 Qq; et ex 1 A in se, fit 1 AQ.

VII. Multiplicatio numeri post literam secundae Radicis signum algebraicum gerentis, cum numero gerente similiter post litteram secundae Radicis signum algebraicum, facit numerum cum charactere algebraico quem Exponentes characterum dant, cui praeponenda insuper est littera, vel litterae secundae Radicis. Ut ex 2 AQ in 5 AC, fiunt 10 ASs. Item ex 3 AQ in 4 BC, fiunt 12 ABSs.

VIII. Multiplicatio numeri post litteram secundae Radicis characterem algebraicum gerentis, cum numero gerente post characterem algebraicum litteram quoque secundae Radicis, facit numerum cum posteriore charactere algebraico, quem insequitur littera secundae Radicis; deinde apponitur character algebraicus productus ex priore charactere algebraico in literam secundae Radicis, ac si haberet signum R. Ut ex 1 AC in 1 QA, fit 1 QAQq. Tantundem quoque fit ex 1 RAQ in se quadrate ducta. Item ex 3 AQ in 4 CA, fiunt 12 CAC, id est, 12 C multiplicati in 1 AC.

§. V. Divisio Radicum secundarum.

[note: Radicum secundarum divisio. ] I. QUando dividendus est numerus secundarum Radicum per numerum secundarum radicum, fit prius reductio signorum algebraicorum per subtractionem similium signotum; deinde numeri dividuntur. Ut si dividendi sint 8 CAQ. per 4. AQ; reductis signis, dividuntur 8 C per 4 fitque Quotiens 2 C. Sic etiam 8 CAQ per 4 C divisi, dant Quotientem 2 AQ.

II. Quando autem dividendus est numerus R, per numerum secundarum Radicum; fit fractio in Quotiente. Ut 2 R per 4 A, fit 2R/4A.

Monitio ad Tirones.

[note: Regulae pro multiplicatione et divisione secundarum radicum. ] PRo Multiplicatione et Divisione secundarum Radicum sufficit prae oculis habere se quentes duas Regulas.

Si literae fuerint eadem, fit multiplicatio et divisio ut in primis Radicibus. Sic 4 Amultiplicata per 6 A, faciunt 24 AQ; et 24 AQ divisa per 4 A, dant 6 A.

Si literae fuerint diversae, utraque retinetur in producto. Sic 3 R, ductae in 4 A, producunt 12 RA: et 12 A divisa per 3 R, dant 4 A; tollitum enim divisoris character.

§. VI. Extractio radicum ex Radicibus secundis.

[note: Extractio radicum ex secundis radicibus. ] EX numero secundarum Radicum extrahitur radix (si habet) ut in extractione radicum ordinaria, eique apponitur littera secundae Radicis, rejecto charactere algebraico. Sic radix quadrata numeri 25 AQ, est 5 A: et radix cubica numeri 27 AC, est 3 A: et radix Biquadrata numeri 16 DQ que est 2 D.

PARS III. DE EXERCITATIONE Algebraica: in qua per variorum aenigmatum solutionem, Algebrae usus ostenditur.

[note: Exercitatio algebraicis. ] QVotquot fere de Algebra huc usque scripsêre, absolutis ejus Elementis, explicatâque Regulâ, varia proponunt

aenigmata, hoc est, problemata ac theoremata, eaque juxta tradita a se praecepta solvunt. Idem nos hoc loco faciemus in gratiam Tyronum, ut habeant in quo se exerceant, dum primo ea ad regularum amussim examinant, et num recte sint soluta, inquirunt: deinde similia suopte ingenio excogitant, et proprio Marte enodare conantur. Vtilissimam hac in re oteram collocarunt P. Christophorus Clavius, P. Joannes Lantz, Petrus Herigonus, et alii, quorum ipsissima paradigmata ad verbum transcribere, et Tyronibus exaeminanda proponere, insertis tamen subinde clarioribus explicationibus, additisque Scholiis nostris, non pigebit. Errores qui subinde in Lanzio occurunt Typographi incuria, sustuli.

[note: Algebraica Aenigmata ] Ad quatuor capita reducit Clavius aenigmata sua, ut ipse appellat. Primum continet varia aenigmata, numerotum abst actorum (eorum nimirum, qui adres materiales, qualiae sunt commercia, et mercatorum negotiationes, vel ad alias aliarum rerum quaestiones non contrabuntur) in quibus aequatio inter duos tantum numeros occurrit. Et hanc vocat aequationem simplicem. Secundum continet alia aenigmata numerorum abstractorum, in quibus aequatio inter tres numeros, quorum unus aliis aequalis est, occurrit. Et hanc vocat aequationem compositam. Tertium continet aenigmata numerorum ad res materiales contractorum, cum nonnullis exemplis secundarum radicum. Quartum denique caput continet aenigmata ad figuras geometricas pertinentia. His adjungit, Appendicis loco, aenigmata quaedam Ptolemaet. Alio ordine procedit Herigonus, alio alij. P. Lanzius sex Exemplorum genera proponit. Primi generis continent illa, in quibus vel divisor est unitas, ac proinde nulla divisio requiritur: vel nullâ reductione est opus: Secundi generis illa quae sola divisio solvit: Tertii generis, quae solvit extractio radicum: Quarti, in quibus secundae radices occurrunt: Quinti generis sunt exempla geometrica: Sexti, exempla quae contracte proposita abstracte solvuntur. Nobis placet sequens methodus, utpote Tyronibus accommodatior. Sed antequam progrediamur ulterius, praemittenda est haec

Annotatio Catholica. Quo pacto cognoscatur, utrum quaestio proposita, et per algebrae regulam solvenda, possibilis sit ut solvatur, nec ne.

[note: Algebra an propositam quaestionem solvere queat nec ne, quomodo cognoscatur. ] ALgebrae Regula, supra omnes alias Arithmeticae regulas, hanc habet excellentiam, ut in ipsa operatione nos doceat, num quaestio proposita solvi queat, nec ne: quod hac ratione contingit. Quotiescunque in dissolvenda per Algebrae praecipua quaestione aliqua incidimus in aequationem aliquam impossibilem, vel inepiam et quasi nugatoriam; signum est, quastionem nulla ratione solvi posse, vel certe esse ineptam et nugatoriam. Exempla multa adducit Clavius cap. 14. Algebrae: ut si quaeratur numerus, qui ductus in 3, et hic productus in se, tantum faciat, quantum ex ipso numero in se multiplicato, et ex hoc producto in 5. Ponatur enim quaesitus numerus us 1 R: quae ducta in 3, facit 3 R: et haeductae in se, faciunt 9 R: qui numerus debet esse aequalis ei qui fit ex 1 R in sed[?]cta, et ex producto in 5 ducto: fit autem ex 1 R in se, 1 Q: et hic numerus in 5 ductus facit 5 Q. Inventa ergo est aequatio inter 9 Q et Q: quae est impossibilis Signum ergo est, quaestionem propositam esse impossibilem ut solvatur. Sic etiam quandoper aequationem eliquam reperitur, 4 Q esse aequalia 4 Q: quaestio est possibilis quidem, at nugatoria et inepta.

CAPUT I. Aenigmata algebraica, in quibus vel nulla [orig: nullâ] divisione, vel nulla [orig: nullâ] reductione est opus.

[note: ] TUnc nullâ divisione est opus, quando divisor est unitas, quia haec non dividit. Quando autem nullâ aequatione sit opus; colligitur ex dictis supra par. 2. cap. 3. de aequatione.

Aenigma I. Detur numerus cui si addantur II, et ab eodem subtrahantur 7, prior sit duplus posterioris.

[note: Algebraica aenigmata, in quibus nulla [orig: nullâ] divisione est opus. ] POno numerum illum esse 1 R: cui si addo 11, et ab eodem subtraho 7: habeo ex una parte 1 R? 11, ex altera 1 R-7. Cum ergo ponatur esse duplus posterioris; si duplicetur secundus, erunt haec, 1 R? 11, et 2 R-14 aequalia. AEquatio ergo inventa est inter illa duo; quae tamen reductione opus habet. Tollatur ergo ab utraque parte aequationis 1 R; remanebunt 11 ex una, et 1 R-14 ex altera parte, aequalia. Addantur rursus utrique parti 14; erunt hinc 25. istinc 1 R, iterum aequalia. Quare si 25 dividantur per 1 R (quamvis nullâ divisione sit opus, cum unitas non dividat) erit numerus quaesitus. 25: nam si hiuc addam 11, fiunt 36: si ab eodem subtraham 7, remanent 18, subduplus prioris 36. Ex Lanzio.

Aenigma II. Dentur duo numeri differentes septenario, hac lege, ut si minor ducatur in 2. et producto addantur 3, et maior in 3. producto addatur 1. fiat maior duplus minoris.

[note: ] SIt minor 1 R. erit igitur major 1 R? 7. Si minor ducatur in 2, et producto addantur 3, fient

2 R? 3. Si major ducatur in 3. et producto addatui 1; fient 3 R?22. Cum ergo major ponatur duplus minoris; si minor duplicetur, erunt haec, 4 R? 6, et haec, 3 R? 22. aequalia. Si igitur ab utraque parte tollantur 3 R; erunt iterum haec, 1 R?6, et haec, 22; aequalia: et si rursus ab utraque parte tollantur 6; erit ex una parte 1 R, ex altera 16. AEqualitas ergo inventa est inter 1 R, et 16: ac proinde quaesiti numeri erunt 16, et 23: nam si differunt septenario; et si minor ducatur in 2, et producto addantur 3, fiunt 35; si vero major ducatur in 3, et producto addatur 1, fiunt 70; quod duplum est prioris. Ex Lanzio:

Aenigma III. Detur numerus, ex cuius 1/2, 1/3, 1/6 si tollantur 80, restent 100.

[note: ] ESto numerus 1 R: dictae illius partes sunt 1/2 R, 1/3 R, 1/6 R, summa 1 R, tantundem videlicet, quantum totus integer numerus. Ex hac summa, hoc est, ex toto numero si subtraham 80, restant 1 R-80, aequalia hisce, 100. Si igitur reducatur haec aequatio, et addantur utrique parti 80: erit 1 R aequalis hisce, 180. Igitur 180 est numerus quaesitus: nam si ex hujus 1/2, 1/3, 1/6, hoc est, si ex 180 auseram 80: remanent 100. Ex Lanzio.

Aenigma IV. Detur numerus, ex cuius 1/4 si subtrahantur 13, et residuum ducatur in 4, proveniant 48.

[note: ] NUmerus quaesitus sit 1 R: ex cujus 1/4 si tollo 13, restant 1/4 R-13; haec si duco in 4, proveniunt 1 R-52, aequalia his, 48. Si igitur haec aequatio reducatur, addendo utrique parti 52: erit 1 R, aequalis 100. Ergo 100 est numerus quaesitus: nam si ex ejus 1/4; quae est 25; subtra hantur 13, et residuum 12 ducatur in 4: pro veniunt 48. Ex Lanzio.

Aenigma V. Duo habent pecunias, singuli certam aureorum summam. Primus dicit secundo, si mihi dares unum aureum, haberem quantum tu: infert secundus, si tu mihi dares unum, haberem duplo plus te. Quaeritur, quantum quilibet habeat.

[note: ] POno primum habere 1 R: cui si secundus det unum, habet 1 R? 1. Cum ergo inter 1 R? 1, et pecuniam residuam secundi, ponatur aequalitas: habeat secundus 1 R? 2: cui si primus det unum, retinet primus 1 R-1, secundus vero habet 1 R? 3. Cum ergo jam pecunia secundi sit dupla primi: si quod primus retinet, nempe 1 R-1 duplicetur: erurt haec, 2 R-2, aequalia his, 1 R? 3; si utrique parti addantur 2, aequalia erunt 2 R, et 1 R? 5: rursus si ab utraque parte tollatur 1 R: e0072unt 5 aequalia 1 R. Primus ergo qui ponebatur habere 1 R, habet 5: qui si det secundo 1, retinet ipse 4: et quia secundus habet jam duplum primi; nempe 8; habebatantea 7. Ex Lanzio.

Annotatio.

[note: Algebraicum Aenigma Euclidis. ] POtest hic quaestio etiam solviper secundas radices, ut ex infra dicendis patebit. Haec eadem quaestio similis est aenigmati Geometrico Euclidis, quod Clavius et alii ex Graeco ita vertunt. Ibant mulus et asina vinum portantes: Asina autem ex dolore ponderis sui ingemiscebat: Quâ re visâ, mulus graviter ingemiscentem asinam sic interrogavit; Mater, cur ita lamentaris? cur puellae instar lacrymas fundis? Mensuram mihi unam si dederis, duplo quam tu plus sustulero: sin vero tu a me unam acceperis, idem plane, quod ego pondus feres. Mensuram itaque peritissime Geometer dicas volo. Si terminos invertas, et quaestionem formesut praecedentem, et juxta quaestione orem xamines; invenies pro asina mensuras 5 promulo 7. Eandem quaestionem, retentis terminis sub quibus proposita hîc est, solvit Clavius hac ratione. Pone promensuris muli, 1 R, ac proinde pro mensuris asinae 1/2 R? 1 1/2 ita n. si mulodederit 1 mensuram habebit mulus 1 R? 1: quod pondus duplum est reliquo ponderiasinae: imtrum 1/2 R? 1/2. At si mulus Asinaedet Imensuram, erit reliquum pondus muli 1 R-1, aequale ponaertri asinae, quodtunc erit 1/2 R? 1/2. Addatur 1. utrobique fietque aequatio inter 1 R, et 1/2 R?3 1/2 ablataque [?]/2 Rutrumque eric aequalitas inter 1/2 R, et 3 1/2. Divisis igitur 3 1/2 per 1/2, fict 1 R 14/2, vel 7/1, hoc est, 7, promensuris muli. Asina ergo habent 1/2 R? 1 1/2; portabit mensuras 3 1/2, et 1 1/2; nimirum 5: nam si mulo det asina 1 mensuram, habebit mulus 8 mensuras; quaeduplae sunt 4 mensurarum, quae asine supersunt: at si mulusdet asinae mensuram 1. portabit uterquam 6 mensuras. I a Clavius. Hic tamen procedendi modus non pertinet ad hoc caput, quia divisor non est unitas, et aequatio indiget reductione.

Aenigma VI. Sunt duo numeri, 20, et 25 et inveniendi sunt alii duo in quadrupla proportione, ita, ut si maior ad 25, minor ad 20 addatur, conflati numeri habeant triplam proportionem.

[note: ] POnatur primus numerus 1 R: erit ergo secundus 4 R. Hi additi prioribus eo quo postulatur modo, faciunt, 20?1 R, et 25?4 R. Hi numeri cum ponantur esse in tripla proportione, hoc est, cum posterior ponatur esse triplo major quam prior, ducatur prior, nempe 20? 1 R, in 3, ut fiant 60? 3 R: erunt 60? 3 R, et 25? 4 R, aequalia. Si igitur ab utraque parte demantur 3 R; remanebunt 60, et? 1 R aequalia. Si rursus ab utraque parte tollantur 25; remanebunt 35, et 1 R, aequalia. Numerus ergo minor, qui ponebatur esse 1 R, erit 35; cujus quadruplum, 140. erit alter: nam 20 et 35, faciunt 55: at 25. et 140, faciunt 165 qui numerus cum sit triplus numeri 35, bene operati sumus. Ex Lanzio.

Aenigma VII. [correction of the transcriber; in the print VI. ] Detur numerus, ex quo si tollantur 3, residui 1/3 addantur 7, summa haec ducatur in 3, rursusque ex producto tollantur 18, restent 21.

[note: ] ESto numerus quaesitus 1 R; ex quo si rollantur 3, restant 1 R--3; tertia pars hujus est 1 R-3/3; cui si addantur 7, juxta praecepta de additione supra de Additione fractorum, fient 1 R-18/3: haec in 3 ducta, faciunt 1 R? 18: hinc si tollantur 18, restat 1 R aequalis huic numero, 21. Ergo 21 est numerus quaesitus. Ex Lanzio.

Aenigma VIII. Detur numerus, cui si addam 7, et demam 11, atque ex conflati et residui summa tollam numerum ipsum, residuoque huic addam 4, fiant 27.

[note: ] POno numerum quaesitum esse 1 R: cui si addo 7, fiunt 1 R? 7: eidem si demam II, remanent 1 R-11: si addam 1 R? 4, et 1 R-11, efficio 2 R-4; ab hac summa si tollam 1 R numerum ipsum; restant 1 R-4: quibus si addo 4, efficio 1 R, aequalem hisce 27. Ergo 27 est numerus quaesitus. Nam si illi addo 7, conflo 34: si adimo 11, relinquuntur 16; summa conflata ex 34 et 16, est 50. ex qua si tollo 27, restant 23: his si addo 4, conflo 27, numerum desideratum. Ex Lanzio.

Aenigma IX. Dentur duo numeri, quorum differentia sit 12, hac lege, ut si quartam partem summae illorum ducam in 2, et ex producto tollam 6, relinquantur 20.

[note: ] SIt numerus minor 1 R: erit ergo major 1 R? 12, Summa utriusque est 2 R? 12: quarta par 8 1/2 R? 3, quae ducta in 2, facit 1 R? 6: ab hac summa si demam 6, restat 1 R, aequalis 20. Ergo 20 est numerus quaesitus minor; ac proinde major est 32: summa itriusque 52: quarta pars 13, ducta in 2, facit 26: unde si tollam 6, restant 20. Ex Lanzio:

Aenigma X. Quidam lucratur 1/3 suae pecuniae, de summa expendit 8, et residui lucratur 1/4: de hac summa expendit 15, et residui lucratur 1/5. de hac postrema summa expendit 5, ac tandem reperit se 25 aureos amplius habere quam ab initio habuerat: quaeritur, quot ab initio habuerit aureos, et quot iam habeat,

[note: ] POno habuisse ab initio 1 R: cui 1/3 addita, facit 4/3 R: ex his sublatis 8, restant 4/3 R-8. quibus si ad datur 1/4, fiunt 5/3 R-10: ex his dempte 15, relinquunt 5/3 R-25: hujus 1/5 est 1/3 R-5: quae additae his, 5/3 R-25, faciunt 6/3 R-30, sive 2 R-30: ab his si tollantur 5; restant 2 R-35. Haec cum hoc numero, 25, superent pecuniam quam initio habuit; erunt haec, 2 R-35, his, 1 R? 25, aequalia: et si ab utraque parte tollatur 1 R; erunt haec, 1 R-35, his 25, aequalia: rursus si utrique parti addantur 35; erunt et haec 60, huic, 1 R, aequalis. Ab initio ergo habuit 60 aureos, jam habet 85, nempe 25 amplius quam ab initio habuit. Ex Lanzio.

CAPUT II. Aenigmata algebraica, quae sola Divisio solvit.

[note: Algebraica aenigmata quae sola divisio solvit. ] TUnc sola Divisio solvit propositam quaestionem, quando divisione factâ non est necessarium ex Quoto extrahere radicem, sed ipse Quotus est numerus quaesitus.

Aenigma I. Quidam rogatus quot habeat aureos, respondet: sidarem alteri 3/5 et 1/4 meae pecuniae, tu vero mihi donares 50; haberem 200. Quaeritur, quot habeat aureos.

[note: ] POno habere 1 R: ex qua si tolantur 3/5 et 1/4, restant 3/20 R; quae cum 50, faciunt, 3/20 R? 50. Sunt ergo 3/20 R? 50, et 200 aequalia: et si ab utraque parte tollantur 50, erunt et 3/20 R ac 150. aequalia. Divisis igitur 150 per 2/20 R, proveniunt 1000. Atque tot aureos habebat ille ab initio: nam 3/5 de 1000, relinquunt 150: his si addantur 50, conflantur 200. Ex Lanzio.

Aenigma II. Dividatur numerus 100 in duas partes, ut 3/4 maioris sint aequales minori cum 5.

[note: ] POnatur major pars 1 R: erit igitur minor 100-1 R. Majoris 3/4 faciunt 3/4 R; minor vero cum 5 facit 105-1 R. Sunt ergo haec, 3/4 R, his, 105-1 R, aequalia: et si utrique parti addatur 1 R; erunt et haec, 3/14, his 105-aequalia. Divisis ergo 105 per 1 3/4 R, proveniunt 60, pars major; erit igitur minor 40. Majoris 3/4 sunt 45: et quia totidem facit minor cum 5, bene operati sumus. Ex Lanzio.

Aenigma III. Detur numerus, a cuius triplo si tollantur 30, residuum duplicetur, a producto deducantur 140, residuum ducatur in 4, a producto tollantur 100, nihil restet.

[note: ] POno esse 1 R; â cujus triplo si auseram 30, restant 3 R-30; ab hujus duplo 6 R-60; si deducam 140, restant 6 R-200; haec in 4 ducta, faciunt 24 R-800; a quibus si tollam 100, restant 24 R-900. Haec igitur aequalia sunt nihilo, sive unio; et si utrique parti addantur 900: erunt et haec, 24 R, aequalia his, 900. Divisis igitur 900 per 24 R, proveniunt 37 1/2, numerus quaesitus. Si enim ab hujus numeri triplo 112 1/2, tollam 30, restant 8 2 1/2: et si ab hujus duplo 165, demam 140 restant 25: ac denique si a quadruplo hujus, nimirum a 100, tollam 100: restat o. Ex Lanzio.

Aenigma IV. Inveniatur numerus, cui si addatur 1/3 sui, et 7, summa tantum supra 90 excrescat, quantum ipse est infra 79.

[note: ] POnatur numerus ille 1 R: cui si addatur 1/4 R, et 7, fient 1 1/4 R? 7. Hic numerus cum tantum sit supra 90, quantum 1 R est infra 79: fit, ut si 1 R ex 79, et 90 ex 1 1/4 R-7 subtrahantur, residua 79-1 R, et 1 1/4 R? 7-90, sint aequalia. Quare si utrique parti addantur 90: erunt et haec, 169-1 R his, 1 1/4 R? 7, aequalia. Sirursus utrique parti addatur 1 R; erunt et haec, 169, his, 2 1/4 R? 7 aequalia. Denique si ab utraque parte demantur 7, erunt et haec, 162, his 2 1/4 R, aequalia. Divisis ergo 162 per 2 1/4 R, proveniunt 72, numerus quaesitus: cui si 1/4 sui, cum 7 addantur, fiunt 97: qui numerus tantum est supra 90, quantum 72 sunt infra 79. Ex Lanzio.

Aenigma V. Duo emunt agrum 100 aureis. Primus ait secundo: si mibi tuae pecuniae 1/2, et 5 aureos dares, possem solus agrum emere (id est, haberem 100 aureos.) Infert alter: situ 1/2 tuae pecuniae mihi dares, emerem agrum. Quot quilibet habet aureos?

[note: ] POnatur primum habere 1 R: habet ergo alter 100 1/3 R (quandoquidem cum 1/3 pecuniae primi habet 100:) cujus dimidium cum 5, additum pecuniae primi, conficit 55? 5/6 R: quae sunt aequalia his, 100: et si ab utraque partetollam 55, erunt et haec, 45, his, 5/6 R, aequalia. Divisis ergo 45 per 5/6, proveniunt 54, pecunia primi: cujus 1/3, nempe 18, ex 100 sublata, relinquit 82, pecuniam secundi: hujus enim dimidium 41, cum 5, additum pecuniae primi, facit 100. Pari modo 1/3 pecuniae primi addita pecuniae secundi, facit 100. Ex Lanzio.

Aenigma VI. Dividatur numerus 10 in duas inaequales partes, ut maiore per minorem divisa [orig: divisâ] proveniant 20.

[note: ] POno majorem 1 R: erit igitur minor 10-1 R. Diviso illo per hunc, proveniunt 1R/10-1R; quae sunt aequalia his. 20. Ut jam dividantur 20 per 1R/10-1R, fient hae fractiones 1R/10-1R et 20/1. Hae reducantur (per dicta lib. 2. par. 1. cap. 2. art. 5. de reductione fractorum absolutorum) ad eandem denominationem; eruntque haec, 1R/10-1R, aequalia his, 200-20-R/10-1-R: sublatoque communi Denominatore, haec, 1 R, his 200-20 R: et si utrique parti addantur 20 R: haec, 21 R, his 200. Divisis igitur 200 per 21 R, proveniunt 9 11/21 pars major: Erit igitur pars minor 10/11 divisis enim 9 11/21 per 10/21 proveniunt 20; quod erat propositum. Ex Lanzio.

Aenigma VII. Viator unus conficit diebus singulis 7 milliaria; alter discedit 12 diebus post ab eodem loco, peragitque quottidie 9 milliaria [correction of the transcriber; in the print mililaria], Quaero, quoto die posterior consequatur priorem.

[note: ] PRimus in hoc casu conficit 84. milliaria, antequam posterior iter instituat: septies enim 12 sunt 84. quare in veniendus est numerus, qui ductus in 7, productoque additis 84, tantum fiat, quantum si idem numerus ducatur in 9, et nihil addatur. Ponatur numerus ille 1 R. Haec ducta in 7, facit 7 R, quae cum 84. faciunt 7 R? 84. Idem numerus ductus in 9 facit 9 R. Sunt ergo haec, 7 R? 84. aequalia his, 9 R; et sublatis ab utraque parte 7 R, haec quoque, 84, his, 2 R Divisis igitur 84 per 2 R, proveniunt 42. Atque tot diebus posterior priorem consequitur: ductis enim 42 in 7, et producto additis 84, fiunt 378, totidemque fiunt ex 42 in 9 ductis. Ex Lanzio.

Aenigma VIII. Quidam expendit suae pecuniae 3/5, plus 70 aureos: et residuos habet 220. aureos. Quaero, quantum pecuniae habuerit.

[note: ] POno habuisse 1 R. quare si expendat 3/5, plus 70, restant, 2/5-70; quae sunt aequalia his, 220. Si igitur utrique parti addantur 70; erunt et haec, 2/5 R, his, 290 aequalia. Divisis igitur 290 per 2/5 R, proveniunt 1450/2, seu 725. Atque tot aureos habuit: ex his enim si 3/5, et 70 subtrahas, restant 220. Ex Lanzio.

Aenigma IX. Quatuor dividunt inter se 1000 aureos hac lege, ut quoties primus capit 2, toties secundus capiat 3; et quoties secundus 4. toties tertius 5; et quoties tertius 6, toties quartus 7. Quaro quantum quilibet capiat ex tota summa.

[note: ] POno primum capere 1 R. Quia igitur quoties primus capit 2. toties fecundus capit 3: dico: 2 |1 R,| 3 quid? (hoc est, si qui 2 capit, habet 1 R: qui 3 capit, quid habet?) et invenio pro secundo 3/2 R. Rursus quia quoties secundus capit 4, toties tertius capit 5: dico: 4 |3/2|R, |5 quid? et invenio pro tertio 15 R. /8 Denique quia quoties tertius capit 6, toties quartus capit 7: dico: 6 |15 R/8, | 7 quid? et reperio pro quarto 105 R/48, sive 35 R/16. Suma omnium est 105 R/16, aequalis 1000. Divisis igitur 1000 per 105 R/16, proveniunt 125 8/21, pecunia primi: quam si ducas in 3, productumque dividas per 2, prodit pectinia secundi 228 12/21: quâ ductâ in 5, et producto diviso per 4, provenit pecunia tertii 285 15/21: denique hâc ducta in 7, productoque divisio per 6, prodit pecunia quarti 333 7/21. Summa omnium est 1000: bene er go operati sumus. Ex Lanzio.

Annotatio.

[note: ] SVmma 105 R/16 ita colligitur. Summa quarti est 35 R/16, summa tertii; 30 R/16, summa secundi 24 R/16; summaprim; 16 R/16. Hae summae omnes collectae in unam, efficiunt 105 R/16.

Aenigma X. Habeo duo pocula et unum operculum quod aestimatur 90 aureis: additum operculum pretio minor is poculi, facit summam duplam pretio maioris poculi: additum vero pretio maioris facit summam triplam pretii minoris poculi. Quaero quid quodlibet poculum valeat.

[note: ] POno minus valere 1 R; cui si addantur 90, erit summa 1 R? 90. dupla precii poculi majoris: majus ergo valet 1/2 R? 45. Si jam 90. ad majoris poculi precium addantur; erit summa 1/2 R? 135, tripla precii minoris poculi. Ergo cum precium minoris positum sit 1 R; erunt haec, 3 R, his 1/2 R? 135, aequalia: et si ab utraque parte tollatur 1/2 R; erunt et haec, 2 1/2 R. his, 135, aequalia. Divisis ergo 135 per 2 1/2 R, proveniunt 54, precium minoris poculi: cui si addantur 90, et summa per 2 dividatur, invenictur 72; precium majoris poculi. Ex Lanzio.

CAPUT III. Aenigmata algebraica, quae extractio radicis solvit.

[note: Algebraica aenigmata quae extractio radicis solvit. ] QUae et quando radix sit extrahenda ex Quoto Divisoris, peractâ operatione Regulae Algebraicae, diximus supra par. 2. cap. 4. Quomo do vero extrahendae sint omnis generis radices, diximus ibidem cap. 8.

Aenigma I. Dentur duo numeri in dupla proportione, quorum quadrata in se ducta faciant 58564.

[note: ] POno primum numerum esse 1 R: erit secundus 2 R. Horum quadrata sunt 1 Q et 4 Q: quae in se ducta faciunt 4 Qq. Quare haec, 4 Qq, aequalia sunt his 585 64. Divisis ergo 58564. per 4 Qq, proveniunt 14641; quorum radix biquadrata (haec enim extrahenda est, propter characterem Qq) est 11, numerus primus: erit igitur secundus numerus 22; horum enim duorum numerorum quadrata, 121, et 484, in se ducta, faciunt 58564. Ex Lanzio.

Annotatio

[note: ] RAdicem biquadratam ex quoto 14641. quam diximus esse 11, babebis si juxta dicta sup. par. 2. cap. 8. extrahas primo ex dicto numero 14641 radicem quadratam, quae est 121, et iterum ex haec radicem quadratam, quae est 11.

Aenigma II. Dentur duo numeri in tripla proportione, quorum ubi coniuncti faciunt 9604.

[note: ] POnatur primus numerus 1 R; erit ergo alter 3 R, Horum cubi coujuncti faciunt 28 C. Sunt ergo 28 C, et 9604, aequalia. Quare divisis 9604 per 28 C, proveniunt 343: cujus numeri radix cubica (propter characterem C) est 7, numerus primus: erit ergo secundus 21. Ex Lanzio.

Aenigma III. Inveniantur duo numeri, quorum differentia sit 10. faciantque numeri illi in se ducti 459.

[note: ] POnatur primus 1 R: erit ergo alter 1 R? 10. Hi numeri in se ducti faciunti Q* 10 R. Sunt ergo haec, 1 Q? 10 R, his, 459, aequalia: et si ab utraque parte tollantur 10 R; erunt et haec; 1 Q, 459 10 R, aequalia. Cum ergo hi tres numeri, 1 Q 459, 10 R, servent proportionem Arithmeticam, eorumque Exponentes sint 2, 0, 1: poterit ex illis radix quadrata extrahi. Divisis igitur 459 10 R per 1 Q, proveniunt 459, 10 R. Hujus numeri radix est 17: nam semissis numeri radicum est 5, ejus quadratum

25, ad quod additus absolutus (propter signum?) facit 484: ex hujus numeri radice quadrata 22, si subtrahatur semissis numeri radicum 5, prodit numerus 17: erit igitur alter 27. Ex Lanzio.

Aenigma IV. Sit numerus 20 in duas partes dividendus hac lege, ut partes in se ductae, gignant 91.

[note: ] POno primam partem 1 R: erit igitur altera 20-1 R. Haeduae in se ductae, faciunt 20 R-1 Q aequalia his, 91: et si utrique addatur 1 Q, fiunt 20 R, et 91? 1 Q aequalia: et si rursus ab utraque demantur 91, fiunt 20 R-91 et 1 Q, aequalia. Quibus ex numeris, cum eorum Exponentes 1, 0, 2, servent proportionem arithmeticam, potest extrahi radix quadrata. Divisis ergo 20 R-91 per 1 Q, proveniunt 20 R-91: Ex quibus sic extrahitur radix quadrata: semissis numeri radicum est 10, ex hujus quadrato 100 subtractus absolutus, propter signum, relinquit 9 hujus radix 3 addita et subtracta semissi, exhibet 13 et 7, quae sunt partes in quas numerus 20 dividendus proponebatur. Ex Lanzio.

Aenigma V. Quaeratur numerus, qui minor sit alio quodam numero 6 unitatibus, alio vero maior 8 unitatibus, et hi posteriores duo numeri in se ducti faciant 9752.

[note: ] SIt numerus ille 1 R: major ergo illo 6 unitatibus, erit 1 R? 6; minor vero illo eodem 8 unitatibus, erit 1 R-8. Hi duo numeri in se ducti, faciunt 1 Q-2 R-48, quae sunt aequalia his, 9752, et facta reductione, erit 1 Q aequale his, 9800? 2 R. Dimidium numeri radicum est 1, ad cujus quadratum 1, absolutus additus, propter signum?, facit 9801; ad hujus vero numeri radicem quadratum 99, addirum dimidium numeri radicum, facit 100, qui est numerus quaesitus: nam major illo 6 unitatibus est 106, minor vero 8 unitatibus est 92, et hi duo in se ducti factiunt 9752. Ergo quaestio soluta est. Ex Lanzio.

Annotatio.

[note: ] REductio horum duorum numerorum, 1 Q-2 R-48, et 9752, fit, si primo utrique adaantur 48, ut fiant 1 Q-2 R, et 9800, secundo deinde utrique addantur 2 R, et fient 1 Q, et 9800? 2 R.

Duo isti numeri, 1 R? 6, et 1 R-8, ducti in se fa ciunt 1 Q-2 R-48, si operatio instituatur prout in apposito exemplo apparet: nam 1 R ducta in 1 R? 6, facit 1 Q? 6 R, ut apparet

in A: iterum-8 ducta in 1 R? 6, faciunt-8 R-48, ut apparet in B: hi duo numeri additi inter se, producunt numerum C.

Aenigma VI. Dividatur numerus 12 in duas partes inaequales, ut quod ex multiplicatione partium fit, divisum per partium differentiam, reddat 17 1/2.

[note: ] POno primam partem esse 1 R: erit ergo secunda 12-1 R Hae in se ductae faciunt 12 R-1 Q. Differentia harum partium est 2 R-12: nam si 12-1 R subtrahantur ex 1 R, restant 2 R-12 pro differentia: per quam si 12 R-1 Q dividantur, erit Quotus 12 R-1 Q/2 R-12 (juxta dicta par. 1. cap. 9. in Annot.) qui est aequalis numero 17 1/2. Hi duo numeri reducti ad eandem denominationem, faciunt 24 R-2 Q/4 R-24, et 70 R-420/4 R-24, quae sunt etiam aequalia. Abjecto ergo Denominatore communi, erunt quoque Numeratores 24 R-2 Q, et 70 R-420, aequales; et facta reductione, erunt haec 2, Q, his, 420-46 R, aequalia. Divisis jam 420-46 R per 2 Q, proveniunt 210-23 R. Semissis numeri radicum est 11 1/2, ad ejus quadratum 132 1/4, additus abosolutus, propter signum?, facit 342 1/4: ex hujus radice quadrata 18 1/4, si semissis numeri radicum subtrahatur, propter signum, restant 7, pars major: erit ergo minor pars 5: nam si numeri in se ducti faciunt 35: qui numerus per illorum duorum differentiam, nempe per 2, divisus, reddit Quorum 17 1/2. Ex Lanzio.

Aenigma VII. Dentur duo numeri, quorum differentia sit 8, hac lege, ut si differentia quadratorum ipsorum subtrahatur ex ipsorum rectangulo, relinquatur 1.

[note: ] POno primum esse 1 R: erit ergo alter 1 R? 8. Quadrata ipsorumsunt 1 Q, et 1 Q? 16 R? 64. Differentia quadratorum est 16 R?64: quâ ex rectangulo ipsorum (quod est 1 Q? 8 R) subtractâ relinquuntur 1 Q-8 R-64, quae sunt aequalia 1. Si igitur utrique parti addantur 64, erunt haec, 1 Q-8 R, his, 65, aequalia. Si rursus utrique parti addantur 8 R, erit et hoc, 1 Q, his, 65? 8 R, aequale. Hujus radix 13, est numerus minor: erit ergo major 21. Ex Lanzio.

Aenigma VIII. Sunt tres numeri continue proportionales, quorum summa est 91, medius 21. Quaero qui sit primus, et qui tertius.

[note: ] POno primum esse 1 R: ergo cum secundus sit 21, erit tertius 70-1 R. quia omnes simul faciunt 91. Quoniam vero quando tres numeri sunt proportionales, est rectangulum extremorum aequale quadrato medii, per 20 Proposit. lib. 7. Elem. Euclid. fit ut haec, 441 aequalia sint his, 70 R - 1 Q: et si utrique parti addatur 1 Q, erunt et haec, 441? 1 Q, aequalia his, 70 R: rursus si ab utraque parte demantur 441, erit et hoc, 1

Q, his, 70 R-441, aequale. Semissis numeri radicum est 35: ejusque quadratum 1225: a quo subtractus absolutus, relinquit 784: hujus numeri radix quadrata 18, addita semissi facit 63: sublata ex eodem, relinquit 7. Sunt igitur hi tres numeri, 7, 21, 63, simul faciontes 91, numeri quaesiti: sunt enim, ut quaestio volebat, continue proportionales. Ex Lanzio.

Aenigma IX. Duo caupones vendunt vinum, prior 80, posterior 120 mensuras; vendit autem posterior pro uno aureo unam mensuram amplius quam prior et venditione peracta, habent ambo simul 44 aureos. Quaero, quot mensuras quilibet uno aureo vendiderit:

[note: ] POno priorem uno aureo vendidisse 1 R: ergo alter uno aureo vendidit 1 R? 1, adeoque prior omnes vendidit 80/1 R aureis, posterior omnes 120/1 R?, aureis. Haec simul faciunt 200 R? 80/1 Q? R: quae sunt his, 44, aequalia, sive his, 44/1. Quae si ad eandem denominationem reducantur, erunthaec 200 R? 80/1 Q

4 1 R aequalia his, 44 Q? 44 R/1 Q? 1 R subtractoque communi denominatore, aequalia quoque erunt haec, 200 R? 80, his, 44 Q? 44 R.

Facta ergo reductione, et divisione, proveniunt 39 R/11? 20/11; cujus numeri radix est 4. Vendidit ergo prior 4 mensuras uno aureo, posterior 5 mensuras. Nam si dividas 80; per 4, proveniunt 20: et si 120 per j, proveniunt 24. quae simul faciunt 44, ut quaestio volebat. Ex Lanzio.

ANNOTATIO.

[note: ] RAdix quadrata ex hoc numero 39 R/11? 20/11 sic extrahitur. Semissis numeri radicum est 39 R/22 ejus quadratum 1521/484 cui si addatur absolutus numerus sive 20/21 sive 880/484: fiunt 2401/484 radix est 48/22; quae si semissi numeri radicum addatur, fient 88/22, sive 4.

Aenigma X. Quidam conficit milliariae 1090 hac lege: primo die conficit unum, secundo 1/5 amplius, tertio rursus 1/5 amplius, et sic deinceps eadem differentia ad finem usque. Quaero, quanto tempore totum iter absolvat.

[note: ] POno totum tempus, seu immerum omnium terminorum totius progressionis arithmeticae esse 1 R. Ab hoc numero si tollam 1, et residuum ducam in differentiam 1/5, productoque addamprimum terminum, efficio 1 R-1/5 sive 1 R? 4/5 pro ultimotermino, per Regulam in Annotatione adducendam: cui si rursus addo primum, hoc est, 16 efficio 1R? 9/5: quo in semissem numeri terminorum, nempe in 1/2 R ducto, producto 1 Q? 9 R/10, summam omnium terminorum. Sed et eadem summa est 1090; sunt ergo 1 Q? 9 R/10, et 1090, aequalia; ergo et (facta reductione ad eosdem terminos, et communi Denominatore abjedo) aequalia sunt 1 Q? 9 R, et 10900: et si ab utraque parte tollantur 9 R, erunt 1 Q, et 10900-9 R aequalia: cujus numeri radix 100, est numerus dierum, quibus conficit milliaria 1090. Ex Lanzio.

Annotatio.

[note: ] INprogressione arithmetica, si numerus terminorum unitate mulctatus, ducatur in differentiam terminorum, producto addatur primus terminus; prodit ultimus. Hoc servatum est in solutione aenigmatis.

Praeterea summa omnium terminorum cujuscunque arithmeticae progressionis habetur, si addantur primus et ultimus termini, et summa per semissem numeri terminorum (vel semissis summae per numerum terminorum) multiplicetur. Hoc quoque in solutione eadem est servatum.

CAPUT IV. Aenigmata algebraica contracte proposita, et abstracte soluta.

[note: Algebraica aenigmata contracte proposita, et abstracte soluta. ] COnrracte aliquid proponere est illud materialibus rebus conjunctum et ut practicabile proponere. Abstracte vero proponere aliquid, est illud a materialibus rebus separatum proponere. Rem sequentia exempla declatabunt.

Aenigma I. Quidam herus famulo suo promittit quot diebus, si laboret, 12 nummos: si otietur, imponit mulctam 8 nummorum: finito anno neuter alteri quidquam debet. Quaere quot diebus laborarit famulus, quot fuerit feriatus.

[note: ] HAEc quastio abstracte sic proponitur. Dividatur numerus 365 (quot nimirum dies habet annus communis) in duas partes, ut altera ducta in 12, tantum faciat, quantum altera in 8 ducta. Ponatur prior pars 1 R: erit ergo posterio 365-1 R. Si illa in 12, haec in 8 ducatur, erunt producta 12 R, et 2920-8 R, aequalia. Igitur reductione, et divisione facta, proveniunt 146 dies laboris: qui ex 365 subtracti, relinquunt 219 dies otii. Ex Lanzio.

Aenigma II. Hospes quidam vendidit 30 urnas vini 210 aureis, quarum aliae habuer unt albam, aliae rubrum vinum: vendidit autem unam urnam vini albi 5, unam rubri 8 aureis. Quaero quot urnae fuerint albi, quot rubri vini.

[note: ] HAEc quaestio abstracte sic proponitur. Dividatur numerus 30 in duas partes, ut si una pars in 5, altera ducatut in 8, producantur 210. Ponatur pars prior 1 R: erit ergo altera 30-1 R. Si illa in 5, haec in 8 ducatur, producuntur 5 R, et 240-8 R: quae addita conflant numerum hunc, 240-3 R, aequalem huic, 210. Facta jam reductione, et divisione, proveniunt 10 urnae albi vini: erunt ergo vini rubri urnae 20. Nam quinquies 10 faciunt 50; octies vero 20 faciunt 160: quae simul faciunt 210. Ex Lanzio.

Aenigma III. Sunt duo genera monetarum numero 1000, valentium aureos 80, quorum alterius generis 10, alterius 20 valent unum aureum. Quaero quot sint quarum 10, quot quarum 20 unum aureum valent.

[note: ] HAEc quaestio abstracte sic proponitur. Dividatur numerus 1000 in duas partes, ut si una per 10, altera dividatur per 20, faciant duo illi Quoti 80. Posita priore parte 1 R, erit altera 1000-1 R. Divisâ illâ per 10, hâc per 10, proveniunt 1 R/10 et 50 1 R/20: quae simul faciunt 50? 1 R/20 Sunt ergo haec, 50? 1 R/20 his, 80, aequalia. Factâ reductioue, et divisione proveniunt 600 pro parte priori; erit ergo altera pars 400. Sienim 600 per 10, et 400 per 20 dividantur, proveniunt 60, et 20, quae simul faciunt 80. Ex Lanzio.

Aenigma IV. Duae civitates distant 228 milliaribus, ex quibus duo tabellarii exeuntes occurrunt sibi die 12, conficitque prior quottidie unum milliare amplius quam posterior. Quaero quot milliaria quilibet quot diebus conficiat.

[note: ] HAEc quaestio abstracte sic pro poni potest. Quaerantur duo numeri, quorum excessus sit 1, ut si uterque ducatur in 12, fiat summa productorum haec, 228. Numeri sint 1 R, et 1 R-1: qui ducti in 12, faciunt 12 R, et 12 R-12: horum summa, 24 R-12, est aequalis his, 228. Facta reductione, et divisione, reperitur major 10: ergo minor 9: quare prior quot diebus, 10, alter 9 milliaria conficit. Ex Lanzio.

Aenigma V. In qualibet duarum militarium turmarum, quarum altera alter am 300 militibus superat, distribuuntur 4000 aurei, et capit quilibet minoris turmae 3 aureos amplius, quam quilibet maioris. Quaero quot in qualibet turma sint milites.

[note: ] HAEc quaestio abstracte sic proponi potest. Dividatur numerus 4000 per duas, quarum minor a majore excedatur numero hoc, 300, sitque Quotus prioris divisoris major Quoto posterioris, numero hoc, 3. Posito Divisore minore 1 R, erit major Divisor 1 R? 300: per quos si dividatur numerus 4000, proveniunt 4000/1 R et 4000/1 R? 300. Et quia Quotus prior superat posteriorem hoc numero, 3: addenda sunt posteriori 3, juxta dicta lib. 2. par. 1. cap. 2. art. 7. ut fiant 3 R? 4900/1 R? 300. Sunt ergo jam 4000/1 R et 3 R? 4900/1 R? 300 aequalia. et si ad eandem denominationem reducantur, communisque Denominator abjiciatur; erunt et 3 Q? 4900 R, et 4000 R? 1200000, aequalia. Reductione igitur, et divisione factis, proveniunt 400000-300 R cujus numeri radix est; 500, turma militum minor: erit ergo major 800. Nam si 4000 dividantur per 500, et 800, proveniunt 8 et 5; quorum prior posteriorem excedit in 3: excedit quoque major turma minorem 300 militibus, et capit quilibet majoris turmae 5, quilibet vero minoris 8 aureos, ut quaestio voluit. Ex Lanzio.

Aenigma VI. Quidam emptis centum ulnis panni, rogatur quanti unam ulnam emerit: respondet, quanto minoris emi 40 ulnas quam 80 aureis, tanto minoris emissem 50 ulnas quam 95 aureis. Quaeritur quanti unam ulnam emerit.

[note: ] HAEc quaestio abstracte sic proponitur. Quaeratur numerus, qui si ducatur in 40, et 50, atque ex productis rejiciantur 80, et 95, residua sint aequalia. Ponatur numerus ille 1 R: qui dustus in 40, et 50, facit 40 R, et 50 R: ex quibus si demantur 80, et 95-restant 40 R-80, et 50 R - 95, quae sunt aequalia. Reductione, et divisione factis, proveniunt 1 1/2. Atque tanti emit unam ulnam. Si enim unaconstat 1 1/2 aureis, constabunt 40, aureis 60; et 50 constabunt aureis 75. Cum itaque et 60 minus sint quam 80; et 75 minus quam 95, aureis 20: bene operati sumus. Ex Lanzio.

Aenigma VII. Quidam testamento legat aureos 2625, distribuendos inter uxorem filium, et filiam, hac lege, ut filius accipiat duplum matris, et mater duplum filiae. Quaeritur quantum unicuique debebatur.

[note: ] ABstracte sic proponi potest quasstio. Numerum 2625 dividere in tres partes, ut secunda sit dupla primae, et prima sit dupla tertiae. Pono portionem filiae 1 R: erit ergo matris portio 2 R, et filii 3 R, omnes vero simul erunt 6 R, aequales 2625 aureis: quibus divisis (nulla enim aequatione est opus) per 6, proveniunt pro portione filiae aurei 375, matris 750, filii 1500.

Aenigma VIII. Habeo quatuor vasa argentea valoris 164 aurearum: et valor primi est duplus secundi, et secunditriplus tertii, et tertii quadruplus quarti. Quaeritur valor singulorum.

[note: ] ABstracte proponitur quaestio, si petatur dividi numerum in quatuor partes, quarum prima sit dupla secundae, secunda tripla tertiae, tertia quadrupla quartae. Pono quartum valere 1 R aureorum, ac pronide tertium 4 R, secundum 12 R, primum 24 R, omnia simul 41 R, quae aequalia sunt 164 aureis. Divisis igitur 164 per 41, invenitur valor ultimi seuquarti 4 aureorum, ideoque tertii 16 aur. secundi 48 aur. primi 96 aur. quorum aureorum summa quia fit 164, recte operati sumus.

Aenigma IX. Quidam fregit tot ova, ut si fregisset seorsim illorum 1/3, et 1/4, et 1/5, et insuper 6, fregisset 100. Quaeritur quot fregerit.

[note: ] QVaetio sic proponi potest abstracte. Detur numerus, cujus 1/3, et 1/4, et 1/5, et insuper 6, faciant 100. Ponatur pro numero ovorum fractorum 1 R. Hujus 1/3 R, 1/4 R, 1/5 R faciunt 47/60 R juxxta dicta l. 3. c. 2. art. 5. et 7. et additis. erunt 47/60 R? 6, aequalia his, 100. R eductio~e facta per subtractionem numeri 6 ab utraque patte aequationis, manebit aequatio inter 47/60 R, et 94. Divisis igitur 94 per 47/60, invenientur 120. numerus ovorum fractorum Nam hujus numeri 1/3 est 40, et 1/4, est 30, et 1/5 est 24, quae partes omnes simul cum 6, faciunt 100.

Aenigma X. Quidam moriens testamento legat uxori praegnanti 6000 aureorum hac conditione, ut si filium pariat, accipiat ipse 2/3 matris: sin pariat filiam, accipiat haec 1/3 matris: parit deinde filium et filiam simul, et dividit pecuniam iuxta dictam conditionem. Quaero quantum quaevis persona accipiat.

[note: ] ABstracte proponitur quaetio sic. Aureos 6000 dividere inter tres hac lege, ut primus accipiat 2/3 totius, secundus 2/3 residui, et tertius reliquum. Pono pro filio 1 R: pro matre ergo 1/3 R, et pro filia 1/6 R. Omnium summa est 9/6 R, aequalis huic numero, 6000. Facta divisione hujus per illum, proveniunt profilio 4000, pro matre 1 333 1/8, pro filia 666 2/3.

CAPUT V. Aenigmata algebraica geometrica.

[note: Algebraica aenigmata geometrica. ] GEometricarum quaestionum multa; solvi non possunt, per Algebrae regulam sine cognitione et usu numerorum irrationalium, ac radicum surdarum. Harum solutionem igitur differam usque ad sequentem partem 4: in qua de dictis numeris et radicibus agetur, hic vero illas tantum proponam, quae ex dictis hactenus regulis solvi possunt.

Aenigma I. Est rectangulum AE, cuius maius lasus AC est duplum minor is CE, minus 3 pedibus: area vero est 209 pedum quadratorum. Quaeritur quanta sint latera.

[note: ] POno minus latus esse 1 R, erit igitur majus 2 R-3. Haes in se dutcta, faciunt 2 Q-3 R, aequalia his, 209, et si utrique parti addantur 3 R,

erunt 2 Q et 209? 3 R aequalia. Divisis igitur 209? 3 R, per 2 Q, proveniunt 104 1/2? 1 1/2 R, cujus radix ita invenitur. Semissis numeri radicum est 3/4, ejus quadratum 9/6 additum ad absolutum (propter Signum?) facit 105 1/16: ad hujus radicem 10 1/4, addita semissis radicum conflat 11, latus minus: igitur majus est 19, tribus unitatibus minus quam 22, duplum minoris. Ex Lanzio.

ANNOTATIO.

[note: ] DIximus, 9/10 addita ad 104 1/2, facere 105 1/16. Nam 104 1/2 reducta ad 1/2, faciunt 209: haec addita 9/16 faciunt 105 1/16 si opereris juxta regulas de Reductione et Additione fractionum traditas lib. 2. par. 1. c. 2.

Aenigma II. Est columna rectangula EB, cuius laterabasis AB, BC, habent proportionem duplam sesquiquintam, altitudo vero BC est tripla lateris maior is BA, et columnae area solida seu capacitas est pedum cubicorum 14520. Quaero quanta sint latera basis, et altitudo.

[note: ] POno latus minus BC 1 R: erit ergo majus A B 2 1/5 R, seu 11/5 R altitudo B G 33/5 R. Ducta latera in se faciunt 11/5 Q: hoc in altitudinem creat

sunt 363/25 C, et 14520: his vero per illa divisis proveniunt 1000: cujus numeri radix cubica 10, est latus minus BC: erit ergo majus AB 22, et altitudo BG 66. Ex Lanzio.

Aenigma III. Est triangulum ACD, in cuius latus maximum AD cadit perpendicularis CB, ductae ab angulo opposito C; estque dictum latus maximum AD 21, AC 20, CD 13 pedum. Quaero quot partium sint AB, et DB.

[note: ] POnatur A B 1 R: erit igitur D B 21-1 R. Et quia, per 47. proposit. lib. 1. Euclid. quadratum lateris A C aequale est quadratis laterum AB, BC, et quadratum

lateris C D aequale quadratis laterum CB, BD; si ex 400, quadrato lateris A C, subtraxero 1 Q, quadratum videlicet lateris AB, restabit 400-1 Q, quadratum ipsius perpendicularis B C Item si 441-42 R? 1 Q, quadratum nimirum ipsius BD, subtraxero ex 169, quadrato videlicet ipsius CD; restabit 42 R--272-1 Q quadratum ipsius CB. Ergo 400-1 Q, et 42 R-272-1 Q, sunt aequalia: et factâ reductione, aequalia etiam sunt 672, et 42 R. Divisis igitur 672 per 42 R, proveniunt 16. pars major AB, quae ponebatur 1 R: quare minor BD est 5. Quod verum esse hinc constat, quia si tam quadratum ipsius AB, ex quadrato ipsius B C: quam quadratum ipsius BD, ex quadrato ipsius CD subtraxero, restabit quadratum ipsius CD 144. Ergo ipsa CD erit 12 pedum. Ex Lanzio.

ANNOTATIO.

[note: ] QVadratum 1 R, est 1 Q: et quadratum 21-1R, est 441-42R? 1 Q. Hoc si notet Tyro, reliqua facile intelliget.

Aenigma IV, Est hortus oblongus rectangulus, cuius area est 588 perticarum quadratarum, longitudo vero est ad latitudinem sesquitertia. Quaeruntur latera.

[note: ] IN Regula Algebrae diximus, posse pro 1 R poni etiam alium numerum R. Hoc hîc facilitatis gratia ser vabimus. Ponatur ergo longitudo horti 4 R, et latitudo 3 R; hi enim numeri habent proportionem sesquitertiam. Quia igitur area rectanguli cognoscitur ex laterum multiplicatione mutua; multiplicentur inter se 4 R et 2 R, et producentur 12 Q, aequales huic numero; 588. Divisis ergo 588 per 12, oritur Quotus 49: ex quo extracta radix quadrata (propter characterem Q) dat 7. Dic nunc per Regulam Trium bis adhibitam: si 1 R valet 7, quid valent 4 R? quid 3. R? Invenies pro longitudine perticas 28, pro latitudine 21: qui duo numeri inter se multiplicati, quia reddunt aream 588: recte operati sumus.

Aenigma V. Superficies rectangula habet longitudinem quadruplam latitudinis, et aream 576 pedum quadratorum. Quaeruntur latera.

[note: ] POnatur minus latus 1. R, et majus 4 R. Haec inter se multiplicata producunt 4 Q, aream rectanguli aequalem 576 pedibus quadratis. Divisis ergo 576 per 4, et ex quoto 144 extracta radice quadrata propter characterem Q; erit minus latus 11 pedum simplicium, majus vero erit 48: quae simul addita faciunt 576. Ex Clavio.

Aenigma VI. Est triangulum rectangulum, cuius latus rectum angulum subtendens continet palmos 52: latera autem proportionem habent duplam superbipartientem quintas. Quaeruntur reliqua duo latera.

[note: ] POnatur minus latus 5 R, et majus 12 R, ut sine fractione proportionem habeant duplam superbipartientem quintas. Quadrata igitur dictorum laterum sunt 25 Q, et 144 Q: quae simul faciunt summam 169 Q, aequalem quadrato lateris rectum angulum subtendentis: per pri 47. Euclid. numero scisicet 2704. per 169, proveniunt pro quoto 16; cujus radix quadrata est 4. Minus ergo latus, quod posuimus 5 R. habebit palmos 20; et majus, quod posuimus 12 R, erit 28 palmorum. Quod probatur, quia duo quadrata laterum, 400 et 2304. faciunt 2704, quadratum videlicet tertii lateris. Ex Clavio.

Aenigma VII. Trianguli rectanguli ABC latus AC sit 15 pedum: summa vero duorum reliquorum laterum BC, BA, sit 75 pedum. Quaero quanta sint latera BC, BA.

[note: ] POno BC esse 1 R: erit igitur BA 75. 1 R. Qua. drata laterum A B, A C, aequantur quadrato lateris BC, per 47 pri. Euclid.

Quadratum lateris AB est 5625-150? 1 Q; quadratum vero lateris AC est 225, summa utriusque quadrati 5850-150 R? Q; quadratum denique lateris B, C

est 1 Q. AEquatio ergo est inter 1 Q, et 5850-150 R? 1 Q, sit utrique parti addantur 150 R, aequatio erit inter 1 Q 150 R, et 5850? 1 Q, et si rursus ab utraque parte tollatur 1 Q, erit et aequatio inter 150 R, et 5850. Facta ergo divisione hujus numeri, 5850, per 150, proveniunt 39 pro latere B C; quae si auferantur a 75, remanebunt 36 pro latere AB. Ex. Lanzio.

Aenigma VIII. In diametrum AC circuli, cadit a puncto D peripheriae, perpendicularis DB, quae qualium diametrus est 20, talium ipsa est 8 pedum. Quaero in quas partes diametrus in B secta sit.

[note: ] REcta DB est media proportionalis inter AB, BC, per Schol. Proposit 13 lib. 6 Euclid. ideoque rectangulum sub AB, CB, aequale est quadrato ex D B, per 17. Sexti Euclid. Si itaque dividatur

AC 20 ita, ut rectangulum sub partibus contentum sit aequale quadrato psius D B, habebimus quod quaerimus. Pono igitur primam partem AB 1 R, ac proinde alteram B C 20-1 R. Hae duae in se ductae, faciunt 20 R-1 Q, aequalia his, 64, quadrato videlicet ipsius D B: et si utrique parti addatur 1 Q, fiunt 20 R, et 64? 1 Q, aequalia: et si iterum auferantur ab utraque parte 64. fiunt 20-64, et 1 Q, aequalia. Divisis igitur 20-64 per 1 Q, proveniunt 20 R-64. Ex his sic extrahitur radix quadrata: Semissis numeri radicum est 10; ex hujus quadrato, quod est 100, subtractus absolutus numerus, 64, relinquit 36, hujus radix 6 addita et subtracta semissi, dat 16 pro AB, et 4 pro CB. Hi duo numeri in se ducti cum producant 64, nimirum quadratum ipsius BD; recte operati sumus.

Aenngma IX. Datur rectangulum, cuius laterum suorum circa rectum angulum quadrata faciunt 1250 pedes, latera vero in se ducta, faciunt pedes 527. Quaero quot pedum sint latera.

[note: ] OVaestio haec per Proposit. 4. lib, 2. Euclid. solvitur sic. Rectangulum laterum inveniendorum est 527: ergo duo rectangula eorundem, sive idem rectangulum bis sumptum, sunt 1054, quae cum summa quadratorum faciunt 2304, qui numerus est quadratum utriusque lateris simul. Est ergo utrumque simul 48, cum haec sit radix quadrata praedicti numeri. Qui numerus 48 si dividatur in duas partes eâ lege, ut partes in se ductae faciant 527: erunt numeti laterum quaesitorum 31, et 17. Dividitur autem praedictus numerus 48 eodem modo, quo in praecedenti aenigmate divisimus 20.

Alia Solutio.

[note: ] PEr 4 am Secundi citatam, rectangulum duor um laterum est medium proportionale inter quadrata eorundem duorum laterum. Posito ergo quadrato primi lateris 1 Q, erit secundi 1250-1 Q. Proportionales ergo sunt hi tres numeri, 1 Q, 527, 1250 1 Q: et cum extremorum rectangulum aequale sit quadrato medii, per 20 Proposit. lib. 7. Euclid. erunt 1250 Q-1 Q que et 277729 aequales, factâ que reductione, aequales quoque erunt 1 Q que et 1250 Q-177729. Semissis numeri radicum est 625: ex cujus quadrato 390625, si absolutus tollatur, propter signum-, restat 112896: cujus residui radix addita semissi numeri radicum, conflat 961, subtracta relinquit 289, quorum numerorum radices quadratae 31, et 17, sunt latera quaesita. Sunt autem ideo ex numeris 961, et 289, radices quadratae iterum extrahendae, quod numeri radicum character fuerit Q. Ex Lanzio.

Aenigma X. Est parallelepipedum palmorum 3375: altitudo ad longitudinem basis, et hac longitudo ad latitudinem basis habet proportionem sesquialteram. Quaeruntur mensurae.

[note: ] POnatur altitudo 9 R, longitudo 6 R, latitudo 4 R, in continua proportione sesquialtera. Latitudo in longitudinem facit basem 24 Q, et haec in altitudinem facit aream parallelepipedi 216 C, aequalem palmis 3375. Divisis igitur 3375 per 216-fit Quotus 15 135/216 cujus radix cubica est 2 1/2: quae ducta in 9 facit 22 1/2 pro altitudine; et ducta in 6 facit 15 pro longitudine basis: et ducta in 4 facit 10 pro latitudine ejusdem. Quae mensurae invicem multiplicatae cum producant 3375: recte fuimus operari. Ex Clavio.

CAPUT VI Aenigmata Algebraica, in quibus occurrunt Radices secundae.

[note: Algebraica aenigmata in quibus occurrunt secundae, radices. ] MUltae quaestiones quae per secundas Radices solvuntur, possunt etiam per solas primas solvi, quare pauca tantum exempla proponam, ut habeat Tyro ad quorum imitationem sese exerceat.

Aenigma I. Duo habent pecunias: primus dicit secundo, si dederis mihi 1/3 tuae pecuniae, habebo 110 aureos: secundus vero dicit primo, si dederis tu mihi 1/4 tuae, habebo 110. Quaero quot quilibet habeat.

[note: ] POno primum habere 1 R, et secundum 1 A. Si ergo secundus dederit primo 1/3 A, habebit primus 1 R? 1/3 A, hoc est, 110. Igitur facta reductio~e, erunt 1/3 A, et 110-1 R, aequalia: ergo etiam 1 A, et 330-3 R. erunt aequalia. Quare secundus, qui ponebatur habere 1 A, habet 330-3 R: cui si primus

dederit 1/4 R, habebit secundus 330-2 3/4 R, hoc est 110. Facta ergo reductione, erunt 220, et 2 3/4 R, aequalia. Quare divisis 220 per 2 3/4 R, proveniunt 80, pecunia primi: ergo secundus, qui inventus est habere 330-3 R, habebit 90. Quaestionem recte solutam esse, patet: nam cum pretium 1 R sit 8; si 3 R, hoc est, 240 ex 330 tollantur, restant 90, pecunia secundi. Ex Lanzio.

Aenigma II. Inveniantur tres numeri, quorum primus cum 136, sit duplex secundi, et tertii: secundus cum 184, sit triplus primi, et tertii: tertius cum 176, quadruplus primi et secundi.

[note: ] POnatur primus 1 R, qui quia cum 136, est duplus secundi, et tertii, erunt secundus et tertius simul 1/2 R? 68: quibus si addatur 1 R, erunt omnes tres 1 1/2 R? 68. Ponatur secundus 1 A: qui si subtrahatur ex 1 1/2 R? 68, restant primus et tertius 1 1/2 R? 68-1 A. Quia vero secundus cum 184, hoc est, 1 A? 184 triplus est primi et tertii: si 1 1/2 R? 68-1 A in 3 ducantur, erunt haec, 1 A? 184, his, 4 1/2? 20 4-3 A, aequalia: et si utrique parti addantur 3 A, erunt et haec, 4 A? 184, aequalia his, 4 1/2 R? 204: iterum si ab utraque parte tollantur 184, haec quoque, 4 A, aequalia erunt his 4 1/2 R? 20. Ergo si 4 A aequantur his, 4 1/2 R? 20: aequabitur 1 A his, 1 1/8 R? 5. Secundus ergo, qui ponebatur 1 A est 1 1/8 R? 5. Ponatur tertius 1 B: ergo primus et secundus erunt 1 1/2. R? 68-1 B, et quia tertius cum 176, est quadruplus primi et secundi; erunt haec, 1 B? 176, aequalia his, 6 R? 274-4 B, et: si utrique parti addantur 4 B, erunt et haec, 5 B? 176, his, 6 R? 272 aequalia, rursus si ab utraque parte tollantur 176, haec quoque, 5 B aequalia erunt his, 6 R? 96. Quare si 5 B aequantur his 6 R? 96, aequabitur et 1 B his, 1 1/5 R? 19 1/5. Tertius ergo, qui ponebatur 1 B, erit 1 1/5 R? 19 1/5. Cum igitur primus positus sit 1 R, secundus et tertius inventi sint 1 1/8 R? 5 et 1/5 R? 19 1/5, erunt omnes tres 3 33/40 R? 24 1/5 sunt autem et omnes tres 1/2 R? 64, ergo haec, 3 33/40 R? 24 1/5 aequalia sunt his, 1 1/2 R? 68, et si ab utraque parte tollantur 1 1/2 R, erunt et haec, 1 33/40 R? 24 1/5, his 68, aequalia, rursus si ab utraque parte tollantur 24 1/5 haec 33/40 R aequalia erunt his, 43 4/5. Divisis ergo 43 1/5, per 1 33/40 R, proveniunt 24, numerus primus. Ergo secundus, qui inventus est 1 1/8 R? erit 32, tertius vero, qui inventus est 1 1/5 R? 19 1/5, erit 48, Nam si 24 ducantur in 1 1/8 R, proveniunt 27, quae cum 5 faciunt 32: et si 24 ducantur in 1 1/5 R, proveniunt 28 4/5, quaecum 19 1/5 faciunt 48. Quod autem tres hinumeri, 24, 32, 48, quaestioni satisfaciant, pater ex eo, quod 24 cum 136 sunt duplum primi et tertii; et 32 cum 184 triplum primi et tertii, et 48 cum 176 quadruplum primi et secundi. Ex Lanzio.

Aenigma III. Tres habent pecunias: si secundus et tertius dent primo 1/3 suae pecuniae, habebit primus 100: si primus et tertius dent secundo 1/4 suae pecuniae, habebit secundus 100: si primus et secundus dent tertio 1/5 suae pecuniae, habebit tertius 100. Quaero quantum quilibet habeat.

[note: ] POno primum habere 1 R, secundum et certium 1 A. Si ergo secundus et tertius primo 1/3 A, quae pecuniae dederint, habebit primus 1 R? 1/3 A, quae erunt aequalia 100: et si ab utraque parte tollatur 1 R: aequalia erunt 1/3 A, et 100-1 R: quare et 1 A aequalis erit his, 300-3 R. Ergo secundus et tertius, qui ponebantur habere 1 A, habent 300-3 R. Ergo omnes tres habent 300-2 R.

Pono secundum habere 1 B: quo subtracto ex 300-2 R, restant 300-2 R-1 B, pecunia primi et tertii; cujus 1/4 addita ad pecuniam secundi, facit 3/4 B? 75-4 1/2 R, quae sunt aequalia 100; et si ab utraque parte tollantur 75, aequalia erunt 3/4 B-1/2 R, et 25: et si rursus utrique parti addatur 1/2 R: aequalia erunt 3/4 B, et 25? 1/2 R: ergo et 1 B aequalis erit his, 1/3 R? 33 1/3. Secundus ergo, qui ponebatur habere 1 B, habet 2/3 R? 33 1/3.

Pono tertium habere 1 C: ergo primus et secundus habebunt 300-2 R-1 C; cujus 1/5 cum 1 C, facit 4/5 C? 60-2/5 R, aequalia his, 100. Si ab utraque partae tollantur 60: erunt et haec, 4 C-2/5 R, aequalia his 40. Si utrique parti addatur 2/5 R, aequalia quoque erunt 4/5 C, et R? 40: ergo et 1 Chis, 1/2 R? 50. Tertius ergo, qui ponebatur habere 1 C, habet 1/2 R? 50. Cum ergo primus habeat 1 R, secundus 2/3 R? 33 1/3 habebunt omnes tres 2 1/6 R? 8 3 1/3: sed et habent 3000-R, haec ergo, 2 1/6 R? 8 5 1/3 aequalia sunt his, 300-2 R; et si utrique parti addantur 2 R; erunt et aequalia 4 1/6 R? 83 1/3, et 300: et si rursus ab utraque parte tollantur 83 1/3: haec quoque, 4 1/6 R, aequalia, erunt his, 216 2/3. Divisis ergo 216 2/3 per 4 1/6 R, proveniunt 52 pretium unius radicis, et pecunia primi. Secundus ergo, et tertius, qui inventi sunt habere 2/5 R? 33 1/3, et 1/2 R? 50 habent 68, 76. Quaestionem legitime solutam esse, sic probabis. Pretium 1 R est 52: ergo 2/3 R, et 1/2, erunt 34 2/3, et 26; quae addita ipsis 33 1/3, et; 50, faciunt 68, et 76. Ex Lanzio.

PARS IV. DE ELEMENTIS ALGEbrae in numeris irrationalibus.

NVmeri irrationales, seu ineffabiles, velut alli vocant, numeri surdi, sive inaudibiles, sunt radices illorum numerorum rationalium, qui non habent radices rationales, seu effabiles, et quae numeris exprimi, atque adeo audiri possint; ob quam etiam causam appellantur

radices surdae ab Algebrae Scriptoribus. Tales sunt radix quadrata numeri 6, radix cubicae numeri 20, radix super solida numeri 40. etc. quae quidem radices sunt irrationales, ineffabiles, surdae, inaudibiles, quia nullus numerus dari potest, sive sit integer, sive fractus, sive integer cum fracto, qui in se quadrate multiplicatus producat 6, aut in se cubice multiplicatus producat 20, aut super solide in se multiplicatus producat 40, ut consideranti facile patebit. Cum ergo horum et aliorum similium numerorum adsignantur radices quadratae, cubicae, supersolida, etc. eae vocantur irrationales, seu surdae.

[note: Irrationalium numerorum signatio. ] Signatur autem numeri irrationales, sive radices surdae hoc signo, [gap: sign for Rec. (recipe) ] ; quod statim sequitur character algebraicus Q, vel C, vel Q que, vel Ss. etc. prout radix illa surda vel est quadrata, vel cubica, vel quadrato-quadrata, vel supersolida, etc. Exempli gratia, radix quadrata numeri 6, signatur sic, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q 6, radix cubica numeri 20, sic, [gap: sign for Rec. (recipe) ] c 20, supersolida prima numeri 40, sic, [gap: sign for Rec. (recipe) ] Ss 40, et ita de reliquis. Primus numerus significat radicem surdam quadratam ex 6, secundus radicem surdam cubicam ex 20, tertius radicem surdam supersolidam primam ex 40. Hanc ob causam signum hoc, [gap: sign for Rec. (recipe) ] , appellatur signum radicale.

De horum numerorum irrationalium Elementis agendum erat supra par. 1. antequam Algebrae Regulam explicaremus, et usum ejus per variorum aenigmatum solutionem traderemus, quoniam purimae quastiones per Algebram solvi non possunt sine interventu praedictorum numerorum: at quoniam non modicam difficultatem adjunctam habent, uti patebit: consulto in hunc locum eorum tractionem distulimus. Sed ante Elementorum explicationem, docendum est, quot sint genera numerorum irrationalium.

BIBLIOPOLAE Monitio ad Lectorem.

[note: ] AMice Lector, ob defectum characteris, quo Radices surdas exprimere solent Algebrae Scriptores, coactus fui constituere hoc signum, [gap: sign for Rec. (recipe) ] ubicunque ergo id repereris toto hoc de Algebra Libro, scias Radicis surdae esse notam, et vale.

CAPUT I. De variis generibus numerorum irrationalium, sive radicum surdarum.

[note: Irrationalium numerorum varia genera, nempe Simplices. ] NUmeri irrationales (sive radices surdae) dividuntur in absolutos, et algebraicos. Absoluti sunt qui nullum characterem algebraicum habent; algebraici, qui habent.

Absoluti iterum dividuntur in simplices, et compositos. Simplices sunt, qui non habent signa algebraica?, et-: et notantur ut in allatis paulo ante exemplis. Compositi sunt, qui signis illis copulantur, aut disjunguntur, et signantur ut mox [note: Compositi ] videbimus. Simplices a plerisque appellantur mediales, quia per illos, inter duos numeros, inveniri possunt quotcunque medii proportionales.

Compositi numeri irrationales sive radices [note: Irrationales. compositi triplices nempe Ligati. ] surdae compositae, dividuntur ab aliquibus in Ligatas, Distinctas, et Universales.

Ligatae radices sunt, quae significant numerum collectum vel ex pluribus radicibus, vel ex una pluribusve radicibus, et uno pluribusve numeris, seu absolutis, seu algebraicis. Talis est [gap: sign for Rec. (recipe) ] q9? [gap: sign for Rec. (recipe) ] q4 quae significat numerum 5, collectum ex radice quadrata numeri 9, et radice quadrata numeri 4, nam radix numeri 9 est 3, et radix numeri 4 est 2, 3 autem et 2, faciunt 5. Sic etiam radix Ligata est, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q7? [gap: sign for Rec. (recipe) ] q4? 3, quae aequivalet huic, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q7? 5: significat enim ad q7 additum numerum 5, collectum ex 2 (quae est radix quadrata numeri 4) et 3. Similiter radix Ligata est hic numerus, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q49 - [gap: sign for Rec. (recipe) ] c 27: significat enim 4, quoniam denotat, ex [gap: sign for Rec. (recipe) ] q49, hoc est, ex 7, ablatum esse [gap: sign for Rec. (recipe) ] c 27. id est, 3, ideoque remanere 4.

Ex his patet, in radicibus Ligatis particulas numeri per signa? aut-copulati, aut disjuncti, sumi conjunctim, ac prout unam summam efficiunt: ut in primo exemplo conjunctim sumitur et radix quadrata 9, et radix quadrata numeri 4, prout nimirum simul efficiunt 5.

[note: Distincti. ] Distinctae radices sunt, quae significant radices plurium numerorum separatim sumptas: vel, in quibus particulae signis? et-conjunctae aut disjuctae, seorsim accipiuntur, non autem earum summa. Ut si in hac radice surda, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q 16? q9, particulae signo? conjunctae significent per se et separatim numerum 4, et 3, (quae sunt radices quadratae numerorum 16, et 9) non autem earum summam 7.

[note: Universales. ] Universales radices sunt radices radicum ligatarum, aut distinctarum. Sic hujus radicis ligatae, 22? [gap: sign for Rec. (recipe) ] q 9, radix quadrata, quae est 5, vocatur radix Universalis; significat enim radicem numeri 25, collecti ex 22 et radice quadrata numeri 9, quae est 3. Eodem modo radix hujus radicis ligatae, [gap: sign for Rec. (recipe) ] q 9? 22. quae est similiter 5, est radix Universalis. Vocantur Universales, quia signa radicalia afficiunt omnes numeros subsequentes, qui ideo ab aliquibus includuntur parenthesibus, ut ab aliis radicibus distinguantur.

Haec tria radicum genera aliter appellat Clavius in Algebra c. 16. aliter Joan. Lanzius in Arithmet. lib. 3. initio, aliter alii. Nos radices Ligatas et

Distinctas vocabimus Numeros irrationales compositos (videlicet absolutos) radices vero Universales vocabimus etiam Radices numerorum irrationalium compositorum.

CAPUT II. De Elementis numerorum irrationalium simplicium.

[note: Elementa irrationalium numerorum simplicium. ] ELemeta horum numerorum seu radicum sunt Additio, Subtractio, Multiplicatio, Divisio. His praemittenda eorundem Reductio ad eandem denominationem, quando opus fuerit.

§. I. De Reductione numerorum irrationalium simplicium ad eandem denominationem.

[note: Reductio irrationalium simplicium. ] SI numeri irrationales simplices sunt divisae denominationis, hoc est, habent diversos characteres, ut possint addi, subtrahi, multiplicari, ac dividi debent reduci prius ad eandem denominationem, seu ad eosdem characteres: quod fit hoc modo

Collocentur numeri supra, characteres infra, ut hic apparet. Deinde per crucem fiat multiplicatio talis, qualem character indicat, ut fiant 16

novi Numeratores. Postremo utrique Numeratori novo producto praefigatur uterque character.

[gap: sign for Rec. (recipe) ] C 16, et [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q8. Collocatione [gap: sign for Rec. (recipe) ] C/256 [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q/512 facta ut vides, multiplicentur 16 quadrate, propter characterem [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q per crucem his respondentem, 8 vero multiplicentur cubice propter characterem [gap: sign for Rec. (recipe) ] C eis respondentem per crucem, producentur 256, et 512. His praefigatur uterque character hoc modo, [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 512, et [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 256. Quo facto erit [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 512, aequalis [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 16, et radix [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 256, aequalis [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 8.

§. II. De Multiplicatione, ac Divisione numerorum irrationalium simplicium.

[note: Multiplicatio ac Divisio irrationalium simplicium. ] MUltiplicatio ac Divisio praemittendae sunt Additioni ac Subtractioni, quoniam hae ab illis pendent.

Primo itaque, Quando duo numeri irrationales multiplicandi, aut dividendi, habent eosdem characteres, multiplicetur aut dividetur unus numerus per alterum, et producto praeponatur idem character quem antea habebant. Sic ex multiplicatione [gap: sign for Rec. (recipe) ] q7, per R Q 10, fit Q 70 Et ex [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3, per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 12, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 36, id est, 6. Et ex [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 2 1/4 per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 8, fit Q 18 Sic etiam ex divisione [gap: sign for Rec. (recipe) ] 70 per [gap: sign for Rec. (recipe) ] . Q 7, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 10. Et ex divisione [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 36, per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 12, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3. Et ex [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 18, per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 8, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] 2 1/4.

Secundo, Quando duo numeri irrationales, multiplicandi, aut devidendi, habent diversos characteres, reducantur prius ad eosdem, deinde multiplicentur aut dividantur ut antea. Sic si multiplicandi sint et C16, Q8: reducantur ad eosdem characteres, et fient [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 512, et C [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 256, et facta multiplicatione illius per hunc, producentur [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 131072. Sic etiam dividendi sint [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 8000, per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 16, reducantur ad eosdem characteres, et fient [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 64000000, et [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 4096. et facta divisione illius numeri per hunc, proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe) ] C q 15625, cujus radix quadrata est 125, hujus vero cubica 5. Divisis ergo [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 8000 per [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 16, proveniunt 5.

Tertio, Quando numerus irrationalis (seu radix surda) multiplicandus est in se quadrate, vel cubice, vel biquadrate vel secundum exigentiam alterius cujuscunque characteris quem gerit; tollitur character, et ipsemet numerus sumitur pro numero producto. Sic [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q3 in se quadrate multiplicata, facit 3: et [gap: sign for Rec. (recipe) ] . C 4 in se cubice multiplicata, facit 4 etc Ratio est, quia Q 3 in [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3, facit [gap: sign for Rec. (recipe) ] 9, hoc est, 3, et [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 4 in [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 4, facit [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 16, et [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 4 in [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 16, facit [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 64, hoc est, 4.

Quarto Quando numerus irrationalis (seu radix surda) multiplicandus est secundum exigentiam alterius characteris quem ipse non gerit: ducitur numerus in se secundum exigentiam alterius illius characteris: et producto praeponitur character numeri multiplicati. Sic ex [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 6 in se cubice multiplicata, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 216. Quod inde patet, quia ex Q 6 in se, fit Q 36, et ex eadem [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 6 in [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 6 in se, fit [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 216. Unde radix cubica hujus ultimi producti est [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 6.

Quinto, quando numerus irrationalis multiplicandus aut dividendus est per rationalem, reducatur primo rationalis ad speciem irrationalis, hoc est, multiplicetur quadrate, cubice, biquadrate etc. prout irrationalis habuerit characterem [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q, aut [gap: sign for Rec. (recipe) ] C, aut [gap: sign for Rec. (recipe) ] Qq etc. et deinde instituatur operatio ut in prima Regula. Sic si ducenda sint [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 32 in 8, multiplicanda sunt prius 8 quadrate, propterea quod irrationalist [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 32. habet characterem Q ac deinde [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 32 ducenda in [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 64, ut producantur [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 2048. Sic etiam si [gap: sign for Rec. (recipe) ] C12 sit multiplicanda per 6, multiplicanda sunt 6 cubice, ut fiant [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 216, ac deinde [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 12 ducenda sunt in 216, ut producantur [gap: sign for Rec. (recipe) ] C 2592. Sic quoque si dividenda sint [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 32 per 8, multiplicanda sunt cubice 8, ut fiant Q 64: ac deinde [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 64 ducenda sunt in [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 32, ut fiant [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 2048.

Annotatio I.

[note: ] ITaque si radix surda quadrata est duplicanda, id est, multiplicanda per 2, multiplicandus est ejus numerus per 4, producti enim [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q, est dupla radicis datae Vt duplum [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3, est [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 12: quia ut [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3 multiplicetur per 2, reducendi sunt numeri [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3, et 2, ad eandem denominationem modo praedicto, ut fiant [gap: sign for Rec. (recipe) ] Q 3, et Q 4. Quod si radix surda quadrata est triplicanda, multiplicandus est ejus numerus per 9, si quadruplicandus, est multiplicandus per 16. et sic ulterius.

Eodem modo si radix surda cubica est duplicanda, multiplicandus est ejus numerus per 8; si triplicandus per 27 est multiplicandus, etc.

ANNOTATIO II.

[note: ] OMnes quatuor regulae in hoc §. traditae, revocantur ad hanc unicam: Si uterque numerus habet eosdem characteres, unus multiplicatur aut dividitur per alterum, et producto praeponitur character communis. Si diversos habent characteres, reducuntur ad eundem, et caetera fiunt ut antea.

§. III. De Additione numerorum irrationalium simplicium.

[note: Additio irrationalium simplicium. ] NUmeri irrationales simplices, aut sunt commensurabiles, aut incommensurabiles. Commensurabiles esse deprehenduntur, si diviso uno per alterum, aut utroque; per maximam, vel etiam non maximam communem mensuram, Quo tus est quadratus, aut cubus, aut biquadratus, aut alius numerus rationalis, habens radicem rationalem. Incommensur abiles sunt, si ex divisione gignatur numerus surdus sive irrationalis, habens radicem irrationalem. Sinumeri de quibus dubitatur an commensurabiles sint, habent diversos characteres, debent reduci ad eundem, antequam divisio instituatur. His notatis, sic fit Additio.

Primo, Quando addendi sunt similes et aequales (id est, qui habent eundem characterem, et eundem numerum) tunc si sunt duo, multiplicetur unus illorum per 2: si sunt tres per 3: si sunt quatuor, per 4, etc. juxta praeceptum quintum §. praeced. productus numerus erit summa illorum. Sic summa ex [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6 collecta, est [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24. Et summa collecta, ex [gap: sign for Rec. (recipe)] C6, [gap: sign for Rec. (recipe)] C6, [gap: sign for Rec. (recipe)] C6, est [gap: sign for Rec. (recipe)] C 162. Ratio patet ex Annotatione praecedenti.

Annotatio.

[note: ] INidem recidit haecregula, si dica. quando addendisunt duo, tres, quatuor, etc. sim les et aequales, multiplicetur unus illorum per 4, et per 9, vel per 16, etc. juxta Annotationem praecedentis, §. et habebitur summa quaesita. Nam ut [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6 multiplicetur per 2, debent 2 reduci ad quadratum, nempe ad [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4, ac deinde [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6 debet multiplicari per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4, ac deinde [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6 debet multiplicari per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4, ut fiant [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24, etc.

Secundo Quando addendi sunt similes, et inaequales (id est, qui habent eundem quidem characterem, at non eundem numerum) at incommensurabiles: addantur per?. Sic ex [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q7, fiunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q6? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q7. Et ex 7, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8 fiunt 7? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8, vel [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8? 7.

Annotatio.

[note: ] POssunt etiam praedicti numeri incommensurabiles, si sint radices surdae quadratae, addi inter se, per proposit. 4. lib. 2. Euclid. si ad summam quadratorum addatur duplum ejus quod fit ex ductu unius numeri in alium: summae enim hae collectae, sunt summa quaesita. Sint addendae [gap: sign for Rec. (recipe)] Q11, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q13. Summa quadratorum est 24, juxta Regulam 3 praeced. §. et quod ex ductu unius in aliam radicem fit, est [gap: sign for Rec. (recipe)] Q143: ejus duplum, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q572, juxta Regul. 5. praeced. §. Summa ergo [gap: sign for Rec. (recipe)] Q11, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q13, est [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q572.

Tertio, Quando addendi sunt similes, et inaequale, ac commensurabiles (hoc est, qui divsi per maximam, vel etiam non maximam men su ram communem, quotos reddunt, quadratos cubicos, biquadratos, etc. addantur Quotorum radices, et summa quadretur, cubicetur, biquadretur, etc. prout radix erit quadrata, cubica, biquadrata, etc. quadratum, cubus, biquadratus, etc. ducatur in communem mensuram; et habebitur summa quaesita. Sic si addenda sint [gap: sign for Rec. (recipe)] Q27, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q12. Divsa per 3, communem mensuram, reddunt Quotos quadratos 9 et 4, quorum radices, 3 et 2, junctae faciunt 5: hujus quadratum 25. ductum in 3. producit [gap: sign for Rec. (recipe)] Q75, quae est summa desiderata.

Quarto, Quando addendi sunt dissimiles (hoc est, qui habent diversos characteres) revocentur prius ad eosdem characteres; et tunc si sunt incommensurabiles, addantur per?, si commensur abiles, addantur modo proxime dicto in praecepto 3.

Annotatio

[note: ] NOn tamen est necesse, dissmiles revocare ad eosdem characteres, sed possunt etiam non reducti addi per?. Sic si [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8 ad [gap: sign for Rec. (recipe)] C 12. addendae sint, fient [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8? [gap: sign for Rec. (recipe)] C12.

§. IV De Subtractione numerorum irrationalium simplicium.

[note: Subtractio irrationalium simplicium. ] PRimo, Quando subtrahendi sunt similes, et aequales, nihil relinquitur. Sic si [gap: sign for Rec. (recipe)] Q12 subtrahitur a [gap: sign for Rec. (recipe)] Q12: relinquitur [gap: sign for Rec. (recipe)] Q0.

Secundo, Quando subtrahendi sunt similes, et inaequales, at incommensu abiles; subtractio fit per -- Sic si [gap: sign for Rec. (recipe)] Q3 ex [gap: sign for Rec. (recipe)] Q9 est subtrahenda, restat [gap: sign for Rec. (recipe)] Q9 - [gap: sign for Rec. (recipe)] Q3.

Tertio. Quando subtrahendi sunt similes, et inaequales, at commensurabiles; radix Quoti minoris subtrahatur ex radice Quoti majoris, residuum quadretur, cubicetur, biquadretur, etc. quadratum, cubus, biquadratum, etc. ducatur in communem mensuram, et habebitur residuum. Sic si [gap: sign for Rec. (recipe)] Q12 subtrahenda sint ex [gap: sign for Rec. (recipe)] Q27: subtrahatur radix minor 2, ex majori 3, et restat 1: cujus quadratum 1, ductum in 3, facit [gap: sign for Rec. (recipe)] Q3 pro residuo.

Quarto, Quando subtrahendi sunt dissimiles, revocentur ad eosdem characteres; et si sint incommensurabiles, fiat subtractio per-; si commensurabiles, servetur regula proxime praecedens.

CAPUT III. De Elementis numerorum irrationalium compositorum.

[note: Elementa irrationalium numerorum compositorum. ] ELementa numerorum irrationalium compositorum non differunt ab Elementis simplcium, dummodo circa signa? et - serventur illa, quae diximus supra par. 1. servanda esse circa eandem in Elementis numerorum algebraicorum. Sit itaque

§. I. De Additione, et Subtractione numerorum irrationalium compositorum.

[note: Additio et Subtractio irrationalium compositorum. ] IN additione et subtractione numerorum serventur ea, quae diximus §. 3. et 4. capitis praecedentis servanda esse in additione et subtractione irrationalium simplicium. Quoad signa vero serventur hae duae Regulae, desumptae ex dictis par. 1. cap 6. et 7.

Prima. Eadem signa? aut-, ponunt idem signum? aut-; nisi in Subtractione, quando superior major est quam inferior: tunc enim subtrahitur superior ab inferiore, et ex? fit-, ex- fit?.

Secunda. Diversa signa mutant speciem operationis, et loco Additionis fit Subtractio, loco subtractionis Additio; et in Additione, facta subt actione ponitur signum majoris numeri: in Subtractione vero, facta additione, ponitur signum superioris, sive major is sit, sive minor, sive aequalis.

Exemplum Additionis.

[note: ] In hoc Exemplo quoniam [gap: sign for Rec. (recipe)] Q18, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8, sunt similes, inaequales, commmensurabiles: dividuntur per communem mensuram 2, fiunt Quoti 4, et 9; quorum radices sunt 2, et 3; harum summa est 5: quadratum summae sunt 25, haec ducta in communem mensuram 2, faciunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q50.

Exemplum Subtractionis.

[note: ] In hoc exemplo quoniam [gap: sign for Rec. (recipe)] Q50, et [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8 sunt similes, inaequales, commensurabiles per mensuram communem 2; accipiant Quotorum 25, et 4, radices 2, et 5, minor subtrahitur a majori, restant 3, haec quadrantur, fiunt 9, ducuntur in communem mensuram 2, fiunt 18.

§. II. De multiplicatione numerorum irrationalium compositorum.

[note: Multiplicatio irrationalium compositorum. ] SErventur illa, quae diximus §. 2. de Multiplicatione simplicium: quoad signa vero observetur haec Regula, ex cap. 8. partis 3. desumpta: Eadem signa ponunt?, Diversa-. Sive ergo plus in plus, sive minus in minus multiplicetur, semper producitur plus: et sive plus in minus, sive minus in plus ducatur, semper procreatur minus.

Exemplum.

[note: ] In hoc exemplo, ducta sunt primo 6 in 18, et producta 108. Secundo ducta sunt 6 in [gap: sign for Rec. (recipe)] Q54, reductis prius 6 ad quadratum 36, et his ductis in [gap: sign for Rec. (recipe)] Q54, ac productis? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q1944. Tertio ducta sunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24 in 18, reductis 18 prius ad quadratum 324, et his ductis in [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24, ac productis [gap: sign for Rec. (recipe)] Q7776. Quarto, ducta sunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q24 in [gap: sign for Rec. (recipe)] Q54 et producta- [gap: sign for Rec. (recipe)] Q1296, hoc est, - 36.

Simili ratione ex- [gap: sign for Rec. (recipe)] Q45 in- [gap: sign for Rec. (recipe)] Q20, fit? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q900, hoc est,? 30. Et ex- [gap: sign for Rec. (recipe)] Q45 in? 6, id est, in- [gap: sign for Rec. (recipe)] Q36, fit [gap: sign for Rec. (recipe)] Q1620.

§. III. De Divisione numerorum irrationalium compositorum.

[note: Divisio irrationalium compositorum. ] PRimo, Quando Divisor est simplex, et eundem habet cum Dividendo characterem: dividantur per illum singulae particula dividendi, Ut si sint [gap: sign for Rec. (recipe)] Q48? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q20, dividenda per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4: dividantur [gap: sign for Rec. (recipe)] Q48 per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4, proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q12.

Secundo, Quando Divisor est simplex, et non habet eundem characterem cum Dividendo: reducatur ad eundem, et divisio instituatur ut antea. Ut si sint dividenda, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q200 - [gap: sign for Rec. (recipe)] C80, per 2; facta reductione, dividantur primo [gap: sign for Rec. (recipe)] Q200 per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q4 proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q850, dividantur deinde [gap: sign for Rec. (recipe)] C80 per [gap: sign for Rec. (recipe)] C8, proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe)] C10.

Tertio, Quando Divisor est compositus, suntque particulae radices quadratae, aut biquadratae: reducatur divisor ad simplicem, hoc modo: Signum? posterioris particulae Divisoris mutetur in, et - in?, atque in Divisorem hoc modo mutatum ducatur tam Dividendus, quam Divisor, ut producantur novi Dividendus et Divisor. EXEMPLUM. Sint dividenda 60 per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q18? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8. Duc tam 60, quam [gap: sign for Rec. (recipe)] Q18? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8, in [gap: sign for Rec. (recipe)] Q18 - [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8, et producetur hic novus Dividendus, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q64800. [gap: sign for Rec. (recipe)] Q28800, sive [gap: sign for Rec. (recipe)] Q7200, et hic novus Divisor, 10. Divisis ergo [gap: sign for Rec. (recipe)] Q7200, per 10, sive per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q100, proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q72.

Annotatio.

[note: ] QVid faciendum, quando Divisor est instituenda per Divisorem trium aut plurium particularum, quae sint radices quadratae, aut biquadratae, item quando insituenda est per numerum radicum cubicarum compositum, etc. vide apud Clavium in Algebra cap. 23. non enim libet diutius immorari, cum hi casus raro occurrant,

CAPUT IV. De Elementis Radicum Universalium.

[note: Elementa radicum universalium. ] RAdices Universales, ut diximus cap. 1. in fine, sunt Radices radicum ligatarum ac distinctarum, hoc est, numerorum irrationalium compositorum. Oriuntur plerumque ex additione ac Subtractione radicum irrationalium [note: Radices universales quid sint. ] simplicium incommensurabilium, ut constat ex cap. 2. §. 3. Praecepto maxime 2. Harum Elementa nunc breviter explicabimus. Qui plura vult, adeat Clavium in Algaebra cap. 24.

§. I. De Multiplicatione Radicum universalium.

[note: Multiplicatio radicum universalium. ] REducatur tam Multiplicans, quam Multiplicandus, ad quadratum. Deinde fiat multiplicatio modo dicto cap. 3. § 2. Radix totius producti erit numerus quaesitus. Sit multiplicanda [gap: sign for Rec. (recipe)] Q21? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q16 (hoc est, 5, nam radix quadrata numei 116, est 4, quae addita ad 21, facit 25, cujus numeri radix quadrata est 5) per 7. Quadratum numeri 7, est 49: quadratum vero [gap: sign for Rec. (recipe)] Q21? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q16, est 21? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q16 (tollitur enim duntaxat character) Ductis ergo 21? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q16, in 49, proveniunt 1029? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q38416, hoc est, 35: nam radix quadrata posterioris particulae addita priori particulae, efficit 1225, cujus radix quadrata est 35.

Annotatio.

[note: ] HAEc Regula brevius sic proponetur. Quadrata numerorum datorum inter se multiplicentur; radix summae productae erit numerus quaesitus.

§. II De Divisione Radicum Universalium.

[note: Divisio radicum universalium. ] REducatur tam Dividendus, quam Divisor, ad quadratum. Deinde fiat Divisio modo dicto cap. 3 §. 3. Radix producti numeri erit Quotus quaesitus. Sit dividenda [gap: sign for Rec. (recipe)] Q72? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q162, per 3. Quadrata sunt 72? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q162, et 9, Divisis ergo 72 per 9, proveniunt 8: divisis vero [gap: sign for Rec. (recipe)] Q162 per [gap: sign for Rec. (recipe)] Q81, proveniunt [gap: sign for Rec. (recipe)] Q2. Ergo Quotus est [gap: sign for Rec. (recipe)] Q8? [gap: sign for Rec. (recipe)] Q2.

§. III. De Additione et Subtractione Radicum Universalium.

[note: Additio et Subtractio rad. univ. ] ADditio et subtractio in his fit per interpositionem signorum + est-, eodem videlicet modo quo fit aliorum numerorum irrationalium compositorum, de quibus cap. 3. egimus.

CAPUT V. De Fractionibus numerorum irrationalium, eorumque Elementis.

[note: Irrationalium numerorum fractiones. ] NUmeratio, Reductio, Additio, caeteraque omnia in his fractionibus fere fiunt ut in absolutis rationalibus fractionibus, dummodo habeatur ratio signorum et characterum. Itaquepaucis me expedio.

§. I. De Numeratione fractionum irrationalium.

[note: Elementa fractionum numerorum irrationalium. ] QVando signum radicale ponitur ante solum Numeratorem, sic, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 36/9: pertinet ad illum solum. Quando ponitur in medio ante Numeratorem et Denominatorem, sic, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 36/9, pertinet ad utrumque. Quando ponitur ante integrum cum fractione, sic, [gap: sign for Rec. (recipe)] C 67/121, reduci debet totus numerus ad unicam fractionem. Primum exemplum significat 2, nimirum radicem quadratam numeri 36 divisi per 9, id est, numeri 4, cujus radix est 2. Secundum exemplum significat radicem quadratam numeri 36, id est, 6, divisam per radicem quadratam numeri 9, id est, 3 nempe 2/3. Tertium exemplum reductum ad [gap: sign for Rec. (recipe)] C 192/125 significat radicem cubicam 192, divisam per radicem cubicam numeri 125 hoc est, per 5.

§. II. De Reductione fractionum irrationalium.

[note: ] REducantur ad minores terminos, quando id fieri potest, eodem modo quo fractiones rationales. Ut haec fractio [gap: sign for Rec. (recipe)] Cq 4/8, reducitur ad hanc, R Cq 2/4: item ad hanc, [gap: sign for Rec. (recipe)] Cq 1/2.

§. III. De Additione et Subtractione fractionum irrationalium.

[note: ] SI habeant eundem Denominatorem, adduntur Numeratores, vel unus ab altero subtrahitur, modo supra cap. 2, dicto, et summae, vel residuo supponitur communis Denominator.

Sic si [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 4/7 addam ad R Q 9/7, fiunt 5/7, quia radix numeri 4 est 2, et radix numeri 9 est 3, et si addantur 2 et 3, fiunt 5. Si vero subtraham [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 4/7 a [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 9/7, remanent [gap: sign for Rec. (recipe)] Q r/7 quia si subtraham radicem numeri 4 a radice numeri 9, hoc est, 2 a 3, remanet 1.

Si vero habeant diversos Denominatores, reducuntur ad eundem per multiplicationem in crucem, uti in fractionibus vulgaribus fieri solet. Deinde eodem modo Numeratores adduntur inter se, vel unus ab altero subtrahitur, et summae, vel residuo idem Denominator communis subscribitur.

Quando numeratores sunt incommensurabiles, additio eorum sit per interpositionem signi?, subtractio autem per interjectionem signi-.

§. IV. De Multiplicatione ac Divisione fractionum irrationalium.

[note: ] IN multiplicatione ac divisione fractionum irrationalium solum opus est reductione ad eadem signa radicalia, seu ad eundem characterem: reliqua enim perficiuntur ut in fractionibus vulgaribus dictum est in lib. 2. par 1. cap. 2. art. 9. Sic si multiplicanda sit [gap: sign for Rec. (recipe)] q 3/4 per [gap: sign for Rec. (recipe)] q 6/7, producetur [gap: sign for Rec. (recipe)] q 18/28. Si autem prior per posteriorem dividenda sit, inversis terminis Divisoris, sic stabit exemplum:

[gap: sign for Rec. (recipe)] q3/4 per 7/ [gap: sign for Rec. (recipe)] q6; Quotus vero erit, [gap: sign for Rec. (recipe)] q147/ [gap: sign for Rec. (recipe)] q96. Haec sufficiant ex Clavio; qui plura volet, legatipsum in Algebra cap. 25.

CAPUT VI. De numeris irrationalibus algebraicis, eorumque Elementis.

[note: Irrationales numeri algebraici. ] NUmeri algeb aici irrationales, sunt numeri algebraici rationales habentes ante se signum aliquod radicale; ut sunt [gap: sign for Rec. (recipe)] q 20 R, [gap: sign for Rec. (recipe)] C 20 R etc. in quibus, 20 R, est numerus algebraicus rationalis, sed propter signum radicale [gap: sign for Rec. (recipe)] q, [gap: sign for Rec. (recipe)] c, fit irrationalis. Primus significat radicem quadratam 20 radicum, secundus radicem cubicam 20 radicum. Valor horum, et quorumcunque aliorum similium numerorum, pendet a valore ipsius radicis: si enim una R est 5, erunt 20 R 100, et radix quadrata 20 R est 10, ideoque [gap: sign for Rec. (recipe)] q 20 R aequivalet 10 unitatibus. Ex quo patet, numeros irrationales algebraicos interdum esse rationales, interdum irrationales, prout videlicet fuerit valor 1 R. Sic inpositis exemplis, [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 20 R est rationalis, quia cum valor 1 R sit 5, et 20 R sint 100, radix autem quadrata numeri 100 sit rationalis; ideo etiam [gap: sign for Rec. (recipe)] 2 q 20 R est rationalis. At [gap: sign for Rec. (recipe)] c 20 R est irrationalis, quia radix cubica mimeri 100 irrationalis est. Si 1 R valeret 4, [gap: sign for Rec. (recipe)] q20 R esset irrationalis, quia significaret radicem quadratam numeri 80, quae irrationalis est, cum 80 non sit numerus quadratus. Non potest ergo judicari de valore numerorum irrationalium algebraicorum, nisi prius constet de valore unius radicis.

§. I. De Additione et subtractione numerorum irrationalium algebraicorum.

[note: Elementa irrationalium algebraicorum. ] QUando numeri sunt incommensurabiles, Additio fit per?, Subtractio per-. Si commensurabiles, et eosdem characteres algebraicos habent, adduntur et subtrahuntur ut commensurabiles irrationales absoluti. Ut si [gap: sign for Rec. (recipe)] q12 R addatur ad [gap: sign for Rec. (recipe)] q 36 R, fit [gap: sign for Rec. (recipe)] q 12 R? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 36 R. At si [gap: sign for Rec. (recipe)] q 12 R subtrahatur ex [gap: sign for Rec. (recipe)] q 36 R, remanet [gap: sign for Rec. (recipe)] q 36 R - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 12 R. Item si [gap: sign for Rec. (recipe)] q 8 R addatur ad [gap: sign for Rec. (recipe)] q 18 R, fit [gap: sign for Rec. (recipe)] q 50 R. At si [gap: sign for Rec. (recipe)] q 8 R subtrahatur a [gap: sign for Rec. (recipe)] q 50 R, restat [gap: sign for Rec. (recipe)] q 18 R.

§. II. De multiplicatione et divisione numerorum irrationalium algebraicorum.

[note: ] QUando numeri habent eadem signa radicalia, multiplicatio et divisio fit ut in irrationalibus absolutis, modo dicto cap. 2. §. 2. Praecepto 1. Si habeant diversa signa radicalia, reducendi sunt prius ad eadem, modo dicto cap. 2. §. 1. et deinde operatio instituenda ut supra cap. 2. §. 2. Praecepto 2. etc: ac praeterea character algebraicus mutandus est, modo dicto par. 1. cap. 9. Sit multiplicanda [gap: sign for Rec. (recipe)] Q 8 R, per [gap: sign for Rec. (recipe)] C 4 R. Reducantur numeri ad [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 512 C, et [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 16 R, prout in apposito schemate apparet. Deinde multiplica [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 512 C, per [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 16 R, fient [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 8 192 Ss. Ex divisione vero [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 512 C, per [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 16 R, fit Quotus [gap: sign for Rec. (recipe)] C q 32 R.

CAPUT VII. De Binomiis, Polynomiis, Residuis seu Apotomis.

[note: Binomia, Polynomia. ] ALgebrae Scriptores vocant omnes numeros irrationales constantes duabus particulis, et signo?, binomia; constantes duabus particulis, et signo-, residua seu apotomas; constantes tribus, quatuor etc. particulis, et signis quibuscunque, trinomia, quadrinomia etc: et uno vocabulo polynomia. Euclides tamen lib. 10 Element. propos. 37. et 74, tunc solum numeros binos copulatos per signum? vel-, vocat binomia, vel residua, quando duo illi numeri copulati sunt rationales solum potentiâ commensurabiles, quamvis alter illorum sit radix surda, vel etiam uterque. Ut 6? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 20 item [gap: sign for Rec. (recipe)] q 1 Q-4, Itaque non omnis numerus qui gerit sigmim [gap: sign for Rec. (recipe)] q, est irrationalis.

Sex purro Binomiorum et Residuorum species constituit Euclides citato lib. 10. Tres priores sunt quando quadratum majoris nominis ad excessum supra quadratum minoris est, ut numerus quadratus ad numerum quadratum. Tres posteriores, quando quadratum majoris nominis ad dictum excessum non est, ut numerus quadratus ad numerum quadratum. Lege Clavium cap. 27. Algebrae, ubi fuse de hac re.

Extractio radicum ex binomiis et residuis.

[note: Extractio radicum ex binomiis et residuis. ] EXtractio radicum ex binomijs et residuis quibuscunque fit hoc modo. I. Cape diffirentiam quadratorum utriusque nominis, ex eaque extrahe radicem quadratam. II. Radicem inventam tum majori nomini adde tum ab illo subtrahe. III. Radicem quadratam semissis illius summae conjunge cum radice quadrata semissis illius relicti, per signem?, si proposi um est binomium vel disjunge per signum-, est residuum seu apotome, et habebis radisem binomij aut refidui quaesitam. Sit extrahenda radix ex hoc binumio: 14? Q 180. Quadrata harum duarum particularum sunt 196. et 180; differentia horum quadratorum est 16; radix quadrata hujus differentiae est 4; haec addita et subtracta majori nomini, conflat 18, relinquit 10; hiujus summae et residui semisses sunt 9, et 5; semissium harum radices sunt 3, et [gap: sign for Rec. (recipe)] q 5; quibus conexis signo?, resultat radix quaesita 3? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 5. Hanc si duxeris in se quadrate, redibit dictum binomium 14? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 180; quod signum est operationem fuisse rite peractam. Si fuisset proposita haec apotome seu residuum, 14 [gap: sign for Rec. (recipe)] q 180; debuisset operatio eodem modo insticui, et ultimae particulae inventae deberent ita disjungi, 14 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 180. Demonstratio pendet ex Proposit. 4. libri 2. Euclid. quam vide apud Clavium in Algebra cap. 28, et apud Lanzium in Arithm. lib 3. cap. 1. art. 7.

Atque haec sufficiant; plura et accuratiora alio fortassis Opusculo dabimus. Superesset ut usum numerorum

irrationalium per exempla doceremus, sicut supra eundem ostendimus in numeris rationalibus. Sed id abunde praestabimus in sequenti Exercitatione.

PARS V. EXERCITATIONES ALgebraicae, in numeris rationalibus et irrationalibus.

[note: Exercitatio algebraica in numeris rationalibus et irrationalibus. ] SVpra in fine par. 3. illa tantum algebraica aenigmata proposuimus, in quibus occurrebant numeri rationales, quoniam irrationalium usum nondum tradideramus. Nunc promiscue omnis generis exempla, tam in irrationalibus, quam rationalibus numeris proponemus. Exempla vel nos ipsi olim, cum plus otij suppeteret, excogitavimus, vel ab aliis nobis proposita solvimus, vel ex aliis desumpsimus, neque enim temporis angustiae summae quibus premimur, permittunt ut novis excogitandis, solvendis, examinandis operam demus. Tyronibus gratificari cupimus, et varia subministrare exempla, quae secundum traditas hactenus toto hoc libro regulas examinent, et ad quorum imitationem alia similia cudere addiscant. Ordinem alium non servabimus, quam quem calamus inter scribendum suggeret.

Exercitatio I. Canales quatuor eiciunt aquam hac lege, ut primus implere possit pilam diebus 2, secundus eandem pilam diebus 3. tertius eandem diebus 4, quartus denique eandem 1/4 diei, seu horis sex. Quaeritur, si omnes quatuor canales simul influant in eandem pilam, quanto tempore impleant.

[note: ] HOc est problema Ptolemaei de leonis aenei canalibus, quod ex libro 1. Epigrammatum Graecorum desumptum, proponit Clavius in Algebra circa finem his verbis. AEneus ego sum leo: canales vero mihi sunt oculi duo, et os, cum palma dextripedis. Implent autem craterem eundem, dexter quidem oculus duobus diebus sinister vero tribus, et palma quatuor diebus, porro sex horis os implere cum potest. Haec igitur simul omnia. et os, et oculi, et palma, dic quanto tempore eundem craterem impleant? Quaestionem hanc prioribus verbis expressam proposuit mihi olim in Sicilia per litteras datas ex inferiori Petralia 10. Calend. Aug. 1652. Vir doctissimus, et insignis Algebrista, Vitus Trapanus Art. et Medic. Doctor; quam solvi ut sequitur.

Pono pro tempore incognito, quo omnes simul canales fluentes implerent pilam, 1 R horarum. Et quoniam primus canalis ad eandem implendam requirit horas 48, secundus horas 72, tertius 96, quartus horas 6; dico per Regulam Trium: Si 48 horae implenti 1 pilam, 1 R horarum quantum implet? invenio 1/4 [?] R pilae pro primo canali. Eodem modo procedo cum 72 horis, et invenio 1/72 R plaepro secundo canali, et 1/96 R pro tertio, et 1/6 R pro quarto. Sic ergo stabit exemplum.

Omnes partes inventae simul collectae, faciunt summam 61/288 R pilae, ut constat, si fractiones reducantur, et addantur, juxta dicta lib. 2. par. 1. cap. 2. art. 5. et 7. quae quidem 61/288 R sunt aequales uni pilae. Diviso igitur 1, per 61/288, fiet 1. R 2/6 8/1 8 horarum, id est, horae 4 44/61. Et tanto tempore implebitur pila, omnibus simul influentibus canalibus.

Hoc ita esse, probatur per eandem Regulam Trium sic: Si 48 horae implent 1 pilam, 4 44/61 horae quantum implebunt. Reperio primum canalem intra horas 4 44/61 implere 6/61 pilae. Eodem modo reperio, secundum canalem toto dicto tempore implere 3/61 pilae, tertium 4/61, quartum 48/61: quae omnes partes efficiunt 61/61 pilae, hoc est, 1 pilam. Sic ergo stabit exemplum.

Annotatio.

Primo sic.

[note: ] FIngatur numerus capacitatis pilae, ex quo per singulos praedictos horarum numeros, 48, 72, 96, 6, diviso resultent partes aliquotae integrae sine minutijs, ad facilius instituendas operationes, et ad minutias in ijs vitandas. Talis est numerus 288: hoc enim diviso per 48, proveniunt 6 pro Quoto; et diviso per 72, proveniunt 4; et per 96 diviso, proveniunt 3; ac tandem per 6 diviso, proveniunt 48: qui omnes Quoti simul collecti efficiunt summam 61. Capit ergo pila urnas, vel dolia, vel quascunque alias mensuras 288, numerus autem 61 est pars capacitatis pilae; quae pars ita stabit, 6/2 1/8 3/8. Haec autem pars canalibus simul influentibus impletur

tempore horae 1, quoniam numerus 288 divisus est per horas 48, 72, 96, 6. Dic igitur per Regulam auream: si pilae capacitas 61/288 impletur tempore horae 1. quanto tempore implebuntur 288/288, quae sunt intergra pila? Et operando invenies pilam implendam tempore horarum 4 44/61, ut per Algebram inventum fuit.

Secundo sic.

[note: ] PRimus canalis implet pilam horis 48, secundus horis 72, tertius horis 96, quartus horis 6. Ducantur 48 in 72, et producetur numerus 3456: hic ducatur in 96, et producentur 331776. hic ducantur in 6. et producentur 1990656. Hic ultimus numerus dividatur per numeros horarum singulis canalibus attributarum, nempe per 48, per 72, per 96, per 6; et provenient 41472, 27648, 20736, 331776; qui omnes Quotientes in unum collecti efficiunt summam 421632. Per hanc summam divide numerum 1990656, et fiet Quotiens 4; remanebuntque 304128, quae divisa pereundem Divsorem 421632, tandem abibunt in 44/61. Totum ergo tempus quo impletur pila a quatuor canalibus influentibus, est horae 4 44/61, ut antea.

Tertio sic.

[note: ] ADdantur simul numeri horarum canalibus influentibus attributarum, nempe 48, 72, 96, 6, et fiet summa 222; quâ divisâ per 48, sit Quotiens 4 10/16 per 72, fit 3 [?]/2; per 96, fit 2 5/16; per 6, fiunt 37; qui omnes Quotientes simul sumpti efficiunt summam 47 1/48. His sic statutis, dividatur summa horarum 222 per summam Quotientium 47 1/8, et fiet Quotiens 4, qui est numerus horarum, quo reclusis omnibus canalibus implebitur pila. At quoniam peractâ divisione remanet numerus 1628, et Divisor fuit 2257 (scilicet 47 1/48 reducta ad minutiam) oportet in venire communem Divisorem, per quem tum numerus 1628 qui remansit, tum num erus 2257 qui est Divisor, dividantur. Hic autem communis Divisor potest 37, quo si dividantur 1628, fit Quotiens 44; et divisis 2257 per eundem numerum 37, fit Quotiens 61: unde sic stabit fractus, 44/61, ut antea.

Quarto sic.

[note: ] SI primus canalis influeret per 1 horam, impleret 1/8 capacitatis pilae: si vero secundus influeret per 1 horam, impleret 1/72; si tertius impleret 1/96; si denique quartus, impleret 1/6: quae omnes partes in unum collectae efficiunt summam 1827/6912. Et tantum capacitatis pilae impleretur per 1 horam, influentibus omnibus canalibus. Nunc ad vitandam longam ac molestam operationem, minuatur fractus numerus 1827/6912, et abibit in fractum minimae denominationis, qui erit 61/288 Tum dicas per Regulam proportionum: si 61/288 capacitatis pilae impletur per 1 horam: quanto tempore implebitur 1 pila? Et in venies tempus horarum 4 44/61, ut in antecedentibus.

Exercitatio III. Trium societas, Primus posuit quadratum 1/3 secundi, tertium nescio, scio autem secundum et tertium posuisse duplum primi, et ex communi lucro, quod fuit unc. 93, obtigisse tertio uncias 38, tarenos 22, grana 10. Quaeritur, quantum quisque posuerit.

[note: ] HAnc quoque quaestionem proposuit mihi supradictus Dominus Doctor Vitus Trapanus in moneta Sicula, cujus una uncia valet 30 tarenos, et unus tarenus 20 grana. Eam dissolvi ut sequitur.

Posuerit secundus 1 R. Primus ergo posuit 1/9 Q; secundus vero et tertius simul posuerunt 2/9 Q, ut posuerit duplum primi: quod est dicere, primus posuit 1, secundus autem et tertius simul posuerunt 2. Dividendum ergo lucrum in tres partes aquales, quarum una contingat primo, et reliquae duae secundo ac tertio simul. Et sic primo contingunt unciae 31, reliquae vero unciae 62 obveniunt secundo ac tertio: sed tertio obtigerunt unciae 38, tareni 22, grana 10; reliquum ergo, quod, est unciae 23, tar. 7. gr. 10. obtigit tertio: His habitis, ut scias quantum divisim posuerint primus et secundus, videas quaenam proportio sit inter unc. 23. 7. 10. secundi, et uncias 31 primi; invenies proportionem 93/12, id est, 3/4 pro minori proportione. Ex hac proportione invenies, quantum primus, quantum secundus, et quantum tertius posuerit; idque tripliciter.

Primo sic.

[note: ] CUm pecuniae secundi sint 3/4 primi; sume 1/3 secundi, quae est 1/2; hanc duc in se quadrate juxta quaestionem, et habebis 1/16; per hanc divide 3/4 ejusdem secundi, et fiet Quotus 12, numerus quem posuit primus. Cum ergo primus posuerit quadratum tertiae partis secundi, et una tertia secundi sit 4; posuit primus 16. Cumque secundus et tertius posuerint duplum primi, oportet secundum posuisse 20, ut simul cum 12 secundi efficiat 32, duplum primi.

Secundo sic.

[note: ] CUm inter primum et secundum minor proportio sit 3/4, secundus posuit 3/4 primi. Si igitur primus posuit 4, secundus posuisset 3. Dicergo juxta quaesitum: tertia pars numeri 3, est 1; duci in se quadrate, et habebis 1; divide 4 primi peri Qsecundi, relicto charactere Q, et habebis 4; et 4 fuit radix primi; ergo primus posuit 163 et cum illa radix 4 sit tertia pars secundi, sequitur secundum posuisse 12; ergo etc.

Tertio sic.

[note: ] CUm major proportio inter primum et secundum sit 124/93, id est, 4/3; ponatur primum posuisse 1 R, et juxta quaesitum duc 1/5 R in se quadrate, et habebis 1/9 R; per quam divide minorem proportionem

Operationem fuisse rite institutam, probari potest per Regulam Societatis, seu per Regulam trium reperitam. Item pereasdem proportiones sic.

Ergo omnes posuerunt duodecies quatuor. Dividatur ergo lucrum unciarum 93 in partes aequales duodecim: et erit pars quaelibet unciae 7 3/4: id est, unciae 7, tareni 22. grana 10. Hanc primus habere debet quater; secundus ter; tertius quinquies; habebit ergo ex communi lucro

Annotatio.

[note: ] QVastionem praecedentem cum alteri cuidam insigni Mathematico ostendissem, eam in hunc modum solvit, et solutionem scripto tradidit. Primus si posuerit 1 Q. secundus posuit 3 R. quiaradix quadrata primi tertia pars est secundi: et secundus ac teritia simul posuerunt 2. Q. nimirum duplum primi, et ideo onines tres simul posuerunt 3 Q: et quia 3 Q non aequantur numero, apparet hanc quaestionem agere de impossibili.

Datur insuper lucrum tribus dictis soctiis commune, unciae 93. et etiam lucrum tertii unciarum 38, 22. 10. Et quia primus posuit 1 Q, partem scilicet tertiam 3 Q, quos dicti socii posuerunt: obtigêre primo un iae 31, pars scilicet tertia totius lucri: Subtractis igitur a toto lucro 93 unciarum unciis 31 quod est lucrum primi; et unciis 38, 22, 10; quod est lucrum tertii: remanet lucrum secundi unciae 23, 7, 10. Et haectria lucra sunt termini rationum uummorum quos dicti socii posuerunt et redu untur ad tres numeros, 4, 3, 5, ita ut primus terminus reducatur ad 4, secundus ad 3, tertius ad 5.

Inveniendi sunt igitur tres numeri, servantes inter serationes 4, 3, 5, ita ut quadratum tertiae partis secundi aequetur primo, et secundus cum tertio simul sint aequales duplo primi.

Pono igitur primum posuisse 4 Q. Secundus ergo posuit 3 Q. et tertius 5 Q, et consequenter secundus ac tertius simul posuerunt 8 Q, quae aequantur duplo primi. Consequens igitur est, ut 1 Q, scil. quadratum tertiae partis 3 R, quas posuit secundus, aequentur 4 Q; et dividendo aequalitatis terminos per 1 Q, resultat aequalitas inter 1 Q et 4. Igitur primus quem supposuimus posuisse 4 Q, posuit uncias 16; et secundus, quem diximus posuisse 3 Q, posuit uncias 12: et tertius, cui adscribuntur 5 Q posuit uncias 20.

Posuit igitur primus trium sociorum uncias 16, secundus uncias 12, tertius uncias 20: nam si pecunia secundi et tertii sunt unciae 32, quod est duplum primi, et quadratum 4 tertiae partis secundi aequale est numero 16, nimirum pecuniae primi: et insuper lucro unciarum 93 diviso dictis tribus sociis pro rationibus positis: nimirum per uncias 16 primi, et per uncias 12 secundi, et per uncias 20 tertii, obtingunt primo unciae 31: secundo unciae 23, 7, 10: et tertio unciae 38, 22, 10.

Exercitatio III. Trium societas: primus posuit 3/4 secundi in se quadrate ductas, et ultimo subtractis 5: tertium ignoro: commune lucrum fuit unciae 177, ex quo obtigerunt tertio unciae 45, et secundo unciae 18. Quaeritur quantum unusquisque posuerit, et procedendi modus.

[note: ] ET hanc quaestionem proposuit idem qui supra, Doctor Vitus Trapanus: quam solvi ut sequitur.

Dum habemus lucrum unciarum 177. commune dictissociis; et lucrumtertii unciarum 45: et lucrum secundi unciarum 18: remanet lucrum primi fuisse uncias 114. Unde tria dicta sociorum lucra sunt termini rationum pecuniarum, quas dicti socii posuerunt, nimirum 114, 18, 45: qui termini si dividantur per 3, reducuntur ad minores 38; 6, 15. Ideo inveniendi sunt tres numeri inter servantes praedictam rationem, scilicet primi ad secundum ut 38 ad 6, et secundi ad tertium ut 6 ad 15, ita ut 3/4 secundi quadrate multiplicatae, et ultimo subtractis 5, aequales sunt primo.

Sit igitur primus 38 R, secundus 6 R, et tertius 15 R. 3/4 secundi sunt 9/2 R: quae quadrate multiplicatae producunt 8[?]/4 R: a quibus subtractis 5, remanent 8 1/4 R- 5, aqualia 38 R primi; et addendo utrique aequalitatis termino 5, et omnia per 4 multiplicando, resultat aequatio inter 81 R, et 152 R? 20. Quale valor 1 R est 2. Et quoniam primus posuit 38 R, dedit 15. ad negotiationem uncias 76: secundus autem, qui posuit 6 R, dedit uncias 12: et tertius qui posuit 15, dedit uncias 30. Sub istis numeris unciarum quos posuerunt dicti socii, conveniunt iisdem praedicta lucra: et insuper 3/4 secundi in se quadrate ductae, scilicet 9 in se quadrate ductae, producunt 81: a quibus sublatis 5, remanent unciae 76, quas ad negotiationem posuit primus ut quaerebatur.

Exercitatio IV. Duo vendebant: hic pyra, ille poma. Vendens pyra dixit vendenti poma: des mihi poma 45, et ego dabo tibi grana 6, et pyra 9: et ita iuste factum fuit. Dixit postea vendens poma vendenti pyra: des mihi pyra 30, et ego dabo tibi grana 7, et poma 15: itaque fecerunt. Quaritur pretium unius pyri, uniusque pomi, et modus operandi.

[note: ] AB eodem supradicto Doctore proposita fuit et haec quaestio: quam solvi in hunc modum:

Dum poma 45 aequalia sunt granis 6? pyris 9: et pyra 30 aequalia sunt granis 7? pom is 15: erunt poma 45? pyra 30, aequalia granis 13? pomis 15, et? pyris 9. Ablatis ab utraque parte pomis 15? pyris 9: erunt poma 30, et pyra 21, aequalia granis 13. Et quia pyra 30; aequalia sunt granis 7? pomis 15: erunt

pyra 60 aequalia granis 14? pomis 30: et aequalibus aequalia addendo, scilicet pomis 30? pyris 21, addendo pyra 60; et granis 13 addendo grana 14? poma 30; resultat aequalitas inter poma 30? pyra 81, et grana 27? poma 30. Postremo auferendo ab utraque parte poma 30; erunt pira 81 aequalia granis 27. Unde 3 pyra valent granum 1.

Et si 3 pyra valent granum 1, pyra 9 valebunt grana 3. unde grana 6? pyra 9, scilicet grana 9, erunt aequalia pomis 45; quare poma 5 valebunt granum 1.

Exercitatio V. Est quadratum, cuius latus et diametrus simul faciunt 10: quaero, quantum sit latus, quanta diametrus.

[note: ] HOc problema proponit ac solvit Lanzius lib. 4 Arithm. cap. 2. propos. 1. in hunc modum. Pono latus 1 R: erit ergo diametrus 10-1 R. Et quia, per 47. primi Euclid quadratum diametri est duplum quadrati lateris, estque quadratum lateris 1 Q, quadratum vero diametri est 100-20 R? 1 Q; erunt haec, 2 Q, his 100 20 R? 1 Q, aequalia; et factâ reductione, hoc, 1 Q, his, 100 20 R. Semissis numeri radicum est 10; ejus quadratum 100, additum absoluto 100, facit 200; de cujus radice si tollatur se missis numeri radicum, erit latus [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200-10; quod ex 10 subtractum, relinquit diametrum 20 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200.

Exercitatio VI. Est quadratum, cuius latus ductum in differentiam lateris et diametri, producit 10: Quaero latus, et diametrum.

[note: ] HOc quoque problema proponit Lanzius lo. cit. propos. 2. et solvit hac ratione. Pono latus 1 R; per quod si dividantur 10, prodit differentia lateris et diametri 10/1R: cui si addatur 1 R, nimirum latus; prodit diametrus 10/1R? 1R, sive (particulis ad eandem denominationem ductis) 10? 1Q/1R hujus quadratum 100? 20? 1 Q q/1Q, cum quadrati lateris sit duplum; erit inter 2 Q, et 100? 20? 1 Q q/1Q, aequalitas. Quae si ad eandem denominationem reducantur, et communis Denominator tollatur; erit etiam inter 2 Q q, et 100? 20 q? 1 Q, aequalitas; et reductione factâ, inter 1 Q q, et 100? 20 q. Divisis ergo 100? 20 q, per 1 Qq; proveniunt 100? 20 q. Semissis numeri radicum est 10; cujus quadratum 100, additum absoluto, facit 200; cujus radici [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200 si addatur semissis numeri radicum, conflantur [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10, quadratum lateris: ergo quadratum diametri est [gap: sign for Rec. (recipe)] q 800? 200; adeoque diametrus est [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 800? 200) et lateris [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10.) Subtractum latus ex diametro relinquit [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 800? 20) - [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10.) Ducto jam latere [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10) in [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 800? 20) - [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10,) producuntur 10.

Annotatio.

[note: ] MVltiplicatio praedicta fit hoc modo. Ex [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10) in - [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10,) fit quadratum lateris; tollitur enim duntaxat character ante parenthesin, et propter diversa signa ponitur signum hoc-. Ductis vero [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 800? 20) in [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10) producuntur [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 160000? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 80000? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 80000? 200) sive [gap: sign for Rec. (recipe)] q (160000? 320000? 200;) et radice ipsius [gap: sign for Rec. (recipe)] q 160000, additâ ad 200, fit hoc binomium, (600? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 320000) cujus binomij radix est 20? [gap: sign for Rec. (recipe)] 200: unde si tollam [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10, nempe quadratum lateris [gap: sign for Rec. (recipe)] q ( [gap: sign for Rec. (recipe)] q 200? 10) restant 10.

Exercitatio VII. Dividatur numerus 100 in duas partes, quae in se ductae faciant 1000.

[note: ] SOlvit hoc Lanzius lo. cit. probl. 3. sic. Pono primam partem 1 R: erit igitur altera 100-1 R. Hae partes in se ductae faciunt 100 R 1Q. quae sunt his, 1000, aequalia; et factâ reductione, hoc, 1 Q. est aequale his, 100 R-1000 Si ex quadrato semissis numeri radicum, nempe ex 2500, subtrahatur absolutus, restant 1500: cujus numeri radix quadrata [gap: sign for Rec. (recipe)] q 1500, si addatur, et subtrahatur semissi numeri radicum; exurgunt partes, major 50? [gap: sign for Rec. (recipe)] q 1500; minor 50 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 1500. Hae partes additiae, faciunt 100; in se vero ductae procreant 1000.

Exercitatio VIII. Est quadratum, cuius latus est 7: quaeritur diameter.

[note: ] PRoponit et solvit Clavius cap. 32. Algebrae aenigm. 15. sic. Quadratum lateris est 49; cujus duplum est; quadratum diametri, per 47 primi, Igitur quadratum diametri est 98; et ipta diameter est [gap: sign for Rec. (recipe)] q 98.

Exercitatio IX. Est quadratum, cuius diameter est R q 98: quaeritur latus.

[note: ] QUoniam quadratum diametri duplum est quadrati lateris; estque quadratum diametri 98; erit quadratum lateris 49, et latus ipsum [gap: sign for Rec. (recipe)] q 49, hoc est 7. Idem Clavius lo. cit. anigm. 16.

Exercitatio X. Est quadratum, cuius diameter et latus faciunt summam 6. quaeruntur diameter, et latus.

[note: ] ESt hoc problema simile problemati 5, et proponitur ac solvitur a Clavio lo. cit. aenigm. 17. sic. Ponatur latus 1 R, ac proinde diameter 6-1 R. Et quia quadratum diametri duplum est quadrati lateris; estque quadratum lateris 1 Q, et quadratum diametri 36-12 R? 1 Q; erit aequatio inter 2 Q, et 36-12 R? 1 Q; et ablato 1 Q utrimque, inter 1 Q, et 36-12 R. Jam sic. Semissis numeri radicum est 6; ad cujus quadratum 36, si addantur 36, fit numurus

72; a cujus radice [gap: sign for Rec. (recipe)] q 72, si praedicta semissis 6 dematur, reliqua fiet aestimatio 1 R, [gap: sign for Rec. (recipe)] q 72-6; atque tantum erit latus: quod demptum ex 6. reliquum faciet diametrum 12 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 72, ut in hac formula vides. Quod probatur, quia quadratum diametri 216 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q4 1472, duplum est quadrati lareris 108 - [gap: sign for Rec. (recipe)] q 10368. Et diameter ac latus faciunt summam 6.

Exercitatio XI. Inveniatur numerus, cuius quadruplum cum eiusdem numeri quadrato, faciat 400.

[note: ] POno numerum quaesitum esse 1 R: hujus quadruplum est 4 R, ejusdem vero quadratum est 1 Q: quae simul faciunt 1 Q? 4 R. AEqualitas ergo est inter 1 Q? 4 R, et 400: et reductione factâ, inter 1 Q, et 400 - 4 R. Quare radix quadrata hujus numeri, 400-4 R, erit numerus quaesitus. Semissis numeri radicum est 2: cujus quadratum, 4 addo numero absoluto 400, quia gerit signum?, et facio 404: a cujus radice quadrata, quae est [gap: sign for Rec. (recipe)] q 404, si praedicta semissis 2 dematur. fiet 1 R [gap: sign for Rec. (recipe)] q 404-2 numerus quaesitus.

Exercitatio XII. De Palladis statua aurea, quotnam illa auri talenta appendat.

[note: ] INter alia Prolomaei aenigmata, quae lib. 1. Epigrammat. Graecor. habentur, refert Clavius in fine Algebrae hoc quod sequitur.

Pallas ergo sum, malleo hunc in modum fabrefacta: sed aureum munus est invenum qui in studio versantur Poetiees; dimidiam quidem auri partem contulit Charisius: octavam vero Thespis: decimam dehinc Solon: et vigesimam Themison: reliqua autem novem tulenta, et mercedem item quae artifica habebatur, contulit Aristodicus. Quaeritur de toto pondere statuae, et quor quisque talentae contulerit.

Clavius sic resolvit. Ponatur pondus statuae 1 R talentorum auri. Ergo Charisius contulit 1/2 R talentorum, Thespis 1/8 R, Solon 1/10 R, Themison 1/20 R, et Aristodius 9 talenta: quae omnes partes simul conficiunt 31/40 R? 9, summam aequalem 1 R, Ablatis igitur 31/40 R, utrimque, aequalitas erit inter 9, et 9/40 R. Divisis igitur 9 per 9/45, fiet 1 R 40. Atque tot talenturum fuit statua. Charisius ergo contulit 20 talenta, nimirum semissem totius ponderis; Thespis 5 talenta, octavam scilicet partem; Soson 4 talenta, nimirum partem decimam; Themison denique 2 talenta, partem videlicet vigesimam: quae omnes partes, cum 9 talentis quae contulit Aristodicus, conficunt 40. talenta.

Annotatio I.

[note: ] HVic anigmati simile est aliud ejusdem Ptolemaei de numero boum armenti Augeae. Int rrogatus enim Angeas ab Hercule de boum uorum numero, respondit: Media pars horum pascitur circa fluvium Alpheum; octa va autem pars circa Saturni collem; duodecima juxta loca Taraxippi; vigesima circa Elidem; trigesima est in Arcadia; reliqui 50 numero apud me sunt. Quaestio igitur est de numero boum, et quotnam in singulis locis fuerint. Clavius ita solvit citato loco. Ponatur numerus boum 1 R. Ergo juxta fluvium Alpheum fuerunt 1/2 R boum; et circa collem Saturni 1/8 R; et juxta Taraxippum 1/12 R: juxta Elidem 1/10 R: in Arcadia 1/30 R: et apud Augeam 50 boves: quae omnes partes simul conficiunt 19/24 R? 50, summam aequalem 1 R. Ablatis igitur 19/24 Rutrobique aequalitas erit inter 50, et 5/24 R. Divisisergo 50, per 5/24, fiet 1 R 240 pro numero omnium boum: quorum simissis 120 fuit circa fluvium Alpheum: et 30 boves, nimirum 1/8 omnium totius armenti, circa collem Saturni: et 1/12, nimirum 20 juxta Taraxippum: et 1/20, nimirum 12, juxta Elidem: et 1/30, nimirum 8 boves in Arcadia. Atque omnes hiboves, una cum 50 qui cum Augea erant faciunt 240.

Annotatio II.

[note: ] NEc ab similis est haec altera de statuis Zethi. Amphionis, et matris ipsorum Antiopes, quae similiter Ptolemaeo adscribitur, ac ita proponitur a Clavio. Ambo quidem nos 20 minas appendimus, Zethus pariter, et meus consangnineus: at si de meis minis tertiam partem, minarum vero Amphionis quartam sumpseris; sex in summa inventis, matris pondus reperies. Quaestio est, quot minas tum Zethus, tum Amphion appenderint.

Pone pro Zetho 1 R minarum: ideoque pro Amphione minas 20 1 R, faciesque teritam partem Zethi 1/3 R, et quartam partem Amphionis 5-1/4 R: quae summam faciunt 5? 1/12 R, aequalem 6. Ablatis igitur 5 utrobique, erit aequatio inter 1/12 R, et 1. Divisa igitur 1, per 1/12, fiet 1 R, 12. Atque tot minarum fuit statua Zethi, Amphionis vero 8, et Antiopes 6; quaeminae omnes saciuni 26.

Exercitatio XIII. Alexander superat Ephestionem duobus annis: Clytus amborum annos, et praeterea quatuor attigit; Callisthenes annos natus 96, trium praecedentium aetatem implevit. Quaeritur, quot annorum sit Ephestion, quot Alexander, quot Clytus.

[note: ] PAssim proponitur hoc aenigma, et sic solvitur, Esto 1 R pro annis Ephestionis: erit itaque pro annis Alexandri 1 R? 2, et pro annis Clyti 2 R? 6. Hae tres partes additae inter se, faciunt 4 R? 8 pro annis Callisthenis, qui ponebatur habere annos 96. AEquatio ergo est inventa inter 4 R? 8, et 96; et abjectis 8 utrobique, inter 4 R, et 88. Divisis ergo 88 per 4, Quotus ostendit 1 R esse 22 pro annis Ephestionis. Ergo Alexander habet annos 24, et Clytus annos 50; qui omnes additi, dant 96, pro aetate Callisthenis.

PARS VI. SPECIMEN ALGEBRAE Speciosae.

[note: Algebrae Speciosae specimen. ] ALgebra, ut initio hujus Libri vidimus, dividitur in vulgarem sive numerosam, et in Vietaeam (sic dictam ab auctore Francisco Vieta) sive Speciosam. Algebra vulgaris seu numerosa est (ut ibidem diximus) quae numeris exhibetur; Algebra vero speciosa, quae per species sivererum formas lureris Alphabeti designatas, suas exercet opirationes. Vtraque appellatur etiam Doctrina Analytica, seu Resolutoria, quoniam resolutorie modo procedit; un de sic definiri ambae unâcommuni definitione possunt: [note: Algebrae definitio. ] Algebra est Ars (sive Scientia) quae assumptâ magnitudine quaesitâ tanquam jam notâ, et constitutâ inteream aliasque magnitudines datus aqual tate, invenitur ipsa magnitudo de quae quaeritur. Algebra vulgaris seunumerosa, quam hactenus explica vimus, solutiones problematum arithmeticorum tantum exhibet, idque fere sine demonstrationibus; geometrica enim non solvit, nisi ad numeros redacta: at Speciosa algebra nullo genere problematum coercetur, nec minus utilis est ad invenienda omnis generis theoremata, quam solutiones ac demonstrationes problematum. Hujus usum ut intelligant Tyrones, spec men aliquod exhibere quam brevissime volui, desumptum potissimum ex Algebra Petri Herigoni, quam iradit to. 2. Cursus Mathematici.

CAPUT I. Explicatio eorum quae ad Algebrae Speciosae cognitionem ac usum sunt necessaria.

[note: ] MUlta quae ad explicationem usumque Algebrae Numerosae sunt necessaria, acin praecedentibus explicata, Speciosae quoque Algebrae inserviunt. Quaedam tamen sunt huic peculiaria, saltem ex parte; quae hoc capite explico.

§. I. Definitiones, et Terminorum explicationes ad Algebram Speciosam spectantes.

[note: Algebrae Speciosae definitiones, ac termini explicati. ] IN Algebra Speciosa magnitudines quae ex genere ad genus, suâ vi proportionaliter ascendunt, vel descendunt, vocantur Scalares; in Vulgari vero appellantur numeri Cossici ab aliis, a nobis numeri Algebraici Tales magnitudines et numeri sunt, qui notantur in Tabella §. 2. sequentis, et supra par. 1. passim.

II.

[note: ] Signa quibus disignantur genera magnitudinum progressionis Scalarium, nuncupantur Characteres Cossici ab aliis, a nobis Characteres Algebraici. Tales sunt qui notantur in eadem Tabella sub columna 3 et 4.

III.

[note: ] Exponentes Characterum Cossicorum seu Algebraicorum, oppositi Characteribus columnae quartae Tabellae sequentis, ostendunt, quota unaquae que proportionalium, a prima proportionali progressionis geometricae, inchoatae ab unitate: ut a 4. ostendit. 16 vel 81 esse quartam proportionalem in dictis progressionibus.

IV.

[note: ] Characteres Cossici seu Algebraici etiam in Algebra Speciosa varie a variis Auctoribus designantur. Nos cum Herigono utimur iiss, in quibus Exponentes numeris sunt expressi, nimirum his, a1, a2, a3, a4, etc.

[note: Aequatio Algebraica. ] AEquatio, quae etiam in Speciosa Algebra est pars praecipua Regulae Algebraicae, est magnitudinis incertae cum certa comparatio. Explicatio patet ex dictis supra p. 2. ubi de AEquatione egimus. Magnitudo porro incerta est radix, vel potestas, ut ex praecedentibus constat: ex quibus etiam paret quid sit radix, quid potestas.

VI.

[note: ] Potestas vel pura est, vel affecta. Pura est, quando nullum habet signum additionis aut subtractionis, seu affirmationis aut negationis, de quibus supra par. 1. et paulo post §. 4

VII.

[note: ] Cum afficiens homogeneum negatur de potestate, negatio est directa, ut cum dicitur, a2-ab, est aequale ipsi d 2. Cum contra porestas negatur de afficiente homogeneo sub gradu, negatio est inversa, ut cum dicitur, ab-a2, aequivalet ipsi d 2. Porro.

VIII.

[note: ] Magnitudo data cui comparantur reliqua, est homogeneum comparationis. In numeris homogenea comparationis sunt unita tes.

IX.

[note: ] Subgradualis vel coefficiens, est magnitudo data, sub qua et gradu parodico continetur homogeneum qua afficitur potestas: ut in hac aequatione, a2? ab, aequale est ipsi d 2; b est subgradualis, et a gradus parodicus ad potestatem.

[note: ] Cum radix de qua quaeritur, in sua base consisstens, datae magnitudini homogeneae comparatur, aequatio est simplex absolute: ut a est aequale ipsi b. Cum vero potestas de qua quaeritur, pura ab affectione, datae homogeneae magnitudini comparatur, aequatio est simplex climatica seu scalaris: ut a 2 aequatur ipsi bd. Cum potestas radicis de qua quaeritur, affecta sub designato gradu, et data coefficiente, datae magnitudini homogeneae comparatur, aequatio polynomia est, pro affectionum multitudine et varietate.

XI.

XII.

[note: ] Quot sunt gradus parodici ad potestatem, tot affectionibus potestas potest implicari. Itaque quadratum potest affici sub latere seu radice; cubus sub latere et quadrato; quadrato quadratum sub latere, quadrato, et cubo etc.

XIII.

[note: ] Cum omnis aequatio praesupponat aequalitatem, comparatae magnitudines debent esse homogeneae. Itaque si magnitudo magnitudini additur, haec illi homogenea est. Si magnitudo magnitudini sub ducitur, haec illi homogenea quoque est. Si magnitudo in magnitudinem ducitur, quae fit, huic et illi heterogenea est. Si magnitudo magnitudini applicatur, magnitudo quae applicatur est heterogenea reliquis duabus.

Hae duae aliae que quaecunque progressiones geometricae, cum suis characteribus algebraicis, tam numerosis, quam speciosis, horumque explicationibus, possunt ulterius extendi quousque libet, aut necessarium est, juxta dicta supra par. 1

§. II. Characteres Algebrae Speciosae, eorumque explicatio.

[note: Algebra Speciosae characteres. ] HOs sequens exhibet Tabella, in cujus columna prima et secunda perpendiculari continentur binae progressiones geometricae, non ab unitate, sed a radice seu latere inchoatae; in terria vero continentur characteres algebraici Algebrae numerosae, et in quarta characteres algebraici Algebrae speciosae. Hos ultimos characteres constituunt Exponentes progressionum geometricarum una cum prima Alphabeti littera. Quinta Columna exhibet characterum explicationem.

§. III Significationes Signorum radicalium Algebrae Speciosae.

[note: Signa radicalia Algebrae speciosae. ] SIgna radicalia appellamus, quae significant radices numerorum, quaecunque illae sint. Notantur ab Herigono eodem fere signo, quo radices surdae: at nos eas notamus ut sequitur. Potest et haec Tabella extendi ulterius quousque liber.

§. IV. Explicatio signorum affectionis Algebrae Speciosae.

[note: Signa affectionis Algebraicae. ] SIgna affectionis vocamus hîc illa, quae in praecedentibus appellavimus signa additionis ac subtractionis, vel signa auctionis ac diminutionis. His addimus nunc signum differentiae, hoc est, residui post subtractionem minoris magnitudinis a majori. Itaque.

§. V. Explicatio notarum Algebrae Speciosae.

[note: Nota Algebrae Speciosae. ] ab significat A in B, hoc est, Amultiplicatum per B.

CAPUT II. De Logistica magnitudinum simplicium pro Algebra Speciosa.

[note: Logistica Algebrae Speciosae magnitudinum simplicium, ] LOgistica apud: Arithmeticos est modus addendi subtrahendi, multiplicandi, et dividendi. Alii vocant Algorithmum. Nos hoc libro supra par. 1. et lib. 2. appellavimus Elementa Arithmeticae, et Algebrae. Convenit in multis cum Logistica Algebrae numerosae, uti ex sequentibus patebit, quae ex Herigono desumpta sunt, quoniam perinde est ad explicationem, sive nostra, sive aliena ponamus verba et exempla.

§. De Additione.

[note: Additio Algebrae Speciosae. ] ADditio in iisdem litteris fit ut in numeris absolutis; at in divetsis litteris fit interjecto signo?.

Exemplum in iisdem litteris.

Exemplum in diversis litteris.

§. II. De Subtractione.

[note: Subtractio Algebrae Speciosae. ] SUbtractio in iisdem litteris fit ut in numeris absolutis; at in diversis litteris fit interjecto signo --.

Exemplum in iisdem litteris.

Exemplum in diversis litteris.

§. III. De Multiplicatione.

[note: Multiplicatio Algebrae Speciosae. ] MUltiplicatio in iisdem litteris fit additione Exponentium; in diversis vero litteris ponuntur litterae continue cum suis Exponentibus. Si litterae habent numeros prae positos, multiplicari debent inter se ut in numeris absolutis.

Exemplum in iisdem et diversis litteris.

Exemplum in numeris praepositis

§. IV. de Divisione.

[note: Divisio Algebrae Speciosae ] DIvisio in iisdem litteris fit subductione Exponentis Divisoris ab Exponente Dividendi; in diversis vero litteris fit fractio subjiciendo Divisorem Dividendo. Quod si litterae habeant numeros praepositos, fiet divisio ut in numeris absolutis.

Exempla.

Alia.

Aliud.

CAPUT III. De Logistica magnitudinum compositarum.

[note: Logistica Algebrae Speciosae magnitudinum compositarum. ] MAgnitudines compositae sunt, quae habent signa? vel-. Haec difficilior est quam praecedens. Verba fere et exempla Herigoni damus. Notandum magnitudines quibus non praeponitur signum, intelligi habere signum?.

§. De Additione.

[note: Additio. ] ADditio iniisdem signis affectionis habet idem signum; in diversis signis, additio est subtractio, et residuum habet signum majoris.

Exempla in iisdem signis.

Alia.

Exempla in diversis signis.

Aliud.

§. II. De Subtractione.

[note: Subtractio. ] SIgnis affectionis magnitudinum subducendarum in contraria commutatis, fiat additio ut in praecedenti §.

Exempla in iisdem signis.

Alia.

Exempla in diversis signis.

Aliud.

§. III. De Multiplicatione.

[note: Multiplicatio. ] EAdem signa affectionis faciunt plus, diversa minus, ut colligitur ex sequentibus exemplis, tam in numeris Cossicis seu Algebraicis quam in magnitudinibus.

Exemplum in numeris.

[note: ] Sit multiplicandus numerus A per numerum B. Ducatur pars prima numeri B in numerum A, producetur numerus C. Ducatur item pars secunda numeri B in numerum A, producetur numerus D. Addantur C et D, producetur numerus E.

Exemplum in litteris.

[note: ] ESto rectangulum B E, cujus latus F B sit 7, F D 4, DE 6, ac proinde totum F E 4? 6, hoc est 10. Invenienda sit area totius rectanguli BE. Sic operare. F E est 4? 6, et FB 7. Duc ergo 7 FB 7 in FD 4, producetur rectangulum B D 28. Duc iterum FB 7 in DE 6, producetur rectangulum CE 42. Quoniam ergo rectangulum B E est aequale rectangulis BD, et CE; erit BE 70. Sic ergo stabit exemplum.

Aliud Exemplum in litteris.

[note: ] IN rectangulo F A, latus F B sit 7, F E 10, D E 6, invenienda sit area rectanguli B D. F D est 10-6, F B est 7. Ducatur ergo F B 7 in F D 10-6, producentur 70-42, hoc est 28 ac proinde 7 BD erit 28. Nam F B 7 in FD 4, dat 28; et in DE 6, dat 42; et in FE 10, dat 70. Est autem B D aequale ipsi B E, minus CE; ergo et c: Sic igitur stabit exemplum.

§. IV. De Divisione.

[note: ] PRaecepta divisionis quantum ad signa affectionis non differunt a praecep tis Multiplicationis.

Exemplum I.

Exemplum II.

CAPUT IV. De Potestatum Genesi, et Analysi in genere pro Algebra Speciosa et Numerosa.

[note: Potestatum genesis et analysis. ] DE hac re egimus fuse in priaedentibus sed solum in ordine ad Algebram numerosam: nunc iterum de eadem agimus in ordine ad Speciosam et Numerosam simul; primo quidem in genere hoc capite, deindein specie sequenti capite. Hunc in finem Tabulas construemus vel necessarias, vel utiles. Supradicta lucem praeserent hîc dicendis, ideo vel hîc reponenda, vel recolenda. Sequimur Guldinum, qui hanc rem eleganter, methodice, et docte pertractar in Appendice ab lib 1. Centrobarycae.

§. I. Quid numerus Figuratus, et Potestas.

[note: Numerus figuratus. ] REgolendum igitur, quod Numerus Figuratus est, cujus unitates certo quodam modo dispositae, constituunt figuram Geometricam, sive plana ea sit, sive solida; ut in planis triangularem, quadrangularem, pentagonam, hexagonam etc: in solidis vero cubum, parallelepipedum sive columnam quadrangularem, pyramidem etc: Saepe tamen solus quadrangularis numerus, qui nimirum ex multiplicatione duorum quorumcunque numerorum in se producitur, vocatur Planus; qui

vero oritur ex multiplicatione trium numerorum in se, dicitur Solidus. Numeri autem multiplicantes, vocantur Latera, seu Lineae, aut Radices illius plani aut solidi quod producunt. Quod si latera fuerint aequalia, planus numerus productus appellatur Quadratum, solidus vero vocatur Cubus.

[note: Potestates in Algebra. ] Hos igitur numeros, qui ex multiplicatione duorum vel plurium numerorum, sive aequalium, sive inaequalium nascuntur, vocamus hîc (uri et supra) Potestates. Eadem est ratio de quibuscunque magnitudinibus ex lineis sive lateribus quibuscunque in se mutuo ductis; omnes enim vocamus similiter Potestates.

Potestates autem hae per certos gradus tanquam per scalam ascendunt quousque operanti lubet, aut necessarium utileve videtur, unde et Scalares a Vieta aliisque vocantur, ut capite 1. insinuavimus. Primus gradus appellatur Latus, seu Linea, aut Radix; secundus Quadratum, tertius Cubus, quartus Quadrato quadratus etc. utsupra par. 1. hujus Libri, et paulo ante cap. 1. diximus, et hîc iterum apparet.

§. II. Tabula Potestatum, eiusque constructio.

Loco primi gradus, hoc est, loco Lateris seu Radicis poni potest qui vis numerus, a quo caeteri procreantur. Ei vero solet alioquin praemitti unitas, ut nos supra pri. par. hujus Libri fecimus, ut habeatur Geometrica progressio ab ipsa unitate ducens originem. Quâ progressione constitutâ, tertius numerus ab unitate inclusive est Quadratum, et uno semper intermisso omnes reliqui, hoc est alterni; quartus vero est Cubus, et duobus intermissis omnes reliqui; septimus denique Cubus et quadratus, et quinque intermissis reliqui omnes, ut demonstrat Euclides lib. 9. Elem. Propos. 8. et nos lo. cit. notavimus. Reliquae vero Potestates, quae ab hoc ordine et numeratione excluduntur, tales sunt, quae neque Radicem quadratam, neque cubicam habent (nisi forte ipsa radix progressionis geometricae constitutae sit numerus quadratus, aut cubicus) sed ex sua propria radice nas cuntur, ut bene notat Guldinus loco cit. art. 3. Solent autem hi numeri ab Auctoribus appellari Sursolidi, vel, ut nos supra appella vimus, Surdesolidi, cum nec Quadratum, nec Cubum exaudiant. Vocantur etiam Supersolidi ab aliquibus, quasi solidum superent, cum alias nullum sit solidum quod ultra tres admittat dimerisiones, ut notar idem Guldinus. Dignoscuntur hi numeri ex Indice seu Exponente suo, hoc est, ex numero sui Gradus, qui index semper est numetus primus et incompositus, et in progressione paulo ante posita Potestas quinti, et septimi gradus.

[note: Potestatum creatio. ] Quemadmodum autem, ut acute advertit Guldinus, et ante ipsum alii Algebrae Scriptores, ex fluxu puncti nascitur seu nasci concipitur linea, et ex motu transverso lineae superficies, et ex superficiei elevatione aut depressione producitur corpus seu solidum; ita si ponatur Cubus loco puncti, ex ejus fluxu producetur, aut produci concipietur Quarta Potestas, et ex hujus motu transverso Quinta, et ex Quintae elevatione aut depressione Sexta. Quae sexta rursum vicem puncti subit, et sic in infinitum aliae atque aliae Potestates generabuntur.

§. III. Genesis, et Analysis Potestatum.

[note: Genesis et Analysis Potestatum ] GEne sis seu Compositio harum potestatum, ut supra quoque diximus, aliud nihil est, quam earum a prima ac propria Radice procreatio, quae ab Arithmeticis Vulgaribus dicitur multiplicatio in se; nam quando numerus pro radice assumptus ponitur bis, multiplicatur in se; producitur secundi gradus Potestas, hoc est, numerus Quadratus: quod si post hanc multiplicationem Radix adhuc semel ponitur, et in Quadratum jam factum ducitur; prodit tertii Gradus Potestas, Cubus appellata: qui Cubus si rursus in primam Radicem ducitur, quarti Gradus Potestatem, videlicet Quadrato quadratum generat: et sic deinceps, ut constat ex Tabella paulo ante, et supra etiam posita.

Analysis vero eatundem Potestatum. quam vulgo Extractionem Radicum vocant, aliud non est quam Resolutio illius quod Genesis componit. Illa enim, ut bene notat Guldinus, hijus premens vestigia, retrogrado quasi ordine, â Potestatibus, pre intermedios gradus ad primam, unde quaelibet orta est Potestes, reddit Radicem, eamque in numeris exhibet accuratam. Quod si oblatus numerus non est vera Potestas, eodem modo quo Potestas resolvitur, at tunc non vera, sed propinqua tantum, hoc est, Potestatis proxime minoris Radix reperitur. Licet enim ex quolibet numero instar Radicis accepto Potestas componi queat, non tamen ex quolibet numero instar Potestatis oblato licet quamvis Radicem elicere, cum saepissime talis numerus omni vetâ et rationali seu effabili Radice careat, ut in praecedentibus diximus.

Annotatio.

[note: ] QVia Genesi seu Compositioni potestatum hactinus explicatae, commoda non datur correspondens Analysis seu Resolutio, ideo aliam, eamque satis artificiosam Potestatum Compostionem tradit Guldinus lo. cit. Resolutioni proprie reciprocam: quae praeterquam quod concinnam et elegantem offerat methodum, hanc praeterea habet utilitatem, ut figurarum omnium datae Radices, a prima a sinistris incipiendo, gradatim sumptarum, singulares Potestates seorsim exhibeat. Quia gitur haec Potestatum Genesis et Analysis mutuo sese ac reciproco nexu complectuntur, utramgne simuliisdem praeceptis universalibus tradit Guldinus, eo quo sequitur modo.

§. IV. Pro Genesi atque Analysi Potestatum praecepta universalia.

Primum Praeceptum.

[note: Genesis atque Analysis Potestatum praecepta universalia. ] DAtam Radicem, aut Potestatem, divide in certa membra, sic I. Datâ Radice, pro Genesi potestatis expone in linea transversa tot cifras pro qualibet figura Radicis, quot numerus illius gradus, a quo Potestas denominatur, indicat: hoc enim facto, habebis tot cifras, quot figuras seu notas habere debet Potestas quae quaeritur. Datâ vero Potestate, pro Analysi illius expone ipsas ejus figuras seu notas in linea transversa. II. Hanc tam fictitiam pro Genesi, quam vere datam Potestatem pro Analysi, sic distingue, ut a dextris incipiendo primam cifram, figuramve, puncto subscripto notes, et sinistrorsum deinde pergendo tantas quasque, quantas idem, de quo dixi, denominationis gradus jubet; secundam scilicet quamque a primo puncto praecedente exclusive, si gradus sit secundus seu Quadratum; tertiam, si tertius seu Cubus; quartam, si quartus etc. Nam quot puncta notasti, tot habebit Radix per Analysim quaerenda figuras, sub ipsis punctis, vel loco punctorum ponendas: quae in Genesi quidem statim ab initio poni possunt, cum omnes dentur: Analysi vero non nisi successive in operis progressu eruantur. Potestas vero per Genesin procreanda tot figuris constabit, quot cifras exposuisti, illis tantum demptis, quibus prima singularis Potestas quandoque a numero gradus deficit.

Annotatio.

[note: ] FIgura Potestatis, quae subscriptis punctis carent, ad id per tinent punctum quod illi a dextris proximum est: ordo vero numer ationis punctorum, Potestatum, et Radicum singularium, a sinistris incipit.

Quae hoc praecepto praescribuntur, melius intelligentur ex dicendis capite sequenti, ubi praxin hanc exemplis illustrabimus. Patent quoque, quod ad Analysin spectat, ex iis, quae libro 2. et supra hoc ipso libro diximus de Extractione Radicum: ubi nos Potestatis datae membra non punctis subscriptis, sed commatis seu virgulis interpositis distingui jussimus. Sed res eodem recidit.

Secundum Praeceptum.

[note: ] PRimam singularem Potestatem, aut Radicem, inquire, sic I. Ad inveniendam primi ad sinistram membri Potestatem, aut Radicem, adi Tabulam supra par. 2. cap. 2. §. 2. propositam, in qua continentur Potestates ac Radices earum, quae ex digitis oriuntur. Sicut enim multiplicationi ac divmoni communi servit Tabula Pythagorica lib. 2. data, ita Genesi atque Analysi Potestatum famulatur Tabula praedicta. II. Pro Genesi igitur quaere in Tabula primam ad sinistram datae Radicis figuram in fronte; atque sub illa, in proprii gradus linea, Potestatem ejus accipe: pro Analysi vero in eadem gradus linea quaere Potestatem figuris primi puncti seu membri resolvendi aequalem vel proxime minorem (si aequalis non reperitur;) et tam illam, quam ejus Radicem suprascriptam excerpe. III. Potestatem excerptam sub primo puncto seu membro ita scribe, ut directe ac immediate sub ipso puncto incipias, et versus sinistram pergas, lineamque sub ducas; hac enim ratione secundo huic Praecepto pro Genesi satisfactum erit: pro Analysi vero Potestarem dicto modo subscriptam a sibi suprascripto numero subtrahe, et residuum infra ductam lineam scribe; hoc enim pertinet ad proxime sequens membrum sive Potestatem singularem resolvendam. IV. Radicem modo paulo ante dicto ex Tabula excerptam scribe vel loco primi puncti, vel immediate sub illo, vel certe seorsim, ut infra in exemplis apparebit.

Tertium Praeceptum.

[note: ] MUltiplices Radicis singularis jam expeditae, ejusque proxime sequentium graduum, usque ad Potestatem exclusive, crea, et sub sequenti Potestate singulari seu puncto colloca, sic. I. Ad cognoscendum quos multiplices Radicis jam inventae pro singulis gradibus create debeas, adi Tabulas infra positas. II. Creatorum in gradu minimum colloca infra proximum puncto notatum locum, et reliquos deinde in suo ordine sinistram versus in sequentibus locis: quo facto, duc lineam, et pro Genesi ex hoc praecepto satisfactum erit. Pro Analysi vero numeros sic positos; eo quo reperiuntur ordine in unam summam collige, et summam subducta linea scribe pro novo Divisore; atque per hunc divide secundum punctum seu membrum cui subscriptus est; Quotumque inventum pro

secunda singulari Radicepone suo loco, ut dictum praecepto I. et 2. Debet autem haec Divisio per novum Divisorem non esse accurata, sed minor potius Quotus accipiendus, propter pro. ductos ac Potestates per sequens praeceptum subtrahendas: per hoc enim praeceptum nulla adhuc fit subtractio. Denique sub novo Divisore praedicto duc aliam lineam. Rem melius intelliges capite sequenti.

QUARTUM PRAECEPTUM.

[note: ] Potestatem secundae singularis Radicis pone; ejusdem Radicis proxime subsequentium graduum Multiplices, in reciprocos gradus per praecedens praeceptum positos duc: factos homogeneos colloca, sic. I. Ipsiusmet secundae Radicis singularis Potestatem pone sub ipso secundo puncto seu membro. II. Proxime deinde sinistram versus colloca homogeneum id, quod fit ex ductu Mutiplicis gradus proxime minoris, in sibi suprascriptum reciprocum gradum: et sic deinceps. III. Numeros omnes, eo ordine, quointra binas proxime ductas lineas inveniuntur, inter se adde: et summam hanc in Genesi quidem, Potestati fingulari suprascriptae adjunge: in Analysi vero ex eadem subtrahe: ibi enim additio dat Potestatem singularem secundam: hic vero subtractio relinquit illius super fluum ad Potestatem sive punctum tertium proxime sequens spectans.

QUINTUM PRAECEPTUM.

[note: ] I. EVndem operandi modum praecepto tertio et quarto traditum repete toties, quot adhuc puncta seu membra supersunt sub ficta aut vera serie figurarum Radicis aut Potestatis datae. II. Ne Multiplices et Divisores novi additionem confundant, leviter ductis lineis dele aut decussa.

§. V. De Genesi et Analysi Potestatum in Fractionibus.

[note: Genesis et Analysis Potestatum in fractionibus ] Reduc fractionem propositam ad minimos terminos, et utriusque, tam Numeratoris videlicet, quam Denominatoris, Genesim atque Analysin institue juxta praecepta jam tradita. Potestares deinde vel radices inventas scribe per modum fractionis, alteram alteri subscribendo.

§. VI. Examen Genesis et Analysis Potestatum.

[note: Genesis et Analysis Potestatum examen. ] ANalysis examinatur per Genesin, et haec per illam, quemadmodum communis Multiplicatio examinatur per Divisionem, et haec per illam, modis lib. I. et supra hoc ipso libro traditis.

§. VII. Appropinquatio Radicis pro Analysi, quando numerus propositus non est potestas.

[note: Appropinquatio Radicis pro Analysi Potestatum. ] QVando peracta Analysi seu Extractione Radicis, remanet ultimo aliquid residui (quod signum est, numerum propositum non habere RAdicem, quae quaeritur, rationalem, nec esse Potestatem illam cujus Radix quaeritur) praefige illi residuo ad dexteram cifras prout gradus exigit, binas scil. in infinitum, vel quo usque lubet, Quadratis: ternas Cubis, quaternas Quadratoqua dratis, et sic deinceps: et operationem deinde Analysis, ut coeptum fuit, juxta data praecepta prosequere: figurae enim Radieis, quae hac ratione ex cifris inveniuntur, constituunt Numeratorem fractionis, cujus Denominator est unitas cum sibi praefixis tot cifris singulis. quot antea binas, ternas, quaternas, et c. praefixeras residuo Potestatis.

Siplacet sine hac appropin quatione mox fractionem ex residuo constituere, colloca ipsum Residuum supra lineam transversam pro Numeratore, infra vero pro Denominatore pone Divisores eosdem, qui essent, si aliud adhuc punctum superesser resolvendum, in una sumarum modo ordinario collecti. Ratio est, quia, ut notavit Vieta et Guldinus, in Divisoribus inest implicite latus seu Radix, quae alioquin proxime esser elicienda.

CAPUT V. De Potestatum Genesi et Analysi in specie, tam pro Algebra numerosa, quam speciosa.

[note: Potestatum Genesis et Analysis. ] UT praecepta universalia hactenus tradita, ad determinatorum Graduum Genesin atque Analysin facilius ac certius cum Guldino applicemus. praecepta praticularia pro non nullis Gradibus trademus, eaque unico tantum exemplo in secundo Potestatis Gradu, Quadratorum videlicet, explicabimus, maxime quod reliquorum altiorum Graduum rariot etiam in ipsa Algebra estusus: Sed ante praecepta particularia, praemittenda sunt particularia Theoremata; et ante haec construendae duae Tabulae, ex quibus fabricanda sunt et Theoremata et Praecepta.

§. I. Tabula I. Potestatum earum, quarum Radices sunt digiti, eiusdemque explicatio, et constructio.

[note: Tabula Potestatum pro extractione Radicum, eiusque constructio. ] TAbulam integram omnium Potestatum illatum, quarum RAdices sunt digiti, dedimus supra par. 2. cap. 5. §. 2. continentem characteres Potestatum usitatos in Algebra numerosa. Hic solam partem illius reponimus, continentem characteres Potestatum usitatos in speciosa Algebra.

Explicatio hujus Tabula. In prima et secunda serie perpendiculari sunt characteres Algebraici pro Algebra speciosa. Post hos, in prima serie transversali sunt Radices, in secunda et reliquis illae Potestates, quas characteres in duabus jamdictis perpendicularibus seriebus indicant.

Constructio ejusdem Tabula. In prima serie transversali positae sunt, ut diximus, pro Radicibus figurae illae, quas digitos appellant Arithmetici, excepta unitate. Et haec constituunt primum Gradum scalae Potestatum. Quaelibet deinde figura Radicum in seipsam est multiplicata, et productinumeri [note: Tabula Genesis et Analysis potestatum, eiusque explicatio, atque constructio. ] sunt ipsis in secunda serie transversali sub scripti immediate, constituuntque secondum Gradum scalae Potestatum, nempe Quadrata. Hujus secundae seriei numeri denuo sunt multiplicati in numeros primae seriei, videlicer in Radices, quilibet scilicer numerus in sibi suprascriptum: et producti numeri sunt ipsis immediate subscripti in tertia serie transversali, constituuntque Gradum Potestatum, nempe Cubos. Haec tertia series rursus est multiplicata in primam, et numeri producti subscripti in quarta serie, constituentes quartum Gradum Potestatum, videlicet Quadrato-quadrata. Simili modo procreatae sunt reliquae series transversales usque adseptimam inclusive, quod sufficit nostro intento.

§. II. Tabula II. Genesis et Analysis, seu Compositionis et Resolutionis Potestatum.

Explicatio Tabulae.

[note: ] IN prima serie perpendiculari sunt numeri ab unitate ordine naturali, possuntuqe extendi ulterius. In secunda serie perpendiculari sunt symbola seu characteres Potestatum nonnullarum, potestque extendi ulterius, et complecti plures Potestates. Litterae et signa serierum transversalium enuntiantur ut sequitur. Prima series sic. A plus B. Secunda series sic. A quadratum, plus A bis in B, plus B quadratum Tertia series sic. A cubus, plus A quadratum ter in B, plus A ter in B quadratum plus B cubus. Simili ratione leguntur ac enunciantur reliquae series.

Ut intelligatur mysterium hujus Tabulae, saltem ex parte (melius enim ex dicendis postea intelligetur) recolenda est Propositio 4. libri 2. Elementorum Euclidis, quae sic se habet. Sirecta linea sit uttunque: quadratum quod a tota describitur, aequale est et illis quae a segmentis describuntur quadratis, et ei, quod bis sub segmentis comprehenditur, rectangulis. Explicationem ac demonstrationem dedimus supra lib. 3. in Elemento secundo Euclidis. Eadem Propositio numeris applicari potest (utlo. cit. diximus) et formari in hunc modum. Sinumerus in duas partes utcunque dividatur: erunt partium quadrata, una cum duobus partium rectangulis, aequalia quadrato totius numeri. Vel in hunc alium modum. Sinumerus quivis secetur in duas quascunque partes, binarum partium quadrata, una cum duplo producto ex multiplicatione earundem partium in se invicem, simul aequalia sunt quadr ato totius numeri propositi.

Exemplum in numeris.

[note: ] SIt numerus 12, qui dividatur in 10 et 2. Quadratum ex 10, est 100: quadratum ex 2, est 4: rectangulum ex 10 in 2 bis sumptum, est 40. Sed 100, et 4, et 40 simul,

Exemplum in lineis.

[note: ] SIt iterum linea ab, divisa in c utcunque. Fiat. ex tota linea ab, quadratum abab. Ducantur deinde rectae cd, parallelae lateribus ab. Eris,

per ea quae demonstravimus lib. 3. lo cit. spatium A, quadratum partis ac: et spatium B quadratum partis cb; et spatia C ac D, rectangula partis ac ductae in cb. At his quatuor spatiis, A, B, C, D, aequale est quadratum totius lineae ab. Ergo, et c.

Vocetur jam pars ac, A, et pars cb, B, et tota linea a b vocetur A? B (hoc est, tota linea ab in seipsam) resultant Aq,? A 2 in B? Bq: hoc est resultar A quadratum, seu spatium A: et A bis in B, seu spatia C et D: et B quadratum seu spatium B: quoniam his quatuor spatiis aequale est quadratum totius lineae ab divisae in c, seu totius lineae A? B.

Constructio Tabulae.

[note: ] EX his intelligitur praecedens Tabula, cujus constructio ita fit. Exponitur Radix aliqua divisa in duas partes,

quartum prima vocetur A, altera B, quae simul sunt A? B. Haec Radix multiplicatur in se, et producitur secunda series praeced.

Tabulae. Nam A ductum in A facit Aq: rursus A in B facit A in B semel: rursus B in A, facit

A in B adhuc semel: denique B in B, facit Bq. Haec producta, si colligantur in unam summam, resultat praedicta secunda series Tabulae, ut pater ex hic posita I. Formula. Ideo autem, quando ducitur A in A, et B in B, producitur Aq et Bq, quia ut ex praecedentibus pater, quando ducitur Radix in Radicem, producitur Quadratum, et mutatur character Radicis in proxime majorem characterem Quadrati. Quando vero ducitur A in B, aut B in A hoc est, numerus simplex in simplicem, non producitur nisi numerus simplex, scilicet A? B, aut B? A, ideoque character non mutatur.

Simili ratione producitur tertia series praecedentis tabulae. Nimirum ducitur A? B in Aq?

A 2 in B? Bq, et producta colliguntur in unam summam, produciturque, tertia praedicta series, ut apparet in secunda formula hic posita. Nam ex A in Aq, fit Ac: ex A in A 2 in B, fit Aq 2 in B: ex A in Bq, fit A in Bq. Item ex B in Aq, fit Aq in B: ex B in A 2 in B, fit A 2 in Bq: ex B in Bq, fit Bc. Formulae hae duabus lineis inclusae collectae, faciunt formulam infra secundam lineam scriptam: quae est ipsa tertia series praecedentis Tabulae.

Eodem modo fit quarta, quinta, et sexta series praedictae Tabulae: potestque hac ratione Tabula continuari in infinitum pro quibuscunque potestatibus procreandis aut resol vendis.

§. III. Theoremato ex praecedentibus Tabulis desumpta, pro Genesi et Analysi particularium Graduum.

Theorema I. pro secundo Gradu Quadratorum. Si radix aliqua dividatur in duas partes, quarum altera sit A, altera B: erit Quadratum totius Radicis indivisae, aequale Quadrato ipsius A. plus A in B bis, plus B Quadrato.

[note: Theoremata pro Genesi et Analysi Potestatum. ] EXplicatum est §. 2. praecedenti. Et hoc est quod secunda series transversa Tabulae secundae, Quadratica nimirum, ut indicant character et numerus ad laevam positi, exhibet.

Theorema II. pro tertio Gradu Cuborum. Si Radix secetur in duas partes A et B: erit Cubus totius Radicis, aequalis Cubo ipsius A, plus A Quadrato ter in B, plus Ater in B Quadratum, plus B Cubo.

[note: ] Explicatur primo in numeris. Sit ut antea §. 2. numerus 12, divisus in 10. et 2. Cubus numeri integri est 1728. Cubus partis primae, est 1000: partis secundae, 8. Triplum partis primi in quadratum secundae, est 120. Triplum Quadrati partis primae in partem secundam, est 600. Haec omnia simul, 1000, 8, 120, 600,

Explicatur secundo in lineis. Sit ut antea § 2. linea ab, divisa in c. Quadratum totius lineae aequivalet duobus Quadratis A et B, et duobus rectangulis C et D, ut diximus citato §. 2. Cogita, super Quadratum abab, erigi Cubum. Erit ille compositus (seu aequivalebit) ex doubus cubis, quorum latera

sunt segmenta ac, et cb (nimitum ex cubis A et B) item ex sex prismatis, quorum tria pro basi habent quadratum segmenti ac, seu quadratum A, altitudinem vero segmenti ac, et cb (nimitum ex cubis A et B) item ex sex prismatis, quorum tria pro basi habent quadratum segmenti ac, seu quadratum A, altitudinem vero segmenti, bc seu quadrati B. Reliqua tria pro basi habent quadratum segmenti cb, seu quadratum B, altitudinem segmenti ac. Et hoc est quod asseritur in Theoremare hoc secundo, et exprimitur in tetria serie trasversa Tabulae secundae.

Theorema III. pro quarto Gradu, Quadrato-quadrato. Si Radix secetur in A et B; Quadrato quadratum totius Radicis, erit aequale Quadrato Quadrato ipsius A, plus A Cubo quater in B, plus A Quadrato sexies in B Quadratum, plus A quater in B Cubum, plus B Quadrato-quadrato.

[note: ] Explicari potest et in numeris, et in lineis, eodem modo quo praecedentia Theoremata explicavimus. Et hoc est quod significatur in serie quarta transversali Tabulae secundae.

ANNOTATIO.

[note: ] AD imitationem horum trium Theorematum condere licet plura alia, pro sequentibus in eadem Tabula Gradibus, et pro quibuslibet aliis.

§. IV. Exemplum Genesis et Analysis Potestatis secundi Gradus, qui est Quadratum.

[note: Genesis et Analysis secundi Gradus Potestatum. ] PRopono et examino exemplum Guldini. Ad imitationem ejus poterunt Tyrones alia sibi formare.

Esto pro Genesi Radix futuri Quadrati data 46291037: Potestas vero per Analysin resolvenda, nempe Quadratum, sit 2142860106535369.

Primo igitur quia Radix data estocto sigurarum, Potestas vero facienda est secundi Gradus: exponatur juxta I. Praeceptum universale capitis; praecedentis, sexdecim cifrae, pro qualibet scilicet figura Radicis binae, quia potestas futura est secundi Gradus: et tam cifrarum, quam Potestatis datae, series distinguantur in membra, notando scilicet alternas quasque figuras, a dextris incipiendo punctis: quibus in Potestate fictitia, quae scilicet ex cifris constat, subjice figuras Radicis datae, ut apparet in hac prima formula.

Formula prima.

[note: ] Secundo ex doctrina 2. Praecepti Generalis, pro Genesi, in praecedenti Tabula I. quaere in fronte primam ad sinistram Radicis figuram, quae est 4: et sub illa, in linea transversa Potestatis quadraticae ejusdem Tabulae, nempe in linea secunda, excetpe Potestatem ejus, quae est 16. Pro Analysi vero, cum primo membro ad sinestram, quod est 21, ingredere eandem secundam lineam transversam, ibique cum aequalem non invenias, accipeproxime minorem, nemper 16, et supra 16 quaere ejus Radicem, quae est 4. Potestatem hanc primam singularem 16, scribe sub primo membro Potestatis datae, nempesub 21, ut sequens secunda formula monstrat; eamque Radicem in Analysi subtrahe a sibi suprascripto membro quod est 21, et quinarium residuum scribe infra lineam, ut in eadem secunda Formula paret: Hae autem operatio denotatur in tabula II. in serie transversa Quadratica, per has litteras, Aq, hoc est, A Quadratum: quibus jubemur accipere quadratum primae partis Radicis divisae in duas partes.

Formula secunda.

[note: ] Tertio, ad sequens membrum progredere: et ut facilior ac minus confusa sit operatio, in Genesi Potestati jam factae, ac infra lineam scriptae, hoc est, ipsis 16: in Analysi vero residuo etjam infra lineam scripto, hoc est, ipsis 5, in eadem transversa linea versus dexteram scribe figuras hujus secundi membri, ut apparet in tertia formula. Quia tamen inter punctum et punctum unus tantum locus est vacuus, ex praescripto 3 Praecepti generalis unus tantum in eo scribendus est multiplex primae singularis Radicis jam antea inventae, quaternaru videlicet; qui multiplex debet esse per binarium, ut constat ex Theoremate secundo. Dices igitur: bis 4, sunt 8: quae 8 ut apparet in tertia formula, puncto debent esse sinistram versus proxima. et hoc est quod in dicto Theoremate primo, et in serie Quadratica Tabulae II. in dicatur per litteras A 2, hoc est, A bis. Atque hac ratione ex hoc tertio praecepto Genesis est expedita. In Analysi vero restat adhuc secundae Radicis singularis per divisionem in ventio, in qua Divisorem agit octonarius. Dic ergo: 8 in 54 continentur sexies, senatiumque tanquam Radicem secundam singularem, seu tanquam secundam figuram Radicis inveniendae, pone post lunulam ad dexteram primae Radicis singularis jam antea inventae, ut hic apparet.

Formula Tertia.

[note: ] Quarto, cum in secundo gradu unus tantum sit Multiplex, ut dictum est, nempe per binarium, ideo ex 4 Praecepto secundae Radicis singularis modo in ventae (senarii scilicet) Potestatem secundam, nempe Quadratum, quae sunt 36, pone sub ipso puncto ita, ut senarium scribas, ternarium mente retieas. Huic Potestati proximus Gradus est ipsamet Radix 6. Eam igitur in suprascriptum multiplica, et productis 48 ternarium mente retentum adjice: et collecta 51, subducta linea prope senarium jam scriptum adscribito, tam in Genesi, quam in Analysi, aliamque lineam subducito, ut habes in quadrata formula. Operationem hanc docet Tabula II. in linea transversa Qua dratica, et praedictum Theorema 2. per litteras, A2 in B,? Bq, Nam per A semper significatur prima singularis Radix, et per B secunda.

Formula quarta.

[note: ] Quinto, quia inter proximas ductas duas lineas unus tantum est numerus, videlicet 516: eum, ex 5. Praecepto Generali, in Genesi quidem Potestati super scriptae, quae est 1600, adde, ut facias 2116, Potestatem nimirum sive Quadratum numeri 46, qui ex duabus primis figuris datae Radicis constat. In Analysi vero eundam numerum 516 a suprascripto secundo membro, nempe a 542 subtrahe, et reliqua 26 subscribe, ut vides factum esse in hac quinta formula.

Formula quinta.

Formula sexta.

[note: ] Sexto, figurae Radicis expeditae, quae sunt 4 et 6, sint tibi 46, et instar unicae primae Radicis, quae, ut dixi, per A in Theoremate 1. ac Tabula II. designatur. Cum hac Radice, 49, ut antea, per 3. Praeceptum universale, quae aliam novam et Potestatem, et Radicem. Invenies in Genesi pro potestate numerum 213444, a Radice singulari 462 progenitum: in Analysi vero Radicem 842, ut videre licet in sexta formula.

Hac eadem rationeper 3. 4. et 5. Praeceptum, usque ad finem operationem prosequere, ut apparet in sequenti septima formula. Ut autem numerorum sibi invicem subscriptorum additio et subtractio sine errore et confusione fiat, poteris binas aut quaternas quasque figuras lineis perpendicularibus includere, quamvis hoc non sit necessarium.

FORMULA SEPTIMA.

Annotationes.

[note: ] I. EXhac Formula apparet singularis Comopsitionis ac resolutionis modo praedicto factae proprietas, quod nimirum initium Compositionis sit finis Resolutionis, et quod est ultimum in Compositione, sit primum in Resolutione.

II. Praxis supra par. 2 hujus libri, et lib. 2. tradita, quoad sub stantiam est eadem cum hac, tantumque differunt in modo procedendi. Nostra tamen quae solam Resolutionem docet, est longe facilior. Compositio autem non indiget hoc modo, sed facilius fit vulgari multiplicatione Radicis datae in seipsam.

III. Quando Radix singularis est cifra, in Genesi adjiciendae sunt Potestati praecedenti duaecifrae, in Analysi vero ipsamet cifra Radicibus jam inventis ordine suo est adnumeranda, et mox ad sequens membrum procedendum, ut in formula septima apparet ad literas GG.

IV. Si in Analysi remansit aliquod residuum, nec lubet uti Praxi traditac. praecedenti §. 7. fac ex residuo illo Numeratorem, et pro Denominatore subscribe duplum totius Radicis in ventae, et habebis fractionem verâ majorem, Radici inventae adjiciendam: si unitatem Numeratori subtraxeris, vel Denominatori addideris; fractio erit major quam vera, ut etiam diximus lib. 2. par. 1. cap. 3 art. 5. Not. 2.

V. Ratio operationis hactenus explicatae pendet ex Theoremate primo, quod est Proposit. 4 lib. 2. Elem. Euclidis. Nam in Genesi magnitudo sive Radix data secatur semper successive in duas partes, et harum partium quadrata, una cum duplici facto ex ipsis partib.

in se invicem ductis octo, unam in summam colliguntur, ideoque oritur quadratum totius Radicis. In Analysi vero e contrario Potestas proposita, sive Quadratum totius numeri, in duo illa quadrata partium, earundemque duplum productum resolvitur, et tandem partessive latera ipsa eruuntur.

§. V. Aliud Exemplum solius Analysis secundi gradus, sive Extractionis Radicis Quadratae.

[note: ] UT ex dictis §. patet, Genesis Graduum per praxin praedictam hoc et praecedenti capite, et valde operosa est, et minime necessaria, cum ea longe facilius fiat per multiplicationem Radicis quadratae in se, ut diximus Notab. 4. Analysis quoque operosissima est, et longe brevius ac facilius institui potest, ut eam instituunt P. Joannes Lanz, et P. Andreas Tacquet in suis Arithmeticis practicis. In gratiam Tyronum specimen afferre lubet ex Lanzio. Pro quo notandum prius est, in formulis secundae Tabulae supra positae, primum A cum suo charactere, tantum in primo Quoto usurpari; pro reliquis nullam amplius ejus rationem haberi. Notandum praeterea. Quotum inventum, sive unam, sive plures habeat figuras, vocari A, inveniendum vero vocari B. Notandum tertio, pro novi Divisorisinventione, inventum Quotum esse multiplicandum ut character et numerus post A positi indicant. His notatis.

Sit extrahenda Radix quadrata ex hoc numero: 4692798016, hac utendo formulâ: Aq? A 2 in B? Bq. Notatis punctis, et numero diviso in membra, modo dicto in praecedenti §. et ut in I. Operatione apparet.

Operatio I.

[note: ] Primo, video in columna quadratica Tabulae II. supra positae, quis numerus quadratus sit proxime minor numero primimembri ad sinistram, nimirum numero 46; invenioque 36. Hunc pono infra 46, et ejus Radicem 6 pono post lunulam, et 10, quae subtractis 36 ex 46 restant, scribo supra (aut infra) 46, ut in prima Operatione apparet; et deleo tam 46, quam 36.

Operatio II.

[note: ] Secundo, pro alio Divisore, cum in formula habeam,? A 2, duco quotum A in 2, et habeo novum Divisorem 12. Hujus priorem figuram, 2, pono immediate sub figura ante secundum a sinistra inchoando punctum, nempesubus, alteram vero pono deinceps sinistrosum. Video jam, quoties contineatur 1 in 10, aut 12 in 105. Et quoniam invenio contineri octies, scribo 8 post lunulam ad Radicem jam antea invencam. Et quia habeo in formula, A 2 in B, duco duplum Quoti 6 A, nempe 12 in 8 B Quotum jam inventum, et produco 96; quae subscribo ut in operatione 2. apparet. Rursus quia in formula habeo,? B que addo quadratum Quoti 8 B, nem pe 64, ad 96, ut in eadem 2. Operatione apparet, et conflo 1024. His ex 1092 subtractis, restant 68, ut in sequenti 3. Operatione pater.

Operatio III.

[note: ] Tertio, pro tertio Divisore novo, cum habeam in formula, A 2; duco totum quotum 68 A in 2, et produco 136 pro Divisore novo. Hujus figuram primam. 6, pono ante terrium punctum a sinistra inchoando, nempesub 7, et reliquas deinceps, ut in 4. Operatione apparet. Video jam; quoties 1 in 6 contineatur, nempe quinquies. Pono ergo 5 ad Quotum jam antea inventum post lunulam. Et quia habeo in formula, A 2 in B; duco 136 (scilicet duplum Quoti A) in 5 B (seu duco 5 B in 136 duplum Quoti A) et produco 680: quibus addo quadratum Quoti 5 b, quod habeat formula,? B q. Summam 6825 subtraho ex 6879, et restant 54, ut in 4. Operatione patet.

Operatio IV.

[note: ] Quarto, pro alio novo Divisore duplico torum Quorum hactenus inventum, nimirum 685, et invenio 1370; quae scribo ut in Operatione 5. apparet, videoque nihil accipi posse. Pono ergo o ad Quotum antea inventum, et deleo Divisorem, relictis omnibus aliis.

Operatio V.

[note: ] Quinto, paro novum Divisorem urprius, qui erit 13700. Hoc collocato ut in 6. Operat apparet, video quoties 1 in 5 contineatur, nempe quater. Positis ergo 4 ad Quotum antea inventum. duco

totum divisorem in 4 B, et produco 54800: quib. addo quadratum quoti 4 B, et summam 548016 subtraho ex suprascripto numero, et nihil remanet.

Operatio VI.

Annotatio

[note: ] SImili modo extrahitur Radix Cubica ex numero dato, usur pando formulam hanc: Ac? Aq 3 in B? A; in Bq? Bc. Sedne prolixior sim omitto operationem.

CAPUT VI. De inventione Potestatum quorum libet Binomiorum, ac Residuorum.

[note: Potestates Binomiorum ac residuorum invenire. ] PRaxis colligitur ex dictis: si enim data Binomia, aut Residua, multiplices quadratice, habebis Potestatem ejus quadraticam; si cubice cubicam: si biquadratice seu quadrato - quadratice, habebis biquadraticam Potestatem, et sic deinceps. Sic

Epilogus Algebrae.

[note: ] SIsto hic calamum, quoniam satis me praestitisse credo quod volui; quod fuit, Tyronem in Algebrae adyta introducere, ac ostendere non tot septam difficultatibus, quot prima fronte. apparet. Scio et plura et difficiliora, ingeniosioraquerestare; sed qui haec et nostra intelligit, clavem habet ad illa quoquam penetranda. Quae qui voet, in vemet apud doctissimum Vietam, Herigonum, Stivelium, aliosque recentiores, ac semiantiquos Italos, et Germanos:

LIBER XXVII. DE LOGARITHMIS.

Prooemium.

[note: EX dictis toto hoc Opere patet, frequentissimum esse apud Mathematicos omnes usum Regulae aureae Trium, sive proportionum, explicatae lib. 2. par. 1. cap. 3. art. 1. cuius ope datis quibuscumque tribus numeris proportionalibus, invenitur quartus, ducendo scilicet secundum in tertium, summamque productam dividendo per primum: Quotus enim ex divisione resultans, est quartus proportionalis quaesitus. At quoniam multiplicationes ac divisiones in magnis numeris (quales sunt Sinus, Tangentes, ac Secantes, quorum frequens est usus in Trigonometria, Geometria Practica, Architectura militari, aliisque his similibus scientiis) taediosae [note: Logarithmorum inventio, et usus. ] sunt, et errori obnoxiae, Ioannes Neperus Scotus, Baro Merchistonii, circa initium huius saeculi a Christo Salvatore nato decimi sexti, excogitavit ingeniosissime, et anno 1614 evulgavit numeros quosdam artificiales, quos Logarithmos postea appellavit, et in Tabulas redactos apposuit numeris Sinuum in Canone Mathematico, quorum subsidio per solam additionem ac subtractionem invenitur quartus proportionalis, datis tribus quibuscumque in dicto Canone Mathematico repertis. Nam si trium datorum numerorum Logarithmi exscribantur, et secundus addatur tertio, primus vero subtrahatur a summa producta: residuus Logarithmus indicat in eodem Canone quartum numerum proportionalem qui quaeritur. Quod sine dubio ingens est operandi compendium, cum longe facilius fiat additio ac subtractio, quam multiplicatio ac divisia. ]

[note: [note: Logarithmicarum tabularum Auctores] Praedictas numerorum Tabulas appellavit Auctor Mirificum Logarithmorum Canonem: cuius construendi modum ab ipso iam antea scriptum, at nondum pentus elaboratum, evulgavit filius Robertus Neperus anno 1619, patre iam vita functo. Eundem Canonem postea excoluerunt, et partim auxerunt, partim aliter disposuerunt, eximii Mathematici Beniamin Ursinus, Henricus Briggius, Adrianus Ulaccus, Bonaventura Cavalerius, Ioannes Keplerus, et alii, additis non solum Logarithmis pro Sinibus, sed etiam Mesologarithmis pro Tangentibus, et Tomologarithmis pro Secantibus, imo et pro numeris absolutis ab unitate usque ad mille alii, alii usque ad viginti milla, alii ulterius, non sine ingenti labore, nec minori Mathematicorum commodo, adeo ut si datis quibuscumque

CAPUT I. De natura et Genesi Logarithmorum.

[note: Logarithmorum natura, et genesis ] Qvae hoc capite dicemus, naturam et genefim seu onginem Logarithmorum non exacte, sed ruditer tantum explicant, eo fine ut Tyrones utriusque cognitionem aliqualem nanciscantur, et quae alii fusius quidem, at ut plurimum obscurissime tradunt, intelligant. Melius autem paucis explicari res adeo intricata, vix, aut ne vix quidem potest. Igitur

[note: Logarithmorum definitio- ] Logarithmi sunt numeri secundum proportionem arithmeticam quamcunque continue crescentes, aut decrescentes, adjuncti numeris ab unitate inchoatis, et secundum proportionem geometricam continue crescenubus.

Pro explicatione et intelligentia sint in apposito laterculo numeri columnae A, inchoati ab unitate et continuo proportionales proportione geometrica in infinitum, aut quo usque lubet, continuata. Apponantur, illis e regione numeri columnae B, vel C, vel D, vel E, vel alii quicunque, undecunque. inchoati, et proportione arithmetica quacunque continue crescentes, aut decescentes, atque in infinitum similiter extensi. Hoc facto, omnes numeri columnarum B, C, D, et E sunt Logarithmi illorum numerorum columnae A. quibus e regione respondent nimirum numeri F columnae A Logarithmi sunt numerus K, et L, et M, et N, reliquarum columnarum. Eadem ratione logarithmi numeri G, sunt numerus 5 columnae B, et numerus 4 Columnae C, et numerus 20 columnae D, et numerus 23 columnae E

Quamvis autem perinde est, undenam progressio arithmetica numerorum pro logarithmis assumptorum inchoetur, utrum nimirum ab 1, aut a o, aut a 5, aut a 38, aut a quovis alio numero; commodissimum tamen est inchoetur a ciphra, ut in columna C: et ita passim nunc fit apud varios Scriptores Logarithmorum: quamvis Auctor Neperus aliter initio statuerit, ut postea dicemus.

Ex his paret, quomodo intelligenda sir definitio seu descriptio Logarithmorum tradita, quae tamen mox melius explicabitur

CAPUT II. Explicatur melius natura et genesis Logarithmorum.

[note: Logarithmorum natura, et genesis melius explicatur. ] QVae diximuscapite praecedenti, umbra quaedam sunt naturae et genesis logarithmorum Ad utramque intelligendam ut propius accedat Tyro cogitet aliam quandam seriem numerorum ab unirate continuo geometrice proportionalium, similem seriei A praecedentis laterculi, sed per adeo parvas proportiones, omnes tamen aequales, incedentem, ut ab 1 usque ad 10, earum proportionum interjiciantur 10000000, ex integris et fractionibus unitatis constantes; et continuatis iisdem minimis proportionibus, a 10 usque 10000000 a 100 usque ad 1000 et totidem aliae a 1000 usque ad 10000 et sic deinceps ia infinitum, aut quo usque

lubet: adeo ut istiusmodi minimarum proportiuncularum sint 20000000 ab 1 usque ad 100, et 30000000 ab 1 usque ad 1000, et 40000000 ab 1 usque ad 10000, et sic ulterius quo usque lubet progrediendo.

Facta aut concepta hac quodam modo infinita serie geometrice proportionalium, quae similis sit seriei columnae A: si ejusdem columnae numeris dicta ratione dispositis, atque in adeo minutas proportiones distributis, intelligantur apponi in alia serie, simili seriei C, indices dictarum proportiuncularum, nempe unitati o, numero primae proportiunculae 1, secundae 2, tertiae 3, quartae 4, etc. erunt hi numeri in serie C dispositi, Logarithmi numerorum illius infinitae seriei, similis seriei columnae A, indicantes suis unitatibus quota sit quaelibet proportio ab unitate in serie A; et hi Logarithmi seriei similis serici C, erunt inter se omnesarithmetice proportionales, cum perincrementum unitatis continue procedant. Sic ergo cum Logarithmus v. g. numeri 7 seriei illius infinitae, similis seriei columnae A sit 8450980, indicat hic, inter unitatem et numerum 7 in dicta serie infinita columnae A interjici 8450980 proportiunculas. Similiter cum Logarithmus numeri 128 sit 21072100; ostenditis, in eadem serie simili seriei A, inter 1, et 128 interponi 21072100 dictarum minimarum proportionum. Idem intelligendum est de reliquis numeris absolutis, ac etiam de numeris Sinuum, Tangentium, et Secantium, dispositis secundum proportionem geometricam in serie simili seriei A, et de Logarithmis in serie C ipsi e regione respondentibus.

[note: Logarithmorum alia definitio. ] Hic patet, cur aliqui Logarithmos definiant esse Exponentes numerorum continue proportionalium proportione geometrica; quoniam videlicet sunt numeri, qui unitatibus suis indicant, quota sit unaquaeque proportiuncula numerorum continue proportionalium a prima proportuncula; vel potius sunt numeri, qui ostendunt, quoties ratio primae proportionalis ad secundam contineatur in rationibus ejusdem primae proportionalium ad singulas continue proportionalium.

Annotatio I.

[note: Logarithmica tabulae quanam sint commodissima. ] IN hac Logarithmorum genesi logarithmus unitatis est ciphra, et denarii logarithmus est 10000000. Neperus in suis Logarithmorum Tabulis ponit pro Logarithmo radii, seu Sinus totius, ciphram. At praecedens forma est longe melior, et commodior; quod ipsemet Neperus tandem agnovit, ut constat ex Appendice a filio evulgata in fine Constructionis Mirifici Logarithmorum Canonis. Et hanc formam servat Briggius, et caeteri omnes quos supra citavi, excepto Vrsino, qui primam Neperi dispositionem retinuit. Alii tamen majorem, alii minorem ponunt radium, seu sinum totum.

Annotatio II.

[note: Logarithmi accuratissimi quinam sint. ] LOgarithmi eo sunt accuratiores, quo minores sunt differentiae continue proportionalium numerorum in serie simili seriei columnae A dispositorum. Itaque cum Logarithmi Briggii, Vlacci, Cavalerii, Herigoni, et quos nos alibi dabimus, sint tales (nam inter unitatem et denarium interjiciuntur vel 100000, vel 10000000, vel 10000000000 minimarum proportiuncularum, et inter 1 ac 100 aliae totidem, totidemque aliae inter 1 et 1000, etc. Consequens est esse accuratissimos.

Annotatio III.

[note: ] IN tabulis logarithmorum Neperi, et Vrsini, logarithmus numeri 10000000 est o, ut diximus: unde fit, ut logarithmi numerorum minorum 10000000 sint rationis inaequalitatis majoris, notati signo?: at logarithmum numerorum majorum 10000000. sint rationis inaequalitatis minoris, notati signo-. At in tabulis Briggii, et aliorum, in quibus logarithmus unitatis est o, omnes logarithmi sunt ejusdem naturae, nimtrum rationis inaequalitatis minoris: ac proinde hae tabulae sunt commodiores illis, ut diximus. Ex quo etiam sequitur, harum tabularum logaerithmos majorum numerorum, esse majores logarithmis minorum numerorum: in tabulis vero Neperi, usque ad numerum 10000000 logarithmi minorum numerorum sunt majores logarithmis majorum numerorum: in numeris autem qui excedunt 10000000, logarithmi majorum numerorum sunt majores logarithmis minorum numerorum.

Annotatio IV.

[note: ] MOdus, et compendia inveniendi logarithmos tam numerorum absolutorum, quam Sinum, Tangentinm, ac Secantium, non descriptaintegra infinita serie, simili seriei A (hoc enim neque necessarium est, neque possibile) sed tantum aliquibus ejusdem numeris inventis, eorumque logarithmis, tanquam reliquorum radicibus seu certis limitibus, intra quos cadentium numerorum logarithmi facie postea per partis proportionalis inventionem habeantur: apud alios Auctores, ac praesertim apud Briggium in Arithmetica Logarithmica, et apud Vlaccum initio Trigonometriae Artificialis, videri possunt: paucis enim his explicari non possunt.

CAPUT III. De nonnullis Logarithmorum affectionibus, seu proprietatibus.

[note: Logarithmorum proprietates. ] LOgarithmos hactenus ruditer explicatos comitantur multa symptomata, seu affe ctiones, ac veluti proprietates. Nos paucas indicabimus. Utemur autem, facilitatis gratia, numeris columnarum A et C laterculi supra cap. 1. dati, ac si minimas proportiunculas cum suis Exponentibus seu Logarithmis continerent.

Proprietas I. Omnes Logarithmi sunt aequidifferentes, si ordine sumantur.

[note: Logarithmi sunt aequidifferentes. ] CUm enim servent inter se proportionem arithmeticam (qualiscunque ea sit, et undecunque inchoctur) necesse est primum superari tantum a fecundo, quantum secundus a tertio: et hunc tantum a quarto, quantum hic a quinto, etc. Sic si proportio incipit a ciphra, et per unitatem progreditur ad binarium ternarium, etc. omnes superant se mutuo ac superantur unitate.

Proprietas II. Quatuor quorumlibet proportionalium numerorum logarithmi, sunt aequidifferentes.

[note: Logarithmi quatuor numerorum proportionalium sunt aequidifferentes. ] Sint in columna A laterculi capitis primi, quatuor numeri, F, G, H, I, sive 4, 16, 64, 256, proportionales, sitque ut primus ad secundum, ita terrius ad quartum: dico, logarithmos in columna C ipsis e regione respondentes, nempe L, O, P, Q, sive 2, 4, 6, 8 (et eadem est ratio logarithmorum in aliis columnis e regione dictis proportionalibus respondentium) esse aequidifferentes, hoc est, tantum superari primum a secundo, quantum tertius a quarto. Cum enim proportio F ad G ponatur aequalis proportioni H ad I: ex tot proportiunculis componetur proportio Fad G, ex quot componitur proportio H ad I: dictae vero proportiunculae indicantur ac numerantur per unitates, quae sunt in eorum logarithmis, per dicta cap. 2. cum quaelibet unitas logarithmi indicet unam proportiunculam: Ergo tot unitatibus logarithmus L numeri F, differt a logarithmo O numeri G, quot unitatibus logarithmus P numeri H differt a logarithmo I numeri Que ac proinde dicti logarithmi sunt aequidifferentes.

Proprietas III. Etiam trium quorumlibet proportionalium numerorum logarithmi sunt aequidifferentes.

[note: Logarithmi trium numerorum proportionalium sunt aequidifferentes. ] SInt enim ex columna A praedicti laterculi, tres numeri, 8, 64, 512, proportionales: sitque primus ad secundum, ut idem secundus ad tertium: dico, logarithmos e columna C ipsis respondentes (idem intellige de logarithmis aliarum columnatum) nempe 3, 6, 9, esso aequidifferentes, hoc est, primum tantum distare a secundo, quantum hic a tertio. Ratio est eadem, quia inter primum et secundum tot proportiunculae intercedunt, quot inter eundem secundum et tertium: etgo inter primum et secundum logarithmum tot intercedunt unicates, quot inter eundem secundum et tertium logarithmum: quod est esse aequidifferentes.

Lemma. Si e quatuor numeris, quantum primus superat secundum, tantum tertius superat quartum, aut e contrario erit summa primi et quarti aequalis summae secundi et tertii.

[note: Lemma arithmeticum. ] SInt quatuor numeri quicunque habentes dictam conditionem, nimirum 3, 6, 8, 11, item 10, 5. 20. 15: item 4, 9, 7, 12, etc. dico summam, seu aggregatum extremorum aequati summae seu aggregato mediorum. Demonstrationem vide apud alios. Itaque tam 3 et 11, quam 6 et 8, faciunt 14. Item tam 10 et 15, quam 5 et 20, faciunt 25, Item tam 4 et 12, quam 9 et 7, faciunt 16.

Proprietas IV. Quatuor quorumlibet proportionalium numerorum logarithmi ita se habent, ut summa extremorum sit aequalis summae mediorum.

[note: Logarithmi quatuor proportionalium ut se habeant. ] QVatuor numeri proportionales e columna A desumpti, sint 2, 8, 32, 128; eorumque logarithmi e columna C desumpti, sint 1, 3, 5, 7: dico summam extremorum, nempe 1 et 7, et summam mediorum, nempe 3 et 5, esse aequales, nempe 8 utrobique. Ratio est, quia cum per propriet. 2. sint aequidifferentes, habent conditionem in Lemmate praecedenti expressam: ergo, etc.

Proprietas V. Etiam trium quorumlibet proportionalium numerorum logarithmi ita se habent, ut summa extremorum sit aequalis duplo medii.

[note: Logarithmi trium proportionalium ut se habeant. ] TRes proportionales numeri e Columna A desumpti sint 8, 16, 32, eorumque logarithmi e columna B desumpti, sint 3, 4, 5: dico summam extremorum 3 et 5, quae est 8, esse aequalem duplo medii 4, quod est similiter 8. Sequitur ex praecedenti, si medius proportionalis numerus ponatur bis, ut sint quatuor proportionales, sic, 8, 16, 16, 32: tunc enim quatuor logarithmi his numeris respondentes, habent conditionem Lemmatis.

Proprietas VI. E quatuor proportionalium logarithmis logarithmus primi ablatus e summa logarithmorum secundi et tertii, relinquit logarithmum quadrati.

[note: Logarithmorum quatuor proportionalium alia proprietas. ] SInt quatuor proportionalium, 1, 4, 2, 8, logarithmi 0, 2, 1, 3, columnae C. dico, si e summa mediorum 2 et 1, tollatur primus, qui est o: relinqui quartum, qui est 3. Idem contingit, si quatuor proportionalium 256, 64, 16, 4, sumantur e columna B quatuor logarithmi, 9, 7, 5, 3, si enim a summa mediorum 7 et 5, quae est 12, auferatur primus 9, relinquitur quartus 3. Sequitur expropriet. 4. Cum enim summa extremorum sit aequalis summae mediorum: si primum auferas a summae mediorum, tantum remanet, quantum si auferatur a summa extremorum: at in hoc casu remanet quartus: ergo et in illo.

Corollarium.

[note: ] DAtis ergo quatuor proportionalium tribus logarithmis, dabitur et quartus, si primus auferatur a summa secundi ac tertii: residuum enim erit logarithmus quarti.

Proprietas VII. E trium proportionalium logarithmis, logarithmus primi ablatus a duplo logarithmi secundi relinquit logarithmum tertii.

[note: Logarithmorum trium proportionalium alia proprietas. ] SInt tres numeri proportionales, 8. 16. 32: eorumque logarithmi e colum na C sint 3, 4, 5, dico, logarithmum primi ablatum a duplo logarithmi secundi relinquere logarithmum rerrii. Sequitur ex proprietate praecedenti: tantundem enim est, si primus auferatur a duplo secundi, quantum si auferatur ab aggregaro secundi et tertii.

Corollarium.

[note: ] DAtis ergo trium proportionalium duobus logarithmis, dabitur et tertius, si primus auferatur e duplo secundi: residuum enim erit logarithmus tertii.

Proprietas VIII. Summa logarithmorum quorumque numerorum se mutuo multiplicantium, est logarithmus numeri ex multiplicatione producti.

[note: Logarithmorum alia proprietas. ] MUltiplicent se mutuo 4 et 8, et producantur 32; sint autem logarithmi se multiplicantium 2 et 3: dico horum summam, nempe 5, esse logarithmum numeri 32, ex multiplicatione producti. Ratio est, quia cum eadem sit ratio unitaris ad multiplicantem, quae est multiplicati ad productum ex multiplicatione; unitatis autem logarithmus sit in casu nostro o; necessarium est ex praecedentibus, producti solius logarithmum aequari logarithmis se multiplicantium: nam in exemplo posito, ut 1 ad 4, ita 8 ad 32: ergo per propriet. 6. logarithmus primi, qui est o ablatus a summa logarithmorum secundi et tertii, relinquit logarithmum quarti.

Quod si plures sint numeri se mutuo multiplicantes, summa logarithmorum omnium est logarithmus producti ex multiplicatione. Ut si multiplicentse mutuo 2, 4, 8, hoc est, si 2 ducantur in 4, ut fiant 8, et haec ducantur in 8, ut fiant 64: sint autem tres logarithmi trium multiplicantium 1, 2, 3: dico horum summam, quae est 6. esse logarithmum numeri 64 ex multiplicatione continua producti. Ratio non est absimilis priori.

Corollarium I.

[note: ] DAtis ergo logarithmis quotcunque numerorum, datur quoque logarithmus numeri ex continua ipsorum multiplicatione producti, si summa logarithmorum omnium se mutuo multiplicantium colligatur in unam.

Corollarium II.

[note: Logarithmus numeri duplicatus, est logarithmus quadrati. ] MAnifestum quoque hinc est, logarithmum alicujus numeri duplicatum, esse logarithmum quadrati ejusdem: et logarithmum numeri alicujus triplicatum, esse logarithmum cubi ejusdem numeri, etc. hoc est enim quod asserimus in propriet. 8.

Proprietas IX. Dato logarithmo alicuius numeri, datur quoque logarithmus cuiuslibet lateris seu radicis ipsius.

[note: Logarithmo numeri dato, datur logarithmus radicis. ] SEquitur ex Corollario praecedenti: sit enim logarithmus alicujus numeri duplicatus, est logarithmus quadrati illius numeri; triplicatus autem, est logarithmus cubi illius numeri, etc. ergo e contrario, si dati numeri quadrati logarithmus bisecetur, et numeri cubici logarithmus trisecetur, etc. habebitur logarithmus lateris sive radicis numeri dati.

Proprietas X. Logarithmus Divisoris albatus e logarithmo Dividendi, relinquit logarithmum Quoti.

[note: Logarithmus divisoris ablatus e logarithmo dividendi, relinquit logarithmum quoti. ] SEquitur ex propriet. 8 quia productus a Divisore in Quotum, est ipse dividendus seu divisus: et ideo ut unitas ad Divisorem, sic Quotus ad dividendum seu divisum. Ut si dividendus sit 128, Divisor 4, Quotus 32: logarithmus autem Dividendi sit 7, divisoris 2, ablatus a logarithmo Dividendi 7, relinquit logarithmum Quoti 5.

Monitio.

[note: ] HAE sunt praecipuae proprietates Logarithmorum. Agendumn nuc foret de constructione Tabularum logarithmicarum, tam numerorum absolutorum, quam eorum qui exprimunt Sinus, Tagentes, et Secantes. At quoniam paucis haec res expediri nequit; et accurate praestitum id fuit ab aliis, praesertim a Briggio; labore hoc supersedeo. Hoc solum (quod supra etiam capit. 2. insinuavi) moneo, si ab unitate in ratione A ad B, vel D ad E continuetur series continue proportionalium, donec maximus pervenerit ad magnitudinem numeri B, singulisqne proportionalibus subjiciantur Exponentes, qui ostendunt quoti sint ab unitate; nullam fore difficultatem inveniendi logarithmos, citra errorem unitatis, omnium numerorum non excedentium maximum proportionalem, aequalem velminorem numero B: exponens enim proportionalis aequalis, vel proximi dato numero, erit logarithmus quaesitus. Simili labore si procedatur ab unitate ad 100, ad 1000, et ulterius: babebuntur accurattissime Tabulae logarithmicae, tam pro absolutis numeris, quam pro Sinibus, Tangentibus, et Secantibus.

SEQUITUR Chilias numerorum absolutorum ab unitate usque ad 1000. cum eorum Logarithmis ac Differentiis.

Monitio ad Lectorem.

[note: ] LECTOR Benevole: quae sequuntur, prius praelum typographicum subierunt, quam praecedens Chilias. Quoniam autem in sequens caput VIII. insignis lacuna irrepsit, amanuensis errores, et illius cui corrigendi munus commissum fuerat, inadvertentia; eam hoc loco supplere potius, quam in fine Operis volui. In dicto igitur Capite VIII. post II. Regulam, et ante Exemplum I. dicta Regulae subjectum, omissa sunt sequentia duo Exempla, et III. Regulacum suo Exemplo, et Regula IV. ad quam spectant duo illa Exempla, quae in dicto VIII. Capite sequuntur post II. Regulam. Haec te volui monere, Lector. Vale

Exemplum I.

Exemplum II.

III. Regula.

[note: ] SI praedicta summa post Additionem vocetur duplum Logarithmi, seu duplicatus Logarithmus: tunc in prima summae dae ad finistram retinenda est unica unitas. Ut si in primo prae cedenti exemplo summa 280594358, vocaretur in operatione aliqua Trigonometrica, non Logarithmus alicujus arcus, aut anguli, sed duplum

Exemplum.

Appellatur hoc loco Duplum Logarithmi non quod sit duplum summae illius, quae remaneret abjectâ a prima sede unitate, vel binatio; sed quia est duplum Logarithmi illius, quo utendum est ad inveniendum arcum vel angulum quempiam, duplicandum ut habeatur arcus vel angulus quaesitus, ut patet ex adductis operationibus Trigonometricis supra lib. 5.

IV. Regula.

[note: ] SI praedicta summa post Additionem vocetur Mesologarithmus, aut Mesologarithmus se. cundus, et contineat plures notas quam sunt ciphrae in Logarithmo Radii; tunc aut secunda a sinistris nota excedit 3, aut non: si excedit 3, abjicienda est a prima sede a sinistris quaevis nota, redundans supra praedictarum ciphratum numerum; si non excedit 3, retinenda est in prima sede, redundantem notam habente, unica unitas, ut in sequentibus exemplis patebit.

Exemplum I. Vide Caput VIII. post Regulam II.

CAPUT IV. Explicantur duae Tabulae Logarithmicae, una pro numeris absolutis, altera pro Sinibus, Tangentibus, et Secantibus.

[note: Tabulae Logarithmicae explicantur. ] IN fine hujus Libri, praeter Tabulam praecedentem, continentem Logarithmos numerorum absolutorum ab unitate usque ad 1000, dare volebamus alteram continentem Logarithmos Sinuum, Tangentium, et Secantium. At quoniam id praefixa Operis brevitas vix ducentarum philitarum non permittit, omittere cogimur secundam, et ablegare Lectorem Mathematicae Studiosum ad alios Auctiores, praesertim Bonaventuram Cavalerium, Petrum Herigonum, et alios supra citatos; apud quos Tabulae Logarithmicae Sinuum, Tangentium, ac Secantium ita disponuntur, ut singulis Sinibus respondeant in eadem serie transversa e regione Tangentes et Secantes, cum eorum Logarithmis. Herigonus tamen solos Logarithmos Sinuum et Tangentium exhibet. Omnium optimae sunt Tabulae Cavalerij, quas et hic explicabimus, et alibi dabimus.

§. I. Explicatio Tabulae I continentis Chiliadem numerorum absolutorum ab unitate usque ad 1000, cum eorum Logarithmis, ac Differentiis.

[note: ] PRima Tabula Cavalerij quam jam dedimus, divisa est in duas columnas. In prima columna, cui titulus Nu id est, Numeri, sunt numeri rotundi seu absoluti, ad 1 usque ad 1000. In secunda columna, cui titulus Logarith cum Differ. id est, Logarithmi cum differentijs, sunt cujuslibet illorum numerorum logarithmi e regione respondentes: et inter duos quoslibet interposita est differentia inter illos. Quae quidem differentiae in gratiam praecipue Trigonometriae planae logarithmicae sunt appositae; usum enim habet dicta Tabula etiam in Trigonometria.

A numeris columnae secundae, hoc est, a logarithmis et differentijs, duae primae ad dexteram notae puncto separatae sunt a reliquis, non quidem ut fractiones centesimae, (quod subinde fieri assolet) sed ut modo longioribus, modo brevioribus numeris pro libito calculator uti possi. Itaque si praedicti numeri in calculo accipiuntur completi cum duabus etiam notis puncto separatis; expedit eosdem describere sine puncto, ne id faciat confusionem, dum in calculis occurrent fractiones decimae aut centesimae adhibendae, quae et ipsae punctis separati solent. Logarithmorum numeri secundae Columnae nec ita longi sunt, ut apud Briggium et Vlaccum, qui constant undecim notis; nec ita breves, ut apud Herigonum, qui constant sex tantum notis: sed sunt mediocres, constantes octo notis. Si duae post punctum notae omittuntur, adjicienda est reliquis vel pars proportionalis, vel si superant 50. proxime sequens post punctum figura augenda est unitate.

§. II. Explicatio Tabulae II. continentis Logarithmos Sinuum, Tangentium, et Secantium singulorum graduum ac minutorum quadrantis circuli.

[note: ] SEcunda Tabula, quam alibi ex Cavalerio dabimus, ita divisa est, ut singulae ejus paginae sinistrae et dexterae septem contineant columnas, adeoque utraque simul pagina columnas quatuordecim. Harum prima et octova complectuntur gradus et minuta quadrantis circuli; gradus quidem in capite aut calce, minuta vero in descensu aut ascensu columnarum. Gradus a o usque ad 45 exclusive, sunt in capite primae columnae: a gradu vero 45 usque ad 90 exclusive, sunt in calce octavae columnae. Minuta priorum graduum descendunt deorsum in prima columna, posteriorum vero graduum ascendunt sursum in octava columna.

In secunda, tertia, et quarta columna sunt Sinus, Tangentes, et Secantes; in quinta vero, sexta, et septima sunt Logarithmi Sinuum, Tangentium, et Secantium, graduum ac minutorum primae columnae. Item in nona, decima, et undecima columna sunt Sinus, Tangentes, et Secantes graduum octavae columnae; at in duo decima, decima tertia, et decima quarta sunt Logarithmi Sinuum, Tangentium, et Secantium, graduum octavae columnae.

Itaque singulae paginae ita dispositae sunt, ut octo priores columnae ad dexteram, contineant complementa octo posteriorum columnarum ad sinistram, quam quo ad gradus et minuta quadrantis circuli, quam quoad Sinus etc. et logarithmos dictis gradibus ac minutis debitos.

In hac Tabula Logarithmos Sinuum vocamus simpliciter Logarithmso; Logarithmos vero Tangentium, vocamus Mesologarithmos; et Logarithmos Secantium, Tomologarithmos. Logarithmi omnes hujus Tabulae respiciunt Radium seu Sinum totum particularum 10000000000. Sunt itaque accuratissimi.

CAPUT V. De usu primae Tabulae Logarithmicae.

[note: ] PRo usu Tabulae primae habende sunt prae oculis quae diximus supra cap 3. de Proprietatibus Logarithmorum. Deinde servanda sunt sequentia.

Propositio I. Dati numeri absoluti logarithmum invenire in prima Tabula Logarithmica.

[note: Logarithmum numeri absoluti invenire in Tabula. ] I. SI datus numerus est integer sine fractione, et non excedit 1000; quaeratur in columna prima Tabulae, et e regione invenietur logarith mus ipsius in columna secunda. Sic numeri 427 logarithmus erit 26304279; vel si vis, pauciorum notarum 263043.

II. Si datus numerus est integer quidem, sed excedit 1000; abscindantur tot notae ad dexteram,

ut reliquus ad sinistram numerus non excedat 1000, et logarithmum ejus quaere in Tabula modo dicto. Deinde ex notis abscissis fac fractionem, cujus Denominator sit unitas cum tot ciphris, quot sunt notae abscissae, et ope Differentiae logarithmicae relicto numero adscriptae, operque Regulae Trium, inquire partem proportionalem Numeratori fractionis competentem, eamque logarithmo prius invento adde; et habebis totius numeri logarithmum. EXEMPLUM. Sit datus numerus 254782, cujus logarithmus fit quaerendum. Abscinde tres notas 782 ad dexteram, ut relinquatur numerus 254. Hujus quaere logarithmum in Tabula, qui (relictis duabus ad dexteram notis, facilitatis gratiâ) est 240483. Accipe quoque differentiam 171 (unitate in hoc casu auctam, propter duas notas, 65, relictas, quae dimidium unitatis superant, quoniam plus sunt 50/100) Hujus differentiae ope, per Regulam Trium sic erues partem proportionalem. Cum in dato numero supersint 782/1000, et differentia logarithmica sit 171; dic, ut 1000 ad 171, ita 782 ad aliud. Ductis igitur 171 in 782, et producto 133722 diviso per 1000 (quod fit abscindeudo ad dexteram tres notas 722) invenies Quotientem 133 722/1000: hoc est, 134 fere; qui Quotiens additus invento prius logarithmo 240483, dabit logarithmum 240617. numeri 254782 initio propositi.

III. Si numerus datus non excedit 1000, et ad junctam habet fractionem decimis constantem, ut 273 43/100; quaere logarithmum integri in Tabula, fractionis vero adjunctae suma partem proportionalem modo dicto ope Differentiae adjunctae numero integro, et Regulae Trium, et logarithmo pius invento adjunge.

IV. Si numerus datus excedit 1000, et fractionem decimalem habet adjunctam, ut 254782; procede cum illo modo dicto num. 2. ac si esset numerus integer sic, 254782, abscindendo nimirum tres notas sinistras, et logarithmum earum inveniendo ex Tabula, reliquatum vero trium relictarum partem proportionalem quaerendo.

Annotatio I.

[note: ] IN easibus numero 2, 3, et 4 explicatis, logarithmus inventus non est accuratus, nisi corrigatur ejus prima adsinistram nota, quam characteristicam appellant. Corrigitur si tot unitates ipsi tribuantur, unâ minûs quot notas habet totus integer numerus cujus logarithmus est inventus. Sic quia in exemplo num. 4. integer numerus, 254782, continet quatuor notas, logarithmus inventus 240617, corrigi debet sic, 340617, mutata nota 2 in 3. Hac eadem ratione cujuscunque numeri sive integri, sive ex integro et fractionibus decimis compositi, logarithmus corrigi debet. Itaque pro numero 73 quaerendus est logarithmus ejus decupli, nempe integri 73, qui est 86332. et characteristica mutanda in o, quia numerus integer est unius tantum notae 7. Erit igitur 086332 logarithmus numeri 73. Pari ratione pro numero 573, quaeri debet logarithmus numeri 573, qui est 275815, et mutata character ist ica, 175815.

Annotatio II.

[note: ] AD inveniendum logarithmum numeri majoris quam sit in prima Tabula, formari etiam potest haec regula; quae tamen convenit prorsus cum jam tradita. 1. Quaeratur in Tabula logarithmus conveniens quatur aut tribus notis ad sinistram numeri dati, et serventur notae remanentes. 2. Loco characteristicae (hoc est, primae ad sinistram notae) logarithmi inventi substituatur alia tot habens unitates, unâ minus, quot notas habet totus integer numerus datus. 3. Differentia logarithmica inter logarithmum inventum et proxime sequentem ducatur in notas remanentes, et a producto abscissis ad dexteram tot notis, quot habet differentia, reliquus numerns addatur logarithmo prius invento: summa erit logarithmus quaesitus. EXEMPLUM. Volo scire logarithmum numeri 208345. Primo, quaero in Tabula logarithmum numeri 208, qui est 231806. Secundo, pro characteristica 2, substituo 5, quia numerus datus continet sex figuras seu notas. Tertio, sumo differentiam praedicti logarithmi, et proxime sequentis, quae est 208, eamque duco in 345, notas nimirum ex dato numero remanentes, et produco 71760; a quo abscissis tribus notis ad dexteram (tot scilicet, quot remanserant ex toto numero dato) relinquitur 71, vel potius 72; qui additus logarithmo antea invento (mutatâ priûs characteristicâ) dat summam 531878, pro logarithmo numeri 208345 quaesito. Haec praxis non differt ab illa, quam antea tradidi, ut dicebam. Causam cur characteristica mutari debeat, vide apud Cavalerium in Trigonometria plana Probl. 3.

Propositio II. Dati Logarithmi numerum absolutum invenire in prima Tabula Logarithmica.

[note: Logarithmi numerum absolutum invenire in Tabula. ] I. DAtum logarithmum quaere in Tabula, si in ea continetur: numerus absolutus in prima columna ad sinistram ei respondens, erit numerus quaesitus. Sic si datus sit logarithmus 12304489; numerus 17 e regione ad sinistram ei respondens, erit numerus qui quaeritur.

II. Si datus logarithmus non repetitur in Tabula, muta ejus chracteristicam in 2, et quaere illum: si non invenis, cape pro eo proxime minorem, ejusque numerum e regione respondentem pro numero quaesito sume.

Velexactius sic operare. Logarithmum proxime minorem deme ex logarithmo dato, et eum differentia relicta, ac differentia logarithmica invento logarithmo adscripta, inquire partem proportionalem, eamque junge numero proxime minori logarithmo respondenti, et habebis numerum quaesitum satis praecise, quamvis non accuratissime. EXEMPLUM. Sit datus logarithmus 575489. Ex characteristica 5 colligitur, numerum ei respondentem debere esse 6 notarum. Mutatâ ergo characteristicâ in 2. quaere pro logarithmo dato logarithmum 275489: et quia illum non invenis in Tabula; sume proxime minorem 275435. Huic respondet e regione numerus 568, deficiens adhuc tribus notis a quaesito numero: quos sic invenies. Subtrahe logarithmum proxime minorem in Tabula repertum, nim: 275435, a logarithmo dato, mutatâ prius characteristica, nimirum a 275489; et differentiam 54 seva, Quaere deinde differentiam logarithmicam invento in Tabula logarithmo

adscriptam, nempe 76. Demum die per Regulam Trium: ut 76 ad 54, ita 1000 (propter tres notas quae desunt, nempe 1 cum tot ciphris, quot notae desunt (ad 711. Has notas sub junge numero 568 antea reperto; unde numerus logarithmo 275489 respondens, est 568 711/1000; respondens autem logarithmo dato 575489, est 568711.

Annotatio I.

[note: ] NVmerus logarithmo 275489 correspondens est 568 711/1000, ut diximus; numerus autem qui respondet logarithmo 575489, est millecuplus prioris illius numeri, id est, ter decuplatus, propter tres unitates quibus characteristica 5, superat characteristicam 2; fit autem prior ille numerus 568 711/1000 millecuplus fere, si integro addatur Numerator fractionis sic, 568711, ut habeatur numerus sex notarum, prout characteristica 5 indicat. Si logarithmus 275489 inventus fuisset praecise in Tabula; numeri trium notarum 568 ipsi respondenti addi debuissent ad dexteram tres ciphrae, ut haberetur numerus sex notarum pro numero quaesit.

Si logarithmus datus est 027472; mutata characteristica in 2, fiat logarithmus 227472; huic proxime minor in Tabula est 227416, cui respondet e regione numerus absolutus 188. Sed quia characteristica o, deficit a character istica 2, duabus unitatibus; ideo numerus 1 88/100, nempe subcentuplus praecedentis, est numerus logarithmi dati 027472. Ex his exemplis patet; quomodo in alijs casibus procedendum sit.

Annotatio II.

[note: ] QVando logarithmus datus non reperitur exacte in Tabula, potest etiam sic procedi. Quaeratur logarithmus proxime minor, et sumatur numerus ipsi respondens. Deinde subducatur logarithmus ille proxime minor, a logarithmo dato, et ex residuo fiat Numerator fractionis, cujus denominator sit differentia quae reperitur in Tabula inter logarithmum assumptum, et proxime majorem. EXEMPLVM. Logarithmus datus sit 155754; logarithmus proxime minor in Tabula, sit 155630; numerus huic respondens est 36. Hic ergo servetur, eique addatur fractio sic. Logarithmus e Tabula assumptus, subtractus a logarithmodato, relinquit 124; differentia inter logarithmum 155630 assumptum e tabula, et proxime majorem 156820, est 1190. Itaque numerus quaesitus est 36 124/1190

CAPUT VII. De usu Secundae Tabulae Logarithmicae.

[note: ] PRo hujus quoque Tabulae usu habenda sunt prae oculis illa, quae diximus supra cap. 3. de logarithmorum proprietatibus. Deinde servanda sunt quae sequuntur.

Propositio I. Dati arcus vel anguli Logarithmum, Mesologarithmum, et Tomologarithmum invenire.

[note: Logarithmum dati anguli invenire. ] REcolendum quod diximus supra cap. 4. §. 2. Logarithmos in Tabula secunda dispositos, esse logarithmos Sinuum, Tangentium, et Secantium graduum ac minutorum quadrantis circulis, in columna prima et octava notatorum; et Sinuum quidem logarithmos vocari a nobis simpliciter Logarithmos, Tangentium vero Mesologarithmos, et Secantium Tomologarithmos. His notatis, sic invenies cujuscunque arcus vel anguli dati logarithmos.

I. Si gradus dati arcus vel anguli non excedant 45. quaere in prima columna Gradus in fronte, et minuta in ipsa columna deorsum: et e regione in columna quarta invenies Logarithmum, in columna quinta Mesologarithmum, in columna sexta Tomologarithmum. EXEMPLUM. Sit datus arcus vel augulus graduum 37, minutorum 43. Quaere in fronte primae columuae Grad. 37, et In eadem descende usque ad minutum 43. E regione minuti 43. tij invenies in columna quarta Logarithmum 899829, in columna quinta Mesologarithmum 900046, in sexta columna Tomologarithmum 1000216.

II. Si gradus dati arcus vel anguli excedant 45. quaere in octava columna Gradus in calce, et minuta in ipsa columna sursum, et e regione in columna undecima invenies Logarithmum, in duodecima Mesologarithmum, in decima tertia Tomologarithmum. EXEMPLUM. Sit datus arcus vel angulus graduum 85, minutorum 6. Quaero in calce octavae columnae Grad. 85, et in eadem ascendeusque ad minutum 6. E regione minuti 6. ti. invenies in columna undecima Logarithmum 999840, in duodecima Mesologarithmum 1106686, in decimatertia Tomologarithmum 1106845.

Annotatio.

[note: ] SI gradus dati nulla adjuncta habent minuta, et non superant 45; invenies logarithmot desideratos in prima serie transversa e regione Minutio: si superant 45; invenies eosdem in ultima serie transversa e regione Minuti o.

III. Si gradus dati arcus vel anguli excedant 90, sed non 180; quaere vel in prima, vel in octava columna gradus et minuta complementi dati arcus vel anguli; et e regione invenies logarithmos ut antea. EXEMPLUM. Si datus arcus vel angulus graduum 175, minutorum 15. Complementum sunt gradus 4, minuta 45. Quaere ergo in prima columna Grad. 4. Minuta 45, et e regione invenies 891807, 891956, 1000149.

IV. Si datus arcus vel angulus est minor uno Minuto, a quo incipit Tabula; sume differentiam inter logarithmos primi et secundi Minuti, et adhibe Regulam Trium ut sequitur in exemplo. EXEMPLUM. Sit datus arcus vel angulus 48". Dic, ut 60", ad 48", ita differentia inventa ad aliud. Quotus erit logarithmus quaesitus.

Propositio II. Dati Logarithmi, Mesologarithmi, et Tomologarithmi arcum vel angulum invenire.

[note: Logarithmi dati arcum vel angulum invenire. ] I. DAtus Logarithmus, aut Mesologarithmus, aut Tomologarithmus quaeratur in Tabulae:

et si quidem inveniantur in columna quarta, aut quinta, aut sexta; invenies e regione in prima columna Minuta, in capite vero columnae Gradus: si vero inveniantur in columna undecima, aut duodecima, aut decimatertia; invenies e regione in decima quarta columna Minuta, in calce vero columnae Gradus.

II. Si datus Logirithmus etc. non reperiatur praecise in Tabula: quaere proxime minorem, aut majorem, et Minuta ac Gradus altertutri competentes reputa (si exactum calculum non cures) pro Gradibus et minutis quaesitis. Si vero exactiorem calculum desideras, quaere partem proportionalem addendam Minutis datis, per Regulam Trium, sic: Logarithmum proxime minorem subtrahe ex proxime majori, et ex Logarithmo dato ut habeas duas differentias, majorem, et minoremL deinde die: Ut differentia major ad minorem, ita 60" ad aliud. Invenies in Quoto minuta secunda, addenda arcui aut angulo dato. EXEMPLUM. Differentia inter proxime minorem et majorem logarithmum sit 20, et differentia inter proxime minorem ac datum sit 8. Fiat ut 20 ad 8, ita 60" ad aliud: vel, ut 20 ad 60", ita 8 ad aliud, nempe ad 24" addenda Gradibus et minutis arcus aut anguli dati.

CAPUT VII. De Praxibus substituendi Logarithmos pro Sinibus, Tangentibus, Secantibus, et Numeris absolutis.

[note: Logarithmos substituendi pro aliis numeris praxis. ] TAmetsi praxis substituendi Logarithmos pro Sinibus, Tangentibus, Secantibus, et numeris absolutis, in usu maxime Regulae Trium, satis percipiatur ex dictis cap. 1. et 2. in gratiam tamen Tyronum eam paulo fusius explicare lubet, addendo aliam praeterea praxin supra non insinuatam, quando adhibentur in Regula Trium logarithmi Sinuum, Tangentium, et Secantium.

Praxis I. Per additionem et subtractionem Logarithmorum.

[note: ] UBicunque in usu Regulae Trium reperitur vel Sinus vel Tangens, vel Secans, vel Numerus absolutus ponantur eorum loco logarithmi dictis Sinibus, Tangentibus, Secantibus, Numeris absolutis congruentes, excerpti e Tabulis Logarithmicis: et quae in se invicem multiplicanda erant, addantur inter se: per quae vero alia crant dividenda subtrahantur ab ipsis: residuum erit Logarithmus respondens illi Sinui Tangenti Secanti (et consequenter arcui vel angulo) Numero absoluto, qui vi Regulae Trium reperiri debebat in Quoto.

EXEMPLUM. Sint dati tres arcus vel anguli A, B, C, eorumque Sinus e Tablis Sinuum

extracti, D, E, F, sitque Regulam Trium inveniendus quartus proportionalis G, eique respondens in Tabula Sinuum arcus vel angulus H. Modo ordinatio multiplicatur E per F, et productum dividitur per D, provenitque in Quotiente Sinus G, cui in Tabula Sinuum respondet angulus aut arcus H. At per Logarithmorum usum, dictorum trium sinuum D, E, F, quaeruntur tres Logarithmi, I, K, L: et quia, per dicta cap. 2. Proprier. 6. si quatuor numeri sunt proportionales, summa logarithmorum extremorum est aequalis summae logarithmorum mediorum; ideo logarithmi K et L adduntur, ut fiat summa M; et ab ea subtrahitur logarithmus I; et manet residuus logarithmus N, qui in Tabula Logarithmica secunda ostendit eundem arcum autangulum H.

Porisma.

[note: ] ITaque datis tribus numeris proportionalibus quibuscunque, quartus reperitur, si trium datorum quaerantur logarithmi, et ex summa secundi ac tertij subtrahatur primus: residuum enim est logarithmus quarti proportionalis, e Tabulis eruendi.

Praxis II. Aliter per subtractionem et additionem Logarithmorum.

[note: ] TRium datorum numerorum proportionalium quaere logarithmos; primum subtrahe a duplo radij; residuum adde logarithmo secundo ac tertio summa mulctata binario ultimo ad sinistram est quartus logarithmus quaesitus; cujus numerus si reperiatur in Tabula, habebitur quartus proportionalis qui quaeritur.

EXEMPLUM. Sint ut antea Logarithmi I, K, L. Duplum radij est 2000000: residuum factâ subtractine logarithmi I a duplo radij, est N: hoc additum logarithmis K et L, facit O; hoc mulctatum binario ad sinistram, relinquit P, eundem videlicet quem antea in praecedenti praxi reliquerat.

Annotatio.

[note: ] LOgarithmus radij semper est unitas cum aliquot ciphris duplum ergo logarithmi radij est binarius cum tot ciphris, quot sunt in logarithmoradij.

Praxis III. Per solam additionem Logarithmorum.

[note: ] IN Canone Logarithmorum, seu in secunda, Tabula, numeri Logarithmorum hanc habent proprietatem, ut cujuscunque arcus seu anguli Logarithmus et Tomologarithmus secundus, seu Logarithmus secundus et Tomologarithmus (hoc est, duorum arcuum quadrantem complentium, unius Logarithmus, et alterius Tomologarithmus) nec non eorundem Mesologarithmi, simul additi faciant semper duplum Logarithmi radii., hoc est,

2000000. Itaque si residuum Logarithmi I. v. g. (nempe N) desideres; non est necessarium subtrahere Logarithmum I a duplo radij, hoc est, a 2000000, sed illud reperies in Tabula e regione dicti logarithmi I, in columna Tomologarithmi secundi, ubi invenies eundem ipsum numerum N: hic enim una cum I, faciunt 200000. Quare si loco subtractionis logarithmi, a summa logarithmorum K et L, addas Tomologarithmum secundum N, ad K et L. habebis summam O. a qua si auferas 2000000, vel tantum abijcias 2 a sinistris, habebis quaesitum logarithmum P, idem nimirum qui in praecedenti praxi remanebat post subtractionem.

Annotatio

[note: ] HeAEc tertia praxis explicata solum locum habet, quando in Reugla Trium adhibentur soli Sinuum logarithmi. At quando mixtim logarithmi Sinuum, Tangentium, Secantium, Sinuum versorum, et numerorum absolutorum adhibentur (quorum quilibet potest poni primo loco dictae Regulae Trium) mutari debet numerus primo loco positus in altum numerum, addendum numeris secundo ac tertio loco positis, ut habeatur quartus quaesitus in summa proveniente. Qui autem, et in quos numeros commutari debeant, exponitur insequenti tabula.

Si primo loco est Logarithmus sinus versi, aut numerus absol. Mutetur in ex summa ad sinistram.

Si primo loco in Regula Trium ponitur radius seu Sinus tutus; additur is ad secundum et tertium numerum, et a summa producta abijcitur solum unitas quae est ad sinistram. Sed ut distinctius explicentur et melius intelligantur quae hactenus diximus, sit sequens.

CAPUT VIII. De Regulis nonnullis in usu Logarithmorum observandis.

[note: Regulae in Logarithmorum usu observandae. ] NEc tam simplex, nec tam facilis est usus Logarithmorum, praesertim in Trigonomet[?]ia plana et Sphaerica, ad cujus calculum facilitendum praecipue sunt inventi. Varij varia praescribunt praecepta seu regulas, quas omnes ad sequentes reduxit P. Ioannes Baptista Rieciolus in Almagesto suo Novo, lib. 10. cap. 1.

I. Regula.

[note: ] TAm in Additione, quam in Subtractione Logarithmorum, si loco unitatum, aut quarumcunque aliarum notarum arithmeticarum significativarum, in principio summae aut residui a sinistris proveniant una vel plutes ciphrae, debent scribi integre, etiamsi nulla ante ipsas adsit nota unitatis, alteriusve numeri, ut in sequentibus apparet exemplis.

Additio

Subtractio.

II. Regula.

[note: ] SI post Additionem Logarithmorum quorumvis, aut Mesologarithmorum, aut Tomologarithmorum, aut ex his promiscue, summa nominetur Logarithmus; non debet continere plures notas, quam sint ciphrae in Logarithmo radij: quare si aliqua redundet, abijcienda est a principio summae ad sinistram, sive illa nota sit unitas, sive binarius, sive quivis alius numerus, ut apparet in sequentibus exemplis, in quibus supponitur Logarithmus radij habere octo ciphras post unitatem.

Exemplum I.

Exemplum II.

V. Regula.

[note: ] SI post Additionem summa nominetur Tomologarithmus, retinenda est unica unitas ante notas aequales numero ciphris quas habet Logarithmus radij, ut in sequentibus exemplis vides.

Exemplum I.

Exemplum II.

V. Regula

[note: ] QUando Logarithmus minor est, quam ut subtractio alterius Logarithmi ab eo fieri possit, addenda est ante primam notam sinistram minoris Logarithmi unica unitas; quod perinde est, ac si supra minorem superposuisses Logarithmum Radij. Ut quia a duodenarij Logarithmo, qui est 10791812, subtrahi non potest quadragenrij Logarithmus, qui est 16020600; usurpandus est pro 10791812, Logarithmus a sinistris unitate auctus sic, 1100791812; et tunc post subtractum 16020600, relinquetur residuum 94771212.

VII. Regula.

[note: ] SI arcus vel angulus datus sit major Gradibus 90, loco illius utere complemento ad Gradus 180, et huic complemento quaere suum Logarithmum, aut Sinum etc.

VIII. Regula.

[note: ] SI Logarithmorum absolutorum summa non debeat esse Logarithmus unitatis integrae, sed certum aliunde sit debere post trianguli resolutionem provenire aliquam quantitatem unitate minorem, puta minorem uno pede, seu fractionem; tunc utendum erit Logarithmo privativo juxta Regulas Algebraicas, et loco additionis subtractio adhibenda, ut fractionis inveniendae habeatur Numerator et Denominator. Elige igitur pro Denominatore 10, aut 100, aut 1000 etc. et hujus Logarithmum inquire; subtrahe summam Logarithmicam prius inventam; residuo autem quaere numerum congruentem in Tabula Logarithmorum absolutorum; erit enim is Numerator fractionis, superponendus Denominatori.

EXEMPLUM. Sit Summa Logarithmica 12041200, quae respondet numero 16 in Tabulis; et tamen aliunde certum sit, latus trianguli quaesitum non debere esse pedum 16 v. g. sed ne unius quidem pedis integri. Elige igitur Denominatorem 1000, cujus Logarithmus est 30000000: huic si subtrahas 12041200 (quae fuit summa collecta) remanet 1795880, qui est Logarithmus numeri 62. Suprascriptis igitur 62 pro Numeratore, ipsi Denominatori electo 1000, evadet haec fractio 62/1000, quae significat, latus quaesitum esse non unius pedis, sed continere sexaginta duas partes millesimas unius pedis.

Annotationes.

[note: ] HAs omnes Reglas collegit P. Ricciolus loco supra citato. Ex quibus patet, quam attentum oporteat esse calculatorem in usu Logarithmorum: quae attentio si adhibeatur, ingens est operae pretium illos usurpare, quippe aptos ad absolvendam Multiplicationem sola Additione, imo si adhibeatur Residuum Logarithmi, Multiplicationem ac Divisionem, atque adeo Regulam Trium sola additione, ut capite praecedenti vidimus.

Residuum Logarithmi subintellige, Radij) de quo ibidem meminimus, et ab alijs Complementum Arithmeticum appellatur, est illud Residuum, quod romanet subtracto Logarithmo quocunque a Logarithmo Radij, qui semper continet unitatem in principio a sinistris, et tot insuper ciphras, quot notae sunt in aliis Logarithmis. Sive itaque pauciores, sive piures ciphrae assumantur ad unitatem pro Logarithmo Radij. semper major est, id est plures notas contines, quam quilibet alius Logarithmus. Idem Logarithmus Radij semper minor est Radio seu Sinu toto in Tabulis Sinuum assumpto: nam continet tot ciphras sine unitate, quot Sinus totus continet ciphras cum unitate. Quare si Sinus totus est 10000000; Logarithmus Radij est 100000000.

Notandum et hoc est, quod quando in Trigonometria practica in analysi triangulorum rectilineorum adhibentur numerorum absolutorum Logarithmi, Logarithmus Radij semper supponatur esse tot ciphrarum, quot Logarithmus arcuum et angulorum. Itaque non licet Logar thmos numerorum absolutorum excerpere e Tabulis brevibus, seu paucarum notarum, Logarithmos vero arcuum aut angulorum e Tabulis fusioribus seu plurium notarum.

Haec est Logarithmis dicta sufficiant hoc loco; alibi fortassis et fusius, et ordinatius de eadem re agemus, ubi et Tabulas Logarithmicas dabimus, quas huc transferre, Operis et temporis angustia non permisit.

LIBER XXVIII. DIVISIO NOVA MATHEMATICARUM DISCIPLINARUM, Sive Earundem Scientiarum. SYNOPSIS

Prooemium.

[note: [note: Divisio nova Mathematica. ] UT finem coniungamus cum principio et quod initio facere oportebat, ad calcem praestemus; hanc novam Mathematicarum Scientiarum divisionem, seu mavis, Synopsin exhibemus, Encyclopaediae nostrae non tam complementum, quam propter Operis eruditionem, et scriptionis elegantiam, ornamentum. supra lib. 1. cap. 2. varias Mathematicarum Disciplinarum divisiones enumeravimus; sed enumeravimus tantum, ac per summa veluti capita indica vimus, tum ex nostra, tum ex aliorum, Gemini dico, Procli, Adriani Romani, Pauli Guldini, Honorati Fabry, et nescio quorum sententia, ne in Operis vestibulo Tironem adyta anhelantem aequo diutius detineremus: nunc et more eorum qui immensum non sine ingenti defatigatione emensi sunt iter, in viae termino tandem conquiescentes, diu ante trita relegunt iucunda [orig: iucundâ] quadam recordatione vestigia; aliam praedictis longe copiosiorem damus Divisionem, vel potius earundem Mathematicarum Disciplinarum Synopsin, tam eruditam et cultam, quam prolixam, a viro quodam doctissimo, et in dictis Scientiis a plurimis iam annis versatissimo olim conscriptam, nobisque Romae ab illo, qui Auctor praecipuus fuerat ut conscriberetur, exhibitam. Quae quoniam dignissima est ut ad posteros transmittatur, huic Operis nostri loco inserendam censuimus. Scriptores mihi notissimi atque amicissimi nomen quo minus prodam, modestia viri non permittit. Eadem in causa est, cur alia Opera a se conscripta nut nullis, aut alienis, aut fictis ediderit nominibus; vocat enim se alibi Lucium Veronensem,

SYNOPSIS Disciplinarum Mathematicarum. LECTORI.

[note: Synopsis Mathematicarum Disciplinarum. ] SYnopsin hanc damus Mathematicarum Disciplinarum, neque tam spissam, quam potuit; neque tam brevem, ut temere ullam ex di ciplinis praeteriremus, quae suam hactenus habuit in erudito illo pulvere admissionem, Partitionis ordienem secuti sumus quem vides. Veterum divisio brevior fuzt, qualem ex Pappo et Proclo Clavius et Ramus exhibuit. Sed inira eos limites arctari se omnia Mathematica aeque patiebantur. Guldini, Stevini, Freigij, Alsledij, Dasipodij, Metig partitiones cur non sequamur ipsemet conjictes. Geometriam et Arithmeticam per varia obiecta secare non placuit: arat enim Lbor infinitus, et intractabilis, cum aliae Propnsitiones plerunique aliis incurrerent, neque ordinem tenernit et methodum, cujus apud nos praecipua ratio. Accedit quod privata nobos opinio est, Theoremata omnia quae Arithmeticus persequitur, etiam Geometrice solvi posse. Vnde istis magis vestigiis incedere placuit, quae essent utrique scienziae communia. Compositae et adhuc purae Matheseos partem esse asserimus Logisticam popularem, seu doctrinam fractionum: etsi enim zis fractionibus mensurarum civilium nomina imponimus, id tamen Arithmeticae / uritati tam parumobstat, quam si triangulum aureum, argenteumve Geometra metiretur. Analyticam seu Algebram plures in partes secuit Franciscus Vieta, sed quae ad istas omnes referuntur. Staticam ut auctrorem faceremus, feczt maximam partem Philosophia Fabryana, quae in ea arena ita decurrit, ut Mathematicos quoque in eandem provocare velle videatur. In Musicis vix adijci aliquid poterit iis, quae de illa Kircherus in sua Musurgia produxit; cujus proinde vestigia secuti sumus. Debebant ad singula Mathemata Auctores etiam adijci, qui ea pertractant; sed absentia librorum id non permisit. Nimirum haet rudis tantum adumbratio est, quae tempore et occasione diductius proponatur.

CAPUT I. De Mathesi simplici.

[note: Mathesis simplicis partitio. ] MAthematicarum scientiarum aliae purae sunt, liae mixtae. Pura Mathesis est vel Simplex, vel Composita. Simplex versatur circa simplicem tractationem quantitatis; ejusque vel continuae, ut Geometria; vel discretae, ut Arithmetica.

Utraque est partim speculativa, partim practica; quae per Problemata et Theoremata agit de magnitudinum Denominatione, Constructione, Dimensione, Additione, Separatione, Augmentationne, Divisione, Proprietatisbus, Terminatione, Polentia, Proportione, Commensuratione, Transmutatione, Sectione. Quae omnia alio ordine et modo, perque alias demonstrationes et elementa, Geometer et Arithmeticus pertractant.

CAPUT. II. De Mathesi Composita.

[note: Mathesis composita partitio. ] COmpesita et adhuc pura Mathesis est, quae demonltrationes Simplicis Mathematicae inter se cominittit. Dividitur in Logisticam, Analogisticam, et Analyticam.

§. I. Logistica.

[note: Logistica duplex popularis, et astronomica. ] LOgistica est Resolutio magnitudinis propositae in menluram popularem, aut coelestem; ac proinde alia dicitur Logistica popularis, alia Logistica Astronomica. Logistrica popularis agit de inensuris prisci et nostriaevi; de utratumque comparatione inter se; de mensuris aridorum, liquidorum, aliorum; de re nummaria; de mensuris distantiae; de mensuris nostris, et peregrinis, Europaeis, et aliarum Orbis partium; de resolutione magnitudinis data in mensuram qualem cunque, et vicissim. Logistica Astronomicae agit de numeratone sexagenaria, sive resolutione partium circuli in gradus, minuta secunda etc. de Logistica nova seu decimali.

§. II. Analogistica.

[note: Analogistica. ] ANalogistica est, quae per tabulas ex analogia dati et quaesiti propositam magnitudinem definit, idque vel per numeros naturales, qui sunt Sinus, Tangentes, et Secantes arcuum circuli; eorumque tractatio dicitur proprio nomine Trigonometria: vel per numeros artificiales; corumque tractatio vocatur Logarithmica.

[note: Trigonometria. ] Trigonometria agit de resolutione triangulorum rectilineorum, rectangulorum et obliquangulorum, et de resolutione triangulorum sphaericorum, rectangulorum et obliquangulorum: sive de resolutione trium ignorarum partium trianguli ex tribus datis: item de resolutione ipsorum arcuum et meniscorum per analogiam in tabula sinuum expressam: quae pars peculiari nomine dicitur Geometria.

§. III. Logarithmica.

[note: Logarithmica. ] LOgarithmica exponit Sinuum, Tangentium, et Secantium locum et situm in progressione geometrica: habetque proinde tractationem brevissimam et facillimara, in ventionem veto novam et nostri aevi.

§. IV. Analytica.

[note: Analytica, sive Algebra ] ANalytica, quam diximus partem tertiam Mathesis Compositae, est, quae inter quaesitam et aliam quamcunque magnitudinem cognitam suas aequationes, ac ex illis ipsam magnitudinem deducit. Dicitur alio receptiori nomine Algebra. aut Regula Cossae. Communissime autem dividitur in Zeteticer, Poristicen, et Exegeticam. Zetetica agit de tractatione magnitudinis ad formulam imperatam. Quo pertinent Elementa numerorum figuratorum, genesesitem et analyses polygonorum, et potestatum etc. et tota tractatio Cossicorum. Poristica agit de inventione et dijudicatione aequationis, quae provenit: quae pars Analyticae totam Geometriam et Arithmeticam includit. Exegetica agit de exhibitione seu repraesentatione quantitatis quaesitae, in lateribus, quadratis, cubis etc. idque arithmetice, vel geometrice: sive de resolutione valoris, quem habet numerus Cossicus, in numerum absolutum.

CAPUT III. De Mathesi Mixta in genere.

[note: Mathesis mixta. ] FUit hactenus pura Mathesis. sequitur Mixta. Mixta Mathesis est, quae demonstrationes purae Mathesis applicat praecipuis proprietatibus corporis naturalis. Eae vero proprietates sunt, esse mobile, et esse sensibile.

Ex motibus seu mutationibus physicis Mathematica tantum considerandum accipit motum localem. Est vero motus localis vel circa medium; et in ejus contemplatione versatur Cosmographia, agens de centro et conversione Universi: vel a medio, et ad medium: cujus considerationem suscipit Statica, agens de magnitudine gravi et levi.

Altera proprietas corporis naturalis est, esse sensibile. Ex sensibus autem Mathesis tractandos accepit tantum duos: Visum, cujus contemplationem habet Optica, agens de magnitudine visibili: et Auditum, cujus pertractationem recipit Musica, agens de magnitudine sonora.

CAPUT IV. De speciebus Matheseos pertinentibus ad Cosmographiam.

[note: Cosmographiae partes. ] FUerunt hactenus species Matheseos Mixtae in genere; sequitur earundem tractatio in specie, et primo de Cosmogrsphia.

Est autem Cosmographza scientia de centro et conversione Universi: cujus principia et elementa in genere tradit quae dicitur Sphaerica, agitque de principiis et axiomatibus doctrinae sphaericae, hoc est, Coeli ac Terrae figura, loco, motu, quiete. De Sphaericae elementis, per quae fit uttriusque dimensio; qualia sunt Circuli maximi, ut AE quator, Zodiacus, Verticales, Meridiani etc. Circuli non maximi, ut Tropici, Arctici etc. De sphaerae proprietatibus in genere; in specie autem de sphaerarecta, obliqua, parallela etc.

Pars prima Capitis. De Astronomia.

[note: Astronomiae partes. ] AStronomiae tractat de motibus et phaenomenis coelestibus: estque vel Theorica, vel Practica. Theorica versatur circa contemplationem Primi Mobilis, et Secundorum Mobilium.

§. I. Uranometria.

[note: Uranometria. ] QUae circa Primi Mobilis seu Firmamenti apparentiam versatur, dicitur Vranometria, agitque de apparentiis, configuratione, dimensione, magnitudinibus, nominibus asterismorum coelestium Persicis, Arabicis, Graecis; et iis quae noviter adjecta sunt; verbo, de Uranometriae Bajerianae conspectu, usu, examine; de siderum interse distantia, figura, et situ quem inter se habent.

§ II. Theorica Primi Mobilis.

[note: Theorica primi Mobilis. ] QUaevero ejusdem Firmamanti diurnam conersionem considerat, vocatur Theoricaprimi Motus; quae agit de siderum altitudine, azimutho, situ, loco, perpendiculo, aequilibrioad praescriptum tempus, et locum; de loci latitudine et poli altitudine; de stellis nunquam occidentibus; de partium Zodiaci orto et occasu Heliaco, Cosmico, Achronico; de temporis aequatione

§. III. Theorica Secundorum Mobilium.

[note: Theorica secundorum mobilium. ] SEcunda Mobila sunt Luminatia, Planetae, et Planetarum comites. De Luminarium motu tractat Theoria Lunae-Solaris, videlicet de Luminarium motibus, et insequalitatibus periodicis; de figura, centro, axe, orbica, quam motus Luminarium periodicus describit; de incitatione, et retardatione mocus, et ejusdem variis Hypothesibus,

de via Solis et Lunae, et utriusque obliquatione, ac intersectione; de variis Hypothesibus per Epicyclos, Excentricos, Ellipses, Helices; de eorundem Luminarium motibus synodicis; et quae inde provenit, secunda et tertia inaequalitate; de tabulis aequationum simplicibus, compositis etc.

§. IV. Theorica Eclipsium.

[note: Theorica eclipsium. ] DE Luminarium occursu agit Theorica Eclipsium, in qua tractatur de tabulis Epactalibus, et Prostaphaereticis, ac lunationum; de Luminarium semidiametris, distantiis, magnitudinibus; de forma et magnitudine umbrae terrestris, et lunaris, de horariis, parallaxibus, digitis, mensura, duratione, coloribus eclipsium; de umbra, et penumbra etc.

§. V. Theorica quinque circumsolarium Planetarum.

[note: Theorica Planetarum circumsolarium. ] QUae vero Planetarum aliotum motus considerat, dicitur Theoria quinque circumsolarium; in qua agitur de stellae Saturni, Jovis. Martis, Veneris, Mercurii motibus, evolutionibus, restitutionibus periodicis circa Solem; de motuum Hypothesi, et tabulis prostaphaereticis; de orbitae circumsolaris figura, axe, centris, seu absidibus; de axis motu, ac inclinatione; de nodis, et nodotum motu; de inaequalitatibus annuis seu parallacticis, et earum effectibus, statione, retrogressu, incitatione motus apparentis etc.

§. VI. Theorica comitum Planetarum.

[note: Theorica comitum Planetarum. ] QUae vero noviter repertos Planetarum comites considerar, vocatur Theoria Planetaum secundariorum; eaque tractat de comitatu Solis, Saturni, Jovis; Veneris; deque eorum hactenus observatione, et apparentia, ac vatiis ea de re conjecturis; de macularum solarium ortu, interitu, disparentia, gyratione, seu periodis.

§. VII. Theorica siderum subventaneorum.

[note: Theorica siderum subventaneorum. ] DE Subventaneis porro sideribus incerta est tractatio, vocacurque Theoria Subventaneorum siderum; in qua agitur de veteri et hodierna siderum magnitudine; de sideribus novis apud Priscos; de sidere in Cassiopea, Cygno, Serpentario, Ara etc. de Cometis coelestibus; de modo deprehendendi et consignandi nova sidera.

§. VIII. Astronomia Practica.

[note: Astronomia practica. ] FUit Astronomia Theorica; sequitur Practica. Ea vero agit de motuum et apparentiarm coelestium observatione, tepraesentatione, applicatione ad usum popularem.

§. IX. Astronomia Mechanica.

[note: Astronomia Mechanica. ] OBservatio motuum sit per instrumenta; quorum fabricam tractat Astronomia Mechanica, quae est structura instrumentorum, qualia sunt Quadrantes, Octantes, Radii, Sextantes, Azimuthalia, AE quatoria, Armillae, Torqueta, Regulae de eorum divisione per Tangentes, per lineas transversales, de Dioptris, de Perpendiculis, de Automatis.

§. X. Astronomia Observatoria.

[note: Astronomia observatoria. ] IN strumentorum autem usum et praxin docet Observatoria. Ea vero agit de observatione distantiarum a sixis per Sextantes, Radios, Armillas; de altitudine et azimutho sideris, de ejusdem declinatione, ascensione, longitudine, latitudine observanda, et numeranda; de temporum observatione per siderum altitudines, azimutha, perpendicula, aequilibria.

§. XI. Astronomia Tabularis.

[note: Astronomia tabularis. ] REpraesentatio motuum coelestium fit per numeros, aut organa seu instrumenta. Prior dicitur Astronomia tabularis; agitquede canone Primi mobilis; de siderum et punctorum eclipticae declinationib', ascensionibus rectis, obliquis, et angulis cum Meridiano; de amplitudine ortiva, de tractatione et usu Ephemeridum; de tabulis positionum, et Domorum coelestium; de tabulis Ptolemaicis, Alphonsinis, Prutenicis, Danicis, Rudolphinis, Philolaicis etc.

§. XII. Astronomia Organica.

[note: Astronomia organica. ] POsterior vero dicitur Astronomia Organica; agitque de usu et tractatione Sphaerae sosidae, et Armillaris; de Astrolabio, et Planisphaerio Gemmae, Rojas, et aliorum; de Astronomico Caesareo Appiani; de Automatis Justi Brigii, et aliorum.

Applicatio motuum coelestium ad usum popularem complectitur [gap: Greek word(s)] ex quibus nartae Computistica, Chronologia, Judiciaria seu Divinatrix.

§. XIII. Astronomia Computistica.

[note: Astronomia computistica. ] COmpatistica est structura temporum, et annorum; agitque de Cyclis Lunae, et Solis; de annis, et annorum pertodis; de methodo anni solaris, et lunaris; de annis Grarcis, Romanis Hebraicis, Persicis, Arabicis etc. de annorum et temporum complexu, et comparatione.

§. XIV. Astronomia Chronologica.

[note: Astronomia Chronologica. ] CHronologia agit de Characterismistemporum Astronomicis, Politicis, Historicis; de AErarum et Periodorum initiis, et connexione; de quaestionibus et difficultatibus Chronologicis, quarum pleraque nonrectius quam per eclipsium phaenomena resolvuntur.

§. XV. Astronomia Iudiciaria.

[note: Astronomia iudiciaria. ] JVdiciariaseu Divinatrix agit de ortu et occasu siderum, et conjectura tempestatum; de circulis Positionum, et Domorum coelestrum; de erectione Thematis secundum viam rationalem, aut alias; de Significatoribus, Promissoribus, et si quae alia Chaldaeorum, aut Arabum superstitio induxit: quae eo saltem sciri necesse est, ut confutari posint.

Pars altera Capitis. De Geographia.

[note: Geographia euisque partes. ] FUit Astronomia hactenus; se quitur Cosmographiae pars altera, quae dicitur Geographia. Est autem Geographia de sphaerae terrestris constitutione, divisione, descriptione, comparatione.

§. XVI. Constitutio Terrae.

[note: ] DEconstitutione totius hujus sphaerae, quam Tellurem dicimus, agit Geotactica; in qua tractatur de Telluris figura, copstitutione, centro magnitudinis, et gravitatis, motu, quiete, loco, magnitudine ac dimensione Veterum, ac nostri aevi; de ejusdem mucatione, adgestione, adgeneratione, dissipatione etc.

§. XVII. Divisio Terrae naturalis.

[note: Divisio Terrae naturalis. ] Divisio Telluris est naturalis, artificialis, fortuita. Naturalis Divisio Telluris est in Terram, Aquam, et Aerem Terrae circumfusum. Partes similares seu Terreas considerat quae vocatur Geometrica; agitque de partitioneTerrae in Continentem, Insulas, Peninsulas, Isthmos, Montes, Promontoria, Sylvas, Deserta, Fodinas etc. de montium altitudine, dimensione, apparentia seu conspectu; de eorundem capacitate etc.

[note: Hydrographia. ] Partem Telluris alteram de Aquis considerant Hydrographia, et Brasmologia. Est autem Hydrographia quae agit de Aquis, Maribus, Stagnis, Paludibus, Thermis, Fontibus; de aquarum et marium profunditate, ac aequilibrio; de periplo maris, et Oceani; de comparatione superficiei quam Aquae obtinentad superfiriem Terrae.

Brasmologia agit de fluxu et refluxu maris; de ejus mensura. et incremento in Solstitiis et aEquinoetiis, decremento in Quadraturis et Conjunctionibus; de ejusdem incitatione, aut remoratione a ventis, littoribus, fluviis; de motu maris generali ab Ortu in Occasum; de euripis, de vorticibus; de succussione seu tremore maris.

De Aere Telluri circumfuso tractant Atmosphaerica, et Anemographia. Atmosphaerica est de atmosphaerae altitudine, rariate, denhtare; de meta exhalationum terrestrium, et reflexionis radiorum solarium; de corundem refractione, et refractionis mensura, ac effectu; de crepusculis, et eorum initio, magnitudine, diversitate. Anemographia agit de ventorum causa, plaga, numero, divisione, tempore, prognostico; de ventis periodicis, ethesiis, ec nephia, exhydria, typhone.

§. XVIII. Divisio Terrae artificialis.

[note: Divisio Terrae artificialis. ] FUit naturalis Terrae divisio; sequitur Artificialis a circulis sphaerae coelestis, et corundem variis apparentiis, ac effectibus: unde nata quae vocatur Parallelometica, tractans de divisione Teiluris veteri in septem Climara, et quinque Zonas, de hodierna in viginti quatuor Climata, et quadragina octo parallelos; de locis seu metis per quas Climata procedunt; de eorum Climarum proprietatibus, et phaenomenis; de divisione Telluris ratione umbrarum in Amphiscios, Periscio, Heteroscios; ratione perpendiculi in Antacos, Periaecos, Au[?]podas etc.

§. XIX. Divisio Terrae fortuita.

[note: Divisio Terrae fortuita. ] FOrtuita Terrae divsio in regna et provincias pertinet quidem ad Histonam, cui tamen ab ea maxima lux, quae dicitur Geographa Historialis, et agit de characteribus Geographiae ab eclipsium; ab umbrarum, a dierum et noctium observatione; de primis Terrae habitaroribus; de migratione gentium, de Geographia veteri Strabonis, Ptolemaei, Melae, Plinir; de Geographia nostrate; de Navigationibus Lusitanorum, Hispanorum, Batavorum, Anglorum ete.

§. XX. Descriptio Terrae generalis et particularis.

[note: Geographia usualis. ] DEscriptio Terrarum, quam fecimus tertiam Geographiae partem, alia est generalis, alia partitularis. Generalis est, quam dicemus Geographiam usualem. Specialis dividitur in Chorographiam, et Topographiam.

Geographiausualis agit de Mapparum et Chartarum Geographicarum varietate, structura, projectura, primo ad usum Nauticae, per sineas rectas, et angulos positionum: secundo ad usum Historiae, in regiones, regna, provincias, tractus fluviorum etc. tertio ad usum Civilem, in Leones, Aquilas, Cer vos etc. quarto ad usum Geographia, in circulos, elliples etc. Agit item de inveniendis ex Mappis locorum distantiis, et affectioinbus.

[note: Chorographia. ] Chorographia agit de locorum descriptione quae uno sensibili Horizonte comprehendi non possunt;

de invenienda datae Chorographiae longitudine, et latitudine; de longitudinibus dierum et noctium; de ortibus et occasibus siderum; de mutationibus temporum Veris, Autumni, Hyemis, AEstatis.

[note: Topographia. ] Topographia agit de locorum des criptione intra unum Horizontem sensibilem; de plagis coeli, et positionum angulis inveniendis; de scala et proportione militarium; de fluminum et lacuum profunditate; de sylvatum et nemorum capacitate; de confinibus, et tota ratione Agrimensoriae.

§. XXI. Nautica, eiusque Partes.

[note: Nautica. ] PArs ultima Geographiae spectat ad Nauticam, de comparatione loci in quo versaris, aut navigas, ad reliquas sphaerae partes. Ejus vero duo sunt capita: primum est de inveniendo portu ad quem tenditur, et dicitur Limeneuritice: alterum est de via ad portum destinatum tenenda; et dicitur Histiodromice. Limeneuritica agit de angulo positionis, sive situ circuli maximi per navem et portum transeuntis; de cognitione distantiae, ventorum, et Matium interjacentium; de aestu Maris circa portum; de usu et observatione lingulae magneticae de portuum orthographia, seu conspectu. Histiodromica agit de Canonibus et Axiomatibus Loxodromicis; de usu ac descriptione drarii nautici; de conjectura Rhombi in quo navigas, ac spatii et temporis quod navis conficit, aut confectura est.

CAPUT V. De speciebus Matheseos pertinentibus ad Staticam.

[note: Statica, eiusque partes ] STatica agit de gravium et levium natura, situ, motu.

§. I. Statica Elementaris.

[note: Statica Elementaris. ] GRavium et levium naturam considerat et comparat, quae dicitur Elementaris, agitque de simpliei gravitate et comparatione mixtorum v. g. auri, argenti, ferri, olei, aquae etc. de gravitate aeris rari et densi, aquae et densae; de mixtura gravitatum ad mixturam perpendiculi.

§. II. Centrobaryca, et Isorropostatica.

[note: Centrobaryca. ] SItus et locatio gravium et levium est vel naturalis, vel artificialis. Situs vero naturalis est aut absolutus, aut comparatus cum alio gravi. Illum considerat Centrobaryca, stum Isorropostatica.

Centrobaryca, agit de centro gravitatis linearum, superficierum, cotporum; de centro gravitatis segmentorum, magnitudinis; de mutatione centri gravitatis ad mutationem figurae.

[note: Isorropostatica. ] Isorropostatica tractat de comparatione gravium; de Librae ac Trutinae principiis, et proprietatibus; de analogia ponderum et brachiorum Librae; de quiete et impetu quo se Libra restiuit; de centro Librae infra, supra, et in medio trutinae; de aequiponderanti um figurarum transmutatione retento aequilibrio.

§. III. Architectura Civilis.

[note: Architectura civilis. ] ARtificialis situs gravium et levium est vel ad usum Civilem, et dicitur Architectura Civilis, vel ad usum bellicum, et dicitur Architectura Militaris.

Architectura Civilis agit de partibus et generibus aedificiorum, et columnationtim; de fastigio, scapo, stylobata; de eorum ornamentis, et ornamemorum varietate, nempe Thuscana, Dorica, Jonica, Corinthia, Composita, Gothica; de volutarum et helicum descriptione; de scapi diminutione, et circumflexu; de usu Optices in Architectura.

§. IV. Architectura Militaris, eiusque partes, Tactica, Poliorcetica, Obsidionalis.

[note: Architectura militaris. ] ARchitectura Militaris dividitur inTacticam, Poliorceticam, et Obsidionalem.

Tactica est de instruendis et explicandis aciebus: de transmutationibus a Quadraro in Rhom, bum, Cuneum etc. de evolutione Macedonica, Laconica, Choraica etc. de Tactica nov-antiqua; de ordinestatario, et viatorio; de metatione Castrorum.

Poliorcetica agit de Machinis desensivis, ut Clypeo, Pluteo, Vinea, Lorica; de offensivis, ut Catapulta, Balista, Ariete etc. de PoLiorcetica veteri, et hodierna.

Obsidionalis agit de Polygonis regularibus, et eorum Munimentis; de Munimenti facie, collo, ala, cortina etc. de Parmulis, et Munimentis externis; de Axiomatibus Architectonicae militaris, de Munitione castrensi; de Fossis, Cuniculis etc.

§. V. Stathmica, et Magnetica.

[note: Stathmica. ] FUit huc usque Statica de natura et situ gravium; sequitur de eorundem motu. Considerari autem possunt motus causae, media, impedimenta. Causae motus suntaliae in trinsecae, alise extrinsecae: Intrinsecae a gravitate subjecti, aut ejusdem affectu ergacerta puncta Universi. Unde natae Stathmica, et Magnetica,

Stathmica agit de Libella, et linea directionis; de gravium ac levium descensu et ascensu ex diversitate materis et figurae; de impetu quo se gravia determinant ad motum per pendicularem; de acceleratione motus a gra vitate secundaria; de ejusdem incremento secundum duplicatam rationem tempotum, aut aliam; deproportione ictus inflicti ad impetum, impetus ad tempora, temporum ad radios spatiorum quae mobile decurrit.

[note: Magnetica. ] Magnetica agit de experimentis magneticis: de magnetis polis, polorumque diversitate; de ejus armatura: de chalybodixi, sive restitutione et elevatione magnetis variis locis et temporibus: de ejusdem ascensu et descenfu versus polum Mundi: de magnetismo ferri et aliorum: de Thaumaturgia magnetica.

§. VI. Mochlostatica, Trochlostatica, Onostatica, Sphenostatica, Cochleostatica, Pancratica.

[note: Staticae variae partes. ] EXtrinsecae causae motus gravium et levium sunt ab impulsu. Impulsus autem revocatur ad quinque motiones mechanicas, per Vectrem, Trochleam, Ergatam, Cuneum, Cochleam: a quibus Staticae seu Mechnicae varia divisio in Mochlostaticam, Trochlenstaricam, Onestaticam, Sphenostasicam, Cochleostatieam: quibus addimus Pancraticam, comprehendentem alias motiones, de quibus huc usque parum constitit.

Moch ostatica agit de hypomochlii positu, et diversa applicatione Vectis: de proportione Vectis, ponderis, et potentiae moventis: de pronuntiato Archimedis: de Vecte inflexo: de Vectibus quorum alteri ab alteris moventur.

Trochleostatica agit de Trochlea, seu Vecte versatili: de Polyspasto: de proportione potentiae moventis, et trochlearum magnitudine, numero, situ: de radiorum et velocitatis proportione: de trochleis se invicem exhaurientibus.

Onostatica agit de Axe in peritrochio: de tympanorum proportione; de Ergatis, succulis, terebris; de tympanis dentatis.

Sphenosta ica agit de Cuneo, seu Vecte duplicato; de Cunei impulsu ab illabeute gravi, aut potentia movente; de percussione, et ejus centto; de angulo Cunei minore quam sit semirecttus; de gladio, securi, ascia, mucrone, serra, lima, runcina, dolabra etc.

Cochleostatica agit de Cochlea, seu Cuneopercussionis experte; de matrice, rota, scitala Cochleam movente; de linea directionis in Cochlea obliqua; de torculari; de Cochlea recta, seu infinita; de altera in semet recurrente.

Pancratica tractat de potentiarum et motionum permixtione; de sustinendo et attollendo pondere; de rota, curru, traha, fraeno, forcipe; de ventilatione, tractione, pressione, remigatione, volatu, velificatione; de lanistica, et chalinetlipsi, etc.

§. VII. De Mesostatica, eiusque partibus Aerostatica [orig: Aërostatica], Hydrostatica, et Pyrostatica.

[note: Mesostatica, eiusque partes. ] FUit consideratio causae a qua moventur gravia; se quitur consideratio medii per quod gravia moventur. Ea pars proprio nomine dicitur Mesostatica. Dividitut in Aerostaticam, Hydrostaeticam, et Pyrostaticam.

[note: Aerostatica. ] Aerostaticae duae partes sunt, Balistica, et Hydatholcia, Balistica tractat de libratione gravium in aere libero; de motu jactus, sagittea, fundae, pilae, follis, tudiculae, flagelli; de figura et intensione motus: de motu aquae ex siphonibus emissae: de motu mixto ex rectis et circularibus etc. Hydatholcia agit de libratione praecipue aquarum intra canales, quae proprie dicitur Aquilegia: de attollendis aquis: de fontibus perimpulsum, compressionem, suctum, metum vacui, rarefactionem, condenfationem: de tota ratione Thermometriae.

[note: Hydrostatica. ] Hydrostatica in genere agit de libratione gravium in aqua, haberque partes duas: quarum prima agit de iis quae vehuntur in aqua: deque principiis causis, effectibus, mensura Bareocclymbiae: altera de iis quae merguntur in aqua, deque principiis, causis, effectibus, mensura Bareodesiae.

[note: Nautica. ] Hydrostatica, inspecie est Nautica, et agit de gravitate aquae marinae et fluviatilis: de figura navis: de mensura saburrae, et ejusdem aequilibrio: de variatione ponderis in puppi, prora, medio: de attollendis submersis navibus: de onerariis: demalo: de velis: de re et arte Helciaria.

[note: Pyrostatica. ] Pyrostatica agit de librandis in aere et aqua ignibus: defundamentis et regulis rei tormentariae: de proportione tormenti, globi, pulveris: de ictu recto, et arcuato, deque utriusque mensura, velocitate, gravirate: de collimatione supra velinfra scopum: de missilibus, et Pyrobolaria.

§. VIII. Loxobaryca, Anacamptica, Spartostatica.

VLtima pars staticae agit de impedimentis circa motum gravium et levium, sive de ejusdem motus obliquatione, reflexione, detentatione: quae dicuntur Loxobaryca, Anacamptica, Spartostatica.

[note: Loxobaryca ] Loxobaryca est de gravium in planis inclinatis motu sursum ac deorsum, deque ejus proportione ad perpendicularem: de ratione gravitationis in plano inclinato ad gravitationem in plano horizonrali: de planis sphaericis, aut sphaeroidalibus: de ascensu et descensu intra helicem.

[note: Anacamptica. ] Anacamptica agit de angulo reflexionis et incidentiae: de causa, et mensura reflexionis: de mutatione reflexionis ex figura corporis impacti, et rerlectentis: deresultu globorum parium; et imparium, si in se mutuo impingant: de resultu aquae, et sagittae in planum cadentis.

[note: Spartostatica. ] Spartostatica agit de gravium detentatione, et qui inde nascitur motu circulari: de motu rotae in plano horizontali, perpendiculari, obliquo: de utriusque proprietatibus: de oscillatione, seu motu funependuli: de proportione vibracionum et chordarum, velocitarum, et altitudinum, etc.

CAPUT VI. De speciebus Matheseos ad Opticam spectantibus.

[note: Optica, eiusque partes. ] OPtica est de magnirudine visibili. Dividitur in Speculativam, et Practicam. Speculativa agit de subjecto, et modo visionis.

Pars prima Capitis. De Optica Speculativa.

§. I. Ophtalmica.

[note: Ophalmica. ] QUae de subjecto, seu receptione visionis agit, ea dicitur Ophtalmica, agitque de structura, et partibus oculi; de basi visionis, seu horoptere; de receptione radiorum visualium; de eorundem radiorum decussatione intra oculum; de pupillae dilatatione; de figura humorum quibus oculns constat.

§ II. optica.

SPceiesaltera de modo visionis tripartito dividitur, nempe in Opticam, Catoptricam, Dioptricam; sive in tractationem de radia tione simplici, reflexa, efracta.

Opticae consideratio est de visione simplici seu directa, cjustque objectis propriis, aut communibus. Proprium objectum visionis est lux, et color; ejusque tractitio dicitur

[note: Photonomia. ] Photonomia, quae aget de natura lucis, et luminis profusione; de luminum variorum occursu, et concursu; de transmissione. et figuratione lucis; de illuminatione corporis opaci; de umbrae figura, intensione, efformatione. Commune objectum est, quod aliis etiam sensibus percipitur, ejusque tractatio spectat ad Phaneroscopicam, et Phaneroctiticen.

[note: Phaneroscopia. ] Phaneroscopia est de comprehensione seu cognitione objectorum communium, distantiae, quantitatis, figurae, loci, situs, motus, quietis, continuitatis, discretionis.

[note: Phanerocritice ] Phanerocritica est de judicio circa apparentias, maxime o bjectorum comunium, sive de judicandis fallaciis aspectus circa objecta communia, distantiam, quantitatem, figuram, locum, situm, motum, quietem et critem que circa objecta propria, illuminationem, obscuritatem, colorationem, transparentiam, opacitarem.

§. III. Catoptrica.

[note: Catoptrica. ] FUit tractatio de radio simplici, seu directo; sequitur altera de reflexo, Ea in genere dicitur

Catoptrica, et agit de elementis specularibus; de corporum specularium varietate; de radio incidentiae, et reflexionis; de loco imaginis; de comparatione radii incidentis et reflexi.

Catoptrica in specie dividitur a figura corporis reflectentis in Omalocampticem, Sphaerocamticem, et Conoidocampticem.

Omalocamptice est de reflexione a speculis planis; de loco imaginis; de eversione, et ordinatione radiorum; de choreis Ptolemaicis: de dispositione Polygonorum.

Spharocamptice est de reflexione a speculis sphaericis convexis; de locoimaginis, de cylindricis, conicis, sphaericis convexis; de permistione, sphaerici et plani; de phaenomenorum quae in de proveniunt causis, et effectibus.

Conoidocamptice est de reflexione a speculis conoidalibus, hyperbolicis, parabolicis, ellipticis, cavis, et convexis; de speculis annularibus, compositis; de polygonis conoidalibus; de permixtione conoidalium inter se, et cum speculis planis ac sphaericis.

§. IV. Dioptrica, sive Anaclastica.

[note: Dioptrica. ] SEquiturpars tertia de radio refracto, quae dicitur Dioptrica, vel Anaclastica, agitque de natura refringentis medii; de refractionum mensura in aqua, vino, oleo et c. in aere unius alteriusque horizontis, in crystallo, gemmis, vitro trigono, polygono etc. de refractionum incremewo, et proportione ad altitudinem radii incidenris; de observationibus Brahei, Batavorum, aliorum.

§. V. Meteoroscopica.

[note: Meteoroscopica. ] ANaclasticae appendix est, quae ex illa et Catoptrica, componitur, diciturque Meteoroscopica agens de halonibus, pareliis, iride et ejus alticudine, coloribus, situ, reflexione; de meteoris aliis subinde apparentibus.

Pars altera Capitis. De Optica Practica.

[note: ] FUit Optica; pars Theorica; sequitur Practica, quae est de imicatione, dimensione, ordinatione radiorum visualium.

Pars prima Opticae Practicae, de Imitatione.

[note: Optica Practica. ] EA vero imitatio vel pertractatur in genere, dividiturque in rei, quae projicienda est, Orthographiam, Ichnographiam, et Scenographiam.

§. VI. Scenographia, et Ichnographia.

[note: Orthographia. ] ORthographiae est projectio rei deducta lineis parallelis, ex situ oculi imaginario tanquam infinite distantis. Dividitur autem ejusmodi projectio in Orthographiam sublimem, quae fit in plano ad horizontem perpendiculari, proprieque dicitur Orthographia; et Orthographiam jacentem, quae [note: Ichnographia. ] dicitur Ichnographia, et fit in plano horizontali. Agit insuper de diminutione mensurae seu pedis, de Orthographia interiori, sive scotione stereomatis per planum horizontale, aut perpendiculare.

§. VII. Scenographia, sive Perspectiva.

[note: Scenographia. ] SCenographia est projectio rei ex oculi certa et determinata distantia; ex qua Projectionum et Perspictivae, quam vocant, tam variae species et subsidia a circinis, vitris, folio, fenestris, mesulis etc.

Quo etiam specttat tractatio de Scenographia naturali, sive specierum intromissione, eversione, erectione, inclausa et obscura camera; de diminutione, velaugmentatione picturae apparentis; deque dimensione verae magnitudinis ex Scenographia apparenti.

§. VIII. Graphices sive Proiecturae variae species.

[note: Graphice sive proiectura, eiusque species. ] GRaphices sive Projecturae in specie tot suntexempla, quot cobjecta quae in oculos occurrunt. Mathematici vero proprius labor est de pictura sphaerae, et Circulorum coelestium quibus sphaera comprehenditur. Circuli autem universi omnes projiciuntur: quod sit per descriptionem Analemmatis, aut Astrolabii; sive per projectionem Sphaerae Orthographicam, aut Scenographicam.

[note: Analemmatographia. ] Analemmatographia, quae est projectio Sphaerae orthographica ex mente et exemplo Ptolemaei, agit de descriptione Analemmatis in plano horizontali, verticali, meridiano; de solutione problematum Primi Mobilis ex Analemmate.

[note: Astrolabiographia. ] Astrolabiographia, agit de Sphaerae et Circulorum projectione Steneographica, seu Scenographica ex certo oculi positu, v. g. in axe Mundi, in sectione AEquatoris, Horizontis, aut Meridiani; in Zenith, aut Nadir supra planum oculo perpendiculariter, aut etiam oblique contrapositum; de problematum Primi Mobilis solutione ex Astrolabio.

Adhasetiam revocatur Projectio Spharae nsualis per lineas rectas, et in divisionem in plagasatque angulos positionum, de variis Projecturae formis, et Parallelorum proportione ad AEquatorem; de forma cordis, ellipsis integrae, aut fractae; de poli utriusque distensione in lineam, etc.

§. IX. Gnomonica seu Horologiographia.

[note: Gnomonica seu Horologiographia. ] FUit projectio circulorum universim; sequitur projectio nonnullorum Sphaerae circulorum singulatim, et maxime horariorum: quae pars Projectionis dicitur Gnomonica seu Horologiographia. Sunt autem horologiorum alia immobilia, alia portatilia de loco in locum. Unde Gnomonica dividitur in Sciothericam, et Periphereticam.

[note: Gnomonica Sciotherica. ] Gnomonica Sciothericae agit de umbrae solaris adnotatione, seu horologii descriptione per Analemma; per Tabulas, Sinus, Tangentes; per Instrumenta alia; in planis Horizonralibus, Verticalibus, Declinantibus, Inclinatis, Concavis, Convexis: de adnotatione seu delineatione Parallelorum diurnorum, Longitudinis dierum et noctium, horarum Babylonicarum, Italicarum, Astronomicarum etc, de ortu et occasu signorum Zodiaci, certarum stellarum etc. de horologiorum descriptione speculari per reflexionem; et anaclastica per refractionem etc.

[note: Gnomonica Peripheretica. ] Gnomonica Peripheretica est de Horologiis portaulibus, eorumque descriptione per altitudines Solis, et Pendula dioptrica, Annulos, Quadrantes, Cylindros, Armillas, Sphaerulas etc. de aliis horadurum descriptionibus per opem magnetis, in formas, leges, et usus raros; de eorundem designatione reflexa et refracta.

Pars secunda Opticae Practicae, de Dimensione.

[note: ] ALtera pars Opticae Practicae est de radiorum visualium dimensione. Ea fit per Parallacticam, et Geodaesiam.

§. X. Parallactica, et Geodaesia:

[note: Parallactica. ] PArallactica agit de transportatione radiorum visualium; de Parallactica coelesti ex observatione Primi Motus, ex observatione et elevatione motus periodici et apparentis; de fundamentis, tabulis, deductionibus in longum, et latum; deque effectibus parallacticae in eclipsibus, cometis, aliis.

[note: Geodaesia. ] Geodaesia agit de dimensione linearum visualium; de ejusdem divisione in dimensionem altitudiuis, distantiae accessea et inaccessae; de dimensione magnitudinis ex cognita illius parte; de Instrumentis Geodaeticis, Radio, Quadrato, Mensula; de Dioptra librali Caroli Imperat. de Agrimensoria, id est, de agri dimensione, partitione ex dato puncto etc.

Pars tertia Opticae Practicae, de Ordinatione.

[note: ] PArs tertia Opticae Practicae est de radiorum visualium ordinatione. Ea vero ordinatio radiorum instituitur vel ad confortandam visionem, dicitiurqueproinde Hyallurgiae; vel ad faciendam ustionem, et dicitur Hyallocaustica; vel ad oblectandum spectatorem, et dicitur Silenographia.

§. XI. Hyallurgica.

[note: Hyallurgica. ] HYallurgica agit de vitris, et conspidllis; de oculorum defectibus; de vitrorum materia, praeparatione, politura; de cavis et convexis lentibus; de lentium inter se conduplicatione, triplicatione, in ordine ad Tubum Opticum verterem, et novum; de vitris conoidalibus, et compendiis efformandi conoides, hyperbolas; de vitro trigono, polygono ete.

§. XII. Hyallocaustica.

[note: Hyallocaustica. ] HYallocaustica. agit de ordinatione radiorum solarium ad faciendam combustionem per specula plana, cava, hyperbolica, parabolica; de polygonis hyperbolam aut parabolam affectantibus; de speculis Procli, et Archimedis; de combustione per ellipsin; de annulis sphaericis, ellipticis etc.

§. XIII. Silenographia.

[note: Silenographia. ] SIlenographia agit de contractione picturae in eodem plano ad certum oculi situm; de pictura objecti in diversis superficiebus, cavis, convexis, regularibus, fortuitis, de radiorum dissipatione per po'ygona vitrea, peraquam, per specula cylindrica, per ipecierum visibilium recepnonem in cavis et convexis speculis etc.

CAPUT VII. De speciebus Matheseos ad Musicam spectantibus.

[note: Musica. ] MUsica est de magnitudine sonora. Quae ipsa etiam dividitur in Speculativam et Practicam.

Pars prima Capitis. De Musica Speculativa.

§. I. Otologia.

[note: Otologia. ] SPeculativa agit de subjecto, et objecto Auditus. Subjectum seu Organum Auditus est auris; ejusque considerationem tractat quae dicitur Otologia, agitque de structura sensorii Auditus, de malleo, incude, fibris, nervis, in aure existentibus; de processu et decustatione lineae sonorae; de varietate auris in diversis animantibus; de imitatione organi auditus, et instrumentis acusticis etc.

§. II. Glottologia.

[note: Glottologia. ] OBjectum Auditus est vox, aut sonus. Vocis formatio est a lingua; a qua denominatur, quae dicitur Glottologia, agens de structura linguae; et formatione vocis; de aspera arteria; deiis quae ad vocem formandam concurrunt; de rugitu, barritu, mugitu, sibilo, et vocibus animalium; de formatione litterarum mutatum, liquidarum, consonantium, vocalium, labialium, guttralium, etc.

§. III. Phonologia.

[note: Phonologia. ] DEsono ingenere tractar quae dicitur Phonologia, agens de directis sonorum generibus; de tonitru, crepitu, sclopo, clangore, pulsu, fragore, stridore, murmute, rinnitu etc. de soni propagatione, distantia, motu, distinctione, compositione etc.

§. IV. Phonocamptica.

[note: Phonocamptica. ] DEsono reflexo in specie tractat quae dicitur Phonocamptica, agens de reflexione soni, et vocis; de ejusgeometria, causis, fundamentis, et proprietatibus; de aedificiis, et instrumentis sonum reflectentibus etc.

§. V. Harmonica.

[note: Harmonica. ] FUit soni seu objecti Auditus simplex consideratio; sequitur ejusdem comparatio. Haec autem comparatio fit dupliciter, arithmetice, et geometrice. Qua arithmetice sonos et sonorum intervalla comparat, dicitur Harmonica, et agit de harmonicorum numerorum doctrina, deque ejus Definitionibus, Postulatis, Axiomatibus; de proportionum Additione, Subtractione, Multiplicatione, Divisione etc. de combinationibus, et earum numero, de Systematibus Musicis; de genere Chromatico, et Enharmonico; de Modis veteribus, et modernis etc.

§. VI. Tonometria.

[note: Tonometria. ] GEometrice soni inter se comparantur per Regulam Harmonicam; deque ea tractat quae dicitur Tonometria, agens de structura Regulae Harmonicae, sive de Monochordo, et ejus divisione geometrica, mechauica, algebraica, organica.

Pars secunda Capitis. De Musica Practica.

§. VII. Vocalis Musica.

[note: Musica vocalis. ] FUit Musicae tractatio Theorica; sequitur ejusdem pertractatio Practica. Est vero Musica PracticaVocalis, aut Instrumentalis. Vocalis Musicae structura proprio nomine dicitur Melopeia, quae agit de Musica plana, figurata, chorali; de consonantium di visione, et inventione: de tonis et eorum numero, ac qualirate; de Musica rithmica, poetica, pathetica, usuali; de bacillis, et plectris musicis, ac novo genere Musurgiae etc.

§. VIII. Instrumentalis Musica.

[note: Musica Instrumentalis. ] INstrumentalis Musica tripartito dividitur, in Enchordicam, Pneumaticam, et Crusticam. Enchordica est de Instrumentis quae nervis et chordis constant; ut Cithara, Testudine, Pandora, Plectro, Chely etc. Pneumatica est de Instrumentis quae flatu animantur, ut Tuba, Lituo, Cornu, Tibia, Utriculis, Fistula etc. Crustica est de iis quae pulsu feriuntur; ut Tympano, Sambuca, Crotalo, Cymbalo, Organe, Campanis etc.

ANALECTA MATHEMATICA, Sive THEORESES MECHANICAE NOVAE. De natura Machinarum fundamentalium; et novo motionum machinalium Principio Universali et Unico; Nec Non DE MOTUS ARTIFICIALIS PERPETUI POSSIBILITATE.

PROOEMIUM.

[note: [note: Theoreses Mechanicae novae. ] QUae in Magia Universali Naturae et Artis Par. 3. lib. 2. fuse disseruimus, et huius Operis libro XV. in brevem summam contraximus, de natura quinque Machinarum Fundamentalium, deque motionum omnium Machinalium Principio unico et universali; excitarunt [orig: excitârunt] non neminem ad rem totam penitius discutiendam, dictarumque motionum Principium verum et physicum (quale sine dubio esse debet, utpote effectus physicitam luculenti origo et causa) novum ac Universale rimandum. Is est Religiosus et Eruditus Societatis nostrae Iuvenis, Magister Adamus Adamandus Kochannski [orig: Kochánnski], Polonus, insignis Mathematicus, et ab ipsa Natura ad Mathematicas Disciplinas comprehendendas atque tractandas factus, earundemque in Collegio nostro et Universitate Moguntina ab aliquot iam annis simul Professor Ordinarius, simul nunc Sacrosanctae Theologiae Studiosus. Qui ut primum ex citato Magiae nostrae loco didicit, Auctores omnes qui de Mechanica hactenus scripsere [orig: scripsêre], admirandorum effectuum per Machinas praestari solitorum non tam universale Principium et Causam, quam dicti Principii et causae indicium tantum protulisse in medium; nec quodnam illud sit, adhuc constare; continuo

[note: Agedum igitur, mi Adame, perge quo coepisti cursu: erit id tibi, erit Societati nostrae, cui te DEI munere dedicasti, honorificum: erit proximo, cui bono ex Instituto vivis, fructuosum: erit DEO, cuius solius gloriam prae oculis in omnibus habere par est, gratum atque acceptum. Non te terreant labores, qui exanthlandi erunt plurimi, non difficultates, quae non paucae occurrent, frangant: non temporis angustia qua inter occupationes mille premeris [orig: premêris], non mille alia ex Instituto, ex Superiorum placito suscepta negotia, ab inchoato cursu retrahant. Operare strenue, nec talentum a DEO concreditum iners absconde, sed velut industrius ac indefessus negotiator ad usuram expone, ut crescat in mille milia, ac me non inanem fuisse augurem Mundo demonstret universo. Sequitur Dissertatio. ]

R. P. GASPARI SCHOTTO SOCIETATIS IESU, Philosophiae Mathematicae et Moralis in Universitate Herbipolitana Professori, M. Adamus Adamandus Kochannski [orig: Kochánnski] ex eadem Soc. filomaqh\s2 Perpetuae felicitatis in Centro DEO Peripheriam apprecatur.

[note: ] EXAGGERATVM illud R. V in proferendis latius Reip. Mathematicae finibus Studium, et indesinens opera, cumprimis vero in eruendis occultioribus Artium technasmatis incitatae curiositas, duo maximi in re Litteraria momenti praestitisse mihi videntur: Alterum, quodhactenus dispersas, et sine certalege in Scientiis Mathematicis admirandorum effectuum Praxes in ordinem mango Boni communis

emolumento redegerit, auxerîtve; Alterum, quod torpentes Juventutis animos et ingenia, veluti quadam Mathematicae varietatis et pulchritudinis objecta specie, ad ejus amorem, similêsque conatus amplectendos et promovendos excitârit. Prius illud Orbis literarius agnoscit: et praedicabit aetas secutura; posterius vel exemplo meo adstruere possum: et vero fatebor ingenue, me, cum prius errore non paucis familiari tenerer, Philosophiam Machinariam inter cetera Mathemata, tam subtilitatis, quam dignitatis gradu abjectum omnino tenêre locum; ex Magia demum R. V. perspexisse, ijs nec Majestatem deesse, quas magna illa Aristotelis et Archimedis ingenia suspexissent; nec subtilitate destitui, quibus sui quoque nodi, tot acutissimorum ingeniorum conatibus hauddum dissoluti minime defuissent. Et quidem inter alias Philosophiae hujus difficultates, duae illae potissimum mentem meam ad serevocârunt: quarum altera Principium Vniversale motionum Mechanicarum, sive prodigiosorum illorum effectuum, quos in augmento virium per machinas experimur, assignat: altera [gap: Greek word(s)] , sive motûs alicujus machinalis Perpetuam ab intrinseco successionem investigat. Quare cum R. V. mihi dederit occasionem utriusque hujus difficultatis exitum, si quis esset, investigandi, et fortassis etiam deprehendendi; quod R. V. negat hactenus ab ullo feliciter satis esse praestitum: existima vi me nemini aequiori jure conatus meos in utroque illo negotio ad finem perducendo susceptos aperire posse, quam R. V. quae utriusque hujus quaesiti statum, si quis alius, habet perspectissimum. Et spero me id beneficii a prolixa illa R. V. humanitate consecuturum, ut si quae for sit an ambages Ariadnaeum filum requirent, id exquisito suo judicio, et tot annorum decursu congestâ eruditione porrigere ne trectet. Permovit autem me ad praesentem hanc Apographen ad R. V. expediendam, illud inprimis, quod cum eorum jussu, penes quos mei regimen est, duos illos Quanti Quotique terminos a Mathesi positos, intra quos hactenus me continebam, nunc animo saltem praeter vehi jussus, simul Entis Interminati Oceanum, paulo diuturniori navigatione, quam non modo Indiarum, sed totius etiam Terraqueae molis circuitus exigat, emetiendum ingrediar; ad deponendas per id tempus eas tam dispares curas, alterius cuiuspiam literati iudicium, cui interim acquiescerem, mihi expetendum putaverim: ratus id factum sine evidentiae Mathematicae dedecore, etiam insuper ad prudentiae Laudem non mediocriter pertinere: quae nos, totumque genus humanum conditionis ejus admonet, quâ Naturae, injuriâne vel munere, dubites, in alienis perspicaciores, de iis ut severiorem, ita veriorem ut plurimum: de proprijs autem, Idiopathia mentis aciem nonnihil detorquente, benigniorem sententiam ferre consuevimus. Imprimis itaque verum ac Vniversale Mechanosophiae Principium, quod mihi eodem tempore, quo Magia R. V. Mechanica de eo late disserens venit in manus, simul in mentem incidit, hisce breviter proponam: Subjungam deinde Motus Perennis Artificialis (nam Physico-Mechanici vel omnino novas praxes, vel veterum novas applicationes percensere non vacat) e pluribus eas tantummodo Inventiones, quae annis abhinc duobus, ac etiam superiore, in id incumbenti singulariter, sese obtulerunt; non sine quodam animi sensu, quod Motvs In Defectibllis (si quae literariae huic superstitioni fides et authoritas) cum verbis et numeris, Rem quoque tanto studio quaesitam mihi simul attulisse videretur. Vbi R. V. nosse velim, quod quamvis a Mathematicis in Motu perpetuo Praxis et Problema desideretur, mihi tamen cui commoditas Praxeos, vel ad minimum ejus nervi, aeris illud modicum non suppetebant, Theorema solum, quod sublimius incedens, ab ejusmodi extrinsecis non dependet, inquirere propositum fuisse; idque non ex alijs quam Statices Principijs: Nam quod Anno hujus saeculi 57 summa diligentia

eviceram, ut Rotula quaedam exigua (in majori enim successus nullus) ex Magnetico artificio motu circulariferretur sedeotam debili, ut aegre ipsi Rotulae circumagendae sufficeret; vix commemoratione dignum censeo Porro plura utriusque hujus materiae [gap: Greek word(s)] quaedam apparaveram, quae hic adferre par esset, ut Refutationes operosiores aliarum Sententiarum de Machinarum Principio, Demonstrationibus tam Geometrico-Staticis, quam Physico-Empeiricis. Item deductionem Principii meiper singulas Machinas, in quarum unaquaque nova Phaenomena producerentur, ut in Vecte Novurn genus Vectis. In Trochlea novae fundamentales Demonstrationes. Vera Cunei activitas; Genesis et anatomia Cochleae et c. Praeter haec varia alia Automata ad continuandum artificialiter motum excogitata, sed calamo jam Divinioribus Theorematibus deline andis affixo, vix etiam ad haec perscribenda sufficiens fuit otium. Quare pluribus interim in aliud tempus dilatis, potiora saltem compendio, et epistolari brevitate complectar. Sit igitur

PARAGRAPHUS PRIMUS MECHANOSOPHICUS.

[note: ] Ostquam Magia Vniversalis Naturae et Artis libro 2. circa Principium Vniversale Augmenii virium per Machinas Quatuor sententias attulisset: videlicet Aristotelis, p. Honorati Fabry, P. Nicolai Zucchii, et P. Pauli Casati: facta diligenti in unamquamque earum inquisitione, Causam quidem prodigio sarum illarum per Machinas motionum refert in applicationem potentiarum ad machinam es modo dispositam, ut ex vi illius major sit proportio inter motus potentiarum, quam ipsas Potentias; Quaestionis tamen totius necdum exhaustam esse difficultatem, his verbis concludit: Cum effectus ex tali dispositione secutus, sit effectus Physicus, debe tutique habere Causam Physicam; talis autem non potest esse sola et nuda dispositio Potentiae et Ponderis, cum haec sola dispositio non sit activa Physice: sequitur ergo, ad talem dispositionem aliquid aliud, vel in potentia, vel in pondere, vel in utroque, ut ha beat rationem Causae Physicae, resultare. Quid vero hoc sit, non constat. Huic ego nudo cuneum vel aliud machinamentum admoturus, inprimis qua tuor illas memoratas sententias ad duas tantum revocabo, duabus tertiam ex Archimede deductam adjungam, his quartam, felicioribus, ut spero, auspicijs collectam succenturiabo. Singu las eâdem quodammodo rotundiore phrasi comprechendere placet.

Prima sententia.

[note: ] Aristoteles initio quaestionum Mechanicarum, Motus velocitati in Radio Circuli majoris vires eas adscribit: nihil enim all ud ibi agit, quam ut ostendat, extremum radii brevioris tardius ferri, ob rationem, quam breviter et nervos e his assignat: [gap: Greek word(s)] Nam quia, inquit, vicinius est extremum minoris (lineae) quiescenti, (centro) quam sit extremum maioris, quasi in conirarium retractum, ad medium tardius fertur ipsum minoris extremum. Quo impedimento libetum radit longioris Extremum, ait celerius, adeoque utrinque de Vecte subinfert, etiam [gap: Greek word(s)] facilius moveri.

P. Honoratus Fabry in eo positam esse ait industriam movendi quodcunque pondus a quacunque potentia, ut pondus illud minore et minore motu moveatur, ita ut sit major proportio motuum, quam ponderum; et quâ proportione, inquit, imminues motum, eadem majus pondus movebis: concluditque, id unicum esse Principium Physicomechanicum. Rationem ejus aslertionis non adfert, sed videtur eam velle, quam praemiserat Axiomate princo, videlicet: Abeadem potentia facilius producitur in eodem mobili minor motus quam maior, Cum igitur Aristoteles velocitatem in Movente, et P. Fabry tarditatem in Mobili requirit, modo tantum concipiendi differre videntur, objecto realiter eodem existente.

P. Nicolaus Zucchius Velocitatem Motus requirit, ad Replicationem potentiae minoris, ut ea aequivalere, vel praevalere possit majori. Nam iuxta illum, si duo pondera, maius ac minus, ita connectantur per machinam, ut si moveantur, maior sit proportio motuum quam ponderum reciproca; tunc pondus illud minus in motu suo velociori replicatum, pravaliturum ait ponderi se simpliciter maiori, minore tamen motu delato. Quare etiam haec opinio velocitatem motus adstruit; explicando

tamen, quomodo ea ad augmentum debilioris potentiae per machinam conducat; nimirum per aequivalentiam ex replicatione in motu velociori.

Secunda Sententia.

[note: ] Sl Major sit Propartio Impetuum quam Gravitatum, reciproca, potentia major super abitur a minore. Est P. Pauli Casati, quam ille proponit his verbis: Unicum ergo et generale Principium Motus Machinalis est major ratio intensionis Impetus in motore, ad intensionem Impetus cui resistit Mobile, quam sit ratio Gravitatis Mobilis, ad gravitatem vel potentiam Motoris. Hunc autem Impetum, in discursu a se instituto, dicit produci in ponderibus a sua insita gravitare, in eadem mansura, sive sursum sive deorsum pondera moveantur, dummodo par utrobique sit velocitas.

Tertia Sententia.

[note: ] Sl major sit ratio Distantiarum quam potentiarum permutata, potentia minor praevalebit majori. Hanc per modum Corollarii deduco ex Archimedis sexta et septima libri I AE queponderantium propositionibus; quibus demonstrat de Commensurabilibus, Incommensurabilibusve in Gravirate Magnitudinibus, eas ex distantiis ad Gravitates proportionalibus permutatim appensas aequeponderate. Igitur si non sit eadem inter eas ratio, non aequeponderabunt, sed motus incipiet ex ea parte, a qua est excessus in pondere vel distantia.

Quarta Sententia.

[note: ] SI Major sit ratio Activitatum quam potentiarum reciproca; Potentia minor plus poterit maiore. vel in Gravibus. Si major sit proportio Gravitationum quam Gravitatum permutata, Grave minus majori praeponderabit. Causa hujus Activitatis infra luculenter constabit ex Demonstratione propositionis, quam duplicem adferre placet: Unam quidem Physicam, ut sic difficultati initio propositae fiat satis: Alteram vero Mathematicam, petitam ex Novo quodam modo philosophandi, quem circa potentiarum inter se Agentium et Resistentium varias combinationes institui posse video. Istud paragraphus sequens exequetur: prius illud haec pauca pramitti postulat.

Suppono I. Quodvis Agens Naturale plus in passum magis, quam minus approximatum agere. Cum enim certos a Natura positos habeat terminos, quibus ipsius potentia, sive Activitaris Sphaera circumscribatur, agere debebit actione uniformiter difformi, hoc est, intensius in propinquiora, in remotiora remissius. Et hinc fieri posse, ut duo passa inaequalis contra aliquod Agens resistentiae, aequalia evandant, si eorum majus tanto plus minore patiatur ex approximatione ad agens, quantus est excessus ille, quo dicitur esse majus minore.

Suppono II. Duas potentias in invicem Activas, esse sibi mutuo Restirivas, et utrasque esse in duplici differentia: vel enim utraque rendit ad oppositos terminos Naturaliter, ut Gravitas et Levitas: vel tantum Artificialiter vi connexionis per Machinam, ut duo Gravia. Vel denique una earum subsistit in termino, subjectumque detinet in loco, altera versus cundem tendente, qualis est potentia resistens Corporum Discontinuationi, Rarefactioni, et Condensationi: atque has etiam esse activas constar, quod Motivis sint commensurabiles, et minores, majores, vel aequales.

Suppono III. Potentiam minorem, majori aequalem, vel potius aequivalenrem effici, si excessus quo haec illam superat, aliunde sit sublatus, vel impeditus: Cum enim potentiae ab eo quod hic et nunc ad invicem possunt, Denominationem aequalium vel inaequalium sortiantur; id virium, quod in aliqua potentia est impeditum pro eo tempore quo cum altera confertur, vel in eam agit resistirque, in censum activitatis potentiae venire non debet.

Suppono IV. Potentiam cui major vel aequalis opponitur et resistit, desinere esse in actu secundo potentiam, sive vires in aliud agendi omnes prorsus amittere. Nam cum potentia omnis ad actum dicat ordinem, si is sit impossibilis, quemadmodum majori vel aequali praevalere est impossibile; erit et potentia impossibilis, adeoque nulla. Et hinc est quod Gravia in Loco suo Connaturali non gravitent; id est, partes Gravium superiores, ab interioribus aequalis, vel paulo majoris gravitatis sustentatae, non agant in partes sibi subjectas; sed perinde se habeant, ac si gravitatis omnis essentexperres.

Suppono V. Duo vel plura Gravia, aliasque potentias Motrices homogeneas, id est, ad candem positionem motivas, nexu quodam continuo, solidoque copulata, in unum Grave coalescere; eaque ratione, ad Centrum Gravitatis commune, simultaneitatem motus, et reliqua quae illis seorsim competebant, adstringi: Quemadmodum enim ex uno Gravi discontinuato plura Gravium Individua prosiliunt; ita vicissim e pluribus in unum continuatis, unum idemque grave sibi restitui, Lex et Natura Homogeneorum postulat. At vero heterogeneae potentiae ob corpus illud continuum solidumque cui applicantur, saltem ad motum simul peragendum coguntur.

EX HIS UNIVERSALITER CONCLUDO, Fieri posse ut si duae potentiae inter seinaequales, et vel Homogencae, id est, ad candem quam cunque positionem motivae, ut duo Gravia vel Heterogeneae, et ad diversos terminos ex natura sua tendentes, Corpori cuidam Continuo solidoque applicentur, et ita disponantur, ut alia quaedam potentia Restriva (sive ea in loco quiescens obsistar, sive ex natura sua in contrarium niratur) eidem illi Continuo applicata, puncto suae applicationis, sustentationis, vel appensionis, vicinior sin illarum potentiarum validiori, ut Gravi majori, eaque resistentiae suae vicinitate, Activitatem in contrarium, vel Gravitationem, praedictae illius validioris potentiae, vel Gravis excedentis, tantum infringat et obtundat, ac in se exoneratam sustinean quantus est excessus, quo superat vires alterius potenciae imbecillioris, vel Gravis minoris, ab ea Resistentis activitate plus elongati; tunc inae quales illae potentiae Motivae, vel Gravia imparium momentorum, tandem ad invicem aequalia, vel magis proprieloquendo AEquepotentia vel aequevalentia, in Activitare, vel Gravitatione evadant: itat ut in mutua eorum ad invicem Lucta, neutrum alteri praevadeat et praeponderet, sed inter utrumque quies et consistentia consequatur circa punctum illud Resistentis applicati, et potentiam illam excedentem impedientis: quod punctum in potentiis quidem homogeneis, Centrum potentiae, ex duabus

ob communem nexum in unam coalescentis: in Gravibus vero eodem modo continuatis, Centrum Gravitatis Totius ex utroque compositi dicetur. Quod si ob justo majorem Resistentis et Sustentantis Potentiae vicinitatem, duarum illarum Motivarum Potentiarum major et excedens magis impediatur in sua Activitate: similiterque Grave majus in sua gravitatione plus detrimenti accipiat, quam fuerit differentia et excessus, quo ante illam applicationem, sive absolure, Major minorem superabat: tunc Potentia haec minor jam majoris evadet Activitatis quam illa altera, Excedens quidem, sed plus quam excedat impedita: adeoque cum omnis actio sit a proportione majoris inaequalitatis, Major haec justo plus in activitate sua passa, tanquam jam viribus et activitate Minoris illius inferior, ab ea superabitur, et movebitur: tantum in eo motu spatii conficiens, quantum illa ipsius ad Refistens et Sustentans, idemque Centrum Motus, vicinitas postulat.

Posterius hoc in ordine ad Praevalentiam, brevius sic propono. Si duabus Potentiis Motivis inaequalibus eidem Continuae Quantitati applicatis, earum Majoris in tertiam quandam Resistentem et Sustentantem Potentiam, major sit Activitas, Excessu, quo superare dicitur Minorem Potentiam mobilem: Residuum activitatis Potentiae Maioris, minus erit tota Minore Potentia. Argumenta Conclusionem Positive probantia cum praemissae hypotheses contineant, hic iterum repetenda non videntur. Id commodius in Universali et Particulari Machinarum expositione Paragr. 3. sequente, eâdem opera praestabitur. His accedent ea, quae alias Sententias improbabunt in sequentibus: Nunc ex dictis

Colligitur I. Potiorem ejus victoriae Laudem, quam per Machinas Porentia minor de majore reserre videtur, deberi Potentiae Sustinenti, (qualis est v. g. in vecte firmitas hypomochlii) qua in duarum illarum Mobilium majorem, sibique viciniorem resistendo agens, vel si is modus loquendi minus arridet, Majoris vim fere totam in se exertam sustinens, ac retundens, efficit eam non modo parem Minori, verum etiam eâ multo debiliorem, ut difficile non sit ad eam sortem redactam, nullo negotio ad extremum confici et superari.

Colligitur II. Cessare miraculum illud Aristotelis initio Quaestionum Mechanicatum, ex suo et Antiphonis Poetae sensu asserentis; Naturam ubique victricem, in Mechanicis ab Arte superari, quando nimirum, ut ipse explicat, [gap: Greek word(s)] a minoribus superantur majora, id est, ab exiguis momentis, ingentia pondera: Quandoquidem a minore Potentia vel pondere, non major, sed omnino minor subigatur: idque parum gloriosâ victoriâ, quod non monomachiâ decertet, sed eam ab alia potentia praecipuo suo robote truncatam, velut ex insidiis aggrediatur: Nam nec Hercules quidem contra duos. Hinc Philosopho Utrumque aeque, vel verius utrumque nihil mirum videri deberet; tam Grave majus a minori plus dissito, ac plus distans minus Grave, a Majore gravi, minus tamen a sustentante potentia elongato attolli: utrobique enim in elevando, aeque major agit potentia.

Colligitur III. In omni potentiarum ejusmodi inter se concertatione Tres Potentias reperiri. Earum primam esse Moventem et victricem: si forte non aequo Marte agatur utrinque: Secundara Motam et superatam, Tertiam Resistentem et sustinentem; idque vel utramque priorum Potentiarum, si utraque sit ejusdem speciei, et ad eandem positionem Motiva, qualia sunt duo Gravia vel Lovis: vel alterutram tantum, si sint diversae; ut Potentia Sursum et deorsum. Ubi praeterea advertendum: quod si duae Potentiae priores, movens et mota, sint homogeneae, sive ejusdem speciei, ut duo gravia: eas in machina simplici exfundamento vectis primi generis, ad sibi aequevalendum disponi debere: necnon potentiam sustentantem, ut hypomochlium, utrique sustinendae par esse oportere: si. vero sint heterogeneae, eas vectem secundi generis exposcere, in quo sustinens potentia, soli tantum Potentia Movendae, non jam par, sed pro diversa ejus distantia, etiam eâ minor esse debebit.

Colligitur IV. Quotiescunque duobus Gravibus pervectem, vel simile aliquod Continuum in unum Grave compositis: (qua compositio gravium pluribus modis institui potest, ut eorum infixione, appensione, et c.) grave minus, et a puncto sustenrationis magis distans, Gravi majori non praevalet: Punctum illud sustenrationis, esse simul Centrum Gravitatis, Totius ex utroque compositi. Quoties autem Grave remotius a puncto sustentante, viciniori, majorique Gravipraevalet, toties esse inter hypomochlium et praevalens: hinc cum partes inaequalium momentorum circa Punctum id consistant, mirum non esse, ex parte remotioris gravis, motûs et initium, et causam reperiri.

Colligitur V. Distantias in Machinis esse Conditionem tantum sine qua non: velocitatem autem et tarditatem motuum, esse quid Consequens ad ipsas Potentiarum praevalentias. Nam quia Major Potentia minori AEquivalens, vel etiam eâ infirmior reddi non potest, nisi potiorem virium suarum partem ex vicinitate Potentiae Sustentantis amittatsequitur Necessitate Geometricâ, Semidiametri, sive Distantiae minoris extremum, minus spatii peragrare debere, quam conficiat Radii longioris extremitas, intra idem Tempus, propter Continuitatem vel connexionem Radiorum, cum priore simul delata. Ut autem utraque praemoveatur, indiget Potentiâ ab ipsis Motibus independente: quam non alia quam nostra haec sententia suppeditat.

Positis veritaris hujus nostrae fundamentis, ad alias Sententias extemporali digressione factâ, quid in unaquaque difficultatis occurrat, vel quid difficultates in motionibus Mechanicis non satis expediat, breviter indicandum videtur.

IN PRIMAE Sententiae primo sensu ab Aristotele intento, Difficultas est, etiam sequentibus communis. I, Motus Potentiarum esse quid Consequens ad ipsas Potentias: Naturâ enimprius debet esse et intelligi Potentia movendo sufficiens, quam ipse motus ab ea causatus: motum igitur tanquam principium et causam, potentiis vim omnem illam conferre non posse. II. Proportiones motuum in velocitate et tarditate, proprietatem et exigentiam esse Geometricam, ex tali Radiorum inter se ratione necessario consequentem: Cum enim Peripheriae Circulorum sint inter se, ut Semidiametri a quibus describuntur, per ea quae demonstrat Pappus Alexandrinus Collectionum Mathem prop. II. lib. 5. Cumque motâ parte Continui Totum moveri necesse sit: sequitur radios inter se Continuos vel cunexos, eoodem tempore motus

suos in ratione Semi diametrorum persicere debere. Atque haec ipsa Circulorum Proprietas profligat institutam ab Aristotele, illam quasi Geometricam Demonstrationem, ad probandam velocitatem, et ea facilitatem motûs in Radij longioris extremo. Sienim sumit radios sibi continuos, ideoque simul mobiles; impossibilis est hypothesis Aristotelis, videlicet: In radijs inaequalibus, Motu secundum naturam (id est motu peripheriali, qui est secundûm Naturam Circulo, non Gravibus; prout aliqui contra mentem Aristotelis intelligunt, et cum postmodum non levis erroris frustra coarguunt) aequali existente, Motus praeter naturam, sive Circularibus illis Lationibus transversos, inaequales esse: erunt enim ij per citatam Propositionem ita proportionales, ut aequales esse sit impossibile. Sin assumat discontinuos et distinctos; tunc dato quod argumentum valeret in his, vim tamen nullam habebit in Continuis, qua les communiter adhibentur in machina: in utrisque enim longe dispar est conditio. III. Cur Circulo, propterea quod in sua genesi, et alijs a Geometra considerabilibus Proprietatibus sit admirabilis, etiam haec efficacia sit tribuenda? cum nec omnia, nec solus Circulus in mechanicis efficiat, ut attentius singula perpen denti patebit.

IN ejusdem Primae Sententiae altera opinione, Difficultas etiam ad reliquas ejusdem factionis pertinens, ea sese obijcit. I. Quod si ex motuum inter se ratione, vires et activitates Potentiarum concludere oporteat, tunc necesse est prius demonstretur, Motus Potentiarum esse ut Potnetias inter se: ut ex hoc velut antecedente, legitim e inferri possit; Ubicunque non eadem inter haec intercederet Proportio, ibi necessario extituram vim ad praevalendum ex ea parte, penes quam esset excessus, in ratione ipsius excessûs: Sed non ita esse motum ad motum, ut pondus ad pondus, Experientiâ quotidianâ discere difficile non est: Pondus enim Sphaericum duplo gravius altero ejusdem speciei et figurae, non duplo velocius movetur altero, ex eadem alticudine libere demisso; sed vix sensibiliter, nisi ex magna altitudine, aliquanto veolcius.

Si igitur gravia impedimentis soluta, Proportioni huic vel ipso sensu judice adversantur; congruum non est eam in Machinis, in quibus illa libertas pro ingenio et indole agendi, gravibus est adempta, Principium Universale statuere. II. Quam vis admittatur illud Axioma hujus sententiae, facilius in eodem Mobili produci motum minorem quam majorem ab eadem potentia; debebit nihilominus eodem modo simul ostendi, hanc facilitatem esse in ratione ipsius Motûs: quod nec demonstravit illa sententia, nec demon strandi, stando in solis gravibus, spes ulla superesse videtur, ob allatum Experimentum: in quo nec resi stentia medij, nec mobilium figura, acutiore vel obtusiore angulo secans aerem, illam tantam inaequalitatem excusare potest. Quod si hîc confugiatur ad Impetum, et illam motuum anomaliam, quâ Gravia descendunt ita, ut ab eis spatia aequalibus temporibus compositisconfecta, sint inter se ut Quadrata temporum etiam compositorum: quaero cur haec non sint utrobique in ratione ipsarum Potentiarum? Sed sufficiat illud evicisse, a motibus Potentiarum, ad ipsas Potentias, saltem in gravibus, argui legitime hon posse.

IN ejusdem Sententiae tertia explicatione, praeter ea quae superius sunt allata, haec inconvenientia occurrunt. I. Motus ille velocior, in quo Potentia minor replicari, et se majori aequevalere, vel etiam prae alere dicitur, est Effectus ejusdem Potentiae; Ergo Potentia non poterit replicari per illum: hinc enim sequeretur Potentiam esse Causam sui ipsius: Quod enim est causa causae, est etiam Causa Causati; esset autem Potentia Causa motûs, et motus idem ipse numero, vicissim causa replicationis Potentiae; Potentia igitur existens Causa ejus, a quo vicissim causatur, esset Causa sui ipsius. Accedit quod in hac replicatione Potentia naturâ prior effe et concipi non possit: ut enim evadat Potentia, sive potens, indiget motu; ut incipiat motum ad quem absolute est insufficiens, requirit replicationem: quae cum non fiat nisi in motu, indigebit ipso motu ad motum, quae sunt [gap: Greek word(s)] II. Nec ad rem collapsam in integrum restituendam facier, si opponatur, quod eodem modo fere, quodvis Grave deorsum libere cadere permissum, acquirat in motu Potentiam quandam, quam Gravitatem acquisitam, sive Impetum appellant: Nam Primo, quam vis Gravitas impetum in motu producat, est tamen ea per se sufficiens, tum ad incipiendum Motum, tum ad impetum in eo ipso motu producendum. Deinde Grave libere descendens, sicut movetur semper inaequali velocitate, idque in ratione numerorum imparium ab unitate numeratorum; ita plus quam probabiliter in eadem ratione producit impetum, in spatijs quae ab eo aequal bus temporibus decurruntur; in quod inclinat etiam doctissimus Author Almagesti Novi, P. Joan Bapt. Ricciolus. lib. 9. sect. 4. n. 23. At vero Potentia illa replicabilis, quovis instanti temporis, replicat se in ratione spatij minoris a majore potentia peragrandi, ad spatium majus a minore conficiendum: ita ut si v. g. spatium minus ad majus sit ut I. ad 1000 000 000, tunc tam primo, quam sequentibus instantibus, (liceat ita loqui facilitatis gratiâ) Potentia ut I. replicetur vicibus 1000 000 000, et sic de quacunque ratione assignabili. Quod quam sit Naturae magis incongruum, quam nobis inconceptibile, quis non videt? quandoquidem pondus liberum a resistentia cum Machinae, tum ponderis oppositi, in spatijs aequalibus temporibus pertransitis. acquirit tantummodo impetus, qui inter se habeant duplicatam rationem suorum temporum compositorum, vel quod idem est, sint in ratione numerorum pariter imparium ab unitate.

IN SECUNDAE Sententiae Philosophia Impetus ille plus negotijfacessit, quam ad augmentum virium per Machinam faciat. Per Impetum autem intelligo cum Philosophis vim illam superadditam, quam duae illae Qualitates Elementorum Motrices, Gravitas et Levitas, in libero Motu ad terminum suum colligunt. Eam alij Gravitatem acquisitam, alij vim deorsum translativam, vel Impulsum appellant. Si igitur haec Sententia eodem modo accipiat Impetum; Tunc I. Principium istud non esset Universale, nisi prius ostendatur, omnem Potentiam Motivam ejusmodi vim luperadditam in moru colligere: videtur enim solis illis Elementorum motricibus potentijs, ab Authore Naturae vis ea peculiariter attributa, ut ea tanto citius finem suum in quiescendo consequerentur. Et haec sola fortassis est causa, cur in Gravibus ac Levibus non sint proportionales Motus Potentijs: alio quin rationi convenientius esse videtur, ut Effectus

sint inter se, ut eorum Causae: quod hic Locum non habet. II. Quoniam Impetus non acquiritur nisi in Motu, redibit iterum quaestio de Causa illius motûs: haec impetus esse non potest, alias Impetus esset, antequam esset: quod nemo unquam concesserit. Si dicatur, ipsam Gravitatem esse non modo Principium Radicale, sed et Effectivum, tam Motûs, quam in eo producti Impetûs: Inferam: Ergo sicut Gravitas est per se sufliciens ad inchoandum Motum, sufficiens erit ad eundem Continuandum: adeoque Impetûs causa litate desertâ, potiori jure ad ipsam Gravitatem recurrendum erit. III. Cum inter hos solos Impetus, in quantum sibi sunt oppositi, utrinque certamen geri dicatur, probari prius debebat, Impetum Restitivum in Gravi sursum per Machinam moto, esse in eadem ratione, in qua est dum Grave naturaliter inclinat et tendit deorsum: hujus enim posterioris aliquam notitiam comparatam habemus experientiae beneficio, prius illud omni ex parte est in incerto.

TERTIA Sententia, quae ex Archimedis AEqueponderantium lib. 1. propositionibus sexta et septima, velut Corollarium quoddam deduci potest, hic adducitur copiae potius et varietatis causâ, quam quod ea, vel ab ipsomet Archimede, vel a quopiam alio; tanquam vera et immediata Causa augmenti virium per machinam fuerit intenta, vel assignata. Nil enim aliud Authori loco citato propositum fuit demonstrare, quam aequeponderationem eorum Gravium inaequalium: sive gravitate commensurabilium, sive incommensurabilium, quae ex distantiis ad ipsas gravitates proportionalibus, permutatim appenduntur. Ex effectibus non servatae hujus Proportionis, est illa majoris Gravitatis a minori elevatio, si haec ex distantia in majori proportione constituta, quam sint inter se Gravia, applicetur: Is effectus a posteriori nemini non satis est notus: perspecta et ea distantiarum ad eum praestandum requisita ratio: Sed quid ea, et quomodo conferat ad praevalendum, hactenus a nemine ex arcanis Naturae depromptum, et in medium prolatum esse vidimus, Id igitur a praesenti disquisitione, quantum per otium licuit, integre, et ita, ut in eo genere nil amplius desideretur, praestitum iri confido. Cum enim jam superius ex placitis Philosophiae Naturalis ostensum sit, Quodvis Agens plus in Passum magis, quam minus approximatum, agere: id adhuc unicum restat ut ostendatur, de potentiis: non quidem omnibus Universaliter, sed de Motivis, et in materia nostra, Hanc Actionem esse in ratione distantiarum. Quod sequentes Demonstrationes exequentur.

IN QUARTA Sententia nostra (ut etiam haec sine Censura sua non abeat) id animad vertendum occurrit I. Ab ea praestari id, quod in aliis desiderabatur: videlicet Effectus illius Physici in Potentiarum inter se Victoria, veram et germanam Causam Physicam assignari: eamque facilem, et absque multo apparatu: cum si quae fusius deducta sunt, in compendium redigantur, totius ejus structurae moles duobus his Axiomatibus innitatur: Omne agens agendo repati: et Agere actione uniformiter difformi. Quia tamen horum Principiorum utrumque nimis est indeterminatum, Mathesis Physicae succurret, et utrumque determinabit in sequentibus: prius quidem exhibendo proportionem inter Actiones et Passiones: posterius vero, ostendendo Actionem esse in ratione distantiarum. II. Sententia haec, protracta in lucem verâ et ad omnes Machinas Universali causâ, mirâ facilitate explicat reliqua Machinarum phaenomena: ut Distantias, Motus, Tempora, et Spatia; quae ipsam Causam veluti sponte consequuntur, III. Miracula gratis non multiplicat: et Naturam; quae ubique Victrix, perperam hactenus in Machinis, iisque tam rudibus, Arti succumbere credebatur, ab ea ignominia vindicat, ipsius aequitatem, in dando quod cujusque viribus est debitum, in integrum asserendo. Plura quae in eam rem dici possent, prudens omitto: ut et illud, quod plures aliae dentur adhuc viae, Machinarum vires explicandi, petitae ex ratione Temporum, Spatiorum, Altitudinum etc. quas quam vis ingenio siores fortasse sint, quia tamen Naturae Simplicitati minus congruae, studio praetereo: quippe cui vera potius quam dictuspeciosa in Philosophia placere solent.

PARAGRAPHUS SECUNDUS ISCHYOSTATICUS.

[note: ] ANTEQVAM Potentiarum Motricum mutuas inter se activitates et Resistentias universim expendam, breviter prius ReverentiaeVestrae rationem instituti mei, quam in eo negotio sequor, reddendam esse censeo. Inprimis ergoper Potentiam Motivam intelligo vim quandam Subjecti Quanti, cui vel inest a Natura, velextrinsecus advenit et applicatur, de Loco in Locum quemcunque infinitum per brenissimas lineas translativam, et tam Intensionis capacem, quam Extensionis; ita tamen ut ex partibus homogeneis constet, et figurâ quapiam Regulariterminetur. Restuivam Potentiam eam esse dico, quae Motivae cuipiam fertur in Contrartum, vel quae Motaein loco resistit per vim quandam Subiecti sui in loco retentivam, et data potentia motiva superabilem vel non. Illius autem resistentiae, qua Mobile tardius, velociori ad eundem terminum tendenti quodammodo resistit, motumque remoratur, tanquam minus facientis ad propositum nostrum, rationem hic peculiarem habendam non putavi. Deinde in iisdem Potentiis motivis abstraho ab Animatis, liberis, et impermanentibus. 2. ab iis quae ex natura sua motus Circularis vel alterius praeterquam rectilinei essent Principia. 3. Ab iis quae Subjectum ad certum terminum deferunt per lineas non aequidistantes: ut Gravitas ad universi Centrum, vel Levitas a Centro. 4. Ab omni vi in motu superaddita sive Impetu. Haec tamen abstractio non excludit praedictas Potentias, sed potius eas ad unum quendam Vniver salem Canonem revocat, attenta solum carum essentia quae est posse movere, non autem Accidentibus, quae in singulis possunt esse disparata. Denique e pluribus quae in hoc philosophandi

genere observavi, ea tantum proferre statueram, quae ad finem praefixum absolute erant requisita; quia tamen Combinatio nis nexus id e re fieri potuisse persuasit, illis adjeci aliquot Axiomata et Propositiones in specimen Analyseos, quam sapientes volunt esse tutissimam veritatis investigandae viam. Haec praemonenda erant, ne in eo apparatu nimiae su erfluitatis argui, vel contra illud Philosophorum: Principia pauca esse oportere; deliquisse viderer.

DEFINITIONES.

[note: ] 1. POtentia Locomotiva est Qualitas Quanti cui inest, vel applicatur, ab uno ad alterum locum translativa.

2. Potentia Restitiva est vis alteri in oppositum mobilis, vel motae in loco obsistens.

3. Centrum Potentiae est punctum quoddam in Potentia, circa quod partes aequevalentes adjacent.

4. AEquevalentes velaequepotentes Potentias dicimus, quae tantundem movent, vel sistunt.

5. Indistantes Potentiae sunt, quarum Centra in eadem linea Motûs vel resistentiae existunt.

6. Linea vero Motus vel Resistentiae, est recta a Centro potentiae libere motae, vel huic resistentis in oppositum, descripta.

POSTULATA.

3. Potentias in quamcunque positionem motivas ac restitivas, esse inter se commensurabiles, ac posse esse sibi mutuo aequales, vel se invicem in eadem ratione excedere.

4. Distantias potentiarum ab invicem sumi in recta quapiam Motibus potentiarum perpendiculari, interque lineas per centra potentiarum incedentes, quae motuum dicuntur, intercepta. Sint duae Potentiae, A et B deorsum motivae, eidem Quantitati, videlicetrectae AB, applicatae: Potentia C. Restitiva: Lineae motuum per Centra potentiarum ACB incedentes, sint ipsae DE, FG, HI: erunt his perpendiculares rectae KB, vel AN eae, in quibus distantiae potentiarum ab invicem sumi debeant.

5. Potentias alicui Quanto regulariter applicatas intelligi, si vel per earum Centra dicta quantitas adigatur, vel potentiae ex ijsdem Centris ad datam Quantitatem appendantur in directum.

AXIOMATA.

21. Si ab aequevalentibus auferantur aequevalentes, Residuae erunt aequepotentes.

22. Si non aequepotentibus adijciantur aequivalentes, Totae siunt non aeque valentes.

23. Sia uon aequivalentibus tollantur aequivalentes, remanent non aequipollentes.

26. Quae unius aequivalentium dupla est aut dimidia, illa est etiam aequivalentium alterius dupla aut dimidia.

27. Si aequivalentibus non aequivalentes adjiciantur, erit Totarum excessus, adjunctarum excessui aequivalens.

28. Si ab aequivalentibus non aequivalentes demantur, erit residuarum excessus, excessui ablatarum aequivalens.

29. Si non aequepotentibus aequivalentes adjungantur; erit Totarum excessus excessui earum quae a principio erant, aequivalens.

30. Si non aequepotentibus aequivalentes detrahantur, erit Residuarum excessus, excessui Totarum aequivalens.

31. Si Tota Totius est dupla, et ablata ablatae; erit et reliqua reliquae dupla.

36. Duae invicem aequivalentes, sunt Totius ex utraque Compositae, dimidiae etc.

Propositio I. Theorema I. Potentia Motiva aequaliter distans a Potentiis Resistentibus aequivalentibus, eidem Continuae Quantitati applicatis, aequaliter agit in utramque.

[note: Iconis N. Figura 2. 3. 4. et. 5. ] SIt linea CD, bifariam divisa in Epuncto; cui sit applicata Potentia A Motiva: ejusdem Lineae extremis, intelligantur applicatae Potentiae Restitivae F et G; sive illae in loco resistant, ut in Figura 2. sive Potentiae A contrarijs motibus sint mobiles, prout in Figuris 3. et 4. cernitur: sive demum carum una sit in loco restitiva, et altera in oppositum motiva, qualis est in Fig. 5. ipsa potentia G. Dico, Potentiam A. aequaliter acturam in utramque F et G Restitivam Potentiam. Cum enim Potentia A Motiva, aequaliter distet ab utraque F et G Restitiva Potentia; non est major ratio, cur vel in solam tantum F. Potentiam agat, non agendo in Poten tiam G; aut contra: vel plus agat in Potentiam F, quam Potentiam G; aut contra: Aget igitur aequaliter in utram que. Quod erat demonstrandum.

Corollarium I.

[note: ] POtentiarum Resistentium unam quamque dimidium pati et sustinere ejus, quod agit Motiva Potentia. Cum enim Passiva Potentia tantum patiatur, quantum agit Activa (Axiom. 15.) Medietates totius in quas aequaliter agit Activa, dimidium pati necesse est.

Corollarium II.

[note: ] SIPotentiarum Restitivarum utraque non major minorve sit medietate Potentioe Motivae, futuram inter Potenrias aequivalentiam et consistentiam. AEquivalens enim Motiva aequivalenti Restitivae ex utraque compositae non praevalebit; aut vicissim

Corollarium III.

[note: ] SI Potentiarum Restitivarum toti Motivae simul aequevalentium alterutri aliquid addatur vel subtrahatur momenti, non futuras amplius inter se consistenres et aequivalentes. Erit enim aggregatum Resistentium majus vel minus Totâ Motivâ Potentiâ.

Corollarium IV.

[note: ] POtentiarum Resistentium alteram cum altera sumptam, aequivalentem et sustinendo parem esse Toti motivae, aequaliter ab utraque Resistente distanti: ut enim neutra sola sustinet, ita neutra sustinendo sufficiens judicari debet.

Sed et haec Theoremata, vel ex praecedente deduci, vel haud multum absimili ratione demonstrari possunt.

Theorema II. Conversum.

[note: ] POtentia Motiva aequaliter agens in Potentias Resistentes eidem Continuae Quantitati applicatas, aequaliter distat ab utraque.

Theorema III.

[note: ] POtentia Restitiva aequaliter distans a Potentiis Moventibus eidem Continuae Quantitati applicatis, aequaliter agit in utramque.

Theorema IV. Conversum.

[note: ] POtentia Restitiva aequaliter agens in Potentias Motivas eidem Continuae Quantitati applicatas, aequaliter distat ab utraque.

Theorema V.

[note: ] POtentia Motiva aequaliter a duabus aequivalentibus Resistentibus Potentiis distans, aequaliter patitur ab utraque.

Theorema VI. Conversum.

[note: ] POtentia Motiva qua aqualiter a duabus Restitivis aequivalentibus patitur, aequaliter distat ab utraque.

Theorema VII.

[note: ] POtentia Restitiva aqualiter a duabus Motivis aquivalentibus Potentiis distans, aqualiter patitur ab utraque.

Theorema VIII. Conversum.

[note: ] POtentia Restitiva quae aqualiter a duabus Motivis aequivalentibus patitur, aqualiter distat ab utraque.

Theorema IX.

[note: ] DVae Potentiae Motivae aequivalentes aequaliter a Restitiva distantes, aequaliter in illam agunt.

Theorema X. Conversum.

[note: ] Dvae Potentiae Motivae aequivalentes aequaliter in Restitivam agentes, aequaliter ab illa distant.

Theorema XI.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequivalentes aequaliter a Motiva distantes, aequaliter in illam agunt.

Theorema XII. Conversum.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequivalentes aequaliter in Motivarn agentes, aequaliter ab illa distant.

Theorema XIII.

[note: ] DVae Potentiae Motivae aequaliter a Restitiva distantes, aequaliter ab ea patiantur.

Theorema XIV. Conversum.

[note: ] DVae Potentiae Motivae quae aequaliter a Restitiva patiuntur, aequaltier ab ea distant.

Theorema XV.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequaliter a Motiva distantes, aequaliter ab ea patiuntur.

Theorema XVI. Conversum.

[note: ] Dvae Potentiae Restitivae quae aequaliter a Motiva patiuntur, aequaliter ab ea distant.

Propositio II. Theor. XVII. Potentia Motiva inter duas Restitivas eidem Continuae Quantitati applicata, agit in utramque in ratione Distantiarum permutata.

[note: Iconis. N. Figura VI. ] Sit inprimis Linea C D, secta bifariam in puncto E; ex quo appendatur Potentia A deorsum Motiva. Extremis autem C et D, applicentur Potentiae quaevis Restitivae F et G. Deinde dividatur eodem modo altera distantiarum, ut ipsa C E bifariam in puncto H, in eoque appendatur altera Potentia Motiva, dupla ipsius Potentiae A, quae sit B. Tandem huic B. Motivae, respondeant suae Restitivae, juxia activitatis mensuram; altera quidem in puncto E, Potentia Kaequivalens ipsi A. altera vero eadem quae prius, ipsa videlicet Potentia F Restitiva. Dico verum esse id quod est initio propositum.

Ponatur enim Potentia A Motiva esse mom entorum 4: erit ex constructione, Potentia B. Motiva eorundem 8. Et quoniam Potentia A Motiva distat aequaliter ab utraque F et G. Restitiva; aget aequaliter in utramque earum, per Prop. primam. Igitur qualium est 4. Potentia Activa A, talium utraque Restitivarum seorsim, erit 2: adeo que per Coroll. 2, inter Motivam A. 4. et Restitivas F. 2. et G. 2. erit aequevalentia, consistentia; et quies. Quia vero similiter Potentia B 8 Motiva distat aequaliter a restitivis F. et K. Igitur per haec eadem, et aequaliter aget in utramque earum, et utraque sustinebit ac patietur activitatem 4 momentorum, qualium tota B. est 8. Quare cum ex Constr. utraque Restitivarum sit resistendo sufficiens; erit eodem modo inter Motivam B. et Restitivas F, K, consistentia et aequivalentia: adeoque ambae Potentiae Motivae B. et A. cum suis Restitivis F, K, G consistent et aequivalebunt.

Et quoniam Potentia F. in resistendo ipsi A 4. sustiner ipsius Activitatem momentorum 2. et iterum in resistendo alteri Potentiae B. 8. patitur Activitatem momentorum 4; Tota igitur Activitas ab eadem F sustentata erit momentorum 6. qualium ipsa B est 8. Quoniam vero Potentiae A et K in oppositum motivae sunt aequevalentes, et indistanter, sive Centraliter oppositae; igitur sibi mutuo non praevalebunt, nec quidquam admovendum vel sustentandum conferent. Si igitur utraque tanquam inutilis intelligatur esse ablata; quae relinquuntur F et G Restitivae cum Motiva B, erunt aequevalentes et consistentes ut prius: Si enim ab aequivalentibus auferantur aequivalentes (axiom. 21) Residuae sunt aequivalentes. Et quoniam Restitiva G ipsius A Motivae ostensa est esse subdupla; ipsius autem A, vel eiaequevalentes L, dupla est ipsa B Potentia: quare eadem B, ejusdem G erit omnino quadrupla: Sed ostensum est Restitivam Fesse momentorum 6, qualium B est 8; erit igitur Restitiva F ad Restitivam G. ut 6. ad 2. Quocirca cum quantum patiuntur Restitivae (axiom. 15.) tantundem agat activa; Potentia B. aget in Restitivam F. momemis 6: in Restitivam vero G. momentis 2.

Sed ut Activitas Potentiae B. 8. in Restitivam F; 6, ad activitatem in Restitivam G. 2. Ita Distantia HC. ad Distantiam H D. reciproce: Est enim tota H D totius H C tripla. Activitas igitur Potentiae B. in restitivas F et G. Distantijs HC. et HD. est permutatim Proportionalis; Eodem modo ostendetur, quod si, velad plures Distantiarum bisectiones, Potentiarumque augmenta dupla fiat progressus, vel datarum Distantiarum, Potentiarumque quaecunque pariter multiplices accipiantur, (15. 5. Elem. Euclid.) eas fore in eadem praedicta ratione. Potentia igitur Motiva in Restitivas hinc et inde eidem Continuo applicatas, agit in ratione Distantiarum reciproca. Quod ostendere oportuit.

Corollarium I.

[note: ] DUae Potentiae Motivae eidem Continuo applicatae in Potentiam restitivam inter utramque Moventium applicatam, agunt in ratione Distantiarum permutata; Intelligantur enim in Figura Propositionis Potentiae F. et G esse Motivae; Potentia vero A. Restitiva. Quoniam per Axioma 8. Potentia tantum agit, quantum patitur; ostensum est autem Potentias F et G pati in ratione distantiarum reciproca; si igitur eae prout sunt activae concipiantur, agent in eadem ratione.

Corollarium II.

[note: ] DUarum Potentiarum Motivarum aequevalentium, eidem continuo applicatarum regulariter, et ab intermedia Resistente sustentatarum, Resistenti vicinior plus patitur remotinre, in ratione defectus Distantiae a Potentia Resistente. Nam in figura Propositionis, si Restitivae Potentiae intelligantur esse Motivae, potentia F. 6 Porentiam G. 2. superat momentis 4; non secus ac Potentiae G. distantia D E. 3. distantiam Potentiae F, quae est H C. I. superat excessu 2. Est autem ut 2. ad 3. ita 4. ad 6.

Corollarium III.

[note: ] DUarum Potentiarum Motivarum eidem Continuo ad Lineas motuum perpendiculati regulariter applicatarum, ita ut ab intermedia Resistente Potentia sustententur; ea quae remotior est a Resistente, minus patitur viciniore, in ratione excessus distantiae a Resistente communi. Pater ex antecedente.

Corollarium IV.

[note: ] SI alterutti Potentiarum Motivarum distantijs permutatim proportionalium quidquam Momenti Vel Distantiae accedat; eam cui quid eorum adjectum fuerit, non amplius aequev alitutam, sed alterâ cui nihil accessit immobili persistente, Restitivae praevalituram, morumque inchoaturam: Urriusque enim accessione mutatur demonstrata Proportio.

Verum et haec Theoremata non difficulter ex praecedentibus intelligi, vel eodem pluribusque modis facile demonstrari possent.

Theorema XVIII.

[note: ] Potentia Motiva inaequaliter a duabus Restitivis aequivalentibus distans, in aequaliter agit in utramque.

Theorema XIX. Conv.

[note: ] POtentia Motiva inaequaliter agens in duas Restitivas aequivalentes, inaequaliter distat abutraque.

Theorema XX.

[note: ] POtentia Restitiva inaequaliter a duabus Motivis aequivalentibus distans, inaqualiter agit in utramque.

Theorema XXI. Conv.

[note: ] POtentia Restitiva inaequaliter agens in duas Motivas aequivalentes, inaequaliter distat ab utraque.

Theorema XXII.

[note: ] POtentia Motiva inaequaliter a duabus Restitivis aequevalentibus distans, inaequaliter patitur ab utraque.

Theorema XXIII. Conv.

[note: ] POtentia Motiva quae inaequaliter patitur a duabus Restitivis aequevalentibus, inaequaliter distat ab utraque.

Theorema XXIV.

[note: ] POtentia Restitiva inaequaliter a duabus Motivis aequivalentibus distans, inaequalirer patitur ab utraque.

Theorema XXV. Conv.

[note: ] POtentia Restitiva quae inaequaliter patitur a duabus Motivis aequevalentibus, inaequaliter distat ab utraque.

Theorema XXVI.

[note: ] DVae Potentiae Motivae aequivalentes inaequaliter a restitiva distantes, inaequaliter in illam agunt.

Theorema XXVII. Conv.

[note: ] DVae Potentiae Motiva aequivalentes quae inaequaliter in Restitivam agunt, inaequaliter ab ea distant.

Theorema XXVIII.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequivalentes inaequaliter a Motiva distantes, inaequaliter in illam agunt.

Theorema XXIX. Conv.

[note: ] DVae Potentia Restitiva aequivalentes quae inaequaliter in Motivam agunt, inaequaeliter ab eadistant.

Theorema XXX.

[note: ] DVae Potentiae Motivae aequivalentes inaequaliter a Restitiva distantes, inaequaliter ab ea patiuntur.

Theorema XXXI. Conv.

[note: ] DVae Potentia Motivae aequivalentes quae inaequaliter a Restitiva patiuntur, inaequaliter ab ea distant.

Theorema XXXII.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequivalentes, inaequaliter a Motiva distantes, inaequaliter ab eapatiuntur.

Theorema XXXIII. Conv.

[note: ] DVae Potentiae Restitivae aequivalentes, quae inaequaliter a Motiva patiuntur, inaequaliter ab ea distant.

Plures alias Propositiones et corollaria, brevitatis studium praeterire cogit: unicum tamen istud quod s. quitur Consectarium omittendum non videtur, um quod ex utraque priore Propositione absque alia demonstratione deducatur; tum quod ejus veritas jam inde ab Archimedis aetate tot saeculorum unanimi consensu firmata in dubium vocata fuerit ab uno et altero recentiorum Authorum qui Demonstrationis Archimedeae in Prop. 6. lib. 1. AEquep. robur inconcussum, composita quaedam in speciem veritatis inatantiâ, apud eos quos in suam pertraxere sententiam, non mediocriter infregerunt. Eam itaque veritatem praeterea quae in priore Propositione huc faciunt, una et alterâ perbrevi facilique Demonstratrone illustrare placet

Propositio III. Theorema XXXIV. Duae Potentiae inaequales, ex Distantiis sibi reciproce Proportionalibus aeque possunt.

[note: Iconis. N. Figura 7. ] SInt enim inprimis Distantiae C L et C D aequales, ex quibus in punctis L et D, appensae duae Potentiae sursum F et G aequales; aequevalebunt autem et consistent, utpote aequales ex aequalibus distantijs. Secetur deinde Distantia C L bifariam in E; intelligaturque Potentia A deorsum motiva, ipsius F sursum motivae dupla, appendi in puncto E. Potentiae enim F et A aequivalebunt et consistent, per ea quae Prop: I. sunt demonstrata. Sed quoniam aequevalentibus F et A Potentijs Potentia G. eidem continuo applicata obstat et impedit consistentiam, opponatur ei aequivalens Potentia B. in communi applicationis D puncto: sic enim utrinque erit et aequivalentia et quies. Siigitur jam ab aequivalentibus aequivalentia tollantur (axiom. 21.) nimirum ipsae F et G Potentiae, quae relinquuntur A et B aequivalentes esse necesse est. Sed ut EC. ad CD. ita A ad B permutatim: idemque de quibuscunque Homologorum vel ijsdem vel alijs aequemultiplicibus (4. 5. Elem. ) Constat igitur quod erat ostendendum.

Aliter.

[note: Iconis. N. Figura 8. ] EX distantijs CH, et DH aequalibus consistant et aequivaleant Potentiae F et G; quarum haec prioris erit subdupla, per ea quae Propos. I. sunt ostensa. Producatur deinde Distantia H C in E; ita ut CE, sit aequalis ipsi CH: tum ex puncto E suspendatur Potentia A aequalis ipsi F. Et quia duae Potentiae F et G inter se consistunt, accessione ipsius A non consistent amplius: Ut ergo perstent inaequivalentia, opponenda esset ipsi A aequalis in puncto H: sed cum jam adsit F; Potentiae A et F inter se consisterent, nisi Potentia G. fursum praevaleret: huic igitur opponatur aequepotens in oppositum Potentia B. fiet enim inter omnes Potentas consistentia et quies. Si igitur inter se consistentes F et G Potentiae intelligantur esse ablatae, Residuae A et B consistent inter se: quandoquidem ipsi A aufertur aequalis et opposita ipsa F: et alteri B ipsa G pariter aequivalens et opposita. Sed ut CE, ad CD; ita A. ad B. reciproce. Igitur Duae Potentiae etc.

Aliter Analytice. Ad mentem Archimedis in Gravibus Prop. 6. lib. 1. Aequepond.

[note: Iconis. N. Figura 9. ] SInt duae Magnitudines A et B; et ut Gravitas A Iconis N. ad B, ita Distantia D C. ad C E. Dico datas Figura 9. Magnitudines ex datis Distantijs permutatim appensas aequeponderare. Factum jam sit: aequeponderent ex puncto C: Eric igitur punctum C. Centrum Gravitatis Totius ex utraque A et B compositi. Intelligantur enim, magnitudines A et B in unam esse compositae per axem communem, sive lineam LK, non jam Centra magnitudinum A, B, ut prius, sed singulas earum partes connectentem; erit totius compositi vel ejus axis LK bifariam divisi (per Corol. 2. prop. 5 lib. I., aequep.) Centrum Gravitatis, idem omnino punctum C. Quocirca cum utrobique sit idem Graviratis Centrum, erit eadem aequeponderatio. Sed ut A ad B, ita E C, ad C D reciproce (quod Archimedes fusius d. - monstrat, nos aliter et brevius sic) Quia enin in Parallelogrammo LK Semiaxi CK, aequalis est ipsa ED, utpote semiaxibus E G. et G D Parallelogram morum A et B constans; ablatâ igitur communi CD relinquetur E C aequalis ipsi D K; hoc est G D semiaxi: adijciatur communis C G, erunt EG, et C D aequales. Sunt vero axes L G et G K Parallelogrammorum A et B, basibus eorundem (33. I. Elem.) aequales: Parallelogramma autem in eadem altitudine (I. 6) inter se sunt ut bases; Erunt igitur et semiaxes D C, et CE inter se (11. 5.) ut ipsa A et B Parallelogramma. Magnitudines igitur etc.

Aliter Synthetice. Relegendo priora vestigia.

[note: Iconis. N. Figura 10. ] COncipiatur in priore, vel in hac 10. Figura Magnitudinis Totius Centrum Gravitatis effe punctum C. ejus medium; ex quo suspensa, vi def. centri Gravit. persistet in quocunque situ, ut et in eo quem figura monstrac. Dum sic consistit in aequilibrio, intelligatur esse secta in duas partes insequales, ut A et B, quâ sectione peractâ, non servabunt amplius situm priorem, sed utraque per Post; 4 feretur deorsum. Ne ergo ferantur; suspendantur ambae ex proprijs Centris Gravic: E et D, in axis L K, integri et continui, punctis E et D. Quia enim utraque pendet ex suo Gravitatis Centro, retinebit utraque, per ejus defin: quem cumque situm darum; adeoque etiam priorem. Itaque cum partestotius perdurent in situ priore; etiam tota magnitudo ex partibus A et B, per axem E D in unam composita, situm priorem retinebit. Sed in priori dispositione Centium Gravicatis erat punctum C. Ergo quoniam et in hac posteriore dispositione situs partium ac totius est idem; erit et idem Gravitatis Centrum, C. Punctum. Sunt vero Magnitudines ad Distantias in reciproca Proportione, ut superius ostensum est; potentiae igitur inaequales ex distantijs reciproce Proportionalibus aequivalent. Quod erat demonstrandum.

Annotatio.

ANimadvertendum vero hîc occurrit. quod Author quidam recentior hujus saeculi nostri, videlicet 1649 contrae Archimedeam libri Primi AEqueponderantium Propositiones sextae et 7. Demonstrationem in aeciem producit id etiam milieare contra duas bas posteriores nostras: quare ut ab bis vis illa, si quae est, propulsetur non tamoccasie monet, quam exigitipsae Necessitas.

[note: Iconis N. Figur. 10. ] PRIMV M quod desiderari dicitur in Archimede, est quasi ille tanquam manifeste fa sum supponat in demonstrando: Quod si Magnitudo A. secetur in partes quatuor aequales, videlicet S, T, V, X, et altera B in duas Z, M; et hae omnessex per sua gravitatum centrain unam lineam rigidam L K disponantur; Aggregatumquae istud ex puncto C. tanquam communi gravitatis Centro suspendatur: Dum omnium sex ponderatio et aequiponderatio exercetur in C, ipsarum quatuor S, T, V, X, ponderationem et exquiponderationem exerceri pariter etiam in E; et ipsarum duarum Z, M, in D puncto.

Verum quidquid sit nunc de veritate hujushyotheseos; tum etiam quod ea non extet, ac ne quidem violenter elici posse videatur ex Archimedis discursu; Archimedem certi longe aliam tenussa viam, mediea, quae in Demonstrando adhibuisse, palam faciunt ea, quae suae Propositionis Determinatione habet, dum ait: [gap: Greek word(s)] A, B, [gap: Greek word(s)] C. Ostendendum est, (inquit) ex utraque A et B, magnitudinis compositae, Centrum Gravitatis sit pundtum C. Ex quibus ut ex toto Propositionis contextu, ejusque Conclusione perspicitur, ab Archimede nil aliud supponi, quam Duas pluresve Magnitudines communi quodam vinculo, ut linea rigidâ, in unam componi eoque modo Centrum commune Gravitatis acquirere; id quod et in primaprimi AEquep. Propositione, et in pluribus aliis videre est. Duplex ante instituitur ab Archimede in ea Proposition Magnitudinum in y nam compositio. Altera quâ entrum Gravitatis Magnitudinis A, velaggregati omnium ejus partium S, T, V, X, intelligitur conjungi eum Centro gravitatis alterius magnitudini B. Altera qua singulae magnitudinum partes singulis, communi axe rigido copulari concipiuntur. Et. quia in utraque Composittione idem est situs et distantia partium tum ab invicem, tun a Centro gravitatis Totius Compositi; abuna adalterum legitime poterat argui. Quod et fecit Archimedes, dum juxta leges Methodi Resolutoriae sibi familiaris, assumit Quasitum Propositionis quasi fam probatum et Concessum; nimirum Magnitudines primo modo Compositas ex puncto Caequiponderass: donec per ea quae id consequuntur, devener tin verum Concessum, idest, Corollarium 2. pr. 5 ejusdem Libri, ex quo deprehenditur etiam in altera Compositione. quae a priore nonnisi modi concipiendi differt, idem ipsum esse Centrum Gravitatis. Quod si quis difficultatem patiatur in concipiendo, quomodo linea sive axis rigidus L K per medium Magnitudinum A et B sibi quomodocunque cont guarum adactus, eas jam in solo centro gravitatum E et D contingat et firmet, non contingendo ullam aliam earum partem; jam utrumque simulpraestet: itemque sustentationem vel appensionem intra ipsam Magnitudinem in ax is puncto C fieri, et nihilominus paries vicinas fulcimento non incumbere; (nisi placeat et sustentationemo, et axem l k extraipsam magnitudinem ponere) id veritati Demonstrationis nilofficit: sicut nec illud, quod Interpretes Archimedis lineam L K Magnitudinis totius axe longierem adhibeant; majorem em enim aequalem, minoremque, dum modo sectam proportionaliter, adhiberiposse, constat ex doctrina Proportionum. e. AEqualem olim ab Archimede sumpiam fuisse. colligitur ex constructione Propositionis.

ALTERV M est, quod et in Archimedea. et in his nostris duabus postremis Demonstrationibus arguitur in hunc fere modum. Quando Tota Magnitudo ex puncto C tanquam Centro Gravitatis appenditur, magnitudinis A, portio X momentum suum sociat cum duabus Z, M. ut cum his simul contranitatur alijs tribus S, T, V, aequalibus, ad constituendum aequilibrium: at vero quando duae Z et M ex communi Gravitatis Centro D, et reliquae quatuor S, T, V, X, simul, ex suo gravit: Centro E appenduntur, tunc portio illa X non amplius pertinet ad duas illas Z et M, ac ultra C punctum, sed citra illud; adeoque quia in hac dispositione pars haec non perinde se habet ut prius, non poterit a prioris dispositionis aequilibrio argui ad posterius aequilibrium.

Sed quis non videt Frimo, Eam esse Proprietatem magnitudinis et gravitatis cujusvis in duo in aequaliasectae, ut una pars medietaie major, altera minor esse debeat? quocirea mirum est quod ex Archimedea Propositione veluti consectarium quoddam deduci debebat, id ad eam prorsus convellendam proferri, Secundo. Magnitudine tota ex Cen tro C. appensa, trium portionum S, T, V. Centrum gravitatis est in medio portionis T. et eodem modo aliarum trium X, Z, M Centrum gravit: est in medio portionis Z; suntque distantiae TC, et ZC aequales. Quando vero tribus S, T, V, quarta X. accedit, aggregari centrum est in E, et reliquarum dua rum ZM centrum in D. Sed in qua ratione tribus S, T, V, accessit gravitas portionis X, in ea iisdem decessit ex distantia CT, portio distantiae, videlicet ipsa T E: et pariter qua proportione duabus ZM detrasta est eadem X portio, eadem ad priorem distantiam CZ. accessit pars distantiae, ipsa Z D. Ex quibus permutata gravitatum ad Distantias ratio, ab Archimede intenta, manifestior evadit. Denique

quod attinet illud quod in priori Instantia falsum esse dicebatur; vide icet, Quod dum omnium sex ponderatio et aequeponderatio exercetur in C, quatuor ipsarum S, T, V, X, similiter exerceatur in E; et duarum Z M in D puncto; Si id intelligatur de Magnitudinibus A, B, earumque partibus Secundo modo compositis; certum est non exerceri alibi aequiponderationem quam in solo pancto C, quamvis aptitudinaltum aequeponderationum Centra sint infinita. prout et infinitae Magnitudinis totitus A B, ut est integra et continua, bisectiones sunt designabi es. Si autem intell gatur de aliqua bisectione peracta ut ea quae hic est in partes A et B falsum est illud fallere: sunt enim partes A et B ex suis gravitaium Centris in Axe Magnitudinis totitu a sectione immuni et integro appensae, quo modo constituunt Int grum juxta conditionem Primae compositionis; Et tam. Integrum ex suo Centro, quam partes ex suis Gravitatum Cen tris aequiponderationem exercent: Eadem enim est Condition partium quae Totius inhomogeneis. Plura, si vacuret, in eam rem dicenda occurrunt.

PARAGRAPHUS TERTIUS MECHANOGRAPHICUS.

AD Absolutam Vniversalis motionum Machinalium Principii pertractationem desiderari videbatur illud, ut quae in antecedentibus universim dicta sunt, singulis in specie Machinis ostendantur competere. Et quoniam ad Machinas in particulari descendo, non ingratum R. V. futurum existimo, si quae circa singulas innovanda vel antiquanda observavi, ea non quidem omnino demonstrative et in rigore Geometrico, quod nunc ad amussim ex ediendi, memoratae functionis meae remora mihi commoditatem omnem sustulit, sed Historice saltem et familiariter prcenseam. Mirari sane non infrequenter soleo, Philosophiam Machinariam in tanta defoecatarum mentium saeculi nostri ubertate, tam incultam, multisque partibus mancam et imperfectam esse potutisse. Non pauca in ea reperies quae methodum et compendium, multa quae instaurationem, plurima quae, incrementum et ultimam manum requirant. Quibus quidem incommodis magna parte succurrit Magia R. V. sed quam multi pertransibunt, et adhuc augebitur scientia? facilius est in ea initium quam finem reperire. Complexus ego quidem sum animo pulcherrimam quandam, et omnibus numeris absolutam ejus Philosophiae Ideam, quae Quanti Mobilis, omniumque Motuum localium Species et essentiam, Proprietates et effectus omnes pertractaret; cujus etiam pars non ultima essent motiones Mechanicae: sed eam cogitaionem nunc alio transferre coacto, nec lubet, nec decet, quod ajunt, [gap: Greek word(s)] , Si Superiannuant, vitaque tam diu supersit, non deest animus etiam in ea Pal[?]stra vires ingenii, si quae sunt, exercendi. Nunc ad id quod est propositum plenius exequendum, Hypotheses aliquot, huic et sequenti Paragrapho usui futuras, praemisisse juvabit.

HYPOTHESES.

[note: ] 1. MAchina est Quantitas continua et solida, Motibus et Consistentiis inter quascunque potentias Motivas et Restitivas eidem firmiter applicatas. efficiendis, vi debitae dispositionis deserviens.

2. Motus Mechanicus est unius potentiae quomodocunque Restitivae, ab altera Mobili contranitente, de loco in locum translatio.

3. Consistentia vel. AEquilibrium Machinale est duorum pluriumve Potentiarum per Machinam in invicem agentium in activitate aequalitas.

4. Centrum Motus est punctum quoddam in Machina, circa quod immobile, reliquae partes machinae circulariter feruntur.

5. Centrum Consistentiae est punctum in Machina, quod unam vel plures potentias machinae applicatas, nec circa illud delatas, sustentat.

6. Grave est Quantum ab intrinseca vi natum ferri ad Universi Centrum, ut in eo tanquam motus termino quiescat.

7. Centrum Gravitatis est uniuscujusque Quanti Gravis terminati Punctum illud in ipso Quanto ejusque Termino vel extra positum, circa quod undique partes aqualium momentorum in quocunque dato situ consistunt.

8. Gravitas Innata est intrinseca vis et principium quo Gravia moventur, vel apta sunt moveri ad Centrum Universi.

9. Gravitas Acquisita sive Impetus, est vis quaedam in motu Gravis ad terminum suum tendentis collecta, et Innatae gravitati superaddita.

10. Gravitatio est nisus et actualis tendentia Gravis moti vel moveri incipientis ad terminum.

11. Impulsus est vis quaedam ab Extrinseca potentiae Quanto ad quamcunque positionem impressa, successive desinens.

12. Recta ex Centro Universi per Centrum Gravitatis educta, Linea Motus, vel Directionis, vel Orthodroma dicatur.

13. Planum quodvis huic lineae perpendiculare. Horizon Gravium, vel Staticus appelletur.

14. Planum quodvis Horizonti Statico perpendiculariter insistens, Verticalis Staticus esto.

15. Termini duo Verticalis Statici, alter qui ab Universi Centro remotior, Zenith staticum; qui vicinior, Nadir vocetur.

16. Recta altitudinem ascensus descensusque Gravium super Horizontem Staticum mensurans, Perpendiculatis Motus, vel Linea Cinematpmetra vocitetur.

18. Locus, Spatium sive Medium Staticum est, quod nullam resistentiam Mobilibus motis imprimere concipitur. Physicum, quod aliquam, sed ubique aequaelem, ut aer ejusdem raritatis.

19. Tempus Staticum est Motus aliquis Mechanicus partibus notis et aequidiuturnis constans, et ad aliorum Motuum durationes cognoscendas; velut mensura assumptus, Ejusmodi sint vibrationes Perpendiculi, prout sensus judicat, Isochronae.

20 Superficies vel Linea Statica est, quae gravitate praedita esse concipitur: Geometrica, quae gravitatis expers: Utraque vel Rigida, vel Flexibilis.

22. Omne grave ferri ad Centrum Universi per lineas brevissimas, sive rectas Horizonti suo perpendiculares.

23. Lationem ad Centrum Universi dici motum deorsum; et Lationem a Centro Motum sursum.

24. Quodvis grave, sive sit humilius, sive sublimius appensum, aeteris paribus esse ejusdem gravitatis.

25. Perpendicula omnia ejusdem Machinae non enormiter magnae, in superficie globi Terraquei ad sensum parallela esse:

26. Cujusvis Machinae continuae solidaeque sive rigidae partes omnes moventur simul ad motum potentiae Motivae eidem firmiter applicatae.

PHAENOMENA MECHANICA. IN MACHINIS UNIVERSIM. Phaenomenon I.

[note: ] MOTUS omnis ille quo per Machinas una potentia superat alteram, Contrarietatem aliquam necessario involvit, et veluti jure quodam sibi deposcit; ita ut si ea desit, motus machinalis appellationem simul deponat. Vel enim ipsae potentiae Contrarios a Natura sibi praesixos petnnt Terminos; ut sunt potentiae illae Elementares sursum deorsumque motivae: et quaecunque aliae a principio animato vel inanimato procedentes illis substitui et aequivalere possunt. Vel si ejusdem sit utraque speciei, tunc aliquam Contrarietatem inter se, vi applicationis et machinae adipisci debebunt. Hanc autem in Machinis duarum Figurarum, Circuli et Trianguli praesidio consequuntur: Nam si duae Potentiae homogeneae, sive ad eandem positionem motivae, intra totam latitudinem oppositorum Semicirculorum, ejusdem Circuli a Linea Morus datarum potentiatum bifariam secti, cuicunque eorum peripheriae vel radii parti applicentur, oppositis aliquâ Contrarietate motibus deferentur; non enim est assignabile punctum in uno semicirculo quod ad eandem positionem moveatur cum aliquo punctorum alterius semicirculi. Si vero eaedem Potentiae, lineâ quadam, vel alia debita ratione connectantur, et in Triangulo ita disponantur, ut earum una uni et altera alteri Trianguli lateri aequidistanter deferatur, prout ipsa latera diversos situs respiciunt, ita et potentiae in diversumloirigentur et deferentur. Et hae duae Figurae sunt Fundamenta Machinarum omnium, quae vel primigeniam earum figurarum simplicitatem servant, vel ad eas originem suam referunt, ut in sequentibus clarius apparebit.

II. Hinc prima Motus Machinalis Divisio enascitur, videlicet motus primi et simplicissimi, in Circularem quem vi Circularis figurae, et Rectilineum quem vi Trianguli potentiae motrices nanciscuntur. Horum autem motuum uterque, in Secundos, vel Compositos reduci potest: sic Circularis in Rectilineum, per lineam quandam flexilem peripheriae Circuli circumpositam: Rectilineus vero vicissim in circularem et spiralem, per circumpositionem Trianguli Cylindro.

III. Omnes illi Motus, qui per Machinas potentiis superandis inservientes exhibentur, ad tria tandem capita revoceantur. Vel enim duae potentiae feruntur motu Simultaneo et in eandem positionem; ut fit in Vectie secundi generis, et iis machinis quae ex eo deducuntur, qualis est simplex Trochlea, pondus ex Centro suspensum attollens: Vel motu Opposito, ut in Vecte primi generis, et quae huc spectant machinis, in quibus potentia Movens fertur contrariâ Latione ei, quâ potentia Mobilis cietur. Vel deniquemotu Transverso, qualis est in Vecte Angulari et Cuneo, et quae huc referuntur machinis. Est quidem in Cuneo considerabilis quaedam Motus Reflexio, ut infra patebit, is tamen ad transversi totam illam Latitudinem, non incongrue referri poterit.

IV. Tam Motuum, quam Machinarum, Aliae sunt Interruptae et Finitae, ut Libra, Vectis, Cuneus: Aliae Continuae et quasi Perpetuae, quae ex priorum multiplicatione vel continuatione generantur. Sic ex Libra fiunt Rotae, Orbiculi superiores in Trochleis etc. Ex Vecte primi generis, Axis in Peritrochio etc. Ex Vecte secundi generis continuo, prodeunt Trochleae inferiores, sive Pondus ex centro sustollentes. Cuneus denique Cylindro circumpositus perpetuatur et continuatur, quo modo Cochleam constituit.

V. Denique praedictarum Machinarum, Aliae inter operandum firmiter subsistentes, Mobile dimovent, illud attrahendo vel repellendo. Aliae simul cum Mobili moventur Locumque mutant. Exempla utriusque generis infra proferentur. Et haec de Machinis simplicibus. earumque Motibus nunc obiter dicta sufficiant: Compositas enim Machinas, earumque motus, nimis operosum esset percensere.

Quoniam vero superius in Vniversali Motionum Mechanicarum Principio declaratu est, industriam totam Majores Resistentias, minoribus potentiis supenandi in eo versari; Ut si duae potentiae eidem continuae solidaeque Quantitati in Machinam assumptae firmiter applicentur, et in ea disponantur ita, ut potentia major et superanda ob minorem indistantiam a tertia quadam potentia sustentativa eidem Quantitati applicata plus ab ea impediatur in activitate sua, quam sit excessus ille, quo in comparatione ad minorem potentiam major esse dicitur; Tunc residuum illud virium, quod majori potentiae a Sustentantis activitate superfuit, necessario minus futurum tota minore potentia: ideirco restat nunc in singulis machinis specialiter ostendendum; Tres illas Potentias, Motivam, Restitivam, et Sustentantem, in unaquaque earum reperiri, Potentiamque Restitivam sive super andam plus pati, sustentari, et in activitati sua impediri, quam superans et motrix patiatur,

Exempla in Gravibus proponere placet; ad quae etiam Hypotheses praemissae potissimum sunt directae.

IN LIBRA.

PHaenomenon I. Libra est quadam Circuli Diameter, cujus partilus applicata duo vel plura Gravia aut Levia, vel us aequivalentes Potentiae Motiva et Restitivae pro varia inter se in momentis, et a Centro motus distantiarum permutata ratione, circa Centrum id vel consistunt, vel moventur. Placuit ab accurata Libiae Definitione exordiri, utpote quam Nova de Machinis Philosophia P. Nicolai Zucchii in aliis Mechanices Scriptoribus desideravit tam perfectam et absolutam, ut ea etiam Vectibus, qui ad Libram ab Authoribus plerumque revocari solent, accommodari posset: id quod primus Aristoteles initio qq. Mechanicarum facit dum ait: Igitur et quae circa Libram eveniunt, ad Circulum referuntur: et quae circa Vectem, ad libram, et alia ( [gap: Greek word(s)] ) omnia fere quae circa motiones mechanicas, ad Vectem. Quae postrema ab Aristotele dubitative prolata referenda videntur ad Cuneum, de quo infra. Sed et antecedentia revocantur in dubium minus recte. Nam

II. Quae Aristoteles asseruit de Reductione Vectis ad Libram; Author 1649. negat verum esse exactius loquendo omnem Vectem ad Libram referri: Quamvis enim Vectis primi generis sit instar Librae inaequa ium brachiorum. Vectis tamen secundi generis, qui fulcimentum habet in uno Extre mo, potentiam in altero, pondus in medto, prorsus est a Libradiversus. Haec ille.

Sed contra sic opponi potest. Partes revocantur ad Totum cujus sunt partes, est autem Vectis secundi generis pars Librae, quia medietas sive dimidium Librae, ad eam igitur revocabitur. Et ulterior ratio est. Cum enim Contrariorum ut ajunt Philosophi, eadem sit disciplina, etiam Centrobaryce sive Bareostarice erit Gravium et Levium: ergo pro variis horum combinationibus inter se, videlicet tam simul, quam permixtim, scientia illa debebit habere Instrumentum quoddam Universale sive regulam, ex qua objectorum illorum suorum momenta sive vires expendat et in infallibilem eorum cognitionem deveniat: Quod Libra in partes notas distribuca praestat accuratissime, pro applicatorum [note: Iconis N Fig 11. 12. 13. 14. ] exigentia, vel quo ad se Totam ut in Figura 11. vel quoad Partressuas, quemadmodum in Figuris 12, 13, et 14 videre est. Hinc quia in Staticis etiam Lineis sua Gravitas inesse concipitur, et in praxi lineis substituti Vectes de facto sunt graves, ideo ad exactam momentorum notitiam, Libra tiuncari non deberet altera parte, ut inde Vectis vulgaris et mutilus evadat, sed ad servandum aequilibrium integra relinqui, quemadmodum in Figuris proxime citatis apparer.

III. Duo Gravia per Quantitatem continuam solidamque, cui firmiter applicantur, in unum grave componi, Centrumque Gravitatis utrique commune acquirere, et nos superius asseruimus, et ea ipsa mens fuit Archimedis in AEqueponderantium primi propositionibus prima et sexta, in quibus tam aequalium, quam inaequalium gravium Librae, vel simili Quantitati applicatorum Centrum Gravitatis assignat. At vero idem Author 1649. contra haec opponere videtur dum sit ait: Notio Centri in aliquo genere necessario requirit, ut hoc in tali genere sit medium inter partes aquales, aliquando sibi correspondentes in ordine adipsum; sicut constat ex communi talis nominis acceptione iniis, in quibus talis denominatio primo adhibita est. Tale autem signabite in Vecte v. g. circa quod non sunt assignabiles gravitates parviales aequales, sed maxime inaequales, esto illarum sic constitutarum sequatur consistentia non potest dicicentrum gravitatis; cum oppositam rationem notione centri contineat, etc.

Verum si admittatur haec Hypothesis, sequitur nec Triangulorum, Trapeziorum, et aliarum plurium superficierum, in planis; nec Pyramidum, Conorum, et plurium irregularium Corporum in solidis, Centra Gravitatis esse posse; vel quod est inconvenientius, esse simuls et non esse.

[note: Iconis N. Figur. 15. ] Sit enim Triangulum quodvis; ut Isosceles ABC, cujus basis AC Horizonti statico aequidister, Dico in primis esse in eo Centrum Gravitatis in illa Hypothesi. Quoniam enim cujuscunque Trianguli Centrum gravitatis existit in linea recta, quae ab augulo ad dimidiam basim dacitur (pr. 3. lib. 1. aequep. Archim.) erit igitur in datoTriangulo Centrum gravitatis punctum D, in quo Lineae ad dimidias bases ductae sese intersecant (per 14. esusdem) Cum verô Linea directionis BDL totum Triangulum ABC dividat in duo aequalia ABL, BLC Triangula, quae utrinque circa punctum D consistunt, erit etiam in hac Hypothesi idem Punctum D Centrum Gravicatis.

[note: Iconis. N Fig. 16. ] Convertatur jam idem Triangulum circa Centrum gravitatis inventum, ita ut basis AC quae prius erat Horizonti parallela, fiat jam perpendicularis; retinebit enim Triangulum ABC vi defin. Centri gravit. quemcunque situm datum, adeoque etiam hunc posteriorem: Dico Centrum Gravitatis prius inventum, ipsum videlicet D punctum, in eadem illa Hypothesi non esse amplius Centrum Gravitatis. Dividatur enim latus utrumque aequalium AB et CB trifariam, et connect[?]ntur EF, GH, Deinde per punctum E ducatur Literi CB parallela EI; eodemque modo per F punctum, lateri AB aequidistans KF. Et quoniam per demonstrata a Feder. Commanaino ad 14. 11. aequep. Archim. nec non Stevini pr. 5. lib. 2. statices. Centrum gravitatis D, est in medio lineae EF basi aequedistantis, quae bina latera ita dividit, ut segmenta EB, FB ad angulum B, reliquis EA, FC, dupla sint: Est autem Triangulum GBH, duobus AEI, KFC triangulis (Coroll. 4. 6ti) simile et (per 4. 1.) aequale: sed et Trapezia IEKF, EGHF utpote aequalibus lateribus et angulis contenta sunt invicem aequalia. Quamobrem Triangulum EPF, Parallelogrammo IEC Ferit aequale, et triangulum AEI excessus erit quo Trapezium AEFC superat Triangulum EBF. Igitur punctum D cui in hoc situ adjacent inaequalia, quamvis demonstratum sit esse Centrum Gravitatis, ex illa Hypothesi non erit tale. Erit igitur et non erit quod absurdum ex ea consequens erat ostendendum.

Idem de Pyramide, Cono, judicium esto; quae nisi ita collocata intelligantur, ut basis Horizonti statico aequidister, partes hinc inde circa Centrum Gravitatis aequales non habebunt. Et dari etiam

possunt irregulares superfioies et Corpora, quae in nullo situ aequalitatem illam partium circa centrum nanciscantur. Non daretur ergo Centrum Gravitatis nisi in Circulo, Parallelogrammis; Item Sphaera, Parallelepipedis, Cylindro, et perpaucis, quod nemo dixerit. Quae autem de Trapezio AEFC, et Triangulo EFB partibus quidem totlus ABC sed quod concipiantur esse dissectum in EF, nec nisi per rectam MN in suis graviratum Centris cohaerentibus, dicta sunt; eadem de quibuscunque aliis gravibus illis substitutis, vim habent, quod nostrum erat intentum. Dicendum igitur est, Centrum Gravitatis debere esse medium inter partes aequales aequalitate non solum aequipondii, quod illa Hypothesis voluit; sed quod satis est, aequilibrii, quod partes gravium pro diversa ab eo Centro distantiae ratione constituunt.

IV. Vires Libra aequalium brachiorum nullas habet ex Principio nostro Universali: vel enim Extremis ejus applicantur duae potentiae homogeneae, sive in eandem positionem mobiles et aequales; tunc quia aequaliter distant a terria sustentante potentia, quae est centrum, axis, vel agina Librae, tantundem ab ea patietur haec, quantum illa, hinc neutra poterit alteri praevalere, sed sibi aequivalebunt et consistent: vel inaequales Potentiae applicantur aequalibus distantiis; et tunc major superabit minorem: quia quamvis utraque patiatur aequaliter a sustentante, majoris tamen excessus ille, neca minore nec a sustentante impeditur, eo quod desit oppositionis requisita conditio, quae saltem in parallelismo ad Horizontem staticum est nulla. Nihil itaque Libra confert ad augmentum et corroborationem Potentiae minori contra majorem.

V. Denique ex dictis hactenus non difficulter intelligi, vel etiam suis rationibus ostendi potest,

1. Libram esse nexum sive vinculum, quo duo vel plura gravia, vel similes homogeneae potentiae Motivae in unam componuntur, ut sic motus eodem tempore peragant, Centrumque commune Gravitatis acquitant.

2. Duorum Gravium aequalium et aequilibrium per Libram in unum compositorum Centrum Gravitatis esse in ipsa Libra; sive illa ita sint Librae applicara, ut eorum Centra Gravitatis in exttemitatibus Librae posita sint et firmiter affixa; ut in Figura 1. cernitur: sive ex iisdem suis Gravitatum Centris in extremis Librae dependeant elineis flexibilibus; sicut Figurae 6. 7. 8. 22. etc. monstrant. Gravia enim (per Hypoth. 24.) sive humilius (Fig. 22.) in D et E, sive sublimius in A et B. appendantur, sunt ejusdem Gravitatis.

3. Librain in cujus extremis aequalia Gravia e lineis flexibilibus cujusvis longitudinis sunt appensa, in quocunque dato situ persistere. Sic si (in Fig. 23.) ex Librae AB punctis extremis appendantur Gravia D et E aequalia; ponaturque Libra in situ HCI; in eo persistet ut prius: Sunt enim Distantiae CF et CG aequales; ex quibus applicata esse intelliguntur. Quod vero Librae usuales cum appensis lancibus plerumque redire soleant ad parallelismum; causa videtur esse ea, quod in iis agina aliquantum supra punctum C jugi AB medium fabricari soleat: videri posset et illa, quod totius compositi DACBE Centrum Gravitatis sit diversum a puncto C, ut v. g. ipsum K, quemadmodum et partes Peripheriarum aut Annulorum Centra Gravitatis interius habere demonstrantur. Sed quamvis id verum esset de tribus Lineis Staticis, sive Gravitate praeditis ipsis DA, AB, BE in Angulis A et B firmiter et solide compactis; si tamen eae ad quemcunque motum in punctis A et B sint flexibiles, quales in Libra esse necesse est, Centrum aliud ab ipso puncto C diversum actu non habent, sed earum gravitas, si quae est, ipsis D et E corporibus superaddi, et extremis Librae AB applicari intelligitur. Accedit quod punctum K in quocunque dato situ semper in linea Directionis CL reperiretur, eique partes aequales utrinque adjacerent.

4. Vectes nihil ailud esse quam Libram; cujus tamen partes non omnes, sed aliqaeu tantum, pro diversitate Potentiarum in momentis et motibus adhibeantur; adeoque Vectes dici posse Libras Potentiis inaequalium et dissimilium momentorum expendendis accommodatas; ex hypotbesi tamen Demonstrationis illius; Putentias aequilibratas esse ut Librae brachia permutatim: aliter igrota Potentiarum momenta sciri non potuissent.

5. Si darentur duae Potentiae momentis aequivalentes, in motuum tamen Terminis diversae, ita ut motus unius ad motum alterius sit perpendicularis, eas in Libra rectilinea nullâ ratione disponi posse ita ut in aequilibrio consistant: cum nec ex propria conditione, nec ex ratione Librae oppositionem motuum habere possint.

IN VECTE.

[note: ] PHaenomenon 1. Divisio Vectis in tria Genera apud Authores Mechanicos hactenus usitata, nititur hoc fundamento. Quod cum in omni Vecte tria reperiantur; Potentia, Grave, et Hypomochlium, haec autem tribus modis inter se disponi, combinari, et variari possint; ita ut in Prima dispositione interme diet Hypomochlium inter Grave et Potentiam (in Fig. 17.) In Secunda Grave inter Hypomochlium et Potentiam: (ut in Fig. 18.) In Tertia denique Potentia inter Grave et Hypomochlium (ut in Fig. 19.) Ex his tribus Intermediationis Combinationibus Tria Vectis genera, eodem ordine, quo hîc sunt adducta, constitui necesse esse, neque aliam Combinationem esse possibilem.

Verum si non tam Combinationis leges, quam Combinatorum Naturas et conditionem accuratius perpendere velimus, quamvis in ratione Intermediationis, ut ea abstrahit ab ordine et situ Extremorum; tres tantum sint diversae dispositiones:

Nam in adjuncto laterculo combinatorum Gravis, Hypomochlii, Potentiae, binae quaevis intermediationes coincidunt: Ordo tamen Combinatorum et Conditio in applicatione ad Distantias, quarum in Staticis potior ratio habenda est, cam Divisignem prorsus labefactat. Et quidem Primo Combinationis ipsius Principiis insistendo: Si enim in ea Dispositione in qua (Fig. 18.) Grave est vicinius Hypomochlio quam potentia, constituitur diversum genus Vectis abeo, quod nascitur ex Dispositione in qua (Fig. 19.) potentia est vicinior Hypomochlio quam Grave, etiam paritate rationis Combinatio illa et Dispositio, in qua (Fig. 10.) potentia est vicinior Hypomochlio

quam Grave, debebit constituere Quartum genus Vectis, et diversum a Primo, in quo (Fig. 17.) Grave est vicinius Hypomochlio quam Potentia Quare vel hanc quartam Dispositionem in Quartum genus Vectis assumpsisse debebant Mechanici: vel si haec non est admissa, eos pari jure nec Tertium illud Vectis genus statuere debuisse. Secundo. Sumatur alteruterVectium illorum, Secundi vel Tertii generis (in Fig. 18. vel 19.) Potentiaeque non praevaleant Gravibus, sed in aequivalentia consistant: Quaero, sic quiescens Vectis alteruter, ad quod genus Vectis pertinebit? nisi enim duorum sic in aequilibrio consistentium alterutrum alteri praevaleat, et hoc modo denominationem Potentiae accipiat, non erit major ratio cur hujus potius quam illius generis esse censeatur: quandoquidem ex duobus illis Mobilibus alterutri Vectium applicatis, quorum unum sursum, aliud deorsum tendit ab intrinseco, tam hoc quam illud, sub ratione Potentiae concipi potest. Non poterit ergô Vectis Secundus a Tertio, dum in aequilibrio consistunt, sed tantum quando moventur, inter se distingui, quod videtur esse inconveniens, Tertio Vectem Angulosum ABC, qualem Figura 21. refert, diversum genus Vectis a Primo non constituere volunt Mechanici; ajunt enim angulum B habere rationem Hypomochlii; partes BA, et BC esse minorem majoremque distantias in Vecte Primi generis: adeoque vectem hunc Angulosum, non variare modum operandi per Vectem. Sed contra: Quando in Vecte Anguloso Distantia minor AB cum majore BC facit angulum rectum ABC. non est major ratio, cur is revocetur potius ad primum, quam secundum Vectis genus: brachium enim minus AB. distat aequaliter et utrobique quadrante circuli, a rectis BD, et BE, quarum prior ad Primum, posterior ad Secundum genus Vectis constituendum, velut pars integrans refertur. Nec valet si dicatur, Hypomochlium Besse medium inter extrema A et C applicato enim Gravi in extremo A. sicut illud non tendet versus C sed secundum Lineam orthodromam AB: ita illud non circa Hypomochlium, sed supra, vel potius in ipso Hypomochlio applicatum esse censebitur; secus tamen de Potentia transversim mobili. Quocirca cum ratio illa distinguendorum Vectium ex intermediatione non videatur esse rationabilis et sufficiens, restat ut aliam priore magis congruam et universaliorem inquiramus,

II. Solidius itaque fundamentum distingui Vectes illud occurrit, quod ex Potentiae Motricis ad Restitricem respectu petitur; eoque duplici: quoad Vires et Motus earum interse ita ut horum differentiae, constituant differentiasVectium: Id autem eo convenientius est, quod sicut Libra ad consitentias; ita vectis ad motus efficiendos ordinatus esse videatur: ut non immerito a Latinis Vectis a vehendo, et a Graecis: [gap: Greek word(s)] et [gap: Greek word(s)] , quasi Motor, aut instrumentum movendo [gap: Greek word(s)] et [gap: Greek word(s)] , Movere, dicatur. Haec et itaque vectis divisio ex utroque illo capite, et imprimis ex ratione Virium sive momentorum Potentiae, conficitur hoc modo. Quia enim Vectis, et alia similis machina motibus inserviens, communiter assumitur ad lucrum aliquod obtinendum in augmento et corroboratione Potentiae debilioris motivae contra fortiorem Restitivam quae superari debet: idcirco Vectes illi quorum ope id habetur, quales suntii quos Primi et Secundi generis (in Fig. 17. et 18) communiter vocant, merito duo vera et genuina Vectis genera constituent: Vectes autem illi, in quibus Potentia Motiva dispendum potius facit, quam emolumentum facilitaris; upote quae fortior esse debet Resistenti, ad prioresillos revocabuntur: adeoque vectis in Fig. 20. ad vectem Fig. 17. et vectis Fig. 19. ad vectem 18. pertinent, sicut duo illi priores, Vectes primi generis; et duo posteriores, Vectes Secundi generis appellentur hoc tamen discrimine in unoquoque genere, ut [?]nus Vectis Utilis aut Validus, alter Inutilis aut Inv[?]lidus, aliâque simili denominatione dicatur. Et hac ex primo distinguendorum Vectium capite. Secundo exratione Motuum, quos applicatae vectibus, aut applicabiles potentiae peragunt, Vectium dist inctio habetur ejusmodi. Quoniam ut superius in observationibus machinarum in universum, dictum est. Motus omnis Mechanicus duarum potentiarum eidem Machinae applicabilium est vel Oppositus, vel simultaneus et concordans, vel Transversus, idcirco duo priores Motus, duo genera Vectis prius asserta, et concernunt, et stabiliunt: Motus enim Oppositus inter potentiam Motivam et Restitivam, primum genus Vectis Utilis et Inutilis efficit: Motus autem Simultaneus, sive in eandem positionem Directus, constituer Secundum genus Vectis Utilis et inutilis: Transversus denique Motus requiret etiam Tertium genus, quod non potest esse aliud quam Vectis Angulosus, eodem modo duplex, Utilis et inutilis, prout in eo motrix potentia breviori vel longiori brachio applicatur. Hujus autem Divisionis [gap: Greek word(s)] et necessitas ut clarius elucescat

Suppono ad perfectionem uniuscujusque Scientiae pertinere ut ea sit Universalis, omniumque Generum supremorum, quae intra latitudinem ipsius Objecti continentur, cognitionem habeat. Cum itaque Statice, prout ego eam latius extendo; sive Mathesis quaedam Quanti terminati mobilis, qua talis, Contemplatrix, saltem non ut abstrahit a Sensibili materia ad intelligibilem, sive Idealem et prototypam in anima, sed prout coutrahitur ad Quantum physicum et in Universo mobile, habeat de facto Quanta sursum deorsumque moveri nota; ut sunt Gravia et Levia: dentur autem etiam transversim, id est sinistrorsum dextrorsumque mobilia, si non ab intrinseco, quod parum interest, nec etiam absolute loquendo implicat: saltem per accidens, ut in Aqua et Aere incitatis, itemque ijs quae ab extrinseco impelluntur, apparet: Idcirco Scientia illa debebit habere instrumenta movendis et librandis iis omnibus potentiis accommodata: nec non ea inter se distinguere, juxta distinctionem et combinationem inter se potentiarum in diversas positiones, ad minimum principales mobilium. Sint itaque quatuor principales Differentiae potentiarum, nempe Sursum, Deorsum, Dextrorsam, Sinistrorsumque motivarum: Sit itidem Circulus abce, eoque traductae duae Diam[?]ri orthogonales ac. et be. circa Centrum non nobiles, has autem intelligatur utcunque secare Circulus interior fhkm. Manifestum est, ad omnes possibiles quatuor illarum potentiarum combinationes, si potentiae binae quomodocunque sumantur: et ad motum vel consistentiam inter se efficiendam in partibus Diametrorum opponantur, tria haec Vectis genera sufficere. Velenim ambae potentiae sunt syndromae sive in eandem quamcunque positionem motivae,

et tunc requicent Vectem primi generis. Vel Antidromae et in oppositum tendentes; postulabunt Vectem Secundi generis. Vel demum Loxodromae siv oblique mobiles, et exigent Vectem Angulosun Tertii generis. Id ut clarius et brevius

explanet inductio, placet oculis subjicere Tabellam hanc, in qua quatuor notae majores G. L. D. S. totidem potentias ad principales situs motivas, Gravitatem, Levitatem, Dextroisum, Sinistrorsumque denotant; prout hae binae quomodocunque sumptae, in Vectibus per minusculas literas ex Figura 23. ciratis, inter se cum terrio hypomochlio n. disponi possunt. Sictam duo Gravia, quam duo Levia applicari possunt Vecti ank. vel cnf, idemque de reliquis potentiis et vectibus. Itaque 16. combinationes potentiarum, disponi poterunt in tribus Vectibus inutilibus sive invalidis: atque adeo tres illi Vectes ad 64. dispositiones quomodocunque diversas in unica Figura 23. possibiles, sufficiunt: quod pulcherrimum est Compendium.

Ut autem simul cum rebus, etiam verborum compendia fiant, et Naturae Vectium aliquo modo ipsâ voce depingantur, Primum genus Vectis videtur appellari posse vel simpliciter Antimochlus, Antimochlium, Anticineter, etc. vel cum adjecto: Vectis Antiperiphorus anticineticus etc. Vectis Secundi generis, Symmochlus etc. vel Vectis Symperiphorus etc. Tertii demum generis, Loxomochlus, etc. Vectisque Loxoperiphorus, aut aliis fortasse felicioribus nominibus. Quoniam vero Loxomochlus hic, sive vectis angulosus, si (quod praestat) duo priora genera conserventur in sua indivisibili simplicitate, magnam latitudinem habiturus est: utpote qui (in Fig. 21) integrum semicirculum DAE complectitur, poterit is ut Rectangulus est in primo suo conceptu, duas adhuc differentias admittere, et subdividi in obtusangulum FBC. et Acutangulum GBC, quos angulos, sicubi necessitas exigat esse magis accuratum in machinarum descriptionibus, etiam suis gradibus et minutis dimeitri licebit. Verum quia accuratior et universalis inferius dabitur omnium machinarum et Vectis ipsius Divisio, nunc ad alia in Vecte observatar ranseundum.

III. Machinarum alias esse Finitas et Interruptas, alias Perptuas sive Continuatas: Item, alias inter operandum firmiter subsistentes, alias progredientes, initio dictum est: id utrumque in Vecte breviter indicandum.

Primum quidem: Intelligatur (in Fig. 24) Circulus interior EFHI, esse Cylinder, Axis, vel Tympanum: Circulus exrerior ABCD, rota tympano circumposita: verbo, sit A xis in Peritrochio circa punctum E fixum mobilis, Si itaque ex linea FL flexili, et ad F, circa tympanum, si placet, infinities circum voluta, Grave Lappendatur: Deinde Tangenti CK. etiam flexili, et eodem modo infinitae potentia itidem deorsum motiva in Kapplicetur, et moveat ipsum Grave L, vel ab eo moveatur: erit Antimochlus FEC validus velin validus, Perpetuus, quoniam ei in quolibet instanti motûs, alii atque alii aequivalentes Antimochli continuo succedunt, et in locum ipsius FEC substituuntur. Si vero idem Pondus L, a potentia quadem M sursum mobili, lineaeque AM admota elevetur, vel e contra ei praevaleat: erit Symmochlus AFE validus, eodem modo perpetuus. Si denique potentiae cuidam transversim juxta Tangentem GN. ex G versus N sinistrorsum mobili, opponatur potentia deorsum mobilis secundum Tangentem CK, et â priore superetur, vel eam superet: erit Loxomochlus GEC pro ratione virium in potentiis, Utilis aut Inutilis, pariter ut priores Perpetuus. Erunt itaquetres isti Vectes perpetui, simulque Constantes et firmi circa Centrum in motu eorum immobile: Nam

Quod alterum erat, iidemVectes Perpetui simul et Inconstantes sive progressivi sic se habent. Sit idem Axis in perittochio (Fig. 25.) sic enim vocare placet interim dum suum nomen Vectis perpetui Inconstantis mereatur et accipiat; in cujus Centro e linea EQ suspensum Grave Q non secus ac in Trochleis fieri solet: circa tympanum FGHI. circumplicetur quoties placet Linea flexilis PH, cujus extremum in puncto P firmiter haereat: applicetur deinde Tangenti flexili KC versus C infinitae, potentia KD eorsum, quae ponderi Q ex distantia HE elevando sit sufficiens, vel etiam impar: Erit Antimochlus CHE validus vel Invalidus, Perpetuus et Inconstans, sive progrediens; quia is, vel alii ei succedentes, ad motum potentiarum Q et K, sursum vel deorsum promovetur. Si vero Tangenti MA circa petipheriam infinitae potentia in M sursum mobilis admoveatur; erit Symmochlus AEH pari ratione Perpetuus et Inconstans. Denique si Tangenti NB. vel OD. eodem modo potentia transversim mobilis applicetur; curetur autem ut Centrum E a recta DB. non dimoveatur; erit Loxomochlus BEH vel DEH Perpetuus Inconstans; ac praeterea peculiaris cujusdam rationis; imprimis quod pondus in angulo BEH attollat praeter naturam suam: deinde quod potentia transversim mobilis, ferri debeat duabus lationibus, vel verius unâ compositâ quae sit ad motus circulorum, ut Quadratum ipsius, ad eorundem Circulorum Quadrata etc. Plura de Vectibus perpetuis progredientibus infra de Trochlea dicenda supersunt, ubi Nova alia vectium Compositorum genera producentur.

IV. Circa Symmochlum sive Vectem secundi generis, Author ille 1649. communem aliorum Sententiam sic arguit illegitimae ratiocinationis. Quide Machinis scripserunt etc: de Secundo genere Vectis minus recte philosophati sunt: Dum ex eo quod sustentatio ponderis in intermediis appensi, partim a fulcimento, partim a virtute exerceatur, et utroque concurrente fiat consistentia et quies, intulerunt: Si quid addatur virtuti, posse mutari consistentiam, et pondus elevari. Rationem hanc assignant. Quantumvis enim fulcimentum in altero extremo, sustinens

Vectem hoc ipso serviat ad sustinendum id quod innititur Vecti, et sic partialiter cum virtute sustinente oppositum extremum Vectis concurrat ad impediendum descensum ponderis connexi cum Vecte; attamen ad elevandum operatur sola virtus, quae sola sursum nititur et praevalet, nullo modo sursum nitente fulcimento: cum tamen in impediendo motu ponderis. et facienda consistentia, non sola virtus in suo extremo consisteret, sed fulcimentum pariter in suo; Quare poterat inter virtutem et fulcimentum aliquomodo dividi consistentia, non potest sic inter utrumque dividi elevatio, quam sola virtus operatur, positâ sustentatione oppositi extremi vectis a fulcimento, tanquam merâ conditione. Si ergo pondere in media Vectis existente sufficiebat dimidium illius virtutis ad sustinendum quae vecte non concurrente requisita fuisset; quia fulcimentum secundum alterum dimidium vere impediebat descensum ponderis; quomodo quidquid addatur virtuti, sufficiet ad elevationem, quam sola sua elevatione debet perficere virtus? cum enim ista responderet ante ponderi ut dimidia, non potest per illud mulio minus, quod additur, fieri integra et excedens, nisi aliunde juvetur; quod ipsi non viderunt.

Haec quia subtiliter in veri speciem contexta, Principia Vectis prius a nobis posita, et infra etiam declaranda, directe oppugnant, non piguit in longum allegare, paucis efficaciter refutanda. Primum itaque Rectam esse illam Mechanicae Scriptotum, de Vecte secundi generis Illationem; erroneam Authoris instantiam, sicostendo.

Sit Vectis secundi generis (Fig. S.) CD, in cujus uno extremo C sit hypochlium F, in medio E, pondus A, in altero D. Potentia G. sursum nitens, ponderique A sustinendo sufficiens. Di[?] primo, Potentiam G subduplam esse ad Grave A. Cum enim Grave A dister aequaliter a punctis C et D, vi constructionis, sustentabitur aequaliter ab utroque: Non enim major est ratio, cur vel totum pondus huic potius, quam illi debeatur, vel plus uni quam alteri ponderis incumbat. Incumbet igitur aequaliter utrique, adeoque dimidium. Quocirca Potentia G pro sepondus A sustinere sufficiens, erit ipsius subdupla, sive dimidia.

Adjiciatur jam aliquid alterutri consistentium in aequilibrio, sive ponderi A; sive quod hîc ab Authore in judicium vocatur, ipsi Potentiae G: adjiciatur inquam aliquod exiguum momentum

Potentiae homogeneum: sitidv. g. 1/1000 id est parsuna, qualium tota G est 1000. Dico Secundo [?]um Scriptoribus illis Mechanicis, Pondus A, ab ipsa G. Potentia Ideo, quia pars altera Ponderis ab Hypomochlio sustentatur, elevatumiri. Quia enim ut ostensum est, et etiam concedit Author, Dimidium ponderis in sustinendo debetur Hypomochlio, idcirco sustinebit id semper hanc debitam sibi medietarem, sive Vectis in dato situ quiescere, sive a quantacunque vi in puncto Dapplicata sursum moveri intelligatur: ratio enim nulla adferri potest, cur Hypomochlium tunc partibus suis desit in sustinendo. Quamobrem cum medietas haec Hypomochlio respondens, et in illud exonerata, nullum negotium facessat ipsi Potentiae G, Potentia haec alteram medietatem suis viribus parem et debitam, non sustinebit modo, ut prius, verum etiam, cum ipsi facta sit accessio unius 1000. mae, et ideo majoris inaequalitatis nacta proportionem plus possit, elevabit. Non igitur, quod objicit et urget Author, Potentia G. integrae totius Ponderis A. gravitati praevalet, eo quod ejus medietas in Hypomochlium derivata sit, et ab eodem constanter sustineatur; sed alteram solummodo medietatem se concernentem, sive quod idem est, totam Quantitatem A, parte gravitatis alterâ viduatam, et jam suis viribus, quae sunt ut 1001. ad 1000. inferiorem, superat et attollit.

Et haec ad difficultatem ab Authore propositam, insistendo Principiis ipsius: ex nostris enim superius positis responderi potest, et quidem multo magis [gap: Greek word(s)] , quam prius illud ipsi visum fuerit: videlicet totius Ponderis A in Hypomechlium F, et Potentiam G agentis elevati onem sive motum sursum, deberi soli illi 1/1000 mae. Quia enim Potentia in aliud tanta est, quantum potest: Tantum autem potest, quantum non agit et patitur; idcirco potentia A. quae tota in Potentias F et G simul agit, et ab iisdem patitur, non est ad illam 1/1000 Potentia: Quare nec in illam agere aut viribus ipsius resistere poterit.

V. Vires vectis et efficacia in superandis Resistentiis, non est quod hîc iterum nimis operose demonstretur: Ostensum est enim Pronositione 2. Paragraphi superioris, Potentias agere et pati in ratione distantiarum reciproca a Tertia sustentante Potentia, quae in assertis Vectibus est Hypomochlium, vel aliud simile sustentationis aut appensionis Punctum. Quare cum citata Propositio utatur in demonstrado Symmochlio, sive Vecte secundi generis: par autem sit ratio et de Antimochlio; in quo praeterea Propositione 3. demonstratur aequivalentia Potentiarum ad Antimochli brachia sive distantias reciproce proportionalium, uterque iste Vectis operabitur juxta ea quae in Universali Machiuarum Principio sunt asserta. Denique nec Loxomochlus mutat quidquam praeter Terminos Potentiarum transversim tendentium; quibus si aequivalentes homodromae accipiantur, et in Antimochlo ex aequalibus vel proportionalibus distantiis disponantur, eandem aequivalentiam vel motum in hoc efficient, quem, priores in priori.

IN TROCHLEA Phaenomenon I.

TRochleae nomine intelligitur Orbiculus ille qui per Lineam flexibilem sive chordam, funiculumve, in ipsius peripheria receptam, et a Potentia Motiva pertractam, circa axem suum versatur in gyrum. Sunt autem ejusmodi Orbiculi

duplices: Alii qui circa axem constantem et immobilem moventur: Alii qui simul cum axe, circa quem volvuntur, locum mutant, et in aliquam positionis differentiam recta progrediuntur. Utrosque Scriptores Mechanici eodem Trochleae nomine insignire solent: sed si loquamur in eo rigore, in quo Trochlea velut Machinae species ad augmentum virium Potentiae assumi dicitur, nomen id aequiori jure debebitur orbiculis illis Inconstantibus et progressuris, utpote per quos potentia juvatur in agendo, non autem per illos qui circa axes fixos et constantes revolvuntur. Hoc tamen nun obstante etiam hi Trochleae Inutiles cum adjecto dici poterunt, eo quod cum aliis illis, a quibus figura non differunt, combinati, unam quasi Machinam integrare possunt, quam Trochleam Polyspastam communiter appellant, in qua ejusmodi Orbiculi ad motum Potentiae in aliam positionem transferendum adhibentur. Quod autem hae Constantes sed Inutiles Trochleae nihil conferant ad facilitandam operationem Potentiae, et fatentur omnes, et patet inde, quod eae nihil sint aliud, quam Libra brachiorum aequalium perpetua sive continua: at vero de Trochleis Inconstantibus et Utilibus contrarium docet experientia, qua constat per eas insigniter juvari Potentiam: de modo tamen quo id fiat, inter Authores non convenit, aliis ex fundamento Symmochli, sive Vectis secundi generis eas operari affirmantibus sine evidenti demonstratione: aliis e contra negantibus, cum instantiis quibusdam in contrarium adductis, quae; cum difficultatem aliquam prima fronte prae se ferre videantur, nostrum Principium Mechanicum Universale mirifice stabiliunt, ut infra constabit.

II. Trochleam itaque Utilem de qua est sermo, ad Symmochlum revocari negant P. Nicolaus Zucchius, et P. Paulus Casatus, prout ii citantur a Machia Mechanica lib. 2. Syntagm. 4. cap. 3. Eorum prior tres has instantias et rationes adi iciunt pro sua opinione facientes: et Primo quidem quaerit, Quae ratio Vectis secundi generis esse potest in iis (orbiculis II, III, IV, V, aut eorum Diametris) cum tantum moveatur extremus, Diametri rotulae in quo dicitur Vectis firmari, [note: Iconis. N. Fig. 27. et 28. ] quantum movetur oppositum extremum ejusdem, quod dicitur urgeri a virtute, et aequaliter semper mutentur bujusmodi Diametri signatae in rotulis, ut semper novae, Diametri horizonti aequidistantes in orbiculis bene suspensae trochleae sint signabiles?

2. Rursum si impediantur rotulae inferiores a convolutione, et sic ab eis amoveatur omnis suspicio vectis, deberet auferriomne adjumentum virtutis per trochleam: nihilominus si tam funis circumpositus rotulis, quam ipsae bene laevigentur, ut in frictione sit minus impedimentum, excurrente fune inter rotulas potentia trahente, magnum illi accrescit in trochleis ita constitutis adjumentum: Ergo illud rotulis etiam motis minus recte tribuitur communiter vecti in ipsis assignato, etc.

3. Interim aufer rotulas omnino, et appone annulos, inter quos excurrat funis, et istam opinionem falsitatis magis adhuc convinces. Haec ille. P. Casati instantia de navium lignis in ellipsin efformatis quibus rudentes intenduntur, cum duobus postremis coincidit: quae cum inferius in explicatione virium Trochleae solutionem suam commodius sint accepturae: prima illa in qua rei cardo vertitur, et ejus difficultas a nemine, quod sciam, est complanaa, tum primum expedietur, si demonstratum fuerit Trochleam Inconstantem ad secundum genus Vectis aliquando proprie et directe, aliquando saltem reductive pertinere: id autem ostendere conabimur hoc modo:

[note: Iconis. N. Fig. 26. ] Esto Trochlea Inconstans AMBQ, cujus Axis C punctum sit et linea flexilis sive chorda quaedam Trochleae circumposita KADMBEFH, cujus enim extremum firmatum in K, alteri in H applicata Porentia quaecunque sursum motiva ponderis G. ex Trochleae centro sive axe C suspensi. Dico diametrum Trochleae, e cujus medio pondus appensum, a Potentia H sursum est mobile, esse vectem secundi generis Utilem: totam vero Trochleam in motu sursum continuato, vectem ejusdem generis Perpetuum et inconstantem. Assignetur enim Diameterter haec, ipsa ACB: et majoris evidentiae ac distinctionis gratia, oppnatur esse justo plus inclinata ad Horizontem Staticum DE: revera tamen insensibiliter inclinari, et punctum A, a puncto D, contactus funis ad Trochleam quam minimum distare concipi debet: progressus autem totius trochleae sursum cum pondere, sit ipsa CL altirudo, in cujus extremo L. Diameter ACB obtineat situm ALF. Horizonti Statico parallelum. Et quoniam in Triangulo AFB ducta est LC lateri FB parallela, auferet ea Triangulum ALC, toti AFB simile (Coroll. 4. 6. Elem.) Quare juxta Def. 1. 6. dicta Triangula habebunt et angulos singulis aequales, et latera circum aequales angulos proportionalia. Igitur (per 4. 6. Elem.) erit ut latus AG ad CL, ita AB ad BF. Quare et (per 16. 5.) permutando erit ut AC ad AB, ita CL ad BF: Est autem latus AB, lateris AC duplum: utpote Diameter Semidiametri: erit igitur et ipsum BF, ipsius CL lateris duplum. Cum autem quaevis assignabilia Diametri AB versus AF motae puncta eo tardius moveantur, quo sunt viciniora puncto A, ut simili discursu ostendi potest: Consequens est punctum A esse Centrum, circa quod Trochleae Diameter AB, tanquam jam semidiameter alterius motus effecta, Circulari Latione deferatur. Quo tempore igitur potentia extremo B Diametri AB applicata percurrit spatium BF, eodem pondus G in ipsius medio appensum conficiet spatium CL prioris subduplum: altero lineae AB, extremo ad A. velut Hypomochlio consistente. Quae omnia cum sint de natura et exigentia Vectis secundi generis: ad illud igitur haec Trochleae Diameter revocabitur.

Sed cum ad quodvis minimum motus sursum a Potentia H exerciti, tam puncta A, quam Vectes ipsi, sive Diametri trochleae, circa ea ut consistentia mobiles perpetuo mutentur, et novae novis continuo succedere concipi debeant: quod igitur

hîc de una earum demonstrata est, id de infinitis aliis sibi continuo succedentibus intelligendum erit, adeoque ob harum Diametrorum continuam successionem, tota Trochea Vectis erit secundi generis perpetuus; Quod erat ostendendum.

Adverti autem volo 1. Motum punctorum B et C. circa A Circularem intelligi posse, in quantum A punctum non retrocedit versus D: talem tamen non esse, eo quod punctum A. versus Tangentem DK. trans versim divertat. 2. Differentiam eam quae est inter BF. Tangentes et Sinus, in arcu minimo, qualem concipiendum esse monuimus, nullius esse momenti, nec id officere Demonstrationi factae de Diametro AB, cui in quovis instanti motûs, aliae atque aliae aequivalentes succedere incipiuntur.

Ex his colligitur velocius moveri unum Extremum Diametri in Trochlea quam alterum; cujus contrarium prima asserebat instantia.

III. Quoniam vero non in omni Trochlea Utili, Extremum illud Diametri, quod ad secundum genus vectis constituendum fixum esse necesse erat, manet immobile: in Trochleis enim Polypastis sive Compositis quales Figurae 27 et 28. repraesentant: Orbiculus quidem 11. Figurae 27. habet se juxta superius demonstrata; quod nimirum una extremitate Diametri quiescente, alterum ejusdem Extremum duplo celerius moveatur quam Pondus Orbiculi Centro vel axi appensum, ideoque sit propriae Vectis secundi generis: In altero tamen Orbiculo III. Figurae 28. extremum B Diametri ACB, triplo velocius movetur quam pondus, quod in C appensum esse intelligitur; et quantum pondus C sursum provehitur, videlicet ex C in L punctum, tantundem extremum alterum A. retrocedit, ut ex A in M. Praeterea in Orbiculo IV. Figurae 27. punctum B quadruplo celerius fertur quam pondus in C, et Extremum A. Diametri ejusdem ACB. duplo plus retrocedit quam C. progrediatur, videlicet ex A in M. Denique in Orbiculo V. Figurae 28. Punctum B. cum potentia quintuplo plus spatii conficit quam pondus in C: nec non extremum alterum A triplum ejus retrocedit, quo pondus C progreditur: Et idem consequenter in ulteriore Trochlearum serie videre esset. Quocirca cum Orbiculorum III. IV. V. longe diversa sit conditio ac in Orbiculo II, sit demonstrata, et nihil ominus in comperto est potentiam in illo Orbiculorum motu juvari; quoniam ratione id fieret, et in quo genere Vectis, hactenus a nemine proditum videre licuit, cum satisfactione. Id igitur attentius consideranti, obtulit se planissima quaedam Methodus ad explicandas ejusmodi motionum Vires et naturam, simul cum Novo Genere Vectis, quod in iis deprehendo. Et quia nimis prolixum esset singula in rigore Geometrico deducere; sufficit nunc si [gap: Greek word(s)] ac breviter totum id negotium, alias per se non obscurum, proponatur.

Theorema I. Lemma.

[note: Icon. N. Fig. 29. ] SI duobus Resistentibus (A et C.) aequalis vel inaequalis in oppositum Resistentiae, Luna quaepiam rigida sive vectis (AB.) major utriusque Resistentis ab in vicem distantia inter seratur: ejusque alterum extremum. (A.) Resistentium remotiori applicetur, viciniore vero inter extrema Lineae existente, alteri Lineae extremo Potentia quaedam Motiva (B.) admotae, utrique Resistentium contranitatur; Erit in hac linea punctum quoddam (N.) inter utrumque (A. et C.) Resistens positum ea ab utroque Resistente distantiarum ratione, in qua sunt ipsorum (A et C.) resistentiae ordinatim; et circa quod tanquam centrum reliquae partes ipsius Lineae circulariter deferantur, totaeque linea Novum genus Vectis ex primo et secundo in unum coalescens compositumque constituat. Quoniam Puncto N centro motus, et simul Hypomochlio maginario existente, Resistens A movebitur ex ratione Vectis primi generis ANB: Resistens vero C, ex ratione secundi generis NCB. Quae ratio Vectium, punctum N ut Hypomochlium aptitudinale habentium, potior est eâ, in qua duo Resistentia A et C hypomochliorum vices sibi mutuo praestare concipiuntur, quia si actualiter in puncto N axis firmetur, prior ratio manet hâc posteriore cessante.

Theorema II.

[note: Figur. 28. ] SI in Trochlea Vtili (III.) simul cum Orbiculo Inutili (P.) sumpta, Centro vel Capsulae alterum funis extremum alligetur (in Q.). et fune circa utrumque Orbiculum circumducto alteri ejus extremo Potentia Motiva applicetur (in R.) Extremum id Diametri (ACB) cui potentia Motrix applicata esse intelligitur (ipsum B.) triplo celerius movebitur (ex B in F.) quam Centrum vel axis Diametri cum appenso Pondere promoveatur (ex C in L.) Alterum vero extremum (A.) Diametri tantum retrocedet (ex A in M.) quantum Pondus (ex C in L.) progreditur. Eritque in hac Trochlea Vectis Compositi Centrum (Punctum N.) in semidiametro (AC.) a Potentia motiva romotiore medium; et Potentia in (B.) extremo Diametri Pondus sustinens, ipsius subtripla. Nam in Diametro ACB ut est Vectis Compositus; sive primi generis Vectem ANB attendas, Distantia major NB, tripla est minoris NA: sive secundi generis Vectem NCB, etiam Distantia NB tripla est distantiae NC. Sumptis itaque resistentiis in A et C punctis Vectis utriusque pro una Resistentia, prout et in utroque Vecte ad extremum B utrique commune, una et communis est Potentia motiva; Tota haec Potentia totam illam Resistentiam Ponderis sustinens erit ipsius subtripla, movens autem aliquanto major.

Theorema III.

[note: Fig. 27. ] SI in Trochlea (IV) simul cum toto aliorum Orbiculorum systemate sumpta Diametri extremo (B) Potentia motiva applicatur (in S.) Motus hujus (ex B in F.) ad motum Ponderis (ex C in L) erit Quadruplum; alterius autem extremi retrogressus (ex A in M) ad eundem motum Ponderis duplus. Eritque in hoc orbiculo Vectis Compositi centrum punctum quoddam (N.) Diametrum (AB.) ita dividens, (in N.) ut in Vecte primi generis (ANB:) portio minor (AN.) ad majorem (NB. (sit ut 2. ad 4. In vecte vero secundi generis (NCB.) portio minor (NC.) ad majorem (NB.) sit ut 1 ad 4. Quoniam igitur in vecte primi generis ANB, extremo A applicarum est non plus quam dimidium Ponderis e medio Diametri C puncto pendentis, id videlicet quod beneficio Trochleae II. tanquam vectis secundi generis, sentitur: idcirco: Quia in hoc vecte ANB distantia major NB, minoris NA est dupla, Potentia in B sustinebit dimidium dimidii 1/4. Eodem modo in vecte secundi generis NCB. minor distantia NC majoris NB est 1/4. Quare duae hae resistentiae A et C punctis Vectis utriusque sumantur pro una; et potentiae in B eas sustinentes etiam in unam componantur: Tota B prioris totius Resistentiae erit sub quadrupla: movens autem eam aliquantum excedens.

Theorema IV.

SI in Trochlea Vtili (V.) simul cum reliquis [note: Fig. 28. ] ejus Figurae orbiculis sumpta extremo Diametri B. Potentia Motiva applicetur, motum hujus (ex B in F) ad motum Ponderis (ex C in L) fore Quintuplum: regressum autem alterius extremi (A in M.) triplum. Futurumque in hac Trochlea Vectis Compositi Centrum quoddam punctum (N.) a quo Diameter hac (AB.) ita dividatur, ut in Vecte quidem primi generis (ANB.) Distantia major (NB.) ad minorem (NA.) sit ut 5. ad 3: In Vecte autem secundi generis (NCB.) Distantia major (NB.) ad minorem (NC) ut 5. ad 1. Quoniam vero in vecte primi generis ANB. Punctum A. ex distantia minore NA sustiner ponderis totius 1/3 idque beneficio Trochleae III. in qua ostensum est Potentiam applicatam esse ponderis subtriplam, et par est ratio de eadem circa Orbiculum Inutilem ad Trochleam V continuata: Idcireo Potentia in B ex majore distantia NB aequilibrium cum priore faciens, erit Ponderis totius 1/5: Est enim permutatim ut distantia AN. 3. ad Ponderis, 1/3: ita Distantia NB. 5, ad Ponderis 3/15, sive 1/5. Eodem modo in Vecte secundi generis NCB. potentia in B. ex Distantia NB 5. Ponderi in C. ex Distantia NC. 1. aequilibris et sufficiens, erit in ratione praedictarum Distantiarum reciproca, videlicet ut 1. ad 5. Tota igitur Potentia in B utrique illi sustinendae Resistentiae par, prout etiam duplicata intelligitur, erit Ponderis subquintupla: et movendo sufficiens, subquintupla major.

Hinc patet I. Quae de Trochleis his III. IV. V. ex fundamento Vectis Compositi operantibus dicta sunt, ad ulteriorem similium Trochlearum seriem extendi, ut constare potest inductione.

2. Primae illi Vectis simplicis in tria genera Divisioni, alteram Vectis Compositi accedere posse, qualem infra dabimus.

3. Remum de quo fuit Controversia inter Authores, eum his Primum, illis Secundum genus Vectis esse contendentibus, ut plurimum ob aquae retrogressum, et scalmi progressum ad hoc Compositum vectis genus pertinere.

4. Vectem hunc Compositum esse vel Interruptum ut ipsa sola Diameter, vel perpetuum, ut tota ejusmodi Trochlea. Plura quae de eo dici possent brevitatis studio nunc praetereunda.

IV. Divisio Trochleae apud Mechanicos hactenus usitata, in Monaspastum, Dispastum, Trispastum, etc. etc iterum horum singulorum in duo vel aliquando tria genera, minus videtur esse ordinata et expedita, ut eam apud Authores attentius consideranti patebit: Confusionis origo est, quod Utiles Trochleae cum Inutilibus sine delectu eodem numero comprehendatur. Ad evitandum itaque illud incommodum, aliam multo compendiosiorem, et imaginatione facilius comprehensibilem Trochleae divisionem proponere placet: quae praeterquam quod ad divisionem Vectis sit analoga, hoc insuper adfert emolumentum, quod eâdem voce tam Motus Potentiarum ad hanc vel illam positionis differentiam, quam earundem ad Resistens proportionem animo objiciat.

Primo itaque, sicut superius etiam memini, Trochlearum Alia est Inutilis: ea videlicet quae est Constans et in axe stabili volvitur. Alia Utilis, quae nimirum est Inconstans et progressiva: sive ea ex fundamento Vectis secundi generis, sive Compositi operetur.

Secundo Trochlea Utilis, exclusâ Inutili, Alia est Monospastus: alia Polyspastus, id est ex pluribus Trochleis Utilibus composita: quae Polyspasti quam vis plerumque etiam alios Inutiles Orbiculos habeant adjunctos, quia tamen ij non sunt [gap: Greek word(s)] , sive trahendi vim nullam conferunt, non injuria poterunt excludi ab eo censu, qui circa vere Polyspastos, et Utiles Trochleas Instituitur: cum praesertim posita harum sufficienti explicatione et structura, Inutiles illi non difficulter intelligi possunt, ut ex dicendis constabit.

Tertio Trochlea Utilis tam Monospasta quam Polyspasta est vel Parium, vel Imparium; intelligo momentorum, aut numerorum circa ea. Parium sunt illae in quibus augmentum ejusdem potentiae crescit vel decrescit in progressione numerorum parium a binario incipientium, et per differentiam binarii progredientium. Sic in Figura 27. Trochlaae II. IV. et quaecunque aliae sequentes VI. VIII. X. etc. quoad activitatem suam crescunt in dicta ratione. Imparium vero quae progrediuntur in numeris imparibus a ternario per differentiam binarii:

quales sunt in Figura 28. Trochleae III. V. et aliae quae illas sequerentur immediate VII. IX. XI. etc. Disparitatem hanc inter Trochleas inducit illud, quod hae imparium Trochleae habeant adnexam sibi funis extremitatem, quae etiam cum Trochleis sursum progreditur, et unius Potentiae Sustentantis obit officium, ideoque vim confert in elevando; quod non fit in Trochleis Parium, in quibus etiamsi funis extremitas in K firmata, affigeretur in Q puncto Capsulae quiescentis Inutilium Orbiculorum, Sustinens novum non accederet, sed alio tantum transferretur.

Quarto Trochleae Utiles Parium et Imparium aliae sunt Syspastae, videlicet eae, in quibus potentia moventur in eandem positionem cum Pondere. Aliae Antispastae, in quibus ad oppositum sitûs differentiam fertur potentia, quod per additionem Trochleae Inutilis et constantis contingit, ut in Figuris 27, et 28 per partes vel integre sumptis apparet. Aliae denique Loxospastae in quibus Pontentiae motus ad motum Ponderis est transversus. Applicatio porro potentiae transversa fieri potest vel circa ipsos Utiles Orbiculos, sed tunc cavendum erit ne Pondus a perpendiculari ascensu detorqueatur; vel circa Inutiles et constantes; ut: obique Sinistrorsum vel Dextrorsum. Haec quamvis non ita sint in usu, expedit tamen indicasse.

Universaliter itaque ex praemissis, Utiles Trochleae omnes distinguentur in hunc modum, quem in exemplo Monospasti et sequentium sic breviter ostendo. Monospastus Parium, qualis est in figura 27. sola Trochlea 11. habens potentiam in. H applicatam, dicetur Symmonospastus vel Monospastus Parium: cui si accedat Orbiculus Inutilis T. ut sic Potentia feratur contra Pondus ascendens; dicetur Antimonospastus Parium, qualis est in Fig 28. Trochlea III. simul cum Orbiculo P. ac potentia in R. applicata, dicetur Symmonospastus Imparium: quod si potentia R circa orbiculum T fune deorsum converso, tendat contra Pondus ascendens, erit eadem Trochlea III. Antimonospastos Imparium, etc. Sic in Tota Figura 27. Trochleae II. et IV. dicentur Syndispastos Parium, et in Figura 28. ut constructa cernitur, erit Syndispastos Imparium, et sic de caeteris quibuscunque Polyspastis.

Porro in quavis Trochlea Polyspasta omnium Orbiculorum Utilium simul et Inutilium non otiose adhibitotum, numerum inire difficile non erit, duabus his Regulis observatis.

1. Syspasti Parium Orbiculos Vtiles Inutilibus uno plures habent: Imparium Syspasti totidem hos, quot illos.

2. Antispasti Parium tot Vtiles habent, quot Inutiles Orbiculos: Antispasti Imparium Inutiles uno plures.

Dixi autem Inutiles Orbiculos otiosos esse non debere, sed circa axiculos suos convolvi vi applicationis: Nam in Fig. 27. posset extremum funis in K firmatum, Orbiculo cuidam infra ipsum T Orbiculum designabili circumplicari et postmodum ad idem punctum L. vel aliud infra redire; sed ille talis Orbiculus esset prorsus otiosus, et superfluus, ac proinde non meretur qui inter Orbiculos censeatur, multo minus qui genus constituat, quod tamen ei non negarunt Authores.

Denique Divisionis hujus nostrae beneficio, habita cujuscuaque Trochleae Polyspastae denominatione, in quamcunque positionem Potentia moveatur, vires habentur e vestigio, duobus his Canonibus observatis.

1. In Trochleis Vtilibus Parium, ut 1. ad duplum numeri trochlearum, ita Potentia ad Pondus.

2. In Trochleis Vtilibus Imparium, ut 1. ad duplum earum cum unitate, ita Potentia ad Pondus. Sic si quaeratur; In Tetraspasto Parium v. g. Potentia quantum possit? tunc duplum ipsius numeri 4. dat 8. Ponderis ad Potentiam ut 1. rationem: in Imparium vero Tetraspasto, erit ut 9. ad 1. ita Pondus ad Potentiam, et convertendo.

V. Vis et activitas Trochleae ex Principio nostro Mechanosophico Universali, mira facilitate et evidentia deducitur, eo quod in ea Potentiae Sustentantis in plures aequales dispertitae Proportio ad Pondus et Potentiam motricem in conspectum ponatur. Et quamvis de singulis Utilium Trochlearum speciebus et combinationibus difficile non esset ostendere earum activitatem ex fundamentis Symmochli sive Vectis secundi generis, vel Vectis Compositi; brevius tamen et universalius tam in Trochlea, quam instantiis illis a P. Nicolao Zucchio contra Trochleam productis supra num. 2. negotium id expediri posse videtur dicendo. Quod si in ejusmodi machinis major sit sustentatio Ponderis ab una vel pluribus potentiis Sustentativis exercita, quam sit excessus ille quo Pondus absolute superat Potentiam Motivam; tum hanc reliquae Pondus activitati praevalituram. Vel clarius in aequilibrio et consistentia. Si Potentia Motrix simul eum Sustentantibus Potentiis sumpta aequalis sit toti ponderi, fiet tum inter pondus et potentiam aequevalentia et quies. Data itaque quacunque Trochlea Polyspasta, sive in ea Orbiculi circa axes suos moveantur, sive non (abstrahendo interim a resistentia ex affrictu funiculorum) item, sive in locum Orbiculorum annuli subsistituantur, ut illa instantia voluit: sive ut in Figura 30. videre est, duobus cylindris AB, et CD. Laevibus funis circumducatur; cujus [note: Icon. N. Fig. 30. ] una extremitate in H firmata, alteri in F. Potentia deorsum Motiva applicetur, pondus G. ex inferiori Cylindro dependens sursum attractura, etc. Dato denique numero sustentationum ponderis a fune ad inferiores Trochleas, annulos, Cylindrum, etc. Si Potentia quaedam Motrix eam habeat rationem ad pondus, quam Unitas ad numerum sustentationum infra computatarum, Pondus illud annexum ejusmodi Machinae, a potentia alteri funis extremitati applicata in aequilibrio detentum iri; et si potentia Motrix aliquantum augeatur, etiam elevandum

esse. Nec in hac responsione facessit ullum negotium [note: Icon. N. Fig. 28. ] Symmonospastus Imperium (in Fig. 28. Trochlea III. cum Orbiculo P et potentia in R) ubi funis extremitas altera in Centro Trochleae sive axe C. firmata esse intelligitur, quae in Q est affixa: quasi in ea non esset aequalitas sustentationis in punctis ACB. Nam quia in Symmochlo sive Vecte fecundi generis AB. Pondus in medio ejus C. puncto appensum aequaliter distat ab extremis A et B, tantum aget in B, quantum in A: sed quantum A. patitur, tantum ope orbiculi P transfunditur et communicatur ipsi C. puncto sustentanti: Ergo cum sustentationes C. et B aequales sint eidem A, erunt et inter se aequales in ratione sustentandi.

IN CUNEO ET COCHLEA. Phaenomenon I.

ABstrusam prorsus, et ab obvio quo vis sensu longe dissitam esse Cunei Naturam, arguit diversitas sententiarum in quas abeunt Authores explicantes activitatem Cunei: et profecto nodus est in ipso Cuneo, cui divellendo nec dum a quoquam parem Cuneum admotum fuisse constabit ex dicendis, in quibus, quantum per impositam scribendi brevitatem licebit, difficultates in Cuneo occurrentes, si non penitus dissolvere, saltem breviter indicare conabor.

Prima itaque Sententia est Aristotelis in quaestionibus Mechanicis asserentis. Cunei latera in divillendis fissilibus gerere vicem duorum vectium primi generis sibi invicem oppositorum: quales essent in Fig. 31. Vectes AC. et BC, in eisque puncta D et E. falcimenta; Potentia movens ipsa incussio ad basim cunei facta; Pondus autem vel Resistens superandum in C Verrice Cunei.

Secunda Guidubaldi et aliorum complurium volentium eadem latera Cunei, esse potius Vectes secundi generis; ita ut C. vertex sit Hypomochlium utrique commune; Resistens in punctis D et E: potentia in A et B.

Tertia ejusdem Guidubaldi existimantis ideo quod Cuneus scindendo moveatur, posse id quod finditur intelligi super latera Cunei tanquam super plana ad Horizontem inclinata moveri: plana tamen illa nihil aliud esse quam Vectes secundigeneris ut prius.

Quarta complurium R R. qui exclusâ omni ratione Vectis in Cuneo, insistentes principio suo Motionum mechanicarum in velocitate motus posito, concludunt ideo per Cuneum exiguam potentiam divellere ingentia pondera, quia in ejus usu potentia velocius movetur quam partes ipsius sissiles, hinc et inde divulsae.

Verum inprimis contra tres priores sententias in Cunei lateribus Vectem cujuscunque generis agnoscentes haec faciunt 1. De ratione Vectis esse ut is circa punctum aliquod Circulari Latione feratur; Perfectâ quidem, quando illud punctum eandem semper ab ejusdem Vectis extremis servat distantiam, ut fit communiter: Imperfecta vero, quando ad quodvis instans motus mutatur, ut fieret, si Hypomochlii vicem gereret Cylinder vel Sphaera, vel quando ipsum Hypomochlium juxta diversum respectum esset simul Resistens superandum, quod in fissionibus contingere patebit infra. 2. Operatio Cunei perficitur, ut recte notat P. Zucchius, esto nec vertex, nec partes illi vicinae quidquam corporis findendi contingant. 3. Si vertex Cunei qui juxta primam sententiam Resistens dimovere: vel in secunda ac tertia, fulcimenti vice subire dicebatur, sit decurtatus, nihilominus scissionem fieri, si residuum Cunei adigatur intra fissile, prius aliquantum divulsum. 4. In ingressu Cunei mutatur semper et decrescit proportio Distantiarum in vectibus ab authoribus aliis assignatis, et tamen aeque facile, immo facilius circa finem scissionis Cuneus operatur.

Jam vero contra eam sententiam, quae in velocitate motus activitatem Cunei fundat, vim habent ea, quae in eam rem Paragr. 1. sunt dicta: Ut quod velocitas haec sit quid posterius ipsa activitare machinae a potentia praeexcitatae: ac proinde Motum simpliciter ut causam ejus efficaciae asseri non posse.

II. Verum antequam quid de Cuneo sentiendum sit proferamus, illud in Authoribus illarum sententiarum observare licet: eos communiter Cunei vires tanquam plane prodigiosas admirari: tum vero rationem Vectis in ipso Cuneo, ubi non est admittenda, assignare: velin operationibus aliquibus Cuneum consequentibus, ubi est manifestissima, non agnoscere. Nam cum vires maximas prodat Cuneus in divisionibus fissilium, ad quas perficiendas ut plurimum adhibetur. in ejusmodi fissionibus operationem illam, meo judicio non tanta admiratione dignam, ex fundamento Vectis secundi generis perfici, manifestius est quam ut prolixa demonstratione indigeat. Quia enim in Fig. 31. in fissili DEFG. Resistens a Cuneo superandum non sunt extrema D et E, sed ipsa continuitas corporis [note: Iconis. N. Fig. 31. ] in H. ubi fissura terminatur: quocirca latera interiora DH et EH ipsius fissurae, erunt Vectes, quorum extremis D et E, Cuneo mediante applicatur Potentia Impulsiva, v. g. malleus, cujus impulsum orthogonalem unum eundemque, Cuneus ad latera reflectit, et in utrumque D et E, extremum, quodam modo ex aequo partitur: Hypomochlium vero in hac operatione est fluens et mutabile. ejus enim vice funguntur partes ipsius corporis, ab iis quae in H. immediate findendae sunt, aliquantulum remotiores, ut sunt eae quae versus K spectant. Consonat experientia et assertum id probat, Imprimis in Corporibus quae in Longum fissilia non sunt dividendis, ut plumbo, lignis transversis, etc. Cuneum nihil prodigiosi efficere: quin potius ei Laterum divaricationem obesse, quae planum aliquod divisivum in ea corpora adactum non impediret. Deinde nemini non constat, aut experiri quotidie difficile est, quod crescente longitudine laterum interiorum fissurae, hoc est distantiis D H. et E H. facilior evadat separatio fissilis, manentibus caeteris paribus, et impulsu potentiae et ingressu Cunei: praesertim vero si fissile sit ejus naturae, ut latera DH, et EH, etjam in majori quavis longitudine non sint nimis flexibilia, et in arcum curventur, sed in totius fissionis progressu rigida, et quam proxime rectilinea perseverent.

III. Quoniam vero non in solis ejusmodi corporum fissionibus, sed in pressionibus, etiam et elevationibus non exigua vis Cunei per spicitur, si praesertim is in acutiorem angulum desinat, idcirco effectûs hujus principium et causa ut investigetur, observandum inprimis est Cuneum esse Triangulum, vel Quantiratem Linearem, planam, aut fosidam trilaterâ praeditam figurâ et ad excipiendam quocunque Latere vim Potentiae Motivae vel Restitivae, assumptam: deinde Triangulum ejusmodi Aliud esse Constans et fixum, ut si in Fig. 32. Trianguli ABC basis AC Horizonti Statico aequidistet et firmiter consistat, dum interim supra Latus AB. inclinatum, unum vel plura Gravia, ut ipsum D. a minore vel aequali Potentia E. juxta Latus BC, vel aliud decurrente et cum Gravi D. quoquomodo connexa elevetur aut in consistentia detineatur: vel si in Fig. 33. Triangulo ABC similiter consistente. Pondus D. a Potentia quadam juxta Lineam EF, vel aliam ei aequedistantem, in Latus AB directa et impingente sursum promoveatur. Aliud Triangulum est Inconstans, quale esse in Figura 33. si illud supra basim AC Horizonti statico aequidistantem a Potentia eidem aequidistanter mota in directum impelleretur contra Pondus D. quod Latus AB trianguli in puncto F contingeret, et praeterea a Linea quadam FE. circa punctum E convertibili detineretur: vel si in Figura 32. Triangulum ABC a Potentia eodem modo secundum directionem Lateris AC tendentem supra eandem basim AC promoveretur contra pondus D. elinea DF inpuncto F detentum. Ex his autem patet Potentias Motivam et Restitivam in Triangulo motas, esse quemadmodum et in Circulo dictum, vel Syndromas; ut si in Fig. 32. Grave D. a Potentia quadam juxta directionem lateris AB sursum contranitente extolleretur: vel Antidromas; ut dum in eadem 32. Fig. Grave D a Gravi E, juxta latus oppositum descendente evehitur in altum: vel Lyxodromas; quando in Fig. 33. Grave D. a Potentia quadam transversim juxta rectam EF mota, et in latus AB incidente sursum promovetur. Et ex horum motuum in Triangulo consideratione oriuntur duae difficultates non mediocriter involutae, ex quibus explicatio tota Cunei dependet.

Prima est in Motibus utriusque Potentiae Parallelis ad latera Constantis Trianguli: ut si in Fig. 32. Grave D. ab inclinato AB. Triangulilatere sustentatum connectatur per Lineam flexilem cum altero gravi E; ostendendum est quae sit ratio Gravitationis et activitatis in Gravi D. a declivi Linea vel piano AB. sustentato ad grave E ab omni ejusmodi sustentatione liberum; et etiam consequenter a minori vel majori inclinata sustentatum. Conatur iddemonstrare Stevinus lib. 1. Statices Prop. 19. ubi vult; In omni Triangulo cujus latus unum Horizonti aequidistat. ita esse sacoma sinistrum D. ad antisacoma dextrum E; ut latus sinistrum AB. ad latus dextrum BC. Rationem quâ probatid, sumit ab absurdo Motûs perpetui, nisi Propositio illa vera sit, secuturi: Sed bonâ ipsius veniâ dictum volo, Ratiocinatio haec Principium petere videtur; Quaeritur enim an duo Gravia ad Latera Trianguli proportionalia inter se connexa consistant; Affirmat ideo, quia si non consisterent, moveruntur, et quidem continuo, si in eorum locum alia iis aequivalentia continuo succedant; quod gratis dicitur salsum, cum tale esse nullibi prius fuerit ostensum. Et si quaeram cur absurdum sit ea moveri; Responderi nihil aliud poterit, quam quod aequegravia movere invicem sit impossibile. Currit igitur argumentum in circulun, vel saltem obscurum per obscurius demonstratur: Sed et difficultates in Constructione Stevini occurrentes ex materiae praesertim sensibilis imperfectionibus expendisse videtur Petrus Herigonus in suo Cursu Math. prout eum citat Magia Mechanica lib. 6. Syntagm. 2. machinâ 4. ideoque confugiens ad Gravia liquida, Siphonem sive Tubum triangularem, ejusdem ubiquecapacitatis et amplitudinis aquâ plenum assumens, ejus unum Latus Horizonti parallelum collocat, et ex consistentia aquae in inclinatis lateribus quiescentis, arguit esse ut latera ad invicem, ita gravitates aquae illis contentar. Sed et in hac argumentatione nihil concluditur. eo quod in lateribus illis ad Horizontem inclinatis fiat aquae consistentia, quimvis unum sit gracilius vel capacius altero, adeoque gravitas ad gravitatem longe aliter se habeat ac Latera ad invicem; quod ex Hydrostaticis est notissimum. Alia igitur veritatis illius Demonstratio Statico-Geometrica nuper occurit ex doctrina Triangulorum, in qua tam Geometrice quam Arithmetice rationes omnes sustentionum a planis inclinatis accurate haberi possunt: sed cum ea sit prolixior quam ut pro ratione praesentis instituti commode proponi possit; eâ in aliam occasionem dilatâ, sufficiet nunc ad indicandam Cunei Naturam praesupponere tanquam certissimam hanc unicam Propositionem cum duobus Corollariis, ut interim omittantur alia decem, quae consectariorum, vel etiam Propositionum ad instar proponi poterant.

Theorema.

[note: ] GRavitas Residua Ponderis a plano vel Linea ad Horizontem staticum inclinata sustentati, ad Gravitatem ejusdem Adsolutam et liberam, est ut linea Orthodroma ad Loxodromam, sive Perpendiculum ad Inclinatam, inter easdam Horizontis parallelas interceptam.

Corollarium 1. Gravitas Ponderis ex Sustentatione deperdita ad absolutam est ut excessus Loxodromae ad Orthodromam, inter easdem Horizontis statici parallelas interceptam.

Corollarium 2. Gravitas Residua ad deperditam, Ponderis a plano vel Linea inclinata sustentati est ut Orthodromae ad exaessum Inclinatae, inter easdem parallelas comprehensae.

Altera difficultas in Cuneo, a nemine quod sciam animadversa et expensa, est circa diversas Potentiarum Motivae et Restitivae incidentias in latera InconstantisTrianguli, quod in Fig. 33. supra basim AC. promotum, impingit in Potentiam quandam EF: quae vel est absolute insuperabilis in utroque puncto E et: F; et tunc necesse erit basim AC declinare lateraliter et transversim, altero latere AB in directum progrediente tanquam basi. vel tantum in solo puncto E est insuperabilis juxta orthogonalem incidentiam, superabilis autem in altero extremo F, quod circa E punctum tanquam centrum dimoveri possit. Sed cum ad quodvis instans motûs, incidentis ejusmodi ratio mutetur, erunt et in singulis rationibus illius, Resistentiae diversae, quae quales sint, ad perfectam Motuum ejusmodi notitiam

pertinet. Sunt itaque ejusmodi incidentiae Poventiarum Restitivarum infinitae prout in Fig. 34 videre est, inqua triangulum ABC supra basim AC versus A. motum, habet occurrentes sibi resistentias ex puncto E fixo in latus AB di versimode directas; quarum haec, quae lateri AB ad rectos incidit, est maxima, aliae pro varia in cidentiae ratione majores minoresque vel nullae. Sed et incidentiae Potentiarum Motricum Triangulum promoventium v. g. in puncto H. sunt infinitae; quarum haec quae ipsi BC. lateri est perpend. cularis, validissima est, aliae magis minusque validae. Latissima hîc, et fortassis hactenus a nemine trita via panditur excurrendi in ea materia, quae quamvis in omnibua fere cum priore difficultate coincidat, et in eam rem non pauca hic proferri possent: ut tamen in aliam occasionem restet aliquid in utraque difficultate superandum, quod olim sua novitate gratius accidat, de industria contranitentis licet calami cursum inhibeo.

IV. Ex dictis incipit apparere Primo, Cuneum nihil aliud esse quam Sustentaculum sive fulcimentum continuo Crescens vel decrescens, Potentiam sibi incumbentem sustentans magis vel minus pro varia ratione inclinationis. Hinc ex Principio nostro Mach: narum universali causam optimereddi, Cur per Cuneum Potentia minor Motiva, Majori Restitivae praevaleat Quia nimirum in Cuneo desinente in acutiorem angulum, ideoque latus habente minus declive, Potentia Restitiva, ut Pondus, magis sustentatur ab eo, quam Motiva retardetur et incidentia in Poudus alicubi firmatum: itaque ex quo capite decrescit vis Resistentis Ponderis, ex eodem minus impeditur Motiva Potentia, quandoquidem haec sese mutuo consequantur.

2. Ad inveniendam Potentiam, Ponderi alicui per Cuneum movendo proportionatam et sufficientem, complura prius perspecta esse oportere. Inprimis; Quia pondus a Cuneo sursum propelli nequit, nisi contra directionem motus Cunei, firmatum sit alicubi: idcirco necesse erit praenosse, quantum ea obfirmatio ex ratione incidentiarum Potentiae Motivae officiat, vel exratione sustentationum momentis Ponderis detrahat. Deinde perspecta esse debebit tam Ponderis per inclinatum planum voluti et elevati Gravitario exsustentatione residua; quam Potentiae motricis Quantitas, et in impulsu directio sive Incidentia. Denique quamvis in abstractione Geometrica, basis Cunei nullam ex affrictu contrahat, et potentiae inferat retardationem, in materia tamen sensibili, ejus ratio nullo modo negligenda videtur.

3. Cuneum alium esse Rectilaterum de quo hactenus, alium Curvilaterum sive Flexuosum, aut in se recurrentem: videlicet Cochleam: quae non secus ac de Vecte Cuneoque dictum, est Constans et Inconstans; et iterum, quemadmodum et Cuneus esse potest, utraque vel Convexa vel Concava. Quadrupliciter autem Convexa cum Concava ad motus efficiendos disponi potest: quae dispositiones distinctionis gratiâ in sua quoque genera distribui possent. Primo. Quando Circa convexam firmiter omnino subsistentem Concava circumacta progreditur. Secundo. Quando e contra in Concava firmata, Convexa circumgyrata promovetur, Tertio. Dum Convexa circa polos suos fixos mota, Concavam propellit. et hanc Mechanici Vitem sive cochleam perpetuam appellare solent, si in Locum Concavae substituetur rota dentata helicibus congruens: sed ea perpetuitas est potius in Circulo quam Cochlea. Quarto. Dum vice versâ, Concava in eodem loco circumagitur Convexamque directe protrudit; quod etiam fieri posse non usus et experientia, sed ratio convincit: et praeterea sicut prior, ita et haec Concava, fieri poterit eadem ratione perpetua, Orbiculo dentato intra illam convenienter applicato.

4. Vires Cochleae ex duplici capite ingens esse solere. Inprimis ex ratione Cunei in acutiorem angulum desinentis, qualem Cochlea solet obtinere communiter. Deinde ex ratione Vectis ad Cochleam circumagendam adhiberi soliti, cujus officium est vel Cuneum flexuosum Ponderi vel alteri resistenti subiicere; vel supra latus inclinatum ipsius Cunei, Pondus promovere, quorum utrumque ex Fig. 35. facile intelligi potest Ad habendam autem Proportionen Potentiae Motivae ad Restitivam in Cochlea Vecte adjuta, non satis est si dicatur: Ut spatium perpendiculare, quo Resistens ascendit initio unius spirae ad finem ejusdem in ambitu Cochleae; ad Spatium circulare quod conficit Potentia Extremitati Vectis applicata in una similiter revolutione: Ita Potentia ad Pondus reciproce; id enim sine errore locum non habet in Cochlea: Sed inprimis ex ratione unius helicis inclinatae, adsuam perpendicularem inter binas easdem Horizontis statici Parallelas interceptam, investigari debebit Residuum Potentiae a tali inclanatione sustentatae: Tum incidentia motricis in eandem inclinationem: quibus inter se debite coaequatis, tum demum adjumentum Vectis ad calculum secure revocari poterit, habitis prius distantiis ab axe Cochleae ad puncta applicationis Potentiarum. Ratio didtorum patet inde, quod altitudo perpendiculi in Cuneo et Cochlea, non ad basim aut ambitum ejus in Cylindro cui circumponi concipitur, sed ad Latus inclinatum dicat proportionem in sustentando, ut in antecedentibus dictum.

denique non pauca quidem suppetunt quae tam de Cuneo et Cochlea, quam prioribus Machinis in medium proferri possent non vulgaria; verum ob angustias temporis quod alia studia potiori jure sibi vendicant, ne quidem perbrevem quandam Machinarum omnium Anacephalaeosim, paulo melius eas inter se distinguentem, quam in praemissis sit praestitum, cum novis aliquot earum compositionibus, pro voto conficerelicebat: id, si Deus vitam largitus fuerit, alias uberius executurum me polliceor.

PARAGRAPHUS QUARTUS AUTOMATURGICUS.

[note: ] QVO tempore turbulenti bellorum motus Regno Poloniae a quatuor Orbis cardinibus imminentes, felicitatis ejus cursum tantisper inhibuerant, et me quoque eadem procellâ jactatum, Anno saeculi hujus LV. Herbipolim praetervehi compulerant; extitit ille meae dierum aliquot cum R. V. conversationis fructus, ut ex Hydrulico Pneumaticarum Machinarum tractatu, quem jam

tam typis paratum ego cariosius evolveram, solennis illa Controversia de Motus Artificialis Perpetui possibilitate, perpetuam quandam, et in hoc usque tempus continuatam solicitudinem mihi injecerit, appositum ei quod ibi concluditur, quacunque ratione, demonstrandi. In eundem prope motum abitura videtur oratio, si non dico sufficienter persequendae, sed etiam tantummodo strictius enumerandae essent omnes artes et Machinae, quas imaginatione scilicet fabricatas et erectas, ad frangendam illam Naturae pertinaciam, quâ conatibus hujuscemodi constanter obsistit, admovi. Caeterum id ad minimum hac diligentia me profecisse existimo, quod rem eam aliius considerando, et ad ipsa principia revocando: devenisse me putem ad ipsum negotii hujus caput et fontes, ex quibus impossibiles Praxes, earumque fundamenta a possibilibus, vel saltem non sine ratione dubiis, discernipossint. Ex ejusmodi Machinis compluribus est una et altera inferius producenda: in quibus si non res quod ajunt, acutangitur, cas nihilominus adcommonstrandam in negotio tam intricato viam non mediocriter conducturas existimem. Id an ita se habeat, animi suspensus tantisper ero, dum R. V. calculi sui in utramvis partem aequilibrium meum inclinaturi momentum adjiciat.

ANtiquissimum, et cum ipsomet Archimede natum Perpetui motus artificialis exhibendi studium inter Mathematicos extitisse, quam vis id ab Authoribus expresse non prodatur, haud improbabiliter affirmari posse mihi persuadeo. Quid enim aliud illa multorum scriptis celebrata orbium Coelestium artificiosa compages, interno quodam veluti spiritu in motus animata, ingenio sissimi Archimedis opus fuerit: vel ad minimum, quam non acutissimis ejus saeculi Philosophis opinionem ingeneraverit, et ad simile quid si non efficiendum, cogitatione saltem comprehendendum provocarit, conjectura assequi difficile non est. De motus hujus Possibilitate in praesenti Disquisitiuncula breviter acturo, illud inprimis incipit animo obversari, An non temeritatis vel praesumptionis alicujus notam incurrere videaturis, qui opus tot frustraneis multorum studiis, laboribus, et impensis tentatum, et quod in ea re momenti plus habere videtur, complurium eruditorum suffragiis si non damnatum, ad minus infame redditum, resumere et pertractare auderet. Non desunt certe qui triadem hanc, Tetragonismum Circuli, Lapidem Philosophorum, Motumque Perpetuum, in creatis implicare constanter asseverent. Verum quidquid sit de quadratura circuli Totius, in cujus Partibus in quadratum redigendis operam nec levem, nec frustraneam posui, quae felicitas necdum toti potuit obtigisse: Chymicorum certe studiis illud AEsopicum accini posse putem.

Tam magnifice enim illi sentiunt et loquuntur de suo flammivomo Dracone caudam propriam depascente per ignem graecum nullis imbribus extinguibilem: et fortassis eum, quem Prometheus aliquis ut Poetae fabulantur, virgulâ divinâ coelo Solis vel Mercurii Perigaei admotâ furatus sit, et in tertas detraxerit. Ecce specimen fabulosae et ridiculae hujus Philosophiae: quae velut hedera incultis et horridis situ squaloreque locis innascitur, sicilla agrestes quasdam et insulsas veterum Poetarum fabellas, tanquam bales et fundamenta mysteriorum suorum praestruere consuevit: Quis autem non videt ambiguis ejusmodi, et non cohaerentibus figmentis involvendis, fabulas ex natura rei aptissimas esse, quas si praeditus sis ingenio, in mille sensus trahere poteris: si non assequaris, admirabere tamen, et si Diis placet divinum quid iis subesse existimabis. Verum ut ab Hermetis messe falcem meam prohibeam, eum qui Motus perpetui negotio promovendo post tot delusos aliorum conatus insudaret, ab omni ignominiae nota vindicat id inprimis, quod Demonstrationes eorum qui perpetuitatem motus implicare voluerunt, nihil aliud evincant, quam Constructionem eam, quam in demonstrando adhibent, exhibendo motui quaesito idoneam non esse: deinde neminem esse constat, qui vel solus omnes possibiles Machinarum Combinationes pertentaverit, vel de iis impossibiliratem motus hujus demonstraverit: quod antequam a quopiam praestetur, sit interim ut audax, ita gloriosum facinus, animique excelsi indicium, difficultatibus objectas non terreri. Curiositas ingenii ad arcanorum Naturae vel Artis inquisitionem suapte propendentis aegre legibus ullis arctari se patitur: nec prius quiescit, quam vel quod intendit comprehendat, vel assequi se posse penitus desperet. Itaque Motus indefectibilis Possibilitatem breviter discussurus, non immemor ordinis animae rerum, ab ejus Definitione Divisioneque ad Possibilitatem, vel e contra in praesenti Naturarum statu repugnantiam progrediar. Et quoniam ipsa Materia tanquam semiphysica postulat, ut in ea temperetur a rigore Geometrico, in hac praesertim Disquisitiuncula animi causâ suscepta: idcirco omni illa severitate (quae nonnunquam per se satis evidentibus inducere posset aliquid obscuritatis) deposita, cuncta familiari oratione persequar; ita ut nec omnino manifesta verbis onerem, nec ubi difficultates occurrunt, et probationibus indigent, eas subterfugiam.

Protheoriae.

[note: ] I. MOtus Perpetuus Localis est Quanti Terminati ab insita vel applicata vi, vel continuata, vel unisormiter interrupta, durationis tamen ae viternae, de loco in locum translatio.

II. Motus sic universaliter definitus, Alius est Naturalis et absque ullo praesidio artis, qualis esset is, qui vel coelestibus, vel Sublunari cuicunque corpori, ut gemmae, herbae, liquori, etc. inesset, profluens ex principiis intrinsecis et ab exigentia formae, cui naturale esset indesinenter moveri.

III. Alius Artificialis, quo Machina quaedam certa ratione constructa ex materia Gravitate vel Levitate praedita, vi suae constructionis, absque ullo alio motore diversae speciei extrinsecus adveniente incessanter cieretur; vel quod fufficit,

aptitudinem et propensionem aliquam ad eum motum contineret. Ad artificialem motum spectat etiam aliquomodo materiae solidae contorsio et Intensio ex Ratefactione et condensatione ejus proveniens qualis fit in Laminis chalybeis, chordis, et similibus.

IV. Alius denique Physico-mechanicus, et ex utroque priori compositus, qui dependet a causis Naturalibus, habentibus in se quaedam veluti principia motus continui. Has P. Athanasius Kircherus; vir ut de re litteraria optime meritus, ita non sine honoris praefatione nominandus, in Artis suae Magnericae lib. 2. par. 4. Probl. 5. ad finem percenset. Cujusmodi sunt (inquit) Sol, Luna, Sydera, et inferiora horum cursum sequentia: ut sunt quaedam vegetabilia, curus stuminum, perpetua Meteororum agitatio, etc. Haec enim, cum pluribus aliis inferius insinuandis, arte adjutâ pluribus motibus exhibendis inser vire possunt; qui quidem erunt perpetui non absolute, sed ex hypothesi Naturae suo cursui ordinario sine intermissione insistentis. Sed misso hoc motu tanquam nihil difficultatis habente, et ab industrio quovis artifice variae constructionis et applicationis capaci parabili, quaestio sit de Artificiali: An is, ut ex Principiis Statico-Mechanicis exhibeatur, habeat aliquam in Natura Gravium repugnantiam.

V. Gravitas dupliciter Principium motus esse potest prout ea quoque est in duplici differentia; videlicet Gravitas Innata sive primaria, et Gravitas Acquisita sive secundaria, et Impetus. De Acquisita ultimus erit sermo; de Innata nunc prius agendum.

VI. Gravitas Innata et primaria dupliciter ad motum per Machinas efficiendum applicari posse; vel in AEquiponderatione ad invicem duorum vel plurium gravium machinae applicatorum; vel in eorundem inter se Praeponderatione.

VII. AEqueponderationem duorum vel plurium gravium inter se, esse duplicem: Vel enim Gravia aequeponderantia sunt etiam invicem aequalia, et aequegravia, ita ut neutrum sit altero gravius prout absolute comparantur inter se; Vel sunt inaequalia absolute, ex machinae tamen artificio, ex distantiis ad gravitates permutatim proportionalibus, aeque possunt, ob majorem majoris sustentationem, per ea quae superius dicta sunt.

Theoria I.

[note: ] GRavia inter se absolute aequalia et simul aequeponderantia, ad nullum motum efficiendum sunt utilia. Cum enim motus omnis sit a Potentia; duorum autem aequalium et aequilibrium neutrum habeat potentiam, quâ praevalere possit alteri, cum in utroque sit paritas virium; etiam Principium Motus ex ratione aequilibrii habere non poterunt.

Theoria II.

[note: ] GRavia inaequalia ex artificio tamen Machinae, sive concursu Potentiae Sustentantis aequeponderantia, nulli motui efficiendo sunt accommodata. Quamvis enim unum sit majus altero, per ea tamen quae in superioribus ostensa sunt, Majus non plus poterit minore, videlicet activitate sua, qua simpliciter excederet, in sustentantem Potentiam derivatâ.

VIII PROTHEOR. Gravia sibi invicem praeponderantia sunt duplicis conditionis. Vel enim inter se absolute sunt aeque gravia, sive in gravitate aequalia; vel Inaequalia, et unum ponderosius altero.

IX. Gravia quaecunque Distantiis applicara ut eodem Tempore ferantur, distantias inter se continuas, vel alio quoquo modo connexas esse oportet.

X. Gravia quaecunque ex Distantiis quibus cunque eodem Tempore mota, conficiunt Spatia habentia inter se rationem ipsarum Distantiarum ordinatim.

XI. Gravium quorumvis ex quibuslibet Distantiis eodem Tempore motorum Velocitates inter se sunt ut Spatia; adeoque ut Distantiae.

XII. Gravium quorumvis ex quibuslibet Distantiis eodem Tempore motorum, Perpendicula motuum sunt ut Distantiae: Igitur ut Spatia, igitur ut Velocitates.

XIII. Gravia quaevis ex quibusvis Distantiis in aequilibro Consistentia, inter se sunt ut Distantiae permutatim: Igitur ut Spatia, Velocitates, Perpendicula, a motu quocunque Consistentibus extrinsecus adveniente designabilia reciproce.

XIV. Gravium quorumvis sibi praeponderantium Distantiae Gravibus sunt improportionales, reciproce; ita ut distantia praeponderantis ad distantiam superati majorem habeat rationem quam Gravia reciproce. Igitur eodem modo Spatia, Velocitates, et Perpendicula Gravibus iisdem erunt improportionalia.

XV. Gravitatibus igitur aequivalent Distantiae, et vice versa, in mensura minoris Gravitatis vel Distantiae: id est tantundem est adjicere vel subtrahere Gravitatem, ac Distantiam, minori Distantiae vel Gravitati commensurabilem. Igitur et velocitates, Spatia, et perpendicula Distantiis proportionalia, idem cum Gravitatibus aequivalentiae commercium habere necesse est.

Theoria. III.

[note: ] GRavia AEqualia ex distantiis inaequalibus sibi praeponderantia, motui continuando non inserviunt. Ad id enim efficiendum oportebit aliquando Grave A. (quod concipiatur in minore distantia) superare aliud B. sibi aequale majori distantiae applicatum quod implicat: vel Grave A. ad majorem distantiam evehi, et B ad minorem retrahi; quorum utrumque indiget aequali potentia Extrinseca.

Theoria IV.

[note: ] GRavium duorum Inaequalium Minus majori praeponderans, ad continuandum motum ponit obstaculum. Quando enim minus majori praeponderat, ejus distantia majorem habet rationem ad distantiam majoris, quam gravia permutatim: igitur in motu plus Spatii quoque conficiet, quam ut illud sit spatio majoris proportionale, eritque idem excessus Spatiorum qui Distantiarum: quare ut excestus ille recuperetur, Extrinseca aliqua vis accedat necesse est.

Theoria V.

[note: ] GRavium duorum Inaequalium Majus minori praevalens, ad coutinuandum motum est inutile. Nam quando majus minori praeponderat, illius Distantia ad hujus distantiam majorem habet proportionem, quam Grave minus ad majus: ut autem vicissim minus majori praevaleat, indiget eodem modo distanctâ majoris inaequalitatis proportione praeditâ, quam nisi ab extrinseco quoquam Motore nanciscatur, aliter obtinere non potest.

Cum igitur nec AEqueponderantia, nec Praeponderantia in allatis combinationibus quidquam momenti conferant ad Motum ab intrinfeco perpetuandum; reliquum est ex ulcerioris combinacionis legibus ut videatur, An non Principium aliquod efficiendi motus continui suppedirare possint: Vel. AEqueponderantia in aequeponderatione, vel Praeponderantia in praeponderatione; vel Praeponderantia in AEquilibrio, vel denique vicissim AEqueponderantia in praeponderatione. Ab ulteriori processu qui posset institui componendo in unam Machinam. In aequilibrio praeponderantia aequilibrata, et vice vasâ, immo in infinitum, nunc ultro abstinebo.

Theoria VI.

[note: ] GRaviae AEqueponderantiae in aequeponderaetione usui esse non possunt ad motum continuandum. Hoc est, si bina et bina, aequalia vel inaequalia, inter se tamen aequilibrata gravia disponantut in tertia quadam Libra, faciantque aequilibrium; non poterunt habere Principium motus continuativum: cedeunt enim eaedem difficultates de combinatis, quae prius occurrebant de simpliciter acceptis.

Quod attinet tres reliquas supra memoratas Gravium Combinationes, de iis quidem, si omnes omnino dispositiones eorum possibiles, et in illis Artis industrias excludamus, etiam negative pronunciandum esset; insistendo praesertim Principio nostro Machinarum Universali, et his ipsis immediate praemissis; ex quibus evidens est ad efficiendum per Gravia motum, opus esse vi mocivâ et gravitativa, eam vero non aliter haberi, quam si, vel manentibus iisdem Distantiis, Gravia crescant; vel his manentibus iisde, augeantur Distantiae; et in utroque horum servari perpetuam quandam justitiam, ad tranquillitatem potius et pacificam consistentiam in oeconomia Gravium, quam motus ullos internosordinatam vel inclinantem: nihilominus tamen si cogitemus et naturam non ab omni Motus continuitate prorsus esse alienam; et Artis vires ab intellectu humano necdum sufficienter esse comprehensas; et quod rei caput est in hoc genere machinationis, artificiorum non admorium multorum Combinationes ab industria humana factibiles in immensum exerescere, acinter tantum earum numerum aliquam nonrepugnare, quae praestet id quod altera nequiverat, veltertiam quae ponatid quod ab utraque non potuit effici; non admodum prudenter factum putem, si contra integrum tam variarum Praxium exercitum, clausis oculis Andabatarum more depugnaturus, uno velut ariete conctas prosternere praesumerem. Sententiam capitalem vix tuleris absque partis altetutrius injuria, quam non prius diligens in singula scrutinium praecesserit, animo paribus hinc et inde momentis aequilibraro. Dici autem vix potest quantam Machinarum farraginem suppeditet. Triplex illud reliquum Gravium inter se Combinabilium fundamentum, exquorum uno quoque, si quaedam dispositiones et applicationes accesserint, plurimae machinae motus conrinuabilis verisimilitudinem praeseferentesdeduci possunt, quas omnes nimis longum esset perceusere.

Sed juvat in specimen aliquod ejusmodi Combinationis adferre pauculas Industrias brevibus Terminisindicatis, quarum ope Machinas innumerae varietatis condere licebir; applicando cujuslibet termini quemlibet sensum, tam Ponderibus quam Machinis, duos item tresve simul terminos cum iisdem vel ad invicem conferendo. et audacter dico, impossibile esse, quin novus et novus semper habeatur conceptus circa Machinam; utilis vel inutilispro exigentia Materiae et applicantis ingenio. E pluribus sint hi in fex classes distributi, ordinis potius causâ, quam necessitatis; quivis enim cum quolibet combinari, et tam ad Machinas, quam Gravia ipsis applicabilia referri potest.

Grave.

[note: ] SOlidum, Liquidum, Continuum, Discretum Pendulum, Cadens, Descendens, Sphaericum, Cylindricum, Conicum, Concavum, Concate natum Magneticum. etc.

Machinamenta.

[note: ] LIbra. Vectis, Trochlea, Cuneus, Cochlea, Tympanum, Rota dentata, Tubus Canalis, Epistomium, Platismatium, Clausurae, Situlae, Capsulae, Pennae, Chordae, etc.

Situs.

[note: ] SUrsum, Deorsum, Lateraliter, Horizontaliter, Verticaliter, Inclinatum, Affixum, Suspensum, Sustentatum, Invertendo, Trarsponendo, Opponendo, Librando, etc.

Figura.

[note: ] PEriphetia, Diameter, Angulus, Axis, Centrum, Parallela, Orthogona, Sphaera, Cylinder, Conus, Helix, Pyramis, Prisma, Polygonum, Serratum, Perforatum, Mutabile etc.

Quantitas.

[note: ] AEQualia, Inaequalia, Similia, Dissimilia, Proportionalia, Augendo, Minuendo, Duplicando, Multiplicando, Reflectendo, Perpetuatum, Sectum, Rigidum, Flexile, etc.

Motus.

[note: ] SUrsum, Deorsum, Transversum, Circularis, Rectilineus, Mixtus, Continnus, Oscillatio, Impetus, Tractionis, Impulsionis, Reflexus, Clausus, Apertus, Progrediens, etc.

Omissis autem aliis fundamentis, et compluribus eorum Industriis, proponam unum et alterum Machinamentum ex fundamento Praeponderationis in. AEqueponderatione, quod ad motus efficiendos eximiâ facilitate praeditum, spem facit non exiguam, accedentibus industriis, Motus continuandi. Primae Machinae Industria est Pendulum sive Perpendiculum, quod ad plurima efficienda reconditiorem quandam, ac primâ fronte videatur, dicit aptitudinem: Nam praeterquam quod Oscillaciones sive Vibrationes judicio sensus Isochronas (Geometrice enim aliud demonstrari posse videtur) conficiat; speru praeterea de Vibrationibus bis non vanam concipio, Motum si non Perpetuum, Longaevum saltem, et post plurimorum annorum decursum sensim deficientem illis conferendi: cujus quidem praemeditatas aliquot Praxeshabeo, longe diversas ab ea, quam Christianus Hugenius publicavit, applicato Perpendiculo ad Horologium vulgare roratum; quodquamvis horologium perfectius efficiat, ad eam tamen, ad quam ipsummet deduci potest perfectionem non ascendit. Porro praesens haec ex Perpendiculo deducta Pragmatia tribus Hypothesibus apud omnes certissimis innititur, quas ipsi praemittendas censeo.

XVI. PROTHEORIA. Datâ quacunque Longitudine finitâ, dari posse majorem et majorem, Et, Dato quovis Pondere, majus et majus assumi posse.

XVII. Pondus unumquodque sive sit humilius, sive sublimus appensum, caeteris paribus, videlicet et uniformitate medii, et lineâ Staticâ e qua directe suspenditur, esse ejusdem gravitatis.

XVIII. Si duobus quibusvis et quantaecunque gravitatis AEqueponderantibus aliquid addatur quod sit grave, ea non amplius in aequilibrio consistere, sed id cui quid accesserit, deorsum ferri.

Pragmatia I. Data [orig: Datâ] Gravium utrimque aequalium certa ratione dispositorum Aequeponderatione, dari posse videtur interea reciproca Praeponderatio ope Perpendiculi: adeoque Motus Artificialis Librationis perpetuae.

[note: Iconis. N. Figura 41 ] PArallelogrammi ABCD, duo, latera AB, et CD, intelligantur esse Librilia, sive Librae brachia, quorum prius in Centro E, sive agina, vel axe firmo, posterius circa F punctum consistar in aequilibrio. Harum Librarum extrema conjungantur per duas Columnas AC, et BD, intus cavas, sive Tubos quosdam, exterius et interius quadratos: qui quidem Tubi ex Librilium extremis pendere debebunt in axiculis quibusdam per Tuborum Cavitatem, quae libera esse debet, non transeuntibus, sed tantum in ipsa laterum crassitie firmatis, et postmodum per extrema Librilium transmissis, ad quorum inelinationem, motus Tuborum in praedictis axiculis debet esse liberrimus.

Deinde in Librae superioris AB punctis G et H, aequaliter ab E Centro distantibus, appendantur duo Perpendicula aequegravia, I, et K, ex lineis rigidis sive vectibus, qui in punctis G et H libere converti possint ad quemvis motum Librilis. Habeant autem praedicti vectes in extremis G et H affixos firmiter orbiculos sive tympana, quae cum vectibus simul moveantur, et in hoc motu Chordam quandam, punctis in Figura notatam attrahant, et colligant in ambitu circum ferenri suae; quae debet esse tanta, ut ejus quarta pars aequalis sit, vel aliquantulum major Diametro Sphaericorum ponderum, de quibus infrâ. Chordae itaque hujus extremitas una firmanda erit in ipso orbiculo alicubi, et tum ipsa Chorda educatur ad axiculum B. qui excipiat C hordam superjectam, et ab eo demum ad infimam Tubi basim C descendentem. Quod autem de hac chorda et orbiculo dictum, idem et de aliis ipsis respondentibus intelligendum. quinimo semel monuisse sufficiat, quaecunque de sinistra parte machinae dicuntur, eadem quoque de dextra accipi debere; necnon quae de hac anteriore facie machinae, etiam de aversa et opposita, utrinque enim par est omnium conditio.

Jam vero Tuborum AC et BD cavitas exacte sit quadrata, ponderibus sphaericis excipiendis accommodata; haec autem sibi invicem perpendiculariter incumbent ab ipsa basi ad summitatem, in qua Tubus uterque est apertus, ac praeterea adaptatum habens transversum quedam Canaliculum L A, modice inclinatum; ita ut si globio omnes intra tubum contenti sursum eleventur aliquantum, ille qui supremus erit omnium, possit per hunc declivem canaliculum ex A in L devolvi. Pars ima sive basis Tuborum erit clausa per affixum Canaliculum inferiorem MC, tantae declivitatis, quanta sufficit, ut globus in M positus ultro devol vatur ad C tubi Latus; in quo debebit esse ostiolum quoddam ejus amplitudinis, ut globo intra Tubum recipiendo congruat.

Quia vero globus hic aliter Tubum subingredi non potest, nisi in eo inveniat locum vacuum sub globis roto Tubo contentis; id cico oportebit reliquos globos intra Tubum esse aliquantum suspensos et elevatos, quod epluribus modis, hoc effici porerit. [note: Iconis s. N. Figura 36. ] In Figura 36. Sit ABMC portio tubi infima per medium secti basi perpendiculariter: In ea MC est Canaliculus declivis: IK vero ostiolumglobo H intra Tubum admittendo destinatum. Utigitur globi F, et G, aliique complures, globo H spatium subeundi Tubum relinquant, debebunt sustentari ab obicibus quibusdam sive pessulis duobus DE, et EF, receptis intra crenas in crassitie laterum tubi oblique incisas; in quibus obices sursum, deorsumque libere discurrere valeant: ur si globus H sursum propellatur, pessuli DF et FE sursum nonnihil cedentes eum admittant, ac tum globo H in loco ipsius F existente, vi suae gravitatis occludantur, omnesque globos incumbenres ei, substineant.

[note: Figura, 37. ] Modus autem globum H in Fattollendi, e pluribus hic esse potest. Inspiciatur Figura 37. in eâque portio Tubi, ABMC. In ejus anteriore facie (par autem ratio de aversa) cernitur sive fissura quaedam LN; crena in qua sursum deorsumque currere possit lingula vel brachiolum quoddam RP. assarii intra ipsum Tubum latioris, ut tanto melius globum supervenientem excipiat, his assarii brachiolis alligabuntur extremirates chordaru GAC, et HBD. sed haec ipsa figura satis explicat. Postremo tandem in Figura. 41. cerniturpertica quaedam sive vectis transversus NOPQ, ad latera Tuborum in punctis O et P, in quibus axiculi quoque teretes concipiendi sunt, ita accommodatus, ut motum totius machinae circa puncta E et F, nihil impediat. In extremitatibus hujus perticae receptacula quaedam sive capsulae eo artificio sunt construendae, ut globum in extremo Canalis superioris excipere, et eundem in inferioris extremo liberum dimittere valeant. In his igitur absoluta est machinae totius Constructio, si quod monuimus, aversa ejus facies, iisdem proisus sit instructa, quibus haec conspicua cernitur: Perpendiculorum tamen ipsa pondera I et K etiam aversae faciei vectibus non incommod e poterunt esse communia.

Motus, et eius Principia, causaeque.

[note: Fig. 42. ] HIs peractis, intelligantur jam Tubi AC et BD ponderibus sphaeticis aequalibus in mole et: gravitate, ab imo ad summum esse repleti, capiatque tubus unus glubos 20, v. g. alterque totidem: detur autem Machinaesitus is, quem in Fig. 42. per lineas continuas expressum videre est. In hoc situ globorum tubis contentorum status sit ejusmodi. In tubo AC globus infimus est is, qui ab assario per Chordam utrimque sursum attracto elevari debet, et hoc modo globum tubi supremum in canalem AL depellere. In tubo vero BD erunt tantummodo globi 19, vigesimus enim jam erit in extremo Q perticae NQ canali applicato. Hic igitur globus ob distantiam quam sortitur a centris E et F, totam Machinam movebit, et ponet in opposito situ, quem in ea Figura ductus lineares punctatim fadti repraesentant: et in hoc motu globi praedicti, haec duo sieri debent. In primis ipse globus in Q receptaculo deferentusque ad infenoris canalis DS extremum S, cujus attactu per artificiumnon difficile liberatus; per eum canalem deveniet in Ostiolum Tubi, in cujus fundo jam reperiet assarium, ex aequo remittentibus chordis stratum, quod super venientem recipiet, in altera Machinae libratione elevandum. Deinde per eundem illum motum globus infimusin Tubo AC, cum reliquis superincum bentibus elevabitur ad altitudinem paulo majorem Diametrali unius globi, unde necesse erit, globum supremum in canalem AL, excurtere, in cujus extreme L inveniet jam perticae NQ. extremum N cum suo receptaculo, quod ingrediatur, motumque priori similem efficiat, Et sic recipioce: Quod probo.

Si tota Machina ita sit constituta, ut inprimis aequalia perpendicula, distent aequaliter a puncto E. centro Librae AB: deinde in Tubo AC globi 20. contineantur, inaltero vero BD. 19. quidem; sed insuper vigesimus in extremo Q. perticae NQ. existeret, nihilque aliud obstaret, tunc infallibiliter globus ille Q, ferretur usque ad Canalis inferioris extremum S, daretque toti Machinae situm in Fig. 42. punctatis ductibus expressum. Sed nihil obstat quominus id eveniat, quod probo. Si quid obstaret, esset attractio globorum Canali AC contentorum, facta per Perpendiculum CI, ope tympani G, quod per Chordam ad infimam Tubi basim eductam assarium cum globis incum bentibus, ad altitudinem globi unius attrahit: Sed heac attractio non impedit motum, quod iterum probo. Tunc impediret, si globi Tubo A contenti et attracti, inter attrahendum gravitarent alibi quam in A extremo brachii EA, vel si ij Perpendiculum GI. attrahens a linea suae directionis averterent A versus ipsum Tubum AC, si enim pars sinistra Machinae esset gravior, utpote Perpendiculi pondere I. ad giavicatem tubi AC nonnihil accedente: Sed et globi totius attractionis tempore non alibi exercent gravitationem, quam in axe A chordam elevantem sustentante; et illud alterum non necessario accidit, ut probo. Tunc enim non eveniret; si Perpendiculipon. dus I sit tantae Potentiae, ut globi Tubo AC contenti respectu ejus sint adeo imbelles et exigui momenti, ut non possint illud a sua Directionis linea detorquere: sed hoc facile efficitur, idque triplici via: vel pondera pendula I et K manentibus iisdem Distantiis augendo; vel manentibus iisdem Ponderibus, distantias eorum, sive vectes GI et HK, quantum vis excendendo, vel utrumque simul; donec vires globorum, contra Perpendiculorum Resistentias evadant insensibiles quodammodo, nec ea deturbari possint a sua perpendiculati Rectudine, quod si fiat, tunt ita se habebit Perpendiculum, tanquam si fere nihil attraheret, adeoque nullum motus impedimentum adesset. Accedit in magna praesertim Perpendiculorum altitudine, citius attractionem et motum globi in ipsa Machina perficiendum, quam Perpendiculi extremum distans vi impressâ detorquendum iri. Denique ad id et alia incommoda praecavenda adhibeatur industria [note: Fig. 38] Figurae 38. qua vectes Perpendiculorum majoris longitudinis non permittentur huc et illuc vibiari in machinae librationibus, sed coercebuntur intra incisionem quandam, in qua sursum deorsumque meare valeant absque ulla resistentia, ad quam in allato casu illo virandam et leniendam, aptari poterunt Cylindri vel orbiculi latera vectium molliter excipientes et in axiculis suis convertibilis, etc.

Adveriendum 1. Librario sive Motus Machinaefieri potest in diversa construtione diversus; nam quod in nostra constructione libratio et reciprocatio [note: Fig. 42] machinae perficitur Quadrante Circuli Qq. vel N n. potuisset fieri Sextante tantum, etc. quo modo Distantiae ON, et PQ evaderent longe majores, simul tamen cum incremento tympanorum G et H.

2. Possent Perpendicula in ipsis A et B. Librae extremis et axibus tuborum collocari, et sic tympanis suis immediate sursum globos attrahere, sed fortasse melius est ea esse viciniora Centro Librae. sic enim in motu machinae non nimium librabuntur, et tamen eandem attractionem perficient. Porro ne chordae oblongitudinem nimis tendantur et fallant attractionem globi inferioris ultra suam Claufuram, com modius earum loco adhibebitu longitudo quaedam rigida, nec nisi ubi necessitas exigit circa orbiculos flexibilis.

3. Quamvis Librae possint esse breviores Tubis ipsis, 1 expedit tamen esse aequales, imo potius longiores, ob acquisitionem majoris impetus globi moventis in extremitate perticae: qui impetus si accedat de successu Machinae; vix dubitare licebit. Sed de Impetu paulo infra redit fermo. Nec illud praetereun dem ad removendam omnem resistentiam in attractione globorum, 1 expedire latera tuborum interiora esse exacte quadrata, et globis omnino congruentia, qui quidem deberent esse solidi, et quantum ars attingere potest, sphaerici ac politi, ne lacera tuborum interiora, quae similiter laevia sint necesse est, radant inter elevandum.

4. Denique Partium Machinae proportio in ordine ad Praxin facillime habetur ex tabulis Sinuum, vel Tangentium et Secantium, per Logisticen Decimalem ad pedes vel palmos, etc. eorum que minuta decima reductorum. Sicin Machina nostrae constructionis Quadrante circuli Librabili, posito sinu toto PB. compendiosioris calculi partium 1000. sive palmorum 10. erit Anguli BPQ. gr 45. Secans PQ. 1414. sive palmorum 14° 1I. 4II et Tangens BR similiter 1000. sive palm. 10. abstrahendo videlicet utrobique ab inclinatione Canaiis, quae distantiam quoque PQ minorem efficit. Quod si Sextante tantum Circuli Machina libretur; erit Anguli BPQ. gr. 60. Secans PQ. 2000. sive palm. 20. et Tangens BR 17. 2. id est, palm. 17. 3 2. similiter absque canalis inclinatione. Tandem Tympanorum G. et H. Circumferentia et ex ea Diameter obtinebitur, si fiat ut 11416. ad 10000. ita quadruplum ejus altitudinis, quâ globus infimus attollitur, ad aliud, in priore praxi; in posteriore ut sextuplum. etc.

Pragmatia II. Gravia in Aequeponderatione per Descensum in Helicibus Cylindricis, oppositos ad verticem conos in motu describentibus, Principium Motus perpetuandi suppeditare posse videntur.

FUndamento eidem nostro prius assumpto, quam plurima superstruere licet, quae maximam ad continuandum per Gravia motum apritudinem praeseferunt. Duas Machinas ex Helicis artificio ad perennis Motus exhibitionem ab Authoribus excogitatas et applicatas producit supra memorata Mechanica Hydropneumatica: unam Archimedeam Cylindricam, Cylindroque circumpositam, et situ ad Horizontem debite inclinatam: alteram Conicam in plano verticali convolutam, et sic circa axem Horizonti parallelum convertibilem; et harum utraque per aquam, vel aliud grave liquidum circumagenda esset. An Argumenta quibus ibi Perpetutas Motus ab eis excluditur, id evincant, nunc consulto praeterco, et ejus disquisitionis loco, Novam omnino Helicis adelevanda gravia applicationem, videlicer in eorum aequilibrio, producam. Satis autem erit ipsum Fundamentum elvationis hujus oculis subijcere: hoc enim subsistente, pluribus modis ex eo Machinas motum continuantes deducere et construere licebit.

[note: Icons. N. Fig. 43. ] Sit Cylinder AB, cui 4. vel 6 tubi Cylindrici vel Quadrati sint in helices circumvoluti. Harum autem spirarum quaelibet capiat unum pondus sphaericum caeteris aequale Cylinder hic appendatur ex Ceutro suae Gravitatis C. tali ratione, ut eo Centro immobiliter consistente, extrema axis cylindrici Circulos Horizonti Statico aequidistantes in motu suo conficere possint, et simul totus Axis duos Conos ad verticem in ipso Centro Gravitatis et appensionis oppositos deseribat; id autem praestabitur hac ratione, Notum estarrificium illud, quo acus Magneticae in suis pyxidibus ita librantur, ut quoinodocunque pyxis exterior invertatur, acus ipsa Stylo suo insistens, semper in plano Horizonti parallelo reperiatur: idem artificium Lucernis oleum non effundentibus, quam vis per pavimentum volutentur, applicari solet. In Figura igitur [note: Iconis. M Fig 39. ] 39. intelligatur. Circolus interior DCE esse is qui exsectione Cylindriper medium sive Centrum gravitatis Axiperpendiculari fieret: hic habet duos cardines vel axiculos oppositos, D et E quia in ipsa Cylindri superficie firmati, recipiuntur et libere moventur intra foramina facta in soliditate annuli vel armillae FGHI: quaesimiliter habet axiculos duos diametraliter oppositos F et H; et hi eodem modo vel in alterius similis annuli, vel in plani alicujus excisi et firmati crassitie recipiuntur, et libere moventur. Sed haecex Figuris satis patent. Hac igitur industriâ Tubus spiralis e medio sui in Diaphragmate quodam Machins appendatur, et iraad Horizontem inclinetur, ut Angulus acutus quem facit axis Cylindri cum Horizonte, aliquanto major sit eo, quem spirae faciunt cum basi Cylindri: sic enim et ipsae spirae erunt declives et ad gravium in iis descensum accommodatae. Et quoniam globisintra spiras existentibus, Punctum C non est amplius Centrum gravitatis, adeoque Tubus in eo siru quem Figura monstrat non persisteret, sed ejus extrema niterentur, B quidem versus K. et deorsum; alterum vero A versus L. et sursum; idcirco ne id fiat, Pars tubi inferior AC longior sit in tantum, ut ob accedentes in inferiori portione plures globos, totus tubus darum situm retineat, nec in ullam partem ex se propendeat ad motum.

Motus et ejus Principium Effectivum. Circum ducatur jam alterutrum extremorumTubi, ut extremitas axis in BK. parte superiore, describatque Circulum KM. Horizonti parallelum: Certum est Primo tot globos intra unam revolutionem eijciendos superius, quot sunt tubi Cylindro circumposiri; sint autem ij v. g. quatuor, totidem ergo globi unâ revolutionea attollentur. Certum est secundo ad circumagendum, Cylindrum exiguâ vi opus esse, quando quidem vi constructionis, portiones ejus circa appensionem in medio, utrim que sint aequilibratae; nec ulla ratio sufficiens adferri potest, ex qua difficultas motus oriatut tanta, ut ea abunius globi potentia convenienter applicati, pro quarta vel sexta Circumferentiae parte in motu superari non possit. Non 1. quod globi elevari debeaut in eo Cylindri motu; quia illi potius descendunt, et ad id vim habent ab intrinseco propriae gravitatis, quâferuntur in eam partem, versus quam deprimuntur, et in clinant spirae intra quas devolvuntur. Non 2. quod in eo motu globi sensim altius ascendant, et inferiorem partem minus gravem, superiorem autem graviorem efficiant: quia si Cylinder quartam vel sextam Circumferentiae partem conficiens globum unum superius eijciat, antequam id fiat, alter recipitur intra citius vel serius, ut placebit et necessitas exiget ad servandum AEquilibrium: quod si non omnino servetur, insensibilem quandam facit

differentiam gravitatis, quae si aliquanto major erit in superiore vel inferiore Cylindri portione, tota fere ejus visincumbet in appensionem Cylindri e medio, insensibiliter in latera, tum praesertim quando Cylinder est magis erectus.

Cum igitur Resistentia in motu Tubi sit tam exigua, ut ea fere nulla sit aestimanda, videtur Pondus id, quod in quarta vel sexta parte revolutionis Circularis attollitur, et extra Cylindrum ejicitur, esse sufficiens et abundans ad totum Tubum in gyrum circumducendum per praedictum revolutionis spatium quartae vel sextae partis; si illud e tanta altitudine descendat ad imam tubipartem, applicatum Machinae ad Tubum interea circum ducendum accomodatae, id quod pluribus modis ex artificio vectis effici potest; ut per Rotas Denticulatas, Orbiculos cum Chordis, etc. Quod spatium quantum satis est augeri poterit assunptâ majore Cylindri altitudine, aequilibrio tamen perseverante per industriam superius insinuatam.

Advertendum 1. Grave Liquidum, qualis est Aqua, vel Mercurius currens sive Argencum vivum vulgare, quia est mobilius et promptius in decliviora, etiam in ruditate machinae (a qua in superioribus abstrahitur) elevationi magis accommodatum futurum fuisse, nisi in descensu obliquitatem suam, ad incommoda ex ea praecavenda, majorem industriam requireret.

2. Si constructio haec prima minus placet, adhibeatur Industria Duplicationis, Multiplicationis, adeoque ex Tubis ejusmodi pluribus, qualis est totus AB. praedictus, conficiatur iterum [note: Fig 40. ] unus Totalis, quemadmodum in Figura 40 videre est, in qua quatuor Tubi in unum conjunguntur, appendendi eodem modo, quo de solitatio dictum est in praemissis: Hac enim ratione non sine magno commodo aliqua pondera sphaerica in ipso Axe, Cylindri Totalis, vel ad eum propius accedendo elevabuntur.

Pragmatia III. Gravitatis Acquisitae vi cum Innata simul per industrias convenientes adiuta, Motum ab Intrinseco continuari non repugnat.

HActenus egimus de solius Innatae Gravitatis ad Motum continuandum aptitudine; restat ut breviter aliquid dicatur de Acquisita sive Impetu; reconditiorem n. ejus Naturam et Operationes nunc inquirere, res est majoris moliminis, quam ut id perfunctorius hic calamus attentare praesumat; cum prasertim ad id exequendum, prope nihil a priori luris affulgeat, sed in eo philosophandi genere meris Experimentis inniti sit necesse. Excoluit eam spartam gnaviter praeter caeteros doctissimus et de Astris optime meritus Author Almagesti Novi P. Jo. B. Ricciolus; qui ad investigandam Gravium Naturam nonleves unicuique Curioso Arcanorum Venatori potest addere stimulos. Ex ejus Experimentis compluribus accurate sumptis est illud Almag. lib. 9. sed. 4. c. 16. mini. 23. Ubi ex praemissis infert non im probabile esse, Impetum a Gravi Naturaliter descendente in fine aequalium Temporum acquisitum, ita se habere ad impetum, in fine subsequentis aequalis temporis collatum, sicut se habet spatium ad spatium temporibus aequalibus, sed seorsim sumptis pertransitum: id est, esse in ratione numerorum pariret imparium ab unitate numeratorum; et quemadmodum Grave aliquod primo tempore conficit v. g. spatium unius pedis, secundo aequali, spatium 3. pedum, tertio 5. etc. ita Impetus aequalium temporum primo sit ut 1. secundo ut 3. tertio ut 5. etc. quae tempora si componantur in unum, erunt et Impetus in duplicata ratione eorum, sive in ea, quam habent ipsa Temporum Compositorum Quadrata. Haec injecerunt mihi cogitationem ejusmodi: Quod si vis illa acquisita in motu, per aliquam industriam ita Machinae applicaretur, ut simul cum innata et primaria Gravirate praevaleret alteri Resistenti majori applicato ex distantia ad illam Gravitatem innatam permutatim proportionali, futurum omnino Principium Motus Perpetui inter ejusmodi Gravia. Difficultate non caret illud, quod gravibus Machinae applicatis naturaliter descendendi libertas adimatur per oppositum Resistens, et centri firmitatem. Sed cum haec non omnem absolute tollant impetum, sed saltem proportionaliter illum imminuant, poterit fortassis haec Impetus applicatio in aliqua liberioris Motus Machina magis expedira evadere. Praetermissâ autem nunc Primae Pragmatiae constructione, in qua Grave movens, per Quadrantem Circuli Lateralem delabitur, et eo modo non exiguum acquirit Impetum, quem etiam facillime et augere et facilitare per commoditatem ipsius machinae licebit; placet nunc alium Gravis motum per inferiorem Circuli Quadrantem, et ad perpendicularem proponere.

[note: Icons. N Fig. 44. ] In Circulo ABCD duae Diametri AC, et BD sese intersecent ad rectos in Centro I. quarum prior AC, Horizonti Statico sit Paralella, posterior BD perpendicularis. Divisâ antem Semidiametro ID in quotquot partes aequales, ut facilitatis causâ in 10. intelligatur in centro I. vel potius axe circuli firmacus esse orbiculus, sive tympanum EFGH in ea ratione ad circulum exteriorem ABCD; ut illius peripheriae pars quarta, velut ipsa EH, aequalis sit earum partium uni, in quas Semidiameter ID supponitur esse divisa: Eritigitur in hac constructione quadrans EH aequalis 1/10 Semidiametri ID; et tota Peripheria EFGH ejusdem Semidiametri 4/10 Ponatur jam Radius ID. Partium 10 000 000 000. erit Peripheria EFGH earundem 4000. 000. 000. Quare si fiat ut 3. 141. 592. 653. ad 10 000 000 000. ita 4000 000. 000. ad aliud, erit 1. 237. 39. 544. 3060529768/3141592653 Diameter orbiculi: Cujus Semidiameter IF. ducta in partes Semidiametri ID in 10. divisae dat Distantiam IR. et ei aequalem TP. 6366197724 2736278228/3141592653 Cui ex magno Canone Sinuum respondet Arcus DP. gr. 39. 32I 20II proxime; et ejus Complementum arcus PC. gr. 50. 28I. 40II.

Appendantur jam e Distantiis IE et IC duae Potentiae Gravitativae quae sint inter se ut IE ad IR reciproce hac industria. Pondus ex IE appensum dividatur in partes 10. sive globos aequales, qui per totam Semidiametrum DI. sive ei aequalem altitudinem KE disponantur in Catenula quadam Sphaerophora

concinua sive in se redeunte, ipsique tympano circumposita. Jam vero in puncto C. applicetur undecimus globus priorum cuicunque aequalis, hic demittatur libere, ut per Quadrantem CPD. feratur quantum valet, simulque globus latitudine EK dispositos attollat ad altitudinem unius decimae partis semidiametri ID. vel si fieri potest etiam majorem ex accessione Impetûs, atque ita, ut globus C ultra punctum D. versus K eximpetu vibratus, globum in L existentem, non solum ad punctum E, sed similiter ultra illud, hoc est supra Horizontem staticum AC evehat. Quod si fiat, facile erit globum L supra E planum Horizontis evectum, per declive quoddam aliud planum ad punctum C deducere, et similiter globum illum per arcum CPD ultra D. vibratum, ut usque in X. ad punctum K vel aliud ei substitutum in Catenula sphaerophora derivare: et sic consequenter de caeteris.

Quod autem globus per arcum CPD delatus accedente impetu ultra punctum D versus X penetrare possit, suadet imprimis Experimentum Authoris Almagesti novi loco citato: ubi affirmat globum ponderis unius Unciae, demissum ex altitudine 30 unciarum proxime. Pedis Romani, acquirere Impetum aequivalentem 1. Unciae ponderis: Ex altitudine autem unciarum 84. cirater, Impetum duarum unciatum. Ac tandem ex altitudine unciarum 116. Pedis Rom. Impetum tribus unciis aequalem. Sit jam altitudo ID. unciarum 116, globus autem in C Ponderis uncialis: Si itaque is libere et per brevissimam ID. ferretur, acquireret momentum 3. unciarum, sed cum et per Arcum feratur, et in eo motu oppositum Resistens cui ob excessum RCDistantiae a Centrol pravalet. Impetus ejus trium praecise unciarum productionem impedat, ad minimum producetur Impetus in ea ratione, inqua non impeditur in motu, a quo per arcum CP defertur. Et quoniam Arcus CP. major est arcu PD, fieri posse videtur, ut Impetus ex ejus decursu, acquisitus, simul cum ipso Pondere a quo producitur sumptus, major sit Resistentia in Arcu PD. superanda. Quod non aliter quam Experientia accuratissima determinari posse videtur.

Animâdvertendum 1. Expediret in praxi Experimenti solam semidiametrum IC. cum antisacomate quodam diversimode applicabili adhibere; ne si totus Circulus ABCD solidus vel saltem ejus quatuor brachia semidia metris respondentia debeant impelli, tam ipsius machinae, quam Medii resistentia superanda, retardet productionem et activitatem Impetus: sed tum vectis ille solitarius delato globo deorsum, per antisacoma suum nonnihil excedens in suum C punctum pristinum reducendus esset, alterum in eo globum prius a se elevatum recepturus.

2. Posset Tympano EFGK substitui axis diversâ figurâ praeditus, ut Ellipticâ, Quadratâ, vel aliâ quavis ad contemperandas activitates et resistentias hinc et inde accommodatâ Possent et aliae ex Industriis initio productis adhiberi ad opem eidem systemati ferendam, ut ex industria Duplicationis, etc. Transversionis et AEqueponderationis, in qua Ponderis C Potentia ratione excessus Distantiae, ad Lucrum aliquod distantiarum per aequeponderationem acquirendum, ob motus in ea facilitatem applicari posse videtur, si praesertim arcus minores assumantur.

Sed haec cum pluribus aliis tum praedictarum Machinarum variationibus, tum Novarum Compositionibus ut in aliud tempus et occasionem liberiorem differantur, Lex necessitatis imperat; quâ tandem abrogatâ non deerunt, quae tam in hoc philosophandigenere, quam aliis curiosioribus et reconditis Mathematis in commune conferri possint.

HAEC erant, Reverende Pater, quae quantum per occupationes praesentis officii mei praestare licuit, R. V. examinanda perscribere decreveram. Et ea quidem si non ad exquisitam illam Matheseos [gap: Greek word(s)] trutinata, vel ab elegantia styli politioris aliena, vel denique non pro eo, ac in ipsis rebus occurrentes difficultates exigere videbantur, exposita et discussa sunt, ad ad obtinendam defectus ejus a R. V. veniam, nullum aliud efficacius motivum adferre mihiposse videor, quam si revocem in mentem quas habet non incognitas illas et temporis et negotiorum angustias, intra quas etiam haec perquam difficile fuit perscripsisse: praeterquam quod nec ubique severitas illa Geometrica abhiberi vel debeat, vel possit; nec quiresipsas et earum conceptus attentius sectantur, ut plurimum verborum cultu et nitore delectari soleant. Quod vero in praemissis, haec breviter et quasi [gap: Greek word(s)] percensita majorem lucem desiderent, illa vice versa fastidiosam quandam [gap: Greek word(s)] trahere videantur, illud urgentis brevitatis necessitati, istud etiam in ea studio claritatis in acceptis referendum est: complura longe aliter disposuissem, si quae diversis et tabellionib. et temporib ad R. V. folia transmittenda erant, simul ad manum fuissent: hinc enim facile fieri potuisse mihi persuadeo, ut antecedentia consequentibus non ad omnes numeros consonent, eapraesertim quae aliquo temporis intervallo nec non inter aliarum curarum distractiones exarata fuerunt Quidquid demum sit, id quod initio petii, etiam iteratis precibus efflagito, ut quid ex his meis conatibus emolumenticeperim, vel ex ulteriori eorundem prosecutione sperari possit, occasionem proximam sibi commodiorem, certiorem mefacerene gravetur, ita fiet ut si haec qualiacumque tadem non ingrata accidisse cognovero, ad plures alias Artis et Naturae non vulgares Curiositates, quibus R. V. delectariex totius Magiae contextu facile perspicio, liberius perscribendas animum adjiciam. Moguntiae. Reparatae salutis Anno CIC. ICC. LX.

COELUM STELLATUM CHRISTIANUM IULII SCHILLERI.

[note: ] LECTOR BENEVOLE; ne paginae sub sequentes usque ad Operis hujus Indices vacuae manerent, paucula quaedam, quae non ingrata Tibi, nec inutilia fore speravi, addere volui, inprimisque Coelum Christianum Iulii Schilleri Augustani, Iuris utriusque Doctoris, cujus memini supra lib. 7. par. 3. cap. 2. Is igitur, Ioanne Bayero novam et accuratiorem Vranometriam suppeditante, Coelum Stellatum fecit Christianum, hoc est, in locum antiquarum imaginum, ac nominum earum, substituit imagines ac voces sacras, e sacra Scriptura, et Ecclesiasticis Historiis desumptas. Instituti sui rationem reddit in Praefatione Operis editi anno 1627. adducitque pro se S. Iustinum Martyrem in Oratione ad Antoninum Pium Imperatorem, Lactantium lib. 5. Divinar. Instit. cap. 10. et B. Isidorum lib. 3. Origin. cap. de Astronomia; qui omnes detestantur Gentiles, quod Coelo invexerint nomina ferarum, aut hominum scelestissimorum. Respondes deinde objectionibus quae contra se fieri possent, ei praesertim quod absurdum foret, si imposterum diceretur Sanctos se respicere in coelo aspectu trino, quadrato, sextili, sicut dicitur de Planesti ac caeteris stellis. Laude Viripietatem, laudantque mecum alii: at quod volebat, non obtinuit, cum videam omnes quipost eum scripsere de rebus Astronomicis, antiqua retinuisse vocabula stellarum et asterismorum. Vt videant tamen, qui Schilleri librum non habent, in quas personas aut res sacras mutaverit Astorum imagines ac nomina, apponere placuit sequentem Catalogum, desumptum ex P. Ioanne Raptista Riccilo in Appendice ad librum sextum sui Almagesti Novi; in quo etiam posita sunt nomina Arabica asterismorum, correcta a VVilhelmo Schikardo Linguarum Orientalium apud Tubingenses Professore publico, una cum numero stellarum singulis asterismis attributo a Schillero, ex Vranometria aucta ac reformata a Bayero.

Quoniam autem duodecim signa Zodiaci transformavit in duodecim Apostolos, ideo characteres quoque illorum ac notas ex instrumentis, quibus aut Martyrio affecti sunt aut quae illis a pictoribus Christianis ubique adpinguntur, desunpsit. Hinc S. Petro adscribit Glavem, S. Andreae Crucem, S. Iacobo Majori Baculum peregrinorum, S. Ioanni Calicem, S. Thomae Hastam, S. Iacobo Minori Fustem fullonis, S. Philippo Cruciculam, S. Bartholomeaeo Cultrum. S. Matthaeo Bipennem, S. Simoni Serram, S. Thaddaeo Clavam, S. Matthiae Securim. Loco quoque istius distichi, quo duodecim Zodiaci signa exprimuntur, nempe

substituit hoc alterum distichum, quo dicta Apostolorum duodecim instrumenta exprimit:

EPILOGUS TOTIUS OPERIS

INgenti sane, ac longe majori quam initio credideram, labore in longissimo Mathematicarum Disciplinarum Cur su conficiendo perfunctus, metan aliquando tandem, propitio Numine teneo. Forte certamen certavi, fidem initio Operis datam, utreor, servavi: Cursum consummavi, vici laborem, nunc victor coestus depono. Nullam tamen a quopiam, praeterquam amunificentissimo remuneratore DEO, victoriae lauream exspecto quoniam numeris omnibus absolutum Opus, quale Lector exspectabat, non exhibeo. Scio multa deesse quae addita volebat, multa minus clare, ac fortasse etiam minus recte dicta, minufque probata solide, quam oportebat. Optabam ego ipse, ut diagrammatum pars maxima non aeri, sed ligno incideretur, et suo quodque loco apponeretur, maxime in Euclidis Libris omnibus, in Trigonometria, in Practica Geometria, in Planetarum Theorica, in Mechanica, atque hunc in finem aliquot schematum centurias separatim ac solitarie delineatorum sculptori tradideram, sed post anni solidi ac amplius moram non plura elaboravit, quam Operi vides inserta. Atque haec sculptoris procrastinatio causa fuit, cur serius quam volebam, et quam non semel promiseram, Opus subierit praelum. Desiderabam quoque vehementer, multa aliter ac fusius dicere, nonnulla addere, alia aliter disponere, at Operi praefixae angustiae, Voluminis unius non adeo magni molem non excedentes aliud facere coegerunt. Haec aliaque multa quae desunt, video: at plura fortasse quae cernunt alii, non video. Rogo itaque Lectorem meum, ut si quid praetereacorrigendum, mutandum, apponendum, demendum, aliter ac melius, mole Operis non admodum aucta, explicandum judicaverit, sincere ac libere monere non dedignetur: facilem enim et gratum reperiet animum, quoniam ita quasi Natura sum comparatus, ut ab omnibus, etiam Tyronibus, discere, hoc est, melior evadere, non detrectem. Hîc interim, ad DEI OPTIMI MAXIMI gloriam, Reique publicae Litterariae utilitatem, quam utramque praeoculis unice habui semper, esto totiuts

LIBER XVI. DE STATICA.

Prooemium.

CAPUT I. De Staticae Elementis.

Propositio I. Definitiones Staticas, sive terminos in Statica usitatos explicare.

Propositio II. Axiomata statica adsignare, et explicare.

Propositio III. Postulata statica adsignare, et explicare.

CAPUT II. De staticis seu Ponderatoriis Instrumentis.

Propositio I. Formam et usum Librae ordinariae explicare.

Annotatio.

Propositio II. Fallacias Librae dolosae, quae tamen iusta videatur, explicare, atque detegere.

Propositio III. Formam et usum Staterae communis explicare.

Annotatio.

CAPUT III. De variis et ingeniosis ponderandi modis.

Propositio I. Magna pondera communi et mediocri statera examinare.

Propositio II. Aliter communi statera [orig: staterâ] examinare magna pondera.

Propositio III. Paucis ponderibus seu sacomatis magnae gravitatis pondera ponderare.

Aliter idem efficere.

Propositio IV. Magnetis vim attractivam ad libram expendere.

Propositio V. Aeris gravitatem libra aut statera expendere.

Monitio ad Lectorem.

LIBER XVII. De HYDROSTATICA.

Prooemium.

CAPUT I. De Hydrostaticis Elementis.

DEFINITIONES.

HYPOTHESES.

CAPUT II. Theoremata Hydrostatica, ab aliis demonstrata.

Theorema I.

Theorema II.

Theorema III.

Theorema IV.

Theorema V.

Theorema VI.

Theorema VII.

CAPUT III. Problemata Hydrostatica breviter insinuata.

Propositio I. Propositio quocumque corpore solido quod sit gravius aqua, invenire gravitatem aquae eidem in magnitudine aequalis.

Annotatio I.

Annotatio II.

Propositio II. Differentiam inter gravitates aquarum quarumcumque invenire.

Annotatio.

Propositio III. Mixtionem argenti in aurea corona, ad imitationem Archimedis, invenire.

Annotatio.

Propositio IV. Ex gravitate auri cognoscere eius qualitatem hydrostatice.

Propositio V. Differentiam ponderis inter corpora solida, quae aqua sunt graviora, invenire hydrostatice.

Annotatio.

Propositio VI. Pondus cuiusque corporis quod in aqua demergitur, invenire hydrostatice, cognita corporis magnitudine.

Propositio VII. Ex noto pondere alicuius solidi corporis aqua gravioris, notam facere ipsius magnitudinem.

Propositio VIII. Datis duobus aut pluribus corporibus aqua gravioribus, eiusdem aut diversae species, aequalibus in pondere, invenire utrum sint aequalia in mole.

Annotatio.

Propositio IX. Invenire gravitatem cuiuscumque aquae hydrostatice, mediante corpore quod sit levius aqua.

Propositio X. Diversorum liquidorum gravitatum differentiam invenire hydrostatice, corpore quod aeque grave ac liquorum unus.

Propositio XI. Quantum salis contineat quaelibet aqua salsa, hydrostatico artificio cognoscere.

Annotatio.

Monitio ad Lectorem.

LIBER XVIII. DE HYDROTECHNIA, Sive De Machinis Hydraulicis.

PROOEMIUM.

CAPUT I. De Machinarum Hydraulicarum principiis, seu fundamentis.

CAPUT II. De primo Machinarum Hydraulicarum principio, quod est vis Attractiva, seu Attractio [correction of the transcriber; in the print Atractio], ad evitandum vacuum.

Experimentum I. De siphone inverso non interrupto.

Experimentum II. De siphone inverso interrupto.

CAPUT III. De secundo Machinarum Hydraulicarum principio, quod est Vis Expulsiva, seu Expulsio, ad corporum penetrationem fugiendam.

Experimentum, quo ostenditur Vis Expulsiva, propter corporum impenetrationem, ad aquas in altum elevandas.

Notanda circa praedictum Experimentum.

Annotatio.

CAPUT IV. De tertio Machinarum Hydraulicarum principio, quod est Vis Rarefactiva, seu rarefactio, ad maiorem locum occupandum.

Experimentum, quo ostenditur vis Rarefactiva, ad Machinas Hydraulicas efficiendas

Ex his patet, quam vim habeat rarefactio ad machinas hydraulicas efficiendas.

CAPUT V. De quarte Machinarum Hydraulicarum principio, quod est fluxus aquae naturalis, ad aequilibrium obtinendum.

Proprietates aquae fluentis libere.

I.

II.

III.

IV.

Proprietates aquae fluentis per siphones erectos.

V.

VI.

VII.

VIII.

Corollaria.

Proprietates aquae fluentis per siphones inversos.

IX.

Propositio II. Aliter communi statera [orig:* staterâ] examinare magna pondera.*

CAPUT II. De primo Machinarum Hydraulicarum principio, quod est vis Attractiva, seu Attractio [correction of the transcriber; in the print* Atractio], ad evitandum vacuum.*

CAPUT VI. De Machinis Hydraulicis quae fiunt vi attractiva [orig:* attractivâ], ob metum vacui.*